平行线的判定(1)

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5.2.2 平行线的判定(1)

E G A
1
3 2 C F H 5 4
B
D
打开课本第13页，如图5.2-7，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
如图，已知∠1=∠2，AB与CD平行吗？为什么？ E
∠1 =∠2（已知），
C 1
3
D B

∠1 =∠3. F AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
∠2 =∠3（对顶角相等）， A
C
∠2 +∠3=180°（邻补角互补），
3
2 1
D B
∠1 =∠3（同角的补角相等）. A AB∥CD(内错角相等，两直线平行).
F

探究2
如图，已知∠1+∠2=180°，AB与 CD平行吗？为什么？
∠1 +∠2=180°（已知），
C
E 3
∠2 +∠3=180°（邻补角互补），
2 1
F
D B
应用练习
4. 打开课本第14页，做练习第1、2题.
两条直线被第三条直线所截
同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行.
布置作业
作业： 1. 习题5.2 第4、5、7题. 2.选做题：习题5.2 第8题.
应用练习
2.如图, 如果∠2=∠6，那么 AD ∥ BC ，如果 AD BC ∠3+∠4+∠5+∠6=180°，那么___∥_____，如果 ∠BAD ，那么AD∥BC，如果∠7= ∠BCD ， ∠7=_____ 那么AB∥CD.
A 6 1 B 7 2 5 3 4 C D

应用练习
b 被直线 c 所截，现给 3.如图所示，直线 a ，出下列四个条件：①∠1=∠5；②∠1=∠7； ③∠2+∠3=180°；④∠4=∠7.其中能说明 a ∥ b 的条件序号为（ A ） A.①② B.①③ C.①④ D.③④

平行线的判定及性质[1]

平行线的判定与性质练习（一）重要知识点：简称：同位角相等，两直线平行简称：内错角相等，两直线平行简称：同旁内角互补，两直线平行几何符号语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）请同学们注意书写的顺序以及前因后果，平行线的判定是由角相等，然后得出平行。

平行线的判定是写角相等，然后写平行。

判断以下说法是否准确，假设不准确，请给予改正：⑴不相交的两条直线必定平行线。

⑵在同一平面内不相重合的两条直线，假设它们不平行，那么这两条直线一定相交。

⑶过一点能够且只能够画一条直线与已知直线平行如图，根据以下条件，能够判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？2、平行线的性质：性质1：两直线平行，同位角相等；性质2：两直线平行，内错角相等；性质3：两直线平行，同旁内角互补。

A BC DEF1234A BE134几何符号语言： ∵AB ∥CD∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB ∥CD∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB ∥CD∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补）3、两条平行线的距离如图，直线AB ∥CD ，EF ⊥AB 于E ，EF ⊥CD 于F ，则称线段EF 的长度为两平行线AB 与CD 间的距离。

4、命题：⑴命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题。

⑵命题的组成每个命题都是题设、结论两部分组成。

题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项。

命题常写成“假设……，那么……”的形式。

具有这种形式的命题中，用“假设”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

有些命题，没有写成“假设……，那么……”的形式，题设和结论不明显。

对于这样的命题，要经过度析才能找出题设和结论，也能够将它们改写成“假设……，那么……”的形式。

注意：命题的题设（条件）部分，有时也可用“已知……”或者“若……”等形式表述；命题的结论部分，有时也可用“求证……”或“则……”等形式表述。

第05讲平行线的判定(1个知识点+5类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)七年级数学下册

第05讲平行线的判定课程标准学习目标①平行的判定方法1.掌握同位角相等判定两直线平行，内错角相等判定两直线平行，同旁内角互补判定两直线平行，并能够熟练选择判定方法。

2.能够利用平行公理的推论以及垂直于同一直线的两直线平行判定两直线平行。

知识点01平行线的判定1.同位角相等，两直线平行：①判定内容：两条直线被第三条所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

简单说成同位角相等，两直线平行。

②符号语言：若∠NEB＝∠NFD，则AB∥CD。

2.内错角相等，两直线平行：①判定内容：两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。

简单说成内错角相等，两直线平行。

②符号语言：若∠AEM＝∠DFN，则AB∥CD。

3.同旁内角互补，两直线平行：①判定内容：两条直线被第三条所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行。

