(课件)格点多边形的面积计算

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初中数学《格点多边形的面积计算》25页精品ppt课件

描点-猜想-验证
图象
1 由此发现规律： S b 1 2
探究新友
三、请你再画出一些格点多边形，使这些多边形内部有且只有3个格点、4个格点……时，此时所画的各个多边形的面积S与它边界上格点数b之间的关系式：S= ________；
多边形的面积S
边界上格点的个数和 b
多边形内部的格点数a
解决问题：谁的面积大？
哥哥说：“弟弟的地里一圈有17棵树，而我的地一圈只有15棵树，弟弟的地面积大。” 弟弟说：“哥哥的地里面有17棵树，我的地里只有16 棵树，哥哥的面积大？”
画龙点睛
1、你知道什么是皮克定理了吗？ 2、通过探索皮克定理，你积累了哪些学习方法和经验？
画龙点睛
探求规律类问题的方法：
Thank You !
1、简单到复杂、特殊到一般 2、纵向、横向比较所列式子中的变量与常量，结合函数思想，总结规律，并进行验证。 3、遇多个变量时，采用控制变量法。
皮克定理之歌
纵横平行网格美，妙画格点多边形。面积求解方法多，皮克定理光芒闪。 a b弄清答案来，数学简约显智慧。探索之路无穷尽，共享思维谱华章。
最强大脑
本次活动所使用的网格纸的纵、横两组平行线是互相垂直的，如果网格纸的纵、横两组平行线不垂直，假设每个小平行四边形的面积为1，还能应用此公式求出多边形的面积吗？
作业布置
必做题：请以小组为单位，探究平行四边形网格中格点多边形面积计算，并完成探究报告. 选做题：请以小组为单位，探究等边三角形网格中格点多边形面积计算，并完成探究报告.
多边形内部的格点数a
4
由此发现规律：
S a2
发现规律
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为a，它的边界上的格点数为b.

格点算面积

NL
13 23 33 ……
S值
3 2 5 2 7 2
…
当N等于 0时S值
1 2 1 2 1 2
当N等于0时 S与L之间关
系式
S L2 2
S L2 2
S L2 2
…
在N=0基础之上增
加多少
1
2
3
现S与N、L 之间的关系
S L2 1 2
S L22 2
S L23 2
…
结论
S L2N 2
NL
2、如图,如果每相邻的三个点构成的等边三角形的面积为1,那么还能用皮克公式来计算格点多边形的面积吗
当N等于0 当N等于0 在N=0基础之现S与N、L 时S与N之时S值上增加多少之间的关系
间关系式
5
S L2
3
2
2
2
7
S L2
3
2
2
2
9
S L2
3
2
2
2
…
…
1
2
3
S L2 1 2
S L22 2
S L23 2
…
结论
S L2N 2
NL
16 26 36 ……
S 当N等于当N等于在N=0基础现S与N、L
第一阶段：课前准备知识预备：格点多边形
格点多边形：方格网中的每个交点叫做格点如右图中的点A、 B、C、D、E… ,每一个小方格的边长是1个单位长度即是每个小正方形的面积为1如右图阴影正方形.
如果一个多边形的所有顶点都在格点上,那么这个多边形叫做格点多边形如图中的多边形 ABCDE
B
C
…
讨论结果
当N=0时S与L之间的关系式为：

几何图形六年级

几何图形题型一：格点图形的面积计算（毕克定理） 1、正方形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，正方形格点面积可以表示为：S ＝N ＋12L －1。

2、三角形格点多边形及其面积计算公式每相邻三点成“∵”或“∴”，所形成的三角形都是等边三角形，规定它的面积为1，以这样的点为顶点画出的多边形为三角形格点多边形。

三角形格点多边形的面积计算公式：（毕克定理）三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2，如果用S 表示面积，N 表示图形内包含的格点数，L 表示图形周界上的格点数，那么，三角形格点面积可以表示为：S ＝(N ＋12L －1)×2。

注意：1．毕克定理对任何格点图形都适用。

要区分面积是几个单位。

2．在数格点时要细心。

3．严格区分正方形格点多边形和三角形格点多边形。

正方形格点图形的面积[模型例题1．]如图是用橡皮筋在钉板上围成的一个三角形，计算它的面积是多少。

(每相邻两个小钉之间的距离都等于1个长度单位)分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：5＋3÷2－1＝5.5 答：三角形的面积为5.5。

[模型例题2．]如图所示，在边长为1厘米的正方形格点中，图形“”的面积是多少平方厘米？分析直接套用正方形格点多边形面积公式“正方形格点多边形的面积＝内点个数＋界点个数÷2－1”即可解答。

解：6＋10÷2－1＝10(平方厘米)答：图形“”的面积是10平方厘米。

三角形格点图形的面积[模型例题3．]下图中有28个点，其中每相邻的三点“∵”或“∴”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算△ABC的面积。

分析直接套用三角形格点多边形面积公式“三角形格点多边形的面积＝(内点个数＋界点个数÷2－1)×2”即可解答。

格点多边形面积计算公式证明

格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形的面积计算公式，首先需要了解什么是格点多边形以及如何计算其面积。

格点多边形是指顶点都位于整数坐标点上的多边形。

计算格点多边形的面积需要使用绿公式（Green's theorem），绿公式是一个与环路围成的有界区域相关的定理，它表示该区域的面积等于沿着区域边界的线积分。

现在考虑单位正方形的一个格点多边形，其各个顶点为整数坐标点。

假设该格点多边形有n个顶点，我们可以把这个多边形分成n个三角形。

每个三角形的面积可以通过计算一个顶点和相邻两个顶点之间的行列式得到。

设格点多边形的第i个顶点坐标为(xi, yi)，那么第i个三角形的面积可以通过以下行列式计算得到：Ai = 0.5 * ，xi*y(i+1) - xi+1*yi其中i+1和i的下标需要使用取模运算，以保证当i=n-1时，i+1=0。

