统计学：变异指标共59页
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统计指标 - 平均指标与变异指标 - PPT解剖
知道了各组标志值和各组标志 值总量，而未掌握频数时，加 权调和平均数公式
• 组距式分配数列的加权调和
首先要计算出他们的组中值，来代替标志值，然后还是按照同样的方
法来进行即可。
Practic - 某车间各等级奖金分配情况如表所示，计算该
车间的平均奖金额度。
平均奖金额度=奖金总额/总人数
xH
m1m2 (m1 m2
（1）简单调和平均数
例5-4 某市场黄瓜的价格早午晚分别为每千克2.40元，1.60 元，1.20元。如果某顾客早午晚各买一元钱的黄瓜，那么黄 瓜平均每千克的价格是多少。
3
1
1
1
＋
＋
2 .40 1 .60 1 .20
= 1.6 元/kg
xH
(
1
1
n .
.
.
..
1)
x1 x2
xn
（2）加权调和平均数
例4.其他条件不变, 若从甲市场购买2元, 从乙市 场购买3元, 求平均价格。 加权调和平均数=（2+3）/(2/2+3/3)=2.5
Harmonic Average
• 调和平均数 - 是根据分布中数据值的倒数来计算的算术
平均数，所以又称为倒数平均数，总体各单位标志值总和除 以数据总个数来计算。
分为两种，简单的调和平均数跟加权平均数。
• 对已分组的数据资料确定众数
在单项分组的数据分布中，出现次数最多的标志值即为众数。 例 5 -14 某车间50名工人每天加工零件情况如表所示。请计算众数
M 0 =16（件）
2、有组距数列确定众数
例5-15 某城市居民家庭年收入情况的抽样调查资料表如下， 求居民家庭年收入的众数。
第六章-变异指标
6
8 12 14
11
14 7 6 2
15 16
90
32 476
合 计 40
第四章 综合指标
1、计算工人平均日产量：
340 = 8.5(件) xf x 40 f 乙班: x 476 = 11.9(件) 40 2、计算日产量的标准差：
甲班： x
x f f
2
xf f
3 3
标准差的简捷计算
目的: 避免离差平方和计算过程的出现 变量值平方 的平均数
X X
2
N
2
变量值平均 数的平方
2
简单标准差 加权标准差
X
2
X N
2
X f f
Xf f
2
大象 500kg
1
二班成绩的标准差系数为：
2
表性比二班大。
例：
已知甲乙两个班组工人日产资料如下：
甲 班 日产量 工人数 （件） （人） 5 6 7 10 9 12 10 8 13 4 合计 40 乙 班 日产量 工人数 （件） （人） 8 11 12 14 14 7 15 6 16 2 合计 40
要求：比较一下哪个班组工人的平均日 产量的代表性高？
P Q N1 N0 N
具有某种标志表现的 单位数所占的成数
不具有某种标志表现 的单位数所占的成数
N
N 且有 P Q 1
N
N0
N1 N 0 N 1 N N N
是非标志总体的指标
均 值
XP
Xf f
1 N1 0 N 0 N1 P N N
统计学第五章(变异指标)
峰态及其度量
峰态定义
峰态是指数据分布的尖峭程度或扁平程度。在统计学中，峰态通常通过峰态系数 来度量。
峰态系数
峰态系数是描述数据分布峰态程度的一个统计量，通常表示为K。当K=3时，分 布呈正态分布，峰度适中；当K>3时，分布呈尖峰分布，即比正态分布更尖峭； 当K<3时，分布呈平峰分布，即比正态分布更扁平。
方差
要点一
定义
方差是在概率论和统计方差衡量随机 变量或一组数据时离散程度的度量， 用来度量随机变量和其数学期望（即 均值）之间的偏离程度。
要点二
计算公式
方差s^2=[(x1-x)^2+(x2x)^2+......(xn-x)^2]/n（x为平均数）。
要点三
性质
方差越大，说明随机变量取值越离散； 方差刻画了随机变量的取值对于其数学 期望的离散程度；若X的取值比较集 中，则方差D(X)较小，若X的取值比较 分散，则方差D(X)较大；因此，D （X）是刻画X取值分散程度的一个 量，它是衡量取值分散程度的一个尺 度。
变异系数的计算
01
注意事项
02
当数据集包含极端值时，变异系数可能会受到影响。
03
对于非正态分布的数据，变异系数的解释需谨慎。
变异系数的应用
比较不同数据集的离散程度
通过比较不同数据集的变异系数，可以评估它们 的相对波动程度。
在质量控制中的应用
通过计算产品质量的变异系数，计学第五章变异指
目
CONTENCT
录
• 变异指标概述 • 变异系数 • 极差、四分位差与平均差 • 标准差与方差 • 偏态与峰态的度量 • 变异指标在统计分析中的应用
01
变异指标概述
统计学基础课件 第五章 平均指标和变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 第二节 变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 ❖ 一、平均指标的意义和作用 ❖ 二、平均指标的种类和计算方法 ❖ 三、计算和运用平均指标应注意的问题
第五章 平均指标和变异指标
一、平均指标的意义和作用
❖概念：
又称统计平均数，是用以反映现象一般水平的指标，有静 态平均数和动态平均数之分。本节主要介绍静态平均数。
现资料之间存在一定数学关系，应首先考虑算术平均数 的变形公式 —— 调和平均法。