简单说成同旁内角互补，两直线平行。

②符号语言：若∠BEM＋∠DFN＝180°，则AB∥CD。

利用同位角、内错角以及同旁内角判定平行时，平行线一定是这些角不公共的边。

4.平行公理的推论判定平行：①判定内容：平行于同一直线的两直线平行。

②符号语言：若a∥b，a∥c，则b∥c5.垂直判定平行：①判定内容：垂直于同一直线的两直线平行。

②符号语言：a⊥b，a⊥c，则b∥c【即学即练1】1．如图，点E在BC延长线上，下列条件中，不能推断AB∥CD的是（）A．∠4＝∠3B．∠1＝∠2C．∠B＝∠5D．∠B+∠BCD＝180°【分析】根据平行线的判定定理对各选项进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，无法得出AB∥CD，故本选项错误；B、∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故本选项正确；C、∵∠B＝∠5，∴AB∥CD，故本选项正确；D、∵∠B+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，故本选项正确．故选：A．【即学即练2】2．对于同一平面内的三条直线a，b，c，下列命题中不正确的是（）A．若a∥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，a⊥c，则b⊥cC．若a∥b，a⊥c，则b⊥c D．若a⊥b，a⊥c，则b∥c【分析】根据平行公理的推论“如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行”和“垂直于同一条直线的两直线平行”进行分析判断．【解答】解：A．a∥b，b∥c，则a∥c，正确；B．a⊥b，a⊥c，则b∥c，故错误；C．a∥b，a⊥c，则b⊥c，正确；D．a⊥b，a⊥c，则b∥c，正确；故选：B．题型01确定判定两直线平行的条件【典例1】如图，能推断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠5B．∠2＝∠4C．∠1＝∠2+∠3D．∠D+∠4+∠5＝180°【分析】根据平行线的判定定理（①同位角相等，两直线平行，②内错角相等，两直线平行，③同旁内角互补，两直线平行）判断即可．【解答】解：A、∵∠3＝∠5，∴BC∥AD，不能推出AB∥CD，故本选项错误；B、∵∠2＝∠4，∴AB∥CD，故本选项正确；C、∵∠1＝∠2+∠3，∴∠1＝∠BAD，∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本选项错误；D、∵∠D+∠4+∠5＝180°，∴BC∥AD，不能推出AB∥DC，故本选项错误；故选：B．【变式1】如图，下列条件中，不能判定l1∥l2的是（）A．∠1＝∠3B．∠2+∠4＝180°C．∠2＝∠3D．∠4+∠5＝180°【分析】直接利用平行线的判定方法分别分析得出答案．【解答】解：A、∵∠1＝∠3，∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；B、∵∠2+∠4＝180°，∴直线l1∥l2，故此选项不合题意；C、∠2＝∠3，不能得出直线l1∥l2，故此选项符合题意；D、∵∠2＝∠5，∠4+∠5＝180°，∴∠4+∠2＝180°，∴直线l1∥l2，故此选项不合题意．故选：C．【变式2】如图，下列推理中正确的是（）A．若∠1＝∠2，则AD∥BC B．若∠1＝∠2，则AB∥DC C．若∠A＝∠3，则AD∥BC D．若∠3＝∠4，则AB∥DC 【分析】根据平行线的判定判断即可．【解答】解：A、根据∠1＝∠2不能推出AD∥BC，故本选项错误；B、根据∠1＝∠2能推出AB∥DC，故本选项正确；C、根据∠A＝∠3不能推出AD∥BC，故本选项错误；D、根据∠3＝∠4不能推出AB∥DC，故本选项错误．故选：B．【变式3】如图，点D是△ABC的边BC延长线上一点，射线CE在∠ACD内部，下列条件中能判定AB∥CE的是（）A．∠A＝∠ACE B．∠B＝∠ACB C．∠A＝∠ECD D．∠B＝∠ACE【分析】根据平行线的判定方法即可求解．【解答】解：A选项，∠A＝∠ACE，内错角相等，两直线平行，故符合题意；B选项，∠B＝∠ACB，不能判定AB∥CE，故不符合题意；C选项，∠A＝∠ECD，不能判定AB∥CE，故不符合题意；D选项，∠B＝∠ACE，不能判定AB∥CE，故不符合题意；故选：A．【变式4】如图，下列推理中正确的是（）A．∵∠1＝∠4，∴BC∥ADB．∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴BC∥ADC．∵∠2＝∠3，∴AB∥CDD．∵∠CBA+∠C＝180°，∴BC∥AD【分析】结合图形分析相等或互补的两角之间的关系，根据平行线的判定方法判断．【解答】解：A、∵∠1＝∠4，∴AB∥CD，故选项错误，不符合题意；B、∵∠BCD+∠ADC＝180°，∴AD∥BC，故选项正确，符合题意；C、∵∠2＝∠3，∴BC∥AD，故选项错误，不符合题意；D、∵∠CBA+∠C＝180°，∴AB∥CD，故选项错误，不符合题意．故选：B．【变式5】如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：①∠1＝∠3；②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；④∠5+∠8＝180°．其中能判定a∥b的条件的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：能判断a∥b的条件是：②∠4＝∠8；③∠1+∠6＝180°；故选：B．【变式6】若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论正确的是（）A．∠1＝∠2B．如果∠2＝30°，则有AC∥DEC．如果∠2＝45°，则有∠4＝∠DD．如果∠2＝50°，则有BC∥AE【分析】根据平行线的判定和性质一一判断即可【解答】解：∵∠CAB＝∠DAE＝90°，∴∠1＝∠3，故A错误．∵∠2＝30°，∴∠1＝∠3＝60°∴∠CAE＝90°+60°＝150°，∴∠E+∠CAE＝180°，∴AC∥DE，故B正确，∵∠2＝45°，∴∠1＝∠2＝∠3＝45°，∵∠E+∠3＝∠B+∠4，∴∠4＝30°，∵∠D＝60°，∴∠4≠∠D，故C错误，∵∠2＝50°，∴∠3＝40°，∴∠B≠∠3，∴BC不平行AE，故D错误．故选：B．【变式7】以下四种沿AB折叠的方法中，不一定能判定纸带两条边线a，b互相平行的是（）A．如图A，展开后测得∠1＝∠2B．如图B，展开后测得∠1＝∠2且∠3＝∠4C．如图C，测得∠1＝∠2D．如图D，测得∠1＝∠2【分析】根据平行线的判定定理，逐一进行分析，即可解答．【解答】解：A、∠1＝∠2，根据内错角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；B、∵∠1＝∠2且∠3＝∠4，由图可知∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故正确，不符合题意；C、测得∠1＝∠2，∵∠1与∠2既不是内错角也不是同位角，∴不一定能判定两直线平行，故错误，符合题意；D、∠1＝∠2，根据同位角相等，两直线平行进行判定，故正确，不符合题意；故选：C．题型02添加判定条件判定平行【典例1】如图，请填写一个条件∠2＝∠4，使a∥b．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：填写条件∠2＝∠4，理由如下：∵∠2＝∠4，∴a∥b（内错角相等，两直线平行），故答案为：∠2＝∠4（答案不唯一）．【变式1】如图，要得到AE∥BG的结论，需要添加的条件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．（写出一个正确答案即可）【分析】∠EDC与∠BCD为内错角，可利用内错角相等，两直线平行判定平行线．【解答】解：要得到AE∥BG的结论，则需要角相等的条件是∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．故答案为：∠EDC＝∠BCD（答案不唯一）．【变式2】如图：请写出一个条件：∠B＝∠BCD，使AB∥CD．理由是：内错角相等，两直线平行．【分析】可以写一个条件内错角∠B＝∠BCD，所以两直线AB∥CD．【解答】解：可以写一个条件：∠B＝∠DCE；∵∠B＝∠BCD；∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；故答案为：∠B＝∠BCD．题型03根据判定条件求值【典例1】如图，已知∠1＝85°，下列条件能判断AB∥CD的是（）A．∠2＝75°B．∠3＝85°C．∠3＝95°D．∠4＝95°【分析】根据平行线的判定条件逐一判断即可．【解答】解：A、∵∠1＝85°，∠2＝75°，∴∠1≠∠2，∴AB与CD不平行，不符合题意；B、∵∠1＝85°，∠3＝85°，∴∠1+∠3＝170°≠180°，∴AB与CD不平行，不符合题意；C、∵∠1＝85°，∠3＝95°，∴∠1+∠3＝180°，∴AB∥CD，符合题意；D、由∠1＝85°，∠4＝95°无法证明AB∥CD，不符合题意；故选：C．【变式1】如图是小明探索直线平行的条件时所用的学具，木条a，b，c在同一平面内，经测量，要使木条a∥b，∠2＝110°，要使木条a与b平行，则∠1的度数应为（）A．20°B．70°C．110°D．160°【分析】先求出∠2的对顶角的度数，再根据同旁内角互补，两直线平行解答．【解答】解：如图，∵∠2＝110°，∴∠3＝∠2＝110°，∴要使b与a平行，则∠1+∠3＝180°，∴∠1＝180°﹣110°＝70°．故选：B．【变式2】如图，分别将木条a，b与固定的木条c钉在一起，∠1＝50°，∠2＝80°，顺时针转动木条a，下列选项能使木条a与b平行的是（）A．旋转30°B．旋转50°C．旋转80°D．旋转130°【分析】根据平行线的判定定理即可求解．【解答】解：在图中标注出∠3，如图所示：若a∥b，则∠2＝∠3，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠2＝50°，故应将木条a顺时针转动30°．故选：A．【变式3】如图，将木条a，b与c钉在一起，∠1＝85°，∠2＝50°，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是（）A．15°B．25°C．35°D．50°【分析】根据同位角相等两直线平行，求出旋转后∠2的同位角的度数，然后用∠1减去即可得到木条a 旋转的度数．【解答】解：∵∠AOC＝∠2＝50°时，OA∥b，∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是85°﹣50°＝35°．故选：C．【变式4】如图，直线EF上有两点A、C，分别引两条射线AB、CD，∠DCF＝60°，∠EAB＝70°，射线AB、CD分别绕A点，C点以1度/秒和4度/秒的速度同时顺时针转动，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与AB平行所有满足条件的时间＝秒或秒．【分析】分①AB与CD在EF的两侧，分别表示出∠ACD与∠BAC，然后根据内错角相等两直线平行，列式计算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解；③CD旋转到与AB都在EF的左侧，分别表示出∠DCF与∠BAC，然后根据同位角相等两直线平行，列式计算即可得解．【解答】解：∵∠EAB＝70°，∠DCF＝60°，∴∠BAC＝110°，∠ACD＝120°，分三种情况：如图①，AB与CD在EF的两侧时，∠ACD＝120°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠ACD＝∠BAC，即120°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；②CD旋转到与AB都在EF的右侧时，∠DCF＝360°﹣（4t）°﹣60°＝300°﹣（4t）°，∠BAC＝110°﹣t°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即300°﹣（4t）°＝110°﹣t°，解得t＝；③CD旋转到与AB都在EF的左侧时，∠DCF＝（4t）°﹣（180°﹣60°+180°）＝（4t）°﹣300°，∠BAC＝t°﹣110°，要使AB∥CD，则∠DCF＝∠BAC，即（4t）°﹣300°＝t°﹣110°，解得t＝﹣，∴此情况不存在．综上所述，当时间t的值为或秒时，CD与AB平行．故答案为：秒或秒．【变式5】如图，已知∠1＝（3x+24）°，∠2＝（5x+20）°，要使m∥n，那么∠1＝75（度）．【分析】直接利用邻补角的定义结合平行线的性质得出答案．【解答】解：如图所示：∠1+∠3＝180°，∵m∥n，∴∠2＝∠3，∴∠1+∠2＝180°，∴3x+24+5x+20＝180°，解得：x＝17，则∠1＝（3x+24）°＝75°．故答案为：75．题型04平行公理的推论以及判定平行【典例1】如果b∥a，c∥a，那么b∥c．【分析】根据平行公理推论求解即可．【解答】解：如果b∥a，c∥a，那么b∥c（平行于同一直线的两直线平行），故答案为：b∥c．【典例2】同一平面内三条直线a、b、c，若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是：a∥c．【分析】根据平行线的性质：垂直于同一直线的两条直线互相平行可知直线a与直线c的关系是平行．【解答】解：∵a⊥b，c⊥b，∴a∥c．故答案为：a∥c．【变式1】若直线a，b，c，d有下列关系，则推理正确的是（）A．∵a∥b，b∥c，∴c∥d B．∵a∥c，b∥d，∴c∥dC．∵a∥b，a∥c，∴b∥c D．∵a∥b，c∥d，∴a∥c【分析】根据平行公理及推论，逐一判断即可解答．【解答】解：A、∵a∥b，b∥c，∴c∥a，故A不符合题意；B、∵a∥c，b∥d，∴c与d不一定平行，故B不符合题意；C、∵a∥b，a∥c，∴b∥c，故C符合题意；D、∵a∥b，c∥d，∴a与c不一定平行，故D不符合题意；故选：C．【变式2】a、b、c是直线，下列说法正确的是（）A．若a⊥b，b∥c，则a∥c B．若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．若a∥b，b⊥c，则b∥c D．若a∥b，b∥c，则a∥c【分析】根据平行公理以及平行线的性质判断即可．【解答】解：A、在同一平面内，若a⊥b，b∥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；B、在同一平面内，若a⊥b，b⊥c，则a∥c，原说法错误，不符合题意；C、在同一平面内，若a∥b，b⊥c，则a⊥c，原说法错误，不符合题意；D、若a∥b，b∥c，则a∥c，正确，符合题意．故选：D．【变式3】同一平面内有四条直线a、b、c、d，若a∥b，a⊥c，b⊥d，则c、d的位置关系为（）A．互相垂直B．互相平行C．相交D．没有确定关系【分析】作出图形，根据平行公理的推论解答．【解答】解：如图，∵a∥b，a⊥c，∴c⊥b，又∵b⊥d，∴c∥d．故选：B．题型05平行线的判定证明【典例1】如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这时说管道AB∥CD对吗？为什么？【分析】由已知∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，即∠ABC+∠BCD＝120°+60°＝180°，可得关于AB ∥CD的判定条件：同旁内角互补，两直线平行．【解答】解：说管道AB∥CD是对的．理由：∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°∴∠ABC+∠BCD＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．