根据绿公式，我们可以计算该格点多边形的面积S为：S = 0.5 * Σ(xi*y(i+1) - xi+1*yi)这里Σ表示对i从0到n-1的求和。

现在我们需要证明这个格点多边形面积计算公式的正确性。

证明过程如下：首先，考虑单位正方形的情况，该格点多边形有4个顶点，我们可以将其分成4个三角形。

根据上述计算公式，这个格点多边形的面积为：S=0.5*(x0*y1-x1*y0+x1*y2-x2*y1+x2*y3-x3*y2+x3*y0-x0*y3)通过展开并合并项，可以得到：S=0.5*(x0*y1+x1*y2+x2*y3+x3*y0-x1*y0-x2*y1-x3*y2-x0*y3)这等价于四个小三角形的面积之和。

因此，当格点多边形是单位正方形时，上述格点多边形面积计算公式是成立的。

接下来，我们使用数学归纳法来证明上述格点多边形面积计算公式对任意个数的顶点成立。

假设当格点多边形有k个顶点时，格点多边形面积计算公式成立。

现在考虑格点多边形有k+1个顶点的情况。

我们可以将其分成k个三角形和一个小三角形。

小学思维数学讲义：格点型面积-带详解

格点型面积模块一、正方形格点问题在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形，例如，右图中的乡村小屋图形就是一个格点多边形．那么，格点多边形的面积如何计算？它与格点数目有没有关系？如果有，这两者之间的关系能否用计算公式来表达？下面就让我们一起来探讨这些问题吧！用N表示多边形内部格点，L表示多边形周界上的格点，S表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N=+-．这个规律就是毕克定理．【例1】判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶【考点】格点型面积【难度】2星【题型】判断【解析】根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形．【答案】⑴是格点多边形【例2】如图，计算各个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了．方法一：图⑴是正方形，边长是4，所以面积是4416⨯=(面积单位)；图⑵是矩形，长是5，宽是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑶是三角形，底是5，高是4，所以面积是54210⨯÷=(面积单位)；图⑷是平行四边形，底是5，高是3，所以面积是5315⨯=(面积单位)；图⑸是直角梯形，上底是3，下底是5，高是3，所以面积是353212+⨯÷=（）(面积单位)；图⑹是梯形，上底是3，下底是6，高是4，所以面积是364218+⨯÷=（）(面积单位)．毕克定理若一个格点多边形内部有N个格点，它的边界上有L个格点，则它的面积为12LS N=+-．例题精讲如果两格点之间的距离是2，能利用刚计算的结果说出相应面积么？(教师总结：面积数值均扩大4倍．) 方法二：以上部分图形除了利用各自的面积公式直接求出外，我们还可以从推导它们的面积公式过程中得到启发，即用“割补法”或“扩展法”分别转化成长方形来求．这一种方法很重要，在下面的题目中我们还将使用这种方法！如图⑶，我们利用“扩展法”将其转化，如图所示，从图中易知三角形面积是长方形面积的一半．如图⑷，我们利用“割补法”将其阴影部分面积平移到右边，转化成一个长方形，从中易得平行四边形面积．同理，图⑸、⑹也可利用同样的思想．【答案】图⑴16；图⑵15；图⑶10；图⑷15；图⑸12；图⑹18．【例 3】如图(a )，计算这个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【解析】方法一(扩展法)．这是个三角形，虽然有三角形面积公式可用，但判断它的底和高却十分困难，只能另想别的办法：这个三角形是处在长是6、宽是4的矩形内，除此之外还有其他三个直角三角形，如下右图(b )，这三个直角三角形面积很容易求出，再用矩形面积减去这三个直角三角形面积，就是所要求的三角形面积．矩形面积是6424⨯=；直角三角形Ⅰ的面积是：6226⨯÷=；直角三角形Ⅱ的面积是：4224⨯÷=；直角三角形Ⅲ面积是4224⨯÷=；所求三角形的面积是2464410-++=（）(面积单位)．方法二(割补法)．将原三角形分割成两个我们方便计算面积的三角形，如(c )图．因此三角形的面积是：52252210⨯÷+⨯÷=(面积单位)．【答案】10【例 4】右图是一个方格网，计算阴影部分的面积．【考点】格点型面积【难度】2星【题型】解答【关键词】新加坡小学数学奥林匹克竞赛【解析】扩展法．把所求三角形扩展成正方形ABCD 中．这个正方形中有四个三角形：一个是要求的AEF V ；另外三个分别是：△ABE 、△FEC 、△DAF ，它们都有一条边是水平放置的，易求它们的面积分别为21.5cm ，22cm ，21.5cm ．所以，图中阴影部分的面积为：33 1.5224⨯-⨯+=（）(2cm )．【答案】4【例 5】分别计算图中两个格点多边形的面积．【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】利用“扩展法”和“割补法”我们都可以简单的得到第一幅图的面积均为9面积单位．第二幅图的面积均为10面积单位．【点评】“一个格点多边形面积的大小很可能是由哪些因素决定呢？”“格点多边形内部的格点数和周界上的格点数与格点多边形的面积有没有什么内在联系呢？”下面我们就来探讨一下！在巩固中，我们发现两个图形面积相等．进一步还可以发现第一个图形边界上的格点数是8个；第二个图形边界上的格点数是10个，包含在图形内的格点数也相等，都是6个．【答案】第一幅图的面积均为9；第二幅图的面积均为10．【巩固】求下列各个格点多边形的面积．（1）（2）（3）（4）【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】 ⑴ ∵12L =；10N =，∴1211011522L S N =+-=+-=(面积单位)；⑵ ∵10L =；16N =，∴1011612022L S N =+-=+-=(面积单位)；⑶ ∵6L =；12N =，∴611211422L S N =+-=+-=(面积单位)；⑷ ∵10L =；13N =，∴1011311722L S N =+-=+-=(面积单位)．用N 表示多边形内部格点，L 表示多边形周界上的格点，S 表示多边形面积，请同学们分析前几个例题的格点数．我们能发现如下规律：12LS N =+-．这个规律就是毕克定理．【答案】⑴15；⑵ 20；⑶14；⑷17【例 6】 “乡村小屋”的面积是多少？【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】图形内部格点数9N =；图形边界上的格点数20L = ；根据毕克定理，则1182LS N =+-=(单位面积)．【答案】18【例 7】右图是一个812⨯面积单位的图形．求矩形内的箭形ABCDEFGH 的面积．H GFED C BA【考点】格点型面积【难度】3星【题型】解答【解析】箭形ABCDEFGH 的面积810214842121232246=+÷-+⨯+÷-⨯=++=（）（）(面积单位)．【答案】46【例 8】比较图中的两个阴影部分①和②的面积，它们的大小关系______【考点】格点型面积【难度】3星【题型】填空【关键词】希望杯，五年级，二试，第9题，6分【解析】①的面积为：1112111313222⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，②的面积也为3223⨯÷=。

