第七章-FIR数字滤波器的原理与设计教案资料
数字信号处理第七章有限单位冲激响应FIR数字滤波器的设计方法(共95张PPT)
线性相位分析
H (z)z (N 2 1 )N n 0 1h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
H (ej)e e j j(( N )2 1) N n 0 1 h( n) c o s(n (N 2 1 ) ) (1) H ()
m 0
即 H (z) z (N 1 )H (z 1 )
H (z) z (N 1 )H (z 1 )
所以有： h (z) 1H (z) z (N 1 )H (z 1 ) 2
1N 1h (n )z nz (N 1 )zn 2n 0
z (N 2 1 )N n 0 1 h (n ) 1 2Z (n (N 2 1 )) 1 2Z (n (N 2 1 ))
m1
(N 1)/2a(n)con s)(
n0
其中: a ( 0 ) h (N 1 ),a ( n ) 2 h ( n N 1 ),( n 1 )
2
2
由于con s对 0,,2
是偶对称的。
因此，H()对0,,2
为偶对称。
线性相位滤波器的幅度特点
2、h(n)偶对称，N为偶数
对（1）式与如上合并项，注意到由于N为偶数， h(N 1) 项即为0，则
四种线性相位滤波器
偶对称单位冲激响应
h (n ) ＝h (N－ 1－n )
相位响应
( ) N 1 2
情
况
( )
1
o
－ N( － 1)
N为 奇 数 h (n )
0 a (n )
N－ 1 n
0
N 1
n
2
( N 1) / 2
H ( ) a (n) cos n
n0
实验7 窗函数法设计FIR数字滤波器
实验7窗函数法设计FIR数字滤波器一、实验目的掌握窗函数法设计F1R数字滤波器的原理和具体方法二、实验设备与环境计算机、Mat1ab软件环境三、实验基础理论1>基本原理窗函数设计法的基本思想为，首先选择一个适当的理想的滤波器Hd(,3),然后用窗函数截取它的单位脉冲响应％(九)，得到线性相位和因果的FIR滤波器，这种方法的重点是选择一个合适的窗函数和理想滤波器,使设计的滤波器的单位脉冲响应逼近理想滤波器的单位脉冲响应。
2、设计步骤(1)给定理想滤波器的频率响应Hd("3),在通带上具有单位增益和线性相位，在阻带上具有零响应。
一个带宽为g(3c<Tr)的低通滤波器由下式给定h(e j^=(eW∣ω∣≤ωc虱)一1Oωc<∣ω∣<π其中α为采样延迟，其作用是为了得到因果的系统。
(2)确定这个滤波器的单位脉冲响应为了得到一个h(n)长度为N的因果的线性相位FIR滤波器，我们令N-Ia=-2-(3)用窗函数截取hd(τι)得到所设计FIR数字滤波器h(n)h(n)=h d(n)w(n)3、窗函数的选择常用的窗函数有矩形窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗、凯瑟窗等。
Mat1ab提供了一些函数用于产生窗函数，如下表所示：在设计过程中我们需要根据给定的滤波器技术指标,选择滤波器长度N 和窗函数3(n)°表7.2列出了常用的窗函数的一些特性，可供设计时参考。
其中幻是修正的零阶贝塞尔函数，参数B 控制最小阻带衰减，这种窗函数对于相同的N 可以提供不同的过渡带宽。
由于贝塞尔函数比较更杂，这种窗函数的设计方程很难推导,然而幸运的是，有一些经验设计方程可以直接使用。
已知给定的指标叫Msc,Rp 和4,滤波器长度N 和凯瑟窗参数B 可以按如下凯瑟窗设计方程给出过渡带宽：∆ω=ωst -ωp入一7.95 2.285∆ω_(0.1102(4-8.7) ,P=iθ.5842(4-21)04+0.07886(4-21), 四、实验内容1、设计一个数字低通FIR 滤波器，其技术指标如下ωp =0.2τr,RP=0.25dBωst =0.3τr,A s =50dB分别采用矩形窗、汉宁窗、海明窗、布莱克曼窗、凯瑟窗设计该滤波器。
数字信号处理第三版第七章
对称，是满足式（7.1.9）的一组解，