【典例2】直线AB，CD被直线EF所截，∠1＝∠2，直线AB和CD平行吗？为什么？【分析】根据对顶角相等可得∠1＝∠3，再根据∠1＝∠2，可推出∠2＝∠3，根据同位角相等，两直线平行可推出AB∥CD．【解答】解：AB∥CD，理由：∵∠1＝∠2，∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AB∥CD．【典例3】如图，∠1＝47°，∠2＝133°，∠D＝47°，那么BC与DE平行吗？AB与CD呢？为什么？【分析】由于∠1＝47°，∠2＝133°，则∠ABC+∠2＝180°，根据平行线的判定方法得到AB∥CD；然后利用平角的定义计算出∠BCD＝180°﹣133°＝47°，则∠BCD＝∠D，根据平行线的判定即可得到BC∥DE．【解答】解：BC∥DE，AB∥CD．理由如下：∵∠1＝47°，∠2＝133°，而∠ABC＝∠1＝47°，∴∠ABC+∠2＝180°，∴AB∥CD；∵∠2＝133°，∴∠BCD＝180°﹣133°＝47°，而∠D＝47°，∴∠BCD＝∠D，∴BC∥DE．【变式1】如图，GH分别交AB、CD于点E、F，∠AEF＝∠EFD．（1）试写出AB∥CD的依据；（2）若ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，则EM、FN平行吗？若平行，请说明理由．【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行，推出即可；（2）根据角平分线定义求出∠MEF＝∠NFE，根据内错角相等，两直线平行，推出即可．【解答】（1）证明：∵∠AEF＝∠EFD，∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．（2）EM∥FN，证明：∵ME是∠AEF的平分线，FN是∠EFD的平分线，∴∠MEF＝∠AEF，∠NFE＝∠EFD，∵∠AEF＝∠EFD，∴∠MEF＝∠NFE，∴EM∥FN（内错角相等，两直线平行）．【变式2】已知：如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于EF，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【分析】先根据垂直的定义可得∠APQ+∠2＝90°，再结合∠1+∠2＝90°可得∠APQ＝∠1，然后根据“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．【解答】证明：∵PM⊥EF（已知），∴∠APQ+∠2＝90°（垂直定义）．∵∠1+∠2＝90°（已知），∴∠APQ＝∠1（同角的余角相等），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．【变式3】已知：如图，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，BE⊥FD于点G．求证：AB∥CD．【分析】先由BE⊥FD，得∠1和∠D互余，再由已知，∠C＝∠1，∠2和∠D互余，所以得∠C＝∠2，从而证得AB∥CD．【解答】证明：∵BE⊥FD，∴∠EGD＝90°，∴∠1+∠D＝90°，又∠2和∠D互余，即∠2+∠D＝90°，∴∠1＝∠2，又已知∠C＝∠1，∴∠C＝∠2，∴AB∥CD．1．下列画出的直线a与b不一定平行的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线的判定定理即可解答．【解答】解：A．直线a与b不一定平行，故本选项符合题意；B．根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；C．根据平行线的定义可得a∥b，故本选项不符合题意；D．根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故本选项不符合题意；故选：A．2．如图，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠4B．∠D+∠ACD＝180°C．∠D＝∠DCE D．∠1＝∠2【分析】根据平行线的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、∠3＝∠4可判断DB∥AC，故此选项错误；B、∠D+∠ACD＝180°可判断DB∥AC，故此选项错误；C、∠D＝∠DCE可判断DB∥AC，故此选项错误；D、∠1＝∠2可判断AB∥CD，故此选项正确；故选：D．3．如图，下列四组条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠1＝∠2B．∠3＝∠4C．∠ABC+∠BCD＝180°D．∠BAD+∠ABC＝180°【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可．【解答】解：∵∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD．故选：C．4．蜂房的顶部由三个全等的四边形围成，每个四边形的形状如图所示，其中∠α＝109°28′，∠β＝70°32′．则这个四边形对边的位置关系为（）A．平行B．相等C．垂直D．不能确定【分析】先计算两角的和得180°，再根据平行线判定定理“同旁内角互补，两直线平行”即可得出这个四边形对边的位置关系．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．【解答】解：如图标字母，∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ADC＝∠β＝70°32′∴∠BAD+∠ADC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）∵∠BAD＝∠α＝109°28′，∠ABC＝∠β＝70°32′∴∠BAD+∠ABC＝∠α+∠β＝109°28′+70°32′＝179°60′＝180°，∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故选：A．5．如图所示，由下列条件能判定AB∥CD的是（）A．∠BAC＝∠DAC B．∠DAC＝∠ACBC．∠BAC＝∠DCA D．∠D+∠DCB＝180°【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【解答】解：由∠BAC＝∠DAC，不能判定AB∥CD，故A不符合题意；∵∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC，故B不符合题意；∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，故C符合题意；∵∠D+∠DCB＝180°，∴AD∥BC，故D不符合题意；故选：C．6．如图所示，下列条件中，能判断AB∥CD的是（）A．∠BAD＝∠BCD B．∠1＝∠2C．∠BAC＝∠ACD D．∠3＝∠4【分析】两条直线被第三条所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行，据此进行判断即可．【解答】解：A．根据∠BAD＝∠BCD，不能判断AB∥CD；B．根据∠1＝∠2，只能判断AD∥BC；C．根据∠BAC＝∠ACD，能判断AB∥CD；D．根据∠3＝∠4，不能判断AB∥CD；故选：C．7．如图，固定木条b、c，使∠1＝80°，旋转木条a，要使得a∥b，则∠2应调整为（）A．70°B．80°C．90°D．100°【分析】根据同旁内角互补两直线平行，求出∠2的度数即可．【解答】解：要使得a∥b，则需满足∠1+∠2＝180°，∵∠1＝80°，∴∠2＝100°，故选：D．8．如图，下列推理不正确的是（）A．∵∠1＝∠2，∴AB∥CD B．∵∠1＝∠2，∴AD∥BCC．∵∠3＝∠4，∴AD∥BC D．∵∠4＝∠5，∴AB∥CD【分析】根据平行线的判定定理判断求解即可．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故A正确，不符合题意；∵∠1＝∠2，∴AB∥CD，故B不正确，符合题意；∵∠3＝∠4，∴AD∥BC，故C正确，不符合题意；∵∠4＝∠5，∴AB∥CD，故D正确，不符合题意；故选：B．9．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是（）A．内错角相等，两直线平行B．同位角相等，两直线平行C．两直线平行，同位角相等D．两直线平行，内错角相等【分析】根据题目的已知条件并结合图形进行分析，然后根据内错角相等，两直线平行，即可解答．【解答】解：在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以画出两条互相平行的直线l1与l2这样画的依据是：内错角相等，两直线平行，故选：A．10．下列说法正确的是（）A．a、b、c是直线，若a⊥b，b∥c，则a∥cB．a、b、c是直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥cC．a、b、c是直线，若a∥b，b⊥c，则a∥cD．a、b、c是直线，若a∥b，b∥c，则a∥c【分析】根据平行线的性质和判定逐个判断即可．【解答】解：A、∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c，故本选项错误；B、在同一平面内，当a⊥b，b⊥c时，a∥c，故本选项错误；C、当a∥b，b⊥c时，a⊥c，故本选项错误；D、当a∥b，b∥c时，a∥c，故选项正确；故选：D．11．如图，点E在AC的延长线上，请添加一个恰当的条件∠1＝∠2（答案不唯一），使AB∥CD．【分析】利用平行线的判定定理进行分析即可．【解答】解：当∠1＝∠2时，利用内错角相等，两直线平行可判定AB∥CD；当∠A＝∠DCE时，利用同位角角相等，两直线平行可判定AB∥CD；当∠A+∠ACD＝180°时，利用同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD；当∠ABD+∠D＝180°时，利用同旁内角互补，两直线平行可判定AB∥CD；故答案为：∠1＝∠2（答案不唯一）．12．三个完全相同的含30°角的三角板如图摆放，可以判断AB与EC平行的理由是同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．【分析】根据“同位角相等，两直线平行”求解即可．【解答】解：∵∠ACB＝60°，∠ACE＝90°，∠ECD＝30°，∴∠ACB+∠ACE+∠ECD＝180°，∴B、C、D在一条直线上，∵∠B＝30°＝∠ECD，∴AB∥EC（同位角相等，两直线平行），故答案为：同位角相等，两直线平行（答案不唯一）．13．如图，下列条件：①∠1＝∠3；②∠2＝∠3；③∠4＝∠5；④∠2+∠4＝180°中，能判断直线l1∥l2的有3个．【分析】根据平行线的判断方法，可以判断出各个小题中的条件是否可以得到直线l1∥l2，从而可以解答本题．【解答】解：∵∠1＝∠3，∴l1∥l2，故①符合题意；当∠2＝∠3时，无法判断l1∥l2，故②不符合题意；∵∠4＝∠5，∴l1∥l2，故③符合题意；∵∠2+∠4＝180°，∴l1∥l2，故④符合题意；故答案为：3．14．如图，在下列四组条件中：①∠1＝∠2，②∠3＝∠4，③∠BAD+∠ABC＝180°，④∠BAC＝∠ACD，能判定AD∥BC的是①②③．【分析】根据平行线的判定，逐一判断即可解答．【解答】解：①∵∠1＝∠2，∴AD∥BC；②∵∠3＝∠4，∴AD∥BC；③∵∠BAD+∠ABC＝180°，∴AD∥BC；④∵∠BAC＝∠ACD，∴AB∥CD；所有，能判定AD∥BC的是①②③，故答案为：①②③．15．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图方式叠放在一起（其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°），当∠ACE＜180°，且点E在直线AC的上方时，满足三角尺BCE有一条边与斜边AD平行，那么此时∠ACE＝120或165或30．【分析】根据平行线的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：①当AD∥CE时，∵AD∥CE，∴∠DCE＝∠D＝30°，∴∠ACE＝90°+30°＝120°；②当BE∥AD时，过点C作CF∥AD，∵BE∥AD，CF∥AD，∴BE∥AD∥CF，∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°，∴∠DCE＝30°+45°＝75°∴∠ACE＝90°+75°＝165°．③如图中，当AD∥BC时．∵AD∥BC，∴∠D＝∠BCD＝30°，∵∠ACE+∠ECD＝∠ECD+∠DCB＝90°，∴∠ACE＝∠DCB＝30°．故答案为：120或165或30．16．如图，点A在射线DE上，点C在射线BF上，∠B+∠BAD＝180°，∠1＝∠2．求证：AB∥CD．请将下面的证明过程补充完整．证明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝∠B，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．【分析】根据“同角的补角相等”得出∠1＝∠B，等量代换得出∠2＝∠B，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解．【解答】证明：∵∠B+∠BAD＝180°（已知），∠1+∠BAD＝180°，∴∠1＝∠B，∵∠1＝∠2（已知），∴∠2＝∠B（等量代换），∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．故答案为：∠B；∠B；等量代换；同位角相等，两直线平行．17．如图，直线a，b被直线c所截，∠1＝50°，请你再添加一个条件，可以说明直线a与b平行，并说明理由．【分析】根据平行线的判定定理求解即可．【解答】解：添加∠4＝50°（添加条件不唯一），可以说明直线a与b平行，∵∠1＝50°，∠4＝50°，∴∠1＝∠4，∴a∥b（内错角相等，两直线平行）．18．如图所示，直线AF，BD相交于点C，过点C作射线CE，使得CD平分∠ECF，连接AB，若∠B＝∠ACB，试说明AB∥CE．【分析】根据角平分线定义得出∠ECD＝∠DCF，根据对顶角相等得出∠ACB＝∠DCF，结合已知条件∠B＝∠ACB，等量代换得出∠B＝∠ECD，然后根据同位角相等，两直线平行即可证明AB∥CE．【解答】证明：∵CD平分∠ECF，∴∠ECD＝∠DCF，∵∠ACB＝∠DCF，∠B＝∠ACB，∴∠B＝∠ECD，∴AB∥CE．19．如图，已知∠A＝∠C，∠1与∠2互补，求证：AB∥CD．【分析】首先由∠1、∠2互补，可判定AD、BC平行，即可得∠A、∠ABC互补，通过等量代换，可求得∠ABC、∠C互补，即可判定AB∥CD．【解答】证明：∵∠1与∠2互补，即∠1+∠2＝180°，∴AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠C+∠ABC＝180°，∴AB∥CD．20．如图，直线EF分别与直线AB，CD相交于点P和点Q，PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，并且∠1＝∠2，说出图中哪些直线平行，并说明理由．【分析】首先根据角平分线的性质可得∠1＝∠GPQ＝APQ，∠2＝∠PQH＝∠EQD，根据条件∠1＝∠2，可得∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，根据内错角相等两直线平行可证明AB∥CD，PG∥QH．【解答】解：AB∥CD，PG∥QH，理由：∵PG平分∠APQ，QH平分∠DQP，∴∠1＝∠GPQ＝APQ，∠2＝∠PQH＝∠EQD，∵∠1＝∠2，∴∠GPQ＝∠PQH，∠APQ＝∠PQD，∴AB∥CD，PG∥QH．。