初中数学精品课件：《格点多边形的面积计算》

课题学习
格点多边形的面积计算
如图，多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形.
1.怎么计算格点多边形的面积？ 2.有没有更简便的方法呢？ 3.格点多边形的面积与格点多边形内的格点数和边界上的格点数有没有关系呢？
记S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.
3
4
3
5
3
6
3
7
模型：S=0.5b+2
④ 面积S
4 4.5 5 5.5
内部格点数a
0每 1增 2加
1 3
边界格点数b b b b b
面积S
S=0.5b-1 增 S=0.5b 加 S=0.5b+1 1
S=0.5b+2
归纳：S=a+0.5b-1（其中S表示格点多边形的面积，a表示格点多边形内的格点数，b表示格点多边形边界上的格点数.）
0
8
模型：S=0.5b-1
④
面积S
0.5 增
加
10 1.5 . 35
活动二当a=1时，请你作出三至四个边界格点数不同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.
温馨提醒：你可以先暂停一下，等你在你的方格纸上做出了符合要求的格点多边形，再开始观看.
①
②
③
④
图形序号 ① ② ③ ④
内部格点数a 边界格点数b
1
4
1
5
1
6
1
8
模型：S=0.5b
面积S 2 2.5 3 4
活动三当a=2时，请你作出三至四个边界格点数不同的格点多边形，再进行归纳、猜想和建模.

格点多边形面积计算

边形的顶点都在格点上，那么这种多边形叫做格点多边形.
A E B C D
问题1
A E B C D
你会求图中格点多边形的面积吗？请试一试！
E
E
B
B
C D
C
D
补
割
问题2
E B C D
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，那么S与N、L三者之间有怎样的数量关系呢？
② ③ … … … … S N L
1 L－1仍相等吗？ 2
当N=1时，S与
活动三
如图①②③都是满足条件 N=2 的格点多边形，请填写表格：
图形序号
① S
6
N
2
L
10
② ③ …
4
3
2
2
6
4
…
…
…
当 N=2 时， S 与 L 之间又有什么关系呢？
4、公式应用 ①求下图的面积：
解：图形内部格点数 N=21 图形边界上的格点数 X=9 图形的面积 Y=1/2 *9+21-1=24.5 ②下图中每个小正方形的边长为1，求点C到AB直线的距离。
活动一
如图①②③都是满足条件 N=0 的格点多边形，请填写表格：
A B ① D C
图形序号 ①
② ③ …
S
1 2 3
N
0 0 0
L
4 6 8
A
…
…
…
B
②
C
A B ③
D C ④
当 N=0 时， S 与 L 有什么关系？
活动二
如图①②③都是满足条件 N=1 的格点多边形，请填写表格：
图形序号 ①

巧用皮克定理求格点上的多边形面积

巧用皮克定理求格点上的多边形面积
皮克定理是一个非常有用的数学定理，它可以帮助我们计算平面上的多边形面积。

这个定理的基本思想是，如果我们知道了一个多边形的顶点都在格点上，那么我们就可以用这个定理来计算它的面积。

皮克定理的表述非常简单：如果一个多边形的顶点都在格点上，那么它的面积可以表示为：
S = i + b/2 - 1
其中S是多边形的面积，i是多边形内部的格点数，b是多边形边界上的格点数。

这个公式非常容易理解，因为它的意思是，多边形的面积可以看作是内部格点数和边界格点数的和减去一个常数。

为了更好地理解这个公式，我们可以考虑一个简单的例子。

假设我们有一个正方形，它的顶点都在格点上。

这个正方形的边长为4，因此它的面积为16。

现在我们来计算一下这个正方形的内部格点数和边界格点数。

首先，我们可以看到正方形的内部有一个格点，因此i=1。

其次，正方形的边界上有12个格点，因此b=12。

将这些值代入公式中，我们可
以得到：
S = i + b/2 - 1
= 1 + 12/2 - 1
= 6
这个结果与我们预期的相符，因为正方形的面积为16，而我们计算出来的面积为6，正好是16的三分之一。

当然，皮克定理不仅适用于正方形，它同样适用于任何顶点都在格点上的多边形。

因此，如果我们想计算一个任意多边形的面积，只需要先确定它的顶点都在格点上，然后就可以用皮克定理来计算它的面积了。

总的来说，皮克定理是一个非常有用的数学定理，它可以帮助我们计算平面上的多边形面积。

虽然它的表述非常简单，但它的应用却非常广泛，因此我们应该好好掌握它。

巧用皮克定理求格点上的多边形面积

巧用皮克定理求格点上的多边形面积1. 什么是皮克定理皮克定理（Pick’s Theorem）是一个用于计算相邻格点上的多边形面积的几何学定理。

它描述了在一个坐标系中，由相邻格点和连接它们的线段所构成的多边形的面积。

定理的表述如下：定理1（皮克定理）：设多边形P的顶点都是整点，P内部没有其他的整点，则P 的面积S可以通过以下公式计算：S = B + I/2 - 1其中，B表示P边界上的整点数量，I表示P内部的整点数量。

