初中九年级数学培优训练专题
初三数学培优专题试卷
一、选择题(每题5分,共25分)1. 下列选项中,不是二次方程的是()A. x^2 - 5x + 6 = 0B. 2x^2 + 3x - 1 = 0C. x^3 - 2x^2 + 3x - 6 = 0D. 4x^2 - 4x + 1 = 02. 已知一元二次方程 ax^2 + bx + c = 0(a ≠ 0)的两根为 x1 和 x2,那么下列选项中,正确的是()A. x1 + x2 = -b/aB. x1 x2 = c/aC. x1^2 + x2^2 = b^2 - 4ac/aD. x1^2 - x2^2 = (x1 + x2)^2 - 4x1x23. 下列函数中,为反比例函数的是()A. y = x^2 + 1B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = 2/x^24. 已知等差数列 {an} 的首项为 a1,公差为 d,那么下列选项中,正确的是()A. a1 + a2 + a3 = 3a1 + 3dB. a1 + a2 + a3 = 3a1 + 2dC. a1 + a2 + a3 = 3a1 + dD. a1 + a2 + a3 = 3a15. 下列选项中,不是等比数列的是()A. 2, 4, 8, 16, ...B. 1, 2, 4, 8, ...C. 1, 3, 9, 27, ...D. 1, 3, 6, 9, ...二、填空题(每题5分,共25分)6. 已知一元二次方程 x^2 - 4x + 3 = 0,则其两根之和为 __________,两根之积为 __________。
7. 若反比例函数 y = k/x(k ≠ 0)的图象经过点(2,3),则 k = __________。
8. 等差数列 {an} 的首项为 2,公差为 3,那么第 10 项 an = __________。
9. 等比数列 {an} 的首项为 3,公比为 2,那么第 6 项 an = __________。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练-圆的认识
九年级数学下册2023年中考专题培优训练圆的认识一、单选题1、下列命题的逆命题为假的有()A.对顶角是相等的角B.对应角相等的三角形是全等三角形C.平行四边形是两组对边互相平行的图形D.等圆是半径相等的圆2、计算机处理任务时,经常会以圆形进度条的形式显示任务完成的百分比.下面是同一个任务进行到不同阶段时进度条的示意图:若圆半径为2,当任务完成的百分比为m时,弦AB的长度记为d(m).下列描述正确的是( )A.d(25%)=2B.当m>50%时,d(m)>4C.当m1<m2时,d(m1)<d(m2)D.当m1+m2=100%时,d(m1)=d(m2)3、已知⊙O的半径为10,圆心O到弦AB的距离为5,则弦AB所对的圆周角的度数是( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°4、如图,⊙O是△ABC的外接圆,将△ABC绕点C顺时针旋转至△EDC,使点E在⊙O上,再将△EDC沿CD翻折,点E恰好与点A重合,已知∠BAC=36°,则∠DCE的度数是()A .24B .27C .30D .335、已知点在上.则下列命题为真命题的是( ),,A B C O A .若半径平分弦.则四边形是平行四边形OB AC OABC B .若四边形是平行四边形.则OABC 120ABC ∠=︒C .若.则弦平分半径120ABC ∠=︒AC OBD .若弦平分半径.则半径平分弦AC OB OB AC6、如图,是的外接圆,,若扇形OBC (图中阴影部分)正O ABC 22.5,8ABO ACO BC ∠=∠=︒=好是一个圆锥的侧面展开图,则该圆锥的高为( )A B .C D 7、如图,C 是以AB 为直径的半圆O 上一点,连结AC ,BC ,分别以AC 、BC 为直径作半圆,其中M ,N 分别是AC 、BC 为直径作半圆弧的中点,,的中点分别是P ,Q .若AC BC MP+NQ =7,AC+BC =26,则AB 的长是( )A .17B .18C .19D .208、如图,由边长为1的小正方形构成的网格中,点,,都在格点上,以为直径的圆经过A B C AB 点,,则的值为( )C D cos ADC ∠A B C .D 23二、填空题1、如图,点A 、B 、C 、D 、E 都是圆O 上的点,,∠B =116°,则∠D 的度数为______度.AC AE =2、如图1,水车又称孔明车,是我国最古老的农业灌溉工具,是珍贵的历史文化遗产.如图2,圆心O 在水面上方,且被水面截得的弦AB 长为8米,半径为5米,则圆心O 到水面AB 的距离为O _______米.3、如图,点为半圆的中点,是直径,点D 是半圆上一点,、交于点E ,若,C AB AC BD 2AD =,则______, _______.6BD =AC =CD =4、如图,圆内4个正方形的边长均为2a ,若点A ,B ,C ,D ,E 在同一条直线上,点E ,F ,G 在同一个圆上,则此圆的半径为.5、如图,在圆的内接△ABC 中,,,于点D ,则________°.AB AC = 100BC =︒BD AC ⊥DBC ∠=6、如图,以y 轴上的点P 为圆心,过坐标原点O 的⊙P 与平行于y 轴的直线交于M ,N 两点.若点M 的坐标是,则点N 坐标为___________.()21,-三、解答题1、如图,为的直径,是弦,且于点E .连接、、.AC O BD AC BD ⊥AB OB BC(1)求证:;CBO ABD ∠=∠(2)若,求弦的长.4cm,16cm AE CE ==BD2、如图,在圆O 中,弦AB =8,点C 在圆O 上(C 与A ,B 不重合),连接CA 、CB ,过点O 分别作OD ⊥AC ,OE ⊥BC ,垂足分别是点D 、E(1)求线段DE 的长;(2)点O 到AB 的距离为3,求圆O 的半径.3、圆形拱门屏风是中国古代家庭中常见的装饰隔断,既美观又实用,彰显出中国元素的韵味,如图,是一款拱门的示意图,其中拱门最下端分米,为的中点,为拱门最高点,圆心18AB =C AB D 在线段上,分米,求拱门所在圆的半径.O CD 27CD =4、如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=10,CD=8,求线段AE的长.5、如图,圆O 中两条互相垂直的弦AB ,CD 交于点E .(1)M 是CD 的中点,OM =3,CD =12,求圆O 的半径长;(2)点F 在CD 上,且CE =EF ,求证:.AF BD。
初三数学培优试卷及答案
一、选择题(每题5分,共50分)1. 已知一元二次方程x^2 - 5x + 6 = 0,则方程的解为:A. x = 2,x = 3B. x = 1,x = 6C. x = 2,x = 4D. x = 3,x = 52. 下列函数中,是奇函数的是:A. y = x^2B. y = x^3C. y = |x|D. y = x^43. 在等腰三角形ABC中,AB = AC,若∠BAC = 40°,则∠B = ∠C = °。
4. 下列命题中,正确的是:A. 平行四边形的对角线互相平分B. 等腰三角形的底角相等C. 直角三角形的两条直角边相等D. 矩形的对边平行且相等5. 若a、b、c是等差数列,且a + b + c = 12,则a^2 + b^2 + c^2的值为:6. 已知二次函数y = ax^2 + bx + c的图象开口向上,且顶点坐标为(1, -2),则a、b、c的值分别为:7. 在直角坐标系中,点A(2, 3)关于x轴的对称点为B,则点B的坐标为:8. 已知等腰三角形ABC中,AB = AC,且BC = 6,AD是BC边上的高,则AD的长度为:9. 下列不等式中,正确的是:A. 3x > 2x + 1B. 2x < 3x - 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 2x ≤ 3x - 110. 若a、b、c是等比数列,且a + b + c = 27,b^2 = ac,则a、b、c的值分别为:二、填空题(每题5分,共50分)11. 已知一元二次方程x^2 - 4x + 3 = 0的解为x1和x2,则x1 + x2 = ,x1x2 = 。
12. 函数y = 2x - 3的图象与x轴、y轴的交点坐标分别为(),()。
13. 在等腰三角形ABC中,AB = AC,若∠BAC = 45°,则∠B = ∠C = °。
14. 下列命题中,正确的是:平行四边形的对角线互相平分,等腰三角形的底角相等,矩形的对边平行且相等。
初三数学培优试题(含答案)
初三数学培优试题一学校: 班级: 姓名: 分数:一.选择题1、下列函数:① 3y x =-,②21y x =-,③()10y x x=-<,④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有( )(A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个2.(2018济南,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都在方格线的格点上,将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°,得到△A ′B ′C ′,则点P 的坐标为( )A .(0,4)B .(1,1)C .(1,2)D .(2,1)xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算,若开始输入x 的值为正数,最后输出的结果为656,则满足条件的x 的不同值最多有( )(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不..在04x ≤≤的范围内,则a 的取值范围是( )(A )5a >或2a <- (B )25a -≤≤ (C )25a -<< (D )5a ≥或2a ≤-5、如图所示,已知点A 是半圆上一个三等分点,点B 是AN 的中点,点P 是半径ON 上的动点。
若O 的半径长为,则AP BP +的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )2 (D )6.(3分)如图,矩形ABCD 中,E 是AB 的中点,将△BCE 沿CE 翻折,点B 落在点F 处,tan ∠DCE=.设AB=x ,△ABF 的面积为y ,则y 与x 的函数图象大致为( )A .B .C .D .P B A二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,不需写出解答过程)7.已知一组数据:12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。
人教版 九年级数学 25.2 用列举法求概率 培优训练(含答案)
人教版 九年级数学 25.2 用列举法求概率 培优训练一、选择题(本大题共8道小题) 1. 2019·大连 不透明袋子中装有红、绿小球各一个,这些小球除颜色外无其他差别,随机摸出一个小球后,放回并摇匀,再随机摸出一个,两次都摸到红球的概率为( ) A.23B.12C.13D.142. 小李与小陈做猜拳游戏,规定每人每次至少出一个手指,两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜,那么小李获胜的概率为( )A.1325B.1225C.425D.123. 定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V 数”,如“947”就是一个“V 数”.若某三位数十位上的数字为5,从4,6,8中任选两数分别作为个位和百位上的数字,则与5组成“V 数”的概率是( ) A.16B.14C.13D.234. 如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图,现随机向正方形内掷一枚小针,则针尖落在阴影区域内的概率为( )A.14B.12C.π8D.π45. 小明和小华参加社会实践活动,随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中的一项,那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为( )A.14B.13C.12D.346. 从长度分别为2,3,4,5的4条线段中任取三条,能构成直角三角形的概率为( ) A.34B.12C.13D.147. 从如图所示图形中任取一个,是中心对称图形的概率是()A.14B.12C.34D .18. 从1,2,3,4四个数中随机选取两个不同的数,分别记为a ,c ,则关于x 的一元二次方程ax2+4x +c =0有实数解的概率为( ) A.14B.13C.12D.23二、填空题(本大题共8道小题)9. 学校组织团员参加实践活动,共安排2辆车,小王和小李随机上了1辆车,结果他们同车的概率是________.10. 2018·滨州若从-1,1,2这三个数中任取两个分别作为点M 的横、纵坐标,则点M 在第二象限的概率是________.11.三名运动员参加定点投篮比赛,原定出场顺序是:甲第一个出场,乙第二个出场,丙第三个出场.由于某种原因,要求这三名运动员用抽签方式重新确定出场顺序,则抽签后每个运动员的出场顺序都发生变化的概率为________.12. (2019·浙江台州)一个不透明的布袋中仅有2个红球,1个黑球,这些球除颜色外无其它差别.先随机摸出一个小球,记下颜色后放回搅匀,再随机摸出一个小球,则两次摸出的小球颜色不同的概率是__________.13. 一枚质地均匀的骰子的6个面上分别刻有1~6的点数,抛掷这枚骰子一次,向上一面的点数是4的概率是________.14. 如图,在3×3的方格中,点A,B,C,D,E,F均位于格点上,从C,D,E,F四点中任取一点,与点A,B一起作为顶点构造三角形,则所构造的三角形为等腰三角形的概率是________.15. 如图所示,一只蚂蚁从点A出发到D,E,F处寻觅食物.假定蚂蚁在每个岔路口都等可能地随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处,也可以向右下到达C处,其中A,B,C都是岔路口).那么蚂蚁从点A 出发到达E处的概率是________.16. 如图,共有12个大小相同的小正方形,其中阴影部分的5个小正方形是一个正方体的展开图的一部分,现从其余的小正方形中任取1个涂上阴影,能构成这个正方体的展开图的概率是________.三、解答题(本大题共4道小题)17. 在甲、乙两个不透明的口袋中装有大小、材质完全相同的小球,其中甲袋中的小球上分别标有数字1,2,3,4,乙袋中的小球上分别标有数字2,3,4,先从甲袋中任意摸出一个小球,记下数字为m,再从乙袋中任意摸出一个小球,记下数字为n.(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m,n)的可能的结果;(2)若m,n都是方程x2-5x+6=0的解,则小明获胜;若m,n都不是方程x2-5x+6=0的解,则小利获胜,他们两人谁获胜的概率大?18. 某景区7月1日~7月7日一周的天气预报如图25-2-2,小丽打算选择这期间的一天或两天去该景区旅游,求下列事件的概率:(1)随机选择一天,恰好天气预报是晴;(2)随机选择连续的两天,恰好天气预报都是晴.19. A,B,C三人玩篮球传球游戏,游戏规则:第一次传球由A将球随机地传给B,C两人中的某一人,以后的每一次传球都是由上次的传球者随机地传给其他两人中的某一人.(1)求两次传球后,球恰好在B手中的概率;(2)求三次传球后,球恰好在A手中的概率.20. 小美周末来到公园,发现在公园一角有一种“守株待兔”游戏.游戏设计者提供了一只兔子和一个有A,B,C,D,E五个出入口的兔笼,而且笼内的兔子从每个出入口走出兔笼的机会是均等的.规定:①玩家只能将小兔从A,B两个出入口放入;②若小兔进入笼子后选择从开始进入的出入口离开,则可获得一只价值4元的小兔玩具,否则应付费3元.(1)请用画树状图的方法列举出该游戏的所有可能情况; (2)小美玩一次游戏,得到小兔玩具的机会有多大? (3)假设有125人玩此游戏,估计游戏设计者可赚多少元.人教版 九年级数学 25.2 用列举法求概率 培优训练-答案一、选择题(本大题共8道小题)1. 【答案】D2. 【答案】A[解析] 画树状图如下:共有25种等可能的结果,两人出拳的手指数之和为偶数的结果有13种,所以小李获胜的概率为1325.故选A.3. 【答案】C[解析] 根据题意,画树状图如下:共有6种等可能的结果,与5组成“V 数”的结果有2种(即658,856),所以从4,6,8中任选两数分别作为个位和百位上的数字,与5组成“V 数”的概率为26=13.4. 【答案】C[解析] 设正方形ABCD 的边长为2a ,针尖落在阴影区域内的概率=12×π×a24a2=π8. 故选C.5. 【答案】A6. 【答案】D[解析] 一共有四种可能,分别是2,3,4;2,3,5;2,4,5;3,4,5.其中只有长度分别是3,4,5的三条线段能构成直角三角形,所以能构成直角三角形的概率为14.7. 【答案】C[解析] 因为共有4种等可能的结果,任取一个,是中心对称图形的有3种结果,所以任取一个,是中心对称图形的概率是34.故选C.8. 【答案】C[解析] 列表如下:共有12种等可能的结果,其中关于x 的一元二次方程ax2+4x +c =0有实数解的结果有6种,分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(3,1),(4,1),则P =612=12.故选C.二、填空题(本大题共8道小题)9. 【答案】1210. 【答案】13 [解析] 若从-1,1,2这三个数中任取两个分别作为点M 的横、纵坐标,一共有(-1,1),(-1,2),(1,-1),(1,2),(2,-1),(2,1)6种等可能结果,其中在第二象限的结果一共有2种,所以点M 在第二象限的概率是13.11.【答案】13【解析】根据题意画树状图如解图,每个运动员抽签的可能性相等,∵每个运动员的出场顺序都发生变化的有下列两种情况:乙、丙、甲;丙、甲、乙,∴每个运动员的出场顺序都发生变化的概率=26=13.12. 【答案】【解析】画树状图如图所示:一共有9种等可能的情况,两次摸出的小球颜色不同的有4种, ∴两次摸出的小球颜色不同的概率为;故答案为:.13. 【答案】16 [解析] 抛掷骰子一次,向上一面的点数可能是1,2,3,4,5,6,一共有6种等可能的结果,其中向上一面的点数是4的结果有1种,所以P(向上一面的点数是4)=16.14. 【答案】34 [解析] 从C ,D ,E ,F 四个点中任意取一点,一共有4种可能,当选取点D ,C ,F 时,所构造的三角形是等腰三角形,故P(所构造的三角形是等腰三角形)=34.15. 【答案】12 [解析] 画树状图如图所示:由树状图知,共有4种等可能的结果,蚂蚁从点A 出发到达E 处的结果有2种, 所以蚂蚁从点A 出发到达E 处的概率是24=12.16. 【答案】47 [解析] 余下的小正方形共有7个,其中上面的4个涂上阴影都能构成正方体的展开图,所以任取1个小正方形涂上阴影,能构成正方体的展开图的概率为47.三、解答题(本大题共4道小题)17. 【答案】解:(1)画树状图如图所示:(2)因为解方程x2-5x +6=0,得x =2或x =3.由树状图得共有12种等可能的结果,其中m ,n 都是方程x2-5x +6=0的解的结果有4种,m ,n 都不是方程x2-5x +6=0的解的结果有2种, 所以小明获胜的概率为412=13,小利获胜的概率为212=16, 所以小明获胜的概率大.18. 【答案】解:(1)∵天气预报是晴的有4天,∴随机选择一天,恰好天气预报是晴的概率为47.(2)∵随机选择连续的两天的结果有晴晴,晴雨,雨阴,阴晴,晴晴,晴阴, ∴随机选择连续的两天,恰好天气预报都是晴的概率为26=13.19. 【答案】解:(1)根据题意,画树状图如下:∵共有4种等可能的结果,两次传球后,球恰好在B 手中的结果只有1种, ∴两次传球后,球恰好在B 手中的概率为14. (2)根据题意,画树状图如下:∵共有8种等可能的结果,三次传球后,球恰好在A 手中的结果有2种, ∴三次传球后,球恰好在A 手中的概率为28=14.20. 【答案】解:(1)画树状图如下:(2)由树状图知,共有10种等可能的结果,其中兔子从开始进入的出入口离开的结果有2种,所以小美玩一次游戏,得到小兔玩具的概率为210=15. (3)125×(3×45-4×15)=200(元). 答:估计游戏设计者可赚200元.。
初三数学培优试题(含答案)
初三数学培优试题一学校: 班级: 姓名: 分数:一.选择题1、下列函数:① 3y x =-,②21y x =-,③()10y x x=-<,④223y x x =-++ 其中y 的值随x 值的增大而增大的函数有( )(A )4个 (B )3个 (C )2个 (D )1个2.(2018济南,9,4分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC 的顶点都在方格线的格点上,将△ABC 绕点P 顺时针方向旋转90°,得到△A ′B ′C ′,则点P 的坐标为( )A .(0,4)B .(1,1)C .(1,2)D .(2,1)xy–1–2–3–412341234567BCA A'C 'B'O3、按下面的程序计算,若开始输入x 的值为正数,最后输出的结果为656,则满足条件的x 的不同值最多有( )(A )2个 (B )3个 (C )4个 (D )5个4、已知关于x 的不等式组12x a x a ->-⎧⎨-<⎩的解集中任意一个x 的值均不..在04x ≤≤的范围内,则a 的取值范围是( )(A )5a >或2a <- (B )25a -≤≤ (C )25a -<< (D )5a ≥或2a ≤-5、如图所示,已知点A 是半圆上一个三等分点,点B 是AN 的中点,点P 是半径ON 上的动点。
若O 的半径长为,则AP BP +的最小值为( )(A )2 (B )3 (C )2 (D )6.(3分)如图,矩形ABCD 中,E 是AB 的中点,将△BCE 沿CE 翻折,点B 落在点F 处,tan ∠DCE=.设AB=x ,△ABF 的面积为y ,则y 与x 的函数图象大致为( )A .B .C .D .P B A二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,不需写出解答过程)7.已知一组数据:12.10.8.15.6.8.则这组数据的中位数是。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练(培优篇):函数
