Fourier习题三作业题
15-1(Fourier级数)华东师大数学分析的练习和课件(历史上最好的,最全面的)学习的最好资料
f ( x )可逐项积分， a 2 f ( x )dx 0 f ( x )dx 2 [ an f ( x ) cos nxdx bn f ( x ) sin nxdx ]
a0 a0 f ( x )dx 2
第一节 傅里叶（Fourier）级数
• • • • • 一 二 三 四 五 问题的提出 三角级数 正交函数系 以2 为周期的函数的Fourier级数 收敛定理 小结
一、问题的提出
1, 当 t 0 非正弦周期函数:矩形波 u( t ) 当0 t 1, u
1 1 2 1 1 2 2 ( ), 8 3 5
1 1 1 2 2 2 2 , 2 4 6 1 1 1 3 1 2 2 2 , 2 3 4
2
4
1 2
4
,
1 2 2 , 3 24
2 1 2 , 6
上述三角函数系为正交函数系
三、函数展开成傅里叶级数
问题: 1.若能展开, ai , bi 是什么? 2.展开的条件是什么? 1.傅里叶系数
a0 若有 f ( x ) (ak cos kx bk sin kx) 2 k 1 (1) 求a0 . a0 f ( x )dx dx [ (ak cos kx bk sin kx)]dx 2 k 1
周期延拓(T 2) F ( x ) f ( x ) ( , )
1 端点处收敛于 [ f ( 0) f ( 0)] 2
x , x 0 展开为傅立叶 例 2 将函数 f ( x ) x, 0 x
高等电磁场理论习题解答（作业）
⾼等电磁场理论习题解答（作业）第⼀章基本电磁理论1-1 利⽤Fourier 变换, 由时域形式的Maxwell ⽅程导出其频域形式。
（作1-2—1-3）解：付⽒变换和付⽒逆变换分别为：dt e t f F t j ?∞∞-=ωω)()(ωωπωd e F t f tj ?∞∞--=)(21)( 麦⽒⽅程：t D J H ??+=??ρρρtB E ??-=??ρρ0=??B ρρ=??D ρ对第⼀个⽅程进⾏付⽒变换：),(),(),ωωωr H dt e t r H dt e t r H t j tj ρρρρρρ??=??=??=∞∞-∞∞-（左端),(),(),(),(]),(),[ωωωωωωωr D j r J dte t r D j r J dt e t t r D t r J t j tj ρρρρρρρρρρρρ+=+=??+=??∞∞-∞∞-（右端（时谐电磁场） =??∴),(ωr H ρρ),(),(ωωωr D j r J ρρρρ+同理可得：()()ωωω,,r B j r H ??ρρ-=??()0,=??ωr B ρ()()ωρω,,r r D ?ρ?=??上⾯四式即为麦式⽅程的频域形式。
1-2 设各向异性介质的介电常数为=300420270εε当外加电场强度为 (1) 01E x e E =；(2)02E y e E =；(3) 03E z e E =；(4) )2(04y x E e e E +=；(5))2(05y x E e e E +=求出产⽣的电通密度。
（作1-6）解：()),(,t r E t r D ?Θ?=ε=333231232221131211εεεεεεεεεz y x D D D 即z y x E E E 将E 分别代⼊，得：=??=??????????027003000420270000111E E D D D z y x εε )?2?7(001y x E D +=ε?=??=??????????042003000420270000322E E D D D z y x εε )?4?2(002y x E D +=ε? ????=??=??????????300003000420270000333E E D D D z y x εε z E D ?3003ε=? ??==010110230004202700000444E E E D D D z y x εε )?10?11(004y x E D +=ε? ==08160230004202700000555E E E D D D z y x εε )?8?16(005y x E D +=ε? 1-3 设各向异性介质的介电常数为=4222422240εε试求：(1) 当外加电场强度)(0z y x E e e e E ++=时，产⽣的电通密度D ；(2) 若要求产⽣的电通密度004E x εe D =，需要的外加电场强度E 。
第4章 习题解答
第4章 周期信号的频域分析习题详解4-1 试比较题4-1图所示的四种周期方波信号，说明每种信号的对称特性并写出Fourier 级数展开式。
tt(b)tt-A(c) (d)题4-1图【解】 (a))(14/4/04/4/000T jn T jn tjn T T n eejnT A dt AeTc ωωωω----==⎰)2/(Sa )2/()2/sin(πππn A n n A ==所以 tjn n a e n A t f 0)2/(Sa )2/()(ωπ∑∞-∞==000211/2cos()cos(3)cos(5)35A A t t t ωωωπ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭)(t f a 实偶对称，Fourier 级数展开式中只含有直流分量与余弦分量。
)(t f a 减去直流分量后为半波镜像信号，Fourier 级数展开式中只有奇次谐波。
(b) 从图形观察：)4/()(T t f t f a b -=所以 )(t f b )2/(0)2/(Sa )2/(πωπn t n j n en A -∞-∞=∑=000211/2sin()sin(3)sin(5)35A A t t t ωωωπ⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭)(t f b 减去直流分量实奇对称，Fourier 级数展开式中只含有直流分量与正弦分量。
)(t f b 减去直流分量后为半波镜像信号，Fourier 级数展开式中只有奇次谐波。
(c) 从图形观察：A t f t f a c -=)(2)(第4章 周期信号的频域分析 83所以 tjn n n c en A t f 0)2/(Sa )(0,ωπ∑∞≠-∞==000411c o s ()c o s (3)c o s (5)35A t t t ωωωπ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭)(t f c 实偶对称，且是半波镜像信号，Fourier 级数展开式中只含有奇次谐波的余弦分量。
(d) 从图形观察：)4/()(T t f t f c d -=所以 )2/(0,0)2/(Sa )(πωπn t n j n n d en A t f -∞≠-∞=∑=000411sin()sin(3)sin(5)35A t t t ωωωπ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭)(t f d 实奇对称，且是半波镜像信号，Fourier 级数展开式中只含有奇次谐波的正弦分量。
fourier级数 习题课
定义 16.4.1 设函数 f 在[a , b]上除有限个点 a x0 x1 x2 x N b , 外均可导，而在 x i （ i 0,1,2,, N ) 处 f 的左右极限 f ( x i ) 和 （在 x0 a 右极限存在， 在 x N b 左极限存在） ， f ( x i )都存在 并且极限 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 和 f ( x i h) f ( x i ) lim h 0 h 都存在（在 x0 a 上述第二个极限存在，在 x N b 上述第一 个极限存在） ，那么称 f 在[a, b]上分段可导。
数学分析 a0 (a n cos nx bn sin nx ) 是某个在[ , ]上可 推论 16.3.1 2 n 1 bn 积或绝对可积函数的 Fourier 级数的必要条件是 收敛。 n 1 n
