用样本估计总体 训练-答案

1．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：[10，20)，2；[20，30)，3；[30，40)，4；[40，50)，5；[50，60)，4；[60，70]，2，则在区间[10，50)上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7解析：选D.由题知，在区间[10，50)上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.2．(2014·高考广东卷)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为( )A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10解析：选A.该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000，则样本容量为10 000×2%＝200，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20，故选A.3.某同学进入高三后，4次月考的数学成绩的茎叶图如图，则该同学数学成绩的方差是( ) A ．125 B ．5 5 C ．45D ．3 5解析：选C.由茎叶图知平均值为114＋126＋128＋1324＝125，∴s 2＝14[(125－114)2＋(125－126)2＋(125－128)2＋(125－132)2]＝45.4．某厂10名工人在一小时内生产零件的个数分别是15，17，14，10，15，17，17，16，14，12，设该组数据的平均数为a ，中位数为b ，众数为c ，则有( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >a >bD ．c >b >a解析：选D.把该组数据按从小到大的顺序排列为10，12，14，14，15，15，16，17，17，17，其平均数a ＝110×(10＋12＋14＋14＋15＋15＋16＋17＋17＋17)＝14.7，中位数b ＝15＋152＝15，众数c ＝17，则a <b <c .5．某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机选择了n 位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图，如图所示，且从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等差数列，又第一小组的频数是10，则n 等于( )A ．80B ．90C ．100D ．110 解析：选C.设第1个小长方形的面积为S ， 则4个小长方形的面积之和为⎝⎛⎭⎫4S ＋4×32×0.1，由题意知，4S ＋4×32×0.1＝1，故S ＝0.1，又因为10n＝0.1，所以n ＝100.6．已知甲、乙两组数据如茎叶图所示，若它们的中位数相同，平均数也相同，则图中的m ＋n ＝________．解析：根据茎叶图，可得甲组数据的中位数为20＋222＝21，根据甲、乙两组数据的中位数相等，得乙组数据的中位数为21＝20＋n ，解得n ＝1.又甲组数据的平均数为10＋m ＋20＋22＋284＝80＋m 4，乙组数据的平均数为19＋21＋263＝22，所以80＋m4＝22，解得m ＝8，所以m ＋n ＝9.答案：9 7．(2015·湖北八校联考)对某市“四城同创”活动中800名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为[25，30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：(1)[25，30)年龄组对应小矩形的高度为________；(2)据此估计该市“四城同创”活动中志愿者年龄在[25，35)的人数为________．解析：(1)设[25，30)年龄组对应小矩形的高度为h ，则5(0.01＋h ＋0.07＋0.06＋0.02)＝1，h ＝0.04.(2)志愿者年龄在[25，35)的频率为5(0.04＋0.07)＝0.55，故志愿者年龄在[25，35)的人数约为0.55×800＝440.答案：(1)0.04 (2)440 8．(2014·高考江苏卷)为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，有________株树木的底部周长小于100 cm.解析：底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100 cm 的株数为(0.15＋0.25)×60＝24.答案：24 9．(2015·西安模拟)某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90，100)，[100，110)，…，[140，150]后得到如下部分频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[120，130)内的频率；(2)若在同一组数据中，将该组区间的中点值(如：区间[100，110)的中点值为100＋1102＝105)作为这组数据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率．解：(1)分数在[120，130)内的频率为1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3. (2)估计平均分为x ＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121. (3)由题意，[110，120)分数段的人数为60×0.15＝9(人)． 在[120，130)分数段的人数为60×0.3＝18(人)．∵用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴需在[110，120)分数段内抽取2人，并分别记为m ，n ；在[120，130)分数段内抽取4人，并分别记为a ，b ，c ，d ；设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130)内”为事件A ，则基本事件共有{m ，n }，{m ，a }，…，{m ，d }，{n ，a }，…，{n ，d }，{a ，b }，…，{c ，d }，共15个．则事件A 包含的基本事件有{m ，n }，{m ，a }，{m ，b }，{m ，c }，{m ，d }，{n ，a }，{n ，b }，{n ，c }，{n ，d }，共9个．