最小元素法

什么是最小元素法[1]

最小元素法是找出运价表中最小的元素，在运量表内对应的格填入允许取得的最大数，若某行(列)的产量(销量)已满足，则把运价表中该运价所在行(列)划去；找出未划去的运价中的最小数值，按此办法进行下去，直至得到一个基本可行解的方法。

注：应用西北角法和最小元素法，每次填完数，都只划去一行或一列，只有最后一个元素例外（同时划去一行和一列）。当填上一个数后行、列同时被满足（也就是出现退化现象）时，也只任意划去一行（列）。需要填入“0”的位置不能任意确定，而要根据规则来确定。

所谓退化现象是指：当在平衡表中某一处填入一数字后，该数字所在的行和列同时被满足，即需方的需求得到满足，同时供方的供应数量也已经供完的现象。

最小元素法的基本思想是：运价最小的优先调运，即从单位运价中最小的运价开始确定供销关系，然后次小，一直到给出初始基本可行解为止。

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最小元素法的例子[1]

第一步：列出运价表和调运物资平衡表。

运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。

第二步：编制初始调运方案。

首先，在运价表中找出最小的数值(若几个同为最小，则任取其中一个)，A

2B1最小，数值为1，这表示先将A2产品供应给B1 是最便宜的，故应给C21所对应的变量x21以尽可能大的数值。

显然x

21=min{4,3}=3。在表4中的A2B1处填上“3”。B1列被满足，已不需要A1和A3再向它供货，故运价表2中的第一列数字已不起作用，因此将原运价表1中的第一列划去，并标注①（见表3）。

然后，在运价表中未划去的元素中找最小运价A

2B3 = 2，让A2尽量供应满足B3的需要，由

于A

2的4已经供应了3T给B1，最多只能供应1T给B3。于是在平衡表的A2B3格中填上“1”；相

应地由于A

2所生产的产品已全部供应完毕，因此，在运价表中与A2同行的运价也不再起作用，所以也将它们划去，并标注②。

仿照上面的做法，一直做下去，就可以得到表4。

此时，在运价表中只有A

1B4对应的运价10没有划掉，而B4尚有3T需求，为了满足供需平

衡，所以最后在平衡表上对应A

1B4处应填入“3”，这样就得到表5。

对于编制初始方案说明以下几点：应用最小元素法编制初始调运方案，这里的“最小”系指局部而言，就整体考虑的运费不见得一定是最小的。可以作为初始方案的调运方案，其填有数字的方格数应是供应点个数加需求点个数之和再减1，即（m+n-1）。

第三步：初始方案的检验与调整。

西北角法的例子[1]

从表1中可知，总的产量=总的销量，故产销是平衡的。

第一步：列出运价表和调运物资平衡表。

运用表上作业法时，首先要列出被调运物资的运价表和供需平衡表（简称平衡表），如表1，2所示。

第二步：编制初始调运方案。

首先在表2的西北角方格（即左上角方格，对应变量x

11），尽可能取最大值：

x

11=min{3,7}=3

将数值3填入该方格(见表3)。由此可见x

21,x31必须为0，即第一列其他各方格都不能取非零

值，划去第一列。在剩下的方格中，找出其西北角方格x

12，

x

12=min{6,7-3}=4

将4填入它所对应方格，第一行饱和，划去该行。再找西北角方格x

22，

x

22=min{6-4,4}=2

将2填入x

22所对应方格，于是第二列饱和，划去该列。继续寻找西北方格为x23，

x

23=min{5,4-2}=2

将2填入x

23所对应方格，第二行饱和，划去该行。剩下方格的西北角方格为x33，

x

33=min{5-2,9}=3

将3填入x

33所对应方格，第三列饱和，划去该列。最后剩下x34方格，取x34 = 6。

这样我们就找到了m＋n-1＝3＋4-1＝6个基变量，它们为：x

11 = 3,x12 = 4,x22 = 2,x23 = 2,x33 = 3,x34 = 6。显然它们用折线连接后不形成闭回路。这就是西北角法所找初始基可行解，所对应的目标值为：

2×200＋1×250＋3×150＋1×150＋3×250＋3×300＋4×200＝4000

我们找到的初始基可行解可通过各行方格中数值之和是否等于产量，各列方格中数值之和是否等于销量来简单验证。

利用西北角法找初始基可行解简单可行，但也存在问题。例如在表3中可见c

35 = 4，单价高于该行其他各方格，最简单想法是单价小的情况下多运些货物，这样总运费会更小些，最小元素法就改进了西北角法的缺点。