动点路径长解题策略
数学动点问题解题策略
在某一位置上，问题的实质就容易显现 出来，从而得到解题的方法。3.画出图形， 这一步很重要。 因为随着点的移动，与之 相关的一些图形肯定随着改变，而且点移 动到不同的位置，我们要研究的图形可能 会改变。所以，一定要画图，不能凭空想 象。4.当一个问题是有关确定图形的变量 之间的关系时，通常建立函数模型求解； 当确定图形之间的特殊位置关系或者一些 特殊值时，通常建立方程模型求解。一般 会涉及到全等和相似。
①当AB运动到如图1所示的位置， BQ=PQ-PB=8-4t， ∵BQ=6，∴8-4t=6， ∴t=0.5（s）．（6分） ②当AB运动到如图2 所示的位置， BQ=PB-PQ=4t-8， ∵BQ=6， ∴4t-8=6， ∴t=3.5（s）． ∴当t为0.5s或3.5s时直线AB与⊙O相切
例题2、 如图，在矩形ABCD中，AB＝6米， BC＝8米，动点P以2米/秒的速度从点A出发， 沿AC向点C移动，同时动点Q以1米/秒的速度 从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点 移动t秒（0<t<5）后，四边形ABQP的面积为 2 S 米 。 （1）求面积S与时间t的关系式；
例题3，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C ＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21。动点P从点D 出发，沿射线DA的方向以每秒2两个单位长的速度 运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单 位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时 出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动。设 运动的时间为t（秒）。 （1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系 式； （2）当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角 形是等腰三角形？ （3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2AO＝OB时， 求∠BQP的正切值； （4）是否存在时刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求 出t的值；若不存在，请说明理由。
初中常见的动点轨迹问题归纳与突破策略
运 动 ，如 图 3，劣 弧 AC 的 弧 长 即 为 动 点 P 运 动 的 路
寻找定角的度数是解决问题的突破口 .
是一个定角 . 因此 ，动点 P 在以 AC 为弦的圆的圆弧上
径长 .
通过例 1 的分析 ，我们初步了解解决动点轨迹为
圆弧型这一类的思路与方法——“定边对定角”，
为定边
∴ 点 P 在弧 EF 上运动
二、夹角定位法
如图 6，有一条定直线 l ，以及存在某个定点 A ，若
动点 B 与定点 A 的连线与该定直线 l 的夹角 α 是一个
定角 ，则动点 B 一定也在一条定直线上运动 . 对于这
一类型 ，只要能找到这个定点 A 与定直线 l ，再证明出
吕锦秀
（厦门国祺中学，
福建 厦门 361100）
摘
要
动点轨迹问题对于初中生来说既是重点也是难点 . 文章归纳出初中常见的两大类动点轨迹类型——圆弧型和直线型 . 列
举具体实例对学生比较困惑的两种动点轨迹问题（即“定边对定角”的动点轨迹和动点与定点的连线与定直线的夹角为定
角的动点轨迹）进行分析讲解：题目中如能找到定边对定角，则该动点的运动轨迹为在以定边为弦且经过定点的圆弧上，
动点与定点 A 连线与
定直线 l 的夹角是一
个定角 α ，就能断定动
点的运动轨迹是直线
型 ，可 形 象 地 称 之 为
图6
［1］
“夹角定位法”
.
特别注意的是这一类型的动点是定角（夹角）一
边上的点 ，定角的一边是定直线 . 下面笔者举两个例
子进行实例分析：
例 3 如 图 7，已 知 点 P 在 正 三 角 形 ABC 的 边 BC
点的轨迹为该线段的垂直平分线；
运用动静结合策略解初中数学平面几何动点问题
运用动静结合策略解初中数学平面几何动点问题苏㊀雅(扬州大学数学科学学院ꎬ江苏扬州２２５１００)摘㊀要:平面几何是初中数学中的重点内容之一.其中ꎬ动点问题常常在中考数学中作为压轴题出现ꎬ这类试题能有效考查学生分析和解决问题的能力ꎬ较好地渗透了分类讨论㊁数形结合㊁化归等数学思想.动点问题较为复杂ꎬ导致很多学生遇到相关题目时无法及时找到解题思路.为了帮助学生提高解题能力ꎬ本文对中考中平面几何动点问题常考的两大类题型ꎬ以２０２１年两道中考题为例加以分析ꎬ并向学生讲解相关的解题策略.关键词:平面几何ꎻ动点ꎻ初中数学中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)０８－００２９－０３收稿日期:２０２２－１２－１５作者简介:苏雅(１９９８.７－)ꎬ女ꎬ研究生ꎬ从事初中数学教学研究.１ 化动为静 动边转移求解范围问题例１㊀(２０２１年徐州市中考第２８题)如图１ꎬ正方形ＡＢＣＤ的边长为４ꎬ点Ｐ在边ＡＤ上(点Ｐ不与点ＡꎬＤ重合)ꎬ连接ＰＢꎬＰＣꎬ将线段ＰＢ绕点Ｐ顺时针旋转９０ʎ得到ＰＥꎬ将线段ＰＣ绕点Ｐ逆时针旋转９０ʎ得到ＰＦ.连接ＥＰꎬＥＡꎬＦＤ.图１(１)求证:әＰＤＦ的面积Ｓ＝１２ＰＤ２ꎻＥＡ＝ＦＤꎻ(２)如图２ꎬＥＡꎬＦＤ的延长线交于点Ｍꎬ取ＥＦ中点Ｎꎬ连接ＭＮꎬ求ＭＮ的取值范围.解㊀(１)①如图３ꎬ过Ｆ作ＦＨʅＰＤ交ＰＤ的延长线于点Ｈ.易证әＰＣＤ≅әＦＰＨꎬ图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３ʑＦＨ＝ＰＤꎬʑＳәＰＤＦ＝１２ＰＤ ＦＨ＝１２ＰＤ２.②同理ꎬ过Ｅ作ＥＫʅＰＡ交ＰＡ的延长线于点Ｋꎬ则әＰＫＥ≅әＢＡＰꎬ易证ＡＫ＝ＰＤ＝ＦＨꎬＫＥ＝ＡＰ＝ＤＨꎬ易得ＡＥ＝ＤＦ.(２)如图３ꎬ过Ｆ作ＦＧʅＫＥꎬ易证四边形ＦＨＫＧ为矩形ꎬʑＧＦ＝ＫＨ＝８ꎬＧＫ＝ＦＨ.设ＡＫ＝ＰＤ＝ＦＨ＝ＫＧ＝ｘꎬʑＫＥ＝ＡＰ＝４－ｘꎬＧＥ＝ＫＥ－ＫＧ＝(４－ｘ)－ｘ＝４－２ｘ.在ＲｔәＥＧＦ中ＥＦ＝ＧＥ２＋ＧＦ２＝４ｘ－２()２＋６４０<ｘ<４()ꎬ９２ʑ８ɤＥＦ<４５ꎬȵәＡＫＥ≅әＦＨＤꎬʑøＥＡＫ＝øＤＦＨꎬ又ȵøＤＦＨ＋øＦＤＨ＝９０ʎꎬ易证øＭＡＤ＋øＡＤＭ＝９０ʎꎬʑøＥＭＦ＝９０ʎꎬ又ȵＮ为ＥＦ中点ꎬʑＭＮ＝１２ＥＦɪ[４ꎬ２５).评析㊀此类题目要学会从题干中找信息ꎬ将需要求证的结果作为目标ꎬ去寻找与之相关的参数ꎬ前两问都是要证明边与边的关系ꎬ应将不易求证关系的边进行转移ꎬ并利用边的关系构造或寻找全等三角形进行求解ꎻ第三问ꎬ常见的求动线段范围的方法有:将动线段的一端点转移使之变成定点ꎬ另一端点转移到固定直线上ꎬ即变成了点到直线的距离.也可将其整体转移至一个新的直角三角形中ꎬ利用勾股定理和代数求解.本题中出现了中点ꎬ可联想到中位线或直角三角形斜边ꎬ将所求动线段进行整体转移ꎬ再构造直角三角形ꎬ利用代数求解.变式１㊀如图４ꎬ边长为６的正方形ＡＢＣＤ中ꎬＥ为ＢＣ的中点ꎬＦ为正方形内一点且ＥＦ＝２ꎬ连接ＤＦꎬ以ＤＦ为边在右侧作正方形ＤＦＧＨꎬ则ＥＨ的最小值为(㊀㊀).Ａ.６２－２㊀Ｂ.３５＋２㊀Ｃ.３２＋２㊀Ｄ.３１０－２图４㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图５解㊀如图５ꎬ连接ＣＨ㊁ＡＦꎬ延长ＢＡ使ＭＡ＝ＥＣꎬ连接ＭＦꎬ易证әＡＤＦ≅әＣＤＨＳＡＳ()ꎬʑＡＦ＝ＣＨꎬøＤＡＦ＝øＤＣＨ.易证әＭＡＦ≅әＥＣＨＳＡＳ()ꎬʑＦＭ＝ＥＨ.当Ｍ㊁Ｅ㊁Ｆ三点共线时ꎬＥＨ最小ꎬ此时ＥＨ＝ＭＥ－ＥＦ＝３１０－２.故此题选Ｄ.评析㊀求动线段最小值问题归属于范围问题.看到中点ꎬ尝试将动线段利用中位线或直角三角形斜边定理进行转移ꎬ此题这两种方法都无法做到ꎬ该题目中出现了两个正方形ꎬ且有一共同顶点ꎬ此时必有全等出现ꎬ可以联想到利用全等将所求动线段进行转移ꎬ出现了 隐藏 әＥＦＭꎬ可利用三角形三边关系进行求解.２ 以静制动 从特殊点剖析动点轨迹ꎬ求路径问题㊀㊀例２㊀(２０２１年连云港市中考第２７题)在数学兴趣小组活动中ꎬ小亮进行数学探究活动.(１)әＡＢＣ是边长为３的等边三角形ꎬＥ是边ＡＣ上的一点ꎬ且ＡＥ＝１ꎬ小亮以ＢＥ为边作等边三角形ＢＥＦꎬ如图６所示ꎬ求ＣＦ的长.图６(２)әＡＢＣ是边长为３的等边三角形ꎬＥ是边ＡＣ上的一个动点ꎬ小亮以ＢＥ为边作等边三角形ＢＥＦꎬ如图６所示ꎬ在点Ｅ从点Ｃ到点Ａ的运动过程中ꎬ求点Ｆ所经过的路径长.(３)әＡＢＣ是边长为３的等边三角形ꎬＭ是高ＣＤ上的一个动点ꎬ小亮以ＢＭ为边作等边三角形ＢＭＮꎬ如图７所示ꎬ在点Ｍ从点Ｃ到点Ｄ的运动过程中ꎬ求点Ｎ所经过的路径长.图７㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图８(４)正方形ＡＢＣＤ的边长为３ꎬＥ是边ＣＢ上的一个动点ꎬ在点Ｅ从点Ｃ到点Ｂ的运动过程中ꎬ小亮以Ｂ点为顶点做正方形ＢＦＧＨꎬ其中点Ｆ㊁Ｇ都在直线ＡＥ上ꎬ如图８所示.当点Ｅ到达点Ｂ时ꎬ点Ｆ㊁Ｇ㊁Ｈ与点Ｂ重合.则点Ｈ所经过的路径长为ꎬ０３点Ｇ所经过的路径长为.解㊀(１)易证әＡＢＥ≅әＣＢＦＳＡＳ()ꎬʑＣＦ＝ＡＥ＝１.(２)易证әＡＢＥ≅әＣＢＦＳＡＳ()ꎬʑＣＦ＝ＡＥꎬøＢＣＦ＝øＡ＝６０ʎꎬʑøＦＣＥ＝１２０ʎꎬʑøＦＣＥ＋øＡ＝１８０ʎꎬʑＣＦʊＡＢꎬʑ点Ｅ在点Ｃ处时ꎬＣＦ＝ＡＣꎬ点Ｅ与点Ａ重合时ꎬ点Ｆ与点Ｃ重合.ʑＦ的运动路径为ＡＣ＝３. (３)如图９ꎬ取ＣＢ中点ꎬ连接ＨＮ.易证әＭＤＢ≅әＮＨＢＳＡＳ()ꎬʑøＮＨＢ＝øＭＤＢ＝９０ʎꎬ点Ｍ在点Ｃ处时ꎬＨＮ＝３３２＝ＣＤꎬ点Ｍ在点Ｄ处时ꎬ点Ｎ与点Ｈ重合ꎬʑＮ的路径长为ＣＤ＝３３２.图９㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图１０(４)如图１０ꎬ取ＡＢ中点ＰꎬＢＣ中点Ｋꎬ连接ＦＰꎬＨＫꎬ易证әＢＨＫ≅әＢＦＰＳＡＳ()ꎬʑＫＨ＝ＰＦ＝１２ＡＢ＝３２ꎬʑＨ的轨迹为一段圆弧ꎬ点Ｅ在点Ｂ处时ꎬ点Ｆ㊁Ｇ㊁Ｈ与点Ｂ重合ꎬ点Ｅ在点Ｃ处时ꎬøＦＢＥ＝４５ʎꎬＫＨʅＢＣꎬ点Ｈ的路径长为３π４.易证әＡＢＦ≅әＣＢＨＳＡＳ()ꎬʑøＢＨＣ＝øＡＦＢ＝９０ʎꎬ从而Ｃ㊁Ｇ㊁Ｈ共线ꎬʑＯＧ＝１２ＡＣ＝３２２ꎬʑＧ的轨迹也为一段以Ｏ为圆心ꎬＯＣ长为半径的１/４圆弧ꎬʑＧ的路径长为３２π４.评析㊀当出现两个有共同顶点的同类多边形(一般为三角形或四边形)时ꎬ一定有全等出现ꎬ如果没有ꎬ可以构造全等三角形.路径长度ꎬ就是要找到所求点运动的全过程所对应的线段长.该题中前两问都是简单的单一直线运动ꎬ只需要找到所求点的初始与终止位置ꎬ求出对应的线段长度ꎬ即为路径长度.第三问点的运动稍微复杂ꎬ当所求点位置不好确定时ꎬ可以构造与所求点相关的线段ꎬ来判断其运动轨迹ꎬ发现所求点的运动轨迹均为单一方向的圆弧ꎬ找到其初始位置与终止位置即可求解.３反思总结ꎬ提高学生解题能力对于动点问题ꎬ学生首先要能够明辨题目中的变量和不变量.只有分清楚变量和不变量才能够化动为静ꎬ将所求的变量转化到恒定的不变量上.具体问题中通常是将运动的点或边ꎬ转移到不变的边上ꎬ这样问题也就迎刃而解了.其次ꎬ动点在运动过程中的特殊点ꎬ也是解题的突破口之一ꎬ要抓住关键点ꎬ将一般情况特殊化ꎬ观察运动过程ꎬ进而能够发现动点的运动规律.对于与函数有关的动点问题ꎬ要尝试建立动点运动过程中的函数关系ꎬ利用函数性质进行求解.只要掌握了动点问题的解题策略ꎬ不论动点怎么动ꎬ我们都能以不变应万变ꎬ顺利求解此类试题.动点问题常常较为综合ꎬ求解过程也要运用多种数学知识ꎬ所以能有效地考查学生的数学知识和数学能力ꎬ有效区分不同考生的数学学习水平ꎬ为中学阶段的选拔提供一定依据.教师在教学中要注意培养学生的几何素养ꎬ有意训练学生的动态思维ꎬ将动点问题中的 动 与条件中的 静 结合起来ꎬ学会运用数形结合等数学思想方法ꎬ再结合专项训练ꎬ一定可以提高学生对动点问题的求解能力.参考文献:[１]王中文.初中数学动点问题的解题策略[Ｊ].读与写(教育教学刊)ꎬ２０１２ꎬ９(０３):１１５. [２]陈韧.初中数学动点问题的解题策略分析[Ｊ].课程教育研究ꎬ２０１８(０６):１４３－１４４.[责任编辑:李㊀璟]１３。
初中常见轨迹问题解题策略
初中常见路径（轨迹）问题之解决策略一、 动点到定点的距离等于定长这一类动点问题的特点是：所求的动点到某一个定点的距离是不变的。
根据圆的定义，这时容易发现该动点的轨迹是一个圆周或者一段弧。
而且该圆或者弧的圆心就是定点，半径就是定长。
知道圆心和半径之后就容易求解了。
1. 如图，矩形ABCD 中，AB=2，E 是AD 边上一动点，将△ABE 沿BE折叠至△PBE ，在点E 从A 到D 的过程中，求P 点轨迹长。
2. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=2。
将△ABC 绕顶点C 顺时针旋转，得到△A′B′C ，AC 中点为D ，A′B′中点为E ，连接DE ，当旋转角为_______°时，DE 长度最大，最大值为__________．3. 如图，OA ⊥OB ，垂足为O ，P 、Q 分别是射线OA 、OB 上两个动点，点C 是线段PQ的中点，且PQ=4．则动点C 运动形成的路径长是______二、定角对定长这一类动点问题的特点是：以该动点为顶点的某个角度大小是固定不变的，而且该固定角度所对的某一条边是固定的。
由圆周角的特点可知，这个动点的轨迹就是一个圆周或者一段弧。
而且这个固定角度就是圆周角，这个固定边就是弦。
