专题06 数列第十四讲 递推数列与数列求和(原卷版)

专题06数列

第十四讲递推数列与数列求和

2019年

1.（2019江苏20）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.

（1）已知等比数列{a n }*()n ∈N 满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证：数列{a n }为“M －数列”；

（2）已知数列{b n }*()n ∈N 满足：11

1221,

n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和．①求数列{b n }的通项公式；

②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }*()n ∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c + 成立，求m 的最大值．2.（2019浙江10）设a ，b ∈R ，数列{a n }中a n =a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ,则A ．当b =12时，a 10＞10

B ．当b =14

时，a 10＞10C ．当b =-2时，a 10＞10D ．当b =-4时，a 10＞10

3.（2019浙江20）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列.

（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式；

（2

）记,n c n *=∈N

证明：12+.n c c c n *++<∈N 2015-2018年

1．（2018天津）设{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S (*n ∈N )；{}n b 是等比数列，公比大于0，其前n 项

和为n T (*n ∈N )．已知11b =，322b b =+，435b a a =+，5462b a a =+．

(1)求n S 和n T ；

(2)若12()4n n n n S T T T a b +++⋅⋅⋅+=+，求正整数n 的值．

2．设（2017新课标Ⅲ）数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋅⋅⋅+-=．

(1)求{}n a 的通项公式；

(2)求数列{}21

n a n +的前n 项和．3．（2016全国I 卷）已知{}n a 是公差为3的等差数列，数列{}n b 满足11b =，213

b =，11n n n n a b b nb +++=．

（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）求{}n b 的前n 项和．

4．（2016年全国II 卷）等差数列{n a }中，34574,6a a a a +=+=．

(Ⅰ)求{n a }的通项公式；(Ⅱ)设[]n n b a =，求数列{}n b 的前10项和，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0，[2.6]=2．

5．（2015浙江）已知数列{}n a 和{}n b 满足，12a =，11b =，*

12(N )n n a a n +=∈，1231123b b b +++*111(N )n n b b n n ++=-∈．（Ⅰ）求n a 与n b ；（Ⅱ）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T ．

6．（2015湖南）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知121,2a a ==，

且23n n a S +=*

13,()n S n N +-+∈．（Ⅰ）证明：23n n a a +=；（Ⅱ）求n S ．