华南师范大学电磁学习题课-电势页PPT文档

电量为＋Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力要
做多少功？
•q
解：此三角形重心上的电势为
C k
q 3
k q k2q
3
3
a
a
a
3
3
3
a C• a q• a •2q
3q
3q
2k
a 20a
5
C

3q
2 0a
将一电量为＋Q的点电荷由无限远处移到重心上，外力
要做的功为
A 外 － A － Q （ － C ）
于是有
U 12
R2 E dr
R1
R2
k
q1
rˆdr
R2
k
q1
dr
r2
R1
r2
R1

k
q1(
1 R1

1 R2
)
2
E kq1rˆ r2
(R1rR2)
11
U1
2kq1(R1
R2
)
所以
q1

U12R1R2 k(R2 R1)
于是内外球壳之间的电场强度分布为

k
q1(
1 R1

wk.baidu.com
1 R2
)
所以
q1

U12R1R2 k(R2 R1)
于是内外球壳之间的电场强度分布为
E kq 1r ˆU 1R 21R 2 r ˆ r2 (R 2R 1)r2
(R 1rR 2)
4
3.20 一边长为a的正三角形，其三个顶点上各放置q，
-q 和 -2q的点电荷，求此三角形重心上的电势. 将一
R1
R1
20rdr
lnR2
20 R1
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3.10 半径为R的圆盘均匀带电，面电荷密度为σ.求此 圆盘轴线上的电势分布:(1)利用例3.4的结果用电势叠 加法；(2)利用第一章例1.6的结果用场强积分法.
电势 习题、例题分析
+
3.2 两个均匀带电球壳同心放置，半径分别为R1和 R2(R1<R2)，已知内外球壳之间的电势差为U12，求两球 壳间的电场分布.
解：方法一：利用场强与电势的积分关系
设内外球壳分别带电为q1、q2.
q2
那么，内外球壳之间的电场强度为
E kq1rˆ r2
(R1rR2)
q1 R1 R2
布也具有轴对称性，即空间各点的电
场方向与轴垂直.
h
r
o
•P r
据电场的对称性，可经场点P作 一个半径为r、高为h的圆柱面作为 高斯面,如图所示.
7

于是 E d SE d S ＋ E d S ＋ E d S
S
S 侧
S 上
S 下
EdSE2rh
S侧
据高斯定理有
(2)因为10km远远小于地球半径，所以可近似计算
W 4 R e 2 h e 4 w 3 . 1 ( 6 . 4 4 1 6 ) 2 1 0 4 4 . 4 0 1 8 ( J ) 0
6.310 4(kW h)
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3.3 两个同心的均匀带电球面，半径分别为R1＝
其线电荷密度为λ，试计算x轴上x>0各点的电势.
解：如图所示，在直杆上坐标为z处取
一长为dz的电荷元，其带电量为 dz.
这一电荷元在x处(x>0)产生的电势为
d4d0qr40d x2zz2
z
adz
zr
0

xx
a
据电势叠加原理可得细直杆在x处产生的电势为
a
d
dz
a 40 x2z2

x2 a2 a
ln
40 x2 a2 a
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3.7 求出1.18题中两同轴圆筒之间的电势差.
解：据1.18题的结果：两同轴
圆筒之间的电场强度为


R1
E 20r (R1rR2)
R2
因此，两同轴圆筒之间的电势差
为
12R2E drR2
r
h
o
r 2 h
(r a)
E2rh
0 a 2 h
(r a)
0 r
(r a)
所以 E 2 0
a 2
(r a)
2 0 r
•P r
8
E 2 0r
(ra )， E 2 a 02 r
(ra )
(2)以轴线为电势零点，则柱内任一点电势为
内 ＝ 0 rE 内 dr0 r2 0rrˆdr0 r2 0rdr
(2)假设地球表面以上10km范围内的电场强度都是这 一数值，那么在此范围内所储存的电场能共是多少 kW·h？
解：(1)据电场能量密度公式可得地球表面上空晴天 时的电场能量密度为
w e0 2 E 2 8 .8 1 52 1 0 2 12 0 4 0 .4 1 8 （ 0 J/m 3 ）
5.0cm，R2＝20.0cm，已知内球面的电势为 1 = 60V,外球面的电势为 2＝－30V.
(1) 内、外球面上所带电量;
(2) 在两个球面之间何处的电势为零？
解: (1) 设内外球面所带电量分别为q1、q2, 据电势叠加
原理有
1
kq1 R1
kq2 R2
(1)
和
2
kq1 R2
q2 q1 R1
R2
E kq 1r ˆU 1R 21R 2 r ˆ r2 (R 2R 1)r2
(R 1rR 2)
3
方法一：利用电势的已知公式
设内外球壳分别带电为q1、q2. 那么，内外球壳的电势差为
q2 q1 R1
R2
U 12(kR q1 1kR q2 2)(kR q1 2kR q2 2)
•q a C• a
QC
3qQ
2 0a
q• a •2q
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3.9 一无限长均匀带电圆柱，体电荷密度为ρ，截面半 径为a . (1)用高斯定理求出柱内外电场强度分布;
(2)求出柱内外的电势分布，以轴线为势能零点;
(3)画出E－r 和－r图;
解:(1)无限长的均匀带电圆柱所产生的
电场具有轴对称性，故空间电场的分
kq2 R2
(2)
代入数据，由以上两式可解得
q 13 2 1 9 0 C； q 23 4 1 9 0 C
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(2) 设在离球心r (R1<r<R2)处的电势为零,由电势叠加 原理得
kq1kq2 0 r R2
(R1rR2)
代入数据，可解得
r0.1(m)
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3.5 一细直杆沿z轴由z=－a延伸到z=a，杆上均匀带电，
r2
o
r
4 0
(2)柱外任一点电势为
外 ＝ a rE 外 dr a 0E 内 dr a r2a 02 rd ra 020rdr
a2 (2ln a 1)
40
r
9
(3)E－r 和－r图: E
E
O
a
r

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3.33 地球表面上空晴天时的电场强度约为100V/m. (1)此电场的能量密度多大？