如果需要求轨迹长的话，再把圆心角和半径算出来就行了。
不过有一点需要注意，这时需要把起始点和终点找到才能准确求出圆心角。
对于这种题型，找圆心可以用三角形外心的结论：锐角三角形的外心在三角形内部，直角三角形的外心在斜边中点，钝角三角形的外心在三角形外部。
所以，当这个固定角度是锐角时，圆心和动点位于固定边的同侧；当这个固定角度是直角时，圆心就在固定边的中点；当这个固定角度是钝角时，圆心和动点位于固定边的两侧。
4.如图，点E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF。
连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H。
若正方形的边长为2，则线段DH的最小值是___．5.等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连结AF，BE相交于点P.若BF=CE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长.6.如图，正方形ODEF的边长为2，以O为圆心，AB为直径的半圆经过点D，连接AF，BD相交于点P，将正方形ODEF从OD与OA重合的位置开始，绕着点O逆时针旋转90°，求交点P运动的路径长.7.如图，圆O的直径AB=4，C为圆周上一点，AC=2。
2020年中考数学二轮核心考点讲解第12讲运动路径长度问题解析版
【中考数学二轮核心考点讲解】第12讲运动路径长度问题想要对运动路径长度问题掌握得信手拈来，那么建议你对以下知识点进行提前学习会更好：1.《隐圆模型》2.《共顶点模型》-也可称“手拉手模型”3.《主从联动模型》-也可称“瓜豆原理模型”4.《旋转问题》—本系列的第二讲中所阐述的旋转相似模型此外，还需要明白的动点类型还有：5.线段垂直平分线——到线段两端点距离相等的动点一定在这条线段的垂直平分线上6.角平分线——到角两边距离相等的动点一定在这个角的角平分线上7.三角形中位线——动点到某条线的距离恒等于某平行线段的一半8.平行线分线段成比例——动点到某条线的距离与某平行线段成比例9.两平行线的性质——平行线间的距离，处处相等一、路径为圆弧型解题策略：①作出隐圆，找到圆心②作出半径，求出定长解题关键：通过《隐圆模型》中五种确定隐圆的基本条件作出隐圆，即可轻易得出结论. 二、路径为直线型解题策略：①利用平行定距法或者角度固定法确定动点运动路径为直线型②确定动点的起点与终点，计算出路径长度即可解题关键：解题过程中常常出现中位线，平行线分线段成比例，相似证动角恒等于顶角等知识点三、路径为往返型解题策略：①通常为《主从联动模型》的衍生版②确定动点的起点与终点，感知运动过程中的变化③找出动点运动的最远点解题关键：解题过程中常常出现相似转线段长、《主从联动模型》中的滑动模型等【例题1】如图，等腰Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝，⊙O与AB相切，分别交OA、OB于N、M，以PB为直角边作等腰Rt△BPQ，点P在弧MN上由点M运动到点N，则点Q运动的路径长为（）A．B．C．D．【分析】解题标签：《共顶点模型》中的旋转相似、《隐圆模型》中的动点定长模型、《主从联动模型》【解析】如图，连接OP，AQ，设⊙O与AB相切于C，连接OC，则OC⊥AB，∵OA＝OB，∠AOB＝90°，OB＝，∴AB＝2，OP＝OC＝AB＝，∵△ABO和△QBP均为等腰直角三角形，∴＝，∠ABO＝∠QBP＝45°，∴＝，∠ABQ＝∠OBP，∴△ABQ∽△OBP，∴∠BAQ＝∠BOP，＝，即＝，∴AQ＝，又∵点P在弧MN上由点M运动到点N，∴0°≤∠BOP≤90°，∴0°≤∠BAQ≤90°，∴点Q的运动轨迹为以A为圆心，AQ长为半径，圆心角为90°的扇形的圆弧，∴点Q运动的路径长为＝，故选：D．[本题用《主从联动模型》来接替会更快得到结果]【例题2】已知⊙O，AB是直径，AB＝4，弦CD⊥AB且过OB的中点，P是劣弧BC上一动点，DF垂直AP于F，则P从C运动到B的过程中，F运动的路径长度（）A．πB．C．πD．2【分析】解题标签：“定边对直角”确定隐圆模型【解析】作DQ⊥AC于Q，如图，当P点在C点时，F点与Q重合；当P点在B点时，F点与E点重合，∵∠AFD＝90°，∴点F在以AD为直径的圆上，∴点F运动的路径为，∵弦CD⊥AB且过OB的中点，∴OE＝OD，CE＝DE＝，AC＝AC＝2，∴∠DOE＝60°，∴∠DAC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴MQ和ME为中位线，∴MQ＝，∠QME＝60°，∴F运动的路径长度＝＝．故选：A．【例题3】如图，⊙O的半径为1，弦AB＝1，点P为优弧AB上一动点，AC⊥AP交直线PB于点C，则△ABC的最大面积是．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型【解析】连结OA、OB，作△ABC的外接圆D，如图1，∵OA＝OB＝1，AB＝1，∴△OAB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠APB＝∠AOB＝30°，∵AC⊥AP，∴∠C＝60°，∵AB＝1，要使△ABC的最大面积，则点C到AB的距离最大，∵∠ACB＝60°，点C在⊙D上，∴∠ADB＝120°，如图2，当点C优弧AB的中点时，点C到AB的距离最大，此时△ABC为等边三角形，且面积为AB2＝，∴△ABC的最大面积为．故答案为：．【例题4】如图，等腰Rt△ABC中，斜边AB的长为2，O为AB的中点，P为AC边上的动点，OQ⊥OP 交BC于点Q，M为PQ的中点，当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长为（）A. B. C. 1 D. 2【分析】解题标签：“线段垂直平分线”产生“平行定距型”【解析】连接OC，作PE⊥AB于E，MH⊥AB于H，QF⊥AB于F，如图，∵△ACB为到等腰直角三角形，∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，∵O为AB的中点，∴OC⊥AB，OC平分∠ACB，OC=OA=OB=1，∴∠OCB=45°，∵∠POQ=90°，∠COA=90°，∴∠AOP=∠COQ，在Rt△AOP和△COQ中，∴Rt△AOP≌△COQ，∴AP=CQ，易得△APE和△BFQ都为等腰直角三角形，∴PE=22AP=22CQ，QF=22BQ，∴PE+QF=22（CQ+BQ）=22BC=2×22=1，∵M点为PQ的中点，∴MH为梯形PEFQ的中位线，∴MH=12（PE+QF）=12，即点M到AB的距离为12，而CO=1，∴点M的运动路线为△ABC的中位线，∴当点P从点A运动到点C时，点M所经过的路线长=12AB=1，故答案为：C．[或连接OM，CM，点M运动路径为线段OC中垂线]【例题5】已知：如图1，平面直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B在x轴上，且∠BAO＝30°，点D是线段OA上的一点，以BD为边向下作等边△BDE．（1）如图2，当∠ODB＝45°时，求证：OE平分∠BED．（2）如图3，当点E落在y轴上时，求出点E的坐标．（3）利用图1探究并说理：点D在y轴上从点A向点O滑动的过程中，点E也会在一条直线上滑动；并直接写出点E运动路径的长度．【分析】解题标签：“共顶点模型”、“全等或相似转固定角度法确定动点的直线运动”【解析】（1）∵∠ODB＝45°，∠AOB＝90°，∴∠OBD＝∠ODB＝45°，∴OD＝OB，∵△BDE是等边三角形，∴DE＝BE，在△DOE和△BOE中，，∴△DOE≌△BOE（SSS），∴∠DEO＝∠BEO，即OE平分∠BED；（2）∵△BOE是等边三角形，∴∠EDB＝60°，∵OB⊥DE，设OD＝x，则OE＝x，∵∠BAO＝30°，∠AOB＝90°，∴∠DBO＝∠ABD＝∠BAO＝30°，∴BD＝2OD＝2x，AD＝BD＝2x，∵OA＝AD+OD＝3x＝6，解得，x＝2，∴E（0，﹣2）；（3）如图1，在x轴上取点C，使BC＝BA，连接CE，∵∠ABD+∠OBD＝∠CBE+∠OBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE，在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE（SAS），∴∠BCE＝∠BAO＝30°，∴当D在OA上滑动时，点E总在与x轴夹角为30°的直线CE上滑动，如图可知，点E运动路径的长度为6．【例题6】如图，Rt△ABC中，BC＝4，AC＝8，Rt△ABC的斜边在x轴的正半轴上，点A与原点重合，随着顶点A由O点出发沿y轴的正半轴方向滑动，点B也沿着x轴向点O滑动，直到与点O重合时运动结束．在这个运动过程中，点C运动的路径长是8﹣12．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】①当A从O到现在的点A处时，如图2，此时C′A⊥y轴，点C运动的路径长是CC′的长，∴AC′＝OC＝8，∵AC′∥OB，∴∠AC′O＝∠COB，∴cos∠AC′O＝cos∠COB＝＝，∴＝，∴OC′＝4，∴CC′＝4﹣8；②当A再继续向上移动，直到点B与O重合时，如图3，此时点C运动的路径是从C′到C，长是CC′，CC′＝OC′﹣BC＝4﹣4，综上所述，点C运动的路径长是：4﹣8+4﹣4＝8﹣12；故答案为：8﹣12．【例题7】如图1，已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，它的对称轴是直线x＝2，动点P从抛物线的顶点A 出发，在对称轴上以每秒1个单位的速度向上运动，设动点P运动的时间为t杪，连结OP并延长交抛物线于点B，连结OA，AB．（1）求抛物线的函数解析式；（2）当△AOB为直角三角形时，求t的值；（3）如图2，⊙M为△AOB的外接圆，在点P的运动过程中，点M也随之运动变化，请你探究：在1≤t≤5时，求点M经过的路径长度．【分析】解题标签：“运动路径为来回型”【解析】（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点O，且对称轴是直线x＝2，∴c＝0，﹣＝2，则b＝﹣4、c＝0，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x；（2）设点B（a，a2﹣4a），∵y＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4，∴点A（2，﹣4），则OA2＝22+42＝20、OB2＝a2+（a2﹣4a）2、AB2＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，①若OB2＝OA2+AB2，则a2+（a2﹣4a）2＝20+（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2，解得a＝2（舍）或a＝，∴B（，﹣），则直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣3，即P（2，﹣3），∴t＝（﹣3+4）÷1＝1；②若AB2＝OA2+OB2，则（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2＝20+a2+（a2﹣4a）2，解得a＝0（舍）或a＝，∴B（，），则直线OB解析式为y＝x，当x＝2时，y＝1，即P（2，1），∴t＝[1﹣（﹣4）]÷1＝5；③若OA2＝AB2+OB2，则20＝（a﹣2）2+（a2﹣4a+4）2+a2+（a2﹣4a）2，整理，得：a3﹣8a2+21a﹣18＝0，a3﹣3a2﹣5a2+15a+6a﹣18＝0，a2（a﹣3）﹣5a（a﹣3）+6（a﹣3）＝0，（a﹣3）（a2﹣5a+6）＝0，（a﹣3）2（a﹣2）＝0，则a＝3或a＝2（舍），∴B（3，﹣3），∴直线OB解析式为y＝﹣x，当x＝2时，y＝﹣2，即P（2，﹣2），∴t＝[﹣2﹣（﹣4）]÷1＝2；综上，当△AOB为直角三角形时，t的值为1或2或5．（3）∵⊙M为△AOB的外接圆，∴点M在线段OA的中垂线上，∴当1≤t≤5时，点M的运动路径是在线段OA中垂线上的一条线段，当t＝1时，如图1，由（2）知∠OAB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OB的中点，∵B（，﹣），∴M（，﹣）；当t＝5时，如图2，由（2）知，∠AOB＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是AB的中点，∵B（，）、A（2，﹣4），∴M（，﹣）；当t＝2时，如图3，由（2）知，∠OBA＝90°，∴此时Rt△OAB的外接圆圆心M是OA的中点，∵A（2，﹣4），∴M（1，﹣2）；则点M经过的路径长度为＝．【例题8】如图，OM⊥ON，A、B分别为射线OM、ON上两个动点，且OA+OB＝5，P为AB的中点．当B由点O向右移动时，点P移动的路径长为（）A．2B．2C．D．5【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】建立如图坐标系．设OB＝t，则OA＝5﹣t，∴B（t，0），A（0，5﹣t），∵AP＝PB，∴P（，），令x＝，y＝，消去t得到，y＝﹣x+（0≤x≤），∴点P的运动轨迹是线段HK，H（0，），K（，0），∴点P的运动路径的长为＝，故选：C．