向量法求空间点到平面的距离教案
立体几何的向量法(四)——求点到面距离
一．点到平面的距离：
1.定义：叫做这一点到这个平面的距离．
2.求解方法：
（1）几何法：
①找到(或作出)表示距离的线段；抓住线段(所求距离)所在三角形解之.
②体积法。
（2）向量法：
已知平面 外一点P，平面 。先求出平面 的法向量 ，在平面内任取一定点A，则点P到平面 的距离d等于 在 上的射影长，
， ， ， 底面 , 为 的中点.
⑴求证：平面 平面 ；
⑵求直线 与平面 所成的角的正弦值；
⑶求点 到平面 的距离.
2、如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点．
⑴求证： 平面 ；
⑵求二面角 的平面角的正弦值；
⑶求点 到平面 的距离．
（教师“复备”栏或学生笔记栏）
提示：
提示：
此题能否用两种方法求解
学校年级学科导学案
主备审核授课人授课时间班级姓名小组
课题：立体几何的向量法（四）——求点到面的距离新课课时：二
【学习目标】
1、能理解点到面距离的向量公式
2、能在不同图形中用向量法求点到面的距离
【学习过程】
一、自学理解
一条直线上的任一点到与它平行的平面的距离，叫做这条直线到平面的距离．
两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离．
即d=
二、问题探究
1：在长方体ABCD—A1B1C1D1中,已知AB= 4, AD =3, AA1= 2. E是线段AB上的点，且EB=1，求点C到面 的距离.
2：在三棱锥D—ABC中，DA 平面ABC，且AB=BC=AD=1， ABC=90 ，
求点A到面BCD的距离。
向量法求空间点到平面的距离课件
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
学习交流PPT
4
练习1
《点到平面距离的几种求法》教学设计
教师巡回指导学生用学过的各种方法去解。师生通过投影仪共同讨论学生的练习结果。最后用课件出示各种解法。
学生练习巩固。通过练习，使学生熟练掌握点到面距离的各种求法。并培养学生的创新意识。
小结
教师小结
归纳。并用课件出示小结。
学生回忆，整理知识。
教学后记：
本节课按直观演示法的基本教学规律和理念，借助现代教学手段，充分调动了学生学习的积极性和主动性。学生的思维敏捷，讨论热烈，气氛活跃，不仅使学生掌握了本节课的知识，而且培养了学生的自学能力，观察能力，分析能力和解决问题的能力。同时提高了学生学习数学的兴趣。
教学重点
点到面距离求法的基本思路。
教学难点
点到平面距离的各种求法
教学关键
本节课通过探讨问题，着重培养和发展学生的认知和变通能力
学生分析
学生对空间各种距离的概念都比较熟悉，空间距离的求法有简单的了解，通过复习对本节课有一定的引导作用。同时让学生更加熟练地掌握点到面距离的求法。
教学方法
直观演示，结合启发、引导的方式（启发学生去寻找求点面距离的方法）
别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在
平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．
多媒体出示例题
学生读题思考
解法1直接作出所求之距离求之
为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，则有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，则BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝ ，BP＝ ，PZ＝ ，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝ ．
学习方法
观摩，合作探究，挖掘知识间的内在联系，学会将新旧知识串联起来去解决碰到的新问题
高中数学空间向量求距离教案人教新课标
教学目标：
知识与技能：能用向量方法进行有关距离的计算。
过程与方法：分组合作，示范交流，应用小结。
情感态度与价值观：掌握空间向量的应用。
教学环节
教师活动
学生活动
一、复习引入
二、新课导入
三、例题讲解
四、练习
五、小结
课后反思
1、空间中的距离包括：两点间的距离，点到直线的距离，点到平面的距离，平行直线间的距离，异面直线直线间的距离，直线与平面的距离，两个平行平面间的距离。这些距离的定义各不相同，但都是转化为平面上两点间的距离来计算的。
A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,0）A1（1,0, ），B1（0,1, ），C1（0,0, ）