注: 调和平均法计算平均数时,依据的是加权算术平均法, 但又不能直接使用,须借助于某两个数值相除得到需要的 数值再计算平均数,故调和平均数是算术平均数的变型公 式。
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
❖ (二)调和平均数的计算公式
计算公式
简单式 未分组 加权式 已分组
x
n 1
x
单项式 组距式
m
x
m x
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某市场上有四种价格的苹果，每公斤分别为4、
5、8、10元，试计算：各买1元钱，平均每公斤多少 钱解？：平均单价：
xH
n
1 x
1 4
1 5
4 1 1
8 10
5.9(元/公斤)
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某小组5位成员某次考试的成绩分别为60分、88分、
75分、52分、96分，则该小组成员的平均成绩是多少？
解：平均成绩 x x 60 88 75 52 96 74.2(分)
n
5
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某商品有两种型号，单价分别为2元和3元，已
第一节 平均指标 第二节 变异指标
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标 ❖ 一、平均指标的意义和作用 ❖ 二、平均指标的种类和计算方法 ❖ 三、计算和运用平均指标应注意的问题
第五章 平均指标和变异指标
一、平均指标的意义和作用
❖概念：
又称统计平均数，是用以反映现象一般水平的指标，有静 态平均数和动态平均数之分。本节主要介绍静态平均数。
现资料之间存在一定数学关系，应首先考虑算术平均数 的变形公式 —— 调和平均法。
注: 调和平均法计算平均数时,依据的是加权算术平均法, 但又不能直接使用,须借助于某两个数值相除得到需要的 数值再计算平均数,故调和平均数是算术平均数的变型公 式。
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
❖ (二)调和平均数的计算公式
计算公式
简单式 未分组 加权式 已分组
x
n 1
x
单项式 组距式
m
x
m x
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某市场上有四种价格的苹果，每公斤分别为4、
5、8、10元，试计算：各买1元钱，平均每公斤多少 钱解？：平均单价：
xH
n
1 x
1 4
1 5
4 1 1
8 10
5.9(元/公斤)
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某小组5位成员某次考试的成绩分别为60分、88分、
75分、52分、96分，则该小组成员的平均成绩是多少？
解：平均成绩 x x 60 88 75 52 96 74.2(分)
n
5
第五章 平均指标和变异指标
数值平均数
【例】某商品有两种型号，单价分别为2元和3元，已
92变异指标医学统计学
体脂变异系数：
CV1
5.8 18.9
100%
30.69%
血清胆固醇变异系数：
CV2
1.036 100% 4.84
21.40%
体脂的变异程度高于血清胆固醇的变异程度
2023/12/29
12
常用指标的特点及其应用场合
指标
xs
Md Q Mo R
CV
特点
应用场合
精确，易受极端值影响 均匀分布的小样本数据或近似正态分布数据
变异指标
Index of Variation
2023/12/29
1
变异指标——又称离散指标，用以描述一组计量 资料各观察值之间参差不齐的程度。
变异指标越大，观察值之间差异愈大，说明平均 数的代表性就越差；反之亦然。
常用指标：极差、四分位数间距、方差、标准差、变 异系数等。
2023/12/29
2
一.极差
7
（二）标准差的定义
标准差即为方差的平方根，样本标准差符号为s，相应 的总体标准差符号为σ。
s x2 x2 n n 1
2023/12/29
8
三组同性别、同年龄儿童体重
甲组 26 28 30 32 34 乙组 24 27 30 33 36 丙组 26 29 30 31 24
丙组 3
乙组 2
稳定，不受特大或特小 值的影响
粗糙，不受极端数值的 影响
标准差与均数的比值， 无单位
应用范围广，特别是大样本偏态分布资料
小样本的探索性数据
比较不同资料或同类资料均数相差悬殊时变 异程度
2023/12/29
13
2023/12/29
14
甲组 1
0 20 24 28 32 36 40
统计学变异指标
全距是测定标志变动度的一种粗略方法。
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
优点：计算简单，含义明确，对于测定对称分
布的数列具有特殊优点。
缺点：它主要取决于极端数值，带有较大的偶 然性，往往不能充分反映现象的实际离散程度。
全距的作用
1、经常应用于生产过程的质ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ控制；
2、用于比较不同总体数值的均衡性或 平均数的代表性；
在两个总体或两组数据平均数相等时，要比较其平 均数代表性大小，这时： 全距较大的总体，其标志变异程度也较大，平均数的 代表性较小，或社会经济活动过程的均衡性或稳定性 较差；反之，则相反。