【例题9】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．【分析】解题标签：“利用解析法计算几何路径长”【解析】如图2，以C为原点，以AC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系．依题意，可知0≤t≤4，当t=0时，点M1的坐标为（3，0），当t=4时点M2的坐标为（1，4）．设直线M1M2的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M1M2的解析式为y=-2x+6．∵点Q（0，2t），P（6-t，0）∴在运动过程中，线段PQ中点M3的坐标（，t）．把x= 代入y=-2x+6得y=-2×+6=t，∴点M3在直线M1M2上．过点M2作M2N⊥x轴于点N，则M2N=4，M1N=2．∴M1M2=2∴线段PQ中点M所经过的路径长为2 单位长度．【例题10】（1）如图1，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作等边△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（2）如图2，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以E为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（3）如图3，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直角顶点的等腰Rt△BDE，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；（4）如图4，已知AB=2，点D是等腰Rt△ABC斜边AC上一动点，以BD为一边向右下方作以D为直顶点的等腰△BDE，且∠BDE=120°，当点D由点A运动到点C时，求点E运动的路径长；【分析】解题标签：“主从联动模型”【解析】22；2；4；26【例题11】如图，已知扇形AOB中，OA=3，∠AOB=120°，C是在上的动点．以BC为边作正方形BCDE，当点C从点A移动至点B时，点D经过的路径长是________．【分析】解题标签：“定边对定角”确定隐圆模型、主从联动模型【解析】如图所示，易得点D的运动轨迹的长为=2 π．1．如图，在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是．【解析】如图，连接OP，OC，取OC的中点K，连接MK．∵AC＝BC＝，∠ACB＝90°，∴AB＝＝2，∴OP＝AB＝1，∵CM＝MP，CK＝OK，∴MK＝OP＝，∴当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径是以K为圆心，长为半径的半圆，∴点M运动的路径长＝•2•π•＝，故答案为．2．已知线段AB＝8，C、D是AB上两点，且AC＝2，BD＝4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP＝∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为4﹣3．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H．∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP＝∠BFP∵∠A＝∠FPB，∴AH∥PF，同理，BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵M为EF的中点，∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．∵CD＝AB﹣AC﹣BD＝8﹣6，∴QN＝CD＝4﹣3，即M的移动路径长为4﹣3．故答案是：4﹣3．3．已知线段AB＝10，P是线段AB上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点A移动到点B时，G点移动的路径长度为5．【解析】如图，分别延长AE、BF交于点H，∵∠A＝∠FPB＝60°，∴AH∥PF，∵∠B＝∠EP A＝60°，∴BH∥PE，∴四边形EPFH为平行四边形，∴EF与HP互相平分．∵G为EF的中点，∴G正好为PH中点，即在P的运动过程中，G始终为PH的中点，所以G的运行轨迹为△HAB的中位线MN．∴MN＝AB＝5，即G的移动路径长为5．故答案为：54．如图，AB为⊙O的直径，AB＝3，弧AC的度数是60°，P为弧BC上一动点，延长AP到点Q，使AP•AQ＝AB2．若点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．【解析】连接BQ，如图，∵AB为⊙O的直径，∴∠APB＝90°，∵AP•AQ＝AB2．即＝，而∠BAP＝∠QAB，∴△ABP∽△AQB，∴∠ABQ＝∠APB＝90°，∴BQ为⊙O的切线，点Q运动的路径长为切线长，∵弧AC的度数是60°，∴∠AOC＝60°，∴∠OAC＝60°，当点P在C点时，∠BAQ＝60°，∴BQ＝AB＝3，即点P由B运动到C，则点Q运动的路径长为3．故答案为3．5．如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，点E在边AD上，且AE:ED＝1:2．动点P 从点A出发，沿AB 运动到点B停止．过点E作EF⊥PE交射线BC于点F．设点M是线段EF的中点，则在点P运动的整个过程中，点M的运动路径长为________．【答案】4【解析】如图所示：过点M作GH⊥AD.∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC.在△EGM和△FHM中，∴△EGM≌△FHM.∴MG=MH.∴点M的轨迹是一条平行于BC的线段当点P与A重合时,BF1=AE=2，当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90∘,∠BEF1+∠EBF1=90∘，∴∠F2=∠EBF1.∵∠EF1B=∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2.∴，即∴F1F2=8，∵M1M2是△EF1F2的中位线，∴M1M2= F1F2=4.故答案为：4.6．等边三角形ABC的边长为2，在AC，BC边上各有一个动点E，F，满足AE＝CF，连接AF，BE相交于点P．（1）∠APB的度数；（2）当E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长；（3）连结CP，直接写出CP长度的最小值．【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，∴AB＝AC，∠C＝∠CAB＝60°，又∵AE＝CF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（SAS），∴AF＝BE，∠ABE＝∠CAF．又∵∠APE＝∠BPF＝∠ABP+∠BAP，∴∠APE＝∠BAP+∠CAF＝60°．∴∠APB＝180°﹣∠APE＝120°．（2）如图1，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，由题目不难看出当E为AC的中点的时候，点P经过弧AB的中点，此时△ABP 为等腰三角形，且∠ABP＝∠BAP＝30°，∴∠AOB＝120°，又∵AB＝2，∴OA＝2，点P的路径是l＝＝＝；（3）如图2，∵AE＝CF，∴点P的路径是一段弧，∴当点E运动到AC的中点时，CP长度的最小，即点P为△ABC的中心，过B作BE′⊥AC于E′，∴PC＝BE′，∵△ABC是等边三角形，∴BE′＝BC＝3，∴PC＝2．∴CP长度的最小值是2．方法二：由图1可知，CP最小值等于CO减OA，OA就是那圆弧的半径，可得PC的最小值为2．7．如图，AB为半圆O的直径，AB=2，C，D为半圆上两个动点（D在C右侧），且满足∠COD=60°，连结AD，BC相交于点P若点C从A出发按顺时针方向运动，当点D与B重合时运动停止，则点P所经过的路径长为________．【答案】【解析】解：点C从点A运动到点D与点B从何时，AD与BC的相点P运动的轨迹是一条弧，C,D两点运动到恰好是半圆的三等分点时，AD与BC的相点P是弧的最高点，作AP,BP的中垂线，两线交于点E，点E是弧APB的圆心；由题意知：AD=BD，∠PAB=∠PBA=30°,连接AE,DE，根据圆的对称性得出A、O、E三点在同一直线上，易证△ADE是一个等边三角形，∠AED=60°,在Rt△ADO中，∠DOA=90°,∠PAB=30°,AO=1,故AD=,∴AE=AD=,弧APB的长度==。
数学专题：动点轨迹长度问题
一、直线型：
【特殊型变一般型】
变式2：如图，等腰Rt∆ABC中，斜边AB的长为2，O为AC上的
动点，过点O作OP⊥AB交AB于点P，过点P作PQ∥AC交BC于
点Q，连接OQ，M为OQ的中点，当点O从点A运动到点C时，
点M所经过的路线长为
。
一、直线型：
【变2：解法分析】
转化中点，由题意可得四边形ODQC为矩形，则OQ的中点也是 DC的中点，点M所经过的路线长= 1 点D所经过的路线长. 那如何求点D所经过的路线长呢？ 2
10 4
.
一、直线型：
【往返型轨迹】
变式3：如图，等腰Rt∆ABC中，斜边AB的长为2，O为AB上的
动点，连接OC将点C绕着点O逆时钟旋转45°交AB于点P，线段
BP的中点为点M，当点O从点A运动到点B时，点M所经过的路
线长为
。
一、直线型： 【变3：解法分析】
由一线三等角模型可得，∆AOC∽∆BPO,
1 OM=CM= 2 PQ，可知点M在线段OC的垂直平分线上，即点M 的轨迹为直线（OC的垂直平分线）一部分。
一、直线型：
【解法分析】 （2）确定始末点：连接OC易证∆APO≌∆CQO（ASA）， 则可得OP=OQ，即∆POQ为等腰直角三角形。 易确定始末两点分别是AC,BC的中点， 即点M的轨迹长度= 1 AB=1。
在等边三角形ABC中，PC为AB边上的高，所以PC= 3a，在
2
⊿OPC中，根据三角形三边关系，OC ≤ OP+PC
所以OC的长的最大值为 1 a + 3a，
2
2
二、圆弧型：
变式练习：如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在
边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，
数轴动点问题解题技巧
数轴动点问题解题技巧数轴动点问题是初中数学中比较常见的一类问题，其解题过程需要运用数轴的基本概念和运用数学知识进行分析和推理。
本文将从以下几个方面介绍数轴动点问题的解题技巧。
一、数轴的基本概念数轴是一条直线，上面用数值表示，通常以0点为起点，向右为正方向，向左为负方向。
在解决数轴动点问题时，我们需要了解数轴上的几个重要概念：1. 点：数轴上的任意一个位置都可以称为一个点，通常用小写字母表示，如a、b、c等。
2. 线段：数轴上两个点之间的部分称为线段，通常用大写字母表示，如AB、CD等。
3. 方向：数轴上从左到右的方向称为正方向，从右到左的方向称为负方向。
4. 距离：数轴上两个点之间的距离就是它们在数轴上的距离。
例如，在数轴上A点和B点之间的距离就是AB线段的长度。
二、数轴动点问题的解题思路1. 确定起点和终点数轴动点问题通常是要求在数轴上从一个点到另一个点的距离，因此我们需要确定起点和终点。
确定起点和终点后，我们就可以通过计算它们之间的距离来解决问题。
2. 确定运动方向在确定起点和终点后，我们需要确定运动方向。
通常情况下，我们可以根据题目中的描述来确定运动方向。
如果题目中没有明确说明运动方向，我们可以根据题目中给出的数据进行分析，确定运动方向。
3. 分析运动路径在确定起点、终点和运动方向后，我们需要分析运动路径。
运动路径通常是沿着数轴上的线段进行的，因此我们需要确定数轴上的哪些点是运动路径上的点。
在分析运动路径时，我们需要考虑到运动中可能出现的转弯等情况。
4. 计算运动距离在确定起点、终点、运动方向和运动路径后，我们就可以计算运动距离了。
运动距离就是起点和终点之间的距离，可以通过计算它们之间的线段长度来得出。
三、数轴动点问题的解题技巧1. 画图解题在解决数轴动点问题时，我们可以通过画图的方式来进行分析和推理。
画图可以帮助我们更加直观地了解问题，确定起点、终点、运动方向和运动路径等。
画图时，我们可以使用纸笔或数轴工具等，以便更好地展示问题。
初中数学动点路径长的问题解决策略
2017·05路径长问题的通常没有给出具体的动点运动轨迹，比较抽象，是学生难以把握的问题之一。
问题的解决策略是将动态问题转化为静态问题，寻找问题中的不变量，把抽象问题具体化，而初中阶段动点的运动轨迹一般只限于直线运动或圆弧运动，解决路径长问题关键在于确定动点运动的轨迹。
摘要关键词轨迹；运动；路径长；策略路径长问题是近几年中考的热点问题，它设计新颖，内涵丰富，既考查学生的基本画图能力，又考查学生逻辑推理能力。
它的难点在于题目中没有给出具体的动点运动轨迹，而且比较抽象，需要学生思考探究，很多学生对这类问题常常感到无从下手，产生畏难情绪。
为了解决这个问题，教师可以引导学生将动态问题转化为静态问题，寻找路径长问题中不变的量，把抽象问题具体化。
现结合例题探讨动点路径是线段与圆弧这两类问题轨迹的解题策略。
一、追根溯源，探究问题中不变的量教学过程中教师们常常发现学生在审题、析题方面不能抓住重点，遇到疑难问题，不懂得寻求解题的突破口，过度依赖教师的讲解，不能独立思考，学习处于被动状态。