平行线的判定(第1课时)课件

角相等两直线平行.
【教学难点】
运用平行线的判定方法进行简单的推理.
复习回顾
在前面的章节中我们学习过以下知识：
两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补.
情景导入
平行、相交
在同一平面内，两条直线的位置关系是_____________.
没有公共点的
在同一平面内，_____________两条直线的是平行线.
请你在下面的括号中填上理由：
因为 a∥b，b∥c，
所以∠1 ＝∠2， ∠2 ＝∠3，
因此∠1 ＝∠3．
从而 a∥c（同位角相等，两直线平行.
）．
A，B，C. 如
巩固练习
1. 从∠5 =∠ ABC ，可以推出 AB∥CD，
理由是同位角相等，两直线平行 .
A
4
1
B
D
3
5
2
C
巩固练习
2. 如图，已知∠1=∠2, AB∥CD 吗？为什么？
行吗？为什么？
D
A
C
B
E
解析：根据 AB∥DC 及∠D＝125°，可求出∠A 的度数，从而说明
∠A＝∠CBE. 再根据“同位角相等，两直线平行”可得 AD∥BC.
典例精析
解：AD∥BC.
理由如下：因为 AB∥DC (已知)，
所以∠A＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．
因为∠D＝125°(已知)，
因为AE是∠DAC的平分线，
所以∠DAC＝2∠1，
所以∠B＝∠1，
所以 AE∥BC.
课堂小结
由同位角的关系判定两直线平行的三个步骤：
1. 判断两个同位角是否相等；

1平行线的判定课件(1)

ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
//
吗？为什么？
解：将∠1的邻补角记作∠3 ，则 ∠1 +∠3 = 180°（邻补角的意义）
因为∠1=110°（已知）
所以∠3 = 180°- ∠1 = 180°- 110°=70°（等式性质）
因为∠2=70°（已知）
得∠2 = ∠3 （等量代换） C
A
所以AB∥CD（
同位角相等，两直线平行
）
70°2
E
110°
３
D
B
同位角相等,两直线平行
例2 如图,直线与且∠1=∠2=∠3 .
l直线
a、b、c分别相交，
l
⑴ 从∠1=∠2可以得出哪两
a
1
条直线平行？为什么？
2
b
3
c
解 ⑴因为 1 2（已知），
a b 所以 //
同位角相等,两直线平行
（
）.
同位角相等,两直线平行
⑵ 从∠1=∠3可以得出那两条直线平行？为什么？
又 ∵∠2＝40°，
l2
∴∠ABC＝50°，
∵∠１＝ 50°
∴∠１＝∠ＡＢＣ
∴l1∥l2（同位角相等，两直线平行）
知识回顾
(1)同一平面内两条直线（不重合）的位置关系：相交或平行
(2)什么是平行线：
同一平面，不相交
(3)平行线的表示方法：
如AB//CD
(4)平行线的画法： (5)平行线的性质：
一放，二靠，三推，四画
过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
平行线的画法：
一、放二、靠三、推四、画
F
D5 1
C
(2)3 A;

7年级数学平行线判定及性质 (1)

D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补．例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ．【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知），所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知），所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2．【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知），所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等）因为∠1 = 55 （已知），所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析．【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行）所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析．【解析】因为 AC / / DE （已知），所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换），所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行）所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知），所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积．【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ．因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知），所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换），同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由．【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ，所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ．【答案】见解析【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ，因为 AB ∥ED （已知）所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ，所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知），所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知），所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补）所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知），所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知），所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1）当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2）当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】填空：（1）如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2）如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°；（2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知），所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知），所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知），所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知），所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知），所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知），所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面积之比为．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略．【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等）又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1．【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ，解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析．【解析】因为 CD ⊥EF ，所以∠CDF = 90 （垂直的意义）因为∠DCF =60°（已知），所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知），所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知），所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30，解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义），所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知），所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ，解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析．【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知），又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等）所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知），所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证），所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线，所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义）即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知），所以∠BEF =140°（等式性质）因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知），所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×；（4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知）所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知），所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略．【解析】设∠2 的对顶角为∠3，因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换）所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知）所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行）所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）又因为∠1=∠3（已知），所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知），所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知），所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折，所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义）又∠AED ′＝65°（已知），所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知），所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质）所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知），所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。