的平均考分。 （2）试问A、B两门课程平均
xA
65 70 75 80 85
375
xB
68 70 76 80 81
375 70 70
●
xC
79 85 90 95 100
449 75 76
●
甲 乙 丙 丁 戊
合 计
考分哪个更有代表性？
（3）试问A、C 两门课程平均 考分更有代表性？ 例如， 80 80 85 81
平均指标说明总体各单位变量值分布的集中趋势； 变异指标说明总体各单位变量值分布的离中趋势或分散程度。
离中趋势的概念： 指总体中各单位标志值背离分布中心（平均数）的 程度，也就是总体各单位标志值之间差异程度，用标志 变异指标反映其大小。
平均数
表 学生
序号
各课程考分（分）
（1）试计算A、B、C三门课程
2
【例2】根据未经分组的资料
xA xB
xA x A
-10
-5 0 5 10 —
表
学生 课程（分） 平均数离差 离差平方 平均数离差 离差平方 序号 2 2
( xA x A)
统计学课件--第六章变异指标
2000
277893.6 138.95元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
2019/11/1
课件
19
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差 三、平均差
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全 部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平 均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和 参与统计分析运算。
2019/11/1
课件
7
第六章 变异指标
【专栏6－1】
别把平均指标看得过重
目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳步增长， 但收入差距的扩大，已成为工资分配中的突出问题。1 月31日，国家发改委官方网站公布系列收入分配报告显 示，1990～2019年，城乡居民的工资性收入在居民总收 入中所占的比重从45.3%逐步提高到63.2%.但也就在这 一时期，平均货币工资收入最高最低行业之比由 1.76∶1扩大为4.88∶1。如果我们不注重行业间的收入 差距过大问题，不采取措施弥补这种差距，而是任其扩 大，一味追求平均指标的增长，那就无助于“整个社会 的生活状况”的改善，因为一个舰队的速度，取决于那 个最慢的船只。
2019/11/1
课件
8
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
2019/11/1
课件
9
第六章 变异指标
标准差
277893.6 138.95元
2000
即该公司职工月工资的平均差为138.95元。
2019/11/1
课件
19
第六章 变异指标
第二节 全距、分位差和平均差 三、平均差
平均差的特点
优点:不易受极端数值的影响，能综合反映全 部单位标志值的实际差异程度；
缺点:用绝对值的形式消除各标志值与算术平 均数离差的正负值问题，不便于作数学处理和 参与统计分析运算。
2019/11/1
课件
7
第六章 变异指标
【专栏6－1】
别把平均指标看得过重
目前，虽然过去15年中，中国居民工资性收入稳步增长， 但收入差距的扩大，已成为工资分配中的突出问题。1 月31日，国家发改委官方网站公布系列收入分配报告显 示，1990～2019年，城乡居民的工资性收入在居民总收 入中所占的比重从45.3%逐步提高到63.2%.但也就在这 一时期，平均货币工资收入最高最低行业之比由 1.76∶1扩大为4.88∶1。如果我们不注重行业间的收入 差距过大问题，不采取措施弥补这种差距，而是任其扩 大，一味追求平均指标的增长，那就无助于“整个社会 的生活状况”的改善，因为一个舰队的速度，取决于那 个最慢的船只。
2019/11/1
课件
8
第六章 变异指标
第一节 变异指标的基本理论
二、变异指标的种类
以标志值之间相互比较说明变异情况
全距 分位差
以平均数为比较标准来说明标志的变异情况 平均差 方差 标准差
平均差系数
标准差系数
以正态分布为标准说明分配数列偏离情况的指标
峰度 偏度
2019/11/1
课件
9
第六章 变异指标
标准差
统计讲稿第七章 变异指标.ppt
第七章 变异指标
1
变异指标
（1）变异指标的概念： • 变异指标又称标志变动度，它综合反映
总体各个单位标志值的差异程度或离散 程度。 • 以平均指标为基础，结合运用变异指标 是统计分析的一个重要方法。
2
变异指标的作用 ①反映现象总体各单位标志值分布的离
中趋势。
• 在统计分祈过程中，进行相关分析、趋势分析、 抽样推断和统计预测决策等等，都需要利用标 志变异指标。它是统计分析的—个重要基本指 标。
21
平均差的应用
• 平均差越大，标志变异程度越大，平均差越 小，标志变异越小。
• 可以客观全面地评价总体标志的变异程度。 • 因为有绝对值运算，所以运算繁琐，不易计
算。
22
③标准差σ
• 标准差：总体中各单位标志值与 算术平均数的离差平方的算术平 均数的平方根，又称为均方差。
• 它是测定标志变动程度的最主要 的指标。
41
解：
甲品种
Xf
xf x x x x 2 f
500 1.2 600 0