2. 皮克定理的应用场景皮克定理可以在很多场景下得到应用。

以下是一些常见的应用场景：2.1 计算整点多边形的面积通过皮克定理，我们可以直接计算由整点顶点和整点边界组成的多边形的面积。

这在一些几何学问题中非常有用，尤其是当我们只知道顶点坐标而无法通过其他几何学方法求解面积时。

2.2 判断整点多边形利用皮克定理，我们可以判断一个多边形是否由整点构成。

如果一个多边形的面积和边界上的整点数量都是整数，那么该多边形就是由整点构成的。

2.3 寻找满足条件的整点在某些数学问题中，我们需要寻找满足一定条件的整点。

皮克定理可以帮助我们找到满足条件的整点的范围，从而简化问题的求解过程。

3. 皮克定理的证明以下，我们将给出皮克定理的一个简单证明。

3.1 证明思路我们可以通过将多边形划分为一系列的小三角形来进行证明。

然后，我们可以对每个小三角形进行分析，得到一个公共的结论，从而推导出皮克定理的结果。

3.2 证明过程假设多边形P的边界上有n个顶点。

我们可以将多边形P划分为n个三角形，每个三角形有一个顶点位于多边形P的一个顶点上，另外两个顶点位于相邻顶点上。

这样，我们就得到了n个与多边形边界平行的三角形。

设这n个三角形的面积之和为A1。

显然，A1是所有三角形面积之和的一半。

我们观察每个三角形，其中一个顶点是整点，另两个顶点也是整点。

因此，每个三角形的面积也是一个整数。

根据三角形的面积公式，我们可以得到每个三角形的面积与它底边的长度之间存在一个整数倍的关系。

四年级下第4讲《格点图形面积计算》教学课件

• Culture
例题讲解
mathematics
例题1：图中每个最小正方形的面积都是1平方厘米，那么三个阴影图形的面积分别是多少平方厘米? 分析：这几个多边形都不规则，我们能不能把它们切成很多规则的小块，一块一块地求
面积呢？或者给它们添补一些规则的小块，使得它们变成规则可求的大图形.
例题讲解
类似地，在最小正三角形面积为1的三角形网格中，三角形格点图形也有面积计算公式: 三角形格点多边形面积=边界格点数+内部格点数×2-2 仔细比较这两个公式，可以发现：三角形格点的公式正好是正方形格点公式的2倍，大家想一下，为什么是这样呢？
这种方法我们也称为毕克定理！
例题讲解
mathematics
mathematics
练习1：图中相邻两格点间的距离均为1厘米，那么阴影图形的面积分别是多少平方厘米?
例题讲解
mathematics
通过例1中的第1小题我们学会了将大块不规则图形“分割”成许多规则的图形，这种方法称为“分割法”，但是不一定每个图形都很容易分割；第2小题我们学会了把不好算的图形“添补”成规则的大图形，计算时用大图形的面积减去空白部分的面积,这种方法称为“添补法”. 分割法，正所谓“大事化小”，把不规则的大图形化为规则的小图形. 添补法则正好相反，是“以小见大”，把不规则图形周围添上规则的小图形，使总面积便于计算. 使用割、补法的时候，一般应该从图形的顶点出发，尽量沿着格线划分，以便与小方格的面积找到联系或者利用垂直等性质. 接下来我们用分割、添补的方法计算一下三角形格点图形的面积.
例题4：如图，每个最小等边三角形的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米? 分析：尝试着用格点图形面积公式计算一下吧！先数数边界格点、内部格点分别有多少