平行线的判定例题与讲解

3 平行线的判定1．平行线的判定公理(1)平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．简单记为：同位角相等，两直线平行．如图，推理符号表示为：∵∠1＝∠2，∴AB∥CD.谈重点同位角相等，两直线平行①平行线的判定公理是证明两直线平行的原始依据；②应用时，应先确定同位角及形成同位角的是哪两条直线；③本判定方法是由两同位角相等(数量关系)来确定两条直线平行(位置关系)，所以在推理过程中要先写“两角相等”，然后再写“两线平行”．(2)平行公理的推论：①垂直于同一条直线的两条直线平行．若a⊥b，c⊥b，则a∥c；②平行于同一条直线的两条直线平行．若a∥b，c∥b，则a∥c.【例1】工人师傅想知道砌好的墙壁的上下边缘AB和CD是否平行，于是找来一根笔直的木棍，如图所示将其放在墙面上，那么，他通过测量∠EGB和∠GFD的度数，就知道墙壁的上下边缘是否平行了．请问：∠EGB和∠GFD满足怎样的条件时，墙壁的上下边缘才会平行？你的依据是什么？解析：判定两条直线是否平行，常根据两条直线被第三条直线所截而构成的角来判断．题中∠EGB和∠GFD是直线AB和直线CD(墙的上下边缘)被直线EF所截时形成的同位角，根据“同位角相等，两直线平行”，可知只有∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．答案：∠EGB和∠GFD相等时，墙壁的上下边缘才会平行．其依据是同位角相等，两直线平行．2．平行线的判定定理(1)判定定理1两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．简单记为：同旁内角互补，两直线平行．符号表示：如下图，∵∠2＋∠3＝180°，∴AB∥CD.谈重点同旁内角互补，两直线平行①定理是根据公理推理得出的真命题，可直接应用；②应用时，找准哪两个角是同旁内角，使哪两条直线平行．(2)判定定理2两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．简单记为：内错角相等，两直线平行．符号表示：如上图，∵∠2＝∠4，∴AB∥CD.【例2－1】如图，小明利用两块相同的三角板，分别在三角板的边缘画直线AB和CD，这是根据________，两直线平行．解析：由题图可看出，直线AB和CD被直线BC所截，此时两块相同的三角板的两个最小角的位置关系正好是内错角，所以这是根据内错角相等，来判定两直线平行的．答案：内错角相等【例2－2】如图，下列说法中，正确的是()．A．因为∠A＋∠D＝180°，所以AD∥BCB．因为∠C＋∠D＝180°，所以AB∥CDC．因为∠A＋∠D＝180°，所以AB∥CDD ．因为∠A＋∠C＝180°，所以AB∥CD错解：A或B或D错解分析：判定直线平行所需要的内错角或同旁内角找不准．条件不能推出结论.正解：C正解思路：∠A与∠D是直线AB和CD被直线AD所截得到的同旁内角．因为∠A＋∠D ＝180°，所以AB∥CD.3．平行线的判断方法平行线的判定方法主要有以下六种：(1)平行线的定义(一般很少用)．(2)同位角相等，两直线平行．(3)同旁内角互补，两直线平行．(4)内错角相等，两直线平行．(5)同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线相互平行．(6)如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．析规律如何选择判定两直线平行的方法①在利用平行线的公理或定理判定两条直线是否平行时，要分清同位角、内错角以及同旁内角是由哪两条直线被第三条直线所截而构成的；②证明两条直线平行，关键是看与待证结论相关的同位角或内错角是否相等，同旁内角是否互补．【例3】如图，直线a，b与直线c相交，形成∠1，∠2，…，∠8共八个角，请你填上你认为适当的一个条件：__________，使a∥b.解析：本题主要是考查平行线的三种判定方法．若从“同位角相等，两直线平行”考虑，可填∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠3＝∠7，∠4＝∠8中的任意一个条件；若从“内错角相等，两直线平行”考虑，可填∠3＝∠6，∠4＝∠5中的任意一个；若从“同旁内角互补，两直线平行”考虑，可填∠3＋∠5＝180°，∠4＋∠6＝180°中的一个条件；从其他方面考虑，还可以填∠1＝∠8，∠2＝∠7，∠1＋∠7＝180°，∠2＋∠8＝180°，∠4＋∠7＝180°，∠3＋∠8＝180°，∠2＋∠5＝180°，∠1＋∠6＝180°中的任意一个条件．答案：答案不唯一，如可填下列之一：∠1＝∠5或∠4＝∠5或∠3＋∠5＝180°…4．平行线判定的应用(1)平行线的生活应用数学来源于生活，同样生活中也有大量的平行线，其判定平行的方法也常在生活中遇到．如木工师傅判定所截得的木板的对边是否平行，工人师傅判定所制造的机器零件是否符合平行的要求……对于生活中的平行线判断，关键是利用工具确定与平行有关的角是否相等，比较常用的是利用直角尺判断同位角是否相等，从而判定两直线是否平行．(2)平行线在数学中的运用平行线判定方法在数学中的运用主要通过角之间的关系判定两条直线平行，进一步解决其他有关的问题．常见的条件探索题就是其应用之一．探索题是培养发散思维能力的题型，它具有开放性，所要求的答案一般不具有唯一性．解决探索性问题，不仅能提高分析问题的能力，而且能开阔视野，增加对知识的理解和掌握．释疑点判定平行的关键判定两直线平行，关键是确定角的位置关系及大小关系．【例4－1】如图，一个零件ABCD需要AB边与CD边平行，现只有一个量角器，测得拐角∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，这个零件合格吗？__________(填“合格”或“不合格”)．解析：要判断AB边与CD边平行，则需满足同旁内角互补的条件．∵∠ABC＝120°，∠BCD＝60°，∴∠ABC＋∠BCD＝120°＋60°＝180°.∴AB∥CD.∴这个零件合格．答案：合格【例4－2】已知：如图在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠B＝∠C，试判断AD与BC的位置关系，并说明理由．分析：根据四边形ABCD的内角和是360°，结合已知条件得到∠A＋∠B＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行得AD∥BC.解：AD与BC的位置关系是平行．理由：∵四边形ABCD的内角和是360°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝360°.∵∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴∠A＋∠B＝180°.∴AD∥BC(同旁内角互补，两直线平行)．点评：本题考查四边形的内角和以及利用同旁内角互补，来判定两直线平行．。

3.4平行线的判定定理 (1)

1
平行线的判定 c
1 2
c
2
c
1 2
这里的结论,以后可以直接运用.
随堂练习P86
☞
昆虫与数学
蜂房的底部由三个全等的四边形围成,每个四边形的形状如图所示,其中∠α=109°28′,∠β=70°32′. 试确定这三个四边形的形状,并说明你的理由. 这三个四边形是平行四边形.这是因为“同旁内角互补,两直线平行”. 实际上,每个四边形都是菱形.
八年级数学（上）第三章证明(一)
3.4平行线的判定定理
联系与区别 ☞
言必有“据”
公理两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行. 这一公理可以简单说成:同位角相等,两直线平行. 利用这个公理,我们来证明下面的定理. 定理两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行. 这个定理可以简单说成:同旁内角互补, 两直线平行. 同学们请欣赏例题给出的证明思路及步骤:
例题欣赏P84
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已知:如图,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内 a 1 角,且∠1与∠2互补. 2 求证:a∥b. b 3 证明:∵ ∠1与∠2互补 (已知), 说说你所悟 ∴∠1+∠2=1800(互补的定义). 到的证明一 0 -∠2(等式的性质). ∴∠1= 180 个真命题的又∵∠3+∠2=1800 (平角的定义), 方法,步骤, ∴∠3= 1800 -∠2(等式的性质). 书写格式以 ∴∠1=∠3(等量代换). ∴ a∥b(同位角相等,两直线平行). 及注意事项. 已给的公理,定义和已经证明的定理以后都可以作为依据,用来证明新的定理.
独立作业
知识的升华
习题3.5 1,2题祝你来自功！下课了!结束寄语

平行线的判定及性质(相交线与平行线) (1)

图1c ba 87654321图2FEDC B21A 图354321ba图4DCBA 54321图5F E D C BA4321图61FE DCBA 平行线的判定及性质一、知识提要1. 平行线的判定① 位角相等，两直线平行。

② 错角相等，两直线平行。

③ 旁内角互补，两直线平行。

2. 平行线的性质：① 直线平行，同位角相等。

② 两直线平行，内错角相等。

③ 两直线平行，同旁内角互补。

二、精讲精练1. 如图1，直线a 、b 都与直线c 相交，给出下列条件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4+∠7＝180°；④∠5+∠8＝180°.其中能判断a //b 的条件是（） A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．①②③④2. 如图2，AB ⊥BD 于B ，CD ⊥BD 于D ，∠1＋∠2＝180°，则CD 与EF 的关系是 .3. 如图3，能判断直线a //b 的条件是 .（任写一条）4. 如图4，如果∠ ＝∠ ，可得AD //BC ，你的根据是 .5. 如图5，∠1＝120°，∠2＝60°，∠3＝100°，则当∠4＝时，AB //EF .6. 如图6，若∠1＝，那么AB //EF ，若∠1＝，那么DF //AC ，若∠DEC + ＝180°，那么DE //BC ．7. 如图7，AB //CD ，BC //DE ，则∠B +∠D 的值为 .E D C BA 图7图8ED C B A 1234图9图11图12图10E F DCBA3214321l 2l 1图13D H AG CFE B1图14E D CBA321FEDCB A18. 如图8，已知AD //BC ，∠B ＝30°，DB 平分∠ADE ，则∠DEC 为 .9. 如图9，∠1=82°，∠2＝98°，∠3=80°，则∠4＝度. 10. 如图10，已知∠1=∠2=∠3=55°，则∠4的度数等于．11. 如图11，l 1//l 2，∠1＝105°，∠2＝40°，则∠3＝ .12. 如图12，AD //BC ，AB //CD ，E 在CB 的延长线上，EF 经过点A ，∠C ＝50°，∠F AD ＝60°，则∠EAB ＝ .13. 如图13，DH //EG //BC ，且DC //EF ，那么图中和∠1相等的角的个数是个.14. 阅读理解1）如图14，如果∠1=∠2，那么根据，可得 // ．2）如果∠DAB +∠ABC =180°，那么根据，可得 // ．3）当 // 时，根据，可得∠C +∠ABC =180°；4）当 // 时，根据，可得∠3=∠C ．15. 完成推理填空：如图，已知∠A ＝∠F ，∠C ＝∠D ，求证：BD //CE . 证明：∵∠A ＝∠F （已知）FEDCBA321H FED CBA NM A E BCFD∴AC //DF （） ∴∠D ＝∠ （）又∵∠C ＝∠D （已知）， ∴∠1＝∠C （等量代换）∴BD //CE （）.16. 如图，已知直线AB 和直线CD 被直线EF 所截，交点分别为E 、F ，∠AEF ＝∠EFD .（1）直线AB 和直线CD 平行吗？为什么？（2）若EM 是∠AEF 的平分线，FN 是∠EFD 的平分线，则EM 与FN 平行吗？为什么？17. 如图，已知∠B =25°，∠BCD =45°，∠CDE =30°，∠E =10°，求证：AB //EF ．18. 已知，如图，∠1＝∠ACB ，∠2＝∠3，FH ⊥AB 于H ，问CD 与AB 有什么关系？说明理由.l 1l 2110°60°α图3图23y °x °30°1234A BCDE F 图1123ABCDEF图5A BCDE 图4三、测试提高【板块一】平行线的判定1. 如图1，∠1＝∠A ，则下列结论一定成立的是（）A ．AB //FD B ．ED //AC C ．∠B ＝∠1D ．∠3＝∠1【板块二】平行线的性质2. 如图2，直线a 与直线b 互相平行，则x y 的值是( )A ．30B ．20C ．50D ．60 3. 如图3，直线l 1//l 2，则∠α=（）A ．100°B ．110°C ．120°D ．130° 4. 如图4，AB //CD ，∠BAE =120°，∠DCE =30°，则∠AEC =（）A ．90°B ．150°C ．75°D ．60°【板块三】综合练习5. 如图5，∠ABC ＝∠ADC ，BF 、DE 分别平分∠ABC 与∠ADC ，∠1＝∠3．下列正确的结论有（）个．①DE //BF ；②AB //CD ；③∠1=∠2；④∠A =∠C . A ．1 B ．2 C ．3 D ．4四、课后作业1. 若∠1与∠2是同位角，且∠1=60°，则∠2是（） A .60°B .120°C .120°或60°D .不能确定FE DCB A图4图1nm21GFED C B A321图3FEDCBA2. 两平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线（）A .互相重合B .互相平行C .互相垂直D .相交3. 如图1，若m ∥n ，∠1=105°，则∠2= .4. 如图2，直线AB ∥CD ，若∠2是∠1的2倍，则∠2的度数是（）A .60°B .90°C .120°D .150°图1 图2 图3 5. 如图3，EF ∥AD ，∠1=∠2，∠BAC =70°.将求∠AGD 的过程填写完整：因为EF ∥AD ，所以∠2= .又因为∠1=∠2，所以∠1=∠3.所以AB ∥ .所以∠BAC + =180°.又因为∠BAC =70°，所以∠AGD = ． 6. 如图4，已知DE ∥BC ，DF 、BE 分别平分∠ADE 和∠ABC 求证：∠FDE =∠DEB .证明： ∵DE ∥BC∴∠ADE = （）∵DF 、BE 分别平分∠ADE 、∠ABC∴∠ADF =12 ∴∠ABE =12 （）∴∠ADF =∠ABE （） ∴ ∥ ( ) ∴∠FDE =∠ （）7. 如图，AB ∥CD ，∠B =40°，∠E =30°，求∠D 的度数.DCBA 2121E D CBAHG C B A F E D218. 如图，已知DE ∥BC ，∠1=∠2，求证：∠B =∠C ．9. 已知：如图∠1=∠2，∠C =∠D ，请问∠A 与∠F 相等吗？试说明理由．。