∴ =（－1,1,－ ）， =（－1,0,－ ） =（1,－1,0）
设平面A1BC的一个法向量为 ，则
即
所以，点B1到平面A1BC的距离
解2建系设点同上（略），设平面A1BC的方程为ax+by+cz+d=0
2、向量法在求异面直线间的距离
设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的向量为 ，则两异面直线间的距离是 在 方向上的正射影向量的模。
4、向量法在求点到平面的距离中
（1）设分别以平面外一点P与平面内一点M为起点和终点的向量为 ，平面的法向量为 ，则P到平面的距离d等于 在 方向上正射影向量的模。
2、距离的特征：⑴距离是指相应线段的长度；⑵此线段是所有相关线段中最短的；⑶除两点间的距离外，其余总与垂直相联系。
3、求空间中的距离有⑴直接法，即直接求出垂线段的长度；⑵转化法，转化为线面距或面面距，或转化为某三棱锥的高，由等积法或等面积法求解；⑶向量法求解。
“向量法求空间点到平面的距离”教案讲义
2、向量数量积公式a•b abcos(a与b的夹角）二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离
向量法求空间点到平面的距离
（Excellent handout training template）
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
F(4,2,0)，G(0,0,2)．
xD
C
EF(2,2,0),EG(2,4,2), F
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
练习1
Thank you.
演讲结速，谢谢观赏！
线 B段 的 O 长度。
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
分别是 求点 B
AB、AD 的中点，GC⊥平面 到平面 EFG 的距离.
ABCD，且
GC＝2z，
G
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz．
由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)，
D(4,0,0)，E(2,4,0)，
向量法求空间点到平面的距离教案
向量法求空间点到平面的距离教案【教学目标】1.了解空间点到平面的定义和距离的概念；2.掌握使用向量法求解空间点到平面的距离；3.培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
【教学准备】1.教材：高中数学课本；2.工具：黑板、白板、彩色笔等。
【教学过程】一、导入（5分钟）1.教师在黑板上写出“空间点到平面的距离”这个问题，引导学生进行思考和讨论：a.你们见过或听说过空间点到平面的距离吗？b.你们对空间点到平面的距离有什么理解和想法？2.请几名学生发表自己的想法和看法，然后老师进行总结，引入本节课的学习内容。
二、概念解释（10分钟）1.教师向学生解释空间点到平面的定义和距离的概念，给出数学定义和几何解释，并通过图例进行说明。
2.通过讲解和解释后，教师带领学生一起回顾和掌握空间点和平面的基本概念和性质。
三、知识点讲解（20分钟）1.教师先通过几个简单的例题引导学生了解向量法求解空间点到平面的距离的基本思路和方法。
2.教师详细讲解向量法求解空间点到平面的距离的步骤和原理：a.给定空间内的一点P(x0,y0,z0)，平面的方程为Ax+By+Cz+D=0；b.过点P作平面的垂线PT，设垂足为T(x1,y1,z1)；c.则P点到平面的距离d为向量PT的模长，即d=，PT；d.向量PT的方向为向量n=(A,B,C)；e.推出向量PT的坐标表示为PT=(x1-x0,y1-y0,z1-z0)；f.由于向量PT与向量n垂直，所以向量PT与向量n的点积为0；g.即(A,B,C)·(x1-x0,y1-y0,z1-z0)=0；h.由此可以求得x1、y1、z1，并代入向量PT的代数表达式，进而得到向量PT的模长，PT；i.则P点到平面的距离d即为，PT。
3.通过几个具体的例题，帮助学生理解和掌握向量法求解空间点到平面的距离的步骤和方法。
四、实践演练（15分钟）1.教师设计几个实际应用的例题，让学生运用向量法求解空间点到平面的距离，并进行计算。
《空间向量的应用—距离》教学设计
