Fourier习题三作业题

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Fourier变换
习wk.baidu.com三 作业题
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习题三 2.若F(ω)= F [f(t)], 证明(对称性质): 1 ∞ f (±ω) = F( t )e jωt dt ∫∞ 2π 即F[F( t )] = 2πf (±ω)
证 : 明 根据 Fourier变换 的定 义有 F(ω) = F[ f (t )] = ∫ f (t )e jωt dt,
∞ ∞
1 ∞ jωt f (t ) = ∫∞ F(ω)e dω 2π 1 ∞ jx(±ω) 于是 (±ω) = f ∫∞ F(x)e dx 2π
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F(ω) = F[ f (t )] = ∫ f (t )e
∞
∞
jωt
dt,
1 ∞ f (t ) = F(ω)e jωt dω 2π ∫∞ 1 ∞ 于 f (±ω) = 是 F(x)e jx(±ω)dx 2π ∫∞ 令x=t 1 ∞ F(t)e jωt dt = 2π ∫±∞ 1 ∞ jωt 即 (±ω) = f ∫∞ F( t)e dt 2π 即F[F( t )] = 2πf (±ω) 则 πf (±ω) = ∫ F( t )e 2
∞ ∞ jωt
∞
dt,
∞ jω x a ∞
令x = at,则F[ f (at )] = ∫ f (x)e
x d( ), a
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F(ω) = F[ f (t )] = ∫ f (t )e
∞
∞
jωt
dt, F[ f (at )] = ∫ f (at )e jωt dt,
∞ jω x a
∞
令x = at,则F[ f (at )] = ∫ f ( x)e
∞ ∞ jωt
dt
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3.若F(ω)= F [f(t)], a为非零常数,证明(相似性质):
1 ω F[ f (at)] = F a a 证明: 根据Fourier变换的定义有
(t )] = ∫∞ f (t )e jωt dt, F(ω) = F[ f
F[ f (at )] = ∫ f (at )e
∞
∞
x d( ), a
x
jω 1 ∞ 当a > 0时,有F[ f (at )] = ∫ f ( x)e a dx a ∞ ω ω j x j t 1 ∞ 1 ∞ 1 ω a a = ∫ f (x)e dx = ∫ f (t )e dt = F( ) a ∞ a ∞ a a x jω 1 ∞ 当a < 0时,有F[ f (at )] = ∫ f ( x)e a dx a +∞ ω ω j x j t 1 ∞ 1 ∞ 1 ω a a = ∫ f ( x)e dx = ∫ f (t )e dt = F( ) a ∞ a ∞ a a 1 ω 故F[ f (at )] = F( ) a a