新初三数学讲义四分式方程及应用
中考数学专题复习课件(第9讲_分式方程及应用).ppt
【解答】(1)方程两边同时乘以 x(x＋1)，约去分母，得 x2＋x(x＋1)＝(2x＋1)(x＋1)．解得 x＝－12. 经检验，x＝－12是原方程的根． 所以，原方程的解为 x＝－12. (2)方程两边同时乘以 x(x－1)，约去分母，得 x2－(2x－2)(x－1)－x(x－1)＝0 解得 x＝12或 x＝2. 经检验，x＝12或 x＝2 都是原方程的根． 所以原方程的解为 x＝12或 x＝2.
(1)(2010·咸宁)分式方程x－x 3＝xx＋ －11的解为(
)
A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝3 D．x＝－3
(2)(2009 中考变式题)若解分式方程mxx－＋11＝－1 时产生增根，则 m 的值是(
)
பைடு நூலகம்
A．0 B．1 C．－1 D．±1
【点拨】(1)题方程两边同时乘以(x－3)(x－1)，约去分母得 x(x－1)＝(x－3)(x＋1)，解得 x＝－3.
(2010·重庆)某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作 20 天可完成．甲工程队单 独施工比乙工程队单独施工多用 30 天完成此项工程．
(1)求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天？ (2)若甲工程队独做 a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天(用含 a 的代数式表示) 可完成此项工程； (3)如果甲工程队施工每天需付施工费 1 万元，乙工程队施工每天需付施工费 2.5 万元， 甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使 施工费不超过 64 万元？
3．解方程：x－2 1＝x＋3 1. x＝5
4．解方程：2x3－4－x－x 2＝12. x＝53
初三数学中考数学专题讲义复习资料归纳第16讲 分式方程及其应用
第16讲分式方程及其应用考点·方法·破译1.分式方程(组)的解法解分式方程的一般步骤:⑴去分母,将分式方程转化为整式方程;⑵解整式方程;⑶验根.有的分式方程也要依据具体的情况灵活处理.如分式中分子(整式)的次数高于等于分母(整式)的次数时,可利用分拆思想,把分式化为“整式＋分式”的形式,化简原方程再解;或将分式方程两边化为分子(或分母)相等的分式,再利用分母(或分子)相等构成整式方程求解;或利用换元法将分式方程化为整式方程,或利用倒数法使方程更简便.2.分式方程增根在解分式方程时,通常将分式方程两边同时乘以最简公分母(化为整式方程),这就扩大了未知数的取值范围,可能产生增根.因此,解分式方程时一定要验根.又如求分式方程的解的取值范围(解是正数,或解是负数)时,要注意剔除正数解或负数解中的增根(因为增根不是分式方程的根).3.列分式方程解应用题列分式方程解应用题同运用整式方程解应用题的方法和步骤是类似的,但要注意分式方程求出的未知数的解要双重检验,①检验是否是增根,②检验解是否符合实际意义.经典·考题·赏析【例1】解下列方程:⑴22xx-+－2164x-＝1⑵12x+－2244xx-－22x-＝4⑶45xx--＋89xx--＝78xx--＋56xx--【解法指导】对于方程⑴、⑵只需先将分母分解因式,找到最简公分母,然后将分式方程转化为整式方程,求解并验根.对于方程⑶如果按常规方法去分母则计算复杂,若注意到将这四个分式的分母均比分子小这个特点,先化简,如45xx--＝515xx-+-＝1＋15x-,按照上述变形,原方程可变为15x-＋19x-＝18x-＋16x-再移项后分组通分求解较简单.解: ⑴22xx-+－()()1622x x-+＝1(x－2) 2－16＝(x＋2) (x－2)x2－4x＋4－16＝x2－4x＝－2当x＝－2时(x＋2) (x－2)＝0,∴x＝－2是增根,原分式方程无解.⑵12x +＋()()2422x x x +-－22x -＝4x －2＋4x 2－2(x ＋2)＝4(x ＋2) (x －2) ∴x ＝10当x ＝10时, (x ＋2) (x －2) ≠0, ∴原分式方程的解为x ＝10.⑶原方程变形为515x x -+-＋919x x -+-＝818x x -+-＋616x x -+-1＋15x -＋1＋19x -＝1＋18x -＋1＋16x -∴15x -＋19x -＝18x -＋16x - 15x -－16x -＝18x -－19x - 两边分别通分得:()()156x x ---＝()()189x x ---∴(x －5) (x －6)＝(x －8) (x －9)∴x ＝7 检验知x ＝7是原方程的解.【变式题组】 ⑴12x x --＝12x-－2⑵2x x -＋2＝3(2)x x-⑶14x -－23x -＝32x -－41x -⑷12x +＋242x x -＋22x-＝1【例２】当m 为何值时,分式方程1m x +－21x -＝231x -会产生增根? 