九年级数学下册2023年中考专题培优训练(培优篇):函数一、单选题1.下列曲线中不能..表示y 是x 的函数的是( ) A . B .C .D .2.如图,直线1:3L y x =+与直线2:L y ax b =+相交于点()4A m ,,则关于x 的不等式3x ax b +≤+的解集是( ).A .4x ≥B .4x ≤C .1x ≥D .1x ≤3.若直线3y x =与x 轴所夹的锐角为α,则sin α的值为( ) A 3B .12C 3D 34.下列四个选项中,不符合直线3y x =--的性质特征的选项是( ) A .经过第二、三、四象限 B .y 随x 的增大而减小 C .与x 轴交于()3,0 D .与y 轴交于()0,3-5.已知反比例函数()0ky k x=≠,当21x -≤≤-时,y 的最大值是6,则当2x ≥时,y 有( )A .最小值6-B .最小值3-C .最大值6-D .最大值3-6.如图,正比例函数y ax =(a 为常数,且0a ≠)和反比例函数ky x=(k 为常数,且0k ≠)的图像相交于)(2,A m -和B 两点,则不等式kax x<的解集为( )A .<2x -或2x >B .22x -<<C .20x -<<或2x >D .<2x -或02x <<7.对于反比例函数2023y x=,下列说法正确的是( ) A .图象分布在第二、四象限内 B .图象经过点()1,2023-- C .y 随x 的增大而减小 D .0x <时,y 随x 的增大而增大8.如图,P 是反比例函数()50y x x=>的图象上一点,PA x ⊥轴于点A ,动点B 从原点O 出发,沿y 轴正方向移动,连接AB ,BP .在点B 移动过程中,PAB 的面积( )A .越来越大B .不变C .越来越小D .先变大后变小9.对于二次函数()222y x =-+的图像,下列说法正确的是( ) A .对称轴为直线2x =- B .最低点的坐标为()2,2 C .与x 轴有两个公共点D .与y 轴交点坐标为()0,210.如图,在平面直角坐标系中,点()12,A m y -,()2,B m y 都在二次函数()21y x n =-+的图象上.若12y y >,则m 的取值范围是( )A .1m <B .1m >C .2m <D .>2m11.如图,一场篮球比赛中,一名篮球运动员投篮,球沿抛物线20.2y x bx c =-++运行,然后准确落入篮筐内,已知球出手时离地面高2.25米,距篮筐中心的水平距离OH 是4米,篮筐的中心离地面的高度为3.05m ,该抛物线的表达式为( )A .20.2 2.25y x x =--+B .20.2 2.25y x x =-++C .20.22 2.25y x x =--+D .20.22 2.25y x x =-++12.二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的部分图象如图所示,其对称轴为直线12x =-,且与x轴的一个交点坐标为()2,0-.下列结论:①0abc >;①a b =;①930a b c -+>;①20a c +=;①关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有两个相等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题13.如图,点A 是反比例函数ky x=图象上一点,过点A 作AH x ⊥轴,垂足为H ,连接OA ,已知AOH △的面积是6,则k 的值是__________.14.把抛物线2(1)3y x =-++向左平移2个单位长度,然后向下平移3个单位长度,平移后抛物线的表达式为__________.15.一辆汽车匀速通过某段公路,所需时间t (h )与行驶速度v (km/h )满足函数关系kt v=,其图象为如图所示的一段曲线,且端点为()40,1A 和(),0.5B m .若行驶速度不得超过60km/h ,则汽车通过该路段最少需要_________h ?16.反比例数4y x =-,当4y <时,x 的取值范围是______.17.如图,在平面直角坐标系中,OAC 的顶点A 在反比例函数ky x=的图象上,点C 在x 轴上,AC 边交反比例函数图象于点B ,若2BOCS=,且2AB BC =,则k 的值为___________.18.如图,直线334y x =--与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,点C 是x 轴上的一个动点,将ABC 沿BC 所在直线折叠后,点A 恰好落在y 轴上点D 处,则点C 的坐标为______.三、解答题19.如图,直线1l :23y ax =+与x 轴和y 轴分别交于B ,C 两点,直线2l :23y x b =-+与x轴交于点A ,并且这两直线交点P 的坐标为()22,.(1)求两直线的解析式; (2)求四边形AOCP 的面积.20.李强用甲、乙两种具有恒温功能的热水壶同时加热相同质量的水,甲壶比乙壶加热速度快.在一段时间内,水温y (①)与加热时间x (s )之间近似满足一次函数关系,根据记录的数据,画函数图象如下:(1)加热前水温是 ①.(2)求乙壶中水温y 关于加热时间x 的函数解析式. (3)当甲壶中水温刚达到80①时,乙壶中水温是 ①.21.如图,直线2y ax =+与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点,与双曲线()0k y x x=>相交于点P ,PC x ⊥轴于点C ,且4PC =,点A 的坐标为()4,0-.(1)求一次函数的解析式; (2)求双曲线的解析式;(3)若点Q 为双曲线上点P 右侧的一点,且QH x ⊥轴于H ,当以点Q 、C 、H 为顶点的三角形与AOB 相似时,求点Q 的坐标. 22.如图,已知一次函数112y x =-与反比例函数()0k y k x =≠相交于点(),1A m 、()2,B n -.过点A 分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足分别为点M 、N .连接,,OA OB AB .(1)求反比例函数的解析式;(2)若四边形OMAN 的面积记作1S ,AOB 的面积记作2S ,求12S S 的值. 23.为了做好校园疫情防控工作,学校每周要对办公室和教室进行药物喷洒消毒,消毒药物在每间教室内空气中的浓度y (单位:3mg/m )与时间x (单位:min )的函数关系如图所示.在进行药物喷洒时y 与x 的函数关系式为2y x =,药物喷洒完成后y 与x 成反比例函数关系,两个函数图象的交点为(5,)A n .(1)n 的值为__________;(2)当5x ≥时,y 与x 的反比例函数关系式为__________;(3)当教室空气中的药物浓度不高于31mg/m 时,对人体健康无危害.当教室药物喷洒完成45min 后,学生能否进入教室?请通过计算说明.24.某果园有100棵橙子树,平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.假设果园增种x 棵橙子树,增种后果园橙子的总产量为y 个,那么请你求出当果园增种多少棵橙子树时,橙子的总产量最多,并求出此时的总产量.25.如图,抛物线2y ax bx c =++经过点()()2,0,4,0A B -,与y 轴正半轴交于点C ,且2OC OA =,抛物线的顶点为D ,直线y mx n =+经过B ,C 两点,与对称轴交于点E .(1)求抛物线及直线BC 的函数表达式;(2)点M 是直线BC 上方抛物线上的动点,连接,MB ME ,得到MBE △,求出MBE △面积的最大值及此时点M 的坐标;(3)直线()0y kx k =>交线段BC 于点H ,若以点O ,B ,H 为顶点的三角形与CDE 相似,求k 的值;(4)点N 在对称轴上,满足BNC ABC ∠=∠,求出点N 的坐标.。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数(k的几何意义)
九年级数学下册2023年中考专题培优训练 反比例函数(k 的几何意义)一、单选题1.如图所示,点是反比例函数图象上一点,作轴,垂足为点.若A ky x =AB x ⊥B 的面积为3,则的值是( )AOB kA .4B .6C .4或6D .不确定2.如图,在平面直角坐标系中,函数与的图象交于、两点,过作轴y kx =2y x =-A B A y 的垂线,交函数的图象于点,连接,则的面积为( )4y x =C BC ABCA .B .C .D .23563.以正方形两条对角线的交点O 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,反比ABCD 例函数的图象经过点D ,则正方形的面积为( )4y x =ABCDA .12B .16C .18D .204.点P ,Q ,R 在反比例函数图象上的位置如图所示,分别过这三个点作x 轴,y 轴12y x =的平行线.图中所构成的阴影部分面积从左到右依次为,,.若,1S 2S 3S OF FG GA ==则的值为( )123S S S ++A .10B .12C .14D .165.如图,点B 在反比例函数的图象上,点C 在反比例函数的图()60y x x =>()20y x x =->象上,轴,,垂足为点C ,交y 轴于点A ,则的面积为( )∥BC y AC BC ⊥AC ABCA .3B .4C .6D .86.如图,直角三角形的直角顶点在坐标原点,,若点A 在反比例函数30OAB ∠=︒的图象上,则经过点B 的反比例函数解析式为( )()120y x x =>A .B .C .D .6y x=-4y x=-2y x=-2y x=7.如图,在平面直角坐标系中,,点在反比例函数图像的图xOy (4,0),(4,0)A B -C ky x =像上,且,若线段与轴交于点,则的值为( )90ACB ∠=︒AC y (0,2)D kA .B .C .D .19225892458.如图,A 是双曲线上的一点,点C 是的中点,过点C 作y 轴的垂线,垂()0ky x x =>OA 足为D ,交双曲线于点B ,且的面积是4,则( )ABD △k =A .4B .6C .8D .109.反比例函数的图象如图所示,点M 是该函数图象上一点,垂直于x 轴,垂足ky x =MN 是点N ,如果,则k 的值为( )MON S π=△A .B .C .D .2π2π-ππ-10.已知点A 、B 分别在反比例函数,的图像上,且,()20=>y x x ()80y x x -=>OA OB ⊥则的值为( )OAOBA B .C D .31211.如图,点是函数图象上一点,过点作轴,轴,分别与A ()10y x x =>A AB x ⊥AC y ⊥函数的图象相交于点和点,则的面积是( ).2y x =-B C ABCA .4B .C .6D .9213212.如图,平面直角坐标系中,矩形的顶点B 在第一象限,点C 在x 轴上,点A 在OABC y 轴上,D ,E 分别是中点.过点D 的双曲线与交于点AB OA ,()00x kx k y >=>,BC G .连接,F 在上,且,连接.若的面积为4,则k DC DC :2:1DF FC =DE EF ,DEF 的值为( )A .8B .16C .24D .32二、填空题13.如图,在平面直角坐标系中,点在函数的图象上,轴于点xOy A 6(0)y x x =>AC x ⊥,连接,则面积为________.C OA OAC14.点A 是反比例函数在第一象限内图象上的一点,过点A 作轴,垂足为点B ,AB x ⊥的面积是1,则下列结论中,正确的是_______(填序号).OAB ①此反比例函数图象经过点;②此反比例函数的解析式为;③若点在此()1,12y x =(),a b 反比例函数图象上,则点也在此反比例函数图象上;④点在此()--,a b ()()1122,A x y B x y ,,反比例函数的图象上且,则.120x x <<12y y <15.如图,平行四边形的顶点在坐标原点上,在轴上,顶点在上,OABC O B y A 5y x =-顶点在上,则平行四边形的面积是_____.C 7y x =OABC16.如图,已知在中,点在上,,,,反比例ABO C AB 3BC AC =CO CB =16AOB S =△函数的图象经过点,则的值为_____.ky x =C k17.如图,的边在x 轴上,且,反比例函数的图象与边AOB OB 90∠=︒ABO ()0ky x x =>、分别相交于点C 、D ,连接,已知,的面积为12,若,AO AB BC OC BC =BOC 6AD =直线的函数解析式为 _____.OA18.如图,,分别是反比例函数和在第四象限内的图像,点在1l 2l ()2k y k x =<-2y x =-N 上,线段交于点A ,作轴于点C ,交于点B ,延长OB 交于点M ,作1l ON 2l NC x ⊥2l 1l 轴于点F ,下列结论:MF x ⊥①;1OFM S =△②与是位似图形,面积比为;OBC △OMF 2k -③;OA OBON OM =④.AB NM 其中正确的是____________.三、解答题19.如图,一次函数与反比例函数的图像交于,()10y k x b k =+≠()20k y x x =>()1,6A 两点.()3,B m(1)求反比例函数和一次函数的解析式:(2)根据图象直接写出时,x 的取值范围:21k k x b x +<(3)求的面积.AOB 20.如图,在平面直角坐标系中,为坐标原点,点在反比例函数的图象上,O A ()0ky k x =>过点作轴,垂足为,的面积为5.A AB x ⊥B AOB(1)求值;k (2)当时,求函数值的取值范围.<2x -y 21.通过构造适当的图形,可以对线段长度、图形面积大小等进行比较,直观地得到一些不等关系或最值,这是“数形结合”思想的典型应用.(1)【理解】如图①,,垂足分别为是的中点,连接,AC BC CD AB ⊥⊥,C D E 、,AB CE 已知,().AD a BD b ==,0a b <<①已知的代数式表示CE 的长;CD a b ,②比较大小: (填“”“”或“”),并用①中的结论证明该大小关系.CE CD <>=(2)【应用】如图②,在平面直角坐标系中,点在反比例函数()的图像M N 、1y x =0x >上,横坐标分别为.设,,记.m n ,p m n =+11q m n =+14l pq =①当时, ,当时,;13m n ==,l =22m n ==,l =②通过归纳猜想,可得的最小值是 .请利用图②构造恰当的图形,并说明你的猜l 想成立.22.已知,如图点P 是双曲线上的一点,轴于点,轴于点,24y x =PA x ⊥A PB y ⊥B 、分别交双曲线于点、.求的面积.PA PB 11y x =D C PCD23.如图,在x 轴的正半轴上依次截取,过点1122312n n OA A A A A A A -===⋯==分别作x 轴的垂线与反比例函数的图像相交于点得123n A A A A ⋯、、、10y x =123n P P P P ⋯、、、直角三角形并设其面积分别111222333441n n n OP A A P A A P A A P A A P A -⋯、、、、、,为.123nS S S S ⋯、、、(1)求的坐标23P P Pn 、、、(2)求的值;n S 24.如图,直线与轴、轴分别交于点,与反比例函数交于点3y kx =+x y B C 、my x =.过作轴于,连接,若,A D 、D DE x ⊥E ,OA OD ()2,A n -:1:2OAB ODE S S ∆∆=(1)求反比例函数的表达式;(2)求点的坐标;C (3)直接写出关于不等式:的解集为______.x 3mkx x >-25.如图,已知点,过点P 作轴于点M ,轴于点N ,反比例函数()6,3P PM x ⊥PN y ⊥的图象交于点A ,交于点B .若四边形的面积为12.ky x =PM PN OAPB(1)求k 的值;(2)设直线的解析式为,请直接写出不等式的解集.AB y ax b =+kax bx +。
初三数学培优练习题
初三数学培优练习题一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个选项是二次函数的图像?A. 直线B. 抛物线C. 双曲线D. 圆2. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4,求斜边长。
A. 5B. 6C. 7D. 83. 计算下列表达式的值:(2x-3)(2x+3)。
A. 4x^2 - 9B. 4x^2 + 9C. -4x^2 + 9D. -4x^2 - 94. 一个数的平方根是它本身的数是?A. 0B. 1C. -1D. 以上都是5. 将下列不等式转化为等式:2x + 3 > 5。
A. 2x = 2C. 2x = 8D. 2x = 56. 计算下列几何图形的面积:一个半径为5的圆。
A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π7. 一个等差数列的首项是3,公差是2,求第5项的值。
A. 13B. 15C. 17D. 198. 计算下列函数的值:f(x) = x^2 - 6x + 9 在 x = 3 时。
A. 0B. 3C. 6D. 99. 已知一个三角形的内角和为180度,若其中一个角为60度,求另外两个角的和。
A. 60度B. 90度C. 120度D. 150度10. 计算下列函数的导数:y = 3x^2 - 2x + 1。
A. 6x - 2C. -6x + 2D. -6x - 2二、填空题(每题2分,共20分)1. 一个等腰三角形的底角为70度,顶角为____度。
2. 计算 (x+2)(x-2) 的结果为____。
3. 一个数的立方根是它本身的数是____。
4. 已知一个三角形的周长为18厘米,其中两边长分别为5厘米和7厘米,求第三边长。
5. 将下列不等式转化为等式:3x - 2 ≤ 7。
6. 计算下列几何图形的周长:一个边长为4的正方形。
7. 一个等比数列的首项是2,公比是3,求第4项的值。
8. 计算下列函数的值:g(x) = 2x - 5 在 x = 3 时。
9. 已知一个四边形的对角线互相垂直,且每条对角线的长度为6厘米,求四边形的面积。
2023年九年级数学下册中考数学综合培优测试卷:一次函数图像与几何变换【含答案】
2023年九年级数学下册中考数学综合培优测试卷:一次函数图像与几何变换一、单选题1.在平面直角坐标系中,把直线y=3x 向左平移2个单位长度,平移后的直线解析式是( )A .y=3x+2B .y=3x-2C .y=3x+6D .y=3x-62.若一次函数y=2x-3的图象平移后经过点(3,1),则下列叙述正确的是( )A .沿x 轴向右平移3个单位长度B .沿x 轴向右平移1个单位长度C .沿x 轴向左平移3个单位长度D .沿x 轴向左平移1个单位长度3.在平面直角坐标系中,将直线沿y 轴向下平移6个单位后,得到一条新的直线,该直y =−32x +3线与x 轴的交点坐标是( )A .B .C .D .(0,3)(−2,0)(4,0)(6,0)4.已知直线向下平移2个单位长度后得到直线,且直线与直线关于l 1:y =kx +3l 2l 2l 3:y =−x +1y 轴对称,则k 的值为( ).A .B .1C .2D .3−15.在平面直角坐标系中,将函数 的图象向上平移6个单位长度,则平移后的图象与x 轴的y =3x 交点坐标为( ) A .(2,0)B .(-2,0)C .(6,0)D .(-6,0)6.把直线y=-x+1向上平移3个单位长度后得到的直线的解析式为( )A .y=-x+4B .C .y=x+4D .y=x-27.将直线沿x 轴向左平移3个单位得到直线L ,则直线L 的解析式是( )y =2x +5A .y =2x +2B .y =2x +8C .y =2x -1D .y =2x +118.对于一次函数y =﹣2x+4,下列结论错误的是( )A .函数的图象不经过第三象限B .函数的图象与x 轴的交点坐标是(2,0)C .函数的图象向下平移4个单位长度得y =﹣2x 的图象D .若两点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)在该函数图象上,且x 1<x 2,则y 1<y 29.将一次函数y =﹣3x 的图象沿y 轴向下平移4个单位长度后,所得图象的函数表达式为( )A .y =﹣3(x ﹣4)B .y =﹣3x +4C .y =﹣3(x +4)D .y =﹣3x ﹣410.在平面直角坐标系中,将直线 先关于 轴作轴对称变换,再将所得直线关于y =−3x +4x y 轴作轴对称变换,则经两次变换后所得直线的表达式是( )A .B .C .D .y =4x−3y =−4x +3y =3x +4y =−3x−411.将直线向上平移2个单位长度,则平移后的直线所对应的函数解析式为( )y =−2x +3A .B .C .D .y =−2x +1y =−4x +5y =−2x +5y =−4x +112.将直线向上平移5个单位长度后得到直线,则下列关于直线的说y =x +1y =kx +b y =kx +b 法错误的是( )A .函数图象经过第一、二、三象限B .函数图象与轴的交点在轴的正半轴x xC .点在函数图象上(−2,4)D .随的增大而增大y x 二、填空题13.直线 +3的图像是由正比例函数 图像向 (填上或下)平移 y =3x 个单位得到或由正比例函数 图像向 (填左或右)平移 个单位得到可以得到的一条直线14.直线 沿 轴平移3个单位,则平移后直线与 轴的交点坐标为 .y =2x−1y y 15.在平面直角坐标系中,把直线y=2x 向左平移1个单位长度,平移后的直线解析式是 .16.将正比例函数y=﹣2x 的图象沿y 轴向上平移5个单位,则平移后所得图象的解析式是 .17.如图,在平面直角坐标系中,A (1,0),B (3,0),点C 在第一象限,∠ABC=90°,AC=25,直线l 的关系式为: .将△ABC 沿x 轴向左平移,当点C 落在直线l 上时,线段AC 扫y =−x−3过的面积为 平方单位.18.已知直线与直线关于y 轴对称,当时,,当y 1=ax +b(a ≠0)y 2=kx +5(k ≠0)x >−52y 1>0时,,则直线 .x >52y 2<0y 1=三、综合题19.如图,直线 与 轴、 轴交于点 、 ,直线 与 轴l 1:y =2x +1x y D A l 2:y =mx +4x y 轴分别交于点 、 ,两直线相交于点 .C B P(1,b)(1)求 , 的值; b m (2)求 的值;S △PDC −S △PAB (3)垂直于 轴的直线 与直线 , 分别交于点 , ,若线段 的长为x x =a l 1l 2M N MN 2,求 的值.a 20.如图,直线y =kx +4的图象与y 轴交于点A ,与x 轴交于点B (2,0),直线AF 交x 轴负半轴于点F ,且OF =2OA .(1)求出k 的值为 ,直线AF 的解析式为 ;(2)若将直线AB 沿y 轴向下平移,平移后的直线恰好经过C (﹣3,0),与y 轴相交于点D ,且直线CD 与直线AF 交于点E ,求点E 的坐标.21.如图,一次函数 的图象与反比例函数( 为常数且 )的图象相交于y =x +5y =kx k k ≠0 , 两点.A(−1,m)B(1)求反比例函数的表达式;(2)将一次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位 ,使平移后的图象与反y =x +5y b (b >0)比例函数的图象有且只有一个交点,求 的值.y =kx b 22.