450 1.1 495 -50
445 1.0 445 -55
600 0.9 540 100
525 0.8 420 25
合 计 5.0 2500
—
0 2750 3025 9000
500
15275
乙品种
x
f
xf x x x x 2 f
3
②说明平均指标的代表性程度；
• 平均指标作为总体一定数量标志的代 表值，其代表性决定于总体各单位标 志数值的差异程度。
• 它与标志变异指标存直接关系。这种 关系表现为：总体数值标志变异指标 愈大，平均指标的代表性愈小；标志 变异指标愈小，平均指标的代表性愈 大。
1
变异指标
（1）变异指标的概念： • 变异指标又称标志变动度，它综合反映
总体各个单位标志值的差异程度或离散 程度。 • 以平均指标为基础，结合运用变异指标 是统计分析的一个重要方法。
2
变异指标的作用 ①反映现象总体各单位标志值分布的离
中趋势。
• 在统计分祈过程中，进行相关分析、趋势分析、 抽样推断和统计预测决策等等，都需要利用标 志变异指标。它是统计分析的—个重要基本指 标。
21
平均差的应用
• 平均差越大，标志变异程度越大，平均差越 小，标志变异越小。
• 可以客观全面地评价总体标志的变异程度。 • 因为有绝对值运算，所以运算繁琐，不易计
算。
22
③标准差σ
• 标准差：总体中各单位标志值与 算术平均数的离差平方的算术平 均数的平方根，又称为均方差。
• 它是测定标志变动程度的最主要 的指标。
41
解：
甲品种
Xf
xf x x x x 2 f
500 1.2 600 0
450 1.1 495 -50
445 1.0 445 -55
600 0.9 540 100
525 0.8 420 25
合 计 5.0 2500
—
0 2750 3025 9000
500
15275
乙品种
x
f
xf x x x x 2 f
3
②说明平均指标的代表性程度；
• 平均指标作为总体一定数量标志的代 表值，其代表性决定于总体各单位标 志数值的差异程度。
• 它与标志变异指标存直接关系。这种 关系表现为：总体数值标志变异指标 愈大，平均指标的代表性愈小；标志 变异指标愈小，平均指标的代表性愈 大。
统计学第三章 平均指标与变异指标 及习题ppt课件
二、标志变异指标的作用
（一）衡量平均数代表性的尺度
（二）反映现象的均衡性和稳定性
在控制产品质量、进行投资分析和评价经济管理 工作中有重要的意义。
可编辑课件
38
第二节 变异指标
三、变异指标的分类 变异指标主要有：全距、平均差、方差、标准差和 离散系数等。 （一）全距（range） 又称极差，是同质总体各单位标志值中最大值与最 小值之差。
按奖金分组（元） 调查户数（户）
500元以下
40
500～800
90
800～1100
110
1100～1400
105
1400～1700
70
1700～2000
50
2000以上
35
合计
500
可编辑课件
向上累计
40 130 240 345 415 465 500
向下累计 500 460 370 260 155 85 35
1. 简单算术平均数 根据未分组的原始统计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成 总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平均 法。
可编辑课件
4
第一节 平均指标
计算公式为：
X x1 x2 n
n
xn i1 xi
n
2. 加权算术平均数
根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的 方法，称为加权算术平均法。
x y , 5,=
出现结果：1.0309 即103.1%
可编辑课件
19
例2：某企业生产某一产品，要经过铸造、金加工、电 镀三道工序，各工序产品合格率分别为98%、85%、 90%，求三道工序的平均合格率。
X XX X n G
1
...
（一）衡量平均数代表性的尺度
（二）反映现象的均衡性和稳定性
在控制产品质量、进行投资分析和评价经济管理 工作中有重要的意义。
可编辑课件
38
第二节 变异指标
三、变异指标的分类 变异指标主要有：全距、平均差、方差、标准差和 离散系数等。 （一）全距（range） 又称极差，是同质总体各单位标志值中最大值与最 小值之差。
按奖金分组（元） 调查户数（户）
500元以下
40
500～800
90
800～1100
110
1100～1400
105
1400～1700
70
1700～2000
50
2000以上
35
合计
500
可编辑课件
向上累计
40 130 240 345 415 465 500
向下累计 500 460 370 260 155 85 35
1. 简单算术平均数 根据未分组的原始统计资料，将总体各单位的标志值简单加总形成 总体标志总量，而后除以总体单位总数，这种方法为简单算术平均 法。
可编辑课件
4
第一节 平均指标
计算公式为：
X x1 x2 n
n
xn i1 xi
n
2. 加权算术平均数
根据分组整理而形成的变量数列计算算术平均数的 方法，称为加权算术平均法。
x y , 5,=
出现结果：1.0309 即103.1%
可编辑课件
19
例2：某企业生产某一产品，要经过铸造、金加工、电 镀三道工序，各工序产品合格率分别为98%、85%、 90%，求三道工序的平均合格率。
X XX X n G
1
...