因为cos［ω(n－τ)］关于n=τ偶对称，所以要求τ和h(n)满
足如下条件：
()
,
N1
2
2
h(n)h(N1n), 0≤ n≤ N1
（7.1.10）
2． 线性相位FIR滤波器幅度特性Hg(ω)的特点 实质上，幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波
因为cos［ω(n-τ)］关于ω=0, π, 2π三点偶对称，所以由 式（7.1.11）可以看出，Hg(ω)关于ω=0, π, 2π三点偶对称。 因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤 波器。
情况2： h(n)=h(N－n－1), N为偶数。
仿照情况1的推导方法得到:
H ( e j ) H g () e j = N 1 h ( n ) e j n e j M 2 h ( n )c o s (( n ) )
第7章 有限脉冲响应数字滤波器的设计
7.1 线性相位FIR数字滤波器的条件和特点 7.2 利用窗函数法设计FIR滤波器 7.3 利用频率采样法设计FIR滤波器 7.4 利用等波纹最佳逼近法设计FIR滤波器 7.5 IIR和FIR数字滤波器的比较 7.6 几种特殊类型滤波器简介 7.7 滤波器分析设计工具FDATool
用情况3的推导过程可以得到:
M
Hg() 2h(n)sin[(n)] n0
（7.1.13）
N是偶数，τ=(N－1)/2=N/2－1/2。所以，当ω=0, 2π时，
sin［ω(n－τ)］=0；当ω=π时，sin［ω(n－τ)］=(－1)n－ N/2, 为峰值点。而且sin ［ω(n－τ)］关于过零点ω=0和
如何减少吉布斯效应的影响，设计一个满足要求的FIR滤波器呢？ 直观上，增加矩形窗口的宽度（即加大N）可以减少吉布斯效应 的影响。N 时， 在主瓣附近， WRg(ω)近似为：
第7章FIR数字滤波器的设计方法
通滤波器。
4. h(n)奇对称，N为偶数
H () N / 2 a(n) sin[(n 1 )]
n 1
2
幅度响应 H ()具有以下特点：
(1)当 0, 2 时， (2)H ()对 呈偶对称。H() 0 对 0, 2 呈奇对称
因此，具有h(n)奇对称，N为偶数的FIR滤波器不能实现低 通、带阻滤波器。
H (e j )
Hd
(e j ) *W (e j )
满足： () 或者 () 其中 都是常数。
当 d () 也标志滤波器具有线性相位。
对于FIR滤波器，设其单位冲激响应为h(n)，长度为N，则
N 1
对应的系统函数为：H (z) h(n)zn n0
下面讨论有限长单位冲激响应h(n)为实序列，并关于(N 1) / 2
偶对称或者奇对称两种情况的相位特性。
偶对称性或者奇对称，那么该FIR滤波器具有线性相位
特性。
7.1.2 线性相位FIR数字滤波器的幅度特点 1. h(n)偶对称，N为奇数
H
( )
N 1
h(n) cos[(n
n0
N 2
1)
]
由于N为奇数,中间项为 n N,1 cos[(n N 1)] 1
2
2
其余项偶对称 ,
N 3
H () h( N 1) 2 2h(n) cos[(n N 1)]
为偶数的FIR滤波器不能用
于高通滤波器或者带阻滤
波器。
3. h(n)奇对称，N为奇数 ( N 1) / 2 H () a(n) sin(n)
n 1
幅度响应H ()具有以下特点：
(1)当 0, , 2 时，H() 0
(2) H ()对 0, , 2 呈奇对称。 因此，具有h(n)奇对称，N为奇数的FIR滤波器只能实现带
FIR滤波器的原理及设计
选题2 实验讲义实验名称：基于分布式算法的FIR 滤波器设计1．数字滤波器基础知识数字滤波是信号与信号处理领域的一个重要分支，在语音图像处理、模式识别、谱分析、无线通信等领域都有着非常广泛的应用。
通过滤波运算，将一组输入数据序列转变为另一组输出数据序列，从而达到修正时域或频域中信号属性的目的。
数字滤波器就是用于完成这种信号滤波功能，用有限精度算法来实现的一种离散时间线性时不变（LTI ）系统。