已知反比例函数与正比例函数 相交于 .y 1=kx y 2=x A(2,2)(1)求 值.k (2)画出反比例函数的图象.(3)当 时,直接写出 的范围?y 1>y 2x (4)根据图象,解不等式 .kx <x−323.背景知识:已知两直线 , ,若 ,则m :y 1=k 1x +b 1n :y 2=k 2x +b 2(k 1k 2≠0)m ⊥n ;若 ,则 .k 1k 2=−1m//n k 1=k 2应用:在平面直线坐标系 中,直线 交x 轴于点C ,交y 轴于点D ,若 xoy l 1:y =x−1l 2⊥l 1于点 ,交y 轴于点A ,交x 轴于点B.P(2,1)(1)求直线 的表达式; l 2(2)求 的面积;△ABC (3)若将直线 向下平移 个单位,得到新的直线 ,交y 轴于点E ,交直线 于点F ,l 1q l 3l 2使得 ,求 的值.S △AEF =16q 24.已知:如图1,在平面直角坐标系中,一次函数y = x+3交x 轴于点A ,交y 轴于点B ,点C34是点A 关于y 轴对称的点,过点C 作y 轴平行的射线CD ,交直线AB 与点D ,点P 是射线CD 上的一个动点.(1)求点A ,B 的坐标.(2)如图2,将△ACP 沿着AP 翻折,当点C 的对应点C′落在直线AB 上时,求点P 的坐标. (3)若直线OP 与直线AD 有交点,不妨设交点为Q(不与点D 重合),连接CQ ,是否存在点P ,使得S △CPQ =2S △DPQ ,若存在,请求出对应的点Q 坐标;若不存在,请说明理由.答案解析部分1.【答案】C 2.【答案】B 3.【答案】B 4.【答案】B 5.【答案】B 6.【答案】A 7.【答案】D 8.【答案】D 9.【答案】D 10.【答案】D 11.【答案】C 12.【答案】B13.【答案】y=3x ;上;3;y=3x ;左;114.【答案】(0,2)或(0, )−415.【答案】y=2x+216.【答案】y =-2x+517.【答案】4018.【答案】或2x +55+2x19.【答案】(1)解:∵点 在直线 上,∴ ,P(1,b)l 1:y =2x +1b =2×1+1=3∵ 在直线 上,∴ ,∴P(1,3)l 2:y =mx +43=m +4m =−1(2)解:∵直线 与 轴、 轴交于点 、 ,l 2:y =−x +4x y D A ∴ ,,A(0,1)D(−12,0)∵直线 与 轴、 轴分别交于点 、 ,l 2:y =−x +4x y C B ∴ , ,B(0,4)C(4,0)∴S △PDC −S △PAB =12DC ⋅y P −12AB ⋅x P =12×(12+4)×3−12×(4−1)×1=214(3)解:设直线 与直线 , 分别交于点 , , x =a l 1l 2M N 当 时, ;当 时, ,x =a y M =2a +1x =a y N =4−a ∵ ,∴ ,解得或 ,MN =2|2a +1−(4−a)|=2a =13a =53所以 的值为 或 a 135320.【答案】(1)-2;y =+412x (2)解:∵直线AB 沿y 轴向下平移,平移后的直线恰好经过C (﹣3,0), ∴设直线DC 的解析式为y =﹣2x+d ,把C (﹣3,0)代入得d =﹣6,∴直线DC 的解析式为y =﹣2x﹣6.解得,{y =−2x−6y =12x +4{x =−4y =2∴E (﹣4,2).21.【答案】(1)解:由题意,将点 代入一次函数 得: A(−1,m)y =x +5m =−1+5=4∴A(−1,4)将点 代入得: ,解得 A(−1,4)y =k x k−1=4k =−4则反比例函数的表达式为;y =−4x (2)解:将一次函数 的图象沿 轴向下平移 个单位得到的一次函数的解析式为 y =x +5y b y =x +5−b 联立{y =x +5−by =−4x 整理得: x 2+(5−b)x +4=0一次函数 的图象与反比例函数 的图象有且只有一个交点∵y =x +5−b y =−4x 关于x 的一元二次方程 只有一个实数根∴x 2+(5−b)x +4=0 此方程的根的判别式 ∴Δ=(5−b)2−4×4=0解得 b 1=1,b 2=9则b 的值为1或9.22.【答案】(1)解:∵反比例函数y 1= 与正比例函数y 2=x 相交于A (2,2).kx ∴k=2×2=4(2)解:描出点(1,4),(2,2),(4,1), 用平滑的曲线连接,画出反比例函数的图象如图,(3)解:由图象可知,当0<x<2和x<-2时,y1>y2.(4)解:观察图象,直线y=x向下平移3个单位,与反比例函数的交点为(4,1)和(-1,-4),∴不等式 <x-3的解集为:-1<x <0和x >4.kx 23.【答案】(1)解:由 ,得 ,l 1:y =x−1k 1=1 , ,∵l 2⊥l 1∴k 2⋅k 1=−1,∴k 2=−1设 ,把 代入解析式得:b=3,l 2:y =−x +b P(2,1) ;∴l 2:y =−x +3(2)解:由图象可得:, 与x 轴交于点B 、C , 令y=0,则有 ∵l 2:y =−x +3l 1:y =x−1∴B(3,0),C(1,0),又 与y 轴交于点A , 令x=0,则有 ,∵l 2:y =−x +3∴A(0,3) OA=3,BC=2, ;∴∴S △ABC =12BC ⋅OA =3(3)解: 将直线 向下平移 个单位,得到新的直线 ,∵l 1q l 3 ,令x=0则 , ,∴l 3:y =x−1−q y =−1−q ∴E(0,−1−q) ,∴AE =3−(−1−q)=4+q 交直线 于点F , 解得,∵l 3l 2∴{y =−x +3y =x−1−q {x =4+q 2y =2−q 2 , ,∵S △AEF =12AE ⋅F x =16∴12×(4+q)⋅4+q 2=16解得 (不符题意,舍去).q 1=4,q 2=−12 .∴q =424.【答案】(1)解:令x=0,则y=3,∴B (0,3),令y=0,则 x+3=0,34∴x=﹣4,∴A (﹣4,0);(2)解:∵点C 是点A 关于y 轴对称的点, ∴C (4,0),∵CD ⊥x 轴,∴x=4时,y=6,∴D (4,6),∴AC=8,CD=6,AD=10,由折叠知,AC'=AC=8,∴C'D=AD﹣AC'=2,设PC=a ,∴PC'=a ,DP=6﹣a ,在Rt △DC'P 中,a2+4=(6﹣a )2,∴a= ,83∴P (4, );83(3)解:设P (4,m ), ∴CP=m ,DP=|m﹣6|,∵S △CPQ =2S △DPQ ,∴CP=2PD ,∴2|m﹣6|=m ,∴m=4或m=12,∴P (4,4)或P (4,12),∵直线AB 的解析式为y= x+3①,34当P (4,4)时,直线OP 的解析式为y=x ②,联立①②解得,x=12,y=12,∴Q (12,12),当P (4,12)时,直线OP 解析式为y=3x ③,联立①③解得,x= ,y=4,43∴Q ( ,4),43。
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷:二次函数的实际应用-几何问题【含答案】
2023年九年级数学下册中考综合培优测试卷:二次函数的实际应用-几何问题一、单选题1.在平面直角坐标系中,已知点M ,N 的坐标分别为,若抛物线(−1,3),(3,3)与线段MN 只有一个公共点,则的取值范围是( )y =x 2−2mx +m 2−m +2m A .或B .或−1⩽m <07−17<m⩽7+17−1⩽m <0m >7−17C .或D .m <07−172<m⩽7+172−1⩽m⩽7+1722.如图,已知△ABC 为等边三角形,AB=2,点D 为边AB 上一点,过点D 作DE ∥AC ,交BC 于E点;过E 点作EF ⊥DE ,交AB 的延长线于F 点.设AD=x ,△DEF 的面积为y ,则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )A .B .C .D .3.如图,在△ABC 中,∠C=90°,AC=BC=3cm.动点P 从点A 出发,以 cm/s 的速度沿AB 方向运2动到点B .动点Q 同时从点A 出发,以1cm/s 的速度沿折线AC CB 方向运动到点B .设△APQ 的→面积为y (cm 2).运动时间为x (s ),则下列图象能反映y 与x 之间关系的是( )A.B.C.D.4.割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法:随着圆内接正多边形边数的增加,它的周长和面积越来越接近圆周长和圆面积,“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣”.刘徽就是大胆地应用了以直代曲、无限趋近的思想方法求出了圆周率.请你也用这个方法求出二次函数y=的图象与两坐标轴所围成的图形最接近的面积是( )14(x−4)2A.5B.C.4D.17﹣4π2255.已知如图,抛物线y=-x2-2x+3交x轴于A、B两点,顶点为C,CH⊥AB交x轴于H,在CH右侧的抛物线上有一点P,已知PQ⊥AC,垂足为Q,当∠ACH=∠CPQ时,此时CP的长为()A.B.C.D.4522521692096.如图,抛物线y=ax2+2ax-3a(a>0)与x轴交于A,B顶点为点D,把抛物线在x轴下方部分关于点B作中心对称,顶点对应D’,点A对应点C,连接DD’,CD’,DC,当△CDD’是直角三角形时,a的值为( )A . ,B . ,C . ,D . , 12321332133312337.如图1,E 为矩形ABCD 边AD 上一点,点P 从点B 沿折线BE﹣ED﹣DC 运动到点C 时停止,点Q 从点B 沿BC 运动到点C 时停止,它们运动的速度都是1cm/s .若P ,Q 同时开始运动,设运动时间为t (s ),△BPQ 的面积为y (cm 2).已知y 与t 的函数图象如图2,则下列结论错误的是()A .AE=6cmB .sin∠EBC =45C .当0<t≤10时,D .当t=12s 时,△PBQ 是等腰三角形y =25t 28.如图,有一块边长为6cm 的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中的虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒,则该纸盒侧面积的最大值是( )A . cm 2B . cm 2C . cm 2D . cm 2332392327239.如图, 在平面直角坐标系中放置 , 点 .现将 沿Rt △ABC ,∠ABC =90∘A(3,4)△ABC x 轴的正方向无滑动翻转,依次得到 连续翻转 14 次, 则经过 △A 1B 1C 1,△A 2B 2C 2,△A 3B 3C 3… 三顶点的抛物线解析式为( )△A 14B 14C 14A .B .y =−35(x−51)(x−55)y =−512(x−51)(x−55)C .D .y =−35(x−55)(x−60)y =−512(x−55)(x−60)10.用一根长为50 cm 的铁丝弯成一个长方形,设这个长方形的一边长为x (cm ),它的面积为y (cm 2),则y 与x 之间的函数关系式为( )A .y =-x 2+50x B .y =x 2-50x C .y =-x 2+25xD .y =-2x 2+2511.如图,点E ,F ,G ,H 分别是正方形ABCD 边AB ,BC ,CD ,DA 上的点,且AE =BF =CG =DH.设A 、E 两点间的距离为x ,四边形EFGH 的面积为y ,则y 与x 的函数图象可能为( )A .B .C .D .12.已知一个直角三角形的两边长分别为a 和5,第三边长是抛物线y=x²-10x+21与x 轴交点间的距离,则a 的值为( )4141A.3B.C.3或D.不能确定二、填空题ABCD BC=8,AB=6E CD C,D CE13.如图,矩形中,,点为边上一动点(不与重合)、以CEFG CE:CG=3:4BF,ОOE OE为边向外作矩形,且,连接点是线段BF的中点.连接,则的最小值为 .A(3,3)B(0,2)A y=x2+bx−9AB14.如图,已知点,点,点在二次函数的图象上,作射线AB A45°C C,再将射线绕点按逆时针方向旋转,交二次函数图象于点,则点的坐标为 15.如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D、E、F分别是BC、BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为 .16.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.17.用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场,若墙长,则这个养鸡场最大面积24m 10m 为 .m 218.在第一象限内作射线OC ,与x 轴的夹角为60°,在射线OC 上取一点A ,过点A 作AH ⊥x 轴于点H ,在抛物线y=x 2(x >0)上取一点P ,在y 轴上取一点Q ,使得以P ,O ,Q 为顶点的三角形与△AOH 全等,则符合条件的点A 的坐标是 三、综合题19.如图,为美化校园环境,某校计划在一块长方形空地上修建一个长方形花圃.已知AB=20m ,BC=30m ,并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道,设通道宽为 米,花圃的面x 积为 ( ).S m 2(1)求 关于 的函数关系式;S x (2)如果通道所占面积是184 ,求出此时通道的宽 的值;m 2x (3)已知某园林公司修建通道每平方米的造价为40元,花圃每平方米的造价是60元,如果学校决定由该公司承建此项目,并要求修建的通道的宽度不少于2米且不超过花圃宽的 ,则通道宽为13多少时,修建的通道和花圃的总造价最低,最低总造价为多少元?20.如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 是反比例函数y= (x >0,m >1)图象上一点,m 3−m 2x 点A 的横坐标为m ,点B (0,﹣m )是y 轴负半轴上的一点,连接AB ,AC ⊥AB ,交y 轴于点C ,延长CA 到点D ,使得AD=AC ,过点A 作AE 平行于x 轴,过点D 作y 轴平行线交AE 于点E .(1)当m=3时,求点A 的坐标;(2)DE= ,设点D 的坐标为(x ,y ),求y 关于x 的函数关系式和自变量的取值范围;(3)连接BD ,过点A 作BD 的平行线,与(2)中的函数图象交于点F ,当m 为何值时,以A 、B 、D 、F 为顶点的四边形是平行四边形?21.如图,矩形ABCD 的四个顶点在正△EFG 的边上,已知正△EFG 的边长为2,记矩形ABCD 的面积为S ,边长AB 为x 。
初三数学培优试题及答案
初三数学培优试题及答案一、选择题(每题2分,共10分)1. 下列哪个数不是实数?A. πB. -3C. √2D. i2. 如果一个圆的半径是5,那么它的面积是多少?A. 25πB. 50πC. 100πD. 125π3. 已知a=3,b=2,求下列表达式的值:a^2 + b^2A. 13B. 17C. 19D. 214. 一个数的平方根等于它本身,这个数是:A. 0B. 1C. -1D. 45. 下列哪个是二次方程的解?A. x = 1B. x = -1C. x = 2D. x = 3(方程为:x^2 - 4x + 4 = 0)二、填空题(每题2分,共10分)6. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4,斜边的长度是______。
7. 一个正数的倒数是1/8,这个数是______。
8. 如果一个数的立方等于-27,那么这个数是______。
9. 一个数的绝对值是5,这个数可以是______或______。
10. 一个二次方程的判别式是36,那么这个方程的根的情况是______。
三、解答题(每题10分,共30分)11. 解方程:2x^2 - 5x - 3 = 0。
12. 证明:如果一个三角形的两边长度分别为a和b,且a < b,那么这个三角形的周长P满足P > 2a。
13. 一个工厂每天可以生产x个产品,每个产品的成本是c元,销售价格是p元。
如果工厂每天的利润是y元,写出y关于x的函数表达式。
四、综合题(每题15分,共20分)14. 一个圆的半径是7,圆心到一个点A的距离是5。
如果点A在圆内,求点A到圆上任意一点B的距离的最大值和最小值。
15. 一个班级有50名学生,其中30名学生喜欢数学,20名学生喜欢英语。
如果一个学生至少喜欢一门科目,求这个班级中同时喜欢数学和英语的学生人数的范围。
答案:一、选择题1. D2. B3. C4. A5. D二、填空题6. 5(根据勾股定理)7. 8(倒数的定义)8. -3(立方根的定义)9. 5,-5(绝对值的定义)10. 有两个不相等的实数根(判别式的定义)三、解答题11. 解:2x^2 - 5x - 3 = 0,使用求根公式,得到x1 = (5 + √41) / 4,x2 = (5 - √41) / 4。
【九年级数学几何培优竞赛专题】专题1 巧构圆,妙解题【含答案】
第一章 圆专题1巧构圆,妙解题知识解读在处理平面几何中的许多问题时,常常需要借助圆的性质,问题才能解决.而有时候我们需要的圆并不存在,这就需要我们能利用已知的条件,借助图形的特点把实际存在的圆找出来,从而运用圆中的性质来解决问题,往往有事半功倍的效果,使问题获得巧解或简解,这是我们解题必须要掌握的技巧. 作辅助圆的常用依据有以下几种:①圆的定义:若几个点到某个固定点的距离相等,则这几个点在同一个圆上; ②有公共斜边的两个直角三角形的顶点在同一个圆上;③对角互补的四边形四个顶点在同一个圆上,简记为:对角互补,四点共圆;④若两个三角形有一条公共边,这条边所对的角相等,并且在公共边的同侧,则这两个三角形有公共的外接圆,简记为:同旁张等角,四点共圆.培优学案典例示范例1将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ,继续旋转(0120)αα<<得到线段AD ,连接CD . (1)连接BD .①如图1-1-1①,若α=80°,则∠BDC 的度数为;②在第二次旋转过程中,请探究∠BDC 的大小是否改变?若不变,求出∠BDC 的度数;若改变,请说明理由;(2)如图1-1-1②,以AB 为斜边作Rt △ABE ,使得∠B =∠ACD ,连接CE ,DE .若∠CED =90°,求α的值.图1-1-1②①EDCBADBA【提示】(1)①∠BDC =∠ADC -∠ADB ,利用“等边对等角及三角形内角和为180°”可求出∠BDC 为30°; ②由题意知,AB =AC =AD ,则点B ,C ,D 在以A 为圆心,AB 为半径的圆上,利用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”可快速求出∠BDC 仍然为30°;(2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ,连接EM ,证明“点A ,C ,D 在以M 为圆心,MC 为半径的圆上”.跟踪训练如图1-1-2,菱形ABCD 中,∠B =60°,点E 在边BC 上,点F 在边CD 上.若∠EAF =60°,求证:△AEF 是等边三角形.角相等”获证.图1-1-2BFEDC A例2 (1)如图1-1-3①,正方形ABCD 中,点E 是BC 边上的任意一点,∠AEF =90°,且EF 交正方形外角平分线CF 于点F .求证:AE =EF ;(2)若把(1)中的条件“点E 是BC 边上的任意一点”,改为“点E 是BC 边延长线上的一点”,其余条件不变,如图1-1-3②,那么结论AE =EF 是否还成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由.①②图1-1-3A B E CFDFDCEBA【提示】连接AC ,AF ,显然∠ACF =∠AEF =90°,所以A ,E ,C ,F 四点在以AF 为直径的圆上. (1)如图1-1-4①,当点E 在BC 边上,则∠AFE =∠ACE =45°,于是△AEF 是等腰直角三角形,AE =EF 获证;(2)如图1-1-4②,当点E 在BC 边的延长线上,则∠F AE =∠FCE =45°,于是△AEF 是等腰直角三角形,AE=EF 获证.F图1-1-4②①【拓展】本题将“正方形”改为“正三角形”,“∠AEF =90°”相应改为“∠AEF =60°”,仍然可以运用构造“辅助圆”的思路.还可进一步拓展为“正n 边形”,360180AEF =-∠,仍然可延续这种思路,读者可自己完成.跟踪训练已知,将一副三角板(Rt △ABC 和Rt △DEF )如图1-1-5①摆放,点E ,A ,D ,B 在一条直线上,且D 是AB的中点.将Rt △DEF 绕点D 顺时针方向旋转角(090)αα<<,在旋转过程中,直线DE ,AC 相交于点M ,直线DF ,BC 相交于点N ,分别过点M ,N 作直线AB 的垂线,垂足为G ,H . (1)如图1-1-5②,当α=30°时,求证:AG =DH ; (2)如图1-1-5③,当α=60°时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并说明理由; (3)当090α<<时,(1)中的结论是否成立?请写出你的结论,并根据图1-1-5④说明理由.③④图1-1-5②①HGEAF D C (N )BFE DCBA【提示】本题除了常规解法外,还可考虑构造“辅助圆”.例3 已知,在△ABC 中,AB =AC ,过A 点的直线a 从与边AC 重合的位置开始绕点A 按顺时针方向旋转角θ,直线a 交BC 边于点P (点P 不与点B ,点C 重合),△BMN 的边MN 始终在直线a 上(点M 在点N 的上方),且BM =BN ,连接CN . (1)当∠BAC =∠MBN =90°时.①如图1-1-6①,当θ=45时,∠ANC 的度数为 ; ②如图1-1-6②,当45θ≠时,①中的结论是否发生变化?说明理由;(2)如图1-1-6③,当∠BAC =∠MBN ≠90°时,请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系,不必证明.③②C【提示】由于在旋转过程中不变的关系是:∠BAC =∠MBN ,AB =AC ,BM =BN ,易知∠ABC =∠ACB =∠BMN =∠BNM .由∠ACB =∠BNM 可知A ,B ,N ,C 四个点在同一个圆上(如图1-1-7),则∠ANC =∠ABC =1902BAC -∠,这样思考,所有问题都会迎刃而解.跟踪训练在△ABC 中,BA =BC ,∠BAC =α,M 是AC 的中点,P 是线段BM 上的动点,将线段P A 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ . (1)若α=60°且点P 与点M 重合(如图1-1-8①),线段CQ 的延长线交射线BM 于点D ,请补全图形,并写出∠CDB 的度数;(2)在图1-1-8②中,点P 不与点B ,M 重合,线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示),并加以证明;(3)对于适当大小的α,当点P 在线段BM 上运动到某一位置(不与点B ,M 重合)时,能使得线段CQ 的延长线与射线BM 交于点D ,且PQ =QD ,请直接写出α的范围.①图1-1-8②DP BACMQQM (P )CB A例4如图1-1-9,点A与点B的坐标分别是(1,0),(5,0),点P是该直角坐标系内的一个动点.(1)使∠APB=30°的点P有个;(2)若点P在y轴上,且∠APB=30°,求满足条件的点P的坐标;(3)当点P在y轴上移动时,∠APB是否有最大值?若有,求点P的坐标,并说明此时∠APB最大的理由;若没有,也请说明理由.图1-1-9【提示】(1)已知点A、点B是定点,要使∠APB=30°,只需点P在过点A、点B的圆上,且弧AB所对的圆心角为60°即可,显然符合条件的点P有无数个.(2)结合(1)中的分析可知:当点P在y轴的正半轴上时,点P是(1)中的圆与y轴的交点,借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点P的坐标;当点P在y轴的负半轴上时,同理可求出符合条件的点P的坐标.(3)由三角形外角的性质可证得:在同圆或等圆中,同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角.要∠APB最大,只需构造过点A、点B且与y轴相切的圆,切点就是使得∠APB最大的点P,然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题.跟踪训练已知,如图1-1-10①,,∠MON=60°,点A,B为射线OM,ON上的动点(点A,B不与点O重合),且AB=43,在∠MON的内部,△AOB的外部有一点P,且AP=BP,∠APB=120°.(1)求AP的长;(2)求证:点P在∠MON的平分线上.(3)如图1-1-10②,点C,D,E,F分别是四边形AOBP的边AO,OB,BP,P A的中点,连接CD,DE,EF,FC,OP.若四边形CDEF的周长用t表示,请直接写出t的取值范围.图1-1-10例5已知,在矩形ABCD中,AB=a,BC=b,动点M从点A出发沿边AD向点D运动.(1)如图1,当b=2a,点M运动到边AD的中点时,请证明∠BMC=90°;(2)如图2,当b>2a时,点M在运动的过程中,是否存在∠BMC=90°,若存在,请给与证明;若不存在,请说明理由;(3)如图3,当b<2a时,(2)中的结论是否仍然成立?请说明理由.、① ②③图1-1-11【提示】本题除了建立方程模型,将问题转化为方程是否有解的判断外,还可以通过构造辅助圆,将问题转化为直线与圆的位置关系来讨论.跟踪训练1.如图1-1-12,直线y=﹣x+3与x,y轴分别交于点A,B,与反比例函数的图象交于点P(2,1).(1)求该反比例函数的关系式;(2)设PC⊥y轴于点C,点A关于y轴的对称点为A′;①求△A′BC的周长和sin∠BA′C的值;②对大于1的常数m,求x轴上的点M的坐标,使得sin∠BMC1m .图1-1-12【提示】(1)①由直线y=-x+3写出OA=3,OB=3;由等腰直角三角形的边长关系,可得AB2;由PC⊥y轴,可得QC=1,BC=2;由对称知A'B=AB2,OA'=0A=3,然后用勾股定理求出A'C的长,也就可以求出△A'BC的周长;(2)②如果选用上一题的思路求∠BMC的正弦值,会陷入计算的麻烦,这里采用转化的思想,找到外接圆的半径,另外还应分类讨论。