【解法指导】我们很容易测出分式方程可能产生的增根是x ＝1或x ＝－1,只要把猜测的增根分别代入去分母后的整式方程,即可求出相应的字母的值.解:原方程去分母并整理得 (m －2) x ＝5＋m假设产生增根x ＝1,则有: m －2＝5＋m ,方程无解,所以不存在m 的值,使原方程产生增根x ＝1;假设产生增根x ＝－1,则有:2－m ＝5＋m ,解得m ＝－32. ∴m ＝－32时,分式方程1m x +－21x -＝231x -产生增根.【变式题组】 01.分式方程22x x -+－22x x +-＝2164x -的增根是__________. 02.若分式方程()()611x x +-－1mx -＝1有增根,则它的增根为( ) A.0 B.1 C.－1 D.1,－103.(绥化)若关于x 的方程23x -＝1－3m x -无解.则m 的值为___________. 04.分式方程1m x +－21x -＝232x -无解,则m 的值为___________.【例３】(杭州)已知关于x 的方程22x mx +-＝3的解是正数,则m 的取值范围是_________.【解法指导】求出方程的解x ＞0且x ≠2即可 解:22x mx +-＝3 2x ＋m ＝3x －6 x ＝m ＋6 ∴6062m m +>⎧⎨+≠⎩ ∴m ＞－6且m ≠－4【变式题组】 01.(孝感)关于x 的方程21x ax +-＝1的解是正数,则a 的取值范围是( ) A.a ＞－1 B. a ＞－1,且a ≠0 C. a ＜－1 D. a ＜－1,且a ≠－2 02.当m 为何值时,关于x 的方程22m x x --＝ 1x x +－ 12x x --的解是正数?【例４】(山东青岛)某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销,就用32000元购进了一批这种运动服,上市后很快脱销,商场又用68000元购进第二批这种运动服,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.⑴该商场两次共购进这种运动服多少套?⑵如果这两批运动服每套的售价相同,且全部售完后总利润不低于20%,那么每套售价至少是多少元?【解法指导】 ⑴设商场第一次购进x 套运动服,由题意得: 68000x －32000x＝10 解这个方程,得x ＝200,经检验, x ＝200是原方程的解. 2x ＋x ＝600∴商场两次共购进这种运动服600套.⑵设每套运动服的售价为y元.则有60032000680003200068000yx--+≥20%,y≥200∴每套运动服售价至少200元.【变式题组】01.(泰安)某服装厂准备加工400套运动装,在加工完160套后,采用了新技术,使得工作效率比原计划提高了20%,结果共用了18天完成任务,问计划每天加工服装多少套?在这个问题中,设计划每天加工x套,则根据题意可得方程为()A.160x＋()400120%x+＝18 B.160x＋()400160120%x-+＝18C.160x＋40016020%x-＝18 D.400x＋()400160120%x-+＝1802.(河池)铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销,由于销售状况良好,超市又调拨11000元资金购进该品种苹果,但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元,购进苹果数量是试销的2倍.⑴试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?⑵如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售,当大部分苹果售出后,余下的400千克按定价的七折售完,那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元?03.(广西梧州)由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程, 甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是3:2,两队合做6天可以完成.⑴求两队单独完成此项工程各需多少天?⑵此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后,学校付给他们20000元报酬,若按各自完成的工程量分配这笔钱,问甲、乙两队各得到多少元?演练巩固·反馈提高01.(牡丹江)关于x 的分式方程5mx -＝1,下列说法正确的是( ) A.方程的解是x ＝m ＋5 B. m ＞－5时,方程的解是正数 C. m ＜－5时,方程的解是负数 D.无法确定02.(安徽)甲志愿者计划用若干个工作日完成社区的某项工作,从第三个工作日起,乙志愿者加盟此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前3天完成任务,则甲志愿者计划完成此项工作的天数是( ) A.8 B.7 C.6 D.5 03.