第三章第2节变异指标课件
2 分布变异指标：描述分布状态的指标，说 明统计分布偏离正态分布的情况。 如，偏度、峰度。
3
二、全距（R）：又称“极差”。
在分组条件下， 例如：假定两组学生身高资料如下：（单位：cm） 甲组：160，165，170，175，180。 乙组：168，169，170，171，172。
全距的特点：极差的优点是计算简便，直观，容 易理解。不足之处是它只以两个极端的标志值计 算，而不考虑总体内部的分配状况，不能充分利 用数列的全部信息，因此，它无法反映标志值变 动的一般程度。
例如，产品分为合格品与不合格品； 人口按性别分为男与女两组。
2.成数 （1）定义：总体中，是非标志只有两种表现，我们把 具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总体单 位数的比重称为成数。
例如，考试及格率、产品合格率、男生比重等。
20
（2）设总体的n个单位中，具有 某种特征的单位数是 n1个，不具有某种特征的单位数是n0个，n1+n0=n 。则有
28
(2)偏度：偏度是用于衡量分布的不对称程度或偏 斜程度的指标。 计算公式：
29
正态分布曲线左右完全对称，三阶中心动差 m3等于0，即α=0。当分布不对称时，则三阶中 心动差不为0，其分布的偏斜程度使大于0或小于0。 如下图所示，当α=0时为正态分布；当α >0时为 正偏斜；当α<0时为负偏斜。
14
（三）方差的数学性质
1.变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均 数的平方。 由于
根据这个关系式，可以进行方差或标准差的简化计算。 2.变量对算术平均数的方差小于对任意常数的方差。
即 设x0为任意常数，S2为变量对x0的方差，则：
15
3.n个同性质独立变量代数和的方差等于各变量方 差之和。 若两变量： 对于标准差：
3
二、全距（R）：又称“极差”。
在分组条件下， 例如：假定两组学生身高资料如下：（单位：cm） 甲组：160，165，170，175，180。 乙组：168，169，170，171，172。
全距的特点：极差的优点是计算简便，直观，容 易理解。不足之处是它只以两个极端的标志值计 算，而不考虑总体内部的分配状况，不能充分利 用数列的全部信息，因此，它无法反映标志值变 动的一般程度。
例如，产品分为合格品与不合格品； 人口按性别分为男与女两组。
2.成数 （1）定义：总体中，是非标志只有两种表现，我们把 具有某种表现或不具有某种表现的单位数占全部总体单 位数的比重称为成数。
例如，考试及格率、产品合格率、男生比重等。
20
（2）设总体的n个单位中，具有 某种特征的单位数是 n1个，不具有某种特征的单位数是n0个，n1+n0=n 。则有
28
(2)偏度：偏度是用于衡量分布的不对称程度或偏 斜程度的指标。 计算公式：
29
正态分布曲线左右完全对称，三阶中心动差 m3等于0，即α=0。当分布不对称时，则三阶中 心动差不为0，其分布的偏斜程度使大于0或小于0。 如下图所示，当α=0时为正态分布；当α >0时为 正偏斜；当α<0时为负偏斜。
14
（三）方差的数学性质
1.变量的方差等于变量平方的平均数减去变量平均 数的平方。 由于
根据这个关系式，可以进行方差或标准差的简化计算。 2.变量对算术平均数的方差小于对任意常数的方差。
即 设x0为任意常数，S2为变量对x0的方差，则：
15
3.n个同性质独立变量代数和的方差等于各变量方 差之和。 若两变量： 对于标准差：
第五章 平均指标和变异指标 《统计学原理》PPT课件
第五章 平均指标和变异指标
第一节 平均指标的概念和作用
一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内 各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件 下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值 表现为平均数。
二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集
(二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同 单位、地区间进行比较研究
G
f 1 f 2 f 3 fn X1 f 1 • X 2 f 2 • X 3 f 3 • X n fn
f
Xf
［公式5—8］
第五节 众数和中位数
一、众数
在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在 统计上称为众数。
下限公式:
M0
L
( f0
( f0 f 1 ) f 1) ( f0
•i f 1 )
X1 X 2 X 3
Xn
m
1 X
［公式5—6］
[例5-4]某农产品收购部门,某月购进三批 同种产品,每批产品的价格及收购金额见表 5-3,求三批产品的价格.