数学初三培优练习题推荐
数学初三培优练习题推荐数学作为一门严谨而重要的学科,对于初三学生来说尤为重要。
为了帮助初三学生提高数学水平,本文将推荐一些适合初三学生的培优练习题,以帮助他们巩固知识、拓宽思路,提高解题能力。
一、整式的计算与因式分解1. 计算整式表达式:(2x + 3)(x - 5) + (4x - 1)(3x + 2)这个练习题能够帮助学生熟悉整式的乘法运算和如何合并同类项,加深对整式相加的概念。
2. 因式分解:x^2 - 5x - 6这题目要求学生将给出的整式表达式进行因式分解,加深对因式分解的理解和掌握。
二、平面几何1. 三角形构造:已知三角形的两条边分别为6cm和8cm,夹角为60°,通过作图构造这个三角形并确定第三条边。
这个练习题可以帮助学生通过实际操作来深入理解三角形的构造过程,加深对三角形性质的认识。
2. 平行线的性质:已知l1 // l2,∠A = 70°,求∠X和∠Y。
通过利用平行线的性质,这个练习题能够帮助学生更好地理解平行线与角度之间的关系,提高对平行线性质的掌握能力。
三、数列与函数1. 等差数列:已知等差数列前两项为1和3,公差为2,求该等差数列的通项公式并计算第9项。
这个练习题可以帮助学生通过观察数列的规律来推导出通项公式,巩固对等差数列的理解。
2. 一次函数:已知一次函数y = 3x - 2,求其在x = 4处的函数值和该函数的图像与坐标轴的交点坐标。
这个练习题可以帮助学生更好地理解一次函数的性质,提高对一次函数图像与坐标轴的理解。
四、概率与统计1. 投掷骰子:投掷两枚骰子,求得到两颗骰子点数之和为7的概率。
通过计算概率,学生可以加深对概率的理解和运用。
2. 统计图的解读:已知某班级学生的身高数据,制作柱状图,根据图表回答相关问题,如身高的众数、中位数等。
通过解读统计图,学生可以培养对数据的分析和解读能力,加深对统计学知识的掌握。
通过以上的习题推荐,初三学生可以在各个数学知识点上进行有针对性的练习,巩固知识,提高解题能力。
九年级数学培优题含详细答案
九年级培优竞赛1.在如图的直角坐标系中,已知点A(2,0)、B(0,-4),将线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC .(1)求点C 的坐标;(2)若抛物线y =-14x 2+ax +4经过点C . ①求抛物线的解析式;②在抛物线上是否存在点P(点C 除外)使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形?若存在,求出所有点P 的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】C 的坐标为(3,﹣1);(2)①抛物线的解析式为y=﹣12x 2+12x+2; ②存在点P ,△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形,符合条件的点有P 1(﹣1,1),P 2(﹣2,﹣1)两点.【解析】试题分析:(1)过点C 作CD 垂直于x 轴,由线段AB 绕点A 按逆时针方向旋转90°至AC ,根据旋转的旋转得到AB=AC ,且∠BAC 为直角,可得∠OAB 与∠CAD 互余,由∠AOB 为直角,可得∠OAB 与∠ABO 互余,根据同角的余角相等可得一对角相等,再加上一对直角相等,利用ASA 可证明三角形ACD 与三角形AOB 全等,根据全等三角形的对应边相等可得AD=OB ,CD=OA ,由A 和B 的坐标及位置特点求出OA 及OB 的长,可得出OD 及CD 的长,根据C 在第四象限得出C 的坐标;(2)①由已知的抛物线经过点C ,把第一问求出C 的坐标代入抛物线解析式,列出关于a 的方程,求出方程的解得到a 的值,确定出抛物线的解析式;②假设存在点P 使△ABP 是以AB 为直角边的等腰直角三角形,分三种情况考虑:(i )A 为直角顶点,过A 作AP 1垂直于AB ,且AP 1=AB ,过P 1作P 1M 垂直于x 轴,如图所示,根据一对对顶角相等,一对直角相等,AB=AP 1,利用AAS 可证明三角形AP 1M 与三角形ACD 全等,得出AP 1与P 1M 的长,再由P 1为第二象限的点,得出此时P 1的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(ii )当B 为直角顶点,过B 作BP 2垂直于BA ,且BP 2=BA ,过P 2作P 2N 垂直于y 轴,如图所示,同理证明三角形BP 2N 与三角形AOB 全等,得出P 2N 与BN 的长,由P 2为第三象限的点,写出P 2的坐标,代入抛物线解析式中检验满足;(iii )当B 为直角顶点,过B 作BP 3垂直于BA ,且BP 3=BA ,如图所示,过P 3作P 3H 垂直于y 轴,同理可证明三角形P 3BH 全等于三角形AOB ,可得出P 3H 与BH 的长,由P 3为第四象限的点,写出P 3的坐标,代入抛物线解析式检验,不满足,综上,得到所有满足题意的P 的坐标. 试题解析:(1)过C 作CD ⊥x 轴,垂足为D ,∵BA⊥AC,∴∠OAB+∠CAD=90°,又∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,∴∠CAD=∠OBA,又AB=AC,∠AOB=∠ADC=90°,∴△AOB≌△CDA,又A(1,0),B(0,﹣2),∴OA=CD=1,OB=AD=2,∴OD=OA+AD=3,又C为第四象限的点,∴C的坐标为(3,﹣1);(2)①∵抛物线y=﹣12x2+ax+2经过点C,且C(3,﹣1),∴把C的坐标代入得:﹣1=﹣92+3a+2,解得:a=12,则抛物线的解析式为y=﹣12x2+12x+2;②存在点P,△ABP是以AB为直角边的等腰直角三角形,(i)若以AB为直角边,点A为直角顶点,则延长CA至点P1使得P1A=CA,得到等腰直角三角形ABP1,过点P1作P1M⊥x轴,如图所示,∵AP1=CA,∠MAP1=∠CAD,∠P1MA=∠CDA=90°,∴△AMP1≌△ADC,∴AM=AD=2,P1M=CD=1,∴P1(﹣1,1),经检验点P1在抛物线y=﹣12x2+12x+2上;(ii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP2⊥BA,且使得BP2=AB,得到等腰直角三角形ABP2,过点P2作P2N⊥y轴,如图,同理可证△BP2N≌△ABO,∴NP2=OB=2,BN=OA=1,∴P2(﹣2,﹣1),经检验P2(﹣2,﹣1)也在抛物线y=﹣12x2+12x+2上;(iii)若以AB为直角边,点B为直角顶点,则过点B作BP3⊥BA,且使得BP3=AB,得到等腰直角三角形ABP3,过点P3作P3H⊥y轴,如图,同理可证△BP3H≌△BAO,∴HP3=OB=2,BH=OA=1,∴P3(2,﹣3),经检验P3(2,﹣3)不在抛物线y=﹣12x2+12x+2上;则符合条件的点有P1(﹣1,1),P2(﹣2,﹣1)两点.考点:1.二次函数综合题2.点的坐标3.等腰直角三角形.2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,D为AB边的中点,点P为BC边上一点,把△PBD 沿PD翻拆,点B落在点E处,设PE交AC于F,连接CD(1)求证:△PCF的周长=2CD;(2)设DE交AC于G,若53PEEF=,CD=6,求FG的长【答案】(1)证明见解析;(2)FG的长为152 14.【解析】试题分析:.(1)连接CE,根据三角形的角边关系可以得到∠FCE=∠FEC,从而FC=FE,△PCF的周长=2CD;(2) 由.(1)结论CP+PF+CF=2CD,和PF5EF3=,CD=6,求出CF=EF=322,作GK⊥EF于点K,易得FG的长为152 14.试题解析:.(1)连接CE,∵CA=CB,D 为AB 中点,∴∠BCD=∠ACD=45°,由翻折可知∠B=∠DEP=45°,∴∠DCF=∠DEF=45°,CD=BD=DE ,∴∠DCE=∠DEC ,∴∠DCE-∠DCA=∠DEC-∠DEF ,即∠FCE=∠FEC ,∴FC=FE ,∴CF+PF=PE=BP ,∴,∴△PCF;(2)∴设PF=5x,EF=CF=3x ,在Rt △FCP 中,PF 2=CP 2+CF 2,∴CP=4x ,∵,∴作GK ⊥EF 于点K ,∵tan ∠GFE=tan ∠ 设GK=4a,FK=3a,EK=4a , G F D AB PC KFDAB PC∴EF=7a=322, a=3214, FG=5a=15214, ∴FG 的长为15214. 考点:三角形综合.3.如图,抛物线y=-x 2+4x+5交x 轴于A 、B (以A 左B 右)两点,交y 轴于点C.(1)求直线BC 的解析式;(2)点P 为抛物线第一象限函数图象上一点,设P 点的横坐标为m ,△PBC 的面积为S ,求S 与m 的函数关系式;(3)在(2)的条件下,连接AP ,抛物线上是否存在这样的点P ,使得线段PA 被BC 平分,如果不存在,请说明理由;如果存在,求点P 的坐标.【答案】(1) y=5x -+ (2) S=252522m m -+ (3)存在,P(2,9)或P(3,8) 【解析】试题分析:(1)令y=0,解关于x 的一元二次方程即可得到点A 、B 的坐标,再令x=0求出点C 的坐标,设直线BC 解析式为y=kx+b (k≠0),利用待定系数法求一次函数解析式解答;(2)过点P 作PH ⊥x 轴于H ,交BC 于F ,根据抛物线和直线BC 的解析式表示出PF ,再根据S △PBC =S △PCF +S △PBF 整理即可得解;(3)设AP 、BC 的交点为E ,过点E 作EG ⊥x 轴于G ,根据垂直于同一直线的两直线平行可得EG ∥PH ,然后判断出△AGE 和△AHP 相似,根据相似三角形对应边成比例可表示出EG 、HG ,然后表示出BG ,根据OB=OC 可得∠OCB=∠OBC=45°,再根据等角对等边可得EG=BG ,然后列出方程求出m 的值,再根据抛物线解析式求出点P 的纵坐标,即可得解.试题解析:(1)当y=0时,x 1=5,x 2=-1,∵A 左B 右,∴A(-1,0),B(5,O)当x=0时,y=5,∴C (0,5),设直线BC 解析式为y=kx+b,∴5005k b k b +=⎧⎨⨯+=⎩ ∴15k b =-⎧⎨=⎩∴直线BC 解析式为:y=5x -+;(2)作PH ⊥x 轴于H ,交BC 于点F ,P(m ,-m 2+4m+5),F(m,-m+5)PF=-m 2+5m ,S △PBC =S △PCF +S △PBF(3)存在点P ,作EG ⊥AB 于G,PH ⊥AB 于H ,∴EG ∥PH ,∴△AGE ∽△AHP ,∵P(m ,-m +4m+5),AH=m-(-1)=m+1,HB=5-m ,GB=152mm ++-,∵OC=OB=5,∴∠OCB=∠OBC=45°,∴EG=BG,∴2452m m-++=152mm++-,∴m1=2m2=3,当m=2时,P(2,9),当m=3时,P(3,8),∴存在这样的点P, 使得线段PA被BC平分,P(2,9)或P(3,8).考点:二次函数综合题.4.如图:在等腰△ABC中,AB=AC,AD上BC,垂足为D,以AD为直径作⊙0,⊙0分别交AB、AC于E、F.(1)求证:BE=CF;(2)设AD、EF相交于G,若EF=8,BC=10,求⊙0的半径.【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的半径为5.【解析】试题分析:(1)连接DE,DF,由AB=AC,且AD为BC边上的高,利用三线合一得到D为BC的中点,AD为顶角平分线,再由AD为圆O的直径,利用直角所对的角为直角得到一对直角相等,利用AAS得到三角形EBD与三角形FCD全等,由全等三角形的对应边相等得到BE=CF,得证;(2)由EB=CF,AB=AC,得出AE=AF,确定出AE:AB=AF:AC,且夹角相等,得到三角形AEF与三角形ABC相似,由相似三角形的对应边成比例得到AG:AD=8:10,设AG=8x,AD=10x,连接OE,在直角三角形OEG中,利用勾股定理列出关于x的方程,求出方程的解得到x的值,即可确定出圆O的半径.试题解析:(1)连接DE、DF,∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠B=∠C,BD=CD,∵AD为⊙O的直径,∴∠DEA=∠DFA=90°,∴△DBE≌△DCF,∴BE=CF;(2)∵BE=CF,∴AE=AF,AE AFAB AC=且∠BAC=∠BAC,∴△AEF∽△ABC,∴设AG=8x,AD=10x,连接EO,在Rt△OEG中,∴OE2=OG2+EG2,∴(5x)2=(3x)2+42,x=1,∴5x=5,∴⊙O的半径为5.考点:1.相似三角形的判定与性质,2.全等三角形的判定与性质,3.勾股定理,4.圆周角定理.5.正方形ABCD的顶点A在直线MN上,点O是对角线AC、BD的交点,过点O作OE⊥MN于点E,过点B作BF⊥MN于点F.(1)如图1,当O、B两点均在直线MN上方时,易证:AF+BF=2OE(不需证明)(2)当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时,线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系?请直接写出你的猜想,并选择一种情况给予证明.【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】思路分析:(1)过点B作BG⊥OE于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;(2)选择图2,过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G,可得四边形BGEF是矩形,根据矩形的对边相等可得EF=BG,BF=GE,根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB,∠AOB=90°,再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG,然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等,根据全等三角形对应边相等可得OG=AE,OE=BG,再根据AF-EF=AE,整理即可得证;选择图3同理可证.解:(1)证明:如图,过点B作BG⊥OE于G,则四边形BGEF是矩形,∴EF=BG,BF=GE,在正方形ABCD中,OA=OB,∠AOB=90°,∵BG⊥OE,∴∠OBG+∠BOE=90°,又∵∠AOE+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠OBG ,∵在△AOE 和△OBG 中,,∴△AOE ≌△OBG (AAS ),∴OG=AE ,OE=BG ,∵AF-EF=AE ,EF=BG=OE ,AE=OG=OE-GE=OE-BF ,∴AF-OE=OE-BF ,∴AF+BF=2OE ;(2)图2结论:AF-BF=2OE ,图3结论:AF-BF=2OE .对图2证明:过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ,则四边形BGEF 是矩形,∴EF=BG ,BF=GE ,在正方形ABCD 中,OA=OB ,∠AOB=90°,∵BG ⊥OE ,∴∠OBG+∠BOE=90°,又∵∠AOE+∠BOE=90°,∴∠AOE=∠OBG ,∵在△AOE 和△OBG 中,,∴△AOE ≌△OBG (AAS ),∴OG=AE ,OE=BG ,∵AF-EF=AE ,EF=BG=OE ,AE=OG=OE+GE=OE+BF ,∴AF-OE=OE+BF ,∴AF-BF=2OE ;若选图3,其证明方法同上.点评:本题考查了正方形的性质,矩形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,同角的余角相等的性质,作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键,也是本题的难点.6.如图,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点A 的坐标为(0,4),点B 的坐标为(4,0),点C 的坐标为(-4,0),点P 在射线AB 上运动,连结CP 与y 轴交于点D ,连结BD .过P ,D ,B 三点作⊙Q 与y 轴的另一个交点为E ,延长DQ 交⊙Q 于点F ,连结EF ,BF .90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩(1)求直线AB的函数解析式;(2)当点P在线段AB(不包括A,B两点)上时.①求证:∠BDE=∠ADP;②设DE=x,DF=y.请求出y关于x的函数解析式;(3)请你探究:点P在运动过程中,是否存在以B,D,F为顶点的直角三角形,满足两条直角边之比为2:1?如果存在,求出此时点P的坐标:如果不存在,请说明理由.【答案】(1)y=-x+4 (2)①见解析x (3)存在,点P的坐标为(2,2)或(8,-4)【解析】解:(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+4,代入(4,0)得:4k+4=0,解得:k=-1,则直线AB的函数解析式为y=-x+4;(2)①由已知得:OB=OC,∠BOD=∠COD=90°,又∵OD=OD,∴△BDO≌△COD,∴∠BDO=∠CDO,∵∠CDO=∠ADP,∴∠BDE=∠ADP,②如图,连结PE,∵∠ADP是△DPE的一个外角,∴∠ADP=∠DEP+∠DPE,∵∠BDE是△ABD的一个外角,∴∠BDE=∠ABD+∠OAB,∵∠ADP=∠BDE,∠DEP=∠ABD,∴∠DPE=∠OAB,∵OA=OB=4,∠AOB=90°,∴∠OAB=45°,∴∠DPE=45°,∴∠DFE=∠DPE=45°,第11页,总68页∵DF 是⊙Q 的直径, ∴∠DEF=90°,∴△DEF 是等腰直角三角形, ∴DE ,即x ; (3)当BD :BF=2:1时,如图,过点F 作FH ⊥OB 于点H ,∵∠DBO+∠OBF=90°,∠OBF+∠BFH=90°, ∴∠DBO=∠BFH ,又∵∠DOB=∠BHF=90°, ∴△BOD ∽△FHB , ∴=2, ∴FH=2,OD=2BH ,∵∠FHO=∠EOH=∠OEF=90°, ∴四边形OEFH 是矩形, ∴OE=FH=2, ∴EF=OH=4-OD , ∵DE=EF , ∴2+OD=4-OD , 解得:OD=,∴点D 的坐标为(0,), ∴直线CD 的解析式为y=x+, 由,得:, 则点P 的坐标为(2,2); 当时, 连结EB ,同(2)①可得:∠ADB=∠EDP ,OB OD BDHF HB FB==12124343134314334y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩22x y =⎧⎨=⎩12BD BF =试卷第12页,总68页而∠ADB=∠DEB+∠DBE ,∠EDP=∠DAP+∠DPA , ∵∠DEP=∠DPA ,∴∠DBE=∠DAP=45°,∴△DEF 是等腰直角三角形, 如图,过点F 作FG ⊥OB 于点G ,同理可得:△BOD ∽△FGB , ∴, ∴FG=8,OD=BG , ∵∠FGO=∠GOE=∠OEF=90°, ∴四边形OEFG 是矩形, ∴OE=FG=8, ∴EF=OG=4+2OD , ∵DE=EF ,∴8-OD=4+2OD , OD=, ∴点D 的坐标为(0,-), 直线CD 的解析式为:, 由,得:, ∴点P 的坐标为(8,-4),综上所述,点P 的坐标为(2,2)或(8,-4).7.如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,AC=6cm ,BC=8cm .