∴P (A )＝915＝35.10．(2015·昆明市高三上学期调研)在数学趣味知识培训活动中，甲、乙两名学生的6次培训成绩如茎叶图所示：(1)从甲、乙两人中选择一人参加数学趣味知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由； (2)从乙的6次成绩中随机选择2个成绩，求选到123分的概率． 解：(1) x 甲＝99＋107＋108＋115＋119＋1246＝112，x 乙＝102＋105＋112＋113＋117＋1236＝112，s 2甲＝16[(99－112)2＋(107－112)2＋(108－112)2＋(115－112)2＋(119－112)2＋(124－112)2]＝2063， s 2乙＝16[(102－112)2＋(105－112)2＋(112－112)2＋(113－112)2＋(117－112)2＋(123－112)2]＝1483， ∴x 甲＝x 乙，s 2甲>s 2乙，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，乙发挥更稳定，故选择乙同学． (2)从6个成绩中随机选择2个，共有15个基本事件，分别是：{102，105}，{102，112}，{102，113}，{102，117}，{102，123}，{105，112}，{105，113}，{105，117}，{105，123}，{112，113}，{112，117}，{112，123}，{113，117}，{113，123}，{117，123}，其中满足条件的基本事件有5个，故所求概率P ＝515＝13.1．一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a 、b 是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，则这个样本的方差是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析：选C.由x 2－5x ＋4＝0的两根分别为1，4，∴有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝1.又a ，3，5，7的平均数是b . 即a ＋3＋5＋74＝b ，a ＋154＝b ，a ＋15＝4b ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝4符合题意，则方差s 2＝5. 2．(2015·安徽省名校模拟)一个样本容量为10的样本数据，它们组成一个公差不为0的等差数列{a n }，若a 3＝8，且a 1，a 3，a 7成等比数列，则此样本的平均数和中位数分别是( )A ．13，12B ．13，13C ．12，13D ．13，14解析：选B.设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，a 3＝8，a 1a 7＝(a 3)2＝64，(8－2d )(8＋4d )＝64，(4－d )(2＋d )＝8，2d －d 2＝0，又d ≠0，故d ＝2，故样本数据为：4，6，8，10，12，14，16，18，20，22，平均数为S 1010＝（4＋22）×510＝13，中位数为12＋142＝13.3．某班有48名学生，在一次考试中统计出平均分为70，方差为75，后来发现有2名同学的分数登记错了，甲实际得80分却记成了50分，乙实际得70分却记成了100分，更正后平均分为________，方差为________．解析：因甲少记了30分，乙多记了30分，故平均分不变，设更正后的方差为s 2，则由题意可得s 2＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(80－70)2＋(70－70)2＋…＋(x 48－70)2]，而更正前有 75＝148[(x 1－70)2＋(x 2－70)2＋…＋(50－70)2＋(100－70)2＋…＋(x 48－70)2]，化简整理得s 2＝50.答案：70 504．为了解本市的交通状况，某校高一年级的同学分成了甲、乙、丙三组，从13点到18点，分别对三个路口的机动车通过情况进行了实际调查，并绘制了频率分布直方图(如图)．若定义“总体平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和”，则甲、乙、丙三组所调查数据的总体平均数的估计值x 1，x2，x 3的大小关系为________．解析：根据题中总体平均数的估计值的定义可得，x 1＝0.3×13.5＋0.2×14.5＋0.1×15.5＋0.1×16.5＋0.3×17.5＝15.4，x 2＝0.2×13.5＋0.2×14.5＋0.3×15.5＋0.2×16.5＋0.1×17.5＝15.3，x 3＝0.1×13.5＋0.3×14.5＋0.3×15.5＋0.2×16.5＋0.1×17.5＝15.4，故x 1＝x 3>x 2.答案：x 1＝x 3>x 25．(2015·宁波模拟)甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击水平谁更好一些． 解：(1) x 甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x 乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2. (3)由x 甲＝x 乙，说明甲、乙两战士的平均水平相当；又∵s 2甲>s 2乙，说明甲战士射击情况波动大，因此乙战士比甲战士射击情况稳定．6．(选做题)某高三年级有500名学生，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生在一次测试中的数学成绩，制成如下频率分布表：(1)根据上面图表，求出①②③④处应填的数值；(2)在所给的坐标系中画出[85，155]的频率分布直方图及折线图；(3)根据题中信息估计总体平均数，并估计总体落在[129，155]中的频率．解：(1)由题意和表中数据可知，随机抽取的人数为120.300＝40.由统计知识知④处应填1，③处440＝0.100，应填0.100，②处1－0.050－0.100－0.275－0.300－0.200－0.050＝0.025，应填0.025，①处0.025×40＝1，应填1.(2)频率分布直方图及折线图如图所示．(3)利用组中值算得平均数为：90×0.025＋100×0.05＋110×0.2＋120×0.3＋130×0.275＋140×0.1＋150×0.05＝122.5；总体落在[129，155]上的频率为610×0.275＋0.1＋0.05＝0.315.故总体平均数约为122.5，总体落在[129，155]上的频率约为0.315.。