相比于模拟滤波器，数字滤波器具有以下优点：（1）数字滤波器的频域特性容易控制，性能指标优良；（2）数字滤波器可以工作在极低的频率，可以方便地实现模拟滤波器难以实现的线性相位系统；（3）数字滤波器工作稳定，一般不会受到外部环境的影响；（4）数字滤波器的灵活性和可重用性高，只需要简单编程就可以修改滤波器的特性，设计周期短。
数字滤波器的实现可以采用专用DSP 芯片，通过编写程序，利用软、硬件结合完成滤波器设计，也可以采用市面上通用的数字滤波器集成电路来实现，但这两种方法无法适应高速应用场合。
随着集成电路技术的高速发展，FPGA 应用越来越普及，FPGA 器件具有芯片密度大、执行效率高，速度快，集成度高等优点，用FPGA 芯片作为滤波器的设计载体，可以实现高速信号滤波功能。
1.1 FIR 数字滤波器特点数字滤波器通常分为IIR （无限冲激响应）和FIR(有限冲激响应)两种。
FIR 滤波器具有以下特点：（1）可以做成严格的线性相位，同时又可以具有任意的幅度特性（2）单位冲激响应是有限长的，所以一定是稳定的，因此在实际中得到广泛的应用。
1.2 FIR 滤波器结构设FIR 滤波器的单位冲激响应为)(n h ，10-≤≤N n ，系统函数 ∑-=-=1)()(N n nzn h Z H差分方程形式为：∑-=-=1)()()(N k k n x k h n y （1）基本结构（直接型）：图（1）FIR 滤波器的基本结构1.3 结构简化当FIR 滤波器具有严格线性相位时，)(n h 满足)1()(n N h n h --=或)1()(n N h n h ---=设N 为偶数，令 )]1([)()0(--±=N n x n x s )]2([)1()1(--±-=N n x n x s)2()]12([)12(N n x N n x N s -±--=- 则（1）式可以简化为：∑-=-=120)()()(Nk k n s k h n y （2）与（1）相比，所需乘法器数量降为原来的一半。
FIR滤波器的原理及设计
FIR滤波器的原理及设计1.选择理想的滤波特性：根据实际需求，选择滤波器的频率响应特性。
常见的滤波特性包括低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等。
这些特性可以通过选择不同的频率响应曲线来实现。
2.确定滤波器的长度：确定滤波器的长度是指确定冲激响应函数h(n)的长度。
一般情况下，滤波器的长度与所需的滤波特性密切相关。
如果需要更陡的滤波特性，滤波器的长度应该相对较长。
3.求解滤波器的系数：滤波器的系数通过优化方法求解得到。
最常用的方法是窗函数法和最小二乘法。
-窗函数法：将理想的频率响应特性和滤波器的长度进行离散傅里叶变换，得到频率响应的频谱图。
然后，利用窗函数将频谱图控制在滤波器的长度范围内，并进行反离散傅里叶变换得到滤波器系数。
-最小二乘法：将理想的频率响应特性与滤波器的输出响应特性进行最小二乘拟合，通过最小化滤波器的输出与理想输出之间的误差，得到滤波器的系数。
优化方法的选择主要取决于滤波器的设计要求和性能指标。
例如，窗函数法简单易用，适用于一般的滤波要求；最小二乘法则可以得到更精确的滤波器响应。
FIR滤波器设计的一个常见问题是权衡滤波器的性能和计算复杂度。
较长的滤波器可以实现更陡的滤波特性，但也会增加计算复杂度。
因此，在设计FIR滤波器时需要综合考虑滤波特性、滤波器长度和计算复杂度等因素，以达到最佳性能和实用性的平衡。
总之，FIR滤波器是一种基于冲激响应函数的数字滤波器。
它的设计原理主要包括选择滤波特性和确定滤波器的长度，然后通过窗函数法或最小二乘法求解滤波器的系数。
FIR滤波器具有线性相位、稳定性和灵活性等优点，在数字信号处理中有着广泛的应用。
数字信号处理讲义第7章滤波器的设计方法
第７章滤波器的设计方法教学目的1．掌握由连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．了解常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
