2014年10月 概率论

2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试概率论与数理统计(经管类) 试卷(课程代码041 83)本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。

考生答题注意事项：1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。

答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。

2．第一部分为选择题。

必须对应试卷上的题号使用2B 铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。

3．第二部分为非选择题。

必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。

4．合理安排答题空间。

超出答题区域无效。

第一部分 选择题一、单项选择题(本大题共l0小题，每小题2分。

共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。

未涂、错涂或多涂均无分。

1．设随机事件A 与B 相互独立，P(A)=0．2，P(B)=0．4，则P(A ｜B)= A ．0 B ．0．2 C ．0．4 D ．1A ．0B ．2C ．3D ．4 3．下列函数中可以作为某随机变量概率密度的是A.()23,01,0,.x x f x ⎧<<=⎨⎩其他B.()23,12,0,.x x f x ⎧<≤=⎨⎩其他C.()23,23,0,.x x f x ⎧<<=⎨⎩其他D.()23,11,0,.x x f x ⎧-<<=⎨⎩其他4．设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=3，则D(3X-2Y) =A ．6B ．18C ．24D ．485.设X ，Y 为随机变量，若()()()E XY E X E Y =，则下列结论一定成立的是A.()()()D XY D X D Y =B.()()()D X Y D X D Y +=+C.X 与Y 相互独立D.X 与Y 不相互独立6.设随机变量X 的方差等于1，由切比雪夫不等式可估计(){}2P X E X -≥≤A. 0B. 0.25C. 0.5D. 0.757.设总体X 的概率密度为()f x ，1x ，2x ，…，n x 为来自该总体的样本，则样本的联合概率密度函数为A.()f xB.()()()12n f x f x f x +++C.()f x ''D.()()()12n f x f x f x8.设总体X 的期望()()10E X λλ=>，1x ，2x ，…，n x 为来自该总体的样本，11ni i x x n ==∑，则λ的矩估计为 A.xB.1x C.x λ D.xλ9.若假设检验00:H μμ=，10:H μμ≠外的显著性水平为α，01α<<，则α=A.{}10|P H H 接受为真B.{}00|P H H 接受为真C.{}11|P HH 接受为真D.{}01|P HH 接受为真10.在一元线性回归方程01y x ββ=+中，回归系数1β=A.LxyLyyB.LyyLxyC.LxyLxxD.LxxLxy第二部分 非选择题二、填空题(本大题共l5小题，每小题2分，共30分) 请在答题卡上作答。

11.设随机事件A 与B 互不相容，()0.2P A =，()0.8P A B =，则()P B =___________.12.设A ，B 为随机事件，且()0.6P A =，()0.4P AB =，则()P AB =___________. 13.某工厂产品的次品率为1%，在正品中有80%为一等品，如果从该厂产品中任取一件进行检验，则检验结果是一等品的概率为___________.14.设()x Φ为标准正态分布函数，则()()22Φ+Φ-=___________.15.设()1F x ，()2F x 分别为随机变量1X ，2X 的分布函数，且()()()12F x aF x F x =-也是某随机变量的分布函数，则常数a =___________. ()F x 是X 的分布函数，则16.设随机变量X 的分布律为()2F =___________.17.设随机变量X 与Y 相互独立，X 的概率密度(),0,0,0,x X e x f x x -⎧>=⎨≤⎩Y 的概率密度()33,0,0,0,y Y e y F y y -⎧>=⎨≤⎩则当0x >，0y >时，二维随机变量(),X Y 的概率密度(),f x y =___________.18.设随机变量()~1,2X N ，()~0,1Y N ，且X 与Y 相互独立，则23~X Y +___________.19.设随机变量X 服从区间[]1,5上的均匀分布，则()()E X D X =___________.20.设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，随机变量()~1,4Y N ，则()22E X Y +=___________.21.设随机变量()~100,0.9X B ，则{}85P X >≈___________.（50.95253⎛⎫Φ= ⎪⎝⎭） 22.设总体()~0,1X N ，1x ，2x ，…，n x ，为来自该总体的样本，则21~nii x=∑___________.23.设总体X 的概率密度()1,01,0,,x x f x θθ-⎧<<=⎨⎩其他1x ，2x ，…，n x 为来自X 的样本，x 为样本均值()1x ≠，则θ的矩估计θ=___________.24.设总体()~,1X N μ，1x ，2x ，…n x 为来自X 的样本，x 为样本均值，则μ的()1α-置信区间为___________.25.设总体()2~,X N μσ（σ未知），1x ，2x ，…，n x 为来自该总体的样本，x ，2s 分别为样本均值和样本方差，则对于假设检验00:H μμ=，10:H μμ≠，应采用检验统计量的表达式为___________.三、计算题(本大题共2小题，每小题8分，共l6分)请在答题卡上作答。