新课程理念倡导以学生为主体，让学生积极、主动地参与课堂的探究活动，学生通过探究获得的解题经验往往比较直观，而且印象深刻，因此，教师传授新知识、新方法时，要让学生有充足的时间探究题目中隐含的条件，寻找解题的关键点，把复杂问题简单化。
学生在探究的过程得出解题经验，既获得成功的体验，又提高自身的综合解题能力。
1.动点到定直线距离保持不变，其轨迹是线段人教版七年级下册数学教科书采用这个例题来讲解无理数π如何在数轴上表示。
如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O 到达点O′，点O′的数值是___。
这是初中阶段教科书第一次讲解动点的轨迹问题，从图中可以看出O O′的长是这个圆的周长π，所以点O′在数轴上对应的数是π。
教师再让学生思考圆形车轮让乘坐者感觉舒适平稳的原因，学生探究后得出结论：圆心到水平面的距离相等。
初中数学动点问题的解题策略
初中数学动点问题的解题策略陈福德(甘肃省民乐县初级实验中学ꎬ甘肃张掖７３４５００)摘㊀要:初中阶段ꎬ动点问题属于一种比较复杂的变换问题ꎬ涵盖了圆㊁三角形㊁直角坐标系等知识点ꎬ很多学生很难把握动点问题中的变量与不变量ꎬ因而不能有效地解决动点问题.教师应从动点问题的本质出发ꎬ依据学生的知识情况和思维能力ꎬ引导学生掌握正确的解题方法ꎬ发展学生的思维能力ꎬ有效提高学生综合运用数学知识解决动点问题的能力.关键词:动点问题ꎻ解题指导ꎻ教学策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１４－０００２－０３收稿日期:２０２３－０２－１５作者简介:陈福德(１９８１.２－)ꎬ男ꎬ甘肃省民乐人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.㊀㊀初中数学动点问题一直都是数学教学重点ꎬ也是学生不易解答的难点.动点问题不仅具有综合性和复杂性ꎬ还蕴含了化归㊁数形结合㊁分类讨论等数学思想ꎬ需要学生有较高的信息处理能力和知识综合应用能力.因此ꎬ教师要结合动点问题的特点和本质ꎬ引导学生对其进行分析和探讨ꎬ渗透相应的数学思想方法ꎬ锻炼学生的思维ꎬ引导学生以动态的㊁综合的视角去分析和解决动点问题ꎬ提高学生的解题能力.１联系生活ꎬ有效解决问题新课程下ꎬ有些题目不但考查学生的基础知识和运算能力ꎬ而且将数学问题融合到实际的生活情境中ꎬ要求学生能够从中提取出有效的信息ꎬ并对其进行分析ꎬ形成数学问题或模型ꎬ然后运用所学理论解决实际问题ꎬ提高数学知识的应用能力ꎬ实现学以致用的目的[１].在生活中ꎬ常常存在一些运动现象ꎬ学生要能结合具体的情境ꎬ对生活现象进行抽象和概括ꎬ并将其转化为动点问题ꎬ这样才能利用已有的数学知识分析和解决问题[２].例１㊀Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三地之间的距离相等ꎬ都为６０ｋｍꎬ三地连线构成一个等边三角形ꎬ已知自行车的速度为２０ｋｍ/ｈꎬ电动车的速度为３０ｋｍ/ｈꎬ已知Ｐ骑自行车ꎬＱ骑电动车ꎬ在某一时刻ꎬＰ㊁Ｑ二人同时出发ꎬＰ从Ｂ地出发向Ａ地运动ꎬＱ从Ｃ地出发向Ｂ地运动ꎬ那么ꎬ在Ｐ㊁Ｑ二人到达目的地前:(１)是否会形成等边三角形ＰＱＢꎬ如果会ꎬ请计算出Ｐ㊁Ｑ二人出发后经过的时间ꎬ如果不会ꎬ请说明理由.(２)若某一时刻ꎬＰ㊁Ｑ二人与Ｂ地组成的三角形ＰＱＢ为直角三角形ꎬ求Ｐ㊁Ｑ运动的时间.分析㊀题目以运动为背景ꎬ考查学生的信息提取能力和知识综合应用能力ꎬ依据题目信息ꎬ可以将Ｐ㊁Ｑ二人运动的方向在图中画出来ꎬ如图１所示ꎬ当三角形ＰＱＢ为等边三角形的时候ꎬ需要满足ＰＢ＝ＢＱ＝ＱＰꎬ这样通过题中的数据计算即可.而当三角形ＰＱＢ为直角三角形的时候ꎬ分为øＢＰＱ和øＢＱＰ为直角两种情况ꎬ学生需要分类讨论ꎬ这样才能够全面的解答问题.图１２解㊀(１)设Ｐ㊁Ｑ二人出发后经过ｔ小时后ꎬ会形成等边三角形ＰＱＢꎬ此时ＰＢ＝ＢＱꎬ即２０ｔ＝６０－３０ｔꎬｔ＝６５ꎬ所以ꎬＰ㊁Ｑ二人出发后经过６５小时ꎬ可以形成等边三角形ＰＱＢ.(２)当øＢＰＱ＝９０ʎ时ꎬ由于Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三地构成一个等边三角形ꎬ所以ꎬøＢ＝６０ʎꎬ则øＢＱＰ＝３０ʎꎬ因此ＢＱ＝２ＢＰꎬ设Ｐ㊁Ｑ运动的时间为ｔꎬ则６０－３０ｔ＝２ˑ２０ｔꎬｔ＝６７ꎻ当øＢＱＰ＝９０ʎ时ꎬ由于Ａ㊁Ｂ㊁Ｃ三地构成一个等边三角形ꎬ所以ꎬøＢ＝６０ʎꎬ则øＢＰＱ＝３０ʎꎬ因此２ＢＱ＝ＢＰꎬ设Ｐ㊁Ｑ运动的时间为ｔꎬ则２ˑ(６０－３０ｔ)＝２０ｔꎬｔ＝３２ꎻ所以ꎬ当Ｐ㊁Ｑ二人与Ｂ地组成的三角形ＰＱＢ为直角三角形ꎬＰ㊁Ｑ运动的时间为６７或３２小时.２动中寻静ꎬ找到解题关键动点问题的难点在于某一个或几个点处于运动状态ꎬ动点在不同位置会出现不同的图形ꎬ以此增加了问题的难度ꎬ使问题复杂化ꎬ学生不易从中找出解题的思路和方法ꎬ常常不能有效地解决问题[３].动静结合是初中动点问题的突出特点ꎬ在分析动点问题时ꎬ要结合动点运动的轨迹或规律ꎬ分析动点运动到某一状态时出现的特殊位置或数量关系ꎬ将运动的点转化为静态的点ꎬ以静制动ꎬ将运动的问题化为静态的问题ꎬ找到解决问题的关键点ꎬ然后运用数学知识进行综合分析ꎬ这样才能够动静结合ꎬ从动中寻找不动ꎬ从而有效解决动点问题[４].例２㊀如图２所示ꎬ在长为３３ꎬ宽为３的矩形ＡＢＣＤ中ꎬＢＣ边上有一个动点Ｅꎬ现在连接ＡＥꎬ并将三角形ＡＢＥ沿着直线ＡＥ折叠ꎬ使得点Ｂ落在图中的Ｆ处.(１)假设动点Ｅ运动到ＢＣ中点时ꎬ将三角形ＡＢＥ沿着直线ＡＥ折叠ꎬ判断ＡＥ与ＦＣ的位置关系. (２)假设三角形ＡＢＥ沿着直线ＡＥ折叠后ꎬＢ点落在矩形ＡＢＣＤ的内部点Ｆ处ꎬ此时ＣＤ＝ＦＤꎬ则ＢＥ的长为多少?分析㊀(１)判断ＡＥ与ＦＣ的位置关系ꎬ需要利用折叠方面的性质ꎬ因此连接ＢＦꎬ得到ＡＥʅＢＦꎬＢＥ＝ＥＦꎬ因为Ｅ为ＢＣ中点ꎬ可以得到ＢＥ＝ＥＦ＝ＣＥꎬ三角形ＥＢＦꎬＦＥＣ为等腰三角形ꎬ利用等腰三角形和三角形内角和知识可以判断ＡＥ与ＦＣ的位置关系.(２)过点Ｆ做ＡＢ的平行线分别交ＡＤꎬＢＣ于ＭꎬＮꎬ利用折叠性质求出ＡＭꎬＦＭꎬＦＮ等线段的长度ꎬ然后在直角三角形ＦＥＮ中ꎬ利用勾股定理可以求出ＦＥ的长度.图２㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀图３解㊀(１)如图３所示ꎬ连接ＢＦ交ＡＥ于Ｈ点ꎬ由折叠的性质可知ꎬＡＥʅＢＦ于Ｈ点ꎬＢＥ＝ＥＦꎬ因为Ｅ为ＢＣ中点ꎬ则ＢＥ＝ＥＦ＝ＣＥꎬ所以ꎬøＥＢＦ＝øＥＦＢꎬøＥＦＣ＝øＦＣＥꎬ在әＢＦＣ中ꎬøＣＢＦ＋øＢＦＣ＋øＦＣＢ＝１８０ʎꎬøＢＦＥ＋øＥＦＣ＝øＢＦＣꎬ即øＣＢＦ＋øＢＦＥ＋øＥＦＣ＋øＦＣＢ＝１８０ʎ则øＢＦＥ＋øＥＦＣ＝９０ʎꎬ所以ＦＣʅＢＦꎬ则ＦＣʊＡＥꎬ因此ＡＥ与ＦＣ的位置关系为平行.(２)过点Ｆ做ＡＢ的平行线交ＡＤꎬＢＣ于ＭꎬＮꎬ则ＭＮʅＡＤꎬ如图４所示ꎬ依据折叠性质可得ＡＢ＝ＡＦꎬ四边形ＡＢＣＤ为矩形ꎬ所以ꎬＡＢ＝ＣＤꎬＡＤ＝ＢＣꎬ因为ＣＤ＝ＦＤꎬ所以ꎬＡＦ＝ＤＦꎬ在әＡＤＦ中ꎬ因为ＭＮʅＡＤꎬ则ＡＭ＝ＤＭ＝１２ＡＤ＝３３２ꎬ在ＲｔәＡＦＭ中ꎬＡＭ２＋ＭＦ２＝ＡＦ２ꎬ所以ＭＦ２＝３２－(３３２)２＝９４ꎬ则ＭＦ＝３２ꎬ因为ＭＮʊＡＢꎬ所以ＭＮ＝ＡＢꎬ则ＦＮ＝ＭＮ－ＭＦ＝３２ꎬ依据折叠性质可知ꎬＢＥ＝ＦＥꎬ则在ＲｔәＥＦＮ中ꎬＥＮ２＋ＦＮ２＝ＥＦ２ꎬ由ＡＢʊＭＮꎬＡＢＣＤ为矩形可得ＢＮ＝ＡＭꎬ则ＥＮ＝ＢＮ－ＢＥꎬ因此(３３２－ＢＥ)２３＋(３２)２＝ＢＥ２ꎬ所以ＢＥ＝３.图４３巧妙转化ꎬ求最值在初中数学动点问题中ꎬ求最值是常见的类型ꎬ要求学生能够从不同的层次和角度去思考问题的解决方法ꎬ运用数形结合㊁化归等数学思想ꎬ将复杂㊁运动的问题巧妙地转化为静态的问题ꎬ然后依据初中数学知识点有效地解决问题[５].一般来说ꎬ应把所求最值问题转化为两点间的距离ꎬ然后依据题设条件求取最值.因此ꎬ教师要因地制宜ꎬ引导学生依据题设条件对问题进行巧妙转化ꎬ这样才能够化动为静ꎬ有效地解决点点㊁点线㊁线线之间的最值问题.例３㊀在棱长为２的菱形ＡＢＣＤ中ꎬ已知øＤＡＢ＝６０ʎꎬＡＣ为菱形ＡＢＣＤ的一条对角线ꎬＰ为ＡＣ上的一个动点ꎬ且Ｐ不与ＡꎬＣ点重合ꎬＥ为ＡＢ上的一个动点ꎬ且Ｅ不与ＡꎬＢ点重合ꎬＦ为ＢＣ上的一个动点ꎬ且Ｆ不与ＢꎬＣ点重合ꎬ连接ＰＥꎬＰＦꎬ求ＰＥ＋ＰＦ的最小值.图５分析㊀本题中有三个动点ＰꎬＥꎬＦꎬ直接求ＰＥ＋ＰＦ的最小值并不现实ꎬ因此需要对问题进行转化ꎬ如图５所示ꎬ由于ＥꎬＦ在ＡＣ的同侧ꎬ因此要想求最小值ꎬ应该将ＥꎬＦ转化到ＡＣ的两侧ꎬ通过两点间的线段求最小值ꎬ以ＡＣ为对称轴做Ｅ的对称点Ｅᶄꎬ连接ＦＥᶄꎬ则ＦＥᶄɤＰＥ＋ＰＦꎬ当Ｐ点在ＦＥᶄ与ＡＣ交点处取等号ꎬ这样就将两条线段的长度和转化为一条线段的长度问题ꎬ由于ＡＢＣＤ为菱形ꎬ当ＦＥᶄ与ＡＤ垂直时ꎬＦＥᶄ的值最小ꎬ也就是ＰＥ＋ＰＦ的最小值.解㊀以ＡＣ为对称轴做Ｅ的对称点Ｅᶄꎬ由于ＡＢＣＤ为菱形ꎬ因此Ｅᶄ在ＡＤ上ꎬ则ＰＥ＝ＰＥᶄꎬＰＥ＋ＰＦ＝ＰＥᶄ＋ＰＦꎬ连接ＦＥᶄꎬ则ＰＥᶄ＋ＰＦȡＦＥᶄꎬ由于Ｅ是ＡＢ上的动点ꎬ因此Ｅᶄ是ＡＤ上动点ꎬ当ＦＥᶄ与ＡＤ垂直时ꎬ即Ｅᶄ达到Ｅ０的位置ꎬＦＥᶄ最短ꎬＦＥᶄ＝ＡＢｓｉｎ６０ʎ＝３ꎬ即ＰＥᶄ＋ＰＦȡ３ꎬ当Ｐ点位于ＦＥᶄ与ＡＣ交点且ＦＥᶄʅＡＤ时取等号ꎬ所以ꎬＰＥᶄ＋ＰＦ最小值为３.总之ꎬ在初中动点问题中ꎬ常常包含着丰富的数学思想方法ꎬ需要学生能够从不同的角度对问题进行分析和探索ꎬ将动点问题转化为静态问题ꎬ找准试题的关键点ꎬ突破试题的难点ꎬ这样才能够有效地解决问题.教师要关注动点问题的育人价值ꎬ引导学生以静制动ꎬ依据试题的条件和设问的角度ꎬ寻找最佳的试题解决思路ꎬ强化学生对于数学思想的理解ꎬ培养学生的思维能力ꎬ帮助学生解决动点问题ꎬ提高学生的数学知识综合应用能力.参考文献:[１]唐静ꎬ姜锐武.探究初中数学中动点问题的解法[Ｊ].数学学习与研究ꎬ２０１９(１６):１２２.[２]黄欲涵.问题特征解读ꎬ方法关联探究:以动点线段和最值问题为例[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２２(１１):８６－８８.[３]曹伟林.例谈初中数学的解题指导策略:以 动点问题 为例[Ｊ].数学大世界(上旬)ꎬ２０２１(０１):６９.[４]赵玉叶.初中数学中 含有一个动点的线段和(差)的最值问题 的解题策略[Ｊ].数学教学通讯ꎬ２０２１(３２):８６－８８.[５]孙世军.浅谈初中数学动点问题的解题策略[Ｊ].中学课程辅导(教师教育)ꎬ２０１５(２３):６５.[６]杨道林.初中数学动点问题解析与思路探讨[Ｊ].新校园(中旬)ꎬ２０１６(０５):１０７.[责任编辑:李㊀璟]４。
初中几何动点问题解题策略
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０数学学习与研究㊀２０２１ ４初中几何动点问题解题策略初中几何动点问题解题策略Һ徐晓丹㊀（北京师范大学长春附属学校，吉林㊀长春㊀１３００００）㊀㊀ʌ摘要ɔ几何动点问题是初中数学学习的难点，这一类问题通常需要学生画出运动过程中某一时刻或某段时间上的图形，比较抽象，是学生难以把握的问题之一．这类问题的解决策略是将动态问题转化为静态问题，寻找问题中的不变量，把抽象问题具体化，教师需引导学生探索变化后的图形特征．解决几何动点问题的关键在于确定动点运动过程中的图形，用运动的观点看问题，定格到静止状态解决问题，动静结合．ʌ关键词ɔ几何动点；数学思想方法；界点；转化 几何动点问题 是指题设图形中存在一个或多个动点，通过点带动图形的运动，从而探究图形的有关性质和图形之间的数量关系㊁位置关系等．这类问题把观察㊁操作㊁探究㊁计算融合在一起，蕴含着函数㊁方程㊁分类㊁转化㊁数形结合等数学思想方法．中考中对这类问题的考查，可以很好地锻炼学生的探究能力，增强学生的创新意识．一㊁几何动点问题常见的考查方式及解决方法１．求动点运动过程中随时间变化的线段长．解决这类问题常利用勾股定理㊁面积桥㊁三角函数或相似．２．当动点落在某条边上或两点重合时，求动点运动时间．此时可以利用新构成的特殊几何图形，如：直角三角形㊁等腰三角形㊁平行四边形等，找到特殊几何图形各边之间的联系，从而求解．３．求多边形面积或重叠部分面积或周长的函数关系式．解决的关键在于找到界点正确分类，直接利用图形面积公式或图形间作差㊁作和表示函数关系式．４．求动点在特殊位置上的运动时间，如某个动点落在三角形的角平分线上，三角形一边的垂直平分线上，三角形的一条中线上，等等．或者是线段把某多边形面积分成特定比时的运动时间．这类问题的解决通常要利用三角函数或构造相似．学生解决这类问题时觉得很困难，这就要用到转化的思想方法，把特殊位置时的线段关系找到，转化成线段的比来列方程求解．５．求点的运动轨迹长度或线段运动过程中扫过的图形面积．解决的方法是找到运动开始和终止时的图形，再结合中间的运动趋势来判断轨迹或扫过图形的形状，最后计算．常见的轨迹有以下几种：（１）动点到定直线距离保持不变，轨迹是一条直线；（２）动点到定点的距离保持不变，轨迹是圆弧；（３）动点到定点铅直距离与水平距离的比保持不变，轨迹是一条直线．下面以２０２０年长春市中考数学试题第２３题为例来说明如何解决几何动点轨迹问题，此题分值为１０分．例㊀（２０２０年长春市中考数学试题第２３题）如图１，在әＡＢＣ中，øＡＢＣ＝９０ʎ，ＡＢ＝４，ＢＣ＝３．点Ｐ从点Ａ出发，沿折线ＡＢ－ＢＣ以每秒５个单位长度的速度向点Ｃ运动，同时点Ｄ从点Ｃ出发，沿ＣＡ以每秒２个单位长度的速度向点Ａ运动．点Ｐ到达点Ｃ时，点Ｐ，Ｄ同时停止运动．当点Ｐ不与点Ａ，Ｃ重合时，作点Ｐ关于直线ＡＣ的对称点Ｑ，连接ＰＱ，交ＡＣ于点Ｅ，连接ＤＰ，ＤＱ．设点Ｐ运动的时间为ｔ秒．（１）当点Ｐ与点Ｂ重合时，求ｔ的值．（２）用含ｔ的代数式表示线段ＣＥ的长．（３）当әＰＤＱ为锐角三角形时，求ｔ的取值范围．