全国名校高中数学优质学案汇编（附详解）《空间向量的应用—距离》教学设计一、教学内容解析本节课是参照新课标高中数学人教B版数学选修2-1第三章空间量与立体几何3.2.5距离一节．它是空间向量及其运算之后，将其方法在立体几何中的应用，属于概念性知识和程序性知识．本课虽篇幅不长，但从学生的角度讲仍占有较高的地位，是对以往所学知识的梳理、归纳和提升，使学生从另一个视角认识空间向量的应用．通过观察，思考，动手操作可使其深刻理解数学源于生活，应用于生活，进而产生浓厚的数学学习兴趣，体会综合几何法和向量方法各自的优势，在学习的过程中深刻体会类比思想、化归思想等数学思想方法，让学生初步形成数学抽象，逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等学科核心素养．这部分知识的学习，不仅对学生核心素养的形成起到巨大的促进作用，更让学生深刻体会程序化思想，以及寻找一些问题的通性通法。
教学重点：四种距离的概念，点到平面距离的求法．二、教学目标设置课程目标：在必修课程学习的基础上，本主题将学习空间向量，并运用空间向量研究立体几何图形中图形的位置关系和度量关系。
单元目标：本单元的学习，可以帮助学生在学习平面向量的基础上，利用类比的方法理解空间向量的概念、运算、基本定理和应用，体会平面向量和空间向量的共性和差异；运用向量的方法研究空间基本图形的位置关系和度量关系，体会向量方法和综合几何法的共性和差异；运用向量方法解决简单的数学问题和实际问题，感悟向量是研究几何问题的有效工具。
课堂目标：通过本小节的教学，是学生达到以下要求：（1）理解图形F1与图形F2的距离的概念；（2）掌握四种距离的概念，会解决一些简单的距离问题．（3）学生能够独立用向量方法解决四类距离问题（4）学生能够利用数学抽象的方法发现生活中的距离问题；利用类比的方法总结并推广向量基本定理；利用化归的方法由点到平面的距离的向量解法推广到求直线与它平行平面、两平行平面的距离．三、学生学情分析教学主体——学生是普通高中二年级学生，已经掌握了立体几何初步以及空间向量与立体几何的基本内容．学生已经具有一定的观察、类比、化归、直观想象和逻辑推理的能力，具有初步的抽象思维和科学探究能力．学生在学习生活中可能已经遇到过求图形距离的相关事例，但对于空间向量求距离仍是比较陌生的．通过教师引导可以将学生已学过的空间向量知识应用到求解几何图形的距离上来，这是学生在老师的帮助下搭建图形距离与空间向量体系的桥梁。
用空间向量求点到面的距离精选ppt课件
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
O
线段，再计算这个
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin u u ur
d| AP|sin
AP
P
r
u u ur r
uur
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
向量法求空间距离教案
一、教案基本信息1. 向量法求空间距离教案2. 适用课程：高等数学、空间解析几何等3. 教学目标：让学生掌握向量法求空间两点间的距离公式培养学生运用向量知识解决实际问题的能力提高学生对空间几何概念的理解和运用二、教学内容及课时安排1. 第一课时：向量法求空间两点间的距离公式介绍向量的概念回顾空间直角坐标系介绍两点间的向量表示距离公式的推导2. 第二课时：向量法求空间距离的例题讲解与练习利用距离公式解决简单问题引导学生运用向量法解决实际问题课堂练习与讨论3. 第三课时：向量法求空间距离在实际问题中的应用利用向量法求空间直线、平面与其他几何体的距离引导学生运用向量法解决实际工程问题课堂练习与讨论4. 第四课时：向量法求空间距离的拓展与应用空间向量的其他运算向量法在空间解析几何中的应用课堂练习与讨论5. 第五课时：总结与复习回顾本节课的主要内容巩固向量法求空间距离的知识点布置课后作业三、教学方法与手段1. 采用讲授法、案例分析法、讨论法等教学方法，引导学生主动探究、积极思考。
2. 利用多媒体课件、黑板、模型等教学手段，直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的过程。
四、教学评价1. 课后作业：检查学生对向量法求空间距离公式的掌握程度。
2. 课堂练习：观察学生在实际问题中运用向量法的熟练程度。
3. 学生互评：鼓励学生之间相互讨论、交流，提高解决问题的能力。
五、教学资源1. 教材：高等数学、空间解析几何等相关教材。
2. 多媒体课件：展示空间几何图形，直观地呈现向量法求距离的过程。
3. 模型：用于直观展示空间几何图形，帮助学生更好地理解向量法求距离的概念。
4. 课后作业：提供一定数量的练习题，巩固学生对向量法求空间距离的掌握程度。
