利用导数求切线方程

切线方程的求法

●基础知识总结和逻辑关系

一、 函数的单调性

求可导函数单调区间的一般步骤和方法:

1) 确定函数的()f x 的定义区间；

2) 求'()f x ，令'()0f x =，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根；

3) 把函数()f x 的无定义点的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，

然后用这些点把函数()f x 的定义区间分成若干个小区间；

4) 确定'()f x 在各个区间内的符号，由'()f x 的符号判定函数()f x 在每个相应小区

间内的单调性.

二、 函数的极值

求函数的极值的三个基本步骤

1) 求导数'()f x ；

2) 求方程'()0f x =的所有实数根；

3) 检验'()f x 在方程'()0f x =的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正），则()

f x 在这个根处取得极大（小）值.

三、 求函数最值

1) 求函数()f x 在区间(,)a b 上的极值；

2) 将极值与区间端点函数值(),()f a f b 比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就

是最小值.

四利用导数证明不等式

1） 利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

① 直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）

区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立.

② 把不等式变形后再构造函数,然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的目

的.

2） 利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式.

导数的另一个作用是求函数的最值. 因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立.从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.

●解题方法总结和题型归类

1导数的几何意义及切线方程的求法

1）曲线y ＝f (x )“在”点P (x 0，y 0)处的切线与“过”点P (x 0，y 0)的切线的区别： 曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，若切线斜率存在时，切线斜率为k ＝f ′(x 0)，是唯一的一条切线；曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点，点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．

2）解决方案：解这类问题的关键就是抓住切点.看准题目所求的是“在曲线上某点处的切线方程”还是“过某点的切线方程”，然后求某点处的斜率，用点斜式写出切线方程.

【题】求过曲线cos y x =上点1

(,)32

P π且与在这点的切线垂直的直线方程.

【答案】：22032

x π--+= 【难度】*

【点评】

【题】已知曲线3:2C y x x =+，按下列条件求切线方程：

（1）切线过曲线C 上一点(1,3)；

（2）切线过曲线C 外一点(1,2)；

（3）切线的斜率为2.

【答案】：（1）520x y --=或11410x y -+=

（2）20x y -=或354270x y --=

（3）20x y -=

【难度】**

【点评】求切线方程要讨论过点是否为切点，（1）如果是切点，利用000()()y y f x x x '-=-求出切线方程。（2）不是切点，①设出切点11(,)M x y ，②写出过切点的切线方程111()()y y f x x x '-=-，③将点00(,)P x y 带入，求出x1，④讲x1的值带入，

11

1()()y y f x x x '-=-可得到切线方程。 【题】曲线313y x x =+在点4(1,)3

处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( )

A. 19

B. 29

C. 13

D. 23

【答案】：A

【难度】**

【题】.点P 在曲线323

y x x =-+上移动，设点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）

A. [0,]2π

B. 3[0,)[,)24πππ

C. 3[,)4

ππ D. 3(,]24

ππ 【答案】: B

【难度】**

【题】已知曲线33y x x =-，分别求满足下述条件的的切线方程。

（1）在点(0,0)P 处；

（2）过点(0,16)M -；

（3）过点(2,2)N 。

【答案】：（1）3y x =-

（2）9160x y --=

（3）2y =

【难度】**

【题】.设P 为曲线2:23C y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,]4

π

，则点P 横坐标的取值范围是( ) A. 1[1,]2

-- B. [1,0]- C. [0,1] D. 1[,1]2

【答案】: A

【难度】**

【题】设()f x 是偶函数,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线

的斜率为1,则该曲线在(1,(1))f --处的切线的斜

率为_________.

【答案】：1-

【难度】*

【题】设P 是函数ln y x =图像上的动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值为________.

【答案】：2

【难度】**

【题】设函数2()f x x ax b =++，()()x g x e cx d =+，若曲线

()y f x =和曲线()y g x =都过点(0,2)P ，

且在点P 处有相同的切线42y x =+，求a ，b ，c ，d 的值.

【答案】：a =4,b =2,c =2,d =2

【难度】**

【题】已知函数3()f x x =的切线的斜率等于3，则切线有

( )

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D.不确定

【答案】: B

【难度】**

【题】设函数()ln f x x =，当120x x <<，下列结论正确的是

( )