(上海)用换元法解分式方程1x x -－31x x -＋1＝0时,如果设1x x-＝y ,将原方程化为关于y 的整式方程,那么这个整式方程是( )A. y 2＋y －3＝0 B. y 2－3y ＋1＝0 C. 3y 2－y ＋1＝0 D. 3y 2－y －1＝004.有两块面积相同的试验田,分别收获蔬菜900㎏和1500㎏.已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第二块少300㎏,求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克.设第一块试验田每亩收获蔬菜x ㎏,根据题意,可得方程( )A.900300x +＝1500x B. 900x ＝1500300x -C.900x ＝1500300x +D.900300x -＝1500x05.(牡丹江)若关于x 的分式方程1x a x --－3x＝1无解,则a ＝___________.06.方程1x x +＋3＝21x +的解为___________.07.若x ＝1是方程21x a +＋22x a -＝0的解,则a ＝___________.08.若A ＝1x x -,B ＝231x -＋1,当x ＝___________时,A ＝B.09.若x ＝3是方程102x +＋2k ＝0的解,则3k k +－269k -÷23k -的值为___________.10.如果关于x 的方程1＋2x x -＝224m x -的解,也是不等式组1222(3)8xx x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解,求m 的取值范围.11.关于x 的分式方程61x -＝()31x x x +-－k x有解,求k 的取值范围.12.要使关于x、y的二元一次方程组21620x ayx y+=⎧⎨-=⎩有正整数解,求整数a的值.13.某工程准备招标,指挥部接到甲、乙两个工程队的标书,从标书中得知:乙队单独完成这项工程所需天数是甲队单独完成这项工程所需天数的2倍,该工程若由甲队先做6天,剩下的工程再由甲、乙两队合作16天可以完成.⑴求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?⑵已知甲队每天的施工费用为0.67万元,乙队每天的施工费用为0.33万元,该工程预算的施工费用为19万元.为缩短工期,拟安排甲、乙两队同时开工合作完成这项工程,问:该工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需要追加预算多少万元?请说明理由.14.(桂林)在我市某一城市美化工程招标时,有甲、乙两个工程队投标,经测算:甲队单独完成这项工程需要60天;若由甲队先做20天,剩下的工程由甲、乙合做24天可完成.⑴乙队单独完成这项工程需要多少天?⑵甲队施工一天,需付工程款3.5万元,乙队施工一天需付工程款2万元.若该工程计划在70天内完成,在不超过计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱?培优升级·奥赛检测01.(江西决赛试题)若实数x 、y 、z 满足方程组:122232xyx y yzy z zxz x ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=⎪+⎩,则有( ) A. x ＋2y ＋3z ＝0 B. 7x ＋5y ＋3z ＝0 C. 9x ＋6y ＋3z ＝0 D.10x ＋7y ＋z ＝002.(天津初赛试题)某段公路由上坡、平路、下坡三个等长的路段组成,已知一辆汽车在三个路段上行驶的平均速度分别为V 1、V 2、V 3,则此辆汽车在这段公路上行驶的平均速度为( )A.1233V V V ++ B.1231113V V V ++ C.1231111V V V ++ D. 1233111V V V ++03.(第十八届“希望杯”初二)解分式方程31x +＋51x -＝21mx -会产生增根,则m ＝___________. 04.方程()11x x +＋()()112x x ++＋…＋()()120102011x x ++＝1＋1x 的解是___________.05.(全国初中数学竞赛试题)小王沿街匀速行走,发现每隔6分钟从背后驶过一辆18路公交车,每隔3分钟从迎面驶来一辆18路公交车,假设每辆18路公交车行驶速度相同,而且18路公交车总站每隔固定时间发一辆车,那么发车间隔的时间是_________分钟. 06.解下列方程:⑴ 12x x ++－17x +＝23x x ++－16x + ⑵ 432x x +-＋324x x -+＝207.已知方程组22xy x y +＝23,32yz y z -＝－9, 53xyzxy yz zx -+＝157恰好有一组解为x ＝a ,y ＝b ,z ＝C.求a 2＋b 2＋c 2的值.08.设x、y都是整数,1x－1y＝12010.求y的最大正整数的解.09.(莆田)国务院决定从2009年2月1日起,“家电下乡”在全国范围内实施,农民购买入选产品,政府按原价购买总额的13%给予补贴返还.