正方形格点阵中多边形面积的计算公式

（N+L -1） X 单位正方形面2正方形格点阵中多边形面积的计算公式，出现在各种形状的格点阵中的直线形的面积问题，以及借助构造格点阵求解的几何问题. 通过恰当地分割与拼补进行计算的面积问题.1 •如图6-1，每一个小方格的面积都是I 平方厘米，那么用粗线围成的图形的面积是多少平方厘米？【分析与解】方法一：正方形格点阵中多边形面积公式: 积，其中N 为图形内格点数，L 为图形周界上格点数.有N=4, L=7,贝U 用粗线围成图形的面积为：（4+7-1 ） X 仁6.5（平方厘米）2方法二：如下图，先求出粗实线外格点内的图形的面积，有① =3-2=1.5，②=2- 2=1，③=2- 2=1，④=2 - 2=1，⑤=2- 2=1，⑥=2- 2=1,还有三个小正方形，所以粗实线外格点内的图形面积为 1.5+1+1+1+1+1+3=9.5，而整个格点阵所围成的图形的面积为16,所以粗线围成的图形的面积为：16-9.5=6.5平方厘米.【丙容概述】觀題级数；4［車2.如图6-2，如果每一个小三角形的面积是1平方厘米，那么四边形ABCD勺面积是多少平方厘米？【分析与解】方法一：正三角形方形格点阵中多边形面积公式：（2N+L-2）x单位正三角形面积，其中N为图形内格点数，L为图形周界上格点数.有N=9, L=4,所以用粗线围成的图形的面积为：（9 X 2+4- 2） XI =20（平方厘米）.方法二：如下图，我们先数出粗实线内完整的小正三角形有10个，而将不完整的小正三角形分成4部分计算，其中①部分对应的平行四边形面积为4,所以①部分的面积为2, ②、③、④部分对应的平行四边形面积分别为2, 8, 6,所以②、③、④部分的面积分别为1, 4, 3•所以粗实线内图形的面积为10+2+1+4+3=20（平方厘米）.㉚脚热锚降碍Wfl” r.』-J . - f ■ ■ * ■ - J * ■北京市第十工届“迎春杯”数学竟瑶*决赛第一题第3題3.如果图6-3是常见的一副七巧板的图，图6-4是用这副七巧板的7块板拼成的小房子图，那么，第2块板的面积等于整幅图的面积的几分之几？第4块板与第7块板面积的和等于整幅图的面积的几分之几？120【分析与解】如下图，我们在图6-3中标出图6-4中各块图形的位置.设整个七巧板组成的正方形的边长为 1,显然整幅图形的面积为1,且有第2块的面积为 1 X - X -=-.2 2 2 81有S 3=S 4 , S 2=S 5 = S 7=2S 3，有2、3、4、5、7五块图形的面积之和为；，所以S 4=S 长方形IGFB ,S7=8.1 團6 - 4i所以第2块板的面积等于整幅图面积的8，第4块板与第7块板面积和为整幅图面积的i；+8=i：120 块小正三角形的面积为1,所以每块为'，那么原来的正三角形由81块小正三4 .把正三角形每边三等分，将各边的中间段取来向外面作小正三角形，得到一个六角形.再将这个六角形的各个“角”（即小正三角形）的两边三等分，又以它们的中间段向外作更小的正三角形，这样就得到图6-5所示的图形.如果这个图形面积是1,那么原来的正三角形面积是多少？【分析与解】方法一：如右图，我们将图6-5分成若干个大小、形状完全相同的小正三角形，由40块小正三角形组成图6-5，而由27块小正三角形组成了图中最大的正三角形.角形组成，其面积显然为2740方法二：如下图，我们把图6-5中的三角形分成A B C三种，设A形正三角形面积第五届“华罗庚金杯'■少年数学邀请赛•决赛口试第4题为“ 1在图6-5中，A种、B种、C种正三角形的个数依次为1, 3，12,所以图6-5中图形的面积为1+3X 1 +12X 1 =40•所以有“ T对应27，而原来的正三角形即为三角形A,所9 81 27 40以原来的正三角形的面积为27 .405.如图6-6，正六边形ABCDE的面积是6平方厘米，M是AB中点，N是CD中点，P 是EF中点•问：三角形MNP勺面积是多少平方厘米？图6-6【分析与解】如下图，我们将图6-6分成大小、形状相同的三角形，有正六边形ABCDEF 包含有24个小正三角形，而阴影部分MNP包含有9个小正三角形.正六边形ABCDE的面积为6,所以每个小正三角形的面积为6十24」，所以三角形MNP41的面积为9X丄=2.25（平方厘米）•4@@级数：卓車-第四届“小学数学报”数夢覚赛*决赛境空题第于题6 .把同一个三角形的三条边分别五等分、七等分，适当连接这些分点，便得到了若干个面积相等的小三角形•已知图6-7中阴影部分的面积是294平方分米，那么图6-8中的阴影部分的面积是多少平方分米？Ef 6-7 Sti-S【分析与解】在图6-7中，原正三角形被分成25个小正三角形，而阴影部分含有12个小正三角形，所以每个小正三角形的面积为29412=24.5,所以原正三角形的面积为24. 5X 25=612.5（平方分米）.而在图6-8中，原正三角形被分成49块，而阴影部分含有16块，所以阴影部分的面积为612. 5-49X 16=200（平方分米）.魏钱级数:車車!992年全国小学数学奥林匹克•初赛C奪第7题7.图6-9是5X 5的方格纸，小方格的面积是1平方厘米，小方格的顶点称为格点.请你在图上选7个格点，要求选出的点中任意3点都不在同一条直线上，并且使这7个点用直线连接后所围成的面积尽可能大.那么所围图形的面积是多少平方厘米？【分析与解】我们知道满足题意的7个点可以组成一个七边形，适当的切去正方形的一个角可以得到一个五边形，切出2个角可以得到一个六边形，切去3个角可以得到七边形.为了使最后留下的七边形的面积尽可能大，那么切去的3个角面积应尽可能的小.如下切法得到的七边形的面积最大，为 25-3X0.5=23.5（平方厘米）.翁鞭级数：車*8 .在图6-10中，三角形ABC 和DEF 是两个完全相同的等腰直角三角形，其中 DF 长9 厘米，CF 长3厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？【分析与解】方法一：如图（a 12个完全一样的小等腰三角形.△ ABC 占有9个小等腰三角形，其中阴影部分占有6个小等腰三角形，S_ABC =9X 9-2=40.5（平方厘米），所以阴影部分的面积为40. 5-9X 6=27（平方厘米）.方法二：如图（b ），连接IG ，有四边形ADGI 为正方形，易知FG=FC=3厘米），所以 1 1 DG = DF-FG =9-3=6厘米），于是 S_HIG = X S 正方形 AIGD = X 6 =9.4 4而四边形IGFB 为长方形，有BF=AD=DG 二厘米）,GF=3（厘米），所以S长方形IGFB =6X 3=18. 阴影部分面积为A HIG 与长方形IGFB 的面积和，即为9+18=27（平方厘米）.方法三：如图（C ），为了方便叙述，将图6-10中某些交点标上字母.易知三角形BIE 、CGF AIH 、DGH 匀为等腰直角三角形.先求出等腰直角三角形 AHI 、CGF 的面积，再用已知的等腰三角形 ABC 的面积与其作差, 即为需求阴影部分的面积.