六、教学过程设计导入新课通过一个实际问题引入：在空间中，如何计算两点之间的距离？回顾已学的传统方法（如坐标差求和后开方），并提出向量方法作为一种更一般的解决方案。
探究新知介绍向量表示两点间的距离，即使用坐标表示的向量差来求距离。
向量法求点到面的距离
向量法求点到面的距离一、前言在三维空间中，点到面的距离是一个非常重要的问题。
它在计算机图形学、计算机视觉等领域都有广泛的应用。
本文将介绍向量法求点到面的距离。
二、向量法原理假设有一个平面，其法向量为 $\vec{n}$，过该平面上一点 $P_0$ 的垂线方程为：$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{P_0})=0$$其中 $\vec{r}$ 为任意一点的位置向量。
设点 $Q$ 到该平面的距离为 $h$，则有：$$h=\frac{\vec{n}\cdot(\vec{Q}-\vec{P_0})}{|\vec{n}|}$$三、求解过程1. 确定平面法向量 $\vec{n}$设已知三角形 $ABC$ 的三个顶点坐标分别为 $(x_A,y_A,z_A)$，$(x_B,y_B,z_B)$ 和 $(x_C,y_C,z_C)$，则可通过以下公式计算出平面法向量 $\vec{n}$：$$\begin{aligned}\vec{n}&=(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)\times(x_C-x_A,y_C-y_A,z_C-z_A)\\&=(y_B-y_A)(z_C-z_A)-(z_B-z_A)(y_C-y_A),\\&(z_B-z_A)(x_C-x_A)-(x_B-x_A)(z_C-z_A),\\&(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\end{aligned}$$其中 $\times$ 表示向量叉乘。
2. 确定过点 $P$ 的垂线与平面的交点 $Q$过点 $P$ 的垂线方程为：$$\vec{n}\cdot(\vec{r}-\vec{P})=0$$将其与平面方程联立，解得：$$\begin{aligned}\vec{r}&=\vec{P}+\frac{\vec{n}\cdot(\vec{Q}-\vec{P})}{|\vec{n}|^2}\vec{n}\\&=\vec{P}+\frac{\vec{n}\cdot(\vec{ P_0}-\vec{P})}{|\vec{n}|^2}\vec{n}\end{aligned}$$其中 $\vec{Q}$ 为过点 $P$ 的垂线与平面的交点，$\vec{r}$ 为任意一点的位置向量。
3.2立体几何中的向量方法：点到平面的距离
z
G
n EF， n EG
2 x 2 y 0 2 x 4 y 2 Z 0 1 1 n ( , ,1) , BE (2,0,0) 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
N
C O A x M y B
1
A1 D
B1
E C y B
A x
练习2：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1, ∠ACB=900,AA1= 2 , z 求B1到平面A1BC的距离。 C1 A1 C A x B y B1
练习3：
如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中， AC=BC=AB=1, AA1=1
C
x
A M
B
y
练习4：
已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面 ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点， z G 求点B到平面GEF的距离。
x
F
D
C
A
E
B
y
解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)．
x
F A
D
C
E
y
B
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习5： 在三棱锥S-ABC中，ABC 是边长为4的正三角 形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC= 2 3 ， M、N分别为AB、SB的中点，
(1)证明：AC SB; z S ( 2)求二面角N CM B的大小； ( 3)求点B到平面CMN 的距离.