［例 5-4］
第一批 第二批 第三批
合计
价格X(元/千 克) 50 55 60
_
收购金额 m(元) 11000 27500 18000
56500
(三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值 的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和 趋势
二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的 依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策 和某些推算的依据
第二节 算术平均数
一、算术平均数的基本形式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
［公式5—1］
例如,某公司某月的工资总额为744万元,工 人总数为2000人,则该公司工人的月平均工 资为:
第一节 平均指标的概念和作用
一、平均指标的概念 平均指标，是同类社会经济现象总体内 各单位某一数量标志在一定时间、地点和条件 下数量差异抽象化的代表性水平指标，其数值 表现为平均数。
二、平均指标的作用 (一)利用平均指标，可以了解总体次数分布的集
(二)利用平均指标，可以对若干同类现象在不同 单位、地区间进行比较研究
G
f 1 f 2 f 3 fn X1 f 1 • X 2 f 2 • X 3 f 3 • X n fn
f
Xf
［公式5—8］
第五节 众数和中位数
一、众数
在观察某一总体时，最常遇到的标志值，在 统计上称为众数。
下限公式:
M0
L
( f0
( f0 f 1 ) f 1) ( f0
•i f 1 )
X1 X 2 X 3
Xn
m
1 X
［公式5—6］
[例5-4]某农产品收购部门,某月购进三批 同种产品,每批产品的价格及收购金额见表 5-3,求三批产品的价格.
［例 5-4］
第一批 第二批 第三批
合计
价格X(元/千 克) 50 55 60
_
收购金额 m(元) 11000 27500 18000
56500
(三)利用平均指标，可以研究某一总体某种数值 的平均水平在时间上的变化，说明总体的发展过程和 趋势
二、平均指标的作用 (四)利用平均指标，可以分析现象之间的 依存关系 (五)平均指标可作为某些科学预测、决策 和某些推算的依据
第二节 算术平均数
一、算术平均数的基本形式
算术平均数
总体标志总量 总体单位总数
［公式5—1］
例如,某公司某月的工资总额为744万元,工 人总数为2000人,则该公司工人的月平均工 资为:
统计第五章变异指标
❖ 由于各变量值与其算术平均数离差的代数和 的值为0，所以采取算绝对值的办法；
❖ 能够全面反应一组数据的离散程度； ❖ 数学性质较差，实际运用的比较少；
计算方法
1.对于未分组资料 A ·D=
2.对于分组资料 A ·D=
例1
❖ 1、 试分别以算术平均数为基准， ❖ 求85，69，69，74，87，91，74这些数字
❖ 某开发商根据这一报导，将房屋的户型大部 分都设计为适合三口之家居住的样式和面积， 你认为如何呢？
例2
❖ 设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的 两个抽样总体。成人组平均体重为65千克， 全距为10千克；婴儿组平均体重为4千克，全 距为2.5千克。
❖ 能否认为成人组体重的离势比婴儿组体重的 离势大？
Z分数的标准差等于1，方差也等于1
三定则及其应用
❖ 社会经济统计是研究大量社会经济现象数量方 面的。在大量观察下，许多现象总体内的次数分 布呈正态分布，即以平均数为中心，中间大，两 头小的分布状态。数理统计证明，在正态分布情 况下：
❖ x 可包括总体单位数的 68.27%
❖ x 2 可包括总体单位数的 95.45% ❖ x 3 可包括总体单位数的 99.73%
4. 用于衡量众数的代表性 5.不仅用于定距变量,还可以用于定类与定序变量.
异众比率
(例题)
根据下表中的数据，计算异众比率
某城市居民关注广告类型的频数分布
广告类型
人数(人)
频率(%)
商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘广告 其他广告
112
56.0
51
25.5
9
4.5
16
8.0
10
5.0
❖ 能够全面反应一组数据的离散程度； ❖ 数学性质较差，实际运用的比较少；
计算方法
1.对于未分组资料 A ·D=
2.对于分组资料 A ·D=
例1
❖ 1、 试分别以算术平均数为基准， ❖ 求85，69，69，74，87，91，74这些数字
❖ 某开发商根据这一报导，将房屋的户型大部 分都设计为适合三口之家居住的样式和面积， 你认为如何呢？
例2
❖ 设为测体重，得到成人组和婴儿组各100人的 两个抽样总体。成人组平均体重为65千克， 全距为10千克；婴儿组平均体重为4千克，全 距为2.5千克。
❖ 能否认为成人组体重的离势比婴儿组体重的 离势大？
Z分数的标准差等于1，方差也等于1
三定则及其应用
❖ 社会经济统计是研究大量社会经济现象数量方 面的。在大量观察下，许多现象总体内的次数分 布呈正态分布，即以平均数为中心，中间大，两 头小的分布状态。数理统计证明，在正态分布情 况下：
❖ x 可包括总体单位数的 68.27%
❖ x 2 可包括总体单位数的 95.45% ❖ x 3 可包括总体单位数的 99.73%
4. 用于衡量众数的代表性 5.不仅用于定距变量,还可以用于定类与定序变量.