新湘教版七下数学教案：平行线的判定方法1

4．4平行线的判定第1课时平行线的判定方法11．掌握基本事实：同位角相等，两直线平行；(重点、难点)2．会用三角板和直尺过直线外一点作这条直线的平行线．一、情境导入前面我们学习了平行线的性质，知道两直线平行，同位角相等．如果已知同位角相等，那么这两条直线平行吗？二、合作探究探究点一：平行线的判定方法1如图，直线AB、CD分别与EF相交于点G、H，若∠1＝70°，∠2＝70°，试说明：AB∥CD.解析：要说明AB∥CD，可转化为说明∠1与其同位角相等，∠1的同位角又是∠2的对顶角．解：因为∠2＝∠EHD(对顶角相等)，∠2＝70°，所以∠EHD＝70°.因为∠1＝70°，所以∠EHD＝∠1，所以AB∥CD(同位角相等，两直线平行)．方法总结：要说明两条直线平行，到目前为止我们学过的主要有两种方法：①同位角相等；②平行线的基本事实或推论．探究点二：平行线的判定方法1与性质的综合运用如图，已知AB∥DC，∠D＝125°，∠CBE＝55°，AD与BC平行吗？为什么？解析：根据AB∥DC及∠D＝125°，可求出∠A的度数，从而说明∠A＝∠CBE.再根据同位角相等，两直线平行可得AD∥BC.解：AD∥BC.理由如下：因为AB∥DC(已知)，所以∠A＋∠D＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．因为∠D＝125°(已知)，所以∠A＝180°－∠D＝180°－125°＝55°.因为∠CBE＝55°(已知)，所以∠A＝∠CBE，所以AD∥BC(同位角相等，两直线平行)．方法总结：本题综合运用了平行线的性质和判定，由两直线平行得出同旁内角互补(这是平行线的性质)，从而说明同位角相等，得到两直线平行(这是平行线的判定)．解题时不可混淆了性质和判定．三、板书设计平行线的判定方法1：同位角相等，两直线平行．解几何题时，重在分析，应结合图形分析题目给出的已知条件．本节课的易错点是学生容易混淆平行线的判定和性质，应着重强调．由角之间的关系得到平行，这是平行线的判定；由平行得到角之间的关系，这是平行线的性质。

《平行线的判定》优质课件数学1人教版

1.如图，直线 a , b 被直线 l 所截.
(1)若 1750,2750，则 a 与 b 平行吗?根据什么?
(2)若 2750, 31050，则 a 与 b 平行吗?根据什么?
ab1Biblioteka 32l想一想判定两直线平行有哪些方法？
在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行吗？为什么？
α
推理过程: 如果
，能判定哪两条直线平行?
a
如图，哪两个角相等能判定直线AB∥CD?
∵∠α = ∠ β(已知) ∴ AB∥CD ( 内错角相等，两直线平行 )
∴a ∥ b(同位角相等、两直线平行) 在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行.
β
b
一般地，判断两直线平行有下面的方法：
那么直线a、b就平行. ( √ )
判定两条直线平行的方法有两种：
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.
平行公理如果两条直线同平行于一条直线，的推论那么两条直线平行.
同学们可以想一想？
除应用以上两种方法以外，是否还有其它方法呢？
试一试猜一猜
如图，三根木条相交成 ∠1， ∠2，固定木条b、c，转
E
3
C
2
D
1
A
B
F
一般地，判断两直线平行有下面的方法:
两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单地说，内错角相等，两直线平行.
如图，哪两个角相等能判定直线AB∥CD?
A
3
B
12
4
C
D
∠3=∠4或∠1=∠4
如果∠∠∠345===∠∠∠256 ，能判定哪两条直线平行?

《平行线的判定》(一)评课

《平行线的判断》(一)评课
平行线的判断评课
本节课的教课内容主假如平行线的三个判断方法。

因为学生还没有接触公
义、定理等观点，因此本节的教课怎样办理好公义的表现和定理的得出就成了教
课的一个难点。

教者在本节教课中采纳了从实质问题出发，创建问题情境，从木工在木板上画线到平行线的画法，让学生发现两者的同样之处，确认画出的是平行线，并发现保证平行的条件，进而瓜熟蒂落地引入了平行线的第一种判断方法——“同位角相等，两直线平行” 。

学生对公义的认同过程正是公义的形成过程，这类耳濡目染的办理在本节显得特别适当。

学生主动的探究是知识构造形成的必经之路，教者在获得第一种判断方法
后，不失机机地经过“小明的画板”问题，指引学生经过“简单说理”得出判断
2、3，学生在不知不觉中进入了逻辑轨道，经过发问、追问、设问，使说理更为
谨慎。

本节教者经过指引 ----操作法、察看法、多媒体电化教课法相联合，很好地
达成了本节的教课任务。

特别是将实物抽象成几何图形，向学生浸透详细到抽象、转变等数学思想，展现了数学研究的一个形成过程，使学生对判断方法理解更为正确。

本节对“转变”的数学思想及激发学生的探究精神都做得特别好，整节都
表现了“做数学”的一种学习意识，教者对学生掌握几何语言的训练也特别重视，表现了谨慎治学的态度。

学生在本节课上充足着手实践、自主探究、合作沟通，讲堂氛围和睦，活动充足，不失为一节新课程下的优良数学课。

1。

数学七年级下学期第2讲平行线的判定(1)

第2讲平行线的判定（核心考点讲与练）一、平行公理及推论1．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．2．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．要点诠释：(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.二、直线平行的判定判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）要点诠释：平行线的判定是由角相等或互补，得出平行，即由数推形.考点一：平行公理及推论【例题1】（2019春•余姚市期末）已知在同一平面内有三条不同的直线a，b，c，下列说法错误的是（）A．如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c B．如果b∥a，c∥a，那么b∥c C．如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c D．如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c【变式训练1】（2018春•杭州期中）下列说法：①两点之间的距离是两点间的线段的长度；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③两点之间的所有连线中，线段最短；④若a⊥b，c⊥b，则a与c的关系是平行；⑤只有一个公共点的两条直线叫做相交直线；其中正确的是．【变式训练2】（2020春•椒江区期末）如图，AB∥CD，AB∥GE，∠B＝110°，∠C＝100°．∠BFC等于多少度？为什么？考点二：平行线的判定【例题2】（2021秋•平阳县期中）如图，下列条件中①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°，能判断AD∥BC的是（）A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练1】（2021秋•余姚市期中）木条a、b、c如图用螺丝固定在木板α上且∠ABM ＝50°，∠DEM＝70°，将木条a、木条b、木条c看作是在同一平面α内的三条直线AC、DF、MN，若使直线AC、直线DF达到平行的位置关系，则下列描述错误的是（）A．木条b、c固定不动，木条a绕点B顺时针旋转20°B．木条b、c固定不动，木条a绕点B逆时针旋转160°C．木条a、c固定不动，木条b绕点E逆时针旋转20°D．木条a、c固定不动，木条b绕点E顺时针旋转110°【变式训练2】（2021春•拱墅区期末）如图，已知∠F+∠FGD＝90°（其中∠F＞∠FGD），添加一个以下条件：①∠F+∠FEA＝180°；②∠F+∠FGC＝180°；③∠FEB+2∠FGD＝90°；④∠FGC﹣∠F＝90°．能证明AB ∥CD的是（）A．①B．②C．③D．④【变式训练3】（2021春•萧山区期末）如图，下列条件中能判断AD∥BC的是（）①∠1＝∠2；②∠3＝∠4；③∠2+∠5＝∠6；④∠DAB+∠2+∠3＝180°．A．①③④B．①②④C．①③D．①②③④【变式训练4】（2021春•怀安县期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（）A．∠3＝∠A B．∠1＝∠2C．∠D＝∠DCE D．∠D+∠ACD＝180°【变式训练5】（2021•下城区一模）如图，直角三角形ABC的顶点A在直线m上，分别度量：①∠1，∠2，∠C；②∠2，∠3，∠B；③∠3，∠4，∠C；④∠1，∠2，∠3．可判断直线m与直线n是否平行的是（）A．①B．②C．③D．④【例题3】（2021春•椒江区期末）如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB的夹角∠BOD为75°，要使OD∥AC，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转度．【变式训练1】（2021春•鄞州区期中）如图，下列条件中：①∠BAD+∠ABC＝180°；②∠1＝∠2；③∠3＝∠4；④∠BAD＝∠BCD，能判定AD∥BC的是．【变式训练2】（2020秋•婺城区校级期末）如图，点E是BA延长线上一点，在下列条件中：①∠1＝∠3；②∠5＝∠B；③∠1＝∠4且AC平分∠DAB；④∠B+∠BCD＝180°，能判定AB∥CD的有．（填序号）【变式训练3】（2021春•奉化区校级期末）如图，点E在AD的延长线上，下列四个条件：①∠1＝∠2；②∠C+∠ABC＝180°；③∠C＝∠CDE；④∠3＝∠4，能判断AB∥CD的是（填序号）．【变式训练4】（2021•柳南区校级模拟）如图把三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则当∠2＝度时，a∥b．【例题4】（2021春•槐荫区期末）点B，E分别在AC，DF上，BD，CE分别交AF于点G，H，∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D．求证：AC∥DF．【变式训练1】（2021春•乾安县期末）已知：如图，直线l分别与直线AB，CD相交于点P，Q，PM垂直于l，∠1+∠2＝90°．求证：AB∥CD．【变式训练2】（2020春•岱岳区期末）将一副三角尺拼图，并标点描线如图所示，然后过点C作CF平分∠DCE，交DE于点F．（1）求证：CF∥AB；（2）求∠EFC的度数．【变式训练3】（2020春•麻城市校级月考）根据要求完成下面的填空：如图，直线AB，CD被EF所截，若已知∠1＝∠2，说明AB∥CD的理由．解：根据得∠2＝∠3又因为∠1＝∠2，所以∠＝∠，根据得：∥．【变式训练4】（2020秋•温州月考）已知：如图，∠ACD＝2∠B，CE平分∠ACD．求证：CE∥AB．【变式训练5】（2019春•秀洲区期中）如图，如果∠1+∠3＝180°，那么AB与CD平行吗，请说明理由．类型一、平行公理及推论【例题5】在同一平面内，下列说法：（1）过两点有且只有一条直线；（2）两条直线有且只有一个公共点；（3）过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（4）过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