（４）如图２，取ＰＤ的中点Ｍ，连接ＱＭ，当直线ＱＭ与әＡＢＣ的一条直角边平行时，直接写出ｔ的值．图１㊀㊀㊀㊀图２试题整体分析㊀这道几何动点问题的图形背景是边长为３，４，５的直角三角形，属于双动点问题，点Ｐ的运动路径是折线段ＡＢ－ＢＣ，点Ｄ的运动路径是ＡＣ上的部分线段．由 两点同时出发，当点Ｐ到达点Ｃ时，点Ｐ，Ｄ同时停止运动 可知运动终止时间为７５秒．由 当点Ｐ不与点Ａ，Ｃ重合时 可知运动时间不能取０和７５．试题前面两问比较基础，但第（２）问由于点Ｐ改变路径产生了分类讨论的需要．试题最后两问引入了图形变换 轴对称，增加了思维含量．第（３）问要将 锐角三角形 转化成 直角三角形 寻找界点．第（４）问 当直线ＱＭ与әＡＢＣ的一条直角边平行时 ，由平行可构造相似，利用相似三角形的对应边成比例转化成线段的比求解．下面是本题的正确解答过程：解㊀（１）当点Ｐ与点Ｂ重合时，ＡＰ＝ＡＢ，５ｔ＝４，解得ｔ＝４５．（分析：两点重合问题，可以转化成两条线段相等的问题解决．）（２）当０＜ｔɤ４５时，ＣＥ＝５－４ｔ；当４５＜ｔ＜７５时，ＣＥ＝３５ＰＣ＝－３ｔ＋２１５．（如图３）. All Rights Reserved.㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀数学学习与研究㊀２０２１４图３（分析：用含变量ｔ的式子表示线段长，需要用到分类的数学思想．当动点的运动路径发生变化或者点与点㊁点与线之间的相对位置发生变化时，都需要分类讨论．表示线段长时通常用三角函数．）（３）当әＰＤＱ是等腰直角三角形时，ＰＥ＝ＤＥ，当Ｐ在线段ＡＢ上时，３ｔ＝５－６ｔ，ʑｔ＝５９．（如图４）图４㊀㊀㊀㊀㊀图５当Ｐ在线段ＢＣ上时，２８５－４ｔ＝５ｔ－２１５，ʑｔ＝４９４５．（如图５）ȵәＰＤＱ是锐角三角形，ʑｔ的取值范围为０＜ｔ＜５９或４９４５＜ｔ＜７５．（分析：考查锐角三角形㊁钝角三角形的问题都可以转化为直角三角形的问题，这是因为直角是锐角和钝角的临界状态．又根据轴对称可知әＰＤＱ是等腰三角形，所以能判断出әＰＤＱ是等腰直角三角形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，转化成两条线段相等的问题．）（３）ｔ的值为５１８或６５．思路㊀当ＱＭ与ＡＢ平行时（如图６），ＡＤ＝４ＡＥ，ʑ５－２ｔ＝４ˑ４ｔ，ʑｔ＝５１８；图６㊀㊀㊀㊀图７当ＱＭ与ＢＣ平行时（如图７），ＣＤ＝４ＣＥ，ʑ２ｔ＝４ˑ３５（７－５ｔ），ʑｔ＝６５．（分析：由平行的条件容易得到全等和相似的结论，从而得到线段的比例关系，列方程时通常要选择运动路径上的线段关系，这里选择的都是线段ＡＣ上的线段的比．）二㊁解决几何动点问题时，学生存在的问题１．不重视画图．２．找不到界点，不能正确分类．３．忽视对界点是否包含的判断．４．求解析式过程中计算不准确．５．不知道转化或转化不彻底．６．易列出恒等式．三㊁针对学生存在的问题，教师在平时教学中可采用以下策略（一）教会学生画图．明确背景图形和运动图形，在操作时建议：①背景图形用中性笔画，运动图形用铅笔画，便于修正；②不同时刻的图形有干扰时，一种情况画一个图形；③分清主动点和从动点，并判断它们运动的趋势，必要时要知道从动点轨迹；④按照图形的位置关系和数量关系准确画图，落在某些特殊位置时，可逆序画图．（二）准确找到界点分类．①两点之间的相对位置有变化时，两点重合为界点．②动点运动路径有转折时，路径的交点为界点．③点穿过图形边界时，落在边界上的点为界点．④线段穿过图形边界时，线段重叠时为界点．（三）重视对界点是否包含的判断，每次遇到界点，都要单独拿出来判断并确认．①重新审题，看题干中是否有条件限制，如点Ｐ不与Ａ，Ｃ重合或Ｓ＞０等条件．②界点处图形是否变化．③明确关键词含义，如内部（不包含边界）．（五）转化的应用．①所有面积的比都可以转化成线段的比．②特殊位置上的点产生相等线段．③构造相似得成比例线段，一般优先选择运动路径上的线段．（六）避免列恒等式．列方程时需要把握一个原则：同一个等量关系不能既用来表示线段长，又用来列方程．四㊁结束语总之，教师在引导学生解决动点问题时，要引导学生主动观察㊁分析㊁概括㊁推理，准确画图，从中找出隐含的不变量和变量关系，把握运动中的某些界点位置和特殊位置，进而发现问题的本质，并将其转化为熟悉的数学问题，使问题有效解决．ʌ参考文献ɔ［１］蒋亨强，初中数学动点路径长的问题解决策略［Ｊ］．福建基础教育研究，２０１７（０５）：５０－５１．［２］吴晓峰，对初中数学教学中动点问题的思考，数学学习与研究，２０１７（０８）：１４１．. All Rights Reserved.。
动点路径长解题策略
动点路径长的解题策略智慧锦囊初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧•在研究此问题时，可以分三步：⑴利用函数描点法大胆猜想：即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；（2）寻找不变量，严格证实猜想：在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系.如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变•因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.（3）利用特殊值算出动点路径长动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。
①线段。
当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。
③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.范例点睛例1 （2012张家界）如图1,已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD 上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF, G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_________ .例2 （2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点.P（0, m）是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D •设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E,过点O作直线ME的垂线，垂足为H （如图7）•当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长.本王闯关1. Z O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A B'处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）A.直线的一部分B.圆的一部分C.双曲线的一部分D .抛物线的一部分2. （2013?湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为2、. 3的一个定点，AC丄x轴于点M，交直线y= - x于点N .若点P是线段ON上的一个动点，/ APB=30° BA丄PA,则点P 在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动.求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是 .3. 如图，正方形ABCD的边长为4,点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动且PQ=4.若点P从点A出发，沿ABE的路线向点E运动,相应的，点Q在DA、AB上运动。
动点问题解题技巧总结
动点问题解题技巧总结一、 动点选择题（中考选择最后一道） 1排除法：（1）首先看趋势，排除明显不可能的（2）看图像上面的特殊点，算出特殊点的横纵坐标，排除错误的选项（3）求解析式：如果选项出现二次函数的图像，特别需要确定开口方向，有时候可以不用完全算出解析式，确定了开口方向就可以确定正确选项（4）如果解析式不好求，可以取分段函数的每一段的中点，如果这一段的端点坐标是，x y x y ,,1122)()( 确定纵坐标比+y y 212大还是小 中考再现1．（2017•天水）如图，在等腰△ABC 中，AB=AC=4cm ，∠B=30°，点P 从点B 出发，以cm/s 的速度沿BC 方向运动到点C 停止，同时点Q 从点B 出发，以1cm/s 的速度沿BA ﹣AC 方向运动到点C 停止，若△BPQ 的面积为y （cm 2），运动时间为x （s ），则下列最能反映y 与x 之间函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】第一步看趋势，四个选项都是先增大后减小，均符合 第二步，看特殊点，四个选项特殊点一样，不能排除，第三步，取区间中点，选项中出现了两个区间，<<x 04和<<x 48，区间中点x =2和x =6，x =2时，长段线垂，线垂的作过，===<BQ BP Q BP y 2223,1343则易得答案为D ．2．（2017•铁岭）如图，在射线AB 上顺次取两点C ，D ，使AC=CD=1，以CD 为边作矩形CDEF ，DE=2，将射线AB 绕点A 沿逆时针方向旋转，旋转角记为α（其中0°＜α＜45°），旋转后记作射线AB′，射线AB′分别交矩形CDEF 的边CF ，DE 于点G ，H ．若CG=x ，EH=y ，则下列函数图象中，能反映y 与x 之间关系的是（ ）A． B． C． D．【分析】第一步看趋势，均符合第二步，看特殊点，A,B选项是过（2,0），C,D选项是过（1,0），当x=1时，由矩形知CF∥DE，∴△ACG∽△ADH，∴，∵AC=CD=1，∴AD=2，当x=1时，即GC=1，求出DH=2，EH=y=0，排除A,B，由0°＜α＜45°不含等号，所以不能取到（1,0），因此是D选项3．（2017•葫芦岛）如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，点P和点Q分别从点B和点C出发，沿射线BC向右运动，且速度相同，过点Q作QH⊥BD，垂足为H，连接PH，设点P运动的距离为x（0＜x≤2），△BPH的面积为S，则能反映S与x之间的函数关系的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】第一步看趋势，A,B,C都是增大，只有D是先增大后减小，随着P,Q向右运动面积一直增大，所以排除D 选项第二步，看特殊点，A,B,C 三个选项特殊点一样，不能排除，第三步，取区间中点，选项中出现了一个区间，<<x 02，区间中点x =1，x =1时，，长段，线垂，线垂的作过，====<S CQ BQ BH H BP 14823 1.5,33333则易得答案为A ．二、 动点解答题几何图形动点问题（包括三角形，四边形，圆）：此类问题动点是有运动速度和运动路径的，解决问题的步骤如下：第一步，确定动点运动的阶段（如果是在折线上面运动，每一个线段是一个阶段）为了方便理解，每一个阶段都任意画出动点的一个可能位置（动点解答题的解题关键是化动为静，这个“为静”指的是在每一个阶段里任意选一个位置，用t 把相关线段表示出来，这样运动的点在这个阶段内就是“静止”的了），画出对应的图第二步，根据路程=速度⨯时间把动点运动的路程表示出来，进而将每一个阶段涉及到的线段表示出来第三步，根据具体问题列出等量关系式，例如：涉及到面积问题，用21底⨯高表示出面积，根据题目条件列出等量关系式 中考再现1.（2015江苏省）如图所示，在中，，，，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，若、同时出发：（1）几秒钟后，可使？（2）几秒钟后，可使四边形的面积占的面积三分之二？1. 【分析】（1）第一步：确定分段，本题两个动点都只在一条线段移动，因此不用分段第二步，根据路程=速度 时间把动点运动的路程表示出来，设运动时间为t秒，P点从A出发，沿着AC运动，运动路程是AP= t，Q点从C出发，沿着CB运动，运动路程是CQ=2t ，第三步，根据具体问题列出等量关系式，即 AC-AP=CQ，即解得，，则秒钟后，．（2）第二问因为前两步已经在第一问解决，直接进入第三步的面积为：，四边形的面积占的面积三分之二，的面积占的面积三分之一，，解得，，，答：秒或秒钟后，可使四边形的面积占的面积三分之二．2. （2015湖北省）如图,在矩形中,,E 是AD 的中点.动点从A 点出发,沿路线以秒的速度运动,运动的时间为秒.将以EP 为折痕折叠,点A 的对应点记为. 当点在边AB 上,且点在边BC 上时,求运动时间;【分析】第一步：确定分段，本题只有一个动点P ，P 在线段AB 运动，不用分段 第二步，根据路程=速度⨯时间把动点运动的路程表示出来，运动时间为t 秒，P 点从A 出发，沿着AB 运动，运动路程是AP= t ，第三步，根据具体问题列出等量关系式当点在边AB 上，且点在边BC 上时,根据折叠不变性，为因又，，。
初一数学动点问题答题技巧与方法
初一数学动点问题答题技巧与方法关键：化动为静，分类讨论。
解决动点问题，关键要抓住动点，我们要化动为静，以不变应万变，寻找破题点（边长、动点速度、角度以及所给图形的能建立等量关系等等）建立所求的等量代数式，攻破题局，求出未知数等等。