定理 16.3.3 （Fourier 级数的逐项微分定理） 设 f ( x)在[ , ] a0 (a n cos nx bn sin nx ) ， f ( ) f ( ) ， 上连续， f ( x ) ~ 2 n 1 且除了有限个点外 f ( x)可导。进一步假设 f ( x)在[ , ]上可 积或绝对可积（注意： f ( x)在有限个点可能无定义，但这并 不影响其可积性） 。则 f ( x)的 Fourier 级数可由 f ( x)的 Fourier 级数逐项微分得到，即 d a0 d f ( x ) ~ (a n cos nx bn sin nx ) dx 2 n 1 dx
数学分析
2 f ( x ) ~ bn sin nx bn 0 f ( x ) sin nxdx ( n 1,2,) n 1
国科大高级电磁理论习题
第0章1. 作业题： 1.(1)求矢量22222324x y z A e x e x y e x y z的散度;(2)求A对中心在原点的一个单位立方体的积分；(3)求A对此立方体表面的积分，验证散度定理。
2. 求矢量22x y z A e x e x e y z沿xy 平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两边分别与x 轴和y 轴重合。
再求A对此回路所包围的曲面的面积分，验证斯托克斯定理。
3. 证明：(1)3r ；(2)0r; (3)()k r k 。
其中x y z r e x e y e z ，k 为一常矢量。
4. 利用直角坐标系，证明()+fG f G f G1. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为 。
使介质内均匀带静止的自由电荷密度f ，求1.空间各点的电场；2.极化体电荷和极化面电荷分布。
2. 平行板电容器内有两层介质，他们的厚度分别为1l 和2l ，电容率为1 和2 ，今在两板接上电动势为E 的电池，求：1.电容器两板上的自由电荷面密度f ；2.介质分界面上的自由电荷面密度f ；3.若介质是漏电的，电导率为1 和2 ，当电流达到恒定时，上述两题的结果如何？3. 证明(1) 当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足2211tan tan 其中1 和2 分别为两种介质的介电常数，1 和2 分别为界面两侧电场线与法线的夹角 (2)当两种导电介质内流有恒定电流时，分界面上电场线的曲折满足2211tan tan，其中1 和2 分别为两种介质的电导率。
4.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外表面的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流的情况下导体表面的电场线总是平行于导体表面。
第一章1. 利用Fourier 变换，由时域形式的Maxwell 方程导出其频域形式。
解：付氏变换和付氏逆变换分别为：dt et f F tj)()(d e F t f tj)(21)( 麦氏方程：t D J HtB E0 BD对第一个方程进行付氏变换：),(),(), r H dt e t r H dt e t r H tj t j（左端),(),(),(),(),(),[ r D j r J dte t r D j r J dt e t t r D t r J t j tj（右端（时谐电磁场）),( r H ),(),( r D j r J同理可得：,,r B j r H0, r B,,r r D上面四式即为麦式方程的频域形式。
积分变换_(Laplace)课件与习题
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
L[ f (t)] F s f (t)estdt 0
f (t)称为F (s)的Laplace逆变换，记为f (t) L1[F (s)]. F (s)称为象函数，f (t)称为象原函数.
8
例1
求单位阶跃函数
u(t)
0 1
t 0 的拉氏变换. t 0
根据拉氏变换的定义, 有
L[u(t)] estd t 0
；
smL
t m
1 s
m!
L
t m
1 s m1
m!
(Re(s) 0).
26
练习： 求 f (t) cost 的Laplace变换.
解 因为
参见上节例3, 与这里方法不同
f (0) 1, f (0) 0, f (t) 2cost,
根据 微分性质 和线性性质
[2 cost] s2 [cost] sf (0) f (0),
对正整数n, 有
L[f
2
(n)
[(ct )o]sstn]F(
s2
s)
[scnos1
t] s,
f (0)
f (n1)(0).
所以
特[c别os地，t] 当sf2
数学分析之Fourier级数
数学分析之Fourier级数第⼗五章Fourier级数教学⽬的：1.明确认识三⾓级数的产⽣及有关概念；2.理解以为周期的函数的Fourier级数的有关概念、定义和收敛定理；3.明确2L为周期的函数的Fourier 级数是为周期的函数的Fourier级数的推⼴，并理解奇、偶函数的Fourier 级数和Fourier级数的收敛定理。
教学重点难点：本章的重点是将⼀个函数展开成Fourier级数；难点是Fourier 级数的收敛性的判别。
教学时数：10学时§1 Fourier级数⼀．三⾓级数与正交函数系.1．背景：⑴波的分析：频谱分析 . 基频( ) . 倍频.⑵函数展开条件的减弱: 积分展开 .⑶中⽤Descates坐标系建⽴坐标表⽰向量思想的推⼴:调和分析简介: ⼗九世纪⼋⼗年代法国⼯程师Fourier建⽴了Fourier分析理论的基础.2.三⾓级数的⼀般形式: ⼀般的三⾓级数为. 由于,设, 得三⾓级数的⼀般形式3. 三⾓级数的收敛性:Th1 若级数收敛, 则级数在R 内绝对且⼀致收敛 .证⽤M判别法.4.三⾓函数正交系统:（1. ）内积和正交: 由R中的内积与正交概念引⼊.设函数和在区间上( R)可积 . 定义内积为.当时, 称函数和在区间上正交 .函数的正交性与区间有关 . 例如函数和在区间上并不正交( 因为) , 但在区间却是正交的 .（2）.正交函数系统: 标准正交系( ⼳正系) , 完全系 .三⾓函数系统是区间上的正交系统 . 验证如下:, ;,对且,有和.该系统不是标准正交系, 因为, .因此, 三⾓函数系统是标准正交系. （与R中的坐标系⽐较）⼆.以为周期函数的Fourier级数：1．三⾓级数的系数与其和函数的关系：Th2 若在整个数轴上且等式右端的级数⼀致收敛，则有如下关系式，，证P642．Fourier系数和Fourier级数：Euler―Fourier公式：设函数在区间上（R）可积，称公式，，为Euler―Fourier公式. 称由Euler―Fourier公式得到的和为函数的Fourier系数. 并称以Fourier系数和为系数的三⾓级数为函数的Fourier级数, 记为～例1, . 求函数的Fourie r级数.解是上的奇函数, ;.因此, ～ .例2设函数满⾜条件( 称满⾜该条件的函数为反周期函数). 问这种函数在区间内的Fourier系数具有什么特性.解.⽽.因此, .时, , ;同理得.三.收敛定理:1. 按段光滑函数: .定义若的导函数在区间上连续, 则称函数在区间上光滑.若函数在区间上⾄多有有限个第⼀类间断点, 且仅在区间上有限个点处不连续且为第⼀类间断点, 则称是区间上的按段光滑函数.按段光滑函数的性质: 设函数在区间上按段光滑, 则⑴在区间上可积;⑵对, 都存在, 且有,( ⽤Lagrange中值定理证明)⑶在区间上可积 .2.收敛定理:Th3 设函数是以为周期的周期函数且在区间上按段光滑, 则在, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即,其中和为函数的Fourier系数. ( 证明放到以后进⾏) 系若是以为周期的连续函数, 在上按段光滑,且则的Fourier级数在内收敛于.3.函数的周期延拓:四.展开举例:例3 把函数展开为Fourier级数.