教学重点与难点重点：本章是本课程的重中之重，滤波器的设计是核心内容之一。
1．连续时间滤波器设计离散时间IIR滤波器的方法，包括冲激响应不变法，双线性变换法等；2．常用的窗函数，掌握低通IIR滤波器的频率变换法、用窗函数法设计FIR滤波器的方法；3．掌握FIR滤波器的逼近原理与设计方法。
难点：1.冲激响应不变法，双线性变换法2.用窗函数法设计FIR滤波器FIR滤波器的逼近原理与设计方法基本概念7.0.1 选频滤波器的分类数字滤波器是数字信号处理的重要基础。
在对信号的过滤、检测与参数的估计等处理中, 数字滤波器是使用最广泛的线性系统。
数字滤波器是对数字信号实现滤波的线性时不变系统。
它将输入的数字序列通过特定运算转变为输出的数字序列。
因此，数字滤波器本质上是一台完成特定运算的数字计算机。
我们已经知道，一个输入序列x(n)，通过一个单位脉冲响应为h(n)的线性时不变系统后，其输出响应y(n)为∑∞-)(y))()()(n(nn=m*=xmhnhx将上式两边经过傅里叶变换，可得式中，Y (e j ω)、X (e j ω)分别为输出序列和输入序列的频谱函数， H (ejω)是系统的频率响应函数。
可以看出，输入序列的频谱X (e j ω)经过滤波后，变为X (e j ω)H (e j ω)。
如果|H (e j ω)|的值在某些频率上是比较小的，则输入信号中的这些频率分量在输出信号中将被抑制掉。
因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择H (ej ω)，使得滤波后的X (e j ω)H (e j ω)符合人们的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。
和模拟滤波器一样，线性数字滤波器按照频率响应的通带特性可划分为低通、高通、带通和带阻几种形式。
FIR数字滤波器的理论和设计PPT课件
应。它使得截断后产生的FIR滤波器特性与理想特性之间有误差，分析误 差产生的原因和影响误差的因素可以设计出特性更加好的FIR滤波器。
制作：常军
第 17 页 07.11.2020
讨论：
(1 )对 于 窗 函 数 截 断 处 理 后 的 吉 布 斯 效 应 会 在 通 带 内 产 生 波 动 ， 波 动 次 数 与 截 取 长 度 N (F IR 滤 波 器 的 阶 数 )有 关 ， 但 波 动 的 肩 峰 (最 大 波 动 幅 度 处 )幅 度 与 N 无 关 ， 取 决 于 窗 函 数 的 旁 瓣 幅 度 特 性 W (ej) 。
(P149~150)
N为 偶 数 ， h(n)偶 对 称 N为 偶 数 ， h(n)奇 对 称 N为 奇 数 ， h(n)偶 对 称 N为 奇 数 ， h(n)奇 对 称
() ()
2
() ()
2
h(n)偶 对 称 h(n)奇 对 称
相 延 时 和 群 延 时 都 为 常 量 群 延 时 为 常 量
N 为奇数，对称中心点是 N 1 。 2
H
(z)
N 1
h[n] z n
N 1
z 2
N 11 2
N 1 n
• { (h[n] z 2
h[ N
1
N 1( N 1 n )
n] z 2
)
h[
N 1 2
]}
n0
n0
N 1 n
N 1( N 1 n )
N 1 n
( N 1 n )
h[n] z 2 h[N 1 n] z 2
(2 )过 渡 带 宽 度 与 阶 数 N 有 关 ， 对 于 矩 形 窗 函 数 此 宽 度 为 4N。 相
FIR数字滤波器的理论和设计PPT课件
所 以 ， 只 要 使FIR滤 波 器 的 冲 击 响 应h(n)为 对 称 序 列 ， 就 可 以 取 得
线 性 相 位 特 性 。 群 延 时 g()N21。
制作：常军
第6页 07.11.2020
7.1.2 线性相位特性FIR 滤波器的实现流图：
具有线性相位特性的 FIR 滤波器的冲击响应 h(n)有对称性，所以系 统差分方程可以表示为：