用空间向量研究距离问题教案
用空间向量研究距离问题教案
课程名称：空间向量与距离问题
目标：
1. 学生能理解和掌握空间向量的基本概念和计算方法。
2. 学生能够利用空间向量解决距离问题。
教学内容：
一、空间向量的基本概念
-空间向量的定义及表示方法
-空间向量的运算性质：加法，减法，数乘，标积，叉积等
-特殊的空间向量（零向量，单位向量）
二、利用空间向量解决距离问题
-向量形式的距离公式：两个点之间的距离等于这两个点对应向量的模长之差的绝对值-利用向量形式的距离公式求解两点间的距离
-利用向量形式的距离公式求解直线与平面，平面与平面之间的距离
-通过实例，使学生了解并熟悉空间向量在解决实际问题中的应用
教学过程：
一、复习导入
对上节课学习的内容进行简单的回顾和总结，然后引入本节课的主题——空间向量。
二、新知识讲解
教师详细讲解空间向量的概念，运算性质以及向量形式的距离公式，并提供一些例题让学生练习。
三、课堂活动
组织学生分组讨论并解决几个有关空间向量的实际问题，鼓励他们相互协作和交流，提高他们的分析和解决问题的能力。
四、小结与作业
回顾本节课所学的主要内容，强调关键知识点。
布置相关的课后习题，以巩固学生的学习成果。
教学评价：
通过观察学生的课堂参与度，小组讨论的表现，完成课堂练习和课后作业的情况，来评估学生对空间向量的理解程度以及能否利用向量解决实际问题的能力。
向量法求空间距离教案
向量法求空间距离教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义1.2 向量的表示方法1.3 向量的基本性质1.4 向量的运算规则第二章：空间直角坐标系2.1 空间直角坐标系的定义2.2 坐标轴之间的夹角2.3 点的坐标表示方法2.4 向量在坐标系中的表示第三章：向量坐标的计算3.1 向量坐标的定义3.2 向量坐标的计算方法3.3 向量坐标的几何意义3.4 向量坐标的运算规则第四章：空间两点间的距离4.1 空间两点间的距离定义4.2 空间两点间的距离计算方法4.3 空间两点间的距离公式推导4.4 空间两点间距离的特殊情况第五章：向量法求空间距离5.1 向量法求空间距离的定义5.2 向量法求空间距离的步骤5.3 向量法求空间距离的应用实例5.4 向量法求空间距离的扩展练习第六章：空间向量的加法与减法6.1 空间向量加法的定义与性质6.2 空间向量减法的定义与性质6.3 空间向量加法与减法的几何意义6.4 空间向量加法与减法的运算实例第七章：空间向量的数乘7.1 空间向量数乘的定义与性质7.2 空间向量数乘的几何意义7.3 空间向量数乘的运算规则7.4 空间向量数乘的应用实例第八章：空间向量的点积与叉积8.1 空间向量的点积定义与性质8.2 空间向量的叉积定义与性质8.3 空间向量的点积与叉积的几何意义8.4 空间向量的点积与叉积的运算规则第九章：空间距离的向量法应用9.1 空间点到直线的距离9.2 空间点到平面的距离9.3 空间两直线间的距离9.4 空间两平面间的距离第十章：综合练习与拓展10.1 综合练习题10.2 综合练习题答案解析10.3 向量法求空间距离的拓展应用10.4 向量法求空间距离的拓展练习题重点和难点解析一、向量概念回顾补充说明：向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头表示。
向量的基本性质包括相等、相反、倍数等，向量的运算规则包括加法、减法和数乘等。
二、空间直角坐标系补充说明：空间直角坐标系是由三个相互垂直的坐标轴组成的，每个点在坐标系中都可以表示为一个有序实数对。
向量求点到平面的距离和两异面直线间距离
教师姓名 学生姓名 教材版本 人教版学科名称 数学年 级高一上上课时间2012.课题名称 利用向量解决立体几何教学目标 1掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法； 2.熟练掌握向量方法在实际问题中的作用 教学重点向量运用方法。
教 学 过 程备 注一、课前准备复习1：已知()()1,2,0,0,1,1,A B ()1,1,2C ，试求平面ABC 的一个法向量.复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学探究一：点到平面的距离的求法问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ? 分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠ ∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n .∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉| ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉| =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉=||||PA n n ⋅αnA ⋅O⋅P⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则D. =||||PA n n ∙ 试：在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.三、典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABCD 是矩形,PD ⊥平面ABCD ,PD DC a ==,2AD a =,M N 、分别是AD PB 、的中点,求点A 到平面MNC 的距离.APD C BMN小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'AA a ⊥,且'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'AA 的长.变式：已知直三棱柱111ABC A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BCA ∠=,E 是AB 的中点,求异面直线CE 与1AB 的距离.四、当堂检测1. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，平面''ABB A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABCD A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''ACDB 的距离是 .6. 如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：OM 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求OM 的长.7. 如图，空间四边形OABC 各边以及,AC BO 的长都是1，点,D E 分别是边,OA BC 的中点，连结DE .⑴ 计算DE 的长；⑵ 求点O 到平面ABC 的距离.课后小结上课情况：课后需再巩固的内容：配合需求家 长学管师学科组长审批教研主任审批。
原创1：1.2.5 第二课时 点到平面、直线到平面、平面到平面的距离
(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标．
(3)求向量：求出相关向量的坐标( AP ，α内两不共线向量，平面α的法向量n)．
(4)求距离d＝
| n PA |
n
.
新知探索
思考
怎样利用向量方法求直线到平面的距离、平面到平面的距离？
答案
一条直线和一个平面平行，直线到平面的距离就是这条直线上任一
2
∠ABC＝90°，PA＝AB＝BC＝2，AD＝1，则AD到平面PBC的距离为________．
则 ൜ ∙ = 0
∙ = 0
，
2 − 2 = 0
即 ቄ
，
=0
取a＝1，得n＝(1 ， 0 ， 1)，又 = ＝(2 ， 0 ， 0)，
所以d＝
∙
＝ 2.
课堂小结
1．知识清单：
EF (2, 2,0), EG ( 2, ,2),
x
设平面EFG的一个法向量为 n ( x , y , z ) ,
2 x 2 y 0
2 x 4 y 2 z 0
| n BE |
n
答:点B到平面EFG的距离为
A
2 11
.
11
2 11
.
11
C
F
1 1
(1)点到平面的距离．
(2)直线到平面的距离与平面到平面的距离．
2．方法归纳：数形结合、转化法．
3．常见误区：对距离公式理解不到位，在使用时生硬套用．对公式推导过程的
理解是应用的基础．
本
课
结ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
束
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利用向量法求点到平面的距离知识讲解
利用向量法求点到平面的距离利用平面的法向量求点到平面的距离 甘肃省 彭长军 如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n nu u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n nu u u r r g r = 1749=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒ x=y z 3y ⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。
向量法求空间点到平面的距离
向量法求空间点到平面的距离一、向量法求空间点到平面的距离在工程技术领域，空间点到平面的距离是一个非常重要的概念。