异众比率
(例题)
根据下表中的数据，计算异众比率
某城市居民关注广告类型的频数分布
广告类型
人数(人)
频率(%)
商品广告 服务广告 金融广告 房地产广告 招生招聘广告 其他广告
112
56.0
51
25.5
9
4.5
16
8.0
10
5.0
变异指标
6—15 15
用计算器计算下述数据及其分组资料的总方差、组 用计算器计算下述数据及其分组资料的总方差、 内方差均值和组间方差（ 内方差均值和组间方差（抽样法中将要求计算这三种 2 形式的“方差”）；并验证等式 形式的“方差”）；并验证等式 2= σ 2 + σ w . σ X：15，17，19，20，22，22，23，23, 25，26，30 25，26， ：15，17，19，20，22，22，23， 分组： 分组： ①组 ②组 ③组 总方差:用上述11个数值计算, 11个数值计算 总方差:用上述11个数值计算,得σ 2=16.18 组内方差均值:分组算方差 分组算方差, 组内方差均值 分组算方差,再用各组次数加权平均 分组 ① ② ③ σ2 均值 17 22 27 2.67 × 3 + 1.2 × 5 + 4.67 × 3 = 3+5+3 组内方差 2.67 1.2 4.67 次数 3 5 3 = 2.54
1 A .D = n
n
∑
n
i=1
总偏差； 总偏差； 消除项数n的影响 的影响,平均每一项数据的偏差是 消除项数 的影响 平均每一项数据的偏差是
i= 1
Xi − X
来表示这一
∑
n
i= 1
Xi − X
其中
1 X = n
∑X
i=1
n
i
为变量X的平均差 称A.D.为变量 的平均差。当资料分组时，平均差是 为变量 的平均差。当资料分组时，
注意思考 这些概念是如何提出和建立的 ！
6—5 5
第二节
全距、 全距、四分位距与平均差
一、全距R 全距 全距R用全部数据所在的区间长度表示变量的变异 全距 用全部数据所在的区间长度表示变量的变异 程度： 程度： R = max{X} - min{X} 全距仅考虑变量的最大最小值，简单而粗糙， 全距仅考虑变量的最大最小值，简单而粗糙，应 用范围较窄。 用区间长度衡量变异程度， 用范围较窄。 用区间长度衡量变异程度，数据
用计算器计算下述数据及其分组资料的总方差、组 用计算器计算下述数据及其分组资料的总方差、 内方差均值和组间方差（ 内方差均值和组间方差（抽样法中将要求计算这三种 2 形式的“方差”）；并验证等式 形式的“方差”）；并验证等式 2= σ 2 + σ w . σ X：15，17，19，20，22，22，23，23, 25，26，30 25，26， ：15，17，19，20，22，22，23， 分组： 分组： ①组 ②组 ③组 总方差:用上述11个数值计算, 11个数值计算 总方差:用上述11个数值计算,得σ 2=16.18 组内方差均值:分组算方差 分组算方差, 组内方差均值 分组算方差,再用各组次数加权平均 分组 ① ② ③ σ2 均值 17 22 27 2.67 × 3 + 1.2 × 5 + 4.67 × 3 = 3+5+3 组内方差 2.67 1.2 4.67 次数 3 5 3 = 2.54
1 A .D = n
n
∑
n
i=1
总偏差； 总偏差； 消除项数n的影响 的影响,平均每一项数据的偏差是 消除项数 的影响 平均每一项数据的偏差是
i= 1
Xi − X
来表示这一
∑
n
i= 1
Xi − X
其中
1 X = n
∑X
i=1
n
i
为变量X的平均差 称A.D.为变量 的平均差。当资料分组时，平均差是 为变量 的平均差。当资料分组时，
注意思考 这些概念是如何提出和建立的 ！
6—5 5
第二节
全距、 全距、四分位距与平均差
一、全距R 全距 全距R用全部数据所在的区间长度表示变量的变异 全距 用全部数据所在的区间长度表示变量的变异 程度： 程度： R = max{X} - min{X} 全距仅考虑变量的最大最小值，简单而粗糙， 全距仅考虑变量的最大最小值，简单而粗糙，应 用范围较窄。 用区间长度衡量变异程度， 用范围较窄。 用区间长度衡量变异程度，数据
变 异 指 标
甲组 乙组
2 =
( X X )2 1 000
200
= ( X X )2 1 000 14.1
N
5
N
5
2 =
(X X )2 250 50
N
5
= ( X X )2 250 7.1
N
5
（一）简单法