26.某车间有3台独立工作的同型号机器，假设在任一时刻，每台机器不出现故障的概 率为0．9．求在同一时刻至少有一台机器出现故障的概率． 27．设二维随机变量(X ，y)的分布律为(1)求E(X)，E(y)，E(XY)；(2)问石与y 是否相互独立?并说明理由． 四、综合题(本大题共2小题，每小题l2分，共24分) 请在答题卡上作答。

28．设随机变量X 的概率密度为(),01,.ax x f x ≤≤⎧=⎨⎩其他求：（1）常数a ；（2）分布函数()F x ；（3）12P X ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭. 29．设二维随机变量(X ，Y)即的概率密度为()()236,0,0,,0,.x y ex y f x y -+⎧>>⎪=⎨⎪⎩其他 (1)求关于X ，Y 的边缘概率密度；(2)问X 与Y 是否相互独立?为什么? (3)计算P{X<1，Y<2}．五、应用题(本大题共l 小题，共l0分) 请在答题卡上作答。

30.设某地区居民每户的周消费额X （元）服从正太分布N （μ 25），今随机抽查100户居民，计算其平均消费额为x̅=340.5元。

问在显著性水平α=0.05下，可否认为该地区居民平均周消费额是340元？（21.96u α=）2014年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计（经管类）试题答案及评分参考（课程代码04183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1.B解：A 与B 相互独立，则P(AB)=P(A)P(B) 则P (A |B )=P(AB)P(B)=P (A )P(B)P(B)=P (A )=0.2考点：考察事件的独立性，书p18,1.4.1下面第三行 2.C解：由题知随机变量X 服从μ=3的正态分布，即曲线关于x=μ对称，且P {X >c }=P {X ≤c }，即c 为3考点：考察正态分布图像的性质，书p44，图2-7 3.A解：概率密度应该满足∫f （x ）dx =1+∞−∞，即∫3x 2dx =x 3|011=1，故选A 考点：考察概率密度的性质，书p39，概率密度性质（2） 4.D解：D(3X-2Y)=9D(X)+4D(Y)=36+12=48考点：考察方差的性质，书p103，性质4-6，性质4-7 5.B解：D (X +Y )=E(X +Y)2−[E (X +Y )]2=E (X 2+2XY +Y 2)−[E (X )+E (Y )]2=E (X 2)+2E (XY )+E (Y 2)−[E (X )]2+2E (X )E (Y )+[E (Y )]2=E (X 2)−[E (X )]2+E (Y 2)−[E (Y )]2=D (X )+D(Y)考点：考察方差的计算公式，书p97，公式4.2.3 6.B解：P {|X −E (X )≥2|}≤122=14=0.25考点：考察切比雪夫不等式，书116，定理5-1，第一个公式。

7.D考点：考察样本的联合密度函数，书p129，第六行8.B解：由题知1λ=x̅⇒λ=1x̅考点：考察矩估计，书p146，第二行9.A考点：考点：考察两类错误的概念，可记住以下结论：设α，β分别是假设检验中犯第一，第二类错误的概率且H0，H1分别是原假设和备择假设，则（1）P{接受H0|H0不真}=β，（2）P{拒绝H0|H0真}=α，（3）P{拒绝H0|H0不真}=1-β，（4）P{接受H0|H0真}=1-α10.C考：考察最小二乘估计的具体值为多少，书p187（中间部分）二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）11.0.6解：由题知A与B互不相容。