点D 、E 、F 分别是边AB ,BC ,AC 的中点,连接DE ,DF ,动点P ,Q 分别从点A 、B 同时出发,运动速度均为1cm/s ,点P 沿AFD 的方向运动到点D 停止;点Q 沿BC 的方向运动,当点P 停止运动时,点Q 也停止运动.在运动过程中,过点Q 作BC 的垂线交AB 于点M ,以点P ,M ,Q 为顶点作12OB OD BD GF GB FB ===1243431433y x =--14334y x y x ⎧=--⎪⎨⎪=-+⎩84x y =⎧⎨=-⎩第13页,总68页平行四边形PMQN .设平行四边形边形PMQN 与矩形FDEC 重叠部分的面积为y (cm 2)(这里规定线段是面积为0有几何图形),点P 运动的时间为x (s )(1)当点P 运动到点F 时,CQ= cm ;(2)在点P 从点F 运动到点D 的过程中,某一时刻,点P 落在MQ 上,求此时BQ 的长度;(3)当点P 在线段FD 上运动时,求y 与x 之间的函数关系式. 【答案】(1)5 (2)(cm ) (3)当3≤x<4时,y=-x 2+x 当4≤x<时,y=-6x+33 当≤x≤7时,y=6x-33 【解析】 解:(1)当点P 运动到点F 时, ∵F 为AC 的中点,AC=6cm , ∴AF=FC=3cm ,∵P 和Q 的运动速度都是1cm/s , ∴BQ=AF=3cm ,∴CQ=8cm-3cm=5cm , 故答案为:5.(2)设在点P 从点F 运动到点D 的过程中,点P 落在MQ 上,如图1,则t+t-3=8, t=, 11234214112112112试卷第14页,总68页BQ 的长度为×1=(cm ); (3)∵D 、E 、F 分别是AB 、BC 、AC 的中点, ∴DE=AC=×6=3, DF=BC=×8=4, ∵MQ ⊥BC ,∴∠BQM=∠C=90°, ∵∠QBM=∠CBA , ∴△MBQ ∽△ABC , ∴, ∴, MQ=x , 分为三种情况:①当3≤x<4时,重叠部分图形为平行四边形,如图2,y=PN•PD =x (7-x ) 即y=-x 2+x ; ②当4≤x<时,重叠部分为矩形,如图3, 11211212121212BQ MQBC AC =86x MQ =343434214112第15页,总68页y=3[(8-X )-(X-3))] 即y=-6x+33; ③当≤x≤7时,重叠部分图形为矩形,如图4,y=3[(x-3)-(8-x )] 即y=6x-33.8.已知:如图①,在平行四边形ABCD 中,AB=12,BC=6,AD ⊥BD .以AD 为斜边在平行四边形ABCD 的内部作Rt △AED ,∠EAD=30°,∠AED=90°.(1)求△AED 的周长;(2)若△AED 以每秒2个单位长度的速度沿DC 向右平行移动,得到△A 0E 0D 0,当A 0D 0与BC 重合时停止移动,设运动时间为t 秒,△A 0E 0D 0与△BDC 重叠的面积为S ,请直接写出S 与t 之间的函数关系式,并写出t 的取值范围;(3)如图②,在(2)中,当△AED 停止移动后得到△BEC ,将△BEC 绕点C 按顺时针方向旋转α(0°<α<180°),在旋转过程中,B 的对应点为B 1,E 的对应点为E 1,设直线B 1E 1与直线BE 交于点P 、与直线CB 交于点Q .是否存在这样的α,使△BPQ 为等腰三角形?若存在,求出α的度数;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)(2)S 与t 之间的函数关系式为:112试卷第16页,总68页S= (3)存在,α=75°【解析】 解:(1)∵四边形ABCD 是平行四边形, ∴AD=BC=6.在Rt △ADE 中,AD=6,∠EAD=30°,∴AE=AD•cos30°=3,DE=AD•sin30°=3, ∴△AED 的周长为:6+3+3=9+3.(2)在△AED 向右平移的过程中:(I )当0≤t≤1.5时,如答图1所示,此时重叠部分为△D 0NK .∵DD 0=2t ,∴ND 0=DD 0•sin30°=t,NK=ND 0•tan30°=t ,∴S=S △D0NK =ND 0•NK=t•t=t 2;(II )当1.5<t≤4.5时,如答图2所示,此时重叠部分为四边形D 0E 0KN .∵AA 0=2t ,∴A 0B=AB-AA 0=12-2t , ∴A 0N=A 0B=6-t ,NK=A 06-t ).∴S=S 四边形D0E0KN =S △ADE -S △A0NK =×(6-t )×(6-t )=-t 2;(III )当4.5<t≤6时,如答图3所示,此时重叠部分为五边形D 0IJKN .222(0 1.5) 4.5)--6)6t S t t ≤≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩333312123321231231233363332第17页,总68页∵AA 0=2t ,∴A 0B=AB-AA 0=12-2t=D 0C , ∴A 0N=A 0B=6-t ,D 0N=6-(6-t )=t ,BN=A 0B•cos30°=(6-t ); 易知CI=BJ=A 0B=D 0C=12-2t ,∴BI=BC-CI=2t-6, S=S 梯形BND0I -S △BKJ =[t+(2t-6)]• (6-t )-•(12-2t )•(12-2t )=-t 2+20t-42.综上所述,S 与t 之间的函数关系式为:S=. (3)存在α,使△BPQ 为等腰三角形.理由如下:经探究,得△BPQ ∽△B 1QC ,故当△BPQ 为等腰三角形时,△B 1QC 也为等腰三角形. (I )当QB=QP 时(如答图4),则QB 1=QC ,∴∠B 1CQ=∠B 1=30°, 即∠BCB 1=30°, ∴α=30°;(II )当BQ=BP 时,则B 1Q=B 1C ,若点Q 在线段B 1E 1的延长线上时(如答图5),∵∠B 1=30°,∴∠B 1CQ=∠B 1QC=75°,12312312331336332223(0 1.5)2333-23-(1.5 4.5)62133-203-423(4.56)6t t S t t t t t t ⎧≤≤⎪⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪⎪+<≤⎪⎪⎩试卷第18页,总68页即∠BCB 1=75°, ∴α=75°.9.如图1,已知直线y=x+3与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,抛物线y=-x 2+bx+c 经过A 、B 两点,与x 轴交于另一个点C ,对称轴与直线AB 交于点E ,抛物线顶点为D .(1)求抛物线的解析式;(2)在第三象限内,F 为抛物线上一点,以A 、E 、F 为顶点的三角形面积为3,求点F 的坐标;(3)点P 从点D 出发,沿对称轴向下以每秒1个单位长度的速度匀速运动,设运动的时间为t 秒,当t 为何值时,以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形?直接写出所有符合条件的t 值.【答案】(1)y=-x 2-2x+3;(2)(3212--,3212--) (3)当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时,以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形 【解析】 试题分析:(1)先由直线AB 的解析式为y=x+3,求出它与x 轴的交点A 、与y 轴的交点B 的坐标,再将A 、B 两点的坐标代入y=-x 2+bx+c ,运用待定系数法即可求出抛物线的解析式;(2)设第三象限内的点F 的坐标为(m ,-m 2-2m+3),运用配方法求出抛物线的对称轴及顶点D 的坐标,再设抛物线的对称轴与x 轴交于点G ,连接FG ,根据S △AEF =S △AEG +S △AFG -S △EFG =3,列出关于m 的方程,解方程求出m 的值,进而得出点F 的坐标;(3)设P 点坐标为(-1,n ).先由B 、C 两点坐标,运用勾股定理求出BC 2=10,再分三种情况进行讨论:①∠PBC=90°,先由勾股定理得出PB 2+BC 2=PC 2,据此列出关于n 的方程,求出n 的值,再计算出PD 的长度,然后根据时间=路程÷速度,即可求出此时对应的t 值;②∠BPC=90°,同①可求出对应的t 值;③∠BCP=90°,同①可求出对应的t 值.试题解析:(1)∵y=x+3与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B , ∴当y=0时,x=-3,即A 点坐标为(-3,0), 当x=0时,y=3,即B 点坐标为(0,3),将A (-3,0),B (0,3)代入y=-x 2+bx+c ,得930c 3b c --+==⎧⎨⎩, 解得23b c =-⎧⎨=⎩, ∴抛物线的解析式为y=-x 2-2x+3; (2)如图1,设第三象限内的点F的坐标为(m,-m2-2m+3),则m<0,-m2-2m+3<0.∵y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,∴对称轴为直线x=-1,顶点D的坐标为(-1,4),设抛物线的对称轴与x轴交于点G,连接FG,则G(-1,0),AG=2.∵直线AB的解析式为y=x+3,∴当x=-1时,y=-1+3=2,∴E点坐标为(-1,2).∵S△AEF=S △AEG+S△AFG-S△EFG=12×2×2+12×2×(m2+2m-3)-12×2×(-1-m)=m2+3m,∴以A、E、F为顶点的三角形面积为3时,m2+3m=3,解得:1321 2m--=,23212m-+=(舍去),当3212m--=时,-m2-2m+3=-m2-3m+m+3=-3+m+3=m=3212--,∴点F的坐标为(3212--,3212--);(3)设P点坐标为(-1,n).∵B(0,3),C(1,0),∴BC2=12+32=10.分三种情况:①如图2,如果∠PBC=90°,那么PB2+BC2=PC2,即(0+1)2+(n-3)2+10=(1+1)2+(n-0)2,第19页,总68页化简整理得6n=16,解得n=83,∴P点坐标为(-1,83),∵顶点D的坐标为(-1,4),∴PD=4-83=43,∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t1=43;②如图3,如果∠BPC=90°,那么PB2+PC2=BC2,即(0+1)2+(n-3)2+(1+1)2+(n-0)2=10,化简整理得n2-3n+2=0,解得n=2或1,∴P点坐标为(-1,2)或(-1,1),∵顶点D的坐标为(-1,4),∴PD=4-2=2或PD=4-1=3,∵点P的速度为每秒1个单位长度,∴t2=2,t3=3;③如图4,如果∠BCP=90°,那么BC2+PC2=PB2,即10+(1+1)2+(n-0)2=(0+1)2+(n-3)2,化简整理得6n=-4,解得n=-23,∴P点坐标为(-1,-23),试卷第20页,总68页第21页,总68页 ∵顶点D 的坐标为(-1,4), ∴PD=4+23=143, ∵点P 的速度为每秒1个单位长度,∴t 4=143; 综上可知,当t 为43秒或2秒或3秒或143秒时,以P 、B 、C 为顶点的三角形是直角三角形.考点: 二次函数综合题.10.如图,在正方形ABCD 中,2AB =,点P 是边BC 上的任意一点,E 是BC 延长线上一点,联结AP ,作PF AP ⊥交DCE ∠的平分线CF 上一点F ,联结AF 交边CD 于点G .(1)求证:AP PF =;(2)设点P 到点B 的距离为x ,线段DG 的长为y ,试求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围;(3)当点P 是线段BC 延长线上一动点,那么(2)式中y 与x 的函数关系式保持不变吗?如改变,试直接写出函数关系式.【答案】(1)证明见解析;(2)()42022x y x x -=≤≤+;(3)改变,()24>22x y x x -=+. 【解析】试题分析:(1)欲证AP PF =利用原图无法证明,需构建三角形且使之全等,因此在边AB 上截取线段AH ,使AH PC =,连接PH ,证明AHP ∆与PCF ∆全等即可.(2)由APM ∆∽GAN ∆列式化简即可得.(3)在AD 延长线上取点N ,令ND DG =,∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===+ .同理,2,2PM x AM x ==- ,∵45,45APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒+∠=∠∠=∠=︒ ,∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =,即2222x y yx -=+. 整理,得()24>22x y x x -=+.试卷第22页,总68页 试题解析:(1)在边AB 上截取线段AH ,使AH PC =,连接PH ,由正方形ABCD ,得90B BCD D AB BC AD ∠=∠=∠=︒==,,∵90APF ∠=︒,∴APF B ∠=∠.∵APC B BAP APF FPC ∠=∠+∠=∠+∠,∴PAH FPC ∠=∠.又∵90BCD DCE ∠=∠=︒,CF 平分DCE ∠,∴45FCE ∠=︒.∴135PCF ∠=︒. 又∵AB BC AH PC ==,,∴BH BP =,即得45BPH BHP ∠=∠=︒.∴135AHP ∠=︒,即得AHP PCF ∠=∠.在AHP ∆和PCF ∆中,PAH FPC AH PC AHP PCF ∠=∠=∠=∠,,,∴AHP ∆≌PCF ∆,∴AP PF =.(2)在AD 上取点N ,令ND DG =,∴NDG ∆是等腰直角三角形.∴22,2NG DG y AN y ===- .同理,2,2PM x AM x ==- ,∵45,135APM PAM NAG PMA ANG ∠=︒-∠=∠∠=∠=︒ ,∴APM ∆∽GAN ∆.∴AM NG PM AN =,即2222x y y x-=-. 整理,得()42022x y x x -=≤≤+. (3)改变,()24>22x y x x -=+. 考点:1.正方形的性质;2. 等腰直角三角形的判定和性质;3.全等三角形的判定与性质;4.由实际问题列函数关系式.11.如图,已知直线y =-2x +4与x 轴、y 轴分别相交于A 、C 两点,抛物线y=-2x 2+bx+c(a ≠0)经过点A 、C.(1)求抛物线的解析式;(2)设抛物线的顶点为P,在抛物线上存在点Q,使△ABQ的面积等于△APC面积的4倍.求出点Q的坐标;(3)点M是直线y=-2x+4上的动点,过点M作ME垂直x轴于点E,在y轴(原点除外)上是否存在点F,使△MEF为等腰直角三角形? 若存在,求出点F的坐标及对应的点M的坐标;若不存在,请说明理由.【答案】(1)y=-2x2+2x+4;(2)Q(0,4)或(1,4)-4)或-4);(3)存在,点F坐标为(0M,点F坐标为(0,-4)时,点M的坐标为(4,-4);点F坐标为(0,1),点M的坐标为(1,2).【解析】试题分析:1)根据直线y=-2x+4求出点A、C的坐标,再利用待定系数法求二次函数解析式解答即可;(2)根据抛物线解析式求出点P的坐标,过点P作PD⊥y轴于D,根据点P、C的坐标求出PD、CD,然后根据S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD,列式求出△APC的面积,再根据抛物线解析式求出点B的坐标,从而得到AB的长度,然后利用三角形的面积公式求出△ABQ 的点Q的纵坐标的值,然后代入抛物线求解即可得到点Q的坐标;(3)根据点E在x轴上,根据点M在直线y=-2x+4上,设点M的坐标为(a,-2a+4),然后分①∠EMF=90°时,利用点M到坐标轴的距离相等列式求解即可;②∠MFE=90°时,根据等腰直角三角形的性质,点M的横坐标的长度等于纵坐标长度的一半,然后列式进行计算即可得解.试题解析:(1)令x=0,则y=4,令y=0,则-2x+4=0,解得x=2,所以,点A(2,0),C(0,4),∵抛物线y=-2x2+bx+c经过点A、C,∴24204b cc-⨯++=⎧⎨⎩=,解得24bc=⎧⎨=⎩,∴抛物线的解析式为:y=-2x2+2x+4;(2)∵y=-2x2+2x+4=-2(2第23页,总68页∴点P的坐标为(12,92),如图,过点P作PD⊥y轴于D,又∵C(0,4),∴PD=12,CD=91422-=,∴S△APC=S梯形APDO-S△AOC-S△PCD,=12×(12+2)×92-12×2×4-12×12×12=4514 88--=32,令y=0,则-2x2+2x+4=0,解得x1=-1,x2=2,∴点B的坐标为(-1,0),∴AB=2-(-1)=3,设△ABQ的边AB上的高为h,∵△ABQ的面积等于△APC面积的4倍,∴12×3h=4×32,解得h=4,∵4<92,∴点Q可以在x轴的上方也可以在x轴的下方,即点Q的纵坐标为4或-4,当点Q的纵坐标为4时,-2x2+2x+4=4,解得x1=0,x2=1,此时,点Q的坐标为(0,4)或(1,4),当点Q的纵坐标为-4时,-2x2+2x+4=-4,解得x1=1172+,x2=1172-,试卷第24页,总68页此时点Q的坐标为(1172+,-4)或(1172-,-4)综上所述,存在点Q(0,4)或(1,4)或(1172+,-4)或(1172-,-4);(3)存在.理由如下:如图,∵点M在直线y=-2x+4上,∴设点M的坐标为(a,-2a+4),①∠EMF=90°时,∵△MEF是等腰直角三角形,∴|a|=|-2a+4|,即a=-2a+4或a=-(-2a+4),解得a=43或a=4,∴点F坐标为(0,43)时,点M的坐标为(43,43),点F坐标为(0,-4)时,点M的坐标为(4,-4);②∠MFE=90°时,∵△MEF是等腰直角三角形,∴|a|=12|-2a+4|,即a=12(-2a+4),解得a=1,-2a+4=2×1=2,此时,点F坐标为(0,1),点M的坐标为(1,2),或a=12-(-2a+4),此时无解,综上所述,点F坐标为(0,43)时,点M的坐标为(43,43),点F坐标为(0,-4)时,点M的坐标为(4,-4);点F坐标为(0,1),点M的坐标为(1,2).考点: 二次函数综合题.12.已知:在梯形ABCD中,CD∥AB,AD=DC=BC=2,AB=4.点M从A开始,以每秒1个第25页,总68页试卷第26页,总68页单位的速度向点B 运动;点N 从点C 出发,沿C →D →A 方向,以每秒1个单位的速度向点A 运动,若M 、N 同时出发,其中一点到达终点时,另一个点也停止运动.运动时间为t 秒,过点N 作NQ ⊥CD 交AC 于点Q . (1)设△AMQ 的面积为S ,求S 与t 的函数关系式,并写出t 的取值范围.(2)在梯形ABCD 的对称轴上是否存在点P ,使△PAD 为直角三角形?若存在,求点P 到AB 的距离;若不存在,说明理由.(3)在点M 、N 运动过程中,是否存在t 值,使△AMQ 为等腰三角形?若存在,求出t 值;若不存在,说明理由.【答案】(1)233=-62S t t +(0<t ≤2),233=-123S t t +(2≤t <4);(2)233;(3)t=65,12-63,2. 【解析】试题分析:(1)求出t 的临界点t=2,分别求出当0<t ≤2时和2≤t <4时,S 与t 的函数关系式即可,(2)作梯形对称轴交CD 于K ,交AB 于L ,分3种情况进行讨论,①取AD 的中点G ,②以D 为直角顶点,③以A 为直角顶点,(3)当0<t ≤2时,若△AMQ 为等腰三角形,则MA=MQ 或者AQ=AM ,分别求出t 的值,然后判断t 是否符合题意.试题解析:(1)当0<t ≤2时,如图:过点Q 作QF ⊥AB 于F ,过点C 作CE ⊥AB 于E ,∵AB ∥CD ,∴QF ⊥CD ,∵NQ ⊥CD ,∴N ,Q ,F 共线,∴△CQN ∽△AFQ ,∴ CN NQ AF QF=, ∵CN=t ,AF=AE-CN=3-t ,∵NF=3,∴QF=33t 3-,第27页,总68页 13(323t - 23362t + 当2≤t <4时,如图:△FQC ∽△PQA ,∵DN=t-2,∴FD=DN •cos ∠FDN=DN •t-2), ∴t-2) ∴FQ=FC •tan ∠FCQ=FC •tan30°=t+2), ∴ 13[326t -23=-123t + (2)作梯形对称轴交CD 于K ,交AB 于L ,情况一:取AD 的中点G ,GD=1,过G 作GH ⊥对称轴于H ,GH=1.5,∵1.5>1,∴以P 为直角顶点的Rt △PAD 不存在,情况二:以D 为直角顶点:KP1 ∴P 1情况三:以A 为直角顶点,LP 2综上:P 到AB PAD 为Rt △, (3)0<t ≤2时, 若MA=MQ ,∴试卷第28页,总68页若AQ=AM ,则t=23233t -, 解得t=12-63, 若QA=QM ,则∠QMA=30°而0<t ≤2时,∠QMA >90°,∴QA=QM 不存在;2≤t <4(图中)若QA=QM ,AP :AD=3:2,∴t=2,若AQ=AM ,23-33(t+2)=t , ∴t=23-2,∵23-2<2,∴此情况不存在若MA=MQ ,则∠AQM=30°,而∠AQM >60°不存在.综上:t=65,12-63,2时,△AMQ 是等腰三角形. 考点: 1.等腰梯形的性质;2.等腰三角形的判定;3.直角三角形的性质. 13.如图,在平面直角坐标系中,二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点, A 点在原点的左侧,B 点的坐标为(3,0),与y 轴交于C (0,3-)点,点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)连结PO 、PC ,并把△POC 沿CO 翻折,得到四边形POP’C,那么是否存在点P ,使四边形POP’C 为菱形?若存在,请求出此时点P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)当点P 运动到什么位置时,四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】(1)y=x 2﹣2x ﹣3;(2)存在,(2102+,32-);(3)(32,-154),758. 【解析】试题分析:(1)将B 、C 的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值;第29页,总68页(2)由于菱形的对角线互相垂直平分,若四边形POP′C 为菱形,那么P 点必在OC 的垂直平分线上,据此可求出P 点的纵坐标,代入抛物线的解析式中即可求出P 点的坐标;(3) 由于△ABC 的面积为定值,当四边形ABPC 的面积最大时,△BPC 的面积最大;过P 作y 轴的平行线,交直线BC 于Q ,交x 轴于F ,易求得直线BC 的解析 式,可设出P 点的横坐标,然后根据抛物线和直线BC 的解析式求出Q 、P 的纵坐标,即可得到PQ 的长,以PQ 为底,B 点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC 的面积,由此可得到关于四边形ACPB 的面积与P 点横坐标的函数关系式,根据函数的性质即可求出四边形ABPC 的最大面积及对应的P 点坐标.