动点问题定点化是主要思想。
比如以某个速度运动，设出时间后即可表示该点位置；再如函数动点，尽量设一个变量，y尽量用x来表示，可以把该点当成动点，来计算。
步骤：①画图形；②表线段；③列方程；④求正解。
数轴上动点问题数轴上动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
为了便于大家对这类问题的分析，首先明确以下几个问题：1．数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数—左边点表示的数。
2．点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为a—b；向右运动b 个单位后所表示的数为a+b。
3．数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，点在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
问题引入：如图，有一数轴原点为O，点A所对应的数是﹣1，点A沿数轴匀速平移经过原点到达点B．（1）如果OA=OB，那么点B所对应的数是什么？（2）从点A到达点B所用时间是3秒，求该点的运动速度．（3）从点A沿数轴匀速平移经过点K到达点C，所用时间是9秒，且KC=KA，分别求点K和点C所对应的数．【考点】数轴；比较线段的长短．【专题】数形结合．【分析】（1）由于OA=OB，可得点B所对应的数是点A所对应的数的相反数；（2）先求出AB的距离，再根据速度=路程÷时间求解；（3）先求出AC的距离，得到点C所对应的数，由KC=KA，得到点K所对应的数．【解答】解：（1）∵OA=OB，点A所对应的数是﹣1，∴点B所对应的数是1；（2）[1﹣（1）]÷3=3÷3=1．故该点的运动速度每秒为1．（3）1×9=9，9÷2=4.5，∴点C所对应的数为﹣1+9=7，点K所对应的数为﹣1+4.5=3．故点C所对应的数为7，点K所对应的数为3．【点评】考查了数轴和路程问题，熟练掌握数轴上两点间的距离的求法，本题虽有几题，但基础性较强，难度不大．练习：1.动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动，3秒后，两点相距15个单位长度．已知动点A、B的速度比是1：4 （速度单位：单位长度/秒）．（1）求出两个动点运动的速度，并在数轴上标出A、B两点从原点出发运动3秒时的位置；（2）若A、B两点从（1）中标出的位置同时向数轴负方向运动，几秒时，A、B两点到原点的距离恰好相等？例题精讲：例1．已知数轴上有A、B、C三点，分别代表-24，-10，10，两只电子蚂蚁甲、乙分别从A 、C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒。
运用“三点法”求解动点路径长问题
运用“三点法”求解动点路径长问题初中数学中动点路径问题，一般有两种情况:线段或圆弧.本文提出一种求动点路径长的方法——三点法，“三点”指动点的起点，终点与过程点.该方法分为三步:(1)精准作图，运用刻度尺，圆规及量角器等工具作出位置较为精准的“三点”.(2)大胆猜测，若“三点”共线，则动点路径为线段;若“三点”不共线，则动点路径为圆弧.(3)小心验证，根据画出的“三点图”，运用相似三角形、“定角定长定圆”等方法对猜想进行严格的证明.一、知识准备1、基本概念如图1，在Rt ABC ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2ta n 5D PE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .在图1中，点P 是“主动”在边AB 上开始动的点，称为“主动点”;点E 是跟着点P 在运动的点，称为“从动点”.又点P 从点A 运动到点B ，当点P 与点A 重合时记作点1P ，称为“主动点的起点”，此时1E 称为“从动点的起点”，此时作出符合要求的图形(如图2)，称该图为“起点图”;当点P 与点B 重合时记作点2P ，称为“主动点的终点”，此时2E 称为“从动点的终点”，作出符合要求的图形(如图3)，称该图为“终点图”.区别于起点1P ，终点2P ，将图1中的点P 称为“主动点的过程点”，此时E 称为“从动点的过程点”，相应地把图1称为“过程图”.将起点图，终点图，过程图放在同一个图形中，将这个图形称为“三点图”(如图4).2、定角定长定圆固定度数的角对着固定长度的线段时隐含着一个固定大小的圆，此时定线段为定圆的一条弦，定角为弦所对的一个圆周角.引例1 如图5，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，使90ACB ∠=︒，作出点C的运动路径.由“90º角所对的弦是直径”可以得到点C 的运动路径是以AB 为直径的圆，且不与点A 、点B 重合(如图6).引例2 如图7，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，45ACB ∠=︒，作出顶点C 的运动路径.当点C 位置不同时，ACB ∠度数不变，根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以将ACB ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上，且290AOB ACB ∠=∠=︒，计算可得半径OA =所以，点C 的运动路径是优弧ACB ，且不与点A 、点B 重合(如图8).引例3 如图9，线段4AB =，点C 是平面上的一个动点，120ACB ∠=︒，作出顶点C 的运动路径.作出ACB ∠的补角'AC B ∠为60º，'AC B ∠的位置不同时度数为定值.类比引例2，可将'AC B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心O 必在弦AB 的垂直平分线上，且2'120AOB AC B ∠=∠=︒，计算可得半径OA =.在所以点C 的运动路径是劣弧»AB ，且不与点A 、点B 重合(如图10).二、方法归纳例l 如图11，在R t A B C ∆中，6,8AC BC ==，90C ∠=︒.点P 是边AB 上一动点，点D 是AC 延长线上的一个定点，连结PD ，过点D 作DE PD ⊥，连结PE ，且2tan 5DPE ∠=，当点P 从点A 运动到点B 时，点E 运动的路径长为 .1.精准作图因为2tan 5DPE ∠=，所以通过计算很难得到DPE ∠的度数(不借助计算器)，但可以运用量角器测量图12中22DPE ∠≈︒.在图11的基础上，先作起点图.当点P 与点A 重合时记作点1P ，在图中作出122DPQ ∠=︒(如图12)，过点D 作11DE PD ⊥交射线AQ 于点1E (如图13).当点P 与点B 重合时记作点2P ，运用类似的方法在图13的基础上作出终点图，并去掉多余部分，得到一幅完整的三点图(如图14).2、大胆猜测通过三点图发现点1E ，点E ，点2E 基本在一条直线上(如图14)，所以可以大胆的猜测点E 的运动路径是一条线段，点E 运动的路径长就是线段12E E 的长度.于是提出猜想一“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点共线时，从动点的运动路径为线段”.在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点不共线时，就初中数学而言，不共线的三点确定一个圆，这里提出猜想二“在三点图中，从动点的起点，终点，过程点三点不共线时，从动点的运动路径为圆弧”.当运动路径为圆弧时，考虑寻找固定度数的角与固定长度的线段，运用“定角定长定圆”的方法作出运动路径.3.小心验证在图15中，因为1190E DE PDE ∠+∠=︒，1190PDP PDE ∠+∠=︒， ∴11PDP E DE ∠=∠. 又∵1125DE DE DP DP ==， ∴11E DE PDP ∆∆:， ∴11DEE DPP ∠=∠.同理22E DE P DP ∆∆:，可得22DEE DPP ∠=∠.又∵12180DPP DPP ∠+∠=︒，∴12180DEE DEE ∠+∠=︒.∴点1E ，点E ，点2E 三点共线.∵121290E DE PDE ∠+∠=︒，121290PDP PDE ∠+∠=︒，∴1212PDP E DE ∠=∠. ∵121225DE DE DP DP ==， ∴1212E DE PDP ∆∆:， ∴121225E E PP =.∵1210PP =，∴124E E =.通过上述论证得到结论一:“当主动点在一条线段上运动，从动点也在一条线段上运动时，主动点的起点、终点、某个定点构成的三角形和从动点的起点、终点、某个定点构成 的三角形相似”.因此可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.三、运用求解例2 如图16，在R t C O D ∆中，90COD ∠=︒，2OC OD ==，以O 为圆心，AB 为直径的圆经过点C ，点D .连结,AD BC 相交于点P ，将Rt COD ∆从OA 与OC 重合的位置开始，绕着点O 顺时针旋转90º，则交点P 所经过的路径长是 .在图16的基础上先作起点图，当点C 与点A 重合时记作点1C ，此时点D 在点1D ，位置，1BC ，1AD ，交于点1P ，此时点1P ，与点A 重合(如图17).再作终点图，此时点C 与点1D 重合记作点2C ，点D 与点B 重合记作点2D ，2AD 与2BC 交于点2P ，点2P 与点B 重合(如图18).通过三点图，发现点1P ，点P ，点2P 三点不共线，考虑从动点的运动路径为圆弧，但需要运用“定角定长定圆”的方法加以证明.在PAB ∆中，4AB =为定长，因为90COD ∠=︒，所以90COA DOB ∠+∠=︒，又“同弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半”， 得到190452CBA DAB ∠+∠=⨯︒=︒，所以135APB ∠=︒为定角.所以点P 在以4AB =为弦，135APB ∠=︒为圆周角的定圆上运动.类比引例2，APB ∠的补角'45AP B ∠=︒也为定角，可将'AP B ∠看作弦AB 所对的一个圆周角，圆心'O 必在弦AB 的垂直平分线上，且2'90AOB AP B ∠=∠=︒.又因为“直径所对的圆周角为90º”，所以'O 是弦AB 的垂直平分线与圆O 的一个交点所以半径'O A =所以点P 的运动路径是劣弧AB (如图19)，根据弧长公式得到90180l π︒⨯==︒. 通过上述论证可以发现，主动点1C ，点2C 与点O 构成的扇形12C OC 圆心角为90º，半径为2;从动点1P ，2P 与点0构成的扇形12POP 的圆心角为90º，半径为因为两个扇形的圆心角都为90º，所以扇形12C OC :扇形12POP ，相似比为，因此扇形的弧长之比也为1.主动点C 的运动路径长为1902180l ππ︒⨯==︒，故从动点P 的运动路径长为l =.于是得到结论二：“当主动点在一条圆弧上运动，从动点也在一条圆弧上运动时，主动点的起点、终点、某个定点构成的扇形和从动点的起点、终点、某个定点构成的扇形相似”.因此，可以先求出主动点的运动路径长再乘以相似比得到从动点的运动路径长.。
初中数学动点问题解题技巧,动点题解题三步骤,初三数学动点解题思路
双动点问题动点问题是初中数学中的热门问题，也是让人欢喜让人忧的一类问题．其中的数学模型隐藏在变化的运动背后，很多同学容易被这类问题的已知条件迷惑，虽练习很多仍然“闻动色变”，实在爱不起来．但如果会透过现象看本质，找到运动过程中不变的规律，这一类问题又会让人感觉精彩绝伦，回味无穷。
本文就动点问题中如何找到双动点类型中的运动轨迹与大家分享．动点题有时不止一个点在动，如果有两个动点，其中一个随着另一个的运动而运动，题目往往研究第二个动点的一些规律，比如最大最小值，经过的路径长等．解决问题的关键是找到第二个动点的运动轨迹．一、直线型运动1．如图，等边△ABC的边长为4cm，动点D从点B出发，沿射线BC方向移动，以AD为边作等边△ADE。
如图①，在点D从点B开始移动至点C的过程中，求点E移动的路径长．分析：要求点E移动的路径长，首先要确定点E的运动轨迹。
连结CE，如图②,易证△ABD≌△ACE，得∠B=∠ACE=60°，因为∠ACB=60°，所以∠ECF=60°=∠B，所以EC∥AB，故在点D从点B开始移动至点C的过程中,点E的运动轨迹是过点C且平行于AB的一条线段，确定了轨迹，再确定起始与终止位置就可求出路径长．答案：42．已知AB=10，P是线段AB上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作等边△ACP和△PDB，连接CD，设CD的中点为G，当点P从点A运动到点B时，点G移动的路径长是_____．分析：延长AC、BD相交于点E，因为∠A=∠DPB=60°，所以PD∥EA，同理PC∥EB，所以四边形CPDE是平行四边形，连结EP，所以EP、CD互相平分，因为点G为CD的中点，所以EG=PG，所以点G是EP的中点，当点P从点A运动到点B时，点G的运动轨迹是△EAB的中位线MN．答案：5双动点的运动问题中，第二动点的运动轨迹如果是直线型，通常可以找到第二动点所在直线与已知直线的位置关系如平行、垂直等，或者是某一条特殊的直线（或直线上的一部分）如中位线、角平分线等．试一试：1.如图，正方形ABCD的边长为2，动点E从点A出发，沿边AB－BC向终点C 运动，以DE为边作正方形DEFG（点D、E、F、G按顺时针方向排列）．设点E 运动的速度为每秒1个单位，运动的时间为x秒．（1）如图，当点E在AB上时，求证：点G在直线BC上；（2）直接写出整个运动过程中，点F经过的路径长．答案：C在数学中，静中找动，实现从特殊到一般的转化。
