不等式练习题(带答案)

不等式基本性质练习

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)((b

a b a ++ 的最小值是 （ ）

A ．2

B ．22

C ．24

D ．4

2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的

（ ）

A ．必要条件

B ．充分条件

C ．充要条件

D ．必要或充分条件

3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是

（ ）

}

A ．

11

1<+b

a B ．

11

1≥+b

a C ．

21

1<+b

a D ．

21

1≥+b

a 4．已知a 、

b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是

（ ）

A ．a c ≥b

B ．a b ≥c

C ．bc ≥a

D ．a b ≤c

5．设a =2，b=37-，26-=

c ，则a 、b 、c 间的大小关系是

（ ）

A ．a >b>c

B ．b>a >c

C ．b>c>a

D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式

b

a

m b m a >++

（ ）

A ．当a < b 时成立

B ．当a > b 时成立

C ．是否成立与m 无关

D ．一定成立

}

7．设x 为实数，P=e x

+e -x

，Q=(sin x +cos x )2

，则P 、Q 之间的大小关系是

（ ）

A ．P ≥Q

B ．P ≤Q

C ．P>Q

D ． P b 且a + b <0，则下列不等式成立的是

（ ）

A ．

1>b

a

B ．

1≥b

a

C ．

1

a

D ．

1≤b

a 9．设a 、

b 为正实数，P=a a b b

，Ｑ=a b b a

，则P 、Q 的大小关系是

（ ）

A ．P ≥Q

B ．P ≤Q

C ．P=Q

D ．不能确定

10．甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以

速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走，若m ≠n ，则甲、乙两人到达指定地点的情况是

（ ）

A ．甲先到

B ．乙先到

C ．甲乙同时到

D ．不能确定

《

二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）

11．若正数a 、b 满足a b=a +b+3，则a b 的取值范围是 ． 12．已知a >1，a lgb

=100，则lg(a b)的最小值是 ． 13．使不等式a 2

>b 2，

1>b

a

，lg(a －b )>0， 2a >2b-1同时成立的a 、b 、1的大小关系是 ．

14．建造一个容积为8m 3

，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120

元和80元，则水池的最低总造价为 元． 三、解答题（本大题共6题，共76分）

15．若a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，求证： (1–a )(1–b)(1–c)≥8a bc ．（12分）

!

16．设2

1

log log 21,0,1,0+>≠>t t t a a a a 与试比较的大小．（12分） ~

17．已知a ，b ，c 都是正数，且a ，b ，c 成等比数列，求证：2

222)(c b a c b a +->++（12分）

18．已知x 2 = a 2 + b 2，y 2 = c 2 + d 2

，且所有字母均为正，求证：xy ≥ac + bd ．（12分）

）

19．设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm 2

，画面的宽与高的比为λ（λ<1），画面的上下各

留8cm 空白，左、右各留5cm 空白，怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小（14分） 。

20．数列{x n }由下列条件确定：N n x a

x x a x n

n n ∈+=

>=+),(21,011． （Ⅰ）证明：对n ≥2，总有x n ≥a ；（Ⅱ）证明：对n ≥2，总有x n ≥1+n x ． （14分）

参考答案

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

二．填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．x ≥9 12．22 13．a >b>1 14．1760 三、解答题（本大题共6题，共76分）

%

15．（12分）

[证明]：因为a 、b 、c 都是正数，且a +b+c=1，

所以(1–a )(1–b)(1–c)=(b+c)( a +c)( a +b)≥2

bc ·2ac ·2ab =8a bc ．

16．（12分）

[解析 ]： t

t t t a

a

a

21log log

2

1log +=-+ t t t

21,0≥+> （当且仅当t=1时时等号成立） 121≥+∴

t t （1） 当t=1时，t t a a

log 2

1

log =+ （2） 当1≠t 时，

121>+t

t ，

若t t t

t a a

a a log 2

12

1log ,021log ,1>+>+>则

{

若t t t t a a

a a log 2

121log ,021log ,10<+<+<<则

17．（12分）

[证明]：左－右=2（ab +bc －ac ） ∵a ，b ，c 成等比数列， ac b

=2

又∵a ，b ，c 都是正数，所以ac b =

<0≤c a c a +<+2

∴b c a >+

∴0)(2)(2)(22>-+=-+=-+b c a b b bc ab ac bc ab ∴2222)(c b a c b a +->++

18．（12分）

[证法一]：（分析法）∵a , b , c , d , x , y 都是正数 ∴要证：xy ≥ac + bd

|

只需证：(xy )2

≥(ac + bd )2

即：(a 2

+ b 2

)(c 2

+ d 2

)≥a 2c 2

+ b 2

d 2

+ 2abcd 展开得：a 2c 2

+ b 2d 2

+ a 2d 2

+ b 2c 2

≥a 2c 2

+ b 2d 2

+ 2abcd 即：a 2d 2

+ b 2c 2≥2abcd 由基本不等式，显然成立 ∴xy ≥ac + bd

[证法二]：（综合法）xy =222222222222d b d a c b c a d c b a +++=

++

≥bd ac bd ac d b abcd c a +=+=++22222)(2 [证法三]：（三角代换法）

∵x 2

= a 2

+ b 2

，∴不妨设a = x sin , b = x cos

—

y 2 = c 2 + d 2 c = y sin , d = y cos

∴ac + bd = xy sin sin + xy cos cos = xy cos( )≤xy

19．（14分）

[解析]：设画面高为x cm ，宽为λx cm 则λx 2

=4840．

设纸张面积为S ，有 S=（x +16）(λx +10) =λ x 2

+(16λ+10) x +160,

S=5000+44).5(10λ

λ+

当8

.)185

(85,5

取得最小值时即S <==

λλ

λ

此时，高：,884840cm x ==λ

宽：,558885cm x =?=λ 答：画面高为88cm ，宽为55cm 时，能使所用纸张面积最小． 20．（14分） （I ）证明：由,01

>=a x 及),(2

11n

n n x a x x +=+可归纳证明0>n x （没有证明过程不扣分）

从而有).()(211

N a a x a

x x a x x

n

n n n n ∈=?≥+=

+ 所以，当a x n ≥≥,2时成立.

（II ）证法一：当)(21,0,21n

n n n

x a

x x a x n +=

>≥≥+因为时 所以,021)(212

1≤-?=-+=-+n

n n n n n n x x a x x a x x x

故当.,21成立时+≥≥n n x x n 证法二：当)(2

1,0,21n

n

n x a x x a x n +=>≥≥+因为时

所以122)(212

22221

=+≤+=+=+n

n n n n n n n n

n x x x a x x x a

x x x 故当成立时1,2+≥≥n n x x n .