动点路径长解题策略

动点路径长的解题策略

智慧锦囊

初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步：

(1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；

（2）寻找不变量，严格证实猜想：

在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.

（3）利用特殊值算出动点路径长

动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。①线段。当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.

范例点睛

例1（2012张家界）如图1，已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______．

例2（2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．

本王闯关

1.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）

A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分

2.（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点

N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．

3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动,且PQ=

4.若点P从点A 出发,沿ABE的路线向点E运动,相应的,点Q在DA、AB上运动。则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长等于

二、计算与证明

1.（2014•金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．

2. (2012福州)如图,在Rt△ABC中，∠C=90º,AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.

3.（2014•连云港）已知线段AB=8．

（1）如图1，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过路径长．

（2）如图2，以AP、 PB为边作两个正方形。若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长．

4.(2010南京)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。

P是MG中点，请直接写出点P运动路线长。

5.（2014烟台）在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．

6.在等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE 中，

∠BAC=∠DAE=120º,AB=2，AD=3，点A 、B 、D 在同一条直线上，将△ADE 绕点A 旋转180º，在旋转过程中，直线BD 、CE 的交点为点F.

(1)当点F 与点B 、C 均不重合时，请直接写出∠BFC 的度数；

（2）请直接写出点F 经过的路径的长度

编者----武晓鲁 A

C E

D B