解参阅例1 , 有例4展开函数.解; .函数在上连续且按段光滑, ⼜, 因此有.( 倘令, 就有,)例5设求函数的Fourier级数展开式. P67 .例1例6把函数展开成Fourie r级数. P68例2例7在区间内把函数展开成Fourier级数.练习1（2）（i）解法⼀( 直接展开) ;;.函数在区间内连续且按段光滑, 因此有, .由于, 该展开式在上成⽴.( 在该展开式中, 取得, ;取, . )解法⼆( 间接展开: 对例3中的展开式作积分运算) 由例3 , 在区间内有. 对该式两端积分, 由Fourier级数可逐项积分,有.为求得, 上式两端在上积分, 有,因此, , .§2 以为周期的函数的展开式⼀.以为周期的函数的Fourier级数:设函数以为周期, 在区间上(R )可积 . 作代换, 则函数以为周期. 由是线性函数, 在区间上(R )可积 .函数的Fourier系数为 . .,,～还原为⾃变量, 注意到, 就有～其中,,当函数在区间上按段光滑时, 可展开为Fourie r级数.註三⾓函数系是区间上的正交函数系统 .例1把函数展开成Fourier级数. P72例1⼆. 正弦级数和余弦级数:1.区间上偶函数和奇函数的Fourier级数:2.奇展开和偶展开:例2设, . 求的Fourier级数展开式. P74例2 例3把定义在上的函数( 其中之⼀展开成正弦级数.例4把函数在内展开成: ⅰ> 正弦级数; ⅱ>余弦级数.P76例4§3 收敛定理的证明Dini定理设以为周期的函数在区间上按段光滑, 则在每⼀点, 的Fourier级数收敛于在点的左、右极限的算术平均值, 即,其中和为的Fourier系数.证明思路: 设～对每个, 我们要证明. 即证明.⽅法是把该极限表达式化为积分, 利⽤Riemann—Lebesgue定理证明相应积分的极限为零.施证⽅案:1.写出的简缩形式. 称这⼀简缩形式为的积分形式, 或称为Dirichlet积分, 即.利⽤该表⽰式, 式可化为+ , 于是把问题归结为证明,和.这两式的证明是相同的, 只证第⼀式.2.为证上述第⼀式, 先利⽤三⾓公式建⽴所谓Dirichlet积分, 利⽤该式把表⽰为积分,即把表⽰为Dirichlet积分.于是⼜把上述1中所指的第⼀式左端化为.3.利⽤所谓Riemann —Lebesgue定理证明上述极限为零. 为此,先证明Bessel不等式(P78预备定理1 ), 再建⽴Riemann —Lebesgue定理, 然后把以上最后的式⼦化为.4.把上式化为应⽤Riemann —Lebesgue定理的形式, 即令,则.为使最后这⼀极限等于零, 由Riemann —Lebesgue定理, 只要函数在区间上可积. 因此希望存在. 由函数在区间上按段光滑, 可以验证存在.预备定理及其推论: 为实施以上证明⽅案, 我们先建⽴以下预备定理和其推论.预备定理1 ( Bessel不等式) 若函数在区间上可积, 则有Bessel 不等式,其中和为函数的Fourier系数.证P78 .推论1 ( Riemann—Lebesgue定理) 若函数在区间上可积, 则有,.证P79 .推论2 若函数在区间上可积, 则有,.证P79.预备定理2 若是以为周期的周期函数, 且在区间上可积, 则函数的Fourie r级数部分和有积分表⽰式.当时, 被积函数中的不定式由极限来确定.证P80—81.Dirichlet积分: .证由三⾓公式,.Dini定理的证明: P81—82 .附註1.Parseval等式( 或称Ляпинов等式) 设可积函数的Fourie r级数在区间上⼀致收敛于, 则成⽴Parseval等式.证法⼀注意到此时函数在区间可积,由Bessel不等式, 有.现证对, 有.事实上, 令由⼀致收敛于,对对, 有, 因此,.即当时有.令, . 由的任意性, 有.综上即得所证 .证法⼆由⼀致收敛于, .⽽ .因此,.由双逼原理, 即得所证等式 .证法三利⽤内积的连续性( 可参阅⼀般泛函书) , 有=.Parseval等式还可⽤公式( 其中、与、分别是函数和的Fourier系数（参阅吉林⼤学邹承祖等编《数学分析习题课讲义》上册P427）证明；也可⽤所谓卷积函数证明.Parseval等式的意义：设在⼳正系下函数的Fourier系数为和，可见，；，；同理有; 其中和为函数的通常Fourier系数.于是, Parseva l等式即成为.注意到, 就有,这是勾股定理的推⼴, 即在坐标系中的勾股定理. 因此, 可称Parseval等式是⽆穷维空间中的勾股定理 .( 与三维空间中的勾股定理做⽐较) .。
积分变换_(Laplace)课件与习题
当函数f (t)在t<0时没有定义或者不需 要知道时, 可以认为当t<0时, f (t)0. 这时, Fourier变换的表达式为
[ f (t )] f (t )eitdt. 0
但是仍然需要f (t)在[0, )上绝对可积的条件，
这个要求限制了它的应用.
对定义在 [0,) 上的函数 f (t), 如果考虑
L[sin kt] sin kt estd t 0 1 (e jkt e jkt ) estd t 2j 0
j e(sjk)td t e(sjk)td t
20
0
j
2
s
1 jk
s
1 jk
s2
k
k2
,（Re(s)>0）
k L[sin kt] s2 k 2
5
§1 Laplace变换的概念
设指数衰减函数
(t
)
0, e
t
,
t0
( 0).
t0
考虑 f t t ,,有 f t u t =f t t 0.
若存在 0,使 lim et f t =0,则 + et f t dt .
t
-
那麽 f t u t et的傅氏积分总是存在的。
F [ f (t)u(t)et ] f (t)u(t)ete jtdt
0
0
这个积分在Re(s)>k时收敛, 而且有
e(sk )td t 1 e (sk )t 1
0
sk
0 sk
所以 L[ekt ] 1 (Re(s) k). sk
其实k为复数时上式也成立, 只是收敛区间为
Re(s)>Re(k)
10
练习: 求单位斜坡函数
第1章测试补充习题
第一章 信号及其描述一．选择题1．描述周期信号的数学工具是 。
a ．相关函数b ．Fourier 级数c ．Fourier 变换d ．Laplace 变换2．Fourier 级数中的各项系数是表示各谐波分量的 。
a ．相位b ．周期c ．振幅d ．频率3．复杂周期信号的频谱是 。
a ．离散的b ．连续的c ．sinc 函数d ．δ函数4．如果一个信号的频谱是离散的，则该信号的频谱的频率成分是 。
a ．有限的b ．无限的c ．可能是有限的，也可能是无限的d ．随机性的5．下列信号表达式中， 周期函数。
a ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≥=0 t 00t t 5cos10)t (x π b ．x(t)=5sin20πt+10cos10πt )t (∞<<-∞c ．x(t)=)t (-t cos2020e |t -|∞<<∞πα6．多种信号之和的频谱是 。
a ．离散的b ．连续的c ．随机性的d ．周期性的7．描述非周期信号的数学工具是 。
a ．相关函数b ．Fourier 级数c ．Fourier 变换d ．Laplace 变换8．下列信号表达式中， 信号的频谱是连续的。
a ．x(t)=5sin20πt+10cos10πt )t (∞<<-∞b ．t 53sin5sin30t )t (x += )t (∞<<-∞ c ．x(t)=)t (-t cos2020e t -∞<<∞πα9．连续非周期信号的频谱是 。
a ．离散的、周期的b ．离散的、非周期的c ．连续、非周期的d 连续、周期的10．时域信号，当持续时间延长时，则频域中的高频成分 。
a ．不变b ．增加c ．减少d ．变化不定11．将时域信号进行时移，则频域信号将会 。
a ．扩展b ．压缩c ．不变d ．仅有相移12．已知x(t)=12sin ωt, δ(t)为单位脉冲函数，则积分⎰∞∞--∙dt )2t ()t (x ωπδ的函数值为 。
复变函数与积分变换：7-Fourier变换习题课
0
1
0
2 2 4 4 4 cos
td .
