新北师大版八年级数学上册第二章实数知识点总结练习

知识梳理

【无理数】

1.定义：

无限不循环小数的小数叫做无理数；注：它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 常见无理数的几种类型：

(1) 特殊意义的数，如：圆周率 二以及含有二的一些数，如：2-二，3二等；

(2)

特殊结构的数(看似循环而实则不循环) ：如：2.010 010 001 000 01…(两个

1之间依次多1个0)等。

(3) 无理数与有理数的和差结果都是无理数。如： 2-二是无理数

(4) 无理数乘或除以一个不 为0的有理数结果是无理数。如 2二，

(5)

开方开不尽的

数，如：显厂方,3〜等；应当要注意的是：带根号的数不一定是无理数，如： ,9等；无理

数也不一定带根号，如：

二)

3. 有理数与无理数的区别：

(1) 有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数； (2)

所有的有理数都能写成分数的形式(整数可以看成是分母为

1的分数)，而无理数则不能写成分数形式。

— — ------------------------------- 2

例：(1)下列各数：① 3.141、② 0.33333 ................ 、③ 5-7、④ n 、⑤一.2.25、⑥-、⑦ 0.3030003000003

3

(相邻两个3之间0的个数逐次增加2)、其中是有理数的有 ____________________;是无理数的有 _________ 。 (填序号)

(2)有五个数:0.125125…,0.1010010001…，-二，4,3 2其中无理数有() 个

【算术平方根】：

1. 定义：如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2二a ,那么，这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为：气a ”, 读作，“根号a ”，其

中，a 称为被开方数。例如 32=9,那么9的算术平方根是3,即^9 = 3。 特别规地，0的算术平方根是 0,即..0 =0,负数没有算术平方根

2. 算术平方根具有双重非负性：(1)若、a 有意义，则被开方数a 是非负数。(2)算术平方根本身是非负数。

3.算术平方根与平方根的关系：

算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方

根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为: 示为：二I 、a 。

第二章：实数

a ；而平方根具有两个互为相反数的值，表

(3) J(Q 2的算术平方根是 __________________ 。(4 )若丘十匚X 有意义，则』厂刁= ___________________________

(5)已知△ ABC 的三边分别是a,b,c,且a,b 满足...a-3 (b_4)2 =0，求c 的取值范围。

(6) (提高题)如果x 、y 分别是4 — 3的整数部分和小数部分。求 x - y 的值.

平方根：

1. 定义：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2二a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根；，我们称x 是a 的平方(也 叫二次方根)，记做：x

=「J a(a _0)

2. 性质：(1 )一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；

(2) 0只有一个平方根，它是 0本身；

(3 )负数没有平方根

例(1 )若 x 的平方根是土 2，则x= ____________ ; 16的平方根是 ____________ (2)当x ______ 时，

3-2x 有意义。

(3) 一个正数的平方根分别是

m 和m-4，则m 的值是多少？这个正数是多少？

3. (、.. a)2(a _0)与a 2的性质

(1

) C-. a)2=a(a^0)如：7)2 = 7 (2) •. a 2 =|a| 中，a 可以取任意实数。如

52彳5|=5

(-3)2

=|-3^3

例：1.求下列各式的值

(1) -72

(2) (-7)2

(3)

(-：49)2

2.已知(a -1)»=：a -1，那么a 的取值范围是 __________________ 。

3.已知2v x v 3,化简(2-x)2 • |x -3|二 ____________________ 。

【立方根】

1. 定义：一般地，如果以个数 x 的立方等于a ,即x 3=a,那么这个数x 就叫做a 的立方根(也叫做三次方根)记 为3 a ，读作，3次根号a 。

如23=8，则2是8的立方根，0的立方根是0。

2.

性质：正数

的立方根的正数；0的立方根是0；负数的立方根是负数。立方根是它本身的数有

0,1 , -1.

例：(1) 64的立方根是

(2

)若a = 289,ab = 28.9,则b 等于

例：(1 )卜列说法止确的是

( )

A. 1的立方根是±1 ；

B

• = P ； (C )、v81的平方根是

±3 ；

(2)

下列各式正确的是( )

A 、 J 81 =兰9 B

、

3.14 —

兀

=兀—3.14 C 、｛ — 27 = —9^3 D

(D )、0没有平方根;

.5 - 3 ~ '■- 2

(3)下列说法中：① —3都是27的立方根，②3y3= y，③.64的立方根是2,④3—8 2二4。

其中正确的有() A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个

【估算】

用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无理数的近似值得确定，可以通过平方运算或立方运算并采用“夹逼法”，即两边无限逼近，逐级夹逼来完成。首先确定其整数部分的范围，再确定十分位，百分位等小数部