初中数学《平行线的判定》_1

3.已知：如图所示，∠1=∠B，则下列说法正确的是（ A ）与CD平行与DE平行与CD平行，AC与DE也平行 D.以上说法都不正确
达标检测：基础巩固题
4.如图所示，FE⊥CD，∠2=26°，猜想当∠1=____6_4_°____时，AB∥CD．
5∴、AD同//旁BC内（角内互错补角，相两等直，线两平直行线．平行） 5问、题同1旁：内画角图互过补程，中两，直什线么平角行始．终保持相等? 与5、C同D平旁行内，角A互C补与，DE两也直平线行平行．探经究过1直：线如外图一，点由，有3且= 只2有，一可条推直出线a/与/b吗已?知如直何线推平出行?。如图3=所示2（，对FE顶⊥角C相D等，）∠2，=26°，猜想当∠1=__________时，AB∥CD．
内错角相等，两直线平行。
∴ 2= 3（同角的补角相等）
如图，三根木条相交成∠1，∠2，固定木条b、c，转动木条a , 观察∠1，∠2满足什么条件时直线a与b平行.
∵
(已知),
5、同旁内角互补，两直线平行．
初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程；
12
∴a//b（同位角相等，两直线平行）
同旁内角互补，两直线平行。
人教版数学七年级下册
第五章相交线与平行线
5.2.2 平行线的判定
学习目标：
1. 掌握平行线的判定，并能解决一些简单的问题；
2. 初步了解推理论证的方法，会正确的书写简单的推理过程；
新课导入：
回顾与思考问题1 两条不重合的直线的位置关系有哪几种? 相交（包括垂直）和平行两种。问题2 怎样的两条直线平行? 在同一平面内，不相交的两条直线平行。
a
如果同位角相等,那么这两条直线平行。

【公开课】—《平行线的判定1》集体评议

《平行线的判定1》—德化第五中学数学组集体评议听了罗老师执教的《平行线的判定1》这节课，我们受到了很大的启发，受益匪浅，这节课给我们开创了数学课堂教学的新模式，具体体现在下列几个方面。

1、课堂气氛活跃。

这是一节经过精心设计的课，罗老师从生活问题出发，学生自导自演的小品引出了平行线的判定主题，一下子就调动了学生的学习兴趣。

制作了幻灯片，师生互动，层层深入探究，从而揭示各判定方法之间的联系。

采用了回想探究、合作探究、自主探究等多种学习方法。

在整个教学过程中罗老师教态亲切，循循善诱，与学生配合相当默契。

通过提问、学生相互交流，让学生与学生之间的思维，学生与老师之间的观点触发出一个个激烈的碰撞，迫使学生去参与学习与思考，极大调动了学生学习积极性，取得了很好的效果。

特别是两个小老师的上台的发挥，把学习气氛带到了极点。

2、教学方法独特。

罗老师根据本节课的教学内容特点，同时基于七年级学生的形象思维，遵循“教师为主导，学生为主体，”的教育思想，从别出心裁问题出发，让学生亲历观察、发现、探究、归纳等一系列过程，再现了知识的发生、发现及发展的过程。

在新知识学习的教学中，罗老师始终以引导者的形象出现并在适当的时候对学生适当的启发。

3、教学效果高效。

罗老师能很好完成三个教学目标，从知识、能力、思想情感等方面很好完成这节课。

让学生合作、探究，主动发现平行线的判定方法，会根据判定方法进行简单的推理并能写出简单的说理过程，培养学生“观察——分析”和“归纳——概括”的能力。

符合课程标准的要求，符合学生年龄实际和认识规律，难易程度适当。

罗老师重点突出。

难点是学生说理叙述,他们的学生能够熟练完成，说明她平时教育有方，能使学生能够很好掌握平行线三个判定，使课堂达到“三动”动口、动手、动脑，“四活”用活教材、盘活课堂、激活思维、学活知识，语言科学正确、通俗易懂、简练明快，富有感染力，因此说罗老师这节课是一节非常成功的示范课。

德化第五中学数学组。

4平行线及平行线的判定方法1

平行线及平行线的判定方法（1）一、知识归纳1、平行：如果两条直线a与b不相交，那么这两条直线a与b互相平行，记作a//b．2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．平行公理和垂线的性质比较共同点：都是“有且只有一条直线”，这表明与已知直线平行或垂直的直线存在并且是唯一的.不同点：平行公理中所过的“一点”要在已知直线外，垂线性质中对“一点”没有限制，可在直线上，也可在直线外.3、平行公理推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．即如果a//b，b//c，那么a//c．4、判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线互相平行．简单说成：同位角相等，两直线平行．5、在同一平面内，两条不同的直线的位置关系只有2种，就是相交和平行．二、例题讲解例1、（1）在同一平面内，下列说法正确的有（）①过两点有且只有一条直线；②两条不同的直线有且只有一个交点；③过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④过一点有且只有一条直线与已知直线平行．A．1个B．2个C．3个D．4个（2）下列各种说法，正确的是（）①在平面内的两条线段，如果没有公共点，那么这两条线段平行；②如果两条射线平行，那么这两条射线没有公共点；③如果两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；④在平面内的两条直线，不相交则一定平行A．②③④B．②③C．①②D．②④提示：平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行答案：（1）B （2）D例2、（1）如图，若∠1=∠2，则_________//_________；若∠2=∠3，则____∥_____；若∠3=_________，则l3//l4；若∠4=_________，则l1//l2．（2）已知l1、l2、l3被l4所截，若要使l1//l3，则添加的一个条件是（）A．∠1=∠2 B．∠2=∠3C．∠1=∠3 D．∠1=∠4（3）如图，直线MN分别交AB、CD于E、F，∠MFD=50°，EG平分∠MEB，则当∠MEG=_________时，AB//CD．答案：（1）l3 l4；l1 l2；∠4；∠1（2）C（3）25°提示：当∠MEB＝∠MFD时，AB∥CD，即∠1＝∠2＋∠3.又EG平分∠MEB，∴∠2＝∠3，∴2∠2＝∠1＝50°，∴∠2＝25°.例3、（1）如图，∠2=3∠1，且∠1＋∠3=90°，试说明AB//CD．∵∠1＋∠2=180°，且∠2=3∠1，∴∠1＋3∠1=180°，∴∠1＝45°又∠1＋∠3=90°，∴∠3=45°∴∠1＝∠3，∴AB//CD．（2）如图，已知∠1=∠2，AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，怎样说明PQ//MN．解：∵AF平分∠EAQ，BC平分∠ABN，∴∠EAQ＝2∠1，∠EBN＝2∠2，又∠1＝∠2，∴∠EAQ＝∠EBN∴PQ∥MN（3）如图，已知直线a、b、c被直线d、e所截，∠1=∠2，∠3=∠4，那么直线a与直线c平行吗？为什么？解：直线a与直线c平行．理由如下：∵∠1＝∠2，∴a∥b又∠3＝∠4，∴b∥c∴a∥c(平行公理推论)同步测试一、选择题1、下列说法正确的是（）A．不相交的两条直线是平行线B．互相平行的两条直线在同一平面内C．同一平面内，不相交的两条线段是平行线D．若线段AB和线段CD无交点，则它们一定平行2、已知直线l外点A，过点A作直线与l平行，那么这样的直线（）A．有两条B．不存在C．有且只有一条D．有一条或不存在3、下列推理正确的是（）A．因为a∥d，b∥c，所以c//dB．因为a∥c，b//d，所以c∥dC．因为a∥b，a∥c，所以b//cD．因为a∥b，c//d，所以a∥c4、在同一平面内，直线a与b相交，直线c与b相交，则a，c的位置关系是（）A．一定相交B．一定平行C．也可能平行，也可能相交D．上述都不对5、在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个6、如图所示立方体，下列说法正确的有（）①AA1∥BB1；②AA1∥CC1；③AA1∥DD1；④AA1∥A1B1．A．0个 B．1个C．2个 D．3个7、在同一平面内有三条直线，若其中两条平行但与第三条直线不平行，则它们的交点的个数为（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个8、如图所示，如果∠D=∠EFC，那么（）A．AD//BC B．EF//BCC．AB//DC D．AD//EF9、如图所示，P是直线l外一点，直线l1，l2都过点P，如果l1//l，那么l2与l__________，根据____________．10、如图所示，在∠AOB的内部有一点P，已知∠AOB=60°．(1)过点P作PC∥OA，PD∥OB；(2)量出∠CPD的度数，说出它与∠AOB的关系．11、若直线a∥b，b∥c，c∥d，那么a∥d吗?为什么?对于n条直线l1，l2，l3，…，l n，若l1∥l2，l2∥l3，…，l n－1∥l n，则又可得出什么结论?答案：1-5 BCCCC 6-8 DCD 9、相交经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行10、（1）略（2）∠CPD=60°，∠CPD与∠AOB相等或互补．11、解：∵a∥b，b∥c，∴a∥c，又c∥d，∴a∥d．同理l1∥l2∥l3∥…∥l n－1∥l n．探索与发现：（1）若直线a1⊥a2，a2∥a3，则直线a1与a3的位置关系是____________，请说明理由．（2）若直线a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，则直线a1与a4的位置关系是_____________（直接填结论，不需要证明）（3）现在有2011条直线a1，a2，a3，…，a2011，且有a1⊥a2，a2∥a3，a3⊥a4，a4∥a5…，请你探索直线a1与a2011的位置关系．分析：（1）根据两直线平行，同位角相等得出相等的角，再根据垂直的定义解答；（2）根据（1）中结论即可判定垂直；（3）根据规律发现，直线a1与脚码是偶数的直线互相平行，与脚码是奇数的直线互相垂直，根据此规律即可判断．解：（1）a1⊥a3．理由如下：如图1，∵a1⊥a2，∴∠1=90°，∵a2∥a3，∴∠2=∠1=90°，∴a1⊥a3；（2）同（1）的解法，如图2，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4；（3）直线a1与a3的位置关系是：a1⊥a3，直线a1与a4的位置关系是：a1∥a4，以此类推，直线a1与a2011的位置关系是：a1⊥a2011．点评：本题考查了平行公理的应用，作出图形更有利于规律的发现以及规律的推导．。