即
2
0 4
2 costd
4
e|t| cos t .
2
13
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例4 已知某函数的傅氏变换为
F ( ) sin ,
求该函数.
解
f
(t)
1
2
sin eitd
1
0
sin
cos
td
1
2
0
sin(1
t )d
25
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4. 综合运用
例7 计算函数f (t) tu(t)et sin 0t的Fourier
变 换.
解 法一 由F [u(t )et ] 1 ,
i
利用位移性质
F [u(t )et sin 0t]
1 F [u(t )etei0t ] 1 F [u(t )etei0t ],
2i
2i
26
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1
1
1
1
2i i( 0 ) 2i i( 0 )
2 0
0 (
i
)2
,
再由微分性质
F
[tu(t )et
sin 0t]
i
d
d
02
0 (
i )2
20 (
[
2 0
（
i ) i）2 ]2
27
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法二
F
[tu(t )et
(C )F [2 (t )] 1
(D)F [sgn(t )] 2
i
复变函数习题及答案
第一章习题一、选择题1．设z=3+4i,，则Re z2=( )A．-7 B．9C．16 D．252.arg(2-2i)=（）A. B.C. D.3．设0<t≤2,则下列方程中表示圆周的是( )A．z=(1+i)t B．z=e it+2iC．z=t+D．z=2cost+i3sint4.复数方程z=3t+it表示的曲线是（）A.直线B.圆周C.椭圆D.双曲线5．复方程所表示的曲线为________.. 直线；.抛物线；.双曲线；.圆二、填空题1. 设点,则其辐角主值arg z (-π<arg)为_______.2.设点, 则其辐角主值arg z (-π<arg)为_______.3.若，则=___________.4．arg(1+i)= .5．复数的模为_____, 幅角主值为_______.6．复数的模为_________，辐角为____________.7．设z=x+iy, 则曲线|z-1|=1的直角坐标方程为.一．选择1．下列集合为无界多连通区域的是（）A.0<|z-3i|<1B.Imz>πC.|z+ie|>4D.二、填空1．设，则Imz＝______________________。
三、计算题1.解方程z4=.2. 考察函数在处的极限。
复变函数第一章单元测试题一、判断题（正确打√，错误打）1.复数. ( )2.若为纯虚数，则. ( )3.。
（）4.在点连续的充分必要条件是在点连续。
（）5.参数方程（为实参数）所表示的曲线是抛物线. ( )二、填空题1.若等式成立，则______, _______.2.方程表示的曲线是__________________________.3.方程的根为_________________________________.4.复变函数的实部_________,虚部_________.5.设,，则= _ _____.6.复数的三角表示式为_________________，指数表示式为_________________.三、计算、证明题1．求出复数的模和辐角。
Fourier变换练习题(全,有答案)(可编辑修改word版)
0
eateit dt
0
R
0
= lim e(ai)t dt lim e(ai)t dt
R
=
lim
R
0
e(ai )t (a i)
R 0
R R
lim e(ai)t R a i
0 R
1 a i
1 a i
2a a2 2
;
F1[F ()]
1 2
F ()eitd=
1 2
2a a2 2
sin
td
2
0
1 0
1d
cos
sin td
2
0
1
cos
1 0
1 0
cos d
sin td
2
0
1
cos
sin
1 sintd 0
2
0
1
cos
sin
sin
td
2
sin
2
cos
sin td
0
3
0,
(2)
f
(t
)
1,
1,
0,
2
1 2i (cos sin )(cost i sin t)d
2
2 sin sin t cos sin t d
0
2
解法二：由于 f(t)为奇函数，故由课本 P12 页的(1.12)式可知，
f
(t)
2
0
0
f
(
) sin d
sin
td
2
0
1 0
sin d
(1)
f
(t
)
t, 0,
| t | 1
[Fourier series傅里叶级数]例题01
![[Fourier series傅里叶级数]例题01](https://img.taocdn.com/s3/m/ea339f7bf46527d3240ce0eb.png)
Hence the Fourier cosine series is given by 1 cos 2nx. 2−1 4 n n=1
∞
1 2 4 cos nx = − 2−1 n π π even n
Assume the Fourier cosine series converges pointwise to | sin x| on (−π, π ), then we have that | sin x| = Set x = 0, we get that 2 4 − π π
0
π 2
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Jacky Chong which means Y2 = X2 − (X2 , Z1 )Z1 7 = (cos x − cos 2x). 2 Computing the norm of Y2 yields Y2 then it follows Z2 =
2 2 π
Problem 3
k−1 k −1 i=1 (Xk , Zi )Zi , Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi ) k−1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi 2
= 1.
(b) Observe cos x + cos 2x
2 2
π
=
0 π
| cos x + cos 2x|2 dx cos2 x + 2 cos x cos 2x + cos2 2x dx
k−1 i=1 (Xk , Zi )(Zi , Zl ) k−1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi k−1 (Xk , Zl ) − i=1 (Xk , Zi )δil k −1 Xk − i=1 (Xk , Zi )Zi
1 0
数学选修2-2复数代数形式的四则运算练习题含答案
A. B. C. D.
9.设 ，则
A. B. C. D.
10.设 （ 为虚数单位），则 等于( )
A. B. C. D.
11.设复数 满足 ＝ ，则 ＝________．
12.若 ，则 ________．
13.若复数 满足 ＝ ，则 ＝________．
14.设 ，且 ， ，则 的值是________.
15.
【答案】
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的乘除运算
【解析】
此题暂无解析【解答】ຫໍສະໝຸດ 解： ，故 ，所以 .
故答案为： .
16.
【答案】
【考点】
复数的运算
【解析】
把等式两边同时除以 ，然后把左边分子分母同时乘以 即可．
【解答】
由 ＝ ，得： ．
17.
【答案】
【考点】
复数的模
【解析】
由题意可得 ，解得 ．再由绝对值不等式的性质可得 的最小值．
所以最小点为圆心到点 的距离减去半径，
则 的最小值为 .
故答案为： .
19.
【答案】
①②
【考点】
复数代数形式的混合运算
【解析】
利用新定义，结合复数代数形式的混合运算逐一核对四个命题得答案．
【解答】
解：由定义 ，其中 是 的共轭复数．可知：
对于① ，
，命题①正确；
② ，
，命题②正确；
③ ，
，
∴ 命题③错误；
故选： ．
4.
