第七章-FIR数字滤波器的原理与设计教案资料

H e j N 1 h n e j n H e je j 7 .5
n 0
其中有
( )
所谓时延是指信号通过 传输通道所需要的传输
时间
1. 恒时延滤波
相延时 群延时
p
它是滤波器某一频率延 迟的一个度量
d
g
d
它是滤波器平均延迟的 一个度量
所谓恒延时滤波就是要求相延时与群延时都是不随频率变化的常量。
优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位
失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中 非常重要；
（2 ）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因 果序列， 所以因果性总是满足；
由上式交叉相乘后利用三角函数恒等公式得
N 1h n sin n 0 7 .6
n 0
满足上式的条件是
N1
2
7.8
hnhN1n ,0nN1
上述条件下，就有 () 即
N1
p
g
2
为一常数，恒相延时与恒群延时同时成立。
如上所述，冲激相应h(n)关于中心点偶对称，由图7.2 可见无论N是偶数还是奇数，对称中心都位于(N-1)/2，只是 当N为偶数时， (N-1)/2不是整数。
第七章-FIR数字滤波器的原理与 设计
学习目标
掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较
7.1 FIR数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其 零极点
FIR数字滤波器是非递归的线性时不变因果系统，其差分方程为
图7.2 h(n)为偶对称的情形
3 只要求恒群延时成立
相移特性为一条不经过原点的直线
7 .1 0 0
源自文库
tg ctg 0
cos sin
N1hnsinn
n0
N1hncosn
n0
N 1hnco s n0 n0
2
0
2
图7.3 相移特性曲线
其充要条件为
0 /2
N 1 2
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
（5）无反馈运算，运算误差小。
缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数
为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式， 要借助计算机辅助设计程序完成。
7.2 线性相移FIR数字滤波器
7.2.1 线性相移FIR数字滤波器条件
所谓线性相移滤波器，也就是指其相移特性或频率响应的幅角是 频率的线性函数，FIR数字滤波器频率响应为
N 1
y(n ) h (i)x(ni)
7 .3
i 0
上式两边进行Z变换后，可得FIR滤波器的系统函数
H (z ) Y z N 1 h ( i)z i N 1 h n z n
X z i 0
n
7 .4
H z h ( 0 ) z N 1 h 1 z N 2 h N 2 z h ( N - 1)
N11 2
h
n
zn
h N 1zN21
N1
h
n
zn
n0
2
nN1
2
N11 2
h
n
zn
h
N 1zN21
N11 2
h
N 1n
zN1n
n0
2
n0
N11 2
hn
z z n
N1n
h N 1zN21
z N 1
可见，FIR滤波器的系统函数的极点都位于z=0处，为N-1阶极点，与系数h(n) 无关，因此FIR滤波器总是稳定的；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，可以位 于有限z平面的任何位置。
两种滤波器的比较
一、IIR DF的特点 1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。 2、相位的非线性 H（Z）的频响：H (e j ) H (Z )Z e j H (e j )e j ( ),
a. N为偶数时，利用对称性可作如下化简
H(z)
N1
h(n)zn
N1 2
h
n
zn
N1
h
n
zn
n0
n0
nN
2
N1
N1
2
h
n
zn
2
h
N 1n
zN1n
n0
n0
N1
h n z z 2
n
N1n
n0
7.14
b. N为奇数时，利用对称性可作如下化简
N1
H(z) h(n)zn n0
2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总 可以由因果系统实现。
3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。
4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。
5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的 应用，非线性的FIR一般不作研究。
FIR与IIR数字滤波器比较：
其中，H(e j) 是幅度函数，() 是相位函数。
通常，() 与 不是呈线性的，这是IIR filter
（无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。
3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。
二、FIR DF的特点
1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定 是稳定的。
2.要求恒相延时与恒群延时同时成立
如图7.1，θ(ω)的图像是一条经过原点的直线
N1
Hej hnejn n0 N1hncosnjsinn n0
O
图7.1 () 时的图像
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各 自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
tgcsions N N n 101hhnncsion snn n0
N 1
y(n) aix(ni)
7.1
i0
系统的冲激响应为
N 1
h (n ) a i (n i)
i 0
a n a n 1 an (N 1 ) 7 .2
0
1
N 1
可见这个系统的冲激响应是有限长度的，即有限冲激响应（FIR）滤波器。
将
a h ( i) i
( i 0 ,1 , N 1 )代人（7.1）式得
如下图可见冲激响应关于中心点奇对称，无论N为奇数还是
偶数，对称中心都位于（N-1）/2；当N为奇数时有
h
N21
0
总之，线性相移FIR滤波器的必要条件是其冲激响应为偶对 称或奇对称。
图7.4 h(n)为奇对称的情形
7.1.2 线性相移FIR滤波器的网络结构
1. 偶对称的情形
偶对称时 h (n ) h N 1 n