任务
16
变异指标
四、方差与标准差
如果掌握的是经过加工整理的分组资料，则需要采用加权法，其计算公式为
14
任务
变异指标
四、方差与标准差
如果掌握的是未分组的原始资料，计算时用简单法，其计算公式为：
方差 标准差
(X X )2
2=
N
(X X )2
N
（3-32） （3-33）
（一）简单法
任务
15
变异指标
四、方差与标准差
【例3-29】
现仍以例3-23中所举的甲、乙两组工资资料为例，计算方差和标准差。 解：计算甲、乙两组工人工资的离差和离差平方，如表3-15（P114）。
解：计算50名学生学习成绩的平均指标：
X
Xf f
3 900 50
78（分）
这50名学生按学习成绩分组情况及相关资料填入表3-14中。（表在113页 见教材）
（二）加权平均法
12
任务
变异指标
三、平均差
平均差的优点
平均差的缺点
•
综合反映了总体各单位标志
值变动程度，能够全面、准确地
反映数据的离散情况。
（3-30）
（一）简单平均法
9
任务
变异指标
三、平均差
【例3-27】
以例3-23中所举的甲、乙两组工人工资为例，计算平均差。 解：计算甲、乙两组工人工资的离差和离差绝对值，如表3-13所示（略）。
【优】变异指标PPT资料
变异指标的计算
全距又称极差，它是总体各单位标志值中最大值与最 小值之差，用 R表示，其公式表示为R=最大标志 值—最小标志值
如前面甲乙两培训班学员年龄之例中：
甲班学员年龄全距 R=60一19＝41（岁） 乙班学员年龄全距 R＝41－ 30 ＝11（岁） 全距这个指标直观、易于理解且计算方便。
常见的有全距系数、平均差系数、标准差系数等，其中最常用的是标准差系数。
如果掌握的资料分组时，应采用加权平均法计算平均差，其计算公式为
又称均方差， 用 表示
标志变例20] 对于为分组资料，仍以甲、乙两班学员的年龄为例，计算其标准差，见表5—17
一般而言，平均差越大，标志变动度越大，平均数代表性越小，反之，平均数代表性越大。
标志变异指标的作用 可以衡量平均指标的代表性。
标志变异指标可以说明社会经济现象变动过程的均衡 性、节奏性和稳定性。
标志变异指标的大小有助于确定必要的抽样数目 标志变异指标的种类 反映总体各单位标志值变动范围的指标 —— 全距。 反映总体各单位标志值对平均数离差程度的指标 —
— 平均差、标准差及标准差系数。
[例21]对于分组资料：已知甲车间工人的平均日产量42千 克，其标准差为千克。乙车间工人的产量资料如下， 计算乙车间工人的平均日产量及标准差。见表5—18。
乙车间平均产量：
x xf 8400 42（千克） f 200
乙车间标准差：
x x 2 f
12200
（千克）
7.8
f
200
说明乙车间工人平均日产量的代表性小于 甲车间。
（四）标准差系数
[例22] 某车间某小组有6个工人，分别带了1个徒工， 其日产量（件）数列如下：
（三）标准差
统计42平均与变异指标
平均工资为：
x x i 6 0 70 8 10 0 15 1 9 0 0 0 8 0 0 ( 元 8 )6
n
5
2019/9/14
扬州大学管理学院
6
99 90
93
97 75 72
81
86.33
82
简单算术平均数特点
去掉一个最高分…
受各3 变量值本身大小的影响 不会3超号过参变赛量选手值的的最变终动得范分围是86.33分。” 受极端变量值的影响较明显 切尾均值
80 — 90
5
50
90 —100 10
80
100 —110 120
200
110 —120 30
70
合 计 165
400
组中值 (%) x
85 95 105 115 —
m 计划产值 x 59 84 190 61 394
平均计划完成程度
xh =
∑m m
∑x
400 =
394
= 101.52%
说明：该工业局实际比计划多完成6万元，超额1.52%
y分数 人y数f f 1组0中0值x2 xf y 50
Y=x-75
yf
xy 7 5 2 7 5 7分 7
60以下 2
55
110
－20
－40
z60—70 z11f 165007.125 70—80 1f8 5750 1350
－10 0
80—90 13
85
1105
2019/9/14
扬州大学管理学院
7
（2）加权算术平均数: 适用于分组资料。
根据分组资料计算算术平均数，平均数的大小不
仅受到各组变量值大小的影响，而且受到各个变量