它涉及到很多实际问题，如建筑设计、机械设计等。
为了解决这个问题，我们需要运用向量法。
本文将从理论和实践两个方面来探讨向量法求空间点到平面的距离的方法和应用。
我们来了解一下向量法的基本原理。
向量法是一种通过计算向量的数量积来求解问题的数学方法。
在求空间点到平面的距离时，我们需要先找到空间点的坐标和平面的方程。
然后，根据向量法的原理，计算空间点到平面的距离。
接下来，我们将详细介绍向量法的具体步骤。
我们需要找到空间点的坐标和平面的方程。
空间点的坐标通常用(x, y, z)表示，而平面的方程可以用Ax + By + Cz + D = 0表示。
其中，A、B、C是平面的法向量，D是平面方程中的常数项。
在得到了空间点的坐标和平面的方程后，我们就可以开始计算空间点到平面的距离了。
具体步骤如下：1. 计算空间点到平面上的任意一点的向量。
这个向量的坐标为(x2 x1, y2 y1, z2 z1)。
2. 计算这个向量与平面法向量的点积。
点积公式为：(x2 x1) * A + (y2 y1) * B + (z2z1) * C。
3. 将点积的结果除以平面法向量的模长乘以法向量的模长。
这样就得到了空间点到平面的距离。
二、向量法求空间点到平面的距离的应用向量法求空间点到平面的距离在工程技术领域有着广泛的应用。
下面，我们通过几个实例来说明这一点。
1. 在建筑设计中，设计师需要确定一个建筑物的结构是否稳定。
这时，他们可以利用向量法求出建筑物的关键部位到支撑结构的距离。
如果距离小于一定值，那么建筑物的结构就是稳定的；反之，则需要进行调整。
2. 在机械设计中，工程师需要确定一个零件的位置是否合适。
这时，他们可以利用向量法求出零件到其他部件的距离。
如果距离合适，那么零件就可以安装在这个位置；否则，就需要重新设计。
3. 在地理信息系统(GIS)中，研究人员需要分析地表地形的高度变化。
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以O为原点，OB、OC、OA所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则A(0,0,1),B(1,0,0),C(0, ,0),D(-1,0,0),∴
E( , ,0), =(-1,0,-1), =(0, ,-1), =(- ,- ,0).
一、复习引入：
1、空间中如何求点到面距离
方法1、直接做或找距离；
方法2、；等体积
方法3、空间向量。
2、向量数量积公式
· = cosθ（θ为 与：如图， 平面 ，垂足为 ，则点B到平面 的距离是线段 的长度。
若 是平面 的任一条斜线段，则在 中， =
= =
如果令平面的法向量为 ，考虑到法向量的方向，可以得到点 到平面的距离为 =
新课导入：
我们在路上行走时遇到障碍物一般会想到将障碍物挪开，那还有别的方法吗
对！绕过去。在生活中我们都知道转弯，那么在学习上我们不妨也让思维转个弯，绕过难点用另一种方法解决。
我们知道要想求空间一点到一个面的距离，就必须要先找到这个距离，而找这个距离恰恰是一个比较难解决的问题，我们今天就让思维转个弯，用向量法解决这个难题。
设平面ACD的一个法向量为 ，则由 及 ，得
,取z= ,得 =(- ,1, ),于是点E到平面ACD的距离为d= = = .
板 书 设 计
1、复习
· = cosθ（θ为 与 的夹角）
在 上的投影d= cosθ=
2、点到平面的距离
B到面的距离d=
小结：向量法求点到面距离三步
（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量
（2）求出该平面的一个法向量
（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模
教学后记：
优点：1.从实际经验引导学生将生活经验用于学习，转换思维；
2.由例题整理步骤，理清思路，便于学生理解；
3.学生掌握很好。
向量法求空间点到面距离（教案）
教材分析
重点:点面距离的距离公式应用及解决问题的步骤
难点:找到所需的点坐标跟面的法向量
教学目的
1.能借助平面的法向量求点到面、线到面、面到面、异面直线间的距离。
2.能将求线面距离、面面距离问题转化为求点到面的距离问题。
3.加强坐标运算能力的培养，提高坐标运算的速度和准确性。
因此要求一个点到平面的距离，可以分为以下三步：（1）找出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量（2）求出该平面的一个法向量（3）求出法向量与斜线段对应的向量的数量积的绝对值再除以法向量的模
点评：斜线段也可以选择BF或者BC都行。
练习1、(06年福建高考题)如图4，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD= ，求点E到平面ACD的距离.