【答案】
C
【考点】
共轭复数
复数的模
复数代数形式的混合运算
【解析】
内蒙古包头市第四中学复数综合练习题 百度文库
一、复数选择题1．复数21i=+（ ） A ．1i --B ．1i -+C ．1i -D ．1i + 2．复数11z i =-，则z 的共轭复数为（ ） A ．1i -B ．1i +C ．1122i +D ．1122i - 3．已知复数1=-i z i ，其中i 为虚数单位，则||z =（ ）A ．12 B ．2 C D ．2 4．212i i+=-（ ） A ．1B ．−1C ．i -D ．i 5．若复数z 为纯虚数，且()373z i m i -=+，则实数m 的值为（ ）A ．97- B ．7C ．97D ．7- 6．已知,a b ∈R ，若2()2a b a b i -+->（i 为虚数单位），则a 的取值范围是（ ）A ．2a >或1a <-B ．1a >或2a <-C ．12a -<<D ．21a -<<7．已知复数1z i i =+-（i 为虚数单位），则z =（ ）A ．1B ．iC iD i 8．满足313i z i ⋅=-的复数z 的共扼复数是（ ）A ．3i -B ．3i --C ．3i +D ．3i -+ 9．复数z 的共轭复数记为z ，则下列运算：①z z +；②z z -；③z z ⋅④z z ，其结果一定是实数的是（ ）A ．①②B ．②④C ．②③D ．①③10．设复数z 满足方程4z z z z ⋅+⋅=，其中z 为复数z 的共轭复数，若z 的实部为，则z 为（ ）A ．1B C ．2 D ．4 11．复数2i i -的实部与虚部之和为（ ） A ．35 B ．15- C ．15 D ．3512．若()()324z ii =+-，则在复平面内，复数z 所对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 13．122i i-=+（ ） A ．1B ．-1C ．iD ．-i 14．已知复数z 满足()1+243i z i =+，则z 的虚部是（ ）A ．-1B ．1C ．i -D ．i 15．复数22(1)1i i -+=-（ ） A ．1+i B ．-1+i C ．1-i D ．-1-i二、多选题16．已知复数cos sin 22z i ππθθθ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭（其中i 为虚数单位）下列说法正确的是（ ）A ．复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B ．z 可能为实数C ．1z =D ．1z的虚部为sin θ 17．若复数351i z i-=-，则（ ）A ．z =B ．z 的实部与虚部之差为3C ．4z i =+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限18．已知复数z 满足220z z +=，则z 可能为（ ）A ．0B ．2-C ．2iD ．2i -19．已知复数122z =-，则下列结论正确的有（ ）A ．1z z ⋅=B ．2z z =C ．31z =-D ．202012z =-+ 20．已知复数(),z x yi x y R =+∈，则（ ）A ．20zB ．z 的虚部是yiC ．若12z i =+，则1x =，2y =D ．z =21．（多选题）已知集合{},n M m m i n N ==∈，其中i 为虚数单位，则下列元素属于集合M 的是（ ）A ．()()11i i -+B ．11i i -+C ．11i i +-D ．()21i - 22．已知复数012z i =+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为0P ，复数z 满足|1|||z z i -=-，下列结论正确的是（ ）A ．0P 点的坐标为(1,2)B ．复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于虚轴对称C ．复数z 对应的点Z 在一条直线上D ．0P 与z 对应的点Z 间的距离的最小值为23．下列结论正确的是（ ）A ．已知相关变量(),x y 满足回归方程ˆ9.49.1yx =+，则该方程相应于点（2，29）的残差为1.1B ．在两个变量y 与x 的回归模型中，用相关指数2R 刻画回归的效果，2R 的值越大，模型的拟合效果越好C ．若复数1z i =+，则2z =D ．若命题p ：0x R ∃∈，20010x x -+<，则p ⌝：x R ∀∈，210x x -+≥24．已知1z ，2z 为复数，下列命题不正确的是（ ）A ．若12z z =，则12=z zB ．若12=z z ，则12z z =C ．若12z z >则12z z >D ．若12z z >，则12z z >25．已知复数12z =-+（其中i 为虚数单位），则以下结论正确的是（ ） A ．20z B ．2z z = C ．31z = D ．1z =26．已知复数z 满足(2i)i z -=(i 为虚数单位)，复数z 的共轭复数为z ，则（ ）A ．3||5z =B ．12i 5z +=-C ．复数z 的实部为1-D ．复数z 对应复平面上的点在第二象限 27．若复数21iz =+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）A ．z 的虚部为1-B ．||z =C ．2z 为纯虚数D ．z 的共轭复数为1i --28．已知i 为虚数单位，下列说法正确的是( )A ．若,x y R ∈，且1x yi i +=+，则1x y ==B ．任意两个虚数都不能比较大小C ．若复数1z ，2z 满足22120z z +=，则120z z ==D ．i -的平方等于129．以下命题正确的是（ ）A ．0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件B ．满足210x +=的x 有且仅有iC ．“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件D ．已知()f x =()1878f x x '= 30．已知复数z ，下列结论正确的是（ ）A ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的充分不必要条件B ．“0z z +=”是“z 为纯虚数”的必要不充分条件C ．“z z =”是“z 为实数”的充要条件D ．“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的充分不必要条件【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、复数选择题1．C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】.故选：C解析：C【分析】根据复数的除法运算法则可得结果.【详解】21i =+2(1)(1)(1)i i i -=+-2(1)12i i -=-. 故选：C2．D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】因为，所以其共轭复数为.故选：D.解析：D【分析】先由复数的除法化简该复数，再由共轭复数的概念，即可得出结果.【详解】 因为()()11111111222i i z i i i i ++====+--+， 所以其共轭复数为1122i -. 故选：D.3．B【分析】先利用复数的除法运算将化简，再利用模长公式即可求解.【详解】由于，则.故选：B解析：B【分析】 先利用复数的除法运算将1=-i z i 化简，再利用模长公式即可求解. 【详解】 由于()(1i)(1i)111(1i)222i i i i z i i ++====-+--+，则||2z ===. 故选：B4．D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】，故选：D解析：D【分析】利用复数的除法运算即可求解.【详解】()()()()2221222255121212145i i i i i i i i i i i +++++====--+-， 故选：D5．B【分析】先求出，再解不等式组即得解.【详解】依题意，，因为复数为纯虚数，故，解得.故选：B【点睛】易错点睛：复数为纯虚数的充要条件是且，不要只写.本题不能只写出，还要写上.解析：B【分析】 先求出321795858m m z i -+=+，再解不等式组3210790m m -=⎧⎨+≠⎩即得解. 【详解】 依题意，()()()()3373321793737375858m i i m i m m z i i i i +++-+===+--+， 因为复数z 为纯虚数，故3210790m m -=⎧⎨+≠⎩，解得7m =. 故选：B【点睛】易错点睛：复数(,)z a bi a b R =+∈为纯虚数的充要条件是0a =且0b ≠，不要只写0b ≠.本题不能只写出790m +≠，还要写上3210m -=.6．A【分析】根据虚数不能比较大小可得，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为，，所以，，所以或.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得是解题关键，属于基础题.解析：A【分析】根据虚数不能比较大小可得a b =，再解一元二次不等式可得结果.【详解】因为,a b ∈R ，2()2a b a b i -+->，所以a b =，220a a -->，所以2a >或1a <-.故选：A【点睛】关键点点睛：根据虚数不能比较大小得a b =是解题关键，属于基础题.7．D【分析】先对化简，求出，从而可求出【详解】解：因为，所以，故选：D解析：D【分析】 先对1z i i =+-化简，求出z ，从而可求出z【详解】解：因为1z i i i i =+-==，所以z i =，故选：D 8．A【分析】根据，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为，所以，复数的共扼复数是，故选：A解析：A【分析】根据313i z i ⋅=-，利用复数的除法运算化简复数，再利用共扼复数的概念求解.