坐标变换与二次曲线的分类

第三章 坐标变换与二次曲线的分类

本章教学目的：通过本章的学习，掌握仿射坐标变换的一般理论，理解和掌握二次曲线的类型，掌握用方程的系数判别二次曲线的类型,不变量，掌握圆锥曲线的仿射特征组, 度量特征。

本章教学重点：(1) 平面的仿射变换与保距变换, (2) 仿射变换基本定理

本章教学难点：(1) 用坐标法研究仿射变换 (2) 图形的仿射分类与仿射性质

本章教学内容：

第一节 仿射坐标变换的一般理论

一 过渡矩阵、向量和点的坐标变换公式

1 向量的坐标变换公式

在空间中取定两个仿射坐标系，它们的标架分别为231

,,,I O e e e ⎡⎤⎣

⎦

和'''''

123,,,I O e e e ⎡⎤⎣⎦

。设向量α在I 和'I 中的坐标(),,x y z 和()''',,x y z 。又设'

1e ,'

2e ,'

3e 在I 中的坐标依次为

()112131,,c c c ，()122232,,c c c ，()132333,,c c c ，

即 '1111212313

'

2121222323

'3

131232333e c e c e c e e c e c e c e e c e c e c e

⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩， 于是由坐标的定义得到α在I 中的坐标为

'''

111213'''

212223'''

313233x c x c y c z y c x c y c z z c x c y c z ⎧=++⎪=++⎨⎪=++⎩

， ()3.1

用矩阵写出为

'

11

1213'212223'31

32

33x c c c x y c c c y z c c c z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥

⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

()3.1

a 称 ()3.1和()3.1a 为向量的坐标变换公式, ()3.1a 中的矩阵

11121321

222331

32

33c c c C c c c c c c ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

称为从坐标系I 到'I 的过渡矩阵。

2 点的坐标变换公式

设点M 在I 和'I 中的坐标分别为(),,x y z 和()''',,x y z ，他们分别是向量O M 在I 中的坐标和向量'

O M 在'I 中的坐标。由矩阵C 可得到'

O M 在I 中的坐标为

11

1213212223

31

3233c c c c c c c c c ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

'''x y z ⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

, 由于'

'

O M O O O M =+，如果假设'O 在I 中的坐标为()123

,,d d d

，

则 '

11

1213

'21

2223'313

2

33x c c c x y c c c y z c

c c z ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

1

23d d d

⎡⎤⎢⎥

+⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

， ()3.2a 这就是点的坐标变换公式的矩阵形式，点的坐标公式的一般形式为

'''1112131'''

2122232'''3132333x c x c y c z y c x c y c z z c x c y c z d d d ⎧=+++⎪=+++⎨⎪=+++

⎩

， ()3.2 二 图形的坐标变换公式

例()3.1设从坐标系I 到'I 的过渡矩阵为

2

100

111

1c ⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦

， '

O 在I 中的坐标为()1,2,0-。

()1设平面π在I 中的一般方程为3220x y z +-+=求π在'I 中的一般方程；

()2设直线l 在I

中的标准方程为

123

2

1

x y z --=

=

-，求l 在'I 中的方程。

解 向量的坐标变换公式为

''''

''2x x y y y z z x z ⎧=+⎪=-⎨⎪=+⎩

()3.3 点的坐标变换公式为

''''

''212x x y y y z z x z ⎧=++⎪=--⎨⎪=+⎩

()3.4

()1 将()3.4代入π在I 中的一般方程3220x y z +-+=中，得到

()()()'

'

'

'

'

'

3212220x y y z x z

+++---++=。

整理后得到π在'I 中的一般方程：

'

'

'

55310x y z +-+=。

()2 方法1 l 在I

中的方程

2320

240x y y z +-=⎧⎨

+-=⎩

， 对这两个方程表示的曲面分别用()1中的方法求出它们在'I 中的一般方程，联立得到l 在'I 中的方程：

''''''

45360

260

x y z x y z ⎧+--=⎨++-=⎩。 方法2 记M 是在I 中的坐标为()1,0,2的点， α是在I 中的坐标为()3,2,1-的向量，则l 过点M ，平行于向量α，分别求出M 和α在'I 中的坐标，就可以写出l 在'I 中的方程。

三 过渡矩阵的性质

命题3.1 0C ≠，即C 是可逆矩阵。（因为'I 中的坐标向量'

1e ,'

2e ,'

3e 是不共面的） 命题3.2 设有3个仿射坐标系'

''

,,I I I ，I 到'I 的过渡矩阵为C ，'I 到''I 的过渡矩阵为D ， 则I 到''I 的过渡矩阵为C D 。

证明：记