(2)局部优化设计法：(等波纹逼近法)以理想滤波器特性为基础， 设定一、二个过渡带逼近点，然后对FIR滤波器差分方程系数进 行优化计算得H(z)。由于需要部分优化计算，所以计算量较大。 局部优化设计法主要是针对过渡带进行优化，而通带波动，阻带 特性等不一定很好。
(3)最优化设计法：(计算机辅助设计)在某种最小化误差准则下， 建立差分方程系数 b i 对理想特性的逼近方程，使用迭代方法解 方程组得到最佳逼近系统。由于此方法计算量大，需要借助于计 算机进行设计。
h[n ]( z 2 z 2 )
对频率响应特性；
H
(e
j
)
e
j
N 1 2
N 11 2
j ( N 1 n )
• { h[n]( e 2
j( N 1 n)
e 2 )
h[ N
1]}
n0
2
j N 1
e 2
N 11
2
•{
h[n] cos ( N
1 n)
h[ N
1 ]}
e
j
N 1 2
•
A( )
7.1.3 线性相位特性FIR 滤波器的零、极点：
FIR 数字滤波器的系统函数只在 Z=0 处有N-1 阶极点。在Z平面有 N-1 个零点，如系统具有线性相位特性，则系统零点有一些规律。
第七章FIR数字滤波器设计讲义教材
h(n) 奇对称
图1 线性相位特性
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频率约束：
（1）h(n)=h(N-n-1)，N为奇数 (N 3)/2 –幅度特性为：H g()h2h(n)cos n n0 –相位特性：()
–由于c o s(n )关 于 0 , ,2偶对称，因此，H g 对
这些频率也呈偶对称。 –可实现低通、高通、带通、带阻滤波器
• Hg()在=0，2 处为零，即H(z)在 z=1处有零点； • Hg() 在=0，2 奇对称，在=处偶对称。 • 不能用于低通和带阻
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（3）线性相位FIRDF的零点分布特点
N1
将 h(n)h(N1n)代入式 H(z) h(n)zn得到
N 1
n0
N 1
H(z) h(n)zn h(N 1 n)zn
z1 z2
z2
1
z
* 1
Re( z )
零点分别是复数、 纯虚数、实数和 单位圆上的实数
z
* 3
1
z1
返回
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由 该 式 可 看 出 ， 若 z=zi 是 H(z) 的 零 点 ， 则 z=z-1i 也 一 定 是 H(z)的零点。由于h(n)是实数，H(z)的零点还必须共轭成对 ，所以z=z*i 及 z=1/z*也必是零点。
完成幅度特性的逼近即可。
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7.2 窗函数设计FIRDF
设计思想 ➢ 保证线性相位 ➢ 逼近理想滤波器 H d (e j ) • 窗口设计法（时域逼近） • 频率采样法（频域逼近） • 最优化设计（等波纹逼近）
➢ h d ( n ) 一般情况下是无穷序列，需对其进行
第7章FIR数字滤波器的设计
| H (e jω) |
只能实现带通滤波器
-π
0
π
2π ω
(d) BSF
情况4：h(n) = -h(N-n-1)，N为偶数
M
H g () 2h(n) sin[(n )] n0 | H (e jω) |
-π
0
π
2π ω
(a) LPF
| H (e jω) |
N 1
2
,
M
N 1 2
N 1 N 1
h(n) hd (n)w(n)
N 1 2
hd (n) , 0 ,
0n 其 它n
N
1
h(n)
c
0 ,
sin[c (n
N 1)] 2,
0
n
c
(n
N 1) 2
其 它n
N
1
图7.2.1 窗函数设计法的时域波形（矩形窗，N=30）
加窗处理对理想矩形频率响应产生的影响
h(n)
hd
(n)wN
(n)
H (e j )
(7.2.6)
(
)
(N 1) 2
对实际FIR滤波器频率响应的幅度函数起影 响的是窗函数频率响应的幅度函数 WRg ()
可以实现各种滤波器
-π
0
π
2π ω