有 S_ABC =S DEF =1 X EFX DF=81，S CGF =1 X CFX FG=9 .2 2 2 2因为 CF=FG=3 所以 DG=DF-FG=6【分析与解】我们只用先求出四边形的面积和，即为所求阴影部分的面积.ADFO 勺面积，再将其减去两个三角形AEO EFD而四边形ADFO 勺面积等于两个三角形AOD ODF 的面积和. 如图（d ），可以将4个三角形DGK 成一个边长为DG 的正方形.1所以，S_ACD S DGH = / X DG< DG=9,而 S A I H = S DGH =9 ,4S_ABC - S C GF - S A IH =81 - 9-9=27（平方厘米）•2 2即阴影部分的面积为27平方厘米.9.如图6-11，在长方形ABCD 中, 0是长方形的中心，BC 长20厘米，AB 长12厘米, DE=4AE CF=3DF那么阴影部分的面积是多少平方厘米？由题意知 AE=4 ED=16 DF=3 FC=91 1有 S 十 4S 矩形ABCD = 4 X 20X 12=60,_ ____ 1 111 S_O DF = X DFX( AD)= X 3X X 20=15. 一 24 2 2A S_AE O = - X AEX(丄 AB)=丄 X 4X 1 X 12=12, 2 2 2 2图（小图 6- 11S EFD = 1 X EDX DF=1 X 16X 3=24.2 2有S阴影=(S AOD +S ODF)-S AEO-S EFD=60+15-12-24=39(平方厘米).即阴影部分的面积为39平方厘米.翩生全国小学数学奥托匹克•决赛B卷第咅题10.如图6-12，大正方形的边长为10厘米•连接大正方形的各边中点得小正方形, 将小正方形每边三等分，再将三等分点与大正方形的中心和一个顶点相连，那么图中阴影部分的面积总和等于多少平方厘米？【分析与解】如下图，我们将大正方形中的所有图形分成A、B两种三角形.其中含有A形三角形8个，B形三角形16个，其中阴影部分含有A形三角形4个，B 形三角形8个.所以，阴影部分面积恰好为大正方形面积的1，即为1 X10X 10=50（平方厘米）.2 211 .如图6-13，ABCD是边长为8厘米的正方形，梯形AEBD勺对角线相交于0,三角形AOE的面积比三角形BOD勺面积小16平方厘米，则梯形AEBD勺面积是多少平方厘米？【分析与解】如下图，将梯形AEBD内4个三角形的面积分别记为①、②、③、④.在梯形AEBD中,有厶EBD △ ABD同底等高，所以有S EBD=S ABD，即③+②二①+②.显然有①=③.由题意知S BOD-S AOE =16，即②-④=16，于是有（①+②）-（③+④）=16 .已知①【分析与解】S 平行四边形 C D E =DC < BC=X7 .2=36 ，1+②二 S_ABD =； X 8X 8=32,所以③ +④=（① +②）-16=16 .所以有S 梯形AEBD =（①+②）+（③+④）=32+16=48（平方厘米）.评注：在任意梯形ABCD 中，两条对角线将其分成四个部分，记它们的面积为“上”、 “下”、“左”、“右”，有：左=右；左乂右=上乂下；上：下=AD 2 : BC 2 .觀⑥级数：車車1994年全国小学数学奥林匹克•决赛民族卷第2题12.如图6-14 , ABCD 是长方形，长 AD 等于7.2厘米，宽AB 等于5厘米，CDEF 是平行四边形.如果BH 的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？HC=BC-BH=7.2-3=4.2 所以1 1 S_CDH =— X CDK HCh X 5X4 .2=10.5 .22S 阴影=S 平行四边形CDEF - S_ CDH =36-10.5=25.5（平方厘米）.般國级数二*車車1期年全国屮学数学奥林匹克*块赛第石题13 .如图6-15，已知一个四边形的两条边的长度和三个角，那么这个四边形的面积是多少？图 6-14【分析与解】腰直角三角形，有将AD EC=DC而/ ECD =45,/ EAB=90，所以△ ABE也是等腰直角三角形，有EA=AB1 49 1 9=1 X ABX EA= ，S_EDC= ' X ECX DC=9 ./ ECD=90，所以△ CDE为等2249L ABE - S L EDC9 =20.2觀边级瓶車拿車1旳4年全国小学数学奧林匹克，初赛B 卷第10题14.图6-16是边长为1的正方形和一个梯形拼成的“火炬”.梯形的上底长 1.5米, A 为上底的中点，B 为下底的中点，线段AB 恰好是梯形的高，长为0.5米，CD 长为丢米.那么图中阴影部分的面积是多少平方米？【分析与解】方法一：为了方便叙述. 母.延长AB 交正方形边EF 于H 点，我们先求出梯形JICK 与正方形IFEC 的面积和，再求出三角形AFH 与梯形AHEM 面积和，将前者与后者做差所得到的值即为所的面积.1S 梯形JICK =2 X (1.5+1) X0.5=0.625， S 正方形|FEC =1 X 仁1. ----- 1 1111=2有 S 四边形ABCDB将图 6-16 下图中一些点标上字求阴影部分&24（平方米）.阴影部分面积为S AJI+ S AKC +S AIF +S ACD=0.75X0.5-2+Q 75XO. 5-2+1 XO.5-2+- X0.5-23=0.1875+0.1875+0.25+1 121111S 梯形AHED二一X (AH+DE% HE 二一X (AB+BH+C6CD)X( 一FE)= _ X2 22 21113(0.5+1+1-1 ) X(1X 1)= 13 .3 224有 S 阴影 X S 梯形 JICK +S 正方形 IFEC - S _AFH - S 梯形 AHED =0.625+1-0.375-17即阴影部分的面积为平方米.24方法二：如下图，连接AI 、AC 将阴影部分分成四个部分.△ AJI 可以看作以AJ 为底，AB 的长为高的三角形；△ AKC 可以看作以AK 为底，AB 的长为高的三角形；△ AJF 可以看作以IF 为底，IB 的长为高的三角形；△ ACD 可以看作CD 为底.CB 的长为高的三角形.17办（平方米）觀镀级熱卓車車車第十贮生賓庚金杯初少年数学邀请赛•决赛一试第5题1 6515.从一块正方形木板锯下宽为1米的一个木条以后，剩下的面积是型平方米.问锯218下的木条面积是多少平方米？【分析与解】我们画出示意图（a），则剩下的木块为图（b），将4块剩下的木块如下拼成一个正方形得到图（c）.我们称AB为长，AD为宽，有长与宽的差为丄，所以图（c）中心的小正方形边长为丄2 2 于是大正方形AEHK勺面积为65 X4+34 X 1 =529=23 x 23，所以AK长为23.18 2 2 36 6 6 623 1 13 13即,长+宽=23，已知：长-宽=1，得长=13，于是锯去部分的木条的面积为136 2 6 6 3=13=1 1（平方米）.4 12 2。