【详解】因为313i z i ⋅=-， 所以()13133i z i i i i-==-=+-， 复数z 的共扼复数是3z i =-，故选：A9．D【分析】设，则，利用复数的运算判断.【详解】设，则，故，，，.故选：D.解析：D【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，利用复数的运算判断.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 故2z z a R +=∈，2z z bi -=，22222z a bi a b abi z a bi a b+-+==-+，22z z a b ⋅=+∈R . 故选：D.10．B【分析】由题意，设复数，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为的实部为，所以可设复数，则其共轭复数为，又，所以由，可得，即，因此.故选：B.解析：B【分析】由题意，设复数(),z yi x R y R =∈∈，根据共轭复数的概念，以及题中条件，即可得出结果.【详解】因为z ，所以可设复数(),z yi x R y R =∈∈，则其共轭复数为z yi =，又z z =，所以由4z z z z ⋅+⋅=，可得()4z z z ⋅+=，即4z ⋅=，因此z =故选：B. 11．C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】，的实部与虚部之和为.故选：C【点睛】易错点睛：复数的虚部是，不是.解析：C【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【详解】()()()2+1212222+555i i i i i i i i -+===-+--，2i i ∴-的实部与虚部之和为121555-+=. 故选：C【点睛】易错点睛：复数z a bi =+的虚部是b ，不是bi .12．D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】，则复数对应的点的坐标为，位于第四象限．故选：D ． 解析：D【分析】根据复数的运算，先化简复数，再由复数的几何意义确定对应点的坐标，进而可得出结果.【详解】()()324(2)(4)76z i i i i i =+-=--=-，则复数z 对应的点的坐标为()7,6-，位于第四象限．故选：D ． 13．D【分析】利用复数的除法求解.【详解】.故选：D解析：D【分析】利用复数的除法求解.【详解】()()()()12212222i i i i i i i ---==-++-. 故选：D14．B【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得，则答案可求．【详解】由，得，，则的虚部是1．故选：．解析：B【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念求得z ，则答案可求．【详解】由(12)43i z i +=+， 得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i z i i i i ++--====-++-， ∴2z i =+， 则z 的虚部是1．故选：B ．15．C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】解：故选：C解析：C【分析】直接根据复数代数形式的乘除运算法则计算可得；【详解】 解：22(1)1i i-+- ()()()()2211211i i i i i +=-++-+ 12i i =+-1i =-故选：C二、多选题16．BC【分析】分、、三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数，利用复数的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于AB 选项，当时，，，此时复数在复平面内的点解析：BC【分析】 分02θπ-<<、0θ=、02πθ<<三种情况讨论，可判断AB 选项的正误；利用复数的模长公式可判断C 选项的正误；化简复数1z ，利用复数的概念可判断D 选项的正误. 【详解】对于AB 选项，当02θπ-<<时，cos 0θ>，sin 0θ<，此时复数z 在复平面内的点在第四象限；当0θ=时，1z R =-∈； 当02πθ<<时，cos 0θ>，sin 0θ>，此时复数z 在复平面内的点在第一象限.A 选项错误，B 选项正确；对于C 选项，1z ==，C 选项正确；对于D 选项，()()11cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin i i z i i i θθθθθθθθθθ-===-++⋅-， 所以，复数1z的虚部为sin θ-，D 选项错误. 故选：BC. 17．AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】解：，，z 的实部为4，虚部为，则相差5，z 对应的坐标为，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正解析：AD【分析】根据复数的运算先求出复数z ，再根据定义、模、几何意义即可求出.【详解】 解：()()()()351358241112i i i i z i i i i -+--====---+，z ∴==z 的实部为4，虚部为1-，则相差5，z 对应的坐标为()41-,，故z 在复平面内对应的点位于第四象限，所以AD 正确， 故选：AD.18．ACD【分析】令代入已知等式，列方程组求解即可知的可能值.【详解】令代入，得：，∴，解得或或∴或或．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.解析：ACD【分析】令z a bi =+代入已知等式，列方程组求解即可知z 的可能值.【详解】令z a bi =+代入22||0z z +=，得：2220a b abi -+=，∴22020a b ab ⎧⎪-+=⎨=⎪⎩，解得0,0a b =⎧⎨=⎩或0,2a b =⎧⎨=⎩或0,2,a b =⎧⎨=-⎩ ∴0z =或2z i =或2z i =-．故选：ACD【点睛】本题考查了已知等量关系求复数，属于简单题.19．ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为，所以A 正确；因为，，所以，所以B 错误；因为，所以C 正确；因为，所以，所以D 正确解析：ACD【分析】分别计算各选项的值，然后判断是否正确，计算D 选项的时候注意利用复数乘方的性质.【详解】因为111312244z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；因为221122z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =，所以2z z ≠，所以B 错误；因为3211122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=-=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以C 正确； 因为6331z z z =⋅=，所以()202063364431112222z z z z z ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，所以D 正确，故选：ACD.【点睛】本题考查复数乘法与乘方的计算，其中还涉及到了共轭复数的计算，难度较易.20．CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取，则，A 选项错误；对于B 选项，复数的虚部为，B 选项错误；解析：CD【分析】取特殊值可判断A 选项的正误；由复数的概念可判断B 、C 选项的正误；由复数模的概念可判断D 选项的正误.【详解】对于A 选项，取z i ，则210z =-<，A 选项错误；对于B 选项，复数z 的虚部为y ，B 选项错误；对于C 选项，若12z i =+，则1x =，2y =，C 选项正确；对于D 选项，z =D 选项正确.故选：CD.【点睛】本题考查复数相关命题真假的判断，涉及复数的计算、复数的概念以及复数的模，属于基础题. 21．BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，中，时，；时，；时，；时，，.选项A 中，；选项B 中，；选项C 中，；选项D 中，.解析：BC【分析】根据集合求出集合内部的元素，再对四个选项依次化简即可得出选项.【详解】根据题意，{},n M m m i n N ==∈中， ()4n k k N =∈时，1n i =；()41n k k N =+∈时，n i i =；()42n k k N =+∈时，1n i =-；()43n k k N =+∈时，n i i =-，{}1,1,,M i i ∴=--.选项A 中，()()112i i M -+=∉；选项B 中，()()()211111i i i i i i M --==-+-∈+； 选项C 中，()()()211111i i i i i i M ++==-+∈-； 选项D 中，()212i i M -=-∉.故选：BC.【点睛】此题考查复数的基本运算，涉及复数的乘方和乘法除法运算，准确计算才能得解. 22．ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出，利用，结合复数模的运算进行化简，由此判断出点的轨迹，由此判读C 选项的正确解析：ACD【分析】根据复数对应的坐标，判断A 选项的正确性.根据互为共轭复数的两个复数坐标的对称关系，判断B 选项的正确性.设出z ，利用|1|||z z i -=-，结合复数模的运算进行化简，由此判断出Z 点的轨迹，由此判读C 选项的正确性.结合C 选项的分析，由点到直线的距离公式判断D 选项的正确性.