某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电,已知购买冰箱的数量是电视机的2倍,且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额15000元.根据“家电下乡”优惠政策,每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元,求冰箱、电视机各购买多少台?⑴设购买电视机x台,依题意填充下列表格:项目家电种类购买数量(台)原价购买总额(元)政府补贴返还比例补贴返还总额(元)每台补贴返还金额(元)冰箱40000 13%电视机x 15000 13%⑵列出方程(组)并解答.10.(齐齐哈尔)某电脑公司经销甲种型号电脑,受经济危机影响,电脑价格不断下降.今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元,如果卖出相同数量的电脑,去年销售额为10万元,今年销售额只有8万元.⑴今年三月份甲种电脑每台售价多少元?⑵为了增加收入,电脑公司决定再经销乙种型号电脑,已知甲种电脑每台进价3500元,乙种电脑每台进价为3000元,公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台,有几种进货方案?⑶如果乙种电脑每台售价为3800元,为打开乙种电脑的销路,公司决定每售出一台乙种电脑,返还顾客现金a元,要使⑵中所有方案获利相同, a值应是多少?此时,哪种方案对公司更有利?。
中考数学 分式方程及其应用数学课件
【自主解答】(1)设苹果进价为x元/kg.由题意，
4 0 0 x ＋ 1 0 % x (30 0 0 － 4 0 0 )＝ 21 0 0 ， x
解得x=5.经检验x=5是原方程的根.
答：苹果进价为每千克5元.
(2)由(1)知：每个超市苹果总量： /kg和5.5元/kg.
3 000大＝、60小0苹k果g售，价分别为10元
4.解：求出所列方程的解.
第二十页，共四十页。
5.检：检验( jiǎnyàn)包括两层含义，①检验( jiǎnyàn)是不是分式方程 的根.②检验是否符合实际问题. 6.答：写出答案.
第二十一页，共四十页。
【针对演练】
1.某工厂现在平均每天比原计划多生产50台机器，现在生产600台机器所
需时间与原计划生产450台机器所需时间相同.设原计划平均每天生产x台机
第三十六页，共四十页。
【典例】若关于x的分式方程(fēn shxìfānɡ c3héanɡ)－2 x－1 2x－2
负数解，则a的取值范围是
.
有非
第三十七页，共四十页。
【误区警示(jǐnɡ shì)】
错误 解题时只考虑“方程有非负数解”列出不等式，而忽略 分析 了原分式方程中的隐含条件：分母不能为零.
第三十二页，共四十页。
2.已知关于x的分式方程
范围是
.
x的解k－ 为负k数(fù1shù)，则k的取值 x1 x－1
【解析】去分母，得(x+k)(x-1)-k(x+1)=x2-1，
解得x=1-2k，由题意知x<0且x≠-1，即1-2k<0且1-2k≠-1，
解得 k ＞且k1 ≠1. 答案： 2且k≠1.
分式方程及其应用ppt
溶液平衡
分式方程可以描述溶质在溶液中的溶解平衡，为 分离和提纯提供理论指导。
环境化学
分式方程可以描述污染物在环境中的迁移和转化 ，为环境保护和污染治理提供依据。
04
分式方程与因式分解的联系
分式方程转化为整式方程
通过因式分解将分式方程转化为整式方程，可以简化计算， 提高解题效率。
分式方程的分类
简单的分式方程
只包含一个分式的方程，如 y = 5/x。
复杂的分式方程
包含多个分式的方程，如 (x² - 4)/(x² + x - 2) = 3。
分式方程的解法
转化成整式方程
通过数学方法将分式方程转化成整 式方程，然后求解未知数。
观察法
对于简单的分式方程，可以通过观 察分式的规律来求解。
验根的方法
将所求解代入最简公分母中，若最简公分母的值为0，则说明该解为增根，需要舍去；若 最简公分母的值为非0，则说明该解为有效解，保留。
注意分式方程的增根问题
增根的产生原因
分式方程求解时，若去分母后所得整式方程无解，或者求解 后所得的解代入最简公分母中使得最简公分母的值为0，则会 产生增根。
增根的解决方法
代数式的化简
分式可以用于代数式的化简，通过分式化简可以将复杂的 代数式化为简单的形式。
分式的化简方法包括约分、通分、分式的加减法等，可以 根据不同情况选择合适的方法进行化简。
方程组的解法
分式方程可以用于求解方程组，通过将方程组中的各个方程都转化为分式方程， 可以方便地求出方程组的解。
分式方程组的解法包括克莱姆法则、高斯消元法等，可以根据不同情况选择合适 的方法进行求解。
中考数学复习---分式方程的应用考点归纳与典型例题讲解PPT课件
根据等量关系，列出分式方程，再解即可．
【解析】设该地 4G 的下载速度是每秒 x 兆，则该地 5G 的下载速度是每秒 15x 兆，
600 600 由题意得： x − 15x =140，
解得：x＝4， 经检验：x＝4 是原分式方程的解，且符合题意， 15×4＝60，