(c) BPF
| H (e jω) |
-π
0
π
2π ω
(d) BSF
情况2：h(n) = h(N-n-1)，N为偶数
N 1
2
,
M
N 1 2
N 1
H (e j ) h(n)e jn H g ()e j () H g ()e j n0
FIR数字滤波器的设计
四、实验内容
2、fir2函数：设计具有任意频率特性的FIR滤波器 b=fir2(n,f,m): 设计一个n阶滤波器，幅频响应向量由
输入参数f,a决定。 f频率向量，取值范围为（0.0,1.0）,1对应0.5fs. f的元
素以升序排列。 2 、b=fir2(n, f,m,window): window: 指定所使用的窗函数的类型，其长度为n+1,默
四、实验内容
subplot(2,2,3); plot(rad,20*log(abs(mag3))); grid on; subplot(2,2,4); plot(rad,20*log(abs(mag4))); grid on;
四、实验内容
1、fir1函数：设计具有标准频率特性的FIR滤波器 （1）b=fir1(n,wn): 返回所设计的阶的低通FIR滤波器，
2、根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定 理想频率响应 H d (的e jw幅) 频择适当的窗函数w（n），根据 h(n) hd (n) 求w所N (需n)设计
的FIR滤波器单位脉冲响应
5、求 H d (e分jw )析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式 或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。
三、实验原理
分别用以上函数生成n=50的窗函数，并观察其频率特性 （使用归一化的幅值和频率）
三、实验原理
n=51; window=boxcar(n); [h,w]=freqz(window,1); subplot(2,1,1) stem(window); subplot(2,1,2) plot(w/pi,20*log(abs(h)/abs(h(1))));
三、实验原理
n=51; window=triang(n); [h,w]=freqz(window,1); subplot(2,1,1) stem(window); subplot(2,1,2) plot(w/pi,20*log(abs(h)/abs(h(1))));
ch7FIR数字滤波器的设计资料
2）FIR滤波器可以用FFT技术来设计任意形状的幅频特
性滤波器；
FIR的优点及FFT技术的使用，
3）FIR滤波器总是稳定的。 使得它在各个领域的信号处理
二、FIR的主要缺点：
中得到广泛的应用。
1）h(n)长，阶数N比较高，运算量比较大，因而在实现 上需要比较多的运算单元和存储单元；
2）幅频特性不是很理想。
w=0
一半波形的积分 最大的正峰 最大的负峰
比较(a) 和(f)的特性可以看出：
（1）经过矩形窗函数的加权后，理想滤波器陡直的边缘 被加宽，也就是在w=wc出现了过渡带，其值大约为RN(w) 的主瓣宽度4 /N。
（2）通带内出现起伏，最大峰值在 wc-2/N处，起伏为 0.75 dB=20lg(1+0.0895) （第一旁瓣峰值为最大幅度的 8.95%，这种效应称为不连续点上的Gipps效应）阻带衰 减不为0，最大旁瓣为第一旁瓣，其值为 -21dB=20lg(0.0895) ;在 过渡带两侧附近产生起伏的 “肩 峰”和波纹，是由窗函数频响的旁瓣引起的，旁瓣相对 值越大，起伏就越剧烈。
2
N 1w) 2
(
N
1)
/2
c(n)
sin(
wn)
n1
其中c(n) 2h( N 1 n) 2
n 1,2,3 N 1 2
N 1 2
H g (w) c(n)sin( wn) n1
(w) 1 (N 1)w
22
当w 0, ,2时Hg (w) 0, Hg (w)对w 0, ,2奇对称。
幅度特性H
g
(w)
N/2 n1
b(n)cos[(n