试题解析:(1)将B 、C 两点的坐标代入得 9303b c c ++=-⎧⎨⎩=解得:23b c =-⎧⎨=-⎩; 所以二次函数的表达式为:y=x 2﹣2x ﹣3.(2)存在点P ,使四边形POPC 为菱形;设P 点坐标为(x ,x 2﹣2x ﹣3),PP′交CO 于E若四边形POP′C 是菱形,则有PC=PO ;连接PP′,则PE ⊥CO 于E ,∴OE=EC=32∴y=32-; ∴x 2﹣2x ﹣3=32- 解得:12102x +=,22102x -=(不合题意,舍去) ∴P 点的坐标为(2102+,32-) (3)过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ,与OB 交于点F ,设P (x ,x 2﹣2x ﹣3),易得,直线BC 的解析式为y=x ﹣3则Q 点的坐标为(x ,x ﹣3);S 四边形ABPC=S △ABC+S △BPQ+S △CPQ=12AB•OC+12QP•OF+12QP•BF 21143(3)322x x =⨯⨯+-+⨯试卷第30页,总68页 23375()228x =--+ 当32x =时,四边形ABPC 的面积最大 此时P 点坐标为(32,-154)四边形ABPC 的面积的最大值为758. 考点: 二次函数综合题.14.如图,直角坐标系中Rt △ABO ,其顶点为A(0, 1)、B(2, 0)、O(0, 0),将此三角板绕原点O 逆时针旋转90°,得到Rt △A ′B ′O .(1)一抛物线经过点A ′、B ′、B ,求该抛物线的解析式;(2)设点P 是在第一象限内抛物线上的一动点,是否存在点P ,使四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积4倍?若存在,请求出P 的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在(2)的条件下,试指出四边形PB′A′B 是哪种形状的四边形?并写出四边形PB′A′B 的两条性质.【答案】(1)y=-x 2+x+2;(2)P (1,2);(4)四边形PB′A′B 为等腰梯形,答案不唯一,①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等.【解析】试题分析:(1)利用旋转的性质得出A ′(-1,0),B ′(0,2),再利用待定系数法求二次函数解析式即可;(2)利用S 四边形PB′A′B =S △B′OA′+S △PB′O +S △POB ,再假设四边形PB′A′B 的面积是△A′B′O 面积的4倍,得出一元二次方程,得出P 点坐标即可;(3)利用P 点坐标以及B 点坐标即可得出四边形PB′A′B 为等腰梯形,利用等腰梯形性质得出答案即可.试题解析:(1)(1)△A′B′O 是由△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得到的, 又A (0,1),B (2,0),O (0,0),∴A′(-1,0),B′(0,2)设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c (a≠0),∵抛物线经过点A′、B′、B ,∴0=2=c 042a b c a b c ⎧-+=++⎪⎨⎪⎩,解得:112a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴满足条件的抛物线的解析式为y=-x 2+x+2.(2)∵P 为第一象限内抛物线上的一动点,设P(x,y),则x>0,y>0,P点坐标满足y=-x2+x+2.连接PB,PO,PB′,∴S四边形PB′A′B=S△B′OA′+S△PB′O+S△POB,12×1×2+1212-x2+x+2)+1=-x2+2x+3.∵A′O=1,B′O=2,∴△A′B′O面积为:12×1×2=1,假设四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍,则4=-x2+2x+3,即x2-2x+1=0,解得:x1=x2=1,此时y=-12+1+2=2,即P(1,2).∴存在点P(1,2),使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积的4倍.(3)四边形PB′A′B为等腰梯形,答案不唯一,①等腰梯形同一底上的两个内角相等;②等腰梯形对角线相等;③等腰梯形上底与下底平行;④等腰梯形两腰相等.考点: 二次函数综合题.15.已知在平面直角坐标系xoy中,二次函数y=-2x²+bx+c的图像经过点A(-3,0)和点B(0,6)。
九年级数学下册2023年中考专题培优训练:不等式与不等式组【含答案】
九年级数学下册2023年中考专题培优训练:不等式与不等式组一、单选题1.下列说法不正确的是( )A .不等式的解集是B .不等式的整数解有无数个32x ->5x >3x <C .不等式的整数解是0D .是不等式的一个解33x +<0x =23x <2.已知,则下列结论成立的是( )x y <A .B .C .D .77x y ->-55x y ->-2121x y +>+22x y >3.一元一次不等式x+1>2的解在数轴上表示为( )A .B .C .D .4.关于 的不等式 的非负整数解共有( )个x 1230x ->A .3B .4C .5D .65.若关于x 的不等式2x+a≤0只有两个正整数解,则a 的取值范围是( )A .﹣6≤a≤﹣4B .﹣6<a≤﹣4C .﹣6≤a <﹣4D .﹣6<a <﹣46.若a <b ,则下列各式正确的是( )A .3a >3bB .﹣3a >﹣3bC .a﹣3>b﹣3D .33a b >7.如图表示的是关于 的不等式 ≤ 的解集,则 的取值是( )x 2x a --1a A . ≤-1B . ≤-2C . =-1D . =-2a a a a 8.甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃,乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃,将这两种蔬菜放在一起同时保鲜,适宜的温度是( )A .1℃~3℃B .3℃~5℃C .5℃~8℃D .1℃~8℃9.不等式组 的解集在数轴上表示为( )21112x x -≤⎧⎨+>-⎩A .B .C.D.10.若 是关于x 的不等式 的一个解,则a 的取值范围是( )3x =2()x x a >-A .B .C .D .32a <32a >32a ≤32a ≥11.关于x 的一元一次不等式3x>6的解都能满足下列哪一个不等式的解( )A .4x-9<xB .-3x+2<0C .2x+4<0D .122x <12.老张从一个鱼摊上买了三条鱼,平均每条a 元,又从另一个鱼摊上买了两条鱼,平均每条b 元,后来他又以每条 元的价格把鱼全部卖给了乙,结果发现赔了钱,原因是( )2a b+A .a >b B .a <bC .a =bD .与a 和b 的大小无关二、填空题13.不等式组 的解集为 .23x x >-⎧⎨≤⎩14.若不等式(a+1)x >a+1的解集是x <1,则a 的取值范围是 .15.a >b ,且c 为实数,则ac 2 bc 2.(用数学符号填空)16.不等式3x﹣2≥4(x﹣1)的所有非负整数解的和为 .17.对于任意实数m 、n ,定义一种运运算m ※n=mn﹣m﹣n+3,等式的右边是通常的加减和乘法运算,例如:3※5=3×5﹣3﹣5+3=10.请根据上述定义解决问题:若a <2※x <7,且解集中有两个整数解,则a 的取值范围是 三、解答题18.解不等式组 ,并求它的整数解.64325213x x x x +≥-⎧⎪+⎨->-⎪⎩19.今年中考期间,我县部分乡镇学校的九年级考生选择在一中、二中的学生宿舍住宿,某学校将若干间宿舍分配给该校九年级一班的女生住宿,已知该班女生少于25人,若每个房间住4人,则剩下3人没处住;若每个房间住6人,则空一间房,并且还有一间房有人住但住不满。
初三数学培优试题及答案
初三数学培优试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是无理数?A. 0.5B. √2C. 0.33333...D. 1/3答案:B2. 一个数的相反数是-5,这个数是:A. 5B. -5C. 0D. 1/5答案:A3. 以下哪个选项是等腰三角形?A. 三边长分别为3, 4, 5B. 三边长分别为2, 2, 3C. 三边长分别为1, 1, 2D. 三边长分别为4, 5, 6答案:B4. 一个二次函数y=ax²+bx+c的图像开口向上,且顶点在x轴上,以下哪个条件一定成立?A. a>0, b²-4ac=0B. a<0, b²-4ac=0C. a>0, b²-4ac>0D. a<0, b²-4ac>0答案:A5. 一个圆的半径为3,圆心到直线的距离为2,那么直线和圆的位置关系是:A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定答案:C6. 一个多项式f(x)=x³-6x²+11x-6,以下哪个是它的因式?A. x-1B. x-2C. x-3D. x+1答案:B7. 以下哪个是锐角三角形?A. 三角形的三个内角分别为30°, 60°, 90°B. 三角形的三个内角分别为45°, 45°, 90°C. 三角形的三个内角分别为20°, 70°, 90°D. 三角形的三个内角分别为50°, 60°, 70°答案:D8. 一个等差数列的首项为2,公差为3,第10项是:A. 29B. 28C. 27D. 26答案:A9. 一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4,斜边长为:A. 5B. 6C. 7D. 8答案:A10. 以下哪个是正五边形的内角?A. 108°B. 120°C. 135°D. 150°答案:B二、填空题(每题4分,共20分)11. 一个数的绝对值是5,这个数可以是________。
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案
九年级数学锐角三角函数的专项培优练习题含答案一、锐角三角函数1.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).【答案】.【解析】试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里.考点:解直角三角形的应用-方向角问题.2.已知Rt△ABC中,AB是⊙O的弦,斜边AC交⊙O于点D,且AD=DC,延长CB交⊙O 于点E.(1)图1的A、B、C、D、E五个点中,是否存在某两点间的距离等于线段CE的长?请说明理由;(2)如图2,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.①若CF=CD时,求sin∠CAB的值;②若CF=aCD(a>0)时,试猜想sin∠CAB的值.(用含a的代数式表示,直接写出结果)【答案】(1)AE=CE;(2)①;②.【解析】试题分析:(1)连接AE、DE,如图1,根据圆周角定理可得∠ADE=∠ABE=90°,由于AD=DC,根据垂直平分线的性质可得AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,由∠ABE=90°可得AE是⊙O的直径,根据切线的性质可得∠AEF=90°,从而可证到△ADE∽△AEF,然后运用相似三角形的性质可得=AD•AF.①当CF=CD时,可得,从而有EC=AE=CD,在Rt△DEC中运用三角函数可得sin∠CED=,根据圆周角定理可得∠CAB=∠DEC,即可求出sin∠CAB的值;②当CF=aCD(a>0)时,同①即可解决问题.试题解析:(1)AE=CE.理由:连接AE、DE,如图1,∵∠ABC=90°,∴∠ABE=90,∴∠ADE=∠ABE=90°,∵AD=DC,∴AE=CE;(2)连接AE、ED,如图2,∵∠ABE=90°,∴AE是⊙O的直径,∵EF是⊙OO的切线,∴∠AEF=90°,∴∠ADE=∠AEF=90°,又∵∠DAE=∠EAF,∴△ADE∽△AEF,∴,∴=AD•AF.①当CF=CD时,AD=DC=CF,AF=3DC,∴=DC•3DC=,∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED===;②当CF=aCD(a>0)时,sin∠CAB=.∵CF=aCD,AD=DC,∴AF=AD+DC+CF=(a+2)CD,∴=DC•(a+2)DC=(a+2),∴AE=DC,∵EC=AE,∴EC=DC,∴sin∠CAB=sin∠CED==.考点:1.圆的综合题;2.探究型;3.存在型.3.已知:如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,MD∥BC,且MD=CM,DE⊥AB于点E,连结AD、CD.(1)求证:△MED∽△BCA;(2)求证:△AMD≌△CMD;(3)设△MDE的面积为S1,四边形BCMD的面积为S2,当S2=175S1时,求cos∠ABC的值.【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)cos∠ABC=5 7 .【解析】【分析】(1)易证∠DME=∠CBA,∠ACB=∠MED=90°,从而可证明△MED∽△BCA;(2)由∠ACB=90°,点M是斜边AB的中点,可知MB=MC=AM,从而可证明∠AMD=∠CMD,从而可利用全等三角形的判定证明△AMD≌△CMD;(3)易证MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA ,所以2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ,所以S △MCB =12S △ACB =2S 1,从而可求出S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1,由于1EBDS ME S EB =V ,从而可知52ME EB =,设ME=5x ,EB=2x ,从而可求出AB=14x ,BC=72,最后根据锐角三角函数的定义即可求出答案. 【详解】(1)∵MD ∥BC , ∴∠DME=∠CBA , ∵∠ACB=∠MED=90°, ∴△MED ∽△BCA ;(2)∵∠ACB=90°,点M 是斜边AB 的中点, ∴MB=MC=AM , ∴∠MCB=∠MBC , ∵∠DMB=∠MBC ,∴∠MCB=∠DMB=∠MBC , ∵∠AMD=180°﹣∠DMB ,∠CMD=180°﹣∠MCB ﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC , ∴∠AMD=∠CMD , 在△AMD 与△CMD 中,MD MD AMD CMD AM CM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△AMD ≌△CMD (SAS ); (3)∵MD=CM , ∴AM=MC=MD=MB , ∴MD=2AB ,由(1)可知:△MED ∽△BCA , ∴2114ACB S MD S AB ⎛⎫== ⎪⎝⎭V ,∴S △ACB =4S 1, ∵CM 是△ACB 的中线, ∴S △MCB =12S △ACB =2S 1, ∴S △EBD =S 2﹣S △MCB ﹣S 1=25S 1,∵1EBDS MES EB=V ,∴1125S MEEB S =,∴52ME EB =, 设ME=5x ,EB=2x , ∴MB=7x , ∴AB=2MB=14x ,∵12MD ME AB BC ==, ∴BC=10x ,∴cos ∠ABC=105147BC x AB x ==. 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题,涉及直角三角形斜边中线的性质,全等三角形的性质与判定,相似三角形的判定与性质,三角形面积的面积比,锐角三角函数的定义等知识,综合程度较高,熟练掌握和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键.4.(本题满分14分,第(1)小题满分4分,第(2)小题满分5分,第(3)小题满分5分)已知:如图,AB 是半圆O 的直径,弦//CD AB ,动点P 、Q 分别在线段OC 、CD 上,且DQ OP =,AP 的延长线与射线OQ 相交于点E 、与弦CD 相交于点F (点F 与点C 、D 不重合),20AB =,4cos 5AOC ∠=.设OP x =,CPF ∆的面积为y .(1)求证:AP OQ =;(2)求y 关于x 的函数关系式,并写出它的定义域; (3)当OPE ∆是直角三角形时,求线段OP 的长.【答案】(1)证明见解析;(2)236030050(10)13x x y x x -+=<<;(3)8OP =【解析】【分析】(1)证明线段相等的方法之一是证明三角形全等,通过分析已知条件,OP DQ =,联结OD 后还有OA DO =,再结合要证明的结论AP OQ =,则可肯定需证明三角形全等,寻找已知对应边的夹角,即POA QDO ∠=∠即可;(2)根据PFC ∆∽PAO ∆,将面积转化为相似三角形对应边之比的平方来求;(3)分成三种情况讨论,充分利用已知条件4cos 5AOC ∠=、以及(1)(2)中已证的结论,注意要对不符合(2)中定义域的答案舍去. 【详解】(1)联结OD ,∵OC OD =, ∴OCD ODC ∠=∠, ∵//CD AB , ∴OCD COA ∠=∠, ∴POA QDO ∠=∠. 在AOP ∆和ODQ ∆中,{OP DQPOA QDO OA DO=∠=∠=, ∴AOP ∆≌ODQ ∆, ∴AP OQ =;(2)作PH OA ⊥,交OA 于H , ∵4cos 5AOC ∠=, ∴4455OH OP x ==,35PH x =, ∴132AOP S AO PH x ∆=⋅=. ∵//CD AB , ∴PFC ∆∽PAO ∆, ∴2210()()AOPy CP x S OP x∆-==, ∴2360300x x y x-+=,当F 与点D 重合时,∵42cos 210165CD OC OCD =⋅∠=⨯⨯=, ∴101016x x =-,解得5013x =,∴2360300x x y x-+=50(10)13x <<; (3)①当90OPE ∠=o 时,90OPA ∠=o , ∴4cos 1085OP OA AOC =⋅∠=⨯=; ②当90POE ∠=o 时,1010254cos cos 25OC CQ QCO AOC ====∠∠,∴252OP DQ CD CQ CD ==-=-2571622=-=, ∵501013OP <<, ∴72OP =(舍去); ③当90PEO ∠=o 时,∵//CD AB , ∴AOQ DQO ∠=∠, ∵AOP ∆≌ODQ ∆, ∴DQO APO ∠=∠, ∴AOQ APO ∠=∠,∴90AEO AOP ∠=∠=o ,此时弦CD 不存在,故这种情况不符合题意,舍去; 综上,线段OP 的长为8.5.如图以△ABC 的一边AB 为直径作⊙O ,⊙O 与BC 边的交点D 恰好为BC 的中点,过点D 作⊙O 的切线交AC 边于点F.(1)求证:DF ⊥AC ;(2)若∠ABC=30°,求tan ∠BCO 的值. 【答案】(1)证明见解析; (2) tan ∠3 【解析】试题分析:(1)连接OD ,根据三角形的中位线定理可求出OD ∥AC ,根据切线的性质可证明DE ⊥OD ,进而得证.(2)过O 作OF ⊥BD ,根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出OF 、CF 的长,根据三角函数的定义求解. 试题解析:证明:连接OD∵DE为⊙O的切线, ∴OD⊥DE ∵O为AB中点, D为BC的中点∴OD‖AC∴DE⊥AC(2)过O作OF⊥BD,则BF=FD在Rt△BFO中,∠ABC=30°∴OF=12OB, BF=3OB∵BD=DC, BF=FD,∴FC=3BF=33OB在Rt△OFC中,tan∠BCO=13233OBOFFCOB==.点睛:此题主要考查了三角形中位线定理及切线的性质与判定、三角函数的定义等知识点,有一定的综合性,根据已知得出OF=12OB,BF=3OB,FC=3BF=33OB是解题关键.6.如图,MN为一电视塔,AB是坡角为30°的小山坡(电视塔的底部N与山坡的坡脚A在同一水平线上,被一个人工湖隔开),某数学兴趣小组准备测量这座电视塔的高度.在坡脚A处测得塔顶M的仰角为45°;沿着山坡向上行走40m到达C处,此时测得塔顶M的仰角为30°,请求出电视塔MN的高度.(参考数据:2≈1.41,3≈1.73,结果保留整数)【答案】95m【解析】【分析】过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.在△ACE中,求AE=3m,在RT△MFC中,设MN=x m,则AN=xm.FC3xm,可得x+33 ( x-20),解方程可得答案..【详解】解:过点C作CE⊥AN于点E, CF⊥MN于点F.在△ACE中,AC=40m,∠CAE=30°∴CE=FN=20m,AE=3设MN=x m,则AN=xm.FC=3xm,在RT△MFC中MF=MN-FN=MN-CE=x-20FC=NE=NA+AE=x+203∵∠MCF=30°∴FC=3MF,即x+203=3 ( x-20)解得:x=403 31=60+203≈95m答:电视塔MN的高度约为95m.【点睛】本题考核知识点:解直角三角形.解题关键点:熟记解直角三角形相关知识,包括含特殊角的直角三角形性质.7.如图,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,连接BD,将△ABD绕B点作顺时针方向旋转得到△A′B′D′(B′与B重合),且点D′刚好落在BC的延长上,A′D′与CD相交于点E.(1)求矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分(如图1中阴影部分A′B′CE)的面积;(2)将△A′B′D′以每秒2cm的速度沿直线BC向右平移,如图2,当B′移动到C点时停止移动.设矩形ABCD与△A′B′D′重叠部分的面积为y,移动的时间为x,请你直接写出y关于x 的函数关系式,并指出自变量x的取值范围;(3)在(2)的平移过程中,是否存在这样的时间x,使得△AA′B′成为等腰三角形?若存在,请你直接写出对应的x的值,若不存在,请你说明理由.【答案】(1)452;(2)详见解析;(3)使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有:0秒、32 秒、95- . 