答：该地4G的下载速度是每秒4兆，则该地5G的下载速度是 每秒60兆．
（3）该商场按（2）中获利最大的方案购进书包，在销售前，拿出 5 个书包赠送给某希望 小学，剩余的书包全部售出，其中两种书包共有 4 个样品，每种样品都打五折，商场仍获 利 1370 元．请直接写出赠送的书包和样品中，B 种书包各有几个？ 【分析】 （1）设每个 A 种书包的进价为 x 元，则每个 B 种书包的进价为（x+20）元，根据数量＝ 总价÷单价结合用 700 元购进 A 种书包的个数是用 450 元购进 B 种书包个数的 2 倍，即可 得出关于 x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
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求购买 A 种花卉多少盆时，购买这批花卉总费用最低，最低费用是多少元？ 【答案】（1）A 种花弃每盆 1 元，B 种花卉每盆 1.5 元；（2）购买 A 种花卉 1500 盆时 购买这批花卉总费用最低，最低费用为 8250 元
【分析】 （1）设 A 种花弃每盆 x 元，B 种花卉每盆（x＋0.5）元，根据题意列分式方程，解出方 程并检验；
4.（2020•广东）某社区拟建 A，B 两类摊位以搞活“地摊经济”，每个 A 类摊位的占地面 积比每个 B 类摊位的占地面积多 2 平方米．建 A 类摊位每平方米的费用为 40 元，建 B 类 摊位每平方米的费用为 30 元．用 60 平方米建 A 类摊位的个数恰好是用同样面积建 B 类摊
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2021年九年级中考数学复习 分式方程及其应用 复习 讲义
分式方程及其应用考点1:分式方程的相关概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．考点2:分式方程的解法（可化为一元一次方程的分式方程）解分式方程的一般步骤（1）去分母：方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；（易漏乘）（2）解整式方程；（3）验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；如果最简公分母的值为0，则这个解不是原分式方程的解，分式方程无解；（4）得出解答.考点3:分式方程的应用列分式方程解应用题的六个步骤(1)审：弄清题目中涉及的已知量和未知量以及量与量之间的等量关系；(2)设：设未知数，根据等量关系用含未知数的代数式表示其他未知量；(3)列：根据等量关系，列出方程；(4)解：求出所列方程的解；(5)验：“双重验根”；(①检验是否是分式方程的解；②检验解是否符合题意)(6)答：写出答案．精选例题例1. (1)若x=3是分式方程2102a x x --=-的根，则a 的值是___________. (2).已知关于x 的分式方程1131=-+-x x m 的解是非负数，则m 的取值范围是（ ） A.2>m B ．2≥mC ．32≠≥m m 且D ．32≠>m m 且 (3).若关于x 的方程ax 1+x −1=3x+1的解为整数，则满足条件的所有整数a 的和是( )A. 6B. 0C. 1D. 9例2 解下列分式方程:(1) 13112-=-x x ；(2)1416222-=-+-+x x x ； （3）2x+1+51−x =−10x 2−1 例3．观察下列分式方程的求解过程，指出其中错误的步骤，说明错误的原因，并直接给出正确结果. 解分式方程：331221x x x x --=++． 解：去分母，得 2x+2﹣（x ﹣3）＝3x. ……………步骤1 去括号，得 2233x x x +--=. ……………步骤2移项，得 2323x x x --=-. ……………步骤3合并同类项，得21x -=-. ……………步骤4解得 12x =. ……………步骤5 所以，原分式方程的解为12x =. ……………步骤6 例4.当a 为何值时，关于x 的方程223242ax x x x +=--+无解？ 例5．某校初二年级的甲、乙两个班的同学以班级为单位分别乘坐大巴车去某基地参加拓展活动，此基地距离该校90千米，甲班的甲车出发10分钟后，乙班的乙车才出发，为了比甲车早到5分钟，乙车的平均速度是甲车的平均速度的1.2倍，求乙车的平均速度．例6. 今年初，新型冠状病毒肺炎侵袭湖北，武汉是重灾区，某爱心人士两次购买N95口罩支援武汉，第一次花了500000元，第二次花了770000，购买了同样的N95口罩，已知第二次购买的口罩的单价是第一次的1.4倍，且比第一次多购进了10000个，求该爱心人士第一次购进口罩的单价．例7．某公司购买了一批A 、B 型芯片，其中A 型芯片的单价比B 型芯片的单价少9元，已知该公司用3 120元购买A 型芯片的条数与用4 200元购买B 型芯片的条数相等．设该公司购买的A 型芯片的单价为x 元.(Ⅰ)根据题意，用含x 的式子填写下表：(Ⅱ)根据题意列出方程，求该公司购买的A、B型芯片的单价各为多少元．。
中考数学复习专题7：分式方程及其应用1(共25张PPT)