三角形格点多边形面积公式

三角形格点多边形面积公式好嘞，今天我们来聊聊三角形格点多边形的面积公式，这可是一门有趣的数学“魔法”。

听起来可能有点儿复杂，但别担心，咱们用轻松的方式来搞定它。

想象一下，咱们在一个大草地上画三角形，那个场景还挺美的，阳光明媚，微风徐徐。

咱们的目标就是找出这个三角形的面积。

好，咱们得弄清楚格点是什么。

格点，就是在坐标平面上那些像小星星一样的点，简单得很。

每个点都有自己的“身份证”，就是坐标，比如（x，y）。

在咱们的三角形里，得有三个这样的格点，才能把这个三角形画出来。

记住了哦，三角形就得有三条边，没得商量！说到面积，大家都知道，面积就是咱们要计算这个三角形所占的“地盘”有多大。

哎呀，这里有个小秘密，咱们可以用一个神奇的公式来算。

这个公式就是：面积等于一半乘以底乘以高。

可是，底和高得从格点里找出来，这个时候，数学就变得有点儿像侦探游戏了。

你得观察、分析，然后找出合适的底和高。

比如，假设你的三角形的三个格点分别是A（x1，y1）、B（x2，y2）和C（x3，y3）。

这时，你得先把这些点的坐标拿出来，咱们需要用到它们的“身份证”。

然后，就可以用“行列式”来求面积，这听起来高大上，但其实挺简单。

用这个公式：面积 = 0.5× | x1(y2y3) + x2(y3y1) + x3(y1y2) |。

哈哈，看到这里，可能有人会瞪大眼睛，心想“这是什么鬼”，但没关系，慢慢来，咱们一个一个来拆解。

在这个公式里，x和y的组合就像是一种“调味品”，调出面积的美味。

这个绝对是数学中的“绝配”！我们只要把格点的坐标带进去，算一算，结果就会跳出来，告诉你这个三角形到底有多大。

说不定你会惊叹，“哇，我的三角形居然占了这么多地方！”这是数学给你的小惊喜。

面积的计算不仅仅是为了在考试中得分，生活中也有很多实际应用。

想想看，装修房子的时候，估计你得知道每个房间的面积吧？再比如，农民伯伯们种地也得知道地块的面积，才能种下合适的作物。

格点多边形面积计算公式证明

格点多边形面积计算公式证明要证明格点多边形面积的计算公式，首先需要了解什么是格点多边形。

我们知道，格点多边形的面积可以通过计算多边形内部格点的个数来得到。

具体的计算方法如下：1.首先，找到格点多边形的一个顶点，用坐标(a,b)表示。

这个点可以是任意一个顶点，选择哪一个作为起点都不会改变最后的计算结果。

2.接下来，我们需要遍历整个格点多边形的内部，并计算其中的格点数目。

遍历的方式可以是沿着多边形的边界，一点一点地遍历。

3.为了计算内部的格点数目，我们需要用到一条性质：对于一条直线，穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、这个性质可以通过简单的观察得到。

4.因此，遍历多边形的每条边，计算出相应的格点数目，再求和即可得到多边形的内部格点数目。

5.最后，我们可以使用该格点数目来计算多边形的面积。

具体计算公式如下：面积=格点数目+1/2现在，我们来证明这个计算公式。

首先，我们知道格点的横纵坐标都是整数。

所以，内部的格点必然是整数个数，不会出现小数。

其次，我们来证明公式面积=格点数目+1/2我们知道，一条直线穿过的格点数目等于这条直线与横纵坐标轴的交点数目减1、因此，当我们计算多边形内部格点的数目时，可以看作是通过计算多边形的边界与横纵坐标轴的交点数目来实现的。

对于任意一条边，由于直线是连续的，所以可以将直线分为无数段线段。

每一段线段的斜率都可以看作是一个近似值。

我们可以通过这些线段来计算格点的个数。

假设我们选取一段线段，斜率为k。

我们将这段线段进一步分成无数小段，每一小段的斜率近似为k。

我们知道，当一条直线斜率为k时，与横坐标轴的交点的横坐标表示为整数时，与纵坐标轴的交点的纵坐标也表示为整数。

所以，我们只需要关注与横坐标轴交点的个数。

假设与横坐标轴的交点个数为n，则这段线段穿过的格点数目为n-1、我们将这些线段累加起来，即可得到整个多边形内部格点的数目。

最后，我们需要证明这个数目加上1/2才是多边形的面积。

四年级第18讲-格点与面积(一)-教师版

格点与面积例1 知识纵横1、概念在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点。

一个多边形的顶点如果全在格点上，那么这个多边形就叫做格点多边形。

格点多边形分为正方形格点多边形和三角形格点多边形。

2、毕克定理（正方形格点公式）：格点多边形单位面积的数量=边上点数÷2+内部点数-1，S=L ÷2+N-1(用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“N”表示格点多边形内部的格点数，用“L”表示格点多边形边上的格点数)3、毕克定理(三角形格点公式)：格点多边形单位面积的数量=(边上点数÷2+内部点数-1)×2，S=(L÷2+N-1)×2判断下列图形中，哪些图形是格点多边形？是的，请在括号里打“√”。

【答案】见解析。

【解析】判断下列几个图形中，哪些图形是格点多边形，请在序号上打“√”。

【答案】见解析。

【解析】判断下列几个图形，哪些图形是正方形格点多边形？哪些图形是三角形格点多边形？(请在横线上填序号)正方形格点多边形：；三角形格点多边形：。

【答案】见解析。

【解析】试一试1例2试一试2请选择正确的格点图任意画出一个正方形格点多边形和一个三角形格点多边形。

【答案】答案不唯一。

【解析】例3下面4幅图中，相邻四点围成的正方形的面积为1。

观察，然后填空。

（用“S”表示格点多边形单位面积的数量，用“L”表示格点多边形边上的格点数，用“N”表示格点多边形内部的格点数。

）【答案】见解析。

【解析】试一试3下图中每个小正方形的面积均为2平方厘米，“乡村小屋”的面积是多少平方厘米？【答案】36平方厘米。

【解析】方法一：方法二：下面4幅图中，相邻三点围成的等边三角形的面积为1。

观察然后填空。

【答案】见解析。

【解析】例4试一试4在下图中，每相邻三点构成一个面积为2平方厘米的等边三角形，下图中格点多边形的面积是多少平方厘米？【答案】见解析。

小学数学思维方法：格点多边形的面积

格点多边形的面积【知识要点】在一张纸上，先画出一些水平直线和一些竖直直线，并使任意两条相邻的平行线的距离都相等(通常规定是1个单位)，这样在纸上就形成了一个方格网，其中的每个交点就叫做一个格点．在方格网中，以格点为顶点画出的多边形叫做格点多边形。

例：判断下列图形哪些是格点多边形？⑴⑵⑶⑷根据格点多边形的定义可知，图形的边必须是直线段，顶点要在格点上！所以只有⑴是格点多边形.求格点图面积常见的几种方法：数格子法、分割法、扩展法、毕克定理。

（一）数格子法对于格点图里面的规则图形，我们有时可以直接通过数图形所占的正方形方格或者三角形方格的个数得出规则图形的面积，或者由图形得出规则图形相应的面积公式需要的量，代入公式解出面积即可！例、如下图，计算下列各个格点多边形的面积：本题所给的图形都是规则图形，它们的面积运用公式直接可求，只要判断出相应的有关数据就行了。

下面几种方法主要针对的是格点图中的不规则图形，这也是本专题的重点！（二）分割法直接将格点图中的不规则图形分成若干个可求面积的规则图形，然后通过计算规则图形的面积来求原图形的面积。

（三）扩展法将原图形扩展成可直接计算面积的规则图形，同时扩展部分的图形面积也是可以直接计算的，那么原图形的面积就等于规则图形面积减去扩展部分的面积即可！例、如图所示，计算下面格点多边形的面积【详解】这虽然是一个规则的三角形，但是可以直接用面积公式计算，或者通过数格子么？好像不行，因为我们现在不能直接算出相应边的长度和高！现在尝试用分割法和扩展法来解！方法一（分割法）：如图①做辅助线，将原图分割成两个小三角形。