《FIR滤波器设计》PPT课件
其中
(N1)/2
H (ej)ej(N1)/2
a(k)cos(k)
n0
a (k ) 2 h (N 1 k ) k 1 ,2 ,...,N 1
2
2
（7.10）
a(0) h(N 1) 2
可整理ppt
12
幅度函数为 相位函数为
(N1)/2
H() a(k)cos(k) n0
() (N1)
2
（7.11） （7.12）
I型线性相位滤波器的幅度函数和相位函数的特点：
幅度函数对 N 1 偶对称，同时对 0,,2 也呈偶对称；
2 相位函数为准确的线性相位。
可整理ppt
13
证明： h(n)h(Nn1 )
H (ej)ej N 2 1 N 1h(n)cons N [ (1) ]
n0
2
相位函数为
()
N1
2
而幅度函数 H()N1h(n)cons[N (1)]
可整理ppt
7
FIR滤波器具有式（7.4）的线性相位的充分必要条件是：
单位抽样响应 h ( n ) 关于群延时 奇对称，即满足
N 1 2
（7.7）
2
（7.8）
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1 （7.9）
可整理ppt
8
把满足式（7.7）、（7.8）和式（7.9）的奇对称条件的FIR 滤波器分别称为Ⅲ型线性相位滤波器和Ⅳ型线性相位滤波 器。
2
j
e
2
N1
2
N1 n0
h(n)
sin[(n
N21)]
幅度函数与相位函数分别为
H()N1h(n)sin[(nN1)],
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H e j N 1 h n e j n H e je j 7 .5
n 0
其中有
( )
所谓时延是指信号通过 传输通道所需要的传输
时间
1. 恒时延滤波
相延时 群延时
p
它是滤波器某一频率延 迟的一个度量
d
g
d
它是滤波器平均延迟的 一个度量
所谓恒延时滤波就是要求相延时与群延时都是不随频率变化的常量。
优点 ：（1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理的信号 产生相位
失真，这一特点在 宽频带信号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中 非常重要；
（2 ）可得到多带幅频特性； （3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定性问题； （4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一 定的延时，转变为因 果序列， 所以因果性总是满足；
（5）无反馈运算，运算误差小。
缺点：（1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较 高的阶数
为代价；
（2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解析设计 公式， 要借助计算机辅助设计程序完成。
7.2 线性相移FIR数字滤波器
7.2.1 线性相移FIR数字滤波器条件
所谓线性相移滤波器，也就是指其相移特性或频率响应的幅角是 频率的线性函数，FIR数字滤波器频率响应为
图7.2 h(n)为偶对称的情形
3 只要求恒群延时成立
相移特性为一条不经过原点的直线
7 .1 0 0
tg ctg 0
cos sin
N1hnsinn
n0
N1hncosn
n0
N 1hnco s n0 n0
2
0
2
图7.3 相移特性曲线
其充要条件为
0 /2
N 1 2
h ( n ) h ( N 1 n )0 n N 1
由上式交叉相乘后利用三角函数恒等公式得
N 1h n sin n 0 7 .6
n 0
满足上式的条件是
N1
2
7.8
hnhN1n ,0nN1
上述条件下，就有 () 即
N1
p
g
2
为一常数，恒相延时与恒群延时同时成立。