考点3 分式方程的应用（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：列分式方程解决应用问题。
5．（2013山东泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生 产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了该电子元件的生产，若 乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务， 问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子 元件x个，根据题意可得方程为（ B ）
B
【解题思路】方程两边都乘以x－1，将分式方程转化为整式方 程来解即可．
【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式 方程转化为整式方程来解．另外，解分式方程时，检验是必不
可少解的重：要方步程骤两之边一都，因乘为以在x－方程1，两得边2都x乘＝以x－最1简＋公1分，母时， 容易产生增移根项（是、整合式并方，程得的x根＝，0但，不是分式方程的根，也可 以说是使最经简检公分验母，为x＝0的0根是）原．方程的解．
5．列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数； ③找：找出_等__量__关__系___； ④列：列出_分__式__方__程___； ⑤解：解这个分式方程； ⑥验：既要验证根是否为_原__分_式__方__程__的_根__，又要检 验根_是__否__符_合__题__意___； ⑦答：写出答案.
（2）根据“甲车12趟所需费用＋乙车12趟所需费用＝4800”求出 甲车、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进 行比较.
【思维模式】1.在列方程解决实际问题时， 一是要注意审题，找到题目中的相等关系； 二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的 量，注意根据问题情况灵活选择设法.如直接设、间接 设，设多元等； 三是求分式方程的解． 2.验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另 一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又 要符合实际意义.四是合算的问题就是方案选择问题， 也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求 那几个量，再进行计算比较.
分式方程及其应用课件
04
分式方程的练习题及解答
分式方程的练习题
总结词：巩固提高
练习题2：某种植物生长速度很快，已知它1天前的高 度，求现在的高度。
练习题1：小明打篮球，每场得分相同，已知他1场比 赛得分，求他打了多少场。
练习题3：已知一个矩形的面积和长，求宽。
分式方程的解答
总结词：解题技巧
解答1：通过观察， 发现分母可以约掉， 化简得分式方程即可 。
03
分式方程的注意事项
解分式方程的步骤
整理方程
将方程化为最简形式，以便后 续步骤。
确定根
通过交叉相乘等方法，确定方程 的根。
验根
通过代入法，验证方程的根是否正 确。
分式方程的局限性
适用范围有限
分式方程适用于可以化成分母 中带有未知数的形式的问题， 但有些问题可能无法使用分式
方程求解。
解法有限
分式方程的解法有限，常用的 只有几种，如部分分式、对数
超越分式方程：分母是超越式的分式方 程，如 $\frac{x}{e^x}$
分式方程的解法
约分法：将方程中的因子约掉， 化简方程
图象法：画出方程中变量的图象 ，通过交点求解方程
分式方程的求解方法包括以下几 种
换元法：引入新的变量，将方程 转化为容易求解的形式
逐步迭代法：通过逐步迭代，逼 近方程的解
02
2023
分式方程及其应用课件
目录
• 分式方程的基本概念 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的练习题及解答 • 分式方程的应用实例
01
分式方程的基本概念
分式方程的定义
1
分式方程是一种描述两个变量之间关系的数学 模型
2
它的一般形式为 $f(x) = \frac{B}{A}$，其中A 和B是两个整式
中考数学考点复习第三节分式方程的解法及应用课件
120
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慢车所用的时间为 x h，快车所用的时间为 1.2x h，根据慢车
先出发 0.5 h，可列方程为 1x20－11.220x＝0.5 ，解方程即可．
解：设慢车的速度为 x km/h，则快车的速度为 1.2x km/h， 根据题意得12x0－11.220x＝0.5， 解得 x＝40， 经检验，x＝40 是原分式方程的解，且符合实际． 答：慢车的速度是 40 km/h.