【详解】复数012z i =+在复平面内对应的点为0(1,2)P ，A 正确；复数0z 的共轭复数对应的点与点0P 关于实轴对称，B 错误；设(,)z x yi x y R =+∈，代入|1|||z z i -=-，得|(1)(1)i|x yi x y -+=+-，即=y x =；即Z 点在直线y x =上，C 正确； 易知点0P 到直线y x =的垂线段的长度即为0P 、Z 之间距离的最小值，结合点到直线的距2=，故D 正确. 故选：ACD【点睛】 本小题主要考查复数对应的坐标，考查共轭复数，考查复数模的运算，属于基础题.23．ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当时，，则该方程相应于点（2，29）的残差为，则A 正确；在两个变量解析：ABD【分析】根据残差的计算方法判断A ，根据相关指数的性质判断B ，根据复数的模长公式判断C ，根据否定的定义判断D.【详解】当2x =时，ˆ9.429.127.9y=⨯+=，则该方程相应于点（2，29）的残差为2927.9 1.1-=，则A 正确；在两个变量y 与x 的回归模型中，2R 的值越大，模型的拟合效果越好，则B 正确；1z i =-，z ==C 错误；由否定的定义可知，D 正确；故选：ABD【点睛】本题主要考查了残差的计算，求复数的模，特称命题的否定，属于中档题. 24．BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小解析：BCD【分析】根据两个复数之间不能比较大小，得到C 、D 两项是错误的，根据复数的定义和复数模的概念，可以断定A 项正确，B 项错误，从而得到答案.【详解】因为两个复数之间只有等与不等，不能比较大小，所以C 、D 两项都不正确；当两个复数的模相等时，复数不一定相等， 比如11i i -=+，但是11i i -≠+，所以B 项是错误的；因为当两个复数相等时，模一定相等，所以A 项正确；故选：BCD.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有两个复数之间的关系，复数模的概念，属于基础题目.25．BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数（其中为虚数单位），，故错误；，故正确；，故正确；．故正确．故选：．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则解析：BCD【分析】利用复数的运算法则直接求解．【详解】解：复数12z =-（其中i 为虚数单位），2131442z ∴=-=--，故A 错误； 2z z ∴=，故B 正确；31113()()12244z =--+=+=，故C 正确；||1z ==．故D 正确． 故选：BCD ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．26．BD【分析】因为复数满足，利用复数的除法运算化简为，再逐项验证判断.【详解】因为复数满足，所以所以，故A 错误；，故B 正确；复数的实部为 ，故C 错误；复数对应复平面上的点在第二象限解析：BD【分析】因为复数z 满足(2i)i z -=，利用复数的除法运算化简为1255z i =-+，再逐项验证判断. 【详解】因为复数z 满足(2i)i z -=， 所以()(2)1222(2)55i i i z i i i i +===-+--+所以5z ==，故A 错误； 1255z i =--，故B 正确； 复数z 的实部为15- ，故C 错误； 复数z 对应复平面上的点12,55⎛⎫- ⎪⎝⎭在第二象限，故D 正确. 故选：BD【点睛】本题主要考查复数的概念，代数运算以及几何意义，还考查分析运算求解的能力，属于基础题. 27．ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简后得：，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】因为，对于A ：的虚部为，正确；对于B ：模长，正确；对于C ：因为，故为纯虚数，解析：ABC【分析】首先利用复数代数形式的乘除运算化简z 后得：1z i =-，然后分别按照四个选项的要求逐一求解判断即可.【详解】 因为()()()2122211i 1i 12i i z i i --====-++-， 对于A ：z 的虚部为1-，正确；对于B ：模长z =对于C ：因为22(1)2z i i =-=-，故2z 为纯虚数，正确；对于D ：z 的共轭复数为1i +，错误.故选：ABC .【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的有关概念，考查逻辑思维能力和运算能力，侧重考查对基础知识的理解和掌握，属于常考题.28．AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵，且，根据复数相等的性质，则，故正确；对于选项B ，解析：AB【分析】利用复数相等可选A ，利用虚数不能比较大小可选B ，利用特值法可判断C 错误，利用复数的运算性质可判断D 错误．【详解】对于选项A ，∵,x y R ∈，且1x yi i +=+，根据复数相等的性质，则1x y ==，故正确；对于选项B ，∵虚数不能比较大小，故正确；对于选项C ，∵若复数1=z i ，2=1z 满足22120z z +=，则120z z ≠≠，故不正确； 对于选项D ，∵复数()2=1i --，故不正确；故选：AB ．【点睛】本题考查复数的相关概念，涉及复数的概念、复数相等、复数计算等知识，属于基础题. 29．AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式解析：AC【分析】利用纯虚数的概念以及必要不充分条件的定义可判断A 选项的正误；解方程210x +=可判断B 选项的正误；利用导数与函数单调性的关系结合充分不必要条件的定义可判断C 选项的正误；利用基本初等函数的导数公式可判断D 选项的正误.综合可得出结论.【详解】对于A 选项，若复数z a bi =+为纯虚数，则0a =且0b ≠，所以，0a =是z a bi =+为纯虚数的必要不充分条件，A 选项正确；对于B 选项，解方程210x +=得x i =±，B 选项错误；对于C 选项，当(),x a b ∈时，若()0f x '>，则函数()f x 在区间(),a b 内单调递增， 即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇒“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.反之，取()3f x x =，()23f x x '=，当()1,1x ∈-时，()0f x '≥， 此时，函数()y f x =在区间()1,1-上单调递增，即“在区间(),a b 内()0f x '>”⇐/“()f x 在区间(),a b 内单调递增”.所以，“在区间(),a b 内()0f x '>”是“()f x 在区间(),a b 内单调递增”的充分不必要条件.C 选项正确；对于D 选项，()11172488f x x x ++===，()1878f x x -'∴=，D 选项错误. 故选：AC.【点睛】本题考查命题真假的判断，涉及充分条件与必要条件的判断、实系数方程的根以及导数的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 30．BC【分析】设，可得出，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设，则，则，若，则，，若，则不为纯虚数，所以，“”是“为纯虚数”必要不充分解析：BC【分析】设(),z a bi a b R =+∈，可得出z a bi =-，利用复数的运算、复数的概念结合充分条件、必要条件的定义进行判断，从而可得出结论.【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 则2z z a +=，若0z z +=，则0a =，b R ∈，若0b =，则z 不为纯虚数， 所以，“0z z +=”是“z 为纯虚数”必要不充分条件； 若z z =，即a bi a bi +=-，可得0b =，则z 为实数，“z z =”是“z 为实数”的充要条件；22z z a b ⋅=+∈R ，z ∴为虚数或实数，“z z ⋅∈R ”是“z 为实数”的必要不充分条件.故选：BC.【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判断，同时也考查了共轭复数、复数的基本概念的应用，考查推理能力，属于基础题.。
《复数代数形式的四则运算》同步练习3(人教A版选修2-2)
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题1．函数2y x =在区间[12]，上的平均变化率为（ ） Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ｂ2．已知直线y kx =是ln y x =的切线，则k 的值为（ ）Ａ．1eＢ．1e - Ｃ．2e Ｄ．2e -答案：Ａ 3．如果1N 的力能拉长弹簧1cm ，为了将弹簧拉长6cm （在弹性限度内）所耗费的功为（ ） Ａ．0.18J Ｂ．0.26J Ｃ．0.12J Ｄ．0.28J 答案：Ａ4．方程2(4)40()x i x ai a ++++=∈R 有实根b ，且z a bi =+，则z =（ ）Ａ．22i - Ｂ．22i + Ｃ．22i -+ Ｄ．22i -- 答案：Ａ5．ABC △内有任意三点不共线的2002个点，加上A B C ，，三个顶点，共2005个点，把这2005个点连线形成不重叠的小三角形，则一共可以形成小三角形的个数为（ ） Ａ．4005 Ｂ．4002 Ｃ．4007 Ｄ．4000 答案：Ａ6．数列1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，的第50项（ ） Ａ．8 Ｂ．9 Ｃ．10 Ｄ．11 答案：Ｃ7．在证明()21f x x =+为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提；④函数()21f x x =+满足增函数的定义是大前提．其中正确的命题是（ ） Ａ．