初中---轨迹问题(直线型,弧形)
轨迹问题（1）---直线型路径解题策略：“直线生直线”，抓三点：起点，终点，中间点【引例】如图，△APQ 是等腰直角三角形，∠PAQ=90°且AP=AQ ，当点P 在直线BC 上运动时，求Q 点轨迹？【典型例题】《题型1》路径长例1.如图，在ABC ∆中，BC =8，M 是BC 上的一动点，连接AM ，取AM 的中点P ，随着点M 从点B 运动到点C ，则动点P 的路径长为。
例2.已知E 、F 为等边ABC ∆边AB ，AC 上的两动点，连接EF.若AF=BE ，且等边ABC ∆的边长为8，则线段EF 中点Q 的运动路径长为：。
例3.如图，已知点A 是第一象限内横坐标为3的一个定点，AC ⊥x 轴于点M ，交直线y=-x 于点N.若点P 是线段ON 上的一个动点，APB ∠=30°，PA BA ⊥,则点P 在线段ON 上运动时，A 点不变，B 点随之运动.求当点P 从点O 运动到点N 时，点B 运动路径长是。
例4.如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．《题型2》路径中找最值例5.如图，在平面直角坐标系中，A（-3,0），点B是y轴正半轴上一动点，点C、D在x正半轴上，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在y轴上运动时，求OP的最小值．例6.如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上一点，且BE=1，F为AB边上的一个动点，连接EF，以EF为边向右侧作等边△EFG，连接CG，则CG的最小值为．【巩固练习】1.如图，矩形ABCD的边AB=3，AD=4，点E从点A出发，沿射线AD移动，以CE为直径作圓O，点F为圓O与射线BD的公共点，连接EF、CF，过点E作EG EF，EG与圓O相交于点G，连接CG.(1)试说明四边形EFCG是矩形；(2)当圓O与射线BD相切时，点E停止移动，在点E移动过程中，矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个最大值或最小值；若不存在，说明理由；求点G移动路线的长.2.如图：已知AB＝10，点C、D在线段AB上且AC＝DB＝2，P是线段CD上的动点，分别以AP、PB为边在线段AB的同侧作正方形APEF和正方形PBGH，点O1和O2是这两个正方形的中心，连接O1O2，设O1O2的中点为Q；当点P从点C运动到点D时，则点Q移动路径的长是_____________．3.如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB匀速移动到点B，动点Q从点B开始沿边BC匀速移动到点C，如果P、Q两点分别从A、B两点同时出发，同时到达终点，则线段PQ的中点的运动路径长为____________mm．4.如图，AB为⊙O的直径，AB＝4，C为半圆AB的中点，P为上一动点，延长BP至点Q，使BP•BQ＝AB2．若点P由A运动到C，则点Q运动的路径长为___________．5.如图，Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠C＝90°．点P是AB边上一动点，D是AC延长线上一点，且AC＝CD，连接PD，过点D作DE⊥PD，连接PE，且tan∠DPE＝．则当点P从点A 运动到B点时，点E运动的路径长为_______________．6.已知线段AB＝10，C．D是AB上两点，且AC＝DB＝2，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为__________．7.如图，平面直角坐标系中，A（a，0）、B（0，b），其中a、b满足a＝++6，连接AB．（1）求AB的长；（2）若M为x轴上一点，且△ABM为等腰三角形，求点M的坐标；（3）若AB上一动点P从点B开始运动，到A点停止，以OP为边在OB的右侧作等边△OPQ，求在点P运动过程中点Q运动的路径长．轨迹问题（2）---弧型路径（隐形圓）解题策略：找定点，作圆心；求定长，作半径---“定点定长，定角定弦”、“圓生圓”【引例】（圓生圓）1.如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P在圆O运动时，Q点轨迹是？（定角定弦）2.如图，在直线上有两点A，B，在直线外再找一点Q，使∠AQB=60°，则点Q的轨迹是？（定点定长）3.如图，OA⊥OB,垂足为O，排P,Q分别是射线OA，OB上两个动点，点C是线段PQ的中点，且PQ=4，则动点C运动形成的路径长是____________________。
例谈如何解一类_动点运动路径长_问题_马先龙
槡 2 1 1 1例谈如何解一类“动点运动路径长”问题■ 马先龙摘要: 解答中考题时，经常会碰到解“动点运动路径长”问题． 实际解题时，若能先灵活运用“等距法”探究动点轨迹，确定路径，然后通过计算求其长，则能比较顺利地解决问题，本文通过举例说明．关键词:动点; 等距法; 路径长 解答中考题时，经常会碰到一类以动三角形为载 体的“动点运动路径长”问题． 此类问题因综合性较强，考查的知识点较多，加上动点的运动路径又不明 显，因而解答时颇有难度，常常让答题者望而生畏． 实际解题时，若能先灵活运用“等距法”探究动点轨迹， 确定路径，然后再通过计算求其长，则能比较顺利地解决问题． 现举例说明，供读者参考．⊥ C A 交 C A 的延长线于点 M ，作 O N ⊥ B C 于点 N ，则易证 O M = O N ，所以点 O 在∠A C B 的平分线 C O 上运动，从而，点 O 的运动路径为线段，接下来通过计算易求其长．解: 如图 1，因为 △A O P 是等腰直角三角形，所以 O A = O P ，∠A O P = 90°． 连接 C O ，过点 O 作 O M ⊥ C A 交 C A 的延长线于点 M ，作 O N ⊥ B C 于点 N ，则 ∠O MC = ∠O N C = ∠O N P = 90°，又因为∠MC N = 90°，所以 ∠O MC = ∠O N C = ∠MC N = 90°，所以四边形 CM O N 是矩形，所以 ∠M O N = 90°，所以 ∠A O M + ∠A O N =∠P O N + ∠A O N = 90° ，所以 ∠A O M = ∠P O N ． 在∠O M A = ∠O N P = 90° 一、动点的运动路径为一条线段 例 1( 2018 年四川达州市中考) 如图 1，△AOM 和 △PON 中 ， ∠AOM = ∠PON OA = OP，所以Ｒt △A B C 中，∠C = 90°，A C = 2 ，B C = 5，点 D 是 B C 边上一点且 C D = 1，点 P 是线段 DB 上一动点，连接 A P ，以 A P 为斜边在 A P 的下方作等腰 Ｒt △A O P ． 当 P 从点 D 出发运动至点 B 停止时，点 O 的运动路径长为．△A O M ≌ △P O N ( AA S ) ，所以 O M = O N ，所以点 O 在 ∠A C B 的平分线C O 上运动． 如图2，分别作出动点O 的始末位置点 O 1、O 2，则线段 O 1O 2 就是动点 O 的运动路径． 过点 O 1 作 O 1M 1 ⊥ A C 于点 M 1，作 O 1N 1 ⊥ B C 于点 N 1，过点 O 2 作 O 2M 2 ⊥ C A 交 C A 的延长线于点 M 2，作 O 2N 2 ⊥ B C 于点 N 2，由上，易知四边形 CM 2O 2N 2 是矩 形，△A O 2M 2 ≌ △BO 2N 2( AA S ) ，所以 O 2M 2 = O 2N 2， A M 2 = B N 2，所以四边形 CM 2O 2N 2 是正方形，所以 CM 2 = C N 2，所以 CM 2 － A C = B C － CM 2，所以 CM 2 = 1 ( AC + BC ) = 1 × ( 2 + 5) = 7 ，所 以 CO =2 2 2 2图 1图 22 CM = 7 槡2． 同理，可得四边形 CM O N 是正方形， 2 CM = 1 ( A C + C D ) = 1 × ( 2 + 1) = 3，C O = 分析:本题中等腰Ｒt △AOP 的顶点 A 固定，顶点 P在线段 DB 上运动，顶点 O 随之运动． 依题意，可先用 1 2 CM 2 = 3 槡2 ，所以 O O 2 = CO － CO 2= 7 槡2 1－3 槡2 “等距法”探究动点 O 轨迹，确定路径，后求其长． 如图 槡 1 2 1 2 2 1 2 2 1，由条件，易知 O A = O P ，∠A O P = 90°，过点 O 作 O M= 2 槡2 ，所以点 O 的运动路径长为 2 槡2 ．作者简介: 马先龙( 1966 － ) ，男，江苏淮阴人，本科，中学高级教师，主要从事初中数学教学研究·30·评注: 本题考查了动点的运动轨迹，考查了等腰直角三角形的性质，考查了全等三角形的判定和性质，考查了矩形、正方形的判定和性质，考查了角平分线的判定，考查了构造图形法、等距法等数学思想方法的运用［1］． 在探究动点轨迹时，充分抓住等腰 Ｒt △A O P 两腰相等且夹角为直角等重要条件，通过作垂线段构造全等三角形，得到动点 O 到定角 ∠ACB 两边的距离相等这一事实，从而由数量关系引发位置关系，推得动点 O 一定在 ∠ACB 的平分线上运动，进而获得动点的运动路径为一条线段． 接下来，作出动点的始末位置点， 根据图形和已知条件计算路径长则比较容易了．例 2 ( 2018 年湖北荆门市中考) 如图 3，等腰Ｒt △A B C 中，斜边A B 的长为2，O 为A B 的中点，P 为A C 边上的动点，OQ ⊥ O P 交 B C 于点 Q ，M 为 P Q 的中点， 当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路径长为( )( A) 槡2 π ( B) 槡2 πBC 的中点，则 M 1、M 2 也分别是动点 M 的始末位置点， 所以线段 M 1M 2 就是动点 M 的运动路径． 在△ABC 中， 因为 M 1M 2 是 △A B C 的中位线，A B = 2，所以 M 1M 2 =1A B = 1，所以动点 M 所经过的路径长为 1，所以选 2( C) ．评注: 本题考查了动点的运动轨迹，考查了等腰直角三角形的性质，考查了“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一重要定理，考查了线段垂直平分线的判定，考查了三角形的中位线定理，考查了构造图 形法、等距法等数学思想方法的运用． 在探究动点轨迹时，充分抓住了点 M 既为Ｒt △OPQ 斜边 PQ 的中点，又为 Ｒt △PCQ 斜边 PQ 的中点这一重要条件，通过运用直角三角形关于斜边上中线的性质定理，得到动点 M 到定线段OC 两端的距离相等这一事实，从而由数量关系引发位置关系，推得动点 M 一定在线段 CO 的垂直平分线上运动，进而获得动点的运动路径为一条线段． 接下来，根据动点的始末位置，计算路径长唾手可得．4 2 ( C) 1 ( D) 2图 3 图 4分析: 本题中Ｒt △POQ 的顶点O 固定，顶点P 在线段 A C 上运动，P Q 的中点 M 随之运动． 依题意，可先用 “等距法”探究动点 M 轨迹，确定路径，后求其长． 如图 3，连接C O ，M O ，MC ，由题意，易证M O = MC ，所以点M 一定在线段 CO 的垂直平分线上运动，从而推得点 M 的运动路径为线段，接下来通过计算易求路径长．解: 如图 3，连接 C O ，M O ，MC ． 因为 △A B C 是等腰直角三角形，所以 A C = B C ，∠A C B = 90°． 因为 OQ ⊥ O P ，所以∠P OQ = 90°． 在Ｒt △P OQ 与Ｒt △P C Q 中，因为 ∠P OQ = ∠A C B = 90°，M 为 P Q 的中点，所以 M O= MC = 1P Q ，所以点 M 在线段 C O 的垂直平分线 E F2 上运动． 如图 4，在等腰 Ｒt △A B C 中，因为 A C = B C ，O 为 A B 的中点，所以 C O ⊥ A B ，设 M 1、M 2 分别是边 A C 、 二、动点的运动路径为两条( 往返) 线段 例3 ( 2019 年浙江嘉兴市中考) 如图 5，一副含 30° 和45° 的直角三角板 ABC 和 EDF 拼合在一个平面上，边 A C 与 E F 重合，A C = 12 c m ． 当点 E 从点 A 出发沿 AC 方向滑动时，点 F 同时从点 C 出发沿射线 BC 方向滑动． 当点 E 从点 A 滑动到点 C 时，点 D 运动的路径长为c m ．槡 分析: 本题中等腰 Ｒt △DEF 的三个顶点都在运动，其中顶点 E 、F 限制在两条互相垂直的线段上滑动， 等腰 Ｒt △DEF 在运动中形状、大小都保持不变． 依题意，可先用“等距法”探究动点 D 轨迹，分类讨论，确定路径，后求其长． 如图 6，由条件，易知 DE = DF ， ∠E D F = 90°，过点 D 作 D G ⊥ A C 于点 G ，作 D H ⊥ B C 交直线 B C 于点 H ，则易证 D G = D H ，所以动点 D 在 △ABC 的外角∠ACH 的平分线上运动． 依题意，动点 D的运动路径为两条( 往返) 线段，接下来通过计算易求路径长．解: 如图 6，过点 D 作 D G ⊥ A C 于点 G ，作 D H ⊥ B C 交直线 B C 于点H ，则∠D G E = ∠D G C = ∠D H C = 90°，又因为 ∠A C B = 90°，所以 ∠G C H = 90°，所以 ∠D G C = ∠G C H = ∠D H C = 90°，所以四边形 C G D H 是矩形，所以∠G D H = 90°，又因为△E D F 是等腰直角三角形，所以 D E = D F ，∠E D F = 90°，所以 ∠E D G + ∠GDF = ∠FDH + ∠GDF = 90°， 所 以 ∠EDG = ∠F D H ． 在 △E D G 和 △F D H 中，∠D G E = ∠D H F = 90°， 6槡2，所以点 D 运动的路径长为2D 1D 2 = ( 24 － 12槡2) c m ． 评注: 本题考查了动点的运动轨迹，考查了等腰直角三角形的性质，考查了全等三角形的判定和性质，考查了矩形、正方形的判定和性质，考查了角平分线的判定，考查了构造图形法、等距法、特殊位置法、分类讨论 法等数学思想方法的运用． 在探究动点轨迹时，充分抓住等腰 Ｒt △DEF 两腰相等且夹角为直角等重要条件， 通过作垂线段构造全等三角形，得到动点 D 到定角( ∠ACB 的外角) 两边的距离相等这一事实，从而由数量关系引发位置关系，推得动点 O 一定在 △ABC 的外角∠ACH ( 如图7) 的平分线上运动． 对于本题，由于等腰 Ｒt △DEF 的顶点 E 、F 限制在两条互相垂直的线段上滑动，而等腰 Ｒt △DEF 在运动中形状、大小都保持不变，因而导致动点 O 的运动路径为两条( 往返) 线段． 一旦弄清动点 O 的运动路径，计算路径长则立刻变得简单了． 本题对动点 O 运动路径的确定是难点，突破难点的关键是运用动中求静，静中求动的思想，多画几 种动点在不同状态下的图形，从而易获得特殊位置图形，对路径作出正确的判断和分类．∠EDG = ∠FDH DE = DF，所 以 △EDG ≌“解题，就好像游泳一样，是一种实际技能． 当你学习游泳时，你模仿其他人的手足动作使头部保持在水 △F D H ( AA S ) ，所以 D G = D H ，所以动点 D 在 △A B C 的外角 ∠A C H 的平分线上运动． 如图 7，当点 E 沿 A C 方向滑动，使等腰直角三角的板的边DE ⊥ AC 时，作出动点 D 从开始到此时的始末位置点 D 2、D 1，则在这一过程中动点 D 沿线段 D 1D 2 向斜上方方向运动，运动路径为线段 D 1D 2; 如图 8，当点 E 接上一过程沿 A C 方向继续滑动，使等腰直角三角板的斜边 EF 正好落在直线BC 上时，作出动点 D 的始末位置点 D 1、D 2 则在这一过程中动点 D 沿线段 D 2D 1 向斜下方方向运动，运动路径为线段D 2D 1． 如图5，因为等腰直角三角板E D F 的斜边E F = A C = 12 c m ，所以 D E = D F = 槡2E F = 6 2 c m ．2 如图7，易知C D 1 = 6槡2 ，四边形 C E 2D 2F 2 是正方形，从而 C D 2 = E 2F 2 = 12，所以 D 1D 2 = C D 2 － C D 1 = 12 －面上，并最后通过实践来学会游泳． 当试图解题时，你也必须观察并模仿其他人在解题时的行为，并且最后通过实践来学会解题［2］”． 对典型的中考题进行归类解析，可以帮助学生学会模仿、探究、思考，不断感受基 本的数学思想和方法，积累解题经验，从而领会数学的精髓、奥妙，增强解题信心，学会“游泳”，学会解题． 参考文献:［1］ 罗增儒． 数学解题学引论［M ］． 西安: 陕西师范大学出版社，2001． ［2］ 波利亚． 怎样解题［M ］． 上海: 上海科技教育出版社，2007． ［江苏省淮安市淮阴区开明中学( 223300) ］。
轨迹问题解题策略
轨迹问题的解题策略对于初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究动点问题时，可以在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，那么其中不变的量便是该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点，下面就以原文中两个例题来阐明这类动点轨迹问题的解题策略．一、运动路径是线段例1（2012年张家界中考题）如图1，已知线段AB＝6，C、D是AB上两点，且AC＝DB＝1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动的路径长度为_______．解析此题中主动点是P，动点G是因点P的变化而变化，动点P在运动过程中始终保持不变的量是AP＋BP＝6．另外，题中还有不变的量是△APE和△PBF始终为等边三角形．解答此问题需牢牢把握住这两个不变的量，而既然是求动点G的运动轨迹，则需考虑点G是到某条直线的距离保持不变，还是到某个定点的距离保持不变，显然此题首先考虑的是点G是否到直线AB的距离保持不变，因此尝试作GQ⊥AB，垂足为Q．又根据△APE和△PBF均是等边三角形这一性质，不难想到分别作EM⊥AB和FN⊥AB，垂足分别为M，N（如图2）．此时容易得到EM AP ，FN BP ，所以EM ＋FN ＝（AP ＋BP ） ＝再根据梯形中位线的性质，可得到CQ ＝12（EM ＋FN ）＝2． 因此得到点G 到直线AB 的距离始终保持不变，从而得证点G 的运动轨迹是一条线段．而此时就点G 的运动路径长，便可转化为求点Q 的运动路径长，这时只要分别求出点P 在C 点和D 点时AQ 的长度即可．当点P 在点C 时（如图3），MQ 1＝12MN ＝32，所以AQ 1＝AM ＋MQ 1＝12＋32＝2．当点P 在点D 时（如图4），MQ 2＝12MN ＝32，所以AQ 2＝AM ＋MQ 2＝5322 ＝4．所以点G 运动的路径长为4－2＝2．事实上，点G 在运动过程中，MQ 的长度也是始终保持不变，因此G 的运动路径长度就是M 点的运动路径长度，而整个运动过程中M 点是从AC 的中点运动到AD 的中点，即M 1M 2(如图5)．笔者认为，如果用这样的方式去分析问题，那么最终学生头脑中对整个变化过程会有一个全面而清晰的了解．此题的解题思路中还体现了转化思想，对培养学生的数学思维是有积极作用的．二、运动路径是圆弧例2（2011年湖州中考题）如图6，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．(1)求点D的坐标（用含m的代数式表示）；(2)当△APD是等腰三角形时，求m的值；(3)设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．（不必写解答过程）解析 (1)、(2)略．(3)此题中主动点是P，动点H是因点P的变化而变化．动点P在运动过程中始终保持不变的量是OH始终垂直ME，即日始终为垂足．而求动点H的运动轨迹，则需考虑点H是到某条直线的距离始终不变，还是到某个定点的距离始终保持不变．由于OH⊥ME，连结OM后，△AMH始终为直角三角形，而斜边OM不变，因此根据直角三角形的性质容易得到动点日到DM的中点的距离始终不变，从而可得到点H的运动轨迹是一段圆弧．下面只需确定圆弧的度数即可，即要找到动点H的始点和终点，根据图形的变化容易分析得动点H无限接近点C，因此可将点C定为动点H的终点．当点P在O点时，点H在始点，记为H1，由对称性可知，此时点E的坐标为(3，0)，作MN⊥OE，垂足为N，取DM的中点F，再连结FC、F H1（如图8）．因为M点的坐标为(1，2)，所以可得MN＝NE＝2，所以得到∠MEN＝45°，所以∠H1OE＝45°，所以∠H1OC＝45°．因为C，D，H1，M四点共圆，所以∠CFH1＝90°．又因为FC＝OM＝2，所以弧CH1的长为：902180π•=，所以点H所经过的路径长为．以上两个例题刚好反映了初中数学轨迹问题中的两种典型情况．此类问题的解题策略便是确定动点到定直线的距离保持不变，还是到定点的距离保持不变．沿着这个思路走下去，便能找到变化过程中不变的量，从而找到解题的突破口．。
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动点路径长的解题策略
智慧锦囊
初中数学中动点轨迹的问题，一般有两种情况：线段或圆弧．在研究此问题时，可以分三步：
(1).利用函数描点法大胆猜想:即对目标点描出它的起点、中点、末点时的位置，连接起来，猜想它是什么形状；
（2）寻找不变量，严格证实猜想：
在运动中寻找不变的量，即不变的数量关系或位置关系．如果动点的轨迹是一条线段，那么其中不变的量便是该动点到某条直线的距离始终保持不变；如果动点的轨迹是一段圆弧，则该动点到某个定点的距离始终保持不变．因此，解决此类动点轨迹问题便可转化为寻找定直线或定点.
（3）利用特殊值算出动点路径长
动点轨迹往往是直线或者圆的一部分。
①线段。
当动点到某条直线或线段的距离相等时，动点的轨迹很可能是条线段；②当动点是一个固定角的顶点时，轨迹很可能是条弧。
③当动点到某定点的长度一定时，轨迹是一条圆弧.
范例点睛
例1（2012张家界）如图1，已知线段AB=6，C、D是AB上两点，且AC=DB=1，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等边三角形APE和等边三角形PBF，G为线段EF的中点，点P由点C移动到点D时，G点移动路径长度为_______．
例2（2011湖州）如图，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点．P(0，m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB延长线于点D．设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交予点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H(如图7)．当点P从点O向点C运动时，点H也随之运动，请直接写出点H所经过的路径长．
本王闯关
1.∠O的内部有一滑动杆AB，当端点A沿直线AO向下滑动时，端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动，如果滑动杆从图中AB处滑动到A′B′处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（）
A．直线的一部分 B．圆的一部分 C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分
2.（2013•湖州）如图，已知点A是第一象限内横坐标为23的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点
N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是．
3.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是BC边的中点，动点P、Q在正方形的边上运动,且PQ=
4.若点P从点A 出发,沿ABE的路线向点E运动,相应的,点Q在DA、AB上运动。
则点P从A到E的运动过程中，PQ的中点O所经过的路径长等于
二、计算与证明
1.（2014•金华）等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E，F，连接AF，BE相交于点P．若AF=BE，当点E从点A运动到点C时，试求点P经过的路径长．
2. (2012福州)如图,在Rt△ABC中，∠C=90º,AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC,交AB于点D,连接PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒（t≥0），在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长.
3.（2014•连云港）已知线段AB=8．
（1）如图1，以AB为边作正方形ABCD，动点P、Q在正方形ABCD的边上运动，且PQ=8．若点P从点A出发，沿A→B→C→D的线路，向点D运动，求点P从A到D的运动过程中，PQ的中点O所经过路径长．
（2）如图2，以AP、 PB为边作两个正方形。
若点M、N是线段AB上的两点，且AM=BN=1，点G、H分别是边CD、EF的中点，请直接写出点P从M到N的运动过程中，GH的中点O所经过的路径的长．
4.(2010南京)如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF垂线交射线BC于点G，连结EG、FG。
P是MG中点，请直接写出点P运动路线长。
5.（2014烟台）在正方形ABCD 中，动点E ，F 分别从D ，C 两点同时出发，以相同的速度在直线DC ，CB 上移动．当E ，F 分别在边DC ，CB 上移动时，连接AE 和DF 交于点P ，由于点E ，F 的移动，使得点P 也随之运动，请你画出点P 运动路径的草图．若AD=2，试求出线段CP 的最小值．
6.在等腰三角形ABC 和等腰三角形ADE 中，
∠BAC=∠DAE=120º,AB=2，AD=3，点A 、B 、D 在同一条直线上，将△ADE 绕点A 旋转180º，在旋转过程中，直线BD 、CE 的交点为点F.
(1)当点F 与点B 、C 均不重合时，请直接写出∠BFC 的度数；
（2）请直接写出点F 经过的路径的长度
编者----武晓鲁 A
C E
D B。