如上所述，冲激相应h(n)关于中心点偶对称，由图7.2 可见无论N是偶数还是奇数，对称中心都位于(N-1)/2，只是 当N为偶数时， (N-1)/2不是整数。
2.要求恒相延时与恒群延时同时成立
如图7.1，θ(ω)的图像是一条经过原点的直线
N1
Hej hnejn n0 N1hncosnjsinn 0
O
图7.1 () 时的图像
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等式右边的实部与虚部应当各 自相等，同样实部与虚部的比值应当相等:
tgcsions N N n 101hhnncsion snn n0
其中，H(e j) 是幅度函数，() 是相位函数。
通常，() 与 不是呈线性的，这是IIR filter
（无限长响应滤波器）的一大缺点。因此限制了 它的应用，如图象处理，数据传输都要求信道 具有线性相位特性。
3、用全通网络进行相位校正，可以得线性特性。
二、FIR DF的特点
1、单位抽样响应h（n）是有限长的，因此FIR DF一定 是稳定的。
N 1
y(n ) h (i)x(ni)
7 .3
i 0
上式两边进行Z变换后，可得FIR滤波器的系统函数
H (z ) Y z N 1 h ( i)z i N 1 h n z n
X z i 0
n
7 .4
H z h ( 0 ) z N 1 h 1 z N 2 h N 2 z h ( N - 1)
第七章-FIR数字滤波器的原理与 设计
学习目标
掌握线性相位FIR数字滤波器的特点 掌握窗函数设计法 理解频率抽样设计法 了解设计FIR滤波器的最优化方法 理解IIR与FIR数字滤波器的比较
7.1 FIR数字滤波器的差分方程、冲激响应、系统函数及其 零极点
FIR数字滤波器是非递归的线性时不变因果系统，其差分方程为
z N 1
可见，FIR滤波器的系统函数的极点都位于z=0处，为N-1阶极点，与系数h(n) 无关，因此FIR滤波器总是稳定的；而N-1个零点由冲激响应h(n)决定，可以位 于有限z平面的任何位置。
两种滤波器的比较
一、IIR DF的特点 1、DF的设计依托AF的设计，有图表可查，方便简单。 2、相位的非线性 H（Z）的频响：H (e j ) H (Z )Z e j H (e j )e j ( ),
a. N为偶数时，利用对称性可作如下化简
H(z)
N1
h(n)zn
N1 2
h
n
zn
N1
h
n
zn
n0
n0
nN
2
N1
N1
2
h
n
zn
2
h
N 1n
zN1n
n0
n0
N1
h n z z 2
n
N1n
n0
7.14
b. N为奇数时，利用对称性可作如下化简
N1
H(z) h(n)zn n0
N11 2
h
n
zn
h N 1zN21
N1
h
n
zn
n0
2
nN1
2
N11 2
h
n
zn
h
N 1zN21
N11 2
h
N 1n
zN1n
n0
2
n0
N11 2
hn
z z n
N1n
h N 1zN21
N 1
y(n) aix(ni)
7.1
i0
系统的冲激响应为
N 1
h (n ) a i (n i)
i 0
a n a n 1 an (N 1 ) 7 .2
0
1
N 1
可见这个系统的冲激响应是有限长度的，即有限冲激响应（FIR）滤波器。
将
a h ( i) i
( i 0 ,1 , N 1 )代人（7.1）式得
如下图可见冲激响应关于中心点奇对称，无论N为奇数还是
偶数，对称中心都位于（N-1）/2；当N为奇数时有
h
N21
0
总之，线性相移FIR滤波器的必要条件是其冲激响应为偶对 称或奇对称。
图7.4 h(n)为奇对称的情形
7.1.2 线性相移FIR滤波器的网络结构
1. 偶对称的情形
偶对称时 h (n ) h N 1 n
2、经延时，h（n）总可变成因果序列，所以FIR DF总 可以由因果系统实现。
3、h（n）为有限长，可以用FFT实现FIRDF。
4、FIR的系统函数是Z-1的多项式，故IIR的方法不适用。
5、FIR的相位特性可以是线性的，因此，它有更广泛的 应用，非线性的FIR一般不作研究。
FIR与IIR数字滤波器比较：