【解析】 【分析】(1)根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10,CD ′=B ′D ′﹣BC =2,由tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CEA D CD 可求出CE ,即可计算△CED ′的面积,S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′; (2)分类讨论,当0≤x ≤115时和当115<x ≤4时,分别列出函数表达式; (3)分类讨论,当AB ′=A ′B ′时;当AA ′=A ′B ′时;当AB ′=AA ′时,根据勾股定理列方程即可. 【详解】解:(1)∵AB =6cm ,AD =8cm , ∴BD =10cm ,根据旋转的性质可知B ′D ′=BD =10cm ,CD ′=B ′D ′﹣BC =2cm , ∵tan ∠B ′D ′A ′='''''=A B CE A D CD ∴682=CE ∴CE =32cm ,∴S ABCE =S ABD ′﹣S CED ′=8634522222⨯-⨯÷=(cm 2); (2)①当0≤x <115时,CD ′=2x +2,CE =32(x +1), ∴S △CD ′E =32x 2+3x +32, ∴y =12×6×8﹣32x 2﹣3x ﹣32=﹣32x 2﹣3x +452; ②当115≤x ≤4时,B ′C =8﹣2x ,CE =43(8﹣2x ) ∴()214y 8223x =⨯-=83x 2﹣643x +1283. (3)①如图1,当AB ′=A ′B ′时,x =0秒;②如图2,当AA ′=A ′B ′时,A ′N =BM =BB ′+B ′M =2x +185,A ′M =NB =245, ∵AN 2+A ′N 2=36, ∴(6﹣245)2+(2x +185)2=36,解得:x=6695-,x=6695--(舍去);③如图2,当AB′=AA′时,A′N=BM=BB′+B′M=2x+185,A′M=NB=245,∵AB2+BB′2=AN2+A′N2∴36+4x2=(6﹣245)2+(2x+185)2解得:x=32.综上所述,使得△AA′B′成为等腰三角形的x的值有:0秒、32秒、6695-.【点睛】本题主要考查了图形的平移变换和旋转变换,能够数形结合,运用分类讨论的思想方法全面的分析问题,思考问题是解决问题的关键.8.如图,在正方形ABCD中,E是边AB上的一动点,点F在边BC的延长线上,且CF AE=,连接DE,DF,EF. FH平分EFB∠交BD于点H.(1)求证:DE DF⊥;(2)求证:DH DF=:(3)过点H作HM EF⊥于点M,用等式表示线段AB,HM与EF之间的数量关系,并证明.【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)22EF AB HM =-,证明详见解析.【解析】【分析】(1)根据正方形性质, CF AE =得到DE DF ⊥.(2)由AED CFD △△≌,得DE DF =.由90ABC ∠=︒,BD 平分ABC ∠, 得45DBF ∠=︒.因为FH 平分EFB ∠,所以EFH BFH ∠=∠.由于45DHF DBF BFH BFH ∠=∠+∠=︒+∠,45DFH DFE EFH EFH ∠=∠+∠=︒+∠, 所以DH DF =.(3)过点H 作HN BC ⊥于点N ,由正方形ABCD 性质,得222BD AB AD AB =+=.由FH 平分,EFB HM EF HN BC ∠⊥⊥,,得HM HN =.因为4590HBN HNB ∠=︒∠=︒,,所以22sin 45HN BH HN HM ===︒. 由22cos 45DF EF DF DH ===︒,得22EF AB HM =-. 【详解】(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形,∴AD CD =,90EAD BCD ADC ∠=∠=∠=︒.∴90EAD FCD ∠=∠=︒.∵CF AE =。
初三数学培优试题及答案
初三数学培优试题及答案一、选择题(每题3分,共30分)1. 下列哪个数是无理数?A. 3.14B. √2C. 0.33333…D. 22/7答案:B2. 一个等腰三角形的两边长分别为3和5,那么这个三角形的周长是多少?A. 11B. 13C. 16D. 8答案:B3. 已知函数y=2x+3,当x=2时,y的值是多少?A. 7B. 5C. 4D. 3答案:A4. 一个圆的半径为4,那么这个圆的面积是多少?A. 16πB. 32πC. 64πD. 100π答案:C5. 下列哪个是二次函数的一般形式?A. y=ax^2+bx+cB. y=ax^3+bx^2+cx+dC. y=ax+bD. y=a(x-h)^2+k答案:A6. 一个数的相反数是-5,那么这个数是多少?A. 5B. -5C. 0D. 10答案:A7. 一个数的绝对值是5,那么这个数可能是?A. 5B. -5C. 0D. 以上都有可能答案:D8. 一个数的立方根是2,那么这个数是多少?A. 8B. 2C. 4D. 1/8答案:A9. 一个数的平方根是3,那么这个数是多少?A. 9B. 3C. -3D. 6答案:A10. 一个数的倒数是1/3,那么这个数是多少?A. 3B. 1/3C. -3D. -1/3答案:A二、填空题(每题3分,共30分)1. 一个数的平方是25,那么这个数是______。
答案:±52. 一个数的立方是-8,那么这个数是______。
答案:-23. 一个角的补角是120°,那么这个角是______。
答案:60°4. 一个角的余角是30°,那么这个角是______。
答案:60°5. 一个等腰三角形的顶角是100°,那么它的底角是______。
答案:40°6. 一个直角三角形的两个锐角的度数之和是______。
答案:90°7. 一个等差数列的首项是3,公差是2,那么第5项是______。
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初中九年级数学培优训练(奥数)专题01 二次根式的化简与求值阅读与思考二次根式的化简与求值问题常涉及最简根式、同类根式,分母有理化等概念,常用到分解、分拆、换元等技巧.有条件的二次根式的化简与求值问题是代数变形的重点,也是难点,这类问题包含了整式、分式、二次根式等众多知识,又联系着分解变形、整体代换、一般化等重要的思想方法,解题的基本思路是:1、直接代入直接将已知条件代入待化简求值的式子. 2、变形代入适当地变条件、适当地变结论,同时变条件与结论,再代入求值.数学思想:数学中充满了矛盾,如正与负,加与减,乘与除,数与形,有理数与无理数,常量与变量、有理式与无理式,相等与不等,正面与反面、有限与无限,分解与合并,特殊与一般,存在与不存在等,数学就是在矛盾中产生,又在矛盾中发展.=x , y , n 都是正整数)例题与求解【例1】 当x =时,代数式32003(420052001)x x --的值是( ) A 、0 B 、-1 C 、1 D 、20032-(绍兴市竞赛试题)【例2】 化简(1(ba bab b -÷-- (黄冈市中考试题)(2(五城市联赛试题)(3(北京市竞赛试题)(4(陕西省竞赛试题)解题思路:若一开始把分母有理化,则计算必定繁难,仔细观察每题中分子与分母的数字特点,通过分解、分析等方法寻找它们的联系,问题便迎刃而解.思想精髓:因式分解是针对多项式而言的,在整式,分母中应用非常广泛,但是因式分解的思想也广泛应用于解二次根式的问题中,恰当地作类似于因式分解的变形,可降低一些二次根式问题的难度.【例3】比6大的最小整数是多少?(西安交大少年班入学试题)解题思路:直接展开,计算较繁,可引入有理化因式辅助解题,即设x y==想一想:设x=求432326218237515x x x xx x x--++-++的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题)的根式为复合二次根式,常用配方,引入参数等方法来化简复合二次根式.【例4】 设实数x ,y 满足(1x y =,求x +y 的值.(“宗泸杯”竞赛试题)解题思路:从化简条件等式入手,而化简的基本方法是有理化.【例5】 (1的最小值.(2的最小值.(“希望杯”邀请赛试题)解题思路:对于(1)为a ,b 的直角三角形的斜边长,从构造几何图形入手,对于(2),设y =A (x ,0),B (4,5),C (2,3)相当于求AB +AC 的最小值,以下可用对称分析法解决.方法精髓:解决根式问题的基本思路是有理化,有理化的主要途径是乘方、配方、换元和乘有理化因式.【例6】 设2)m a =≤≤,求1098747m m m m m +++++-的值.解题思路:配方法是化简复合二次根式的常用方法,配方后再考虑用换元法求对应式子的值.能力训练A级1.化简:7()3“希望杯”邀请赛试题)2.若x y x y+=-=,则xy=_____(北京市竞赛试题)3.+(“希望杯”邀请赛试题)4.若满足0<x<y=x,y)是_______(上海市竞赛试题)5.2x-3,则x的取值范围是()A.x≤1B. x≥2C. 1≤x≤2D. x>06)A.1B C. D. 5(全国初中数学联赛试题)7.a,b,c为有理数,且等式a+=成立,则2a+999b+1001c的值是()A.1999 B. 2000 C. 2001D. 不能确定(全国初中数学联赛试题)8、有下列三个命题甲:若α,β是不相等的无理数,则αβαβ+-是无理数;乙:若α,β是不相等的无理数,则αβαβ-+是无理数;丙:若α,β其中正确命题的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个(全国初中数学联赛试题)9、化简:(1(2(3(4(天津市竞赛试题)(5(“希望杯”邀请赛试题)10、设52x=,求代数式(1)(2)(3)(4)x x x x++++的值.(“希望杯”邀请赛试题)117x=,求x的值.12、设x x ==(n 为自然数),当n 为何值,代数式221912319x xy y ++的 值为1985?B 级1.已知3312________________x y x xy y ==++=则. (四川省竞赛试题)2.已知实数x ,y 满足(2008x y =,则2232332007x y x y -+--=____(全国初中数学联赛试题)3.已知42______1x x x ==++2x 那么. (重庆市竞赛试题)4.a =那么23331a a a ++=_____. (全国初中数学联赛试题)5. a ,b 为有理数,且满足等式142a +=++则a +b =( )A .2B . 4C . 6D . 8(全国初中数学联赛试题)6. 已知1,2a b c ===,那么a ,b ,c 的大小关系是( ).Aa b c << B . b <a <c C . c <b <c D . c <a <b(全国初中数学联赛试题)7.=) A . 1a a -B .1a a - C . 1a a+ D . 不能确定 8. 若[a ]表示实数a 的整数部分,则等于( )A .1B .2C .3D . 4(陕西省竞赛试题)9. 把(1)a - )A .B C. D .(武汉市调考题)10、化简:(1 (“希望杯”邀请赛试题)(210099++(新加坡中学生竞赛试题)(3(山东省竞赛试题)(4 (太原市竞赛试题)11、设01,x << 1≤<.(“五羊杯”竞赛试题)12的最大值.13、已知a , b , c为有理数,证明:222a b c a b c ++++为整数.初中九年级数学培优训练(奥数)专题02 从求根公式谈起阅读与思考一元二次方程是解数学问题的重要工具,在因式分解、代数式的化简与求值,应用题,各种代数方程,几何问题、二次函数等方面有广泛的应用.初学一元二次方程,需要注意的是: 1、熟练求解解一般形式的一元二次方程,因式分解法是基础,它体现了“降次求解”的基本设想,公式法具有一般性,是解一元二次方程的主要方法,对于各项系数较大的一元二次方程,可以先从分析方程的各项系数特征入手,通过探求方程的特殊根来求解,常用的两个结论是:① 若0=++c b a ,则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1. ② 若0=+-c b a ,则方程20(0)ax bx c a ++=≠必有一根为1-.2、善于变形解有些与一元二次方程相关的问题时,直接求解常给解题带来诸多不便,若运用整体思想,构造零值多项式,降次变形等相关思想方法,则能使问题获得简解.思想精髓一元二次方程的求根公式为1,2x =这个公式形式优美,内涵丰富:① 公式展示了数学的抽象性,一般性与简洁美; ② 公式包含了初中阶段所学过的全部六种代数运算;③ 公式本身回答了解一元二次方程的全部的三个问题,方程有没有实数根?有实根时共有几个?如何求出实根?例题与求解例1 阅读下列的例题解方程: 2||20x x --=解:①当x ≥0时,原方程化为220x x --=,解得122,1x x ==-(舍)① 当0<x 时,原方程化为220x x +-=,解得11=x (舍),22-=x 请参照例题解方程:2|3|30x x ---=,则方程的根是____(晋江市中考试题)解题思路:通过讨论,脱去绝对值符号,把绝对值方程转化为一般的一元二次方程求解.例2 方程2|1|(42)x x -=-+的解的个数为( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个(全国初中数学联赛试题)解题思路:通过去绝对值,将绝对值方程转化为一元二次方程求解.例3 已知m ,n 是二次方程2199970x x ++=的两个根,求22+19986)(20008)m m n n +++(的值.(“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:若求出m ,n 值或展开待求式,则计算繁难,由方程根的定义可得关于m ,n 的等式,不妨从变形等式入手.反思:一元二次方程常见的变形方法有:①把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c =--②把20(0)ax bx c a ++=≠变形为2ax bx c +=-③把20(0)ax bx c a ++=≠变形为cax b x+=- 其中①②体现了“降次”代换的思想;③则是构造倒数关系作等值代换. 例4 解关于x 的方程:2(1)(21)30m x m x m -+-+-=解题思路:因未指明关于x 的方程的类型,故首先分01=-m 及1-m ≠0两种情况,当1-m ≠0时,还考虑就24b ac -的值的三种情况加以讨论.例5 已知三个不同的实数a ,b ,c 满足3=+-c b a ,方程012=++ax x 和02=++c bx x ,有一个相同的实根,方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实根,求a ,b ,c 的值.解题思路:这是一个一元二次方程有公共根的问题,可从求公共根入手.方法指导:公共根问题是一元二次方程常见问题,解这类问题的基本方法是: ①若方程便于求出简单形式的根,则利用公共根相等求解. ②设出公共根,设而不求,消去二次项.例6 已知a 是正整数,如果关于x 的方程32(17)(38)560x a x a x +++--=的根都是整数,求a 的值及方程的整数根.(全国初中数学联赛试题) 解题思路:本题有两种解法,由方程系数特点发现1为隐含的根,从而将试题进行降次处理,或变更主元,将原方程整理为关于a 的较低次数的方程.能力训练 A 级1、已知方程062=+-q x x 可以配成()72=-p x 的形式,那么262=+-q x x 可以配成______________的形式.(杭州市中考试题)2、若分式22221x x x x --++的值为0,则x 的值等于____.(天津市中考试题)3、设方程2199319940,x x +-=和2(1994)1993199510x x -⋅-=的较小的根分别为α,β,则βα⋅=___.4、方程2|45|62x x x +-=-的解应是____(上海市竞赛试题) 5、方程23(1)1x x x ++-=的整数解的个数是____.(山东省选拔赛试题)6、若关于x 的一元二次方程22(1)5320m x x m m -++-+=的常数项为0,则m 的值等于( ) A 、1 B 、2 C 、1或2 D 、0(德州市中考试题)7、已知a , b 都是负实数,且1110a b a b +-=-,那么ba的值是( )A 、12+ B 、12- C 、12- D 、12+- (江苏省竞赛试题)8、方程2||10x x --=的解是( )A B C D 、9、已知a 是方程2199910x x -+=的一个根,求22199919981a a a -++的值.10、已知2410a a ++=且42321322a ma a ma a--=++,求m 的值. (荆州市竞赛试题)11、是否存在某个实数m ,使得方程220x mx ++=和220x x m ++=有且只有一个公共根?如果存在,求出这个实数m 及两方程的公共实根;如果不存在,请说明理由.12、已知关于x 的方程2(4)(8)(8012)320k k x k x ----+=的解都是整数,求整数k 的值.B 级1、已知α、β是方程2(2)10x m x +-+=的两根,则22(1)(1m )m ααββ++++的值为___ 2、若关于x 的方程20x px q ++=与20x qx p ++=只有一个公共根,则1999(p q)+=___3、设a , b 是整数,方程20x ax b ++=,则b a +=_________(全国通讯赛试题)4、用[]x 表示不大于x 的最大整数,则方程22[]30x x --=解的个数为( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5、已知1||1a a -=,那么代数式1||a a+=( )A B 、 C 、 D 6、方程||3||20x x x -+=的实根的个数为( )A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个7、已知2519910x x --=,则代数式42(2)(1)1(1)(2)x x x x -+----的值为( )A 、1996B 、1997C 、1998D 、19998、已知三个关于x 的一元二次方程2220,0,0ax bx c bx cx a cx ax b ++=++=++=恰有一个公共实根,则222a b c bc ca ab++的值为( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、3(全国初中数学联赛试题)9、已知x =,求4322621823815x x x x x x --++-+的值. (“祖冲之杯”邀请赛试题)10、设方程2|21|40x x ---=,求满足该方程的所有根之和.(重庆市竞赛试题)11、首项系数不相等的两个二次方程222(1)(2)(2)0a x a x a a --+++= ①及222(1)(2)(2)0b x b x b b --+++= ②(其中a , b 为正整数)有一个公共根,求b ab aa b a b --++的值.(全国初中数学联赛试题)12、小明用下面的方法求出方程30=的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,初中九年级数学培优训练(奥数)专题04 根与系数关系阅读与思考根与系数的关系称为韦达定理,其逆定理也成立,是由16世纪的法国数学家韦达所发现的.韦达定 理形式简单而内涵丰富,在数学解题中有着广泛的应用,主要体现在: 1.求方程中字母系数的值或取值范围; 2.求代数式的值;3.结合根的判别式,判断根的符号特征; 4.构造一元二次方程; 5.证明代数等式、不等式.当所要求的或所要证明的代数式中的字母是某个一元二次方程的根时,可先利用根与系数的关系找 到这些字母间的关系,然后再结合已知条件进行求解或求证,这是利用根与系数的关系解题的基本思路,需要注意的是,应用根与系数的关系的前提条件是一元二次方程有两个实数根,所以,应用根与系数的关系解题时,必须满足判别式△≥0.例题与求解【例1】设关于x 的二次方程22(4)(21)10m x m x -+-+=(其中m 为实数)的两个实数根的倒数和为s ,则s 的取值范围是_________.【例2】 如果方程2(1)(2)0x x x m --+=的三个根可以作为一个三角形的三边长,那么,实数m 的取值范围是_________.A .01m ≤≤B .34m ≥C .314m <≤D .314m ≤≤【例3】已知α,β是方程2780x x -+=的两根,且αβ>.不解方程,求223βα+的值.【例4】 设实数,s t 分别满足22199910,99190s s t t ++=++=并且1st ≠,求41st s t++的值.【例5】(1)若实数,a b 满足258a a +=,258b b +=,求代数式1111b a a b --+--的值; (2)关于,,x y z 的方程组32236x y z axy yz zx ++=⎧⎨++=⎩有实数解(,,)x y z ,求正实数a 的最小值;(3)已知,x y 均为实数,且满足17xy x y ++=,2266x y xy +=,求432234x x y x y xy y ++++的值.【例6】 ,,a b c 为实数,0ac <0++=,证明一元二次方程20ax bx c ++=有大于1的根.能力训练A 级1.已知m ,n 为有理数,且方程20x mx n ++=2,那么m n += .2.已知关于x 的方程230x x m -+=的一个根是另一个根的2倍,则m 的值为 . 3.当m = 时,关于x 的方程228(26)210x m m x m -+-+-=的两根互为相反数;当 时,关于x 的方程22240x mx m -+-=的两根都是正数;当 时,关于m 的方程23280x x m ++-=有两个大于2-的根.4.对于一切不小于2的自然数n .关于x 的一元二次方程22(2)20x n x n -+-=的两根记为,n n a b (2)n ≥则223320072007111(2)(2)(2)(2)(2)(2)a b a b a b +++=------ .5.设12,x x 是方程222(1)(2)0x k x k -+++=的两个实根,且12(1)(1)8x x ++=,则k 的值为( ) A .31-或 B .3- C .1 D .12k ≥的一切实数 6.设12,x x 是关于x 的一元二次方程22x x n mx ++-=的两个实数根,且1210,30x x x <-<,则 ( ) A .12m n >⎧⎨>⎩ B .12m n >⎧⎨<⎩ C .12m n <⎧⎨>⎩ D .12m n <⎧⎨<⎩7.设12,x x 是方程220x x k +-=的两个不等的实数根,则22122x x +-是( )A .正数B .零C .负数D .不大于零的数8.如图,菱形ABCD 的边长是5,两对角线交于O 点,且AO ,BO 的长分别是关于x 的方程22(21)30x m x m +-++=的根,那么m 的值是( )A .3-B .5C .53-或D .53-或9.