浙教版八年级上册数学第一章知识点集锦

浙教版八年级上册数学第一章知识点集锦
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同位角、内错角、同旁内角
平行线的判定
(1)同位角相等，两直线平行。

(2)内错角相等，两直线平行。

(3)同旁内角互补两直线平行。

平行线的性质
(1)两直线平行，同位角相等。

(2)两直线平行，内错角相等。

(3)两直线平行，同旁内角互补。

说明：要证明两条直线平行，用判定公理(或定理)在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。

两条平行线之间的距离：
是指从两条平行直线中的一条直线上的一点作另一条直线的垂线段的长;
注：
①能表示两条平行线之间的距离的线段与这两条平行线都垂直;
②平行线的位置确定之后，它们之间的距离是定值，•它不随垂线段位置的改变而改变;
③平行线间的距离处处相等。

三种距离定义：
1.两点间的距离——连接两点的线段的长度;
2.点到直线的距离——直线外一点到这条直线的垂线段的长度;
3.两平行线的距离——两天平行线中，一条直线上的点到另一条直线的垂线段长度。

两直线间的距离公式：
设两条直线方程为
Ax+By+C1=0
Ax+By+C2=0
则其距离公式为|C1-C2|/√(A2+B2)
推导：
两平行直线间的距离就是从一条直线上任一点到另一条直线的距离，设点P(a,b)在直线Ax+By+C1=0上，
则满足Aa+Bb+C1=0,即Ab+Bb=-C1,由点到直线距离公式，P 到直线Ax+By+C2=0距离为
d=|Aa+Bb+C2|/√(A2+B2)=|-C1+C2|/√(A2+B2)
=|C1-C2|/√(A2+B2)。

平行线的判定练习题及答案1套

5.2.2平行线的判定练习题（1）班级：姓名：知识点：1、判定方法一：同位角相等，两直线平行2、判定方法二：内错角相等，两直线平行3、判定方法三：同旁内角互补，两直线平行4、判定方法四：两条直线垂直于同一条直线，这两直线平行同步测试：1 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（）Ａ．同位角相等，两直线平行Ｂ．内错角相等，两直线平行Ｃ．同旁内角互补，两直线平行Ｄ．两直线平行，同位角相等2、如图，直线AB 、CD ，被直线EF 所截，①若∠1=∠2，则AB ∥CD ，依据是 ②若∠2=∠3，则AB ∥CD ，依据是。

3、如图，完成下列填空：①∠1=∠A ，则GC ∥AB ，依据是。

②∠3=∠B ，则EF ∥AB ，依据是。

③∠1=∠4，则GC ∥EF ，依据是。

④∠4=∠A ，则EF ∥AB ，依据是。

4、如图，完成下列填空： ①如果∠1=∠C ，可得ED ∥ ，依据是。

②如果∠2=∠BED ，可得DF ∥ ，依据是。

③如果∠BED=∠A ，可得，依据是。

5、如下图，∠5＝∠6，则可得出（）.A ．AD//BCB ．AB//DC C ．AD//BC ，D ．都不对A1 B CFE2 3 DABC ED12 3 4 F1 A BF ECDG2436．填空题（1）如图 ∵ （已知）， ∴____∥____，理由是（）又∵ （已知）∴_______=，理由是（）∴_____∥______，理由是（） 7．如图，， . 说明：AB ∥CD.8．如图，AD 是一条直线， . .说明：BE ∥CF.9. ①如图,哪两个角相等能判定直线AB ∥CD? ②如果∠1=∠2，能判定哪两条直线平行? ③如果∠3=∠4，能判定哪两条直线平行?5.2.2平行线的判定练习题（1）答案： 1、A2、①同位角相等，两直线平行②内错角相等，两直线平行A BC D E F GH123 4 53、①内错角相等，两直线平行②同位角相等，两直线平行③内错角相等，两直线平行④同位角相等，两直线平行4、①FC 同位角相等，两直线平行②BE 内错角相等，两直线平行③ED∥AC 同位角相等，两直线平行5、B6、AE BD 内错角相等，两直线平行;∠2 ;等量代换；AC ED 同位角相等，两直线平行7、∵∠1=70°∴∠3=∠1=70°∴∠1=∠2=70°∴ AB ∥CD8、∵∠2=115°∴∠BCF=65°∴∠1=∠BCF∴BE ∥CF9、①∠2=∠3 或∠4=∠5或∠1=∠2②AB ∥CD③EF∥ GD。

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4.巩固新知，深化理解例1 如图，你能说出木工用图中的角尺画平行线的道理吗？
同位角相等，两直线平行.
4.巩固新知，深化理解
例2 如图， BE是AB的延长线.
（1）由∠CBE=∠A可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
答： AD∥BC .根据同位角相等，两直线平行.
D
C
A
B
E
4.巩固新知，深化理解
1.梳理旧知，引出新课
如何判断两条直线是否平行？（1）根据定义. （2）根据平行公理的推论.（传递性）
22、. 动平手操行作线，的归纳画方法法：
你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？
2、2．平动手行操线作的，归画纳法方法：
· 你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？
C
D
A
B
22．、动平手行操作线，的归画纳方法法：
你还记得如何用直尺和三角尺画平行线吗？
C
D
A
B
判定方法1 两条直线被第三条直线所截，
如果同位角相等，那么这两条直线平行.
3．简单推理，得出判定方法2和判定方法3
如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利用内错角来判定两条直线平行呢?
判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
D
C
A
B
E
2．学会分析，应用方法
问题2 如图，当∠1=∠2时,AB 与CD平行吗？
为什么？
E
答： AB∥CD .
理由如下： ∵ ∠1=∠2，又∵ ∠2=∠3 ，
1
A
B
C
3
D
2
F
∴ ∠1=∠3 .
∵ ∠1和∠3是同位角，
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
5.归纳小结
（1）本节课，你学习了哪些平行线的判定方法？
例2 如图， BE是AB的延长线. （2）由∠CBE=∠C可以判定哪两条直线平行？
根据是什么？
答： AE∥CD .根据内错角相等，两直线平行.
D
C
A
B
E
4.巩固新知，深化理解
例2 如图， BE是AB的延长线.
（3）由∠D+∠A= 180°可以判定哪两条直线平行？根据是什么？
答： AE∥CD .根据同旁内角互补，两直线平行.
（2）你能用自己的语言叙述得到平行线判定方法的过程吗？
（3）判定方法2和判定方法3是通过简单推理得到的，在推理论证中需要注意哪些问题？
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6.布置作业教科书习题5.2 第1、4、7题
3．简单推理，得出判定方法2和判定方法3
如果两条直线被第三条直线所截，那么能否利用同旁内角来判定两条直线平行呢?
判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
平行线的判定
判定方法1 同位角相等，两直线平行．判定方法2 内错角相等，两直线平行．判定方法3 同旁内角互补，两直线平行．