这两个小三角形都以辅助线为底的话，高也是很容易就观察出来的，都是2个单位长度，所以原三角形的面积为：5×2÷2×2=10（面积单位）。

方法二（扩展法）：如图②将原图扩展成一个长方形，很明显这个长方形的长、宽分别为6、4个单位长度，而三个扩展的三角形A、B、C的面积也是很容易求的！A：6×2÷2=6、B：4×2÷2=4、C：2×4÷2=4，所以原三角形的面积为：6×4-6-4-4=10（面积单位）。

17-格点与割补

知识点回顾一，格点图形的计算：•1，分割法与添补法计算格点图形的面积•2，在最小的正方形面积为1的图形中正方形格点多边形面积＝边界格点数÷2＋内部格点数－1 •3，在最小正三角形面积为1的图形中三角形格点多边形面积＝边界格点数＋内部格点数×2－2知识点回顾二，割补法巧算面积：•1、用割补法把不规则图形变成规则图形计算面积。

•2、正方形、等腰直角三角形、等边三角形、正六边形等已知图形分割成小块，与所求图形面积相联系。

【1】（高思学校竞赛数学导引P103）下图中相邻格点围成的最小正方形或正三角形的面积均为l 平方厘米．这三个多边形的面积分别是多少平方厘米?【2】（高思学校竞赛数学导引P103）(1)下图中每个小正方形的面积是2平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?(2)下图中每个小正三角形的面积是4平方厘米．阴影部分面积是多少平方厘米?【3】（高思学校竞赛数学导引P104）图中每个小正方形的边长为1厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【4】（高思学校竞赛数学导引P104）如下左图和右图，把两个相同的正三角形的各边分别五等分和七等分，并连接这些分点．已知左图中阴影部分的面积是294平方分米．请问：右图中的阴影部分的面积是多少平方分米?【5】（高思学校竞赛数学导引P104）如下图，在两个相同的等腰直角三角形中各作一个正方形，如果正方形A的面积是36平方厘米，那么正方形B的面积是多少平方厘米?【6】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图所示，正六边形ABCDEF的面积是6平方厘米，M 是AB中点，N是CD中点，P是EF中点．请问：三角形MNP的面积是多少平方厘米?【7】（高思学校竞赛数学导引P104）在下图中，五个小正方形的边长都是2厘米，求三角形ABC的面积．【8】（高思学校竞赛数学导引P104）下图中小正方形和大正方形的边长分别是4厘米和6厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?【9】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图所示，四边形ABCD是长方形，长AD等于7厘米，宽AB等于5厘米，四边形CDEF是平行四边形．如果BH的长是3厘米，那么图中阴影部分面积是多少平方厘米?【10】（高思学校竞赛数学导引P105）下图中，三角形ABC和DEF是两个完全相同的等腰直角三角形，其中DF长9厘米，CF长3厘米，求阴影部分的面积．【11】（高思学校竞赛数学导引P105）下图是一个边长为l米的正方形和一个等腰梯形拼成的“火炬”．梯形的上底长1.5米，A为上底的中点，B为下底的中点，线段AB恰好是梯形的高，长为0.5米，CD长为0.3米．图中阴影部分的面积是多少平方米?【12】（高思学校竞赛数学导引P105）在下图中，每一个小正方形的面积都是1平方厘米．用粗线围成的图形面积是多少平方厘米?【13】（高思学校竞赛数学导引P105）如下图，正方形网格的总面积等于96平方厘米，求阴影图形的面积．【14】（高思学校竞赛数学导引P99）如图19-24，每个小等边三角形的面积都是1平方厘米．阴影部分的面积是多少平方厘米?下节课见！。

不规则正方形格点多边形面积

不规则正方形格点多边形面积
不规则的正方形格点多边形的面积计算通常需要采用分割或格点计数的方法进行计算。

对于比较简单的格点多边形，例如上图，可以用数格子的方法来计算面积，该图中的格点多边形有5个完整的小正方形，6个小正方形一半面积的小三角形，1个占2个正方形一半面积的大三角形，所以该图中的格点多边形的面积为：$5+6\div2+2\div2=9$平方厘米。

对于比较复杂的格点多边形，可以用皮克公式进行计算。

皮克公式是乔治·亚历山大·皮克发现的，他为格点几何与微分几何做出了卓越贡献。

皮克定理发表于1899年，任何一个格点多边形，只要数出多边形边界上的格点数以及图内的格点数，就可以用皮克公式算出这个格点多边形的面积。

皮克公式即：$S=a+b\div2-1$（$a$表示图内格点的个数，$b$表示边界上的格点数）。

所以，用皮克公式来计算上图中格点多边形的面积即：$S=6+8\div2-1=9$平方厘米。

在实际计算中，需要根据具体情况选择合适的方法进行计算。

格点多边形的面积计算ppt课件

S 1L 2
S 1 L 1 2
S 1 L N 1 2
S 1L2
…2
10
探究收获: 格点多边形的面积S和多边形内部
的格点数N，它的边上的格点数L之间的数量关系是：
S 1 L N 1 2
---皮克定理
11
背景介绍
☆ 皮克，1859~1943年，奥地利数学家。
☆ 1889年发现了S、L、N 三者数量关
编号
面积S/cm2 边上的格点数L/个
2
4
3
6
3.5
7
4
8
3
试一试：
为什么它们边上格点数都是6，而面积却不相同？
4
E B
C
D
设格点多边形的面积为S，多边形内部的格点数为N，它的边上的格点数为L，那么S与N、L三者之间有怎样的数量关系呢？
5
探究二: 求下面格点多边形的面积,并填写下表：
格点多边形的面积计算
1
如图，用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形网格，这两组平行线的交点称为格点。如：点A、点B. 如果一个多边形的顶点都在格点上，那么这个多边形叫做格点多边形。如：格点三角形ABC.
公式法
割补法
2
探究一：求下面格点多边形的面积,并填写下表：
1cm
1cm
S与L之间有何关系？
当N=0时
图形序号
S
L
① 14 ② 26 ③ 38
………
S 1 L 1 2
当N=0时，S与L 有什么关系？
6
探究三: 求下面格点多边形的面积,并填写下表：
当N=1时
图形序号
S
L
①
② ③ … ……