方程 的解 无解 解为增根(既是去分母后整式方程的根，又是使分式方程分母为0的根)
去分母后整式方程无解 法
分式
工程问题:工作时间= 工作量 ;特别地,有时工作总量可以看做整体“1”
工作效率
方程 的实 际应
常见 销售问题:数量 = 类型 行程问题:时间 =
总价 单价 路程 速度
用 双重检验:一验是否为分式方程的增根,增根应舍去;二验是否满足实际问题
x ．
＋ ＋k1－x－k 1＝1
的解为负数，则
k
的取值范围
7．若关于
x
的方程 x
a－x1＝x－2 1＋1
无解，则
a
的值是(
D
)
A．1
B．3
C．－1 或 2
D．1 或 2
8．(2021
金牛区二诊)关于
x
的分式方程
k－1 － x2－1 x
－1 1＝x＋k 1有增根，则
k＝ 3或13 ．
9．(2021 郫都区一诊)若关于 x 的方程 xx＋－m4 ＋43－mx＝3 的解为正数，则
3．分式方程有解或已知解的正负性： (1)解分式方程，用含某个字母的代数式表示出 x； (2)使分式方程分母或最简公分母≠0； (3)当分式方程的解为正数时：x＞0；当分式方程的解为负数时：x＜0； 当分式方程的解为非负数时：x≥0；当分式方程的解为非正数时：x≤0.
中考数学专题复习课件第9讲分式方程及应用
通过具体例题解析，展示如何根据实际问题列分式方程并求解。
04
分式方程的拓展提高
分式方程的拓展知识及例题解析
基础知识回顾
分式方程的基本定义、解法及注意事 项。
复杂分式方程的转化
介绍如何将复杂的分式方程转化为简 单的整式方程或一元一次方程，通过 移项、通分等方法简化计算。
分式方程的根的判别式
THANKS
在工程问题中，通常会有合作、交替、循环等不同情况，需要根据具体 情况建立方程。
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（一）
• 例题1
甲、乙两队分别承担A、B两个项目的施工任务，甲队比乙队快，问甲队何时完 成施工任务？
• 例题2
甲、乙两队合作承担一个项目的施工任务，问两队合作何时能完成施工任务？
列分式方程解应用题的常见类型及例题解析（二）
第9讲 分式方程及应用
汇报人： 2023-12-11
目录
• 分式方程的概念及解法 • 分式方程的应用 • 分式方程的注意事项 • 分式方程的拓展提高 • 中考真题及解析
01
分式方程的概念及解法
分式方程的定义及识别
定义
分式方程是一种含有未知数、分 母中含有未知数或常数的方程。
识别
分式方程通常具有形式如“ax/b = c”，其中“a、b、c”是常数 ，“x”是未知数。
观察法
通过观察方程的形式和特 点，直接得出方程的解。
实验法
通过尝试不同的解，观察 解是否符合原方程，从而 得出方程的解。
图象法
通过绘制函数的图象，观 察函数的零点，从而得出 方程的解。
02
分式方程的应用
列分式方程解应用题的基本思路和方法
设未知数
分式方程及其应用课件
密度与质量的关系
总结词
通过已知密度和质量，求体积
详细描述
密度是物质的质量除以其体积，可以用以下方程表示：密度 = 质量 / 体积。 已知密度和质量，就可以求出体积。例如，已知水的密度是1克/立方厘米， 质量为100克的水，其体积是100立方厘米。
效率与成本的关系
总结词
通过已知效率和成本，求产量或收益
示例
例如，x/3=2就是一个简单的分式方程，其中x是未知数，3 是分母。
分式方程的分类
简单分式方程
只有一个分式和一个未知数，且未知数在分母中。
复杂分式方程
包含多个分式和未知数，或者未知数在分子或分母中。
分式方程的解法
1 2
转化法
将分式方程转化为整式方程，求解整式方程得 到未知数的值。
图像法
画出分式方程对应的函数图像，通过交点或切 线求解未知数。
运动学问题
在物理学中，分式方程也经常用来解决运动学问题，例如计算物体的速度和 加速度。
在化学中的应用
化学反应速率
在化学反应中，分式方程可以用来描述化学反应的速率，以及反应物和生成物之 间的比例关系。
溶液浓度问题
在化学中，分式方程也经常用来解决溶液的浓度问题，例如计算溶液的渗透压等 。
在工程中的应用
例子
解分式方程 $x+1\div x-1=3$，通过建立方程 $(x+1)(x1)=3$，解决了问题。
分类讨论思想
分类讨论思想
对于一些未知数的取值范围不明确的问题，需要分类讨论。
例子
解分式方程 $\frac{x}{x-1}-\frac{3}{x}=1$，需要考虑 x 的取值范围，当 x<0 时，方程无解；当 0<x<1 时，方程的解为 x=3-2\sqrt{2}；当 x>1 时，方程的解为 x=3+2\sqrt{2}。
初中数学精品课件： 分式方程及其应用
种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?