已知关于x 的方程:22(2)04m x m x --=. (1)求证:无论m 取什么实数值,方程总有两个不相等的实数根;(2)若这个方程的两个根是12,x x ,且满足212,x x =+求m 的值及相应的12,x x .10.已知12,x x 是关于x 的一元二次方程2430kx x +-=的两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)是否存在这样的实数k ,使12123222x x x x +-=成立?若存在,求k 的值;若不存在,说明理由.11.如图,已知在△ABC 中,∠ACB =90°,过C 点作CD ⊥AB 于D ,设AD =m ,BD =n ,且AC 2:BC 2=2:1;又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192,求整数m 、n 的值.DBAC12.已知,m n 是正整数,关于x 的方程2()0x mnx m n -++=有正整数解,求,m n 的值.B 级1.设1x ,2x 是二次方程032=-+x x 的两根,则3212419x x -+= .2.已知1ab ≠,且有25199580a a ++=及28199550b b ++=则ab= . 3.已知关于x 的一元二次方程2610x x k -++=的两个实数根是12,x x ,且221224x x +=,则4.已知12,x x 是关于x 的一元二次方程22x ax a ++=的两个实数根,则1221(2)(2)x x x x --的最大值为 .5.如果方程210x px ++=(p >0)的两根之差为1,那么p 等于( )A .2B .4CD 6.已知关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12,x x ,且22127x x +=,则212()x x -的值是 ( )A .1B .12C .13D .257.在Rt △ABC 中,∠C =90°,a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边,a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根,那么AB 边上的中线长是 ( ) A .23 B .25C .5D .2 8.设213a a +=,213b b +=且a b ≠,则代数式2211a b+的值为( ) A .5 B .7 C .9 D .119.已知,a b 为整数,a b >,且方程233()40x a b x ab +++=的两个根,αβ满足关系式(1)(1)(1)(1)ααββαβ+++=++.试求所有整数点对(,)a b .10.若方程2310x x ++=的两根,αβ也是方程620x px q -+=的两根,其中,p q 均为整数,求,p q 的值.11.设,a b 是方程2310x x -+=的两根,c ,d 是方程2420x x -+=的两根,已知a b c dM b c d c d a d a b a b c+++=++++++++.求证:(1)222277a b c d M b c d c d a d a b a b c +++=-++++++++; (2)33334968a b c d M b c d c d a d a b a b c+++=-++++++++.12.设m 是不小于1-的实数,使得关于x 的一元二次方程222(2)310x m x m m +-+-+=有两个不相等实数根12,x x .(1)若22126x x +=,求m 的值;(2)求22121211mx mx x x +--的最大值.13.已知关于x 的一元二次方程20x cx a ++=的两个整数根恰好比方程20x ax b ++=的两个根都大1,求a b c ++的值.初中九年级数学培优训练(奥数) 专题06 转化与化归----特殊方程、方程组阅读与思考特殊方程、方程组通常是指高次方程(组)(次数高于两次)、结构巧妙而富有规律性的方程、方程组.降次与消元是解特殊方程、方程组的基本策略,而降次与消元的常用方法是: 1、因式分解; 2、换元; 3、平方; 4、巧取倒数;5、整体叠加、叠乘等.转化是解各类特殊方程、方程组的基本思想,而化归的途径是降次与消元,而化归的方向是一元二次方程,这也可以说是“九九归宗”.例题与求解【例1】已知方程组⎩⎨⎧=+=+233522y x y x 的两组解是),(11y x 与),(22y x ,则1221y x y x +的值是_______ (北京市竞赛题)解题思路:通过消元,将待求式用同一字母的代数式表示,运用根与系数的关系求值.【例2】方程组⎩⎨⎧=+=+2363yz xz yz xy 的正整数解的组数是( )A .1组B .2组C .3组D .4组解题思路:原方程组是三元二次,不易消元降次,不妨从分析常数的特征入手.【例3】 解下列方程:(1) 42)113(1132=+-++-x xx x x x ; (“祖冲之杯”邀请赛试题) (2)121193482232222=+-++-++x x x x x x x x ; (河南省竞赛试题) (3) 1)1998()1999(33=-+-x x ; (山东省竞赛试题) (4) 222222)243()672()43(+-=+-+-+x x x x x x (“祖冲之杯”邀请赛试题)解题思路:注意到方程左边或右边项与项的结构特点、内在联系,利用换元法求解.【例4】 解下列方程组:(1) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=-+-+;612,331y y x y x y x (山东省竞赛试题)(2) ⎩⎨⎧=++=++;2454,144)53)(1(2y x x y x x x (西安市竞赛试题)(3) ⎩⎨⎧+-=+-=.23,23232232y y y x x x x y (全苏数学奥林匹克试题) 解题思路:观察发现方程组中两个方程的特点和联系,用换元法求解或整体处理.【例5】 若关于x 的方程xkx x x x x k 1122+=---只有一个解(相等的解也算一个).试求k 的值与方程的解.(江苏省竞赛试题)【例6】 方程02006322=+++-y x xy x 的正整数解有多少对?(江苏省竞赛试题)解题思路:确定主元,综合利用整除及分解因式等知识进行解题.能力训练A 级1.方程1)1(3)1(222=+-+xx x x 的实数根是_____________. 2.()()()22222224367243+-=+-+-+x xx x x x ,这个方程的解为x =_________________.3.实数z y x ,,满足⎩⎨⎧=+-+-=,0223,362z xy y x y x 则zy x +2的值为_______________.(上海市竞赛题) 4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++0,0,01222b ax x a x bx bx ax 有实数解,则.________1=++b a(武汉市选拔赛试题)5.使得()()()()7823142222+-++=--x x x x x x 成立的x 的值得个数为( )A .4个B .3个C .2个D .1个(“五羊杯”竞赛试题)6.已知方程组⎩⎨⎧=-=+1,22z xy y x 有实数根,那么它有( )A .一组解B .二组解C .三组解D .无数组解(“祖冲之杯”邀请赛试题) 7.设a a 312=+,b b 312=+且b a ≠,则代数式2211ba +的值为( )A .5B .7C .9D .118.已知实数y x ,满足20,922=+=++xy y x y x xy ,则22y x +的值为()A .6B .17C .1D .6或179.已知关于y x ,的方程组⎩⎨⎧=-+=-222)(3,p y x p xy p y x 有整数解()y x ,,求满足条件的质数p .(四川省竞赛试题)10.已知方程组⎩⎨⎧=+-=++-01,022y x a y x 的两个解为⎩⎨⎧==,,11y y x x ⎩⎨⎧==,,22y y x x 且21,x x 是两个不等的正数.(1)求a 的取值范围;(2)若116832212221--=-+a a x x x x ,试求a 的值.(南通市中考试题)11.已知b a ,是方程012=--t t 的两个实根,解方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+.1,1y ayb x x b ya x(“祖冲之杯”邀请赛试题)12.已知某二次项系数为1的一元二次方程的两个实数根为q p ,,且满足关系式()⎩⎨⎧=+=++,6,5122pq q p p q p 试求这个一元二次方程.(杭州市中考试题)B 级1.方程组⎪⎩⎪⎨⎧==++++=++43251z y x z y x z y x 的解是___________________.2.已知x x x x x 71357139722=+-+++,则x 的值为______________.(全国初中数学联赛试题)3.已知实数00,y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==11x y xy 的解,则._________00=+y x (全国初中数学联赛试题)4.方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=3411,9y xxy 的解是_________________. (“希望杯”邀请赛试题)5.若二元二次方程组()⎩⎨⎧+-==-12,122x k y y x 有唯一解,则k 的所有可能取值为______________.(《学习报》公开赛试题)6.正数654321,,,,,x x x x x x 同时满足1165432=x x x x x x ,2265431=x x x x x x ,3365421=x xx x x x ,4465321=x x x x x x ,6564321=x x x x x x ,9654321=x xx x x x . 则654321x x x x x x +++++的值为________.(上海市竞赛试题)7.方程06623=+--x x x 的所有根的积是()A .3B .-3C .4D .-6E .以上全不对(美国犹他州竞赛试题)8.设y x ,为实数,且满足()()()()⎩⎨⎧=-+--=-+-,1119991,111999133y y x x 则=+y x ( ) A .1 B .-1 C .2 D .-2(武汉市选拔赛试题)9.已知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,3,2,1222z y x z y x xyz 则111111-++-++-+y zx x yz z xy 的值为( )A .1B .21-C .2D .32-10.对于实数a ,只有一个实数值x 满足等式012211112=-++++-+-+x a x x x x x ,试求所有这样的实数a 的和.(江苏省竞赛试题)11.解方程a x x x x =--+-+1212,其中0>a ,并就正数a 的取值,讨论此方程解的情况.(陕西省竞赛试题)12.已知c b a ,,三数满足方程组⎩⎨⎧=+-=+,4828,82c c ab b a 试求方程02=-+a cx bx 的根. (全国初中数学联赛试题)13.解下列方程(组):(1)()1639322=-+x x x ; (武汉市竞赛试题)(2)()()()6143762=+++x x x ;(湖北省竞赛试题)(3)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+,414,414,414222222x z z z y yy x x (加拿大数学奥林匹克竞赛试题)初中九年级数学培优训练(奥数)专题08 二次函数阅读与思考二次函数是初中代数的重要内容,既有着应用非常广泛的丰富性质,又是进一步学习的基础,主要知识与方法有:1.二次函数解析式c bx ax y ++=2的系数符号,确定图象的大致位置.2.二次函数的图象是一条抛物线,抛物线的形状仅仅与a 有关,a b 2-与(ab2-,a b ac 442-)决定抛物线对称轴与顶点的位置.3.二次函数的解析式通常有下列三种形式: ①一般式:c bx ax y ++=2; ②顶点式n m x a y +-=2)(:;③交点式:))((21x x x x a y --=,其中1x ,2x 为方程02=++c bx ax 的两个实根. 用待定系数法求二次函数解析式,根据不同条件采用不同的设法,可使解题过程简捷.例题与求解【例1】 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,现有以下结论:①0>abc ;②c a b +<;③024>++c b a ;④b c 32<;⑤()()1≠+>+m b am m b a .其中正确的结论有( )A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个 (天津市中考试题)解题思路:由抛物线的位置确定a ,b ,c 的符号,解题关键是对相关代数式的意义从函数角度理解并能综合推理.【例2】 若二次函数c bx ax y ++=2(a ≠0)的图象的顶点在第一象限,且过点(0,1)和(-1,0),则c b a S ++=的值的变化范围是( )A .0<S <1B . 0<S <2C . 1<S <2D . -1<S <1 (陕西省竞赛试题) 解题思路:设法将S 表示为只含一个字母的代数式,求出相应字母的取值范围,进而确定S 的值的变化范围.【例3】 某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是如图所示的坐标系下经过原点O 的一条抛物线(图中标出的数据为已知条件). 在跳某个规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面3210米,入水处距池边的距离为4米,同时,运动员在距水面高度5米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会失误.(1)求这条抛物线的解析式;(2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为533米.此次跳水会不会失误?并通过计算说明理由. (河北省中考试题) 解题思路:对于(2),判断此次跳水会不会失误,关键时求出距池边的水平距离为533米时,该运动员与跳台的垂直距离.【例4】 如图,在直角坐标xOy 中,二次函数图象的顶点坐标为C (4,3 ),且在x 轴上截得的线段AB 的长为6.(1)求二次函数的解析式;(2)在y 轴上求作一点P (不写作法),使P A +PC 最小,并求P 点坐标;(3)在x 轴的上方的抛物线上,是否存在点Q ,使得以Q ,A ,B 三点为顶点的三角形与△ABC 相似?如果存在,求出点Q 的坐标;如果不存在,请说明理由. (泰州市中考试题) 解题思路:对于(1)、(2),运用对称方法求出A ,B ,P 点坐标;对于(3),由于未指明对应关系,需分类讨论.【例5】 如图,已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ,其中AF =2,BF =1.试在AB 上求一点P ,使矩形PNDM 有最大面积. (辽宁省中考试题) 解题思路:设DN =PM =x ,矩形PNDM 的面积为y ,建立y 与x 的函数关系式. 解题的关键是:最值点不一定是抛物线的顶点,应注意自变量的取值范围.PMF E DNCBA【例6】 将抛物线33:211+-=x y c 沿x 轴翻折,得抛物线2c ,如图所示.(1)请直接写出抛物线2c 的表达式.(2)现将抛物线1c 向左平移m 个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M ,与x 轴的交点从左到右依次为A ,B ;将抛物线2c 向右也平移移m 个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为N ,与x 轴的交点从左到右依次为D ,E .①当B ,D 是线段AE 的三等分点时,求m 的值;②在平移过程中,是否存在以点A ,N ,E ,M 为顶点的四边形是矩形的情形?若存在,请求出此时m 的值;若不存在,请说明理由. (江西省中考试题)解题思路:把相应点的坐标用m 的代数式表示,由图形性质建立m 的方程. 因m 值不确定,故解题的关键是分类讨论.能力训练A 级1.已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上,则a 的值为__________.2.已知抛物线c bx x y ++=2与y 轴交于点A ,与x 轴正半轴交于B ,C 两点,且BC =2,ABC S ∆=3,则b=(四川省中考试题)3.已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示.(1)这个二次函数的解析式是y=_________;(2)当x=________时,3=y;(3)根据图象回答,当x_______时,0>y. (常州市中考试题)4.已知二次函数的图象经过原点及点(21-,41-),且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1,则该二次函数的解析式为_______________. (安徽省中考试题)5.二次函数cbxaxy++=2与一次函数caxy+=在同一坐标系中的图象大致是()A B C D6.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字:已知二次函数cbxxy++=2的图象过点(1,0)……求证:这个二次函数的图象关于直线2=x对称,根据现有信息,题中的二次函数图象不具有的性质是()A.过点(3,0)B.顶点是(2,-2)C.在x轴上截得的线段长度是2D.与y轴的交点是(0,3)(盐城市中考试题)7.如图,抛物线cbxaxy++=2与两坐标轴的交点分别是A,B,E,且△ABE是等腰直角三角形,AE =BE,则下列关系式不能总成立的是()(大连市中考试题)A.0=b B. 2cSABE=∆C.1-=ac D.0=+ca第7题图第8题图8.如图,某中学的校门是一抛物线形水泥建筑物,大门的地面宽度为8米,两侧距地面4米处高各有一个挂校名横匾用的铁环,两铁环的水平距离为6米,则校门的高为(精确到0.1米,水泥建筑物厚度A .9.2米B .9.1米C .9米D .5.1米 (吉林省中考试题)9.如图,是某防空部队进行射击训练时在平面直角坐标系中的示意图. 在地面O ,A 两个观测点测得空中固定目标C 的仰角分别为α和β,OA =1千米,tan α=289, tan β=83,位于O 点正上方35千米D 点处的直升机向目标C 发射防空导弹,该导弹运行到达距地面最大高度3千米时,相应的水平距离为4千米(即图中E 点).(1)若导弹运行为一抛物线,求抛物线的解析式;(2)说明按(1)中轨道运行的导弹能否击中目标的理由.(河北省中考试题)10.如图,已知△ABC 为正三角形,D ,E 分别是边AC 、BC 上的点(不在顶点),∠BDE =60°. (1)求证:△DEC ∽△BDA ;(2)若正三角形ABC 的边长为6,并设DC =x ,BE =y ,试求出y 与x 的函数关系式,并求BE 最短时,△BDE 的面积.CEDBA11.如图,在平面直角坐标系中,OB ⊥OA 且OB =2OA ,点A 的坐标是(-1,2). (1)求点B 的坐标;(2)求过点A ,O ,B 的抛物线的解析式;(3)连结AB ,在(2)中的抛物线上求出点P ,使ABO ABP S S ∆∆=.(陕西省中考试题)12.如图,在平面直角坐标系中,抛物线n mx x y ++=2经过点A (3,0),B (0,-3)两点,点P 是直线AB 上一动点,过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点M .设点P 的横坐标为t ;(1)分别求直线AB 和这条抛物线的解析式;(2)若点P 在第四象限,连结BM ,AM ,当线段PM 最长时,求△ABM 的面积;(3)是否存在这样的点P ,使得以点P ,M ,B ,O 为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P 的横坐标;若不存在,请说明理由. (南宁市中考试题)B 级1.已知二次函数c x x y +-=62的图象顶点与坐标原点的距离为5,则c =________.2.如图,四边形ABCD 是矩形,A ,B 两点在x 的正半轴上,C ,D 两点在抛物线x x y 62+-=上.设OA 的长为m (0<m <3).矩形ABCD 的周长为l ,则l 与m 的函数解析式为__________________. (昆明市中考试题)第2题图 第3题图 第4题图3.如图,在⊙O 的内接△ABC 中,AB +AC =12,AD ⊥BC ,垂足为D (点D 在边BC 上),且AD =3,当AB 的长等于________时, ⊙O 的面积最大,最大面积为___________.4.如图,已知二次函数)0(21≠++=a c bx ax y 与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A (-2,4),B (8,2),则能使21y y >成立的x 的取值范围时______________. (杭州市中考试题)5.已知函数c bx ax y ++=2的图象如下图所示,则函数c ax y +=的图象只可能是( )(重庆市中考试题)A B C D6.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,则下列6个代数式:ab ,ac ,c b a ++,c b a +-,b a +2,b a -2中,其值为正的式子个数为 ( )A .2个B .3个C .4个D .4个以上 (全国初中数学联赛试题)7.已知抛物线c bx ax y ++=2(a ≠0)的对称轴是2=x ,且经过点P (3,0)则c b a ++的值为( ) A .-1 B .0 C .1 D .2 8.已知二次函数c bx ax y ++=2(0>a )的对称轴是2=x ,且当0,,2321===x x x π时,二次函数y 的值分别时321,,y y y ,那么321,,y y y 的大小关系是( )A . 321y y y >>B . 321y y y <<C . 312y y y <<D . 312y y y >>9.已知抛物线4)343(2++-=x m mx y 与x 轴交于两点A ,B ,与y 轴交于C 点,若△ABC 是等腰三角形,求抛物线的解析式. (“新世纪杯”初中数学竞赛试题) 10.如图,已知点M ,N 的坐标分别为(0,1),(0,-1),点P 是抛物线241x y =上的一个动点. (1)判断以点P 为圆心,PM 为半径的圆与直线1-=y 的位置关系; (2)设直线PM 与抛物线241x y =的另一个交点为Q ,连结NP ,NQ ,求证:∠PNM =∠QNM . (全国初中数学竞赛试题)。