P(AB)=0,P(A⋃B)=P(A)+P(B)−P(AB)⇒P(B)=0.6考点：考察概率的性质，书p11，性质1-212.0.2解：P(AB̅)=P(A)−P(AB)=0.6−0.4=0.2考点：考察概率的性质，可参考书p12，例1-1513.0.792解：由题知，有99%的正品率，一等品的概率为0.99×0.8=0.792考点：考察概率的计算14.1解：Φ(−2)=1−Φ(2)，Φ(2)+Φ(−2)=1考点：考察正态分布的性质，书p45，正态分布性质（1）（书最后一行）15.2解：F (+∞)=aF 1(+∞)−F 2(+∞)=1⇒a −1=1⇒a =2 考点：考察分布函数的性质，书p37，分布函数性质（3） 16.0.4解：F (2)=P {X ≤2}=P {X =1}+P {X =2}=0.2+0.2=0.4考点：考察离散型分布变量及其分布律，可参考书p31，例2-5后面一段，在实际应用中…… 17. 3e −(x+3y)解：f (x,y )=e −x ×3e −3y =3e −(x+3y)考点：考察二维连续型随机变量的独立性，书p75，公式3.2.3 18.N(2,17)解：因为X,Y 相互独立，故2X +3Y~(2×1+0×3，22×2+32×1)=(2，17) 考点：考察两个独立连续型随机变量之和的概率分布，书p83，公式3.3.3 19. 94 解：E (X )=5+12=3，D (X )=(5−1)212=43故E(X)D(X)=94考点：考察均匀分布的期望和方差，书p90第一点，书p100第四点 20.17解：E (X 2+Y 2)=E (X 2)+E (Y 2)=D (X )+E(X)2+D (Y )+E(Y)2=3+9+4+1=17 考点：考察方差的公式，书p97，公式4.2.3 21.0.9525解：设X i 为第i 次，(i =1,2，…100)E (X i )=0.9，D(X i )=0.09，均方差为√D(X i )=0.3由中心极限定理知，随机变量Y 100=X−903近似服从正态分布， 故友P {85<X }=1−P {X ≤85}=1−P {∑X i −90100i=13≤85−903}=1−P {Y 100≤−53}=1−Φ(−53)=Φ(53)=0.9525考点：考察独立同分布序列的中心极限定理的运用，书p120定理5-4，可参考书p121，例题5-3（做题方法类似） 22.χ2（n ）考：考察.χ2分布的定义，书p137，定义6-6 23. x̅1−x ̅解：由题知E (X )=x ̅，E (X )=∫xθx θ−1dx =10∫θx θdx 1=θθ+1即θθ+1=x ̅⇒θ̂=x ̅1−x̅ 考点：考察矩估计，书p146第二行24.22,x x αα⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ 考点：考察置信区间的概念，书p155，例7-17，最后总结的部分25.0x s μ- 考点：题中方差未知，考察总体均值假设检验中的t 检验，书p171，公式8.2.3 三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.解：因为同一时刻工作的3台机器是否出现故障相互独立，且每台机器出现故障的概率为0.1，故该问题属于3重贝努利试验 …2分设事件A 表示“至少有一台机器出现故障”，则A 表示“没有机器出现故障”，()()()0330.10.90.729P A C =⋅=， …6分()()10.271P A P A =-=. …8分律，()31313442E X =⨯+⨯=，…2分27.解：(1)X 的边缘分布()13313012388882E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=； Y…4分()()()()()()()331100111213030310888E XY =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯ ()()193203384+⨯⨯+⨯⨯=； …6分(2)由于{}314P X ==，{}108P Y ==，显然{}{}{}1,010P X Y P X P Y ==≠==，故X 与Y 不相互独立。