解:(2)设购进A种粽子y个,则购进B种粽子(2600-y)个,
根据题意得:3y+2.5(2600-y)≤7000,
解得:y≤1000.
∴y的最大值为1000,故A种粽子最多能购进1000个.
解得x=5-a,5-a>0,解得a<5,
当x=5-a=2时,a=3不合题意,
故a<5且a≠3.
4. [2019·绵阳]一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h,它以最大航速沿江顺
流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用时间相同,则江水的
流速为 10
km/h.
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
1.5
−
120000
=5,解得 x=1000.
经检验,x=1000 是原分式方程的解且符合题意.
∴4 月份购进 1.5×1000=1500(件)T 恤衫,
∴毛利润为(2400×180+100×180×80%)-(120000+187500)=138900(元).
答:商店共获毛利润 138900 元.
即转换成关于 a 的一元一次方程,
解得 a=5.故选 A.
时,解分
[解析]方程两边同乘(x-3),
-5
式方程-3=3- 会出现增根.
得:x-5=-m,所以x=5-m.
若方程会产生增根,则增根为x=3,
所以5-m=3,解得m=2.
基
础
知
识
巩
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讲义四 分式的方程及应用（二）
1. 用科学记数法表示：—0.0000019639，并保留两个有效数字为 .
2. 若1232
x =，327y =，则y x = 3. 已知335x x -+=，则99x x -+= .
4. 已知222450a b a b +--+=，则20122a b -⋅= .
5. 若32228287n m
a a
b b b ÷=，则m = .n = . 6. 若关于x 的方程
323a x bx --=的解是2x =，则a b b a
-= . 7. ①若关于x 的方程1133a x x =+--会产生增根，则增根为 .a = . ②若关于x 的方程2251224
a x x x x +-=-+-会产生增根，则增根为 .a = . ③若关于x 的方程
211533x x x x x x a
++-=--有增根1x =，则a = . 8. 已知关于x 的方程2233x m x x -=+--. （1）若方程有解，则m 的取值范围为 .
（2）若方程无解，则m 的取值为 .
（3）若方程的解为正数，则m 的取值范围为
9. 若关于x 的方程
322133x mx x x
-++=---无解，则m = . 10. 若关于x 的方程2122212x x x a x x x x --+-=-+--的解是负数，则a 的取值范围为 . 11. 化简计算
（1）233231(5)()(15)m n mn m n -----⋅-÷
（2
）2021(2)(3)()2π-----+-
12.解方程 （1）22101x x x x
--+=- （2）222226124044444y y y y y y y y +--+=++-+-
（3）1
713722
22--+=--+x x x x x x
13. 如果关于x 的方程22124x m x x +=--的解也是不等式组1222(3)8
x x x x -⎧>-⎪⎨⎪-≤-⎩的一个解，求m 的范围 14..在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度。
15.某铁路局的一列火车接到了向相距720千米的四川灾区运送救灾物资的任务,行至距目的地120千米处时,因前方抢修被地震破坏的路段,而被迫停车30分钟,再启动后速度提高到原来的1.5倍,这样正好将货物按时送达,求列车原来的速度.
16.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲，乙两工程队承包此项目，如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成，如果乙工程队单独施工，就要超过6个月才能完成，现在甲乙两队共同施工4个月后剩下由乙队单独完成，则刚好如期完成，问原来规定修好这条公路需要多长时间？
17..甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线l 起跑，绕过P 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？。