①②Ｂ．②④Ｃ．①③Ｄ．②③答案：Ｃ8．若a b ∈R ，，则复数22(45)(26)a a b b i -++-+-表示的点在（ ） Ａ．第一象限Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｄ9．一圆的面积以210πcm /s 速度增加，那么当圆半径20cm r =时，其半径r 的增加速率u 为（ ） Ａ．12cm/s Ｂ．13cm/sＣ．14 cm/s Ｄ．15cm/s答案：Ｃ10．用数学归纳法证明不等式“11113(2)12224n n n n +++>>++”时的过程中，由n k =到1n k =+时，不等式的左边（ ）Ａ．增加了一项12(1)k +Ｂ．增加了两项11212(1)k k +++ Ｃ．增加了两项11212(1)k k +++，又减少了一项11k + Ｄ．增加了一项12(1)k +，又减少了一项11k +答案：Ｃ11．在下列各函数中，值域不是[的函数共有（ ） （1）(sin )(cos )y x x ''=+（2）(sin )cos y x x '=+ （3）sin (cos )y x x '=+（4）(sin )(cos )y x x ''=· Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个答案：Ｃ12．如图是函数32()f x x bx cx d =+++的大致图象，则2212x x +等于（ ） Ａ．23Ｂ．43 Ｃ．83Ｄ．123答案：Ｃ 二、填空题13．函数3()31f x x x =-+在闭区间[30]-，上的最大值与最小值分别为 ． 答案：3，17-14．若113z i =-，268z i =-，且12111z z z +=，则z 的值为 ．答案：42255i -+15．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数n a 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是 ．答案：21n a n =+16．物体A 的运动速度v 与时间t 之间的关系为21v t =-（v 的单位是m/s ，t 的单位是s ），物体B 的运动速度v 与时间t 之间的关系为18v t =+，两个物体在相距为405m 的同一直线上同时相向运动．则它们相遇时，A 物体的运动路程为 ． 答案：72m 三、解答题17．已知复数1z ，2z 满足2212121052z z z z +=，且122z z +为纯虚数，求证：123z z -为实数． 证明：由2212121052z z z z +=，得22112210250z z z z -+=， 即221212(3)(2)0z z z z -++=，那么222121212(3)(2)[(2)]z z z z z z i -=-+=+，由于，122z z +为纯虚数，可设122(0)z z bi b b ==∈≠R ，且， 所以2212(3)z z b -=，从而123z z b -=±， 故123z z -为实数．18．用总长14.8的钢条做一个长方体容器的框架，如果所做容器的底面的一边长比另一边长多0.5m ，那么高是多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积．解：设该容器底面矩形的短边长为x cm ，则另一边长为(0.5)x +m ，此容器的高为14.8(0.5) 3.224y x x x =--+=-， 于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V x x x x x x x =+-=-++，其中0 1.6x <<， 即2()6 4.4 1.60V x x x '=-++=，得11x =，2415x =-（舍去）， 因为，()V x '在(01.6)，内只有一个极值点，且(01)x ∈，时，()0V x '>，函数()V x 递增； (11.6)x ∈，时，()0V x '<，函数()V x 递减；所以，当1x =时，函数()V x 有最大值3(1)1(10.5)(3.221) 1.8m V =⨯+⨯-⨯=， 即当高为1.2m 时，长方体容器的空积最大，最大容积为31.8m ．19．如图所示，已知直线a 与b 不共面，直线c a M =，直线b c N =，又a 平面A α=，b 平面B α=，c 平面C α=，求证：A B C ，，三点不共线． 证明：用反证法，假设A B C ，，三点共线于直线l ， A B C α∈，，∵，l α⊂∴．c l C =∵，c ∴与l 可确定一个平面β． c a M =∵，M β∈∴．又A l ∈，a β⊂∴，同理b β⊂，∴直线a ，b 共面，与a ，b 不共面矛盾．所以AB C ，，三点不共线． 20．已知函数32()31f x ax x x =+-+在R 上是减函数，求a 的取值范围． 解：求函数()f x 的导数：2()361f x ax x '=+-． （1）当()0()f x x '<∈R 时，()f x 是减函数．23610()0ax x x a +-<∈⇔<R 且36120a ∆=+<3a ⇔<-．所以，当3a <-时，由()0f x '<，知()()f x x ∈R 是减函数； （2）当3a =-时，33218()331339f x x x x x ⎛⎫=-+-+=--+ ⎪⎝⎭，由函数3y x =在R 上的单调性，可知当3a =-时，()()f x x ∈R 是减函数； （3）当3a >-时，在R 上存在使()0f x '>的区间，所以，当3a >-时，函数()()f x x ∈R 不是减函数． 综上，所求a 的取值范围是(3)--，∞．21．若0(123i x i n >=，，，，，观察下列不等式：121211()4x x x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭≥，123123111()9x x x x x x ⎛⎫++++ ⎪⎝⎭≥，，请你猜测1212111()n nx x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭满足的不等式，并用数学归纳法加以证明． 解：满足的不等式为21212111()(2)n nx x x n n x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭≥≥，证明如下： 1．当2n =时，结论成立；2．假设当n k =时，结论成立，即21212111()k k x x x k x x x ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭2221(1)k k k ++=+≥．显然，当1n k =+时，结论成立．22．设曲线2(0)y ax bx c a =++<过点(11)-，，(11)，． （1）用a 表示曲线与x 轴所围成的图形面积()S a ； （2）求()S a 的最小值． 解：（1）曲线过点(11)-，及(11)，，故有1a b c a b c =-+=++， 于是0b =且1c a =-，令0y =，即2(1)0ax a +-=，得x = 记α=，β=，由曲线关于y 轴对称， 有2300()2[(1)]2(1)3a S aax a dx x a xββ⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎣⎦⎰|2(13a a⎡=-=⎢⎣· （2）()S a =3(1)()(0)a f a a a-=<，则223221(1)()[3(1)(1)](21)a f a a a a a a a -'=---=+．令()0f a '=，得12a =-或1a =（舍去）．又12a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭，∞时，()0f x '<；102a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，时，()0f x '>．所以，当12a =-时，()f a 有最小值274，此时()S a高中新课标数学选修（2-2）综合测试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．函数cos sin y x x x =-的导数为 （ ） （A ）cos x x （B ）sin x x - （C ）sin x x （D ）cos x x -2．下列说法正确的是 （ ） （A ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极大值（B ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极小值 （C ）当0()0f x '=时，0()f x 为()f x 的极值 （D ）当0()f x 为()f x 的极值时， 0()0f x '=3．如果z 是34i +的共轭复数，则z 对应的向量OA 的模是 （ ）（A ）1 （B （C （D ）54．若函数3()y a x x =-的递减区间为(，则a 的取值范围是 （ ） （A ）(0,)+∞ （B ）(1,0)- （C ）(1,)+∞ （D ）(0,1)5．下列四条曲线（直线）所围成的区域的面积是 （ ） (1)sin y x =;(2) s y co x =; (3)4x π=-;(4) 4x π=(B) (C)0 (D)26．由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，叫 （ ） （A ）合情推理 （B ）演绎推理 （C ）类比推理 （D ）归纳推理7．复数a bi -与c di +的积是实数的充要条件是 （ ） （A ）0ad bc += （B ）0ac bd += （C ）0ad bc -= （D ）0ac bd -= 8．已知函数1sin 2sin 2y x x =+，那么y '是 （ ） （A ）仅有最小值的奇函数 （B ）既有最大值又有最小值的偶函数 （C ）仅有最大值的偶函数 （D ）非奇非偶函数 9．用边长为48厘米的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒。