重庆市数学高三理数4月第一次模拟考试试卷A卷

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2024学年重庆市一中数学高三上期末调研模拟试题含解析

2024学年重庆市一中数学高三上期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试题卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知x ,y 满足不等式组2202100x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩,则点(),P x y 所在区域的面积是( )A ．1B ．2C ．54D ．452．已知0a >且1a ≠，函数()1log ,031,0a x x a x f x x ++>⎧=⎨-≤⎩，若()3f a =，则()f a -=（） A ．2B ．23 C ．23-D ．89-3．已知函数()()()2ln 14f x ax x ax =-+-，若0x >时，()0f x ≥恒成立，则实数a 的值为（）A ．2eB ．4e CD4．已知i 为虚数单位，复数()()12z i i =++，则其共轭复数z =（） A ．13i +B ．13i -C ．13i -+D ．13i --5．对于函数()f x ，定义满足()00f x x =的实数0x 为()f x 的不动点，设()log a f x x =，其中0a >且1a ≠，若()f x 有且仅有一个不动点，则a 的取值范围是（） A ．01a <<或a =B．1a <<C ．01a <<或1e a e =D ．01a <<6．《九章算术》中记载，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱，阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图，在堑堵111ABC A B C -中，AC BC ⊥，12AA =，当阳马11B ACC A -体积的最大值为43时，堑堵111ABC A B C -的外接球的体积为（）A ．4π3B ．82π3C ．32π3D ．642π37．已知(),A A A x y 是圆心为坐标原点O ，半径为1的圆上的任意一点，将射线OA 绕点O 逆时针旋转23π到OB 交圆于点(),B B B x y ，则2AB yy +的最大值为（）A ．3B ．2C ．3D ．58．由实数组成的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则“a 1>0”是“S 9>S 8”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知平面向量,a b 满足||||a b =，且(2)a b b -⊥，则,a b 所夹的锐角为（）A ．6π B ．4π C ．3π D ．010．已知命题p ：x ∀∈R ，210x x -+<；命题 q ：x ∃∈R ，22x x >，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．p q ⌝∧⌝11．某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）.A ．22S ，且3SB ．22S ，且23SC ．22S ，且3SD ．22S ，且23S12．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市2023届高三4月诊断模拟数学试题含解析

数学试题（答案在最后）注意事项：1.作答前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，答题卡交回.一、选择题：本题共8小题、每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 满足()12i 2i iz -=-，则z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D 【解析】【分析】先运用复数的除法规则求出z ，再根据复数的几何意义求解.【详解】i 3+==，()()()()3i 12i 3i 1i 12i 12i 12i z -+-====+--+，1i z ∴=-，实部为1，虚部为-1，所以z 在第四象限；故选：D.2.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据sin 2sin 2A B =结合三角函数的性质，可得A B =或π2A B +=，进而可求解.【详解】若sin 2sin 2A B =，则222π,Z A B k k =+∈或22π+2π,Z A B k k +=∈，由于在三角形中，所以22A B =或22πA B +=，故A B =或π2A B +=，当A B =时，则a b =，但π2A B +=时，,a b 关系不确定；反过来，若a b =，则必有A B =，sin 2sin 2A B =．故“sin 2sin 2A B =”是“a b =”的必要不充分条件，故选：B3.已知抛物线()220y px p =>的准线过双曲线2213xy -=的一个焦点，则p =（）A.1B.2C.4D.8【答案】C 【解析】【分析】求出抛物线22y px =的准线方程和双曲线2213x y -=的焦点坐标，由条件列方程求p .【详解】抛物线()220y px p =>的准线方程为2p x =-，双曲线2213x y -=的左焦点的坐标为()2,0-，右焦点的坐标为()2,0，因为抛物线22y px =的准线过双曲线2213x y -=的一个焦点，所以22p=，所以4p =，故选：C.4.林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm ，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm ，则估计该大树属于（）A.一级B.二级C.三级D.不是古树【答案】C 【解析】【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前n 项和，求n .【详解】设树干的截面圆的半径为r ，树干周长2π 3.14r =，0.5m 50cm r ==，从内向外数：50.4a =，40.2n a -=，()54500.32n n a a n S r n-+⋅====，∴5001673n =≈年，所以为三级.故选:C5.已知函数()()y f x x =∈R 如满足：(3)()f x f x +=-，()()0f x f x -+=，且[3,0)x ∈-时，8()log (4)f x x =+，则(2024)f =（）A.3-B.13-C.0D.13【答案】B 【解析】【分析】先判断出函数()f x 是周期为6的周期函数，再利用周期性直接求解即可．【详解】由(3)()f x f x +=-，则(6)(3)()f x f x f x +=-+=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又()()0f x f x -+=，即()()f x f x =--，所以81(2024)(2)(2)log 23f f f ==--=-=-．故选：B ．6.在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =，13AA =，以1C 为球心，3为半径的球面与侧面11ABB A 的交线长为（）A.9 B.9C.3D.9【答案】B 【解析】【分析】设1D 为11A B 的中点，证明11C D ⊥平面11ABB A ，根据球的截面性质确定交线的形状，结合弧长公式求交线长.【详解】设1D 为11A B 的中点，连接11C D ，因为112A B AB ==，111A B C △为等边三角形，所以11C D =，因为1111C D A B ⊥，111C D AA ⊥，1111A B AA A ⋂=，111,A B AA ⊂平面11ABB A ，所以11C D ⊥平面11ABB A ，所以以1C 为球心，3为半径的球面与平面11ABB A 的交线为以1D 为圆心的圆，3=，可得交线即以1D 为圆心，3为半径的圆弧，设该圆弧与1AA ，1BB 分别相交于点M ，N ，因为13MD =，111A D =，所以11cos 2MD A ∠=，因为11π0,2MD A ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以11π6MD A ∠=所以12π3MD N ∠=，故交线长12π339l =⨯⨯=.故选：B.7.函数()()sin f x A x =+ωϕ，（0A >，0ω>，0πϕ<<）的部分图象如图中实线所示，图中圆C 与()f x 的图象交于M ，N 两点，且M 在y 轴上，则下说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期是10π9B.函数()f x 在7ππ,123⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f x 的图象向左平移π12个单位后关于直线π4x =对称D.若圆C 的半径为5π12，则函数()f x 的解析式为()3ππsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】根据函数的图象，求得()f x 的最小正周期，可判定A 错误；利用五点作图法，求得π3ϕ=，结合三角函数的性质，可判定B 错误；利用三角函数的图形变换得到平移后的函数解析式为()cos 2g x A x =，进而判定C 错误；利用222CMOM OC =+，求得A 的值，可判定D 正确.【详解】解：由函数()f x 图象，可得点C 的横坐标为π3，所以函数()f x 的最小正周期为ππ2[(π36T =--=，所以A 不正确；又由2π2Tω==，且π(06f -=，即ππsin[2(]sin()063ϕϕ⨯-+=-+=，根据五点作图法且0πϕ<<，可得π03ϕ-+=，解得π3ϕ=，因为7ππ,123(x --∈，可得π5ππ,3632()x +--∈，结合三角函数的性质，可得函数()f x 在7ππ,12(3--是先减后增的函数，所以B 错误；将函数()f x 的图象向左平移π12个单位后，得到()πsin(2cos 22g x A x A x =+=，可得对称轴的方程为2π,Z x k k =∈，即π,Z 2k x k =∈，所以π4x =不是函数()g x 的对称轴，所以C 错误；当0x =时，可得()π0sin32f A A ==，即2OM A =,若圆的半径为5π12，则满足222CM OM OC =+，即2225ππ())()1223A =+，解得A =，所以()f x 的解析式为()πsin 263f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以D 正确.故选：D.8.已知定义在R 上的函数()f x 满足，()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >，()11f =，则关于x 的不等式()()()1122227f x f x f x +-++≤的解集为（）A.[)1,+∞B.[]1,1- C.[]22-,D.[)2,+∞【答案】B 【解析】【分析】根据题意得()f x 为R 上的奇函数，且为增函数，又由题得()()()27222f x f xf x -++≤，令()()()()222f x f xg x f x -=++，得()g x 为R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，得()()1g x g ≤即可解决.【详解】由题知，定义在R 上的函数()f x 满足，()()()1212f x x f x f x +=+，且当0x >时，()0f x >，()11f =，所以()()()0000f f f +=+，即()00f =，又()()()(0)0f x f x f x x f +-=-==，所以()f x 为R 上的奇函数，设12x x <，()()()()()121121210f x f x f x f x x x f x x -=-+-=--<，所以()f x 为R 上的增函数，因为()()()1122227f x f x f x +-++≤()()()27222f x f x f x -⇔++≤，令()()()()222f x f x g x f x -=++，因为()()()()222f x f x g x f x -=++为R 上的偶函数，且在[)0,∞+上单调递增，()712g =，所以()()1g x g ≤，所以11x -≤≤，故选：B ．二、选择题：本大题共4小题、每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分、有选错的得0分，部分选对的得2分.9.已知平面向量()2,1a =- ，()4,2b = ，()2,c t =，则下列说法正确的是（）A.若bc ⊥，则4t =B.若//a c，则1t =-C.若1t =，则向量a 在c上的投影向量为35c - D.若4t >-，则向量b与c的夹角为锐角【答案】BC 【解析】【分析】根据向量线性运算即数量积公式可判断AB 选项，根据投影向量定义可得判断C 选项，由4t >-可得0b c ⋅>，但此时向量b与c的夹角可以为零角并非锐角，可得D 错误.【详解】解：已知平面向量(2,1)a =-，(4,2)b = ，(2,)c t = ，对于A ，若bc⊥，可得0b c ⋅=，即4220t ⨯+=，解得4t =-，所以A 选项错误；对于B ，若//a c，根据平面向量共线性质，可得221t-=，即1t =-，所以B 选项正确；对于C ，若1t =，则(2,1)c =，由投影向量定义可知向量a 在c 上的投影向量为222413215a c c c c c⋅-+⋅==-+，所以C 选项正确；对于D ，若4t >-，则422820b c t t ⋅=⨯+=+> ，所以cos ,0b c b c b c⋅=>⋅；但当1t =时，cos ,1b c b c b c ⋅====⋅，此时向量b与c的夹角为0︒，所以D 选项错误；故选：BC.10.已知22:10100A x y x y +--= ，22:62400B x y x y +-+-= ，则下列说法正确的是（）A.两圆位置关系是相交B.两圆的公共弦所在直线方程是3100x y ++=C.A 上到直线3100x y +-=的点有四个D.若(,)P x y 为B上任意一点，则22max (5)(5)90x y ⎡⎤-+-=+⎣⎦【答案】ACD【解析】【分析】先将A ，B 的一般方程化成标准方程，再利用圆心距与两半径之差和半径之和比较即可判断A ；联立两圆的方程，化简即可得到公共弦所在直线方程，进而即可判断B ；先求得()5,5A 到直线3100x y +-=的距离d ，再比较2d 与A R 的大小即可判断C ；依题意得22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为()5,5A 到B 上点的距离的平方的最大值，再结合选项A 求解即可判断D ．【详解】对于A ，由22:10100A x y x y +--= ，即()()225550x y -+-=，其圆心为()5,5A ，半径为A R =，22:62400B x y x y +-+-= ，即()()223150x y -++=，其圆心为()3,1B -，半径为B R =，则两圆的圆心距为AB ==，则A B A B R R AB R R -<<+，即两圆相交，故A 正确；对于B ，联立两圆的方程22221010062400x y x y x y x y ⎧+--=⎨+-+-=⎩，化简得3100x y +-=，故B 错误；对于C ，由()5,5A 到直线3100x y +-=的距离为d==，且2d =<，所以A上到直线3100x y +-=的点有四个，故C 正确；对于D ，依题意得22max (5)(5)x y ⎡⎤-+-⎣⎦的几何意义为()5,5A 到B 上点的距离的平方的最大值，所以结合选项A 得()(2222max(5)(5)9040B x y AB R ⎡⎤-+-=+==+⎣⎦，故D 正确．故选：ACD ．11.一袋中有大小相同的4个红球和2个白球，给出下列4个结论，其中正确的有（）A.从中任取3球，恰有一个白球的概率是35B.从中有放回的取球6次，每次任取一球，则取到红球次数的方差为43C.现从中不放回的取球2次，每次任取1球，则第一次取到红球且第二次也取到红球的概率为35D.从中有放回的取球3次，每次任取一球，则至少有一次取到红球的概率为2627【答案】ABD 【解析】【分析】根据古典概型概率公式求解即可判断A ；根据二项分布求概率公式计算即可求判断B ；根据独立事件的概率公式计算即可判断C ；根据对立事件的概率求解即可判断D.【详解】A ：所求的概率为122436C C 3C 5P ==，故A 正确；B ：取到红球的次数2(6,)3X B ，所以其方差为2246(1)333⨯⨯-=，故B 正确；C ：第一次取到红球的概率为46，第二次取到红球的概率为35，所以第一次取到红球且第二次取到红球的概率为432655⨯=，故C 错误；D ：每次取到红球的概率为23，所以至少有一次取到红球的概率为32261(1)327--=，故D 正确.故选：ABD.12.下列说法中，其中正确的是（）A.命题：“30,10x x x ∃≥--≥”的否定是“30,10x x x ∀<--<”B.化简22cos 5sin 5sin 40sin 50︒︒︒︒-的结果为2C.012233C 2C 2C 2C n n n n ++++…2C 3nnnn +=D.在三棱锥-P ABC中，PA AB PB AC ====，CP =，点D 是侧棱PB的中点，且CD =，则三棱锥-P ABC 的外接球O 的体积为287π3.【答案】BCD 【解析】【分析】根据存在性量词命题的否定即可判断A ；根据二倍角的正弦、余弦公式和诱导公式计算即可判断B ；根据二项式定理即可判断C ；利用线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PAB ，结合正弦定理、勾股定理和球的体积公式计算即可判断D.【详解】A ：命题：“30,10x x x ∃≥--≥”的否定是“30,10x x x ∀≥--<”，故A 错；B ：22cos 5sin 5cos10cos10sin80211sin40sin50sin40cos40sin80sin8022︒︒︒︒︒︒︒︒︒-====︒︒，故B 正确；C ：012233C 2C 2C 2C n n n n ++++…()2C 123nn n nn +=+=，故C 正确；D：如图所示，由PA AC ==CP =222PA AC CP +=，得PA AC ⊥，由D 是PB的中点，PA AB PB ===PAB 为等边三角形且3AD =，又CD =，所以222CA AD CD +=，得CA AD ⊥，又AD AP A = ，,AP AD ⊂平面PAB ，所以AC ⊥平面PAB .设球心为O 且在过△PAB 中心垂直于面PAB 的垂线上，点O 到底面PAB的距离为12d AC ==，由正弦定理得PAB的外接圆半径22sin 6032PA r == ，球O的半径OA R ==所以三棱锥-P ABC 的外接球O的体积为3344287πππ333V R ===.故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上.13.某个品种的小麦麦穗长度（单位：cm ）的样本数据如下：10.2、9.7、10.8、9.1、8.9、8.6、9.8、9.6、9.9、11.2、10.6、11.7，则这组数据的第80百分位数为______.【答案】10.8【解析】【分析】将数据从小到大排序后，运用百分位数的运算公式即可.【详解】数据从小到大排序为：8.6、8.9、9.1、9.6、9.7、9.8、9.9、10.2、10.6、10.8、11.2、11.7，共有12个，所以1280%=9.6⨯，所以这组数据的第80百分位数是第10个数即：10.8.故答案为：10.814.二项式6x ⎛⎝展开式中常数项是________．（填数字）【答案】240【解析】【分析】根据二项式的展开通项公式求解即可.【详解】展开式的通项公式为3662166C 2C rrr r r r r T x x--+==，令3602r -=，解得4r =，所以常数项为44562C 240T ==，故答案为:240.15.已知a ，b 为正实数，直线2y x a =-与曲线()ln 2y x b =+相切，则41a b+的最小值为______．【答案】9【解析】【分析】由直线2y x a =-与曲线()ln 2y x b =+相切可得1a b +=，后由基本不等式可得答案.【详解】设切点为()00,x y ，()222ln x b x b '⎡⎤+=⎣⎦+，则切线斜率可表示为022,x b +由题有0022212x b x b =⇒+=+.又切线可表示为：()()()0000002222222ln ln x y x x x b x a a x b x b x b=-++=-⇒=-+++，代入021x b +=可得021a x a b =⇒+=，又a ，b 为正实数，则()41414559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即21,33a b ==时取等号.故答案为：9.16.经过坐标原点O 的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B 两点，过A 垂直于AB 的直线与C 交于点D ，直线DB 与y 轴相交于点E ，若22OB OE OE ⋅= ，则C 的离心率为_______．【答案】2【解析】【分析】设直线BD 的方程为(0)y kx m k =+≠，与椭圆方程联立，由22OB OE OE ⋅=求得点B 的纵坐标，进而利用韦达定理得到其横坐标，从而得到点D 的坐标，然后根据AB AD ⊥，由1AD ABk k =-化简求解.【详解】解：设直线BD 的方程为()11(0),,y kx m k B x y =+≠，()22,D x y ，则()()11,,0,A x y E m --，由22221y kx m x y ab =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22222222220b a k x kma x a m a b +++-=，显然存在,k m ，使得0∆>，故由韦达定理得222121222222222,2kma k ma x x y y m b a k b a k +=-+=-++，因为22OB OE OE ⋅= ，则212y m m =，即12y m =，则2211222212,,2,2,AB y m m k ma x B m k k y k k x b a k ⎛⎫====- ⎪+⎝⎭，因为AB AD ⊥，所以121212ADy y k x x k +==-+，即22222222221222k ma kma m b a k k b a k ⎛⎫-+=-- ⎪++⎝⎭，即222222222k a b k a a -++=，化简得222a b =，所以22c e a ===，故答案为：2.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=（1）求tan tan AB的值；（2）若点D 为边AB 的中点，10,5AB CD ==，求BC 的值．【答案】（1）4；（2）【解析】【分析】（1）由3cos cos 5a B b A c -=，带入余弦定理整理可得22235a b c -=，所以222222222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B a c b ac b c a B A B b c a bbc+-⋅+-===+-+-⋅，带入22235a b c -=即可得解；（2）作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所tan tan A BEB AE=．又tan 4tan AB=，所以4BE AE =，因为点D 为边AB 的中点且10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===，再根据勾股定理即可得解.【详解】（1）因为3cos cos 5a Bb Ac -=，所以2222223225c a b b c a a b ca bc +-+-⋅-⋅=，即22235a b c -=．又222222tan sin cos 2tan cos sin 2a c b a A A B ac b c a B A B bbc +-⋅==+-⋅，所以22222222tan 854tan 52A a c b c B b c a c +-==⨯=+-．（2）如图，作AB 边上的高CE ，垂足为E ，因为tan ,tan CE CE A B AE BE ==，所以tan tan A BEB AE=．又tan 4tan AB=，所以4BE AE =．因为点D 为边AB 的中点，10AB =，所以5,2,3BD AE DE ===．在直角三角形CDE 中，5CD =，所以22534CE =-=．在直角三角形BCE 中，8BE =，所以224845BC =+=．18.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S S ++=，11a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记121n n b a a a +=⋅⋅⋅，2log n n c b =，数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求n T .【答案】（1）112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）21n n T n =-+【解析】【分析】（1）采用作差法，验证1a 是否符合通式，即可求解{}n a 的通项公式；（2）求得()122n n n b +-=，化简得()12n n n c +=-，结合裂项求和法可求n T .【小问1详解】∵122n n S S ++=，∴122n n S S -+=()2n ≥，两式相减得120n n a a ++=()2n ≥.∴12nn a a +=-，又11a =，()12122a a a ++=，解得212a =-，∴112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则{}n a 的通项公式为112n n a -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；【小问2详解】∵121···n n b a a a +=⋅⋅⋅=01211112222n⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⋅-⋅-⋅⋅⋅- ⎪⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1212n n +⎛⎫=- ⎪⎝⎭()122n n +-=，∴()21log 2n n n n c b +==-，()1211211n c n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭，111111111212233411n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+-+-⋅⋅⋅-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1211n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭21n n =-+19.如图所示，在三棱柱ABF DCE -中，点G 、M 分别是线段AD 、BF 的中点.（1）求证：//AM 平面BEG ；（2）若三棱柱ABF DCE -的侧面ABCD 和ADEF 都是边长为2的正方形，平面ABCD ⊥平面ADEF ，求二面角E BG F --的余弦值；【答案】（1）证明见解析（2）23【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合平行四边形的判定定理和性质、线面平行的判定定理进行证明即可；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.【小问1详解】取BE 中点N ，则MN 平行且等于12FE ，AG 也平行且等于12BC ，而BC 平行且等于EF ，所以MN 平行且等于AG ，因此四边形AMNG 为平行四边形，AM ∥GN ，又AM ⊄平面BEG ，GN ⊂平面BEG ，所以//AM 平面BEG ；【小问2详解】由已知易证,,AF AD AF AB AB AD ⊥⊥⊥建立以A 为原点，以,,AB AD AF的方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向的空间直角坐标系，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,2,2)E ，(0,0,2)F ，(0,1,0)G ，(1,0,1)M ，所以(2,2,2),(2,1,0)=-=-BE BG ，设(,,)n x y z =为面BEG 的法向量，则()22201,2,120n BE x y z n n BG x y ⎧⋅=-++=⎪⇒=--⎨⋅=-+=⎪⎩，同理可求平面BFG 的法向量为(1,2,1)m =---，2cos ,3n m m n n m ⋅==⋅.所以二面角E BG F --的余弦值为23.20.为了推进产业转型升级，加强自主创新，发展高端制造､智能制造，把我国制造业和实体经济搞上去，推动我国经济由量大转向质强，许多企业致力于提升信息化管理水平.一些中小型工厂的规模不大，在选择管理软件时都要进行调查统计.某一小型工厂自己没有管理软件的高级技术员，欲购买管理软件服务公司的管理软件，并让其提供服务，某一管理软件服务公司有如下两种收费方案.方案一：管理软件服务公司每月收取工厂4800元，对于提供的软件服务，每次另外收费200元；方案二：管理软件服务公司每月收取工厂7600元，若每月提供的软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次另外收费500元.（1）设管理软件服务公司月收费为y元，每月提供的软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对该管理软件服务公司为另一个工厂过去20个月提供的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形统计图，该工厂要调查服务质量，现从服务次数为13次和14次的月份中任选3个月求这3个月，恰好是1个13次服务､2个14次服务的概率；（3）依据条形统计图中的数据，把频率视为概率从节约成本的角度考虑该工厂选择哪种方案更合适，请说明理由.【答案】（1）方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：7600,15,500100,15,x x Nyx x x N∈⎧=⎨+>∈⎩；（2）715；（3）从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）由题意可得方案一：y=200x+4800，x∈N，方案二：y=7600,15,, 500100,15,.x x Nx x x N≤∈⎧⎨+>∈⎩（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，根据条形图，利用组合数可得P(A)=12 28310 C C C=715，即求.（3）根据方案分别列出方案一与方案二中月收费的分布列，根据分布列求出数学期望，比较均值即可求解.【详解】解：（1）由题意知，方案一：中管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系式为y=200x+4800，x∈N，方案二：当15x>，x∈N时，()760015500500100y x x=+-⨯=+，x∈N所以管理软件服务公司的月收费y与x的函数关系为：y=7600,15,, 500100,15,.x x Nx x x N≤∈⎧⎨+>∈⎩（2）记选择的3个月恰好是1个13次服务､2个14次服务为事件A，则P(A)=1228310C CC=715.（3）对于方案一，设管理软件服务公司的月收费为ξ元，由条形统计图得ξ的取值为7400，7600，7800，8000，8200，P(ξ=7400)=0.1，P(ξ=7600)=0.4，P(ξ=7800)=0.1，P(ξ=8000)=0.2，P(ξ=8200)=0.2，∴ξ的分布列为：ξ74007600780080008200 P0.10.40.10.20.2 E(ξ)=7400×0.1+7600×0.4+7800×0.1+8000×0.2+8200×0.2=7800.对于方案二，设管理软件服务公式的月收费为η元，由条形统计图得η的可能取值为7600，8100，8600，P(η=7600)=0.6，P(η=8100)=0.2，P(η=8600)=0.2，∴η的分布列为：η760081008600P0.60.20.2E(η)=7600×0.6+8100×0.2+8600×0.2=7900.∵E (ξ)<E (η)，∴从节约成本的角度考虑，该工厂选择方案一更合适.21.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知双曲线E ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 到双曲线E 的一条渐近线y =（1）求双曲线E 的方程；（2）如图，过圆O ：221x y +=上一点M 作圆O 的切线l 与双曲线E 的左右两支分别交于P ，Q 两点，以PQ 为直径的圆经过双曲线E 的右顶点A ，求直线l 的方程．【答案】（1）2213y x -=（2）33y x =+或33y x =--【解析】【分析】（1）利用双曲线的性质即可求出双曲线的标准方程；（2）由已知直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，联立双曲线E 与直线l 的方程，由根与系数的关系得12221222333mk x x k m x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=-⎪-⎩，由0AP AQ ⋅= ，即可求出m 与k 的关系，由l 与圆O ：221x y +=相切，则2211d m k ==⇒=+，联立求出k 值即可．【小问1详解】由题可得21bc a a b ⎧⎧==⎪⎪⇒=⎨⎪==⎩，E 的方程：22 1.3y x -=【小问2详解】由已知直线l 的斜率存在，设l ：y kx m =+，l 与圆O ：221x y +=相切，则2211d m k ==⇒=+，联立双曲线E 与直线l 的方程：()222223303230x y k x mkx m y kx m⎧--=⇒----=⎨=+⎩，，设直线l 与双曲线E 的左右两支交于()()1122,,,P x y Q x y 两点，所以()()2222221223044330303k k m m k m x x k ⎧⎪-≠⎪⎪∆=++->⎨⎪+⎪=-<⎪-⎩，可得203k ≤<，所以212122223,33mk m x x x x k k++==---，又()()()112210,,A P x y Q x y ，,,，以P ，Q 为直径的圆经过双曲线的右顶点A ，所以AP AQ ⊥，0AP AQ ⋅=，又()()()()()()121212121111AP AQ x x y y x x kx m kx m ⋅=--+=--+++()()()2212121110k x x mk x x m =++-+++=，即()()()22222221321102033k m mk mk mm mk k k k ++--+++=⇒--=--()()202m k m k m k ⇒-+=⇒=或m k =-，①当m k =-时，点M 与右顶点A 重合，不合题意舍去；②当2m k =时，代入221m k =+，得213k =，3k =±，满足条件，所以直线l的方程为33y x =+或.33y x =--22.已知函数2()2ln f x x mx x =-+（m R ∈）.（1）若()f x 在其定义域内单调递增，求实数m 的取值范围；（2）若45m <<，且()f x 有两个极值点12,x x ，其中12x x <，求12()()f x f x -的取值范围.【答案】（1）4m ≤；（2）1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【解析】【分析】（1）由题意结合导数与函数单调性的关系可转化条件为22m x x≤+在(0,)+∞上恒成立，利用基本不等式求得22x x +的最小值即可得解；（2）由题意结合函数极值点的概念可得122m x x +=，121x x ⋅=，进而可得1112x <<，转化条件为21211211()()4ln f x f x x x x -=-+，令221()4ln g x x x x =-+（112x <<），利用导数求得函数()g x 的值域即可得解.【详解】（1）()f x 的定义域为(0,)+∞，∵()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴2()20f x x m x '=-+≥在(0,)+∞上恒成立，即22m x x ≤+在(0,)+∞上恒成立，又224x x +≥=，当且仅当1x =时等号成立，∴4m ≤；（2）由题意2222()2x mx f x x m x x-+'=-+=，∵()f x 有两个极值点12,x x ，∴12,x x 为方程2220x mx -+=的两个不相等的实数根，由韦达定理得122m x x +=，121x x ⋅=，∵120x x <<，∴1201x x <<<，又121112()2()(4,5)m x x x x =+=+∈，解得1112x <<，∴()()2212111222()()2ln 2ln f x f x x mx x x mx x -=-+--+()()()()22121212122ln ln 2x x x x x x x x =-+--+-()()2221122ln ln x x x x =-+-2112114ln x x x =-+，设221()4ln g x x x x =-+（112x <<），则4222333242(21)2(1)()20x x x g x x x x x x---+--=-+='=<，∴()g x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，又1111544ln 4ln 22424g ⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，(1)1100g =-+=，∴150()4ln 24g x <<-，即12()()f x f x -的取值范围为1504ln 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，.【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，牢记函数单调性与导数的关系、合理转化条件是解题关键，属于中档题.。

重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟考试数学(理)试题(解析版)

{}{}A. y = 4A.7a b巴蜀中学高三一诊模拟考试理科数学第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如果复数 z = a 2 + a - 2 + (a 2 - 3a + 2)i 为纯虚数，那么实数 a 的值为A.-2B.1C.2D.1 或-22.已知集合 A = x y = log (4 - x 2) ， B = y y = 2 x+ 1 ，则 AB =2A. φB.(1,3)C. (1,+∞)D.(1,2)3.直线 l 过点(0,2)，被圆 C : x 2 + y 2 - 4 x - 6 y + 9 = 0 截得的弦长为 2 3 ，则直线 l 的方程是14x + 2B. y = - x + 2C.y=2D. y = x + 2 或 y=233 34.执行如图所示的程序框图后，输出的结果为9 8 10 B.C.D.8109115.已知各项不为 0 的等差数列 { n}满足 a4- 2a 2 + 3a = 0 ，数列{ }是等比数列，且b = a ，则b b b =7 8 n 7 7 3 8 10A.1B.8C.4D.26.已知函数 f(x)是定义在 (-∞,+∞) 上的奇函数，若对于任意的实数 x ≥ 0 ，都有 f ( x + 2) = f ( x ) ，且当2,0) 4]上单调递增.其中是真命题的为A.2B.3x∈[0,2)时，f(x)=log(x+1)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)的值为2A.-1B.-2C.2D.17.对于函数f(x)=xcosx，现有下列命题：①函数f(x)是奇函数；②函数f(x)的最小正周期是2π；③点(π是函数f(x)的图象的一个对称中心；④函数f(x)在区间[0,A.②④B.①④C.②③D.①③π9.在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，已知a2-c2=b，且sin(A-C)=2cos A s in C，则b=A.6B.4C.2D.110.已知正三棱锥V-ABC的正视图、侧视图和俯视图如图所示，则该正三棱锥侧视图的面积是A.39B.63C.83D.611.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则MNAB的最大值为23C.1D.3312.若函数f(x)在[a,b]上的值域为[a,b]，则称函数f(x)为“和谐函数”.下列函数中：①224 2 8 x13.已知函数 f ( x ) = ⎨ 则 f ( f ( f ( ))) = _______.⎩ 2 x , x ≤ 0,1 1 a （2）设 c =，求数列 {c }的前 n 项和 S .aa1 1g ( x ) = x - 1 + ；② h ( x ) = log (( ) x + ) ；③ p ( x ) = ；④ q ( x ) = ln x .“和谐函数”的个数为1 2A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）⎧log x, x > 0, 13 314.二项式 (2 x - 1 2 x)n(n ∈ N * ) 的展开式中，二项式系数最大的项是第 4 项，则其展开式中的常数项是_____.15.△ABC 中，∠A=120°，∠A 的平分线 AD 交边 BC 于 D ，且 AB=2，CD=2DB ，则 AD 的长为_____16.A ，B ，C ，D 四点在半径为5 2 2的球面上，且 AC=BD=5，AD=BC= 41 ，AB=CD ，则三棱锥 D-ABC 的体积是______.三、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.（本小题满分 12 分）已知数列 { }的首项 a = 1 ，且满足 (an1n +1 - 1)a + a nn +1 = 0(n ∈ N * ) .（1）求数列 { }的通项公式；n3n nnnn18.（本小题满分 12 分）某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽出 60 名学生，将其数学成绩（均为整数）分成六段[40,50)，[50,60)，... ，[90,100]后得到如图所示的部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图，统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；‘（2）若从 60 名学生中随机抽取 2 人，抽到的学生成绩在[40,60)记 0 分，在[60,80)记 1 分，在[80,100]记 2 分，用 ξ 表示抽取结束后的总记分，求 ξ 的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）如图，在直四棱柱ABCD-A B C D中，底面是边长为1的正方形，侧棱AA=2，E是侧棱BB的中点.111111（1）求证：平面AD E⊥平面A D E；111（2）求二面角E-AC-B的正切值.120.（本小题满分12分）椭圆C:x2y2+a2b2=1(a>b>0)，作直线l交椭圆于P，Q两点，M为线段PQ的中点，O为坐标原点，设直线l的斜率为k，直线OM的斜率为k，k k=-12122 3.（1）求椭圆C的离心率；（2）设直线l与x轴交于点D(-3,0)，且满足DP=2QD，当△OPQ的面积最大时，求椭圆C的方程.21.（本小题满分12分）已知函数f(x)=ln x-kx+1.（1）若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（2）证明：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2). 3815n2-1n4⎩ y = sin ⎩ y = 1 + t,请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分 .22.（本小题满分 10 分）【选修 4-1：几何证明选讲】如图，在△ABC 中，DC ⊥AB 于 D ，BE ⊥AC 于 E ，BE 交 DC 于点 F ，若 BF=FC=3，DF=FE=2.（1）求证： AD ⋅ AB = AE ⋅ AC ；（2）求线段 BC 的长度.23.（本小题满分 10 分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】⎧ x = 2 cos θ , ⎧x = 2 + 3t,已知曲线 C 的参数方程为： ⎨ (θ 为参数），直线 l 的参数方程为： ⎨ (t 为参数），θ ,点 P(2,1)，直线 l 与曲线 C 交于 A ，B 两点.（1）写出曲线 C 和直线 l 在直角坐标系下的标准方程；（2）求 P A ⋅ PB 的值.24.（本小题满分 10 分）【选修 4-5：不等式选讲】（1）设函数 f ( x ) =x + 1 + x - 2 - a 的定义域为 R ，试求 a 的取值范围；（2）已知实数 x ，y ，z 满足 x+2y+3z=1，求 x 2 + y 2 + z 2 的最小值.高 2016 届一诊模拟考试理科数学参考答案一、选择题1-5 ADDCB 6-10 ABACD 11-12BC4.S=1【解析】⎧a2+a-2=0,1.⎨⎩a2-3a+2≠0,即a=-2，故选A.118++⋅⋅⋅+=，故选C.1⨯22⨯38⨯995.设等差数列的公差是d，由a-2a2+3a=0，a-3d-2a2+3(a+d)=0，解得a=2或者a=047877777（舍去），所以b b b=(b)3=8，故选B.381076.由已知f(x)为R上的奇函数，且对于任意的实数x≥0，都有f(x+2)=f(x)，则f(2014)+f(-2015)+f(2016)=f(0)-f(1)+f(0)=-1，故选A.7.f(0)=0，f(2π)=2π，f(0)≠f(2π)，所以②错；f(0)=0，f(π)=-π，f(0)≠-f(π)，所以③错，故选B.8.由题意，当直线z=ax+by(a>0,b>0)过直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点(4,6)时，目标函数z=ax+by(a>0,b>0)取得最大值12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而23232a+3b13b a1325+=(+)=+(+)≥+2=，故选A.a b a b66a b669.sin A cos C=3cos A s in C⇒2(a2-c2)=b2，又a2-c2=b，代入得b=2，故选C.2310.如图，根据三视图间的关系可得BC=23，∴侧视图中V A=42-(⨯32⨯23)2=23，∴三棱锥侧视图面积S1△VBC=2⨯23⨯23=6，故选D.b a ⎪ a =④错误.若 f(x)在区间[a,b]上单调递减，须满足： f (a) = ， f (b ) = ，对于③，代入有⎨ 2 ，ab=2 2 xT2 2 211.过 A ，B 分别作抛物线准线的垂线 AQ ，BP ，垂足分别为 Q ，P ，连接 AF ，BF ，设 AF = a ， BF = b .由a +b MN 3抛物线定义及余弦定理得： AB 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos120 ，MN = ，由均值不等式得： ≤2 AB 3故选 B.，12.由题意知，若 f(x)在区间[a,b]上单调递增，须满足： f (a) = a b， f (b ) = ，结合图象知：①②正确，2 2⎧ 1 b 2 21 a ⎪ = ⎩ b 21即可.例如： [ ,4] 满足题意，所以③正确，故选 C.2二、填空题13. log 1 1 1 1 【解析】 f ( f ( f ( ))) = f ( f (-1)) = f ( ) = log3 2 3 2 3 2.14.-20【解析】由题意知，展开式中有 7 项，n=6， r +1解得 r=3，所以常数项为-20.= C r (2 x )6-r (- 16)r = (-1)r C r 26-2r x 6-2r ，6-2r=0，6 15. 4CD 2 1 2 【解析】由题意 B ，C ，D 三点共线，且 = ，则 AD = AC + AB ，根据角平分线的性质3 BD 1 3 3AB BD 1 1 2 1 4 4 16 = = ，所以 AC=4， AD 2 = AD = ( AC + AB)2 = AC + AB + AC ⋅ AB = ，所 AC CD 2 3 3 9 9 9 94以 AD = .316.20【解析】如图，设长方体的三条棱长分别为 a ，b ，c ，则有 a 2 + b 2 = 25 ， a 2 + c 2 = 41 ，a 2 +b 2 +c 2 = 50 ，解得 a=4，b=3，c=5，所以三棱锥的体积是 20.三、解答题17.解：（1）整理得1an +11- = 1 ， ................................... 3 分 an所以1n na解得：S=(2n-1)44C1C1C1C1+C227=15C21=1+(n-1)=n，所以a=....................................6分n（2）由（1）知，c=n⋅3n，...................................7分nS=1⨯3+2⨯32+3⨯33+⋅⋅⋅+n⨯3n，①n3S=1⨯32+2⨯33+3⨯34+⋅⋅⋅+(n-1)⨯3n+n⨯3n+1，② (9)n分①-②有-2S=3+32+33+⋅⋅⋅+3n-n⨯3n+1，n3⨯3n+1+....................................12分n18.解：（1）设分数在[70,80)内的频率为x，根据频率分布直方图，则有(0.01+0.015⨯2+0.025+0.005)⨯10+x=1，可得x=0.3.所以频率分布直方图如图所示.....................................4分估计本次考试的平均分为x=45⨯0.1+55⨯0.15+65⨯0.15+75⨯0.3+85⨯0.25+95⨯0.05=71....................6分（2）学生成绩在[40,60)的有0.25⨯60=15人，在[60,80)的有0.45⨯60=27人，在[80,100]的有0.3⨯60=18人，并且ξ的可能取值为0,1,2,3,4......................7分则P(ξ=0)=C215=C260727207；P(ξ=1)=，P(ξ=2)=151827=118C2118C25906060；P(ξ=3)=C1C12718=C2608151；P(ξ=4)=18=295C259060..........................9分所以ξ的分布列为E(ξ)=0⨯7..................................11分272078151+1⨯+2⨯+3⨯+4⨯=2.1........................12分11811859029559019.（1）证明：如图，在矩形ABB A中，E为BB中点且AA=2，AB=1，1111所以AE=A E=2，所以△A AE为等腰直角三角形，11EA⊥AE.......................................2分1在直四棱柱ABCD-A B C D中，因为底面是边长为1的正方形，1111所以A D⊥平面A ABB.1111又因为AE⊂平面A ABB，11所以A D⊥AE，所以AE⊥平面A D E........................4分1111又因为AE⊂平面AD E，所以平面AD E⊥平面A D E....................6分1111（2）解：方法一：因为AB⊥平面B BCC，所以平面ABC⊥平面B BCC，11111所以只需在平面B BCC内过点E作EF⊥BC于F，而EF⊥平面ABC.1111如图，过F作FG⊥AC于G，连接EG，1则∠EGF就是二面角E-AC-B的平面角.....................8分1BCAC 在 RT △EFG 中， tan ∠EGF = EF⎧在 △EBC 中， EF =2S △E BC 111= EB ⋅ C 1B 1 = BC155 ，3 5 所以 C F = C E 2 - EF 2 =.511在 △ A BC 中， FG = C F ⋅ s in ∠FC G = C F ⋅AB1 1 1 11=30 10. ................. 10 分6 = . FG 3所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 163. ................ 12 分方法二：以 D 为原点，DA ，DC ， DD 分别为 x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.1由题意 A (1,0,2) ，E(1,1,1)， D (0,0,2) ，A(1,0,0)， C (0,1,2) ，C(0,1,0)，B(1,1,0)，......7 分1 11AE = (0,1,1) ， C E = (1,0,-1) ，1设平面AEC 的一个法向量为 n = ( x , y , z) ， 1则 ⎨ y + z = 0 ⎩ x - z = 0⇒ n = (1,-1,1) ，2 2 1 2 1 ⎪⎪ k 1 = y + y ，解得： e = c 2m 2 +3 2m 2 + 3同理可得，平面 ABC 的一个法向量为 m = (2,0,1) ， .................10 分1代入公式有： cos < m , n >=3 5 ⋅ 3 = 15 5 ，所以二面角 E - AC - B 的平面角的正切值大小为 1 6 3. ................ 12 分20.解：（1）设 P( x , y ) ， Q( x , y ) ，代入椭圆 C 的方程有： 11 2 2 x 2 2 + a 2 y 2 2 = 1, b 2 x 2 y 2 1 + 1 = 1 ， ........................ 2 分 a b 2x 2 - x 2 y 2 - y 2 两式相减： 2 1 + 2 1 = 0 ， a 2 b 2即 ( x 2 - x 1 )( x 2 + x 1 ) a 2 ( y - y )( y + y ) + = 0 ， b 2⎧ 又 ⎨ ⎪k = ⎪⎩ 2 y - y 2 1 x - x 2 1 2 1 x + x 2 1联立两个方程有 k k = - 1 2 b 2 2 =- ， ....................... 4 分 a 2 33 = . .................5 分a3（2）由（1）知 e = c 3 = ，得 a 2 = 3c 2 , b 2 = 2c 2 ， a 3可设椭圆 C 的方程为： 2 x 2 + 3 y 2 = 6c 2 ，设直线 l 的方程为： x = my - 3 ，代入椭圆 C 的方程有(2m 2 + 3) y 2 - 4 3my + 6 - 6c 2 = 0 ，............................6 分因为直线 l 与椭圆 C 相交，所以 ∆ = 48m 2 - 4(2m 2 + 3)(6 - 6c 2 ) > 0 ，4 3m 6 - 6c 2 由韦达定理： y + y = ， y y = . 1 2 1 2又 DP = 2QD ，所以 y = -2 y ，1 222a2即：k≥ln x+196m2代入上述两式有：6-6c2=-，..................8分2m2+3所以S∆OPQ13∆3=OD y-y==1248m2-4(2m2+3)(6-6c2)2m2+3.................9分=18m2m2+3=1812m+3m≤362，......................10分当且仅当m2=32时，等号成立，此时c2=5，代入∆，有∆>0成立，所以所求椭圆C的方程为：x2y2+=1.........................12分151021.（1）解：由f(x)≤0有：kx≥ln x+1，ln x+1，令h(x)=，x xh'(x)=-ln xx2=0，解得x=1，.......................2分在(0,1)上，h'(x)>0；在(1,+∞)上，h'(x)<0.所以h(x)在x=1时，取得最大值h(1)=1，即k≥1..................4分（2）证明：由（1）知，当k=1时，ln x≤x-1，当且仅当x=1时，取等号.令x=n2(n∈N*,n≥2)，有ln n2≤n2-1，即ln n1n<<，.................6分n2-122ln2ln3ln4ln n1(n-1)(n+2)+++⋅⋅⋅+<(2+3+⋅⋅⋅+n)=3815n2-124，①..........9分1111令x=1+，有ln(1+)<⇒(1+)n<e<3，②..............11分n n n n①+②有：ln2ln3ln4ln n1n2+n+10+++⋅⋅⋅++(1+)n<(n∈N*,n≥2).......12分3815n2-1n422.（1）证明：由已知∠BDC=∠BEC=90°，所以B，C，D，E四点在以BC为直径的圆上，由割线定理知：AD⋅AB=AE⋅AC...........................3分（2）解：如图，过点F作FG⊥BC于点G，⎪⎪ ⎩5由已知，∠BDC=90°，又因为 FG ⊥BC ，所以 B ，G ，F ，D 四点共圆，所以由割线定理知： CG ⋅ C B = CF ⋅ C D ，①...................5 分同理，F ，G ，C ，E 四点共圆，由割线定理知：BF ⋅ BE = BG ⋅ BC ，②......................7 分①+②得： CG ⋅ C B + BG ⋅ BC = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE ，即 BC 2 = CF ⋅ C D + BF ⋅ BE = 3 ⨯ 5 + 3 ⨯ 5 = 30 ， .......................8 分所以 BC = 30 . . ................. 10 分23.解；（1）曲线 C 的标准方程为： x 2 2+ y 2 = 1 ，直线 l 的标准方程为： x - 3 y - 2 + 3 = 0 ..........................5 分⎧ 3x = 2 + t（2）将直线 l 的参数方程化为标准方程： ⎨ 2 （t 为参数）， ...............6 分⎪ y = 1 + 1 t ⎪ 2代入椭圆方程得： 5t 2 + 8( 3 + 1)t + 16 = 0 ，..........................8 分所以 P A ⋅ PB = t t =16 1 2. ......................... 10 分24 解：（1）由题设知，当 x ∈ R 时，恒有 x + 1 + x - 2 - a ≥ 0 ，即 x + 1 + x - 2 ≥ a ，又 x + 1 + x - 2 ≥ 3 ，∴ a ≤ 3 ........................................5 分（2）由柯西不等式 ( x 2 + y 2 + z 2 )(12 + 22 + 32 ) ≥ ( x + 2 y + 3z) 2 = 1 ，∴ x 2 + y 2 + z 2 ≥ 1 14， x y z 1 1 3 当且仅当 = = 时，即 x = ， y = ， z = 时， 1 2 3 14 7 141x2+y2+z2取最小值14.........................10分。

【高中教育】重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试卷文.doc

重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题文注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名考号填写在答题卡上；2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；3.考试结束后，将答题卡交回。

一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=( ) A． B． C． D．2.已知复数满足（是虚数单位），则=( )A． B． C． D．3.“为真命题”是“为真命题”( ) 的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，，，则实数的大小关系为（）A. B． C． D．5.已知直线，直线为，若则( )A．或 B．C． D．或6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）A． B． C． D．7.设函数，则（）A.为的极大值点 B．为的极小值点C.为的极大值点 D．为的极小值点8.设实数满足约束条件，则的取值范围是( )A. B． C.D．9.执行右面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．10.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（）A．B． C． D．11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( )A. B. C. D.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A. B. C.D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是 .14.平面向量的夹角为，且，则____15.已知是等差数列，，且．若，则的前项和 .16.给出下列4个命题：①若函数在在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件则的最小值为．其中正确命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）中，内角对应的边分别为，满足.（Ⅰ）已知求与的值；（Ⅱ）若且求.18.（本小题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（本小题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，四边形为正方形，平面⊥平面.点分别为棱上的点，且，为棱上一点，且.（Ⅰ）当时，求证：∥平面；（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.20.（本小题满分12分）如图，是离心率为的椭圆的左、右顶点，是该椭圆的左、右焦点，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点两点，且线段恰好过椭圆的左焦点. 当时，点恰为线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明．21.（本小题满分12分）设函数，对于，都有成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.选考题：共10分。

2023-2024学年重庆市高三临门一卷数学模拟试题(三模)含解析

2023-2024学年重庆市高三临门一卷数学模拟试题（三模）一、单选题1．已知集合{}224xA x =<≤，{}04B x x =≤≤，则A B = （）A ．{}2x x ≤B ．{}12x x <≤C ．{}4x x ≤D ．{}04x x <≤【正确答案】B【分析】根据指数函数单调性求集合A ，再根据交集运算求解.【详解】因为2x y =在定义域内单调递增，则{}{}22412xA x x x =<≤=<≤，所以{}12A B x x ⋂=<≤.故选：B.2．已知复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,2-，则下列结论正确的是（）A ．i 2i z ⋅=-B ．复数z 的共轭复数是12i --C ．2z 的实部为3-D ．5z =【正确答案】C【分析】利用复数的几何意义可得12z i =-，即可根据选项逐一求解.【详解】由题意可知12z i =-，所以12i z =+，故B 错误，()i 12i i 2i z ⋅=-=+，故A 错误，()22212i 14i 4i 34i z =-=-+=--，故实部为3-，故C 正确，12z i =-，则z =D 错误，故选：C3．已知函数()()22110x f x x x--=≠，则()f x =（）A ．()()21101x x -≠-B ．()()21111x x -≠-C ．()()24101x x -≠-D ．()()24111x x -≠-【正确答案】A【分析】利用换元法令1t x =-，运算求解即可.【详解】令1t x =-，则1x t =-，且0x ≠，则1t ≠，可得()()()()222111111t f t t t --==--，所以()()()21101x f x x --=≠.故选：A.4．从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个（个位与十位数位上的数字不同），其个位数是0的概率为（）A ．49B ．13C ．29D ．19【正确答案】D【分析】先确定基本事件总数36n =，再确定其个位数为0的个数，最后应用古典概型公式计算概率P .【详解】从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，个位与十位数位上的数字不同,基本事件总数4411115436A A A A +=，其中个位数为0的有4个，所以从个位数与十位数之和为偶数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率41369P ==,故选:D.5．已知l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，则下列四个命题正确的是（）A ．若//l α，且//m α，则l m ⊥B ．若αβ⊥，//m α，n β⊥，则//m nC ．若//m l ，且m α⊥，则l α⊥D ．若m n ⊥，m α⊥，//n β，则αβ⊥【正确答案】C【分析】根据线、面位置关系逐项分析判断.【详解】对于选项A ：若//l α，且//m α，则l ，m 可能平行、相交或异面，并不一定垂直，故A 错误；对于选项B ：若αβ⊥，//m α，n β⊥，则m ，n 可能平行、相交或异面，并不一定平行，故B 错误；对于选项C ：若//m l ，且m α⊥，根据线面垂直可得：l α⊥，故C 正确；对于选项D ：若m n ⊥，m α⊥，但不能得到n α⊥，所以虽然//n β，不能得到αβ⊥，故D 错误；故选：C.6．已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（）A ．13-B ．16C ．13D ．23【正确答案】D 【分析】设π4αβ+=，化简得到21cos 6β=，2sin 212cos αβ=-，代入计算得到答案.【详解】设π4αβ+=，π3π,44β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则π4αβ=-，tan 32πcos 4αα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即πtan 3cos 23sin 22βββ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，sin 6sin cos cos ββββ=，sin 0β≠，故21cos 6β=，22sin 2sin 2cos 212cos 23παβββ⎛⎫=-=-=-= ⎪⎝⎭.故选：D7．已知在三角形ABC 中，3AB =，2AC =，60A ∠=︒，点M ，N 分别为边AB ，AC 上的动点，AM xAB =u u u r u u u r ，AN yAC =u u ur u u u r ，其中x ，0y >，1x y +=，点P ，Q 分别为MN ，BC 的中点，则PQ 取得最小值时，AP =（）A ．43714AB AC+B ．31714AB AC+C ．3477AB AC+D ．4177AB AC +【正确答案】B【分析】根据中点关系可得11122212AP AM AN AB y AC x =++= ,1122AQ AB AC =+,利用向量的模长公式，结合二次函数的性质即可求解.【详解】由于P ，Q 分别为MN ，BC 的中点，所以11122212AP AM AN AB y AC x =++= ,1122AQ AB AC =+,所以1112111122222122Q x P AP AQ AB y AC AB AC A y ACx B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=+++- ⎪ ⎪⎝⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎭⎝⎭⎝⎭⎭⎝ ,因此2222222111111129422111112222222222PQ AB y AC y AB AC x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-⋅=⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--+- ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22211117932221111116946222222244y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝+--⨯⨯⎭⎝⎭⎝⎭+-，对称轴为67x =，故当67x =时，2PQ 最小，故此时31714AP AB AC =+ ,故选:B8．已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，点()11,A x y 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，以A 为切点作双曲线C 的切线交x 轴于点B ，若121cos 2F AF ∠=，且122F B BF = ，则双曲线C 的离心率为（）A．BC ．2D【正确答案】D【分析】根据题意利用导数的几何意义求切线方程，进而可求得点21,0a B x ⎛⎫⎪⎝⎭，再结合双曲线的方程和定义求12,AF AF ，利用余弦定理列式求解即可.【详解】因为点A 在第一象限，由22221x y a b -=，可得y =则2222b xa y '=点()11,A x y 在双曲线上，则221111221,0,0x y x y ab -=>>，即1y =，可得122121|x x b x y a y ='=，可得在点()11,A x y 处的切线方程为()211121b x y y x x a y -=-，令0y =，解得22221121b x a y x b x -=，又因为2211221x y a b -=，则22222211b x a y a b -=，所以222222211221110b x a y a b a x b x b x x -===>，即点21,0a B x ⎛⎫⎪⎝⎭，设双曲线C 的半焦距为0c >，则()1,0F c -，()2,0F c ，因为122F B BF = ，则22112a a c c x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，整理得213a x c =，则1y b =，可得14AF a =，且点A 为双曲线C 在第一象限的右支上一点，则122AF AF a -=，可得2122AF AF a a =-=，在12AF F △中，由余弦定理可得：222121212122cos F F AF AF AF AF F AF =+-⋅∠，即222141642422c a a a a =+-⨯⨯⨯，整理得223c a =，所以双曲线C的离心率e ==.故选：D.方法点睛：1．双曲线离心率(离心率范围)的求法求双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求e 的值；2．焦点三角形的作用在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来．二、多选题9．已知事件A ，B 满足()0.4P A =，()0.3P B =，则下列选项正确的是（）A ．若B A ⊆，则()0.4=P AB B ．若A 与B 互斥，则()0.7P A B +=C ．若A 与B 相互独立，则()0.4=P AB D ．若()0.3P B A =，则A 与B 相互独立【正确答案】BD【分析】对A 根据B A ⊆，则()()0.3P AB P B ==；对B ，根据互斥事件的性质得()()()0.7P A B P A P B +=+=，对C ，根据独立事件的特点则可计算出()0.40.30.12P AB =⨯=，对D ，根据条件概率公式计算出()P AB ，再利用相互独立事件的定义即可判断.【详解】对于A,因为()0.4,()0.3,P A P B B A ==⊆,所以()()0.3P AB P B ==；故A 错误,对于B,因为A 与B 互斥,所以()()()0.7P A B P A P B +=+=,B 正确,对于C,因为A 与B 相互独立,所以()0.40.30.12P AB =⨯=,故C 错误;对于D,因为()0.3P BA =∣,即()()0.3P AB P A =,所以()()()0.12P AB P B A P A =⋅=∣,又因为()()0.12P B P A =,所以()()()P AB P A P B =⋅,所以A 与B 相互独立，故D 正确.故选：BD.10．下列选项正确的是（）A ．()1214x x -≤B ．若正实数a ，b 满足1a b +=，则22log log 2a b +≤-C ．222sin sin αα+的最小值为D ．已知正实数a 、b ，若41a b +=，则1b a+的最小值为9【正确答案】BD【分析】根据基本不等式及取等条件可以判断B,C,D 选项，特殊值法可以判断A 选项.【详解】当12x =时，()112124x x -=>,A 选项错误;1a b +=Q ,14a b ab ∴+≥≥∴≤,22221log log log log 24a b ab +=≤=-,B 选项正确;222sin 2sin αα+≥ ,当222sin ,sin αα=即2sin 1α>,C 选项错误;正实数a 、b ，若41a b +=，则441,b a b b -=-=4b >,14545944b b b b a b b +=+=++-≥+=--,44,4b b =--即142,6,3b b a -===时取等号，D 选项正确.故选:BD.11．声音是由于物体的振动产生的能引起听觉的波，我们听到的声音多为复合音．若一个复合音的数学模型是函数()()1sin 2R 2sin f x x x x =+∈，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的一个周期为2πB ．()f x 的最小值为32-C ．()f x 的图象关于点()π,0对称D ．()f x 在区间[]0,2π上有3个零点【正确答案】ACD【分析】A 代入周期的定义，即可判断；B 分别比较两个函数分别取得最小值的x 值，即可判断；C 代入对称性的公式，即可判断；D 根据零点的定义，解方程，即可判断.【详解】选项A ：()()()()s 2π2π11sin sin 2in si 2n 222πf x x x x x f x +=+++=+=⎡⎤⎣⎦故()f x 的一个周期为2π，A 正确.选项B ：sin y x =，当π2π2x k =-+，Z k ∈时，取得最小值1-，1sin 22y x =，当π22π2x k =-+，Z k ∈时即ππ4x k =-+，Z k ∈时，取得最小值12-，所以两个函数不可能同时取得最小值，所以()f x 的最小值不是32-，故B 错误.选项C ：()()()11π+sin π+sin 2π+sin sin 222f x x x x x =+=-+⎡⎤⎣⎦，()()()11πsin πsin 2πsin sin 222f x x x x x -=-+-=-⎡⎤⎣⎦，所以()()ππ=0f x f x -++，所以()f x 的图象关于点()π,0对称，C 正确，选项D ：()()1sin sin 2sin sin cos sin 1cos 02f x x x x x x x x =+=+=+=，得sin 0x =，或cos 1x =-，得πx k =，或π2πx k =+，Z k ∈，故[]0,2π区间中的根为0，π，2π，故D 正确.故选：ACD12．已知()()ln 0f x a x x a =+>，当1x ≥时，存在b ，R c ∈，使得()2f x bx c x ≤+≤成立，则下列选项正确的是（）A ．(]0,1a ∈B ．(]1,2b ∈C ．[)1,0c ∈-D ．2a b c ++>【正确答案】ABC【分析】对A ，构造函数2()ln F x x a x x =--，求导，再设2()2h x x x a =--，利用其单调性得到()1h x a >-，然后对a 分类讨论即可；对B ，计算出(),()f x g x 在1x =时的切线方程即可得到12a b +≤≤，即可得到b 的范围，对于C,D ，代入1x =得1b c +=，则可确定c 和a b c ++的范围，【详解】对A ，由2ln x a x x ≥+,令2()ln F x x a x x =--,所以()21a F x x x '=--=22x x ax--,令2()2h x x x a =--,其对称轴为14x =,故函数()h x 在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)1h x h a >=-,当10a -≥时,即01a <≤时,()0,()0h x F x '>>,则函数()F x 单调递增,所以()(1)0F x F >=.当10a -<时,即1a >时,存在0(1,)x ∈+∞,使得()00h x =,即20020x x a --=,当()01,x x ∈时,()0,()0h x F x '<<,则函数()F x 单调递减,所以()0(1)F x F <=0,与()0F x ≥矛盾,综上,(0,1]a ∈，A 正确;对B ，由2()f x bx c x ≤+≤可得()ln f x a x x =+与2()g x x =在(1,)+∞上存在分隔直线,()1af x x'=+，(1)1f a '=+，()2g x x '=，()12g '=，(1)1f =，()11g =，则()(),f x g x 在1x =处的切线方程分别为:(1),21y a x a y x =+-=-,所以12a b +≤≤,可得(1,2]b ∈,故B 正确;对C ，取1x =得(1)1(1)1f b c g =≤+≤=,所以1b c +=,得1[1,0)c b =-∈-,故C 正确,对D ，由C 知(]11,2a b c a ++=+∈，故D 错误.故选：ABC.关键点睛：本题A 选项的关键是构造函数2()ln F x x a x x =--，然后求导，对a 进行分类讨论，对B 关键是得到()(),f x g x 在1x =处的切线方程的斜率，从而得到不等式12a b +≤≤，对C 和D 通过代入1x =得到1b c +=，即可进行判断.三、填空题13．在()50x a⎛+> ⎝的二项式展开式中2x 的系数为160，则=a _______________．【正确答案】4【分析】根据二项式展开式的通项特征，令35222k k -=⇒=代入即可求解.【详解】()50x a⎛> ⎝展开式的通项为135522155C C ,0,1,2,3,4,5k kk k k k k k T a x x a x k ---+===，令35222k k -=⇒=，故225C 1604,4a a a =⇒==-（负的舍去），故414．过点()3,2P -且与圆C ：222410x y x y +--+=相切的直线方程为__________【正确答案】3x =或3410x y +-=【分析】分斜率存在与否两种情况进行讨论，结合点到直线距离公式即可得解．【详解】解：将圆C 方程化为圆的标准方程()()22124x y -+-=，得圆心()1,2C ，半径为2r =，当过点()3,2P -的直线斜率不存在时，直线方程为3x =是圆C 的切线，满足题意；当过点()3,2P -的直线斜率存在时，可设直线方程为()23y k x +=-，即320kx y k ---=，2=，解得34k =-，即此直线方程为3410x y +-=，故3x =或3410x y +-=．15．已知三棱锥-P ABC 中，Q 为BC 中点，4PB PC AB BC AC =====，侧面PBC ⊥底面ABC ，则过点Q 的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为_______________．【正确答案】20π4π,3⎡⎤⎢⎣⎦【分析】连接,PQ QA ，找到球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影为ABC 和PBC 的中心E ,F ，再通过面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理得到PQ AQ ⊥，再利用勾股定理求出相关长度，找到截面圆的最值情况，代入计算即可得到答案.【详解】连接,PQ QA ,由4PB PC AB BC AC =====,可知：ABC 和PBC 是等边三角形,设三棱锥-P ABC 外接球的球心为O ,所以球心O 到平面ABC 和平面PBC 的射影是ABC 和PBC 的中心E ,F ，PBC 是等边三角形,Q 为BC 中点,所以PQ BC ⊥,又因为侧面PBC ⊥底面ABC ,侧面PBC ⋂底面ABC BC =，PQ ⊂侧面PBC ，所以PQ ⊥底面ABC ,而AQ ⊂底面ABC ,因此PQ AQ ⊥,所以OFQE 是矩形,应为ABC 和PBC 是边长为4的等边三角形,所以两个等边三角形的高22144232h ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭,在矩形OFQE 中,123243.3333OE FQ h AE h =====，连接OA ,所以2241633OA OE EA =+=+=2153,设过点Q 的平面为α,当OQ α⊥时,此时所得截面的面积最小,该截面为圆形,可得22221122262333333OQ OF FQ h h h ⎛⎫⎛⎫=+=+==⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,因此圆Q 的半径为226024299OA OQ -=-=,所以此时面积为2π24π⋅=,当点Q 在以O 为圆心的大圆上时,此时截面的面积最大,面积为:221520ππ33⎛⎫⋅= ⎪ ⎪⎝⎭,所以截面的面积范围为20π4π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.20π4π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦16．已知椭圆C ：221124x y +=，圆O ：224x y +=，直线l 与圆O 相切于第一象限的点A ，与椭圆C 交于P ，Q 两点，与x 轴正半轴交于点B ．若PB QA =，则直线l 的方程为_______________．【正确答案】220x y +-【分析】根据向量垂直可得圆的切线方程为004xx yy +=，进而在椭圆中，根据点差法可得13PQ OM k k =-，根据中点弦的斜率即可代入求解.【详解】取AB 中点M ，连接OM ,由于PB QA =,所以PA BQ =,进而PM MQ =,设00(,)A x y ，设直线上任意一点(),N x y ，由于NA 是圆的切线，所以0OA AN ⋅=,所以()()220000000004x x x y y y xx yy x y -+-=⇒+=+=，令0,y =则04x x =，所以04,0B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由中点坐标公式可得0004,22x x y M ⎛⎫+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，设()()1122,,,P x y Q x y ,则2222112211124124x y x y +=+=，，两式相减可得2222121212121212410124123MMx x y y y y x x x x x y y y ---++=⇒=-=--+，所以13PQ OMk k =-,又001PQ OA x k k y =-=-，0004OM y k x x=+,所以00000143y x y x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+=，解得20002,0,2x x x =>∴= ，进而02y =故直线l 的方程为224x y +=，即220x y +-=，故220x y +-=四、解答题17．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，满足()2b c c a =+．(1)证明：2B C =；(2)求113sin tan tan B C B-+的取值范围．【正确答案】(1)证明见详解(2)⎫⎪⎝⎭【分析】（1）利用正余弦定理得sin sin (2cos 1)A C B =+，再利用两角和与差的余弦公式化简得sin()sin B C C -=，再根据,B C 范围即可证明；（2）根据三角恒等变换结合（1）中的结论化简得13sin sin y B B=+，再求出B 的范围，从而得到sin B 的范围，最后利用对勾函数的单调性即可得到答案.【详解】（1）由22b c ac =+及2222cos b a c ac B =+-得,(2cos 1)a c B =+.由正弦定理得sin sin (2cos 1)A C B =+,又πA B C ++=,sin sin()sin cos cos sin 2sin cos sin A B C B C B C C B C ∴=+=+=+,sin cos cos sin sin B C B C C ∴-=,sin()sin B C C ∴-=,,,A B C 都是锐角,则πππ,0,,,222B C B C ⎛⎫⎛⎫∈-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,2B C C B C ∴-=∴=,（2）令11cos cos 3sin 3sin tan tan sin sin C By B B C B C B=-+=-+sin cos cos sin 3sin sin sin B C B CB B C-=+sin()3sin sin sin B C B B C -=+，由（1）2B C =得13sin sin y B B=+.在锐角三角形ABC 中,π02π02π02A B C ⎧<<⎪⎪⎪<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，即()π0π2π02π02B C B C ⎧<-+<⎪⎪⎪∴<<⎨⎪⎪<<⎪⎩，ππ32B ∴<<,sin ,B ⎫∴∈∴⎪⎪⎝⎭令sin ,1t B ⎫=∈⎪⎪⎝⎭,根据对勾函数的性质知1()3y f t t t ==+在⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，()4y f t ⎫∴=∈⎪⎪⎝⎭,即113sin tan tan B C B -+的取值范围是⎫⎪⎝⎭.18．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是首项为1公比为()*q q N ∈的等比数列，其前n 项和为n T ，且()212nn n n T S +=，对任意N n ∈恒成立.(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =⋅，记{}n c 的前n 项和为n R ，若()23n n n a b R λ⋅≥-对任意*N n ∈恒成立，求实数λ的取值范围.【正确答案】(1)21n a n =-，12n n b -=(2)125,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n 项和公式即可求解；（2）利用（1）得出{}n c 的通项公式，再利用错位相减法求出n R ，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d 则由()212nn n n T S +=，得()()11223312,{414,918,T S T S T S +=+=+=即()()()()1121112,{4242,92833,a q a d q q a d +=+=+++=+①②③由①得11a =，由②得q d =，由③得2q d ==，所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，所以数列{}n b 的通项公式为12n n b -=.（2）由（1）知，21n a n =-，12n n b -=所以1(21)2n n n n c a b n -=⋅=-⋅，[]01(211)2(221)22(1)1n R n =⋅-⋅+⋅-⋅+⋅⋅⋅+⋅--212(21)2n n n --+⋅-⋅①[]122(211)2(221)22(1)1n R n =⋅-⋅+⋅-+⋅⋅-⋅⋅⋅-12(21)2n n n -⋅+⋅-⋅②②-①得：()12112222(21)2n nn R n -=--++⋅⋅⋅++-⋅化简得：(23)23nn R n =-⋅+，又因为()23n n n a b R λ⋅≥-，即21(21)2(23)2n nn n λ--⋅≥⋅-⋅即2(21)2(23)n n λ-≥⋅-，（i ）当1n =时，12λ≥-，所以12λ≥-；（ii ）当()*2N n n ≥∈时，2(21)14(23)42(23)223n n n n λ-⎡⎤≤=-++⎢⎥--⎣⎦，令14()(23)4223f n n n ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦，则1414(1)()(21)4(23)4221223f n f n n n n n ⎡⎤⎡⎤+-=-++--++⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦()()2144481(21)4(23)4221232123n n n n n n n n --⎡⎤=-++----=⎢⎥----⎣⎦当222n ≤<时，(1)()f n f n +<，所以()f n 单调递减；当22n >时，(1)()f n f n +>，所以()f n 单调递增；当3n =时，()f n 取得最小值为min 1425()(3)(233)422336f n f ⎡⎤==⨯-++=⎢⎥⨯-⎣⎦，即256λ≤,所以λ的取值范围是125,26⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.19．在多面体111ABCC A B 中，四边形11BB C C 是边长为4的正方形，1AB B B ⊥，△ABC 是正三角形．(1)若1A 为AB 的中点，求证：直线//AC 平面11A BC ；(2)若点1A 在棱1AB 上且1112AA A B =，求点C 到平面11A BC 的距离．【正确答案】(1)证明见详解(2)5【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据题意可证1BB ⊥平面ABC ，CH ⊥平面1ABB ，建系，利用空间向量求点到面的距离.【详解】（1）连接1CB ，设11B D C C B =I ，由题意可得D 为1CB 的中点，连接1A D ，因为1,A D 分别为11,AB CB 的中点，则1A D //AC ，1A D ⊂平面11A BC ，AC ⊄平面11A BC ，所以直线//AC 平面11A BC.（2）由题意可得：11,AB B B BC B B ⊥⊥，AB BC B ⋂=，,AB BC ⊂平面ABC ，所以1BB ⊥平面ABC ，取AB 的中点H ，连接CH ，因为△ABC 是正三角形，则CH AB ⊥，又因为1BB ⊥平面ABC ，CH ⊂平面ABC ，则1CH BB ⊥，1AB BB B Ç=，1,AB BB ⊂平面1ABB ，所以CH ⊥平面1ABB ，如图，以H 为坐标原点，,HA HC 为x 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则()(()(111282,0,0,0,0,,2,4,0,0,4,2,,033B C B C A ⎛⎫---⎪⎝⎭，可得((11482,0,,2,4,,,,033BC BC BA ⎛⎫===⎪⎝⎭uu u r uuu r uuu r ，设平面11A BC 的法向量(),,n x y z =，则1124048033n BC x y n BA x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令2x =，则1,0y z =-=，即()2,1,0n =-，所以点C 到平面11A BC的距离5n BC d n⋅==r uu u r r.20．某地区由于农产品出现了滞销的情况，从而农民的收入减少，很多人开始在某直播平台销售农产品并取得了不错的销售量．有统计数据显示，2022年该地利用网络直播形式销售农产品的销售主播年龄等级分布如图1所示，一周内使用直播销售的频率分布扇形图如图2所示，若将销售主播按照年龄分为“年轻人”（20岁～39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用直播销售用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用直播销售用户”，且“经常使用直播销售用户”中有34是“年轻人”．(1)现对该地相关居民进行“经常使用网络直播销售与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，完成2×2列联表，依据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，能否认为经常使用网络直播销售与年龄有关？使用直播销售情况与年龄列联表年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户不常使用直播销售用户合计(2)某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“销售该地区农产品”的项目上，现有两种销售方案供选择：方案一：线下销售、根据市场调研，利用传统的线下销售，到年底可能获利30%，可能亏损15%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，15，15．方案二：线上直播销售．根据市场调研，利用线上直播销售，到年底可能获利50%，可能亏损30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为12，310，15．针对以上两种销售方案，请你从期望和方差的角度为投资公司选择一个合理的方案，并说明理由．参考数据：独立性检验临界值表α0.150.100.0500.0250.0100x 2.0722.7063.8415.0246.635其中()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，n a b c d =+++．【正确答案】(1)依据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，认为经常使用网络直播销售与年龄有关.(2)从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．【分析】（1）根据频率分布直方图和扇形图补充完整22⨯列联表，计算2K ，并与附表中的数据对比，即可判断；（2）分别由期望和方差的计算公式求得()E Y 和()D Y ，比较()E X 与()E Y 、()D X 与()D Y 的大小，即可得解．【详解】（1）由图2知，样本中经常使用直播销售的用户有(30%19%11%)200120++⨯=人，其中年轻人有3120904⨯=人，由图1知，样本中的年轻人有(45%35%)200160+⨯=人，补充完整的22⨯列联表如下，年轻人非年轻人合计经常使用直播销售用户9030120不常使用直播销售用户701080合计1604020022200(90103070)753.848120801604016K ⨯⨯-⨯∴==>⨯⨯⨯，故依据小概率值0.05α=的2χ独立性检验，认为经常使用网络直播销售与年龄有关.（2）方案一：设获利X 万元，则X 的所有可能取值为300，150-，0，31()300(150)01505551E X =⨯+-⨯+⨯=，222311()(300150)(150150)(0150)36000555D X =-⨯+--⨯+-⨯=；方案二：设获利Y 万元，则Y 的所有可能取值为500，300-，0，131()500(300)01602105E Y =⨯+-⨯+⨯=，222131()(500160)(300160)(0160)1264002105D Y =-⨯+--⨯+-⨯=，()()E X E Y ∴<，()()D X D Y <，∴从获利的期望上看，方案二获得的利润更多些，但方案二的方差比方案一的方差大得多，从稳定性方面看方案一更稳妥，故从获利角度考虑，选择方案二；从规避风险角度考虑，选择方案一．21．如图，已知抛物线C ：()220y px p =>，F 为其焦点，点()02,A y 在C 上，△OAF 的面积为4．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点()(),00P m m >作斜率为1-的直线1l 交抛物线C 于点M ，N ，直线MF 交抛物线C 于点Q ，以Q 为切点作抛物线C 的切线2l ，且21//l l ，求△MNQ 的面积．【正确答案】(1)28y x =(2)64【分析】（1）根据题意列式求解p ，即可得结果；（2）根据题意联立方程结合韦达定理求点Q 的坐标，根据切线结合∆判别式求相应参数值，进而可得结果.【详解】（1）由题意可知：抛物线C 的焦点,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将()02,A y 代入抛物线C 的方程得：204y p =，且0p >，则02y p =因为△OAF 的面积为14222p p pp ⨯⨯，解得4p =，所以抛物线C 的方程为28y x =.（2）由（1）可得抛物线C 的方程为28y x =，焦点()2,0F ，设直线()()()()1112233:0,,,,,,l x y m m M x y N x y Q x y =-+>，联立方程28x y my x=-+⎧⎨=⎩，消去x 得2880y y m +-=，则64320m ∆=+>，可得12128,8y y y y m +=-=-，因为点()11,M x y 在抛物线上，则2118y x =，即2118y x =，所以直线MF 的方程为21211111221682228y x y x y y y y y y ---=+=+=+，联立方程211216288y x y y y x ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩，消去x 得221116160y y y y -+-=，可得1316y y =-，即3116y y =-，则213211116163228y x y y y ⎛⎫-=⨯-+= ⎪⎝⎭，即2113216,Q y y ⎛⎫- ⎝⎭，因为21//l l ，可设2:x y l n =-+，代入2113216,Q y y ⎛⎫- ⎪⎝⎭得2113216n y y =+，即2113216n y y =-，所以12213216:x y l y y =-+-，联立方程211232168x y y y y x ⎧=-+-⎪⎨⎪=⎩，消去x 得22111632880y y y y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，因为2l 为抛物线C 的切线，则211163264320y y ⎛⎫∆=--= ⎪⎝⎭，整理得2118160y y -+=，解得14y =，又因为12128,8y y y y m +=-=-，1316y y =-，可得2312,6,4y m y =-==-，即()2,4Q -，1:6l x y =-+，可得()12MN =--=点()2,4Q -到60x y +-=的距离d ==，所以△MNQ的面积116422△MNQ S MN d =⨯=⨯=.方法点睛：有关圆锥曲线弦长、面积问题的求解方法（1）涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数的关系、设而不求计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数的关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解；（2）面积问题常采用12S =△×底×高，其中底往往是弦长，而高用点到直线距离求解即可，选择底很重要，选择容易坐标化的弦长为底．有时根据所研究三角形的位置，灵活选择其面积表达形式，若求多边形的面积问题，常转化为三角形的面积后进行求解；（3）在求解有关直线与圆锥曲线的问题时，应注意数形结合、分类与整合、转化与化归及函数与方程思想的应用．22．已知函数()1e x x f x a -=和()ln a x g x x +=在同一处取得相同的最大值．(1)求实数a ；(2)设直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有四个不同的交点，其横坐标分别为1234,,,x x x x （1234x x x x <<<），证明：1423x x x x =．【正确答案】(1)1a =(2)证明见详解【分析】（1）利用导数分别求()(),f x g x 的最值点，列式求解即可；（2）构建()()()F x f x g x =-，利用同构思想分析()(),f x g x 的大小关系，进而可得直线y b =与曲线()y f x =和()y g x =的交点，再结合()e xx G x =的单调性分析即可证出.【详解】（1）由题意可得：()()112111e e 11e e x x x x x x f x a a -----'=⋅=⋅-，显然0a ≠，当0a >时，令()0f x ¢>，解得1x <；令()0f x '<，解得1x >；则()f x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，可得()f x 在1x =处取到最大值()11f a=；当a<0时，令()0f x ¢>，解得1x >；令()0f x '<，解得1x <；则()f x 在()1,+∞上单调递增，在(),1-∞上单调递减，可得()f x 在1x =处取到最小值()11f a=，不合题意；综上所述：0a >，()f x 在1x =处取到最大值()11f a =.因为()ln a x g x x +=的定义域为()0,∞+，且()()21ln a x g x x -+'=，令()0g x '>，解得10e a x -<<；令()0g x '<，解得1e a x ->；则()g x 在()10,e a -上单调递增，在()1e ,a -+∞上单调递减，可得()g x 在1e a x -=处取到最大值()11e e a a g --=；由题意可得：10e 1a a ->⎧⎨=⎩，解得1a =.（2）由（1）可得：()1e x x f x -=在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增，在1x =处取到最大值()11f =，且当x 趋近于-∞时，()f x 趋近于-∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0，可得直线y b =与曲线()y f x =至多有两个交点；()1ln x g x x +=在()1,+∞上单调递增，在(),1-∞上单调递减，在1x =处取到最大值()11g =，且当x 趋近于0时，()f x 趋近于-∞，当x 趋近于+∞时，()f x 趋近于0，可得直线y b =与曲线()y g x =至多有两个交点；若直线y b =与两条曲线()y f x =和()y g x =共有四个不同的交点，则01b <<，此时直线y b =与曲线()y f x =、()y g x =均有两个交点，构建()()()()1ln e 1ln ln e ln e e e 0e e e e e x x x x x x x x x x F x f x g x x x x -+⎛⎫⎛⎫=-=--=-> ⎪⎝⎭⎝⎭，构建()()1e ex x G x f x ==，且e 0>，则()()()()e ln e 0F x G x G x x ⎡⎤=->⎣⎦，可得()G x 在()1,+∞上单调递减，在(),1-∞上单调递增，在1x =处取到最大值()11eG =，构建()()ln e ln 10x x x x x x ϕ=-=-->，则()111x x x x ϕ-'=-=，因为0x >，令()0x ϕ'>，解得1x >；令()0x ϕ'<，解得01x <<；则()x ϕ在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，可得()()ln e 10x x x ϕϕ=-≥=，即ln e x x ≥，当且仅当1x =时，等号成立，可得：当1x =时，ln e 1x x ==，则()()()e ln e 0F x G x G x ⎡⎤=-=⎣⎦，所以()()11f g =；当01x <<时，ln e 1x x <<，且()G x 在(),1-∞上单调递增，则()()ln e G x G x <，可得()()()e ln e 0F x G x G x ⎡⎤=->⎣⎦，所以()()f x g x >；当1x >时，1ln e x x <<，且()G x 在()1,+∞上单调递减，则()()ln e G x G x >，可得()()()e ln e 0F x G x G x ⎡⎤=-<⎣⎦，所以()()f x g x <；综上所述：当1x =时，()()11f g =；当01x <<时，()()f x g x >；当1x >时，()()f x g x <.结合题意可得：直线y b =与曲线()y f x =的两个交点横坐标为13,x x ，y b =与()y g x =的两个交点横坐标为24,x x ，且123401x x x x <<<<<，当1201x x <<<，可得()()12f x g x =，即112121ln e x x x x -+=，可得1212ln e ln e e e x x x x =，即()()12ln e G x G x =，因为()G x 在(),1-∞上单调递增，且121,ln e 1x x <<，则12ln e x x =，可得112e x x -=所以()111112ex x x f x b x -===；当341x x <<，可得()()34f x g x =，即334141ln e x x x x -+=，可得3434ln e ln e e ex x x x =，即()()34ln e G x G x =，因为()G x 在()1,+∞上单调递增，且341,ln e 1x x >>，则34ln e x x =，可得314e x x -=，所以()333314ex x x f x b x -===；综上所述：3124x x x x =，即1423x x x x =.结论点睛：指对同构的常见形式：积型：e ln a a b b ≤，①ln e ln e a b a b ≤，构建()e x f x x =；②e lne ln a a b b ≤，构建()ln f x x x =；③()ln ln ln ln a a b b +≤+，构建()ln f x x x =+.商型：e ln a b a b≤，①ln e e ln a ba b ≤，构建()e x f x x=；②e ln e ln a a b b≤，构建()ln x f x x =；③()ln ln ln ln a a b b -≤-，构建()ln f x x x =-.和型：e ln a a b b ±≤±，①ln e e ln a b a b ±≤±，构建()e x f x x =±；②e ln e ln a a b b ±≤±，构建()ln f x x x =±.。

重庆市一中2019届高三数学下学期4月模拟考试试题文

一.选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则=( )A． B． C． D．2.已知复数满足（是虚数单位），则=( )A． B． C． D．3.“为真命题”是“为真命题”( ) 的条件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要4.若，，，则实数的大小关系为（）A. B． C． D．5.已知直线，直线为，若则 ( )A．或 B．C． D．或6.轴截面为正方形的圆柱的外接球的体积与该圆柱的体积的比值为（）A． B． C． D．7.设函数，则（）A.为的极大值点 B．为的极小值点C.为的极大值点 D．为的极小值点8.设实数满足约束条件，则的取值范围是( )A. B． C. D．9.执行右面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（）A． B． C． D．10.将函数图像向左平移个单位后图像关于点中心对称，则的值可能为（）A．B． C． D．11.直线是抛物线在点处的切线，点是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值等于( )A. B. C. D.12.已知函数，若方程有四个不同的解，且，则的取值范围是( ）A. B. C. D.二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.双曲线的渐近线方程是 .14.平面向量的夹角为，且，则____15.已知是等差数列，，且．若，则的前项和 .16.给出下列4个命题：①若函数在在上有零点，则一定有；②函数既不是奇函数又不是偶函数；③若函数的值域为，则实数的取值范围是；④若函数满足条件则的最小值为．其中正确命题的序号是： . (写出所有正确命题的序号)三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（本小题满分12分）中，内角对应的边分别为，满足.（Ⅰ）已知求与的值；（Ⅱ）若且求.18.（本小题满分12分）改革开放40年来，体育产业蓬勃发展反映了“健康中国”理念的普及．下图是我国2006年至2016年体育产业年增加值及年增速图．其中条形图表示体育产业年增加值（单位：亿元），折线图为体育产业年增长率（％）．（Ⅰ）从2007年至2016年这十年中随机选出一年，求该年体育产业年增加值比前一年多亿元以上的概率；（Ⅱ）从2007年至2011年这五年中随机选出两年，求至少有一年体育产业年增长率超过25%的概率；（Ⅲ）由图判断，从哪年开始连续三年的体育产业年增长率方差最大？从哪年开始连续三年的体育产业年增加值方差最大？（结论不要求证明）19.（本小题满分12分）如图，是边长为的等边三角形，四边形为正方形，平面⊥平面.点分别为棱上的点，且，为棱上一点，且.（Ⅰ）当时，求证：∥平面；（Ⅱ）已知三棱锥的体积为，求的值.20.（本小题满分12分）如图，是离心率为的椭圆的左、右顶点，是该椭圆的左、右焦点，是直线上两个动点，连接和，它们分别与椭圆交于点两点，且线段恰好过椭圆的左焦点. 当时，点恰为线段的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）判断以为直径的圆与直线位置关系，并加以证明．21.（本小题满分12分）设函数，对于，都有成立.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）证明：（其中是自然对数的底数）.选考题：共10分。

2014年重庆市五区高考一模数学试卷(理科)【解析版】

2014年重庆市五区高考数学一模试卷（理科）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≤0}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤1} 2．（5分）条件甲：“a＞1”是条件乙：“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）4．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣60B．60C．240D．﹣2405．（5分）某小卖部销售一品牌饮料的零售价x（元/瓶）与销量y（瓶）的关系统计如下：已知x，y的关系符合线性回归方程，其中，．当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为（）A．20B．22C．24D．266．（5分）过双曲线的左焦点F作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．27．（5分）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）＝ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．8．（5分）设F为抛物线y2＝16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A．36B．24C．16D．129．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题4分，共24分，考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（4分）设向量，，则向量在向量上的投影为．12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝．13．（4分）任取集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中的三个不同数a1，a2，a3，且满足a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥3，则选取这样三个数的方法共有种．（用数字作答）14．（4分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE＝6，则EC＝．15．（4分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4＝0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．16．（5分）若函数f（x）＝的定义域为R，则实数m的取值范围为．三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．18．（13分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．19．（13分）设a∈R，函数f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（﹣x）满足f （﹣）＝f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f（A）的取值范围．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n＝4a n﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，，求使恒成立的实数k的取值范围．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且△PF1F2的面积为＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C 相交于M、N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．22．（12分）已知函数f（x）＝tx﹣t﹣lnx（t＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围；（Ⅱ）当n≥2且n∈N*时，证明：．2014年重庆市五区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确答案的代号填涂在答题卡上. 1．（5分）已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∩∁U B＝（）A．{x|1＜x＜2}B．{x|x≤0}C．{x|1≤x＜2}D．{x|x≤1}【解答】解：∁U B＝{x|x≤1}，∴A∩（∁U B）＝{x|x≤1}，故选：D．2．（5分）条件甲：“a＞1”是条件乙：“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：∵条件乙：“”∴可得a2﹣a＞0，解得a＞1或a＜0，∵“”，根号有意义，可得a＞0，∴a＞1，∴甲：“a＞1”⇔条件乙：“”，∴条件甲：“a＞1”是条件乙：“”的充要条件，故选：C．3．（5分）函数f（x）＝2x+x﹣2的零点所在区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）＝2x+x﹣2，f（）＝﹣＜0，f（1）＝1＞0，根据函数零点的判定定理可得函数零点所在的区间为（，1），故选：B．4．（5分）二项式展开式中的常数项为（）A．﹣60B．60C．240D．﹣240【解答】解：二项式展开式的通项公式为T r+1＝••（﹣2）r•x﹣r＝•，令＝0，可得r＝2，故展开式中的常数项为4＝60，故选：B．5．（5分）某小卖部销售一品牌饮料的零售价x（元/瓶）与销量y（瓶）的关系统计如下：已知x，y的关系符合线性回归方程，其中，．当单价为4.2元时，估计该小卖部销售这种品牌饮料的销量为（）A．20B．22C．24D．26【解答】解：＝＝＝3.5；＝＝40，∴a＝40﹣（﹣20）×3.5＝110，∴回归直线方程为：＝b+a＝﹣20+110，当＝4.2时，＝﹣20×4.2+110＝26，故选：D．6．（5分）过双曲线的左焦点F作圆x2+y2＝a2的两条切线，切点分别为A、B，双曲线左顶点为M，若∠AMB＝120°，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．3D．2【解答】解：依题意，作图如下：∵OA⊥F A，∠AMO＝60°，OM＝OA，∴△AMO为等边三角形，∴OA＝OM＝a，在直角三角形OAF中，OF＝c，∴该双曲线的离心率e＝＝＝＝2，故选：D．7．（5分）设点（a，b）是区域内的随机点，函数f（x）＝ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：对应的图形为△OAB，其中对应面积为S＝，若f（x）＝ax2﹣4bx+1在区间[1，+∞）上是增函数，则满足a＞0且对称轴x＝，即，对应的平面区域为△OBC，由，解得，∴对应的面积为S，∴根据几何概型的概率公式可知所求的概率为，故选：C．8．（5分）设F为抛物线y2＝16x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则的值为（）A．36B．24C．16D．12【解答】解：由题意可得F（4，0），是抛物线的焦点，也是三角形ABC的重心，故故＝4，∴x A+x B+x C＝12．再由抛物线的定义可得：＝x A+4+x B+4+x C+4＝12+12＝24，故选：B．9．（5分）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P 点，一分钟后，其位置在Q点，且∠POQ＝90°，再过两分钟后，该物体位于R点，且∠QOR＝30°，则tan∠OPQ的值为（）A．B．C．D．【解答】解：根据题意，设PQ＝x，则QR＝2x，∵∠POQ＝90°，∠QOR＝30°，∴∠OPQ+∠R＝60°，即∠R＝60°﹣∠OPQ 在△ORQ中，由正弦定理得∴OQ＝＝2x sin（60°﹣∠OPQ）在△OPQ中，由正弦定理得OQ＝×sin∠OPQ＝x sin∠OPQ∴2x sin（60°﹣∠OPQ）＝x sin∠OPQ∴2sin（60°﹣∠OPQ）＝sin∠OPQ∴＝sin∠OPQ整理得cos∠OPQ＝2sin∠OPQ，所以tan∠OPQ＝＝．故选：B．10．（5分）已知函数f（x）＝x+sin x（x∈R），且f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，则当y≥1时，的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：∵f（x）＝x+sin x（x∈R），∴f（﹣x）＝﹣x﹣sin x＝﹣（x+sin x）＝﹣f（x），即f（x）＝x+sin x（x∈R）是奇函数，∵f（y2﹣2y+3）+f（x2﹣4x+1）≤0，∴f（y2﹣2y+3）≤﹣f（x2﹣4x+1）＝f[﹣（x2﹣4x+1）]，由f'（x）＝1﹣cos x≥0，∴函数单调递增．∴（y2﹣2y+3）≤﹣（x2﹣4x+1），即（y2﹣2y+3）+（x2﹣4x+1）≤0，∴（y﹣1）2+（x﹣2）2≤1，∵y≥1，∴不等式对应的平面区域为圆心为（2，1），半径为1的圆的上半部分．的几何意义为动点P（x，y）到定点A（﹣1，0）的斜率的取值范围．设k＝，（k＞0）则y＝kx+k，即kx﹣y+k＝0．当直线和圆相切时，圆心到直线的距离d＝，即8k2﹣6k＝0，解得k＝．此时直线斜率最大．当直线kx﹣y+k＝0．经过点B（3，1）时，直线斜率最小，此时3k﹣1+k＝0，即4k＝1，解得k＝，∴，故选：A．二．填空题：本大题6个小题，考生作答5个小题，每小题4分，共24分，考生注意：14、15、16三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分.把答案填写在答题卡相应的位置上．11．（4分）设向量，，则向量在向量上的投影为．【解答】解：∵向量，，∴||＝＝，设、的夹角是θ，则cosθ＝＝＝，∴向量在向量上的投影为：||cosθ＝×＝；故答案为：．12．（4分）已知函数f（x）＝，则f[f（﹣2）]＝﹣4．【解答】解：∵函数，∴f（﹣2）＝9﹣2＝3﹣4，∴f[f（﹣2）]＝f（3﹣4）＝．故答案为：﹣4．13．（4分）任取集合{1，2，3，4，5，6，7，8}中的三个不同数a1，a2，a3，且满足a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥3，则选取这样三个数的方法共有10种．（用数字作答）【解答】解：∵a2﹣a1≥2，a3﹣a2≥3，∴7≥a3﹣a1≥5，第一类，a3﹣a1＝5，a1，a3的值有3种情况，则a2只有1种情况，共有3×1＝3种情况，第二类，a3﹣a1＝6，a1，a3的值有2种情况，则a2有2种情况，共有2×2＝4种情况，第三类，a3﹣a1＝7，a1，a3的值有1种情况，则a2有3种情况，共有1×3＝3种情况，则选取这样的三个数方法种数共有3+4+3＝10，故答案为：10．14．（4分）如图，BD是半圆O的直径，A在BD的延长线上，AC与半圆相切于点E，AC⊥BC，若，AE＝6，则EC＝3．【解答】解：连结OE，∵AC与半圆相切于点E，∴OE⊥AC，又∵AC⊥BC，∴OE∥BC．由切割线定理，得AE2＝AD•AB，即36＝，解得AB＝，因此，半圆的直径BD＝，AO＝BD＝．可得，所以AC＝＝9，EC＝AC﹣AE＝3．故答案为：315．（4分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若点P为直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4＝0上一点，点Q为曲线为参数）上一点，则|PQ|的最小值为．【解答】解：由直线ρcosθ﹣ρsinθ﹣4＝0化为x﹣y﹣4＝0．由点到直线的距离公式可得：|PQ|＝＝＝≥＝．当且仅当t＝2时取等号．∴|PQ|的最小值为．故答案为：．16．（5分）若函数f（x）＝的定义域为R，则实数m的取值范围为（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．【解答】解：由于|x+2|+|x﹣m|≥|（x+2）﹣（x﹣m）|＝|m+2|，故由函数的定义域为R，可得|m+2|≥4，解得m≥2，或m≤﹣6，故m的范围是（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣6]∪[2，+∞）．三．解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．17．（13分）已知函数f（x）＝x2﹣3x+alnx（a＞0）．（Ⅰ）若a＝1，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）设函数f（x）图象上任意一点的切线l的斜率为k，当k的最小值为1时，求此时切线l的方程．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），当a＝1时，f（x）＝x2﹣3x+lnx，．由2x2﹣3x+1＝0，得，由2x2﹣3x+1＞0，得，或x＞1，∴f（x）的单调递增区间为，（1，+∞）．由2x2﹣3x+1＜0，得，∴f（x）的单调递减区间为．∴f（x）极大值为；极小值为f（1）＝﹣2；（II）由题意知，∴a＝2．此时，即，∴x＝1，∴切点为（1，﹣2），∴此时的切线l方程为：x﹣y﹣3＝0．18．（13分）为了参加2013年市级高中篮球比赛，该市的某区决定从四所高中学校选出12人组成男子篮球队代表所在区参赛，队员来源人数如下表：该区篮球队经过奋力拼搏获得冠军，现要从中选出两名队员代表冠军队发言．（Ⅰ）求这两名队员来自同一学校的概率；（Ⅱ）设选出的两名队员中来自学校甲的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．【解答】解：（I）“从这12名队员中随机选出两名，两人来自于同一学校”记作事件A，则．…（6分）（II）ξ的所有可能取值为0，1，2…（7分）则，，∴ξ的分布列为：…（10分）∴…（13分）19．（13分）设a∈R，函数f（x）＝cos x（a sin x﹣cos x）+cos2（﹣x）满足f （﹣）＝f（0）．（1）求f（x）的单调递减区间；（2）设锐角△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且＝，求f（A）的取值范围．【解答】解：（I），由得：，∴．∴，由得：，k∈Z∴f（x）的单调递减区间为：．（II）∵，由余弦定理得：，即2a cos B﹣c cos B＝b cos C，由正弦定理得：2sin A cos B﹣sin C cos B＝sin B cos C，2sin A cos B＝sin（B+C）＝sin A，即，∴∵△ABC锐角三角形，∴，，∴的取值范围为（1，2]．20．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且3S n＝4a n﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设c n＝log2a1+log2a2+…+log2a n，，求使恒成立的实数k的取值范围．【解答】解：（I）令n＝1，由S1＝a1，3S1＝4a1﹣4可得a1＝4，∵3S n＝4a n﹣4，∴当n＞1时，3S n﹣3S n﹣1＝（4a n﹣4）﹣（4a n﹣1﹣4），∴3a n＝4a n﹣4a n﹣1，即，∴数列{a n}是以a1＝4为首项，公比为4的等比数列，∴；（Ⅱ）c n＝log2a1+log2a2+…+log2a n＝2+4+…+2（n﹣1）+2n＝n（n+1），∴，＝＝，由对任意n∈N*恒成立，即实数恒成立；设，，∴当n≥6时，数列{d n}单调递减，1≤n≤5时，数列{d n}单调递增，又，∴数列{d n}最大项的值为，∴．21．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0）、F2（，0），椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且△PF1F2的面积为＝．（1）求椭圆C的方程；（2）设椭圆C的左、右顶点分别为A、B，过点Q（1，0）的动直线l与椭圆C 相交于M、N两点，直线AN与直线x＝4的交点为R，证明：点R总在直线BM上．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：，…（1分）∵椭圆上的点P满足∠PF1F2＝90°，且，∴．∴，．∴2a＝|PF1|+|PF2|＝4，a＝2…（2分）又∵，∴…（3分）∴椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由题意知A（﹣2，0）、B（2，0），（1）当直线l与x轴垂直时，、，则AN的方程是：，BM的方程是：，直线AN与直线x＝4的交点为，∴点R在直线BM上．…（6分）（2）当直线l不与x轴垂直时，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），M（x1，y1）、N（x2，y2），R（4，y0）由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4＝0∴，…（7分），，A，N，R共线，∴…（8分）又，，需证明B，M，R共线，需证明2y1﹣y0（x1﹣2）＝0，只需证明若k＝0，显然成立，若k≠0，即证明（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）＝0∵（x1﹣1）（x2+2）﹣3（x2﹣1）（x1﹣2）＝﹣2x1x2+5（x1+x2）﹣8＝成立，…（11分）∴B，M，R共线，即点R总在直线BM上．…（12分）22．（12分）已知函数f（x）＝tx﹣t﹣lnx（t＞0）．（Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数t的取值范围；（Ⅱ）当n≥2且n∈N*时，证明：．【解答】解：（I）函数f（x）＝tx﹣t﹣lnx的定义域为（0，+∞）．∵f（x）在[1，+∞）上为增函数，∴在x∈[1，+∞）上恒成立，即在x∈[1，+∞）上恒成立，∵，∴t≥1，∴t的取值范围为[1，+∞）．（Ⅱ）由（I）当t＝1，x≥1时，f（x）≥f（1），又f（1）＝0，∴x﹣1﹣lnx≥0（当x＝1时，等号成立），即x﹣1≥lnx．又当x∈（0，1]时，设g（x）＝x﹣1﹣lnx，则，∴g（x）在（0，1]上递减，∴g（x）≥g（1）＝0，即x﹣1≥lnx在（0，1]恒成立，∴x∈（0，+∞）时，x﹣1≥lnx…①恒成立，（当且仅当x＝1时，等号成立），用x代替x﹣1，则x≥ln（x+1）…②恒成立（当且仅当x＝0时，等号成立），∴当k≥2时，k∈N*，由①得k﹣1＞lnk，即，当k≥2时，k∈N*，，由②得．∴当k≥2，k∈N*时，，即．∴，，，…．∴．。

重庆市2024年高三年级高考一模数学试题(含答案)

2024年普通高等学校招生全国统一考试高三第一次联合诊断检测数学数学测试卷共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{1 2 3 4 5}A ，，，，，2{|211120}B x x x ，则A B A ．{12}， B ．{2 3}，C ．{3 4}，D ．{4 5}，2．已知复数i z a b ，若i z z ，则 A ．0a bB ．0a bC ．0abD ．1ab3．对一个样本进行统计后得到频率分布直方图如图所示，并由此估计总体集中趋势，则 a b ，可以分别大致反映这组数据的 A ．平均数，中位数 B ．平均数，众数C ．中位数，平均数D ．中位数，众数4．若24cos sin(2)2 ，则tan 2A ．2B ．12C ．1D ．25．在经济学中，常用Logistic 回归模型来分析还款信度评价问题．某银行统计得到如下Logistic 模型：0.970.1270.970.127e ()1e xxP x ，其中x 是客户年收入（单位：万元），()P x 是按时还款概率的预测值．如果某人年收入是10万元，那么他按时还款概率的预测值大约为（参考数据：ln1.350.3 ）A ．0.35B ．0.46C ．0.57D ．0.686．已知()ln(1)ln()f x x a bx 是奇函数，则()f x 在点(0(0))f ，处的切线方程为A ．2y xB ．y xC ．0yD ．2y x 7．将一副三角板拼接成平面四边形ABCD （如图），1BC ，将其沿BD 折起，使得面ABD 面BCD ，若三棱锥A BCD 的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为 A ．2B ．73C ．83D ．38．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y ，(1)4f 且当0x 时，()2f x ，若存在[1 2]x ，，使得2(4)(2)1f ax x f x ，则a 的取值范围是BCDA6045A ．1(0 2，B ．15[ 28，C ．52[ 83，D ．12[ 23，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2024年重庆市高三一模数学试题及答案

2024年普通高等学校招生全国统一考试高考模拟调研卷数学(一)数学测试卷共4页，满分150分。

考试时间120分钟。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 在复平面内，位于第四象限的复数是 1A.1i i --+ 2B.1i i -+ 1C.1i - 1D.1i-+2. 设集合 2{},{|}|2<233A x a x a x x a B ==<+≤≤ 若A B ⊆，则a 取值范围是 3A.,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3B.,22⎛⎫ ⎪⎝⎭3C.1,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 3D.1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭3. 在等比数列{}n a 中,15·0a a >是30a <的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知随机变量X 服从正态分布()21,N σ,若()3P X p >=,则()11P X -<<=1A.2p - B. 1p - C. p D. 12p+5. 设()f x 是奇函数, 若 ()())lng x f x ax =⋅是偶函数，则a =A. 1-B. 0C. 1D. 1±6. 已知ϕ是函数()3f x x tanx =-的一个极值点, 则2cos ϕ=A.-1C.3- D.137.已知0,0,2,a b ab b >>+=当a b +取最小值时, ab a +=1- C. 1 1+8. 已知椭圆C: (222210)x y a b a b+=>的右焦点为()2,0,F 直线l 经过F 且与C 相交于点 ,,A B 并过椭圆内一点()0,1,N - 若,AF BN =则C 的方程为22A.162x y += 2233B.1164x y += 22C.15x y += 223D.3113x y +=二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

重庆市2019届高三4月模拟考试数学(理)试卷 Word版含答案

数学试题理注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号码填写在答题卡上。

2. 作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3. 考试结束后，将答题卡交回。

第Ⅰ卷一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足(1)1z i i -=+（i 是虚数单位），则||z =A ．0B ．12C ．1D ．322. 已知集合{}1A x y x==-，{}2230B x x x x Z =--<∈，，则()R C A B I = A ．{}1 B ．{}2 C ．{}21， D ．{}321，， 3. 若4log 3=a ，4.06.0=b ，2log 21=c ，则实数c b a ，，的大小关系为A. c b a >> B ．b c a >> C ．a c b >> D ．c a b >>4. 下列说法正确的是A. 设m 是实数，若方程12122=-+-my m x 表示双曲线，则2>m ．B.“q p ∧为真命题”是“q p ∨为真命题”的充分不必要条件．C. 命题“R x ∈∃，使得0322<++x x ”的否定是：“R x ∈∀，0322>++x x ”． D. 命题“若0x 为()x f y =的极值点，则()00'=x f ”的逆命题是真命题． 5. 执行右边的程序框图，若输出的S 的值为63，则判断框中可以填入的关于i 的判断条件是A ．5≤iB ．6≤iC ．7≤iD ．8≤i6. 在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论。

甲说：“我做错了！” 乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师（第5题）看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了。

2023—2024学年重庆市高三上学期开学摸底考试数学模拟试题(含答案)

2023-2024学年重庆市高三上册开学摸底考试数学模拟试题(1)证明：AQ//平面PBD--的平面角的余弦值(2)求二面角P BD C18．设等差数列{}n a的前(1)求{}n a的通项公式；【分析】由对数函数定义域可求得{}{}*N 252,3,4A x x =∈≤=|<，根据元素个数即可求出真子集个数.【详解】根据题意可知5020x x ->⎧⎨-≥⎩，解得25x ≤<；即{}{}*N 252,3,4A x x =∈≤=|<，可知集合A 中含有3个元素，所以其真子集个数为3217-=个.故选：A 2．A【分析】根据充要条件的定义判断可得答案.【详解】若()()sgn sgn 1a b ⨯=-，则,a b 异号，所以0ab <，故“()()sgn sgn 1a b ⨯=-”是“0ab <”的充要条件.故选：A.3．A【分析】根据分段函数的解析式，可得答案.【详解】由题意可知：()()()()()()()()661551441331f f f f f f f f -=-+=-=-+=-=-+=-=-+()()()()()()()2211110011f f f f f f f =-=-+=-=-+==+=，()11346f =--=-，()()()()6616f f f f -=-==-.故选：A.4．D【分析】利用中位数和百分位数的定义得到16x =，20y =，求出答案.【详解】一共有9个数，故从小到大的第5个数为中位数，即16x =，5975% 6.7⨯=，故选取第7个数为75%分位数，故20y =，所以162036x y +=+=.故选：D 5．C易知()()12,0,,0F c F c -，不妨设得()()01012020c x x c y y ⎧--=+⎪⎨-=-⎪⎩，即1x ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩同理由223MF F B = 可得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪⎪⎩将()()1122,,,A x y B x y 两点代入椭圆方程可得即222000222220002296144168199c x cx y a bc x cx y a b ⎧+++=⎪⎪⎨+-⎪+=⎪⎩，又解得2237a c =，所以离心率2237cc e aa ===故选：D 8．A【分析】构造()(2ln f x x =-()2311ln 3ln34231->⇒>+12ln t t t<-，设120x x >>，则由图可得，要使()10ex m f x x =-='有两个不同的正根又120x x <<，则1201x x <<<，而()1111111111ln 11ln ln e e e e x x x x x x x f x m x x +=+=+=构造函数()ln 1(0)e xx x g x x +=>，则()g x '=此时()()(0,0,0,2,2,0,1,0,D B P 设平面PBD 的法向量为m=则由0,0DB m DP m ⋅=⋅=，可知：22020x y x z +=⎧⎨+=⎩，设x =所以平面BCD 的法向量为n设二面角P BD C --的平面角为所以20cos 4m nm n θ⨯+⋅==+18．(1)41n a n =-(2)证明见解析【分析】（1）根据等差数列的的基本量计算求解；（2）利用裂项相消法求和.【详解】（1）设{}n a 的公差为解得13,4a d ==,所以4n a =（2）由于111n n n n n n a S b S S S S +++==所以12111nb b b S S ⎛+++=- ⎝ 19．(1)()f x 的增区间为(0,方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线解决本题的关键在于分情况进行讨论，将问题合理转化.。

重庆市数学高三毕业班金卷理数一模试卷A卷

重庆市数学高三毕业班金卷理数一模试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·山西模拟) 设x＞0，集合，若M∩N={1}，则M∪N=（）A . {0，1，2，4}B . {0，1，2}C . {1，4}D . {0，1，4}2. （2分）(2012·北京) 设a，b∈R．“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2分）(2018·海南模拟) 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：“一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯多少？”现有类似问题：一座5层塔共挂了242盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的3倍，则塔的底层共有灯（）A . 162盏B . 114盏C . 112盏D . 81盏4. （2分） (2017高一上·邢台期末) 从1，2，3，4，5，6这6个数字中任取三个数字，其中：①至少有一个偶数与都是偶数；②至少有一个偶数与都是奇数；③至少有一个偶数与至少有一个奇数；④恰有一个偶数与恰有两个偶数．上述事件中，是互斥但不对立的事件是（）A . ①B . ②C . ③D . ④5. （2分）半径为的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A .B .C .D .6. （2分）已知是（-， +）上的增函数，那么a的取值范围是（）A . (1， +)B . (-,3)C . [， 3)D . (1,3)7. （2分）三视图均相同的几何体是（）A . 球B . 正方体C . 正四面体D . 以上都对8. （2分） (2017高三下·银川模拟) 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输出的S为，则判断框中填写的内容可以是（）A . n=6B . n＜6C . n≤6D . n≤89. （2分）(2019·潍坊模拟) 已知不共线向量，夹角为，，，，，在处取最小值，当时，的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2016高一下·衡阳期中) 已知α是第三象限的角，则是（）A . 第一或二象限的角B . 第二或三象限的角C . 第一或三象限的角D . 第二或四象限的角11. （2分）已知函数y=f(x)满足，且时，，则当时，y=f(x)与的图象的交点个数为（）A . 13B . 12C . 11D . 1012. （2分）(2020·西安模拟) 过抛物线C：y2＝4x的焦点F ，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l ，则M到直线NF的距离为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） =________．14. （1分）曲线y=x2﹣1与曲线y=2﹣2x2围成图形的面积为________15. （1分） (2019高二上·河南期中) 已知实数，满足条件，若的最小值为，则实数 ________．16. （1分） (2018高一下·开州期末) 在中，角，，所对的边分别为，，，的面积为，若，且，则 ________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （15分）已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是14∶1．（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.18. （10分）(2018·河北模拟) 在矩形中，，，点是线段上靠近点的一个三等分点，点是线段上的一个动点，且 .如图，将沿折起至，使得平面平面 .（1）当时，求证：；（2）是否存在，使得与平面所成的角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.19. （5分）(2017·辽宁模拟) 某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行了一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记5分，“不合格”记0分．现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如图所示：等级不合格合格得分[20，40）[40，60）[60，80）[80，100]频数6a24b（Ⅰ）求a，b，c的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中随机抽取10人进行座谈．现再从这10人这任选4人，记所选4人的量化总分为ξ，求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（Ⅲ）某评估机构以指标M（M= ，其中D（ξ）表示ξ的方差）来评估该校安全教育活动的成效．若M≥0.7，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动五校，应调整安全教育方案．在（Ⅱ）的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？20. （10分）(2020·西安模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的右焦点为F（1,0），且点P在椭圆C上，O为坐标原点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过定点T（0,2）的直线l与椭圆C交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角，求直线l的斜率k的取值范围．21. （10分） (2019高三上·郑州期中) 已知函数 .（1）求的最大值；（2）已知，，求的取值范围.22. （5分）(2020·海安模拟) 在极坐标系中，已知，线段的垂直平分线与极轴交于点，求的极坐标方程及的面积．23. （10分）(2019·定远模拟) 已知函数 .（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集非空，求的取值范围.参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、答案：略17-2、17-3、18-1、18-2、19-1、20-1、答案：略20-2、答案：略21-1、答案：略21-2、答案：略22-1、23-1、答案：略23-2、答案：略。

重庆市数学高三理数一模考试试卷A卷

重庆市数学高三理数一模考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高三上·汕头期末) 已知复数，则下列结论正确的是（）A . 的虚部为iB .C . 为纯虚数D .2. （2分）(2014·浙江理) 在建立两个变量Y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合得最好的模型是（）A . 模型1的相关指数R2为0.98B . 模型2的相关指数R2为0.80C . 模型3的相关指数R2为0.50D . 模型4的相关指数R2为0.253. （2分） (2016高一上·临川期中) 若函数y=0.5|1﹣x|+m的图象与x轴有公共点，则m的取值范围是（）A . ﹣1≤m＜0B . m≤﹣1C . m≥1D . 0＜m≤14. （2分）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的B等于（）A . 63B . 31C . 127D . 155. （2分） (2019高二上·丽水期中) 在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx-y+4=0与直线l2：x+ky-3=0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线4x-3y+10=0的距离的最大值为（）A . 2B .C .D .6. （2分） (2016高一下·黄冈期末) 在数列{an}中，a1= ，a2= ，anan+2=1，则a2016+a2017=（）A .B .C .D . 57. （2分）从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中任取3个不同的数字构成空间直角坐标系中的点的坐标(x,y,z），若x+y+z是3的倍数，则满足条件的点的个数为（）A . 252B . 216C . 72D . 428. （2分） (2018高二下·温州期中) 已知函数 ,则下列关于函数的结论中错误的是（）A . 最大值为B . 图像关于直线对称C . 既是奇函数又是周期函数D . 图像关于点中心对称9. （2分） (2016高一下·随州期末) 对于实数a，b，c，下列命题正确的是（）A . 若a＞b，则ac2＞bc2B . 若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2C . 若a＜b＜0，则D . 若a＜b＜0，则10. （2分）下列结论正确的是（）A . 各个面都是三角形的几何体是三棱锥B . 以三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C . 棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则该棱锥可能是正六棱锥D . 圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线11. （2分）在以下三个命题中，真命题的个数是（）①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线；③若a、b是两个不共线的向量，且，则构成空间的一个基底．A . 0B . 1C . 2D . 312. （2分）表示不超过x的最大整数，例如：．依此规律，那么S10=（）A . 210B . 230C . 220D . 240二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高一下·南阳期中) 将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数，则直线与圆有公共点的概率为________.14. （1分）(2017·孝义模拟) 过双曲线C：﹣ =1（a，b＞0）的右焦点且垂直于x轴的直线与C 的渐近线相交于A，B两点，若△AOB（O为原点）为正三角形，则C的离心率是________．15. （1分） (2017高二下·桂林期末) 若三角形内切圆半径为r，三边长为a，b，c，则三角形的面积S= （a+b+c）r，利用类比思想：若四面体内切球半径为R，四个面的面积为S1 ， S2 ， S3 ， S4 ，则四面体的体积V=________．16. （1分） (2019高二下·深圳月考) 已知函数在上总是单调函数，则a 的取值范围是________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2018高二上·通辽月考) 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos A＝，sin B＝ cos C．（1）求tan C的值；（2）若a＝，求△ABC的面积．18. （10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD.19. （10分）(2014·山东理) 乒乓球台面被网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D，某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球，规定：回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其它情况记0分．对落点在A上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为．假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响，求：（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．20. （10分） (2018高二上·辽宁期中) 已知椭圆的右焦点为，过的直线交椭圆于两点(直线与坐标轴不垂直)，若的中点为，为坐标原点，直线交直线于 .(Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求的最大值.21. （10分） (2018高二下·湛江期中) 已知函数 .(Ⅰ)若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；(Ⅱ)若，证明：，总有 .22. （10分）在极坐标中，直线l的方程为，曲线C的方程为 .（1）求直线l与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线C上恰好有两个点到直线l的距离为，求实数m的取值范围.23. （10分）(2018·恩施模拟)已知函数．（Ⅰ）若的解集为，求的值；（Ⅱ）若，不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共70分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、23-1、。

重庆市开州2024届高三下学期全国卷模拟考试(一)数学试题含答案

开州2023-2024学年高2024届高三下期全国卷模拟考试数学试题（一）（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,e ,{ln 2}A B x x =-=<∣，则()R A B ⋂=ð（）A.{1,0,1}-B.{}20,1,e C.{1}D.{}21,0,e -【答案】D 【解析】【分析】根据对数的单调性化简集合，即可由集合的交并补运算求解.【详解】由题可得{}{2R0e ,0B xx B xx =<<=≤∣∣ð或}2e x ≥因此(){}2R 1,0,e A B ⋂=-ð．故选：D ．2.已知复数()i ,z a b a b =+∈R 且()242i 4i 0x x a -+++=有实数根b ，则2z =（）A. B.12C. D.20【答案】D 【解析】【分析】根据题意可求得()2442i 0b b b a -+++=，从而得()24402i 0b b b a ⎧-+=⎪⎨+=⎪⎩，求解得42i z =-+，从而可求解.【详解】由题意知b 为()242i 4i 0x x a -+++=的实数根，则()242i 4i 0b b a -+++=，即()2442i 0b b a b -++-=，则()24402i 0b b a b ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，解得24b a =⎧⎨=⎩，所以42i z =+，所以2224220z =+=，故D 正确.故选：D.3.圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标竿垂直的长尺（称为“圭”），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图乙是一个根据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即∠ABC ）大约为15°，夏至正午时太阳高度角（即∠ADC ）大约为60°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为a ，则表高（即AC 的长）为（注：sin154︒=）（）A.(2aB.334a C.314a - D.334a 【答案】D 【解析】【分析】由锐角三角函数的定义与同角三角函数的关系求解，【详解】设表高为h ，则1tan15BC h =⋅︒，1tan 60CD h =⋅︒，而sin154-︒=，得cos154︒=，sin15tan152cos15︒︒==-︒故6(233DB h h a +=+-==，得34h a -=，故选：D4.已知等边ABC 的边长为2，点D 、E 分别为,AB BC 的中点，若2DE EF = ，则EF AF ⋅=（）A.1B.45C.65D.54【答案】A 【解析】【分析】取AC AB 、为基底，利用平面向量基本定理表示出,EF AF ，进行数量积运算即可.【详解】在ABC 中，取,AC AB为基底，则2,,60AC AB AC AB ===︒ .因为点D 、E 分别为,AB BC 的中点，1124DE AC EF == ，()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+ ，211313424816EF AF AC AB AC AC AB AC⎛⎫⋅=⋅+=⋅+ ⎪⎝⎭ 1322cos 6041816=⨯⨯⨯+⨯= 故选：A5.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，若双曲线上存在点P 满足2212PF PF a ⋅=- ，则双曲线离心率的最小值为（）A.B.C.2D.【答案】D 【解析】【分析】设P 的坐标，代入双曲线的方程，利用数量积的坐标表示，结合双曲线离心率的计算公式求解即得.【详解】设00(,)P x y ，双曲线的半焦距为c ，则有0||x a ≥，2200221x y a b-=，12(,0),(,0)F c F c -，于是200100(,),(,)PF c x y PF c x y =--=---，因此22222222222222220210000222(1)x c c PF PF x c y x b c x b c a b c b a a a⋅=-+=+--=⋅--≥⋅--=- ，当且仅当0||x a =时取等号，则222a b -≥-，即222b a ≥，离心率c e a ==≥，故选：D6.在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，首项11a =，且函数()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++的导函数有唯一零点，则5S =（）A.26 B.63C.57D.25【答案】C 【解析】【分析】计算()f x '，分析()f x '的奇偶性，可判断零点取值，代入计算可得{}n a 的递推关系，求出前5项，计算求和即可.【详解】因为()()31sin 211n n f x x a x a x +=-+++，所以()()213cos 21n n f x x a x a +'=-++，由题意可知：()0f x '=有唯一零点.令()()()213cos 21n n g x f x x a x a +'==-++，可知()g x 为偶函数且有唯一零点，则此零点只能为0，即()00g =，代入化简可得：121n n a a +=+，又11a =，所以23a =，37a =，415a =，531a =，所以557S =.故选：C7.已知抛物线C ：24x y =，过直线l ：24x y +=上的动点P 可作C 的两条切线，记切点为,A B ，则直线AB （）A.斜率为2B.斜率为2± C.恒过点()0,2- D.恒过点()1,2--【答案】D 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，求导，根据导函数几何意义得到切线方程，设()42,P n n -，将其代入两切线方程，得到直线AB 的方程为()2y n n x +=-，得到过定点()1,2--.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2114x y =，2224x y =，由于12y x '=，故过点()11,A x y 的切线方程为()11112y y x x x -=-，即2111111112222y y x x x x x y -=-=-，即1112y y x x +=，同理可得过点B 的切线方程为2212y y x x +=，设()42,P n n -，过点()()1122,,,A x y B x y 的两切线交于点()42,P n n -，故()111422n y x n +=-，整理得()112y n n x +=-，同理()221422n y x n +=-，整理得()222y n n x +=-，故直线AB 的方程为()2y n n x +=-，斜率不为定值，AB 错误，当=1x -时，=2y -，恒过点()1,2--，C 错误，D 正确.故选：D8.若2tan 3tan ,sin()3θαθα=+=，则cos 2()θα-=（）A.29B.19-C.79D.19【答案】C 【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角差的正弦公式、二倍角的余弦公式进行求解即可.【详解】由sin 3sin tan 3tan sin cos 3sin cos cos cos θαθαθααθθα=⇒=⇒=，由2sin()3θα+=211sin cos sin cos sin cos ,sin cos 362θααθαθθα⇒+=⇒==，217sin()sin cos sin cos ,cos 2()12sin ()39θαθααθθαθα∴-=-=∴-=--=．故选：C二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点P 为圆C ：22430x y y +-+=上的动点，点A 的坐标为()2,0，2A A P B =，设B 点的轨迹为曲线D ，O 为坐标原点，则下列结论正确的有（）A.tan PAO ∠的最大值为2B.曲线D 的方程为()()22111x y -+-=C.圆C 与曲线D 有两个交点D.若E ，F 分别为圆C 和曲线D上任一点，则AE AF -32+【答案】CD 【解析】【分析】根据直线与圆相切，结合正切的和差角公式即可求解A ，根据向量关系，代入坐标运算即可求解B ，根据两圆圆心距离与半径的关系即可判断C ，根据三点共线即可求解D.【详解】对于A ，当直线PA 与圆在第一象限相切时，（如图）此时PAO ∠最大，进而tan PAO ∠最大，由于圆C ：22430x y y +-+=的圆心()0,2C ，半径1R =，故π1,4CP CA AP CAO =====∠=,因此tan CP PAC AP ∠==,πtan 241PAO tan PAC ⎛⎫∠=∠+=⎪⎝⎭-,故A 错误，对于B ，设(),B x y ，则()()222,22,2AP AB x y P x y ==-⇒-，由于()22,2P x y -在圆C ：()2221x y +-=上，代入可得：()()()()2222122221114x y x y -+-=⇒-+-=，故B 错误，对于C ，由于曲线D 的方程为()()221114x y -+-=，为圆心为()1,1D ，半径为12r =的圆，故两圆圆心距离为(),CD R r R r =-+，故两圆相交，因此有两个交点，故C 正确，对于D，由于13122AE AF EF CD R r -≤≤++=+=+，当且仅当,,A E F 三点共线时，如图,故AE AF -的32,故D 正确，故选：CD10.在平面直角坐标系xOy 中，角θ以坐标原点O 为顶点，以x 轴的非负半轴为始边，其终边经过点(),M a b ，()0OM m m =≠，定义()b a f m θ+=，()b ag mθ-=，则（）A.ππ166f g ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B.()()20ff θθ+≥C.若()()2f g θθ=，则3sin 25θ=D.()()fg θθ是周期函数【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意分别求出cos a m θ=，sin b m θ=，则()π4f θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π4g θθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而可对A 判断求解，利用换元法令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭可对B 判断求解，由()()tan 12tan 1f g θθθθ+==-求出tan 3θ=，并结合22tan sin 2tan 1θθθ==+从而可对C 判断求解，由()()cos 2f g θθθ=-可对D 判断求解.【详解】由题意得(),M a b 在角θ的终边上，且OM m =，所以cos a m θ=，sin bmθ=，则()πsin cos 4b a f m θθθθ+⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭，()πsin cos 4b a g m θθθθ-⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭，对A ：ππππππsin cos sin cos 1666666f g ⎛⎫⎛⎫+=++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B ：()()()22sin cos sin cos f f θθθθθθ+=+++，令πsin cos 4t θθθ⎛⎫⎡=+=+∈ ⎪⎣⎝⎭，所以()()222111244f f t t t θθ⎛⎫+=+=+-≥- ⎪⎝⎭，故B 错误；对C ：()()sin cos tan 12sin cos tan 1f g θθθθθθθθ++===--，解得tan 3θ=，又由22222sin cos 2tan 233sin 22sin cos sin cos tan 1315θθθθθθθθθ⨯=====+++，故C 正确；对D ：()()()()22sin cos sin cos sin cos cos 2fg θθθθθθθθθ=+-=-=-，因为cos 2y θ=为周期函数，故D 正确.故选：ACD.11.定义在R 上的函数()f x 满足()(224)f x f x x -++=，函数(21)f x +的图象关于(0,2)对称，则()A.()f x 的图象关于(1,2)对称B.4是()f x 的一个周期C.()24f =D.()20234042f =-【答案】AD 【解析】【分析】对A ：由函数(21)f x +的图象关于(0,2)对称可推得()f x 的图象关于(1,2)对称.对B ：令()()2g x f x x =+,由()(224)f x f x x -++=及(21)(21)4f x f x -+++=可得到()g x 的图象于2x =对称且关于(1,4)对称，故4为()g x 的一个周期,而不是()f x 的一个周期.对C ：举例ππ()sin 422g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭说明()24f ≠.对D ：由()()2g x f x x =+的周期性求得(2023)f 的值.【详解】对A ：因为(21)f x +关于(0,2)对称,有(21)(21)4f x f x -+++=，令21x t +=，则(2)()4f t f t -+=，()f x 的图象关于(1,2)对称.选项A 正确；对B ：由题设条件得(2)2(2)(2)2(2)f x x f x x +++=-+-，令()()2g x f x x =+，有(2)(2)g x g x +=-，则()g x 的图象于2x =对称，因为(12)(12)4f x f x -++=，有(12)2(12)(12)2(12)8f x x f x x -+-++++=，即(12)(12)8g x g x -++=，则()g x 的图象关于(1,4)对称.所以()(2)8g x g x +-=，又(2)(2)g x g x +=-，所以()(2)8g x g x ++=，所以(2)(4)8g x g x +++=，所以(4)()g x g x +=，所以4为()g x 的一个周期，即(4)2(4)()2f x x f x x +++=+，则(4)()8f x f x +=-.选项B 不正确；对C ：由上知()g x 图象关于(1,4)对称，2x =对称，则令ππ()sin 422g x x ⎛⎫=-+⎪⎝⎭符合题意，而(2)(2)412f g =-=≠.故C 不正确;对D ：因为()g x 图象关于(1,4)对称，所以4(1)g =，故(2023)(45053)(3)(1)4g g g g =⨯+===，有()20234042f =-.选项D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：令()()2g x f x x =+是解题的关键，通过研究()g x 的对称性，周期性得到()f x 的性质，关于()f x 的求值问题也转化为()g x 的求值问题.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.从某工厂生产的零件中随机抽取11个，其尺寸值为43，45，45，45，49，50，50，51，51，53，57（单位：mm ），现从这11个零件中任取3个，则3个零件的尺寸刚好为这11个零件尺寸的平均数、第六十百分位数、众数的概率为______．【答案】255【解析】【分析】分别求出11个零件的平均数49、第六十百分位数50，众数45，然后分别求出取出3个零件有165种，3个零件符合平均数、第六十百分位数、众数有6种情况，再利用古典概率从而可求解.【详解】由题意知11个零件的平均数为43454545495050515153574911++++++++++=，第六十百分位数的位置为1160% 6.6⨯=，即取第7位数50，故第六十百分位数为50，由题可知众数为45，所以当从11中取出3个零件共有311C 165=种情况，则3个数分别为平均数49、第六十百分位数50，众数45共有111123C C C 6=种情况，所以其概率为6216555=，故答案为：255.13.在正方体1111ABCD A B C D -中，14,AAP =为1CC 的中点，E 在棱11A D 上，且113A E ED =，则过E 且与1A P 垂直的平面截正方体1111ABCD A B C D -所得截面的面积为________.【答案】12【解析】【分析】首先分析题意，取Q 为1D D 的中点，结合题意找出等腰梯形HGFE 为所得截面，再求出等腰梯形HGFE 的面积即可.【详解】如图所示，取113A F FB =，连接1,AC AC ，易知1AA ⊥面1111D C B A ，而EF ⊂面1111D C B A ，故1AA EF ⊥，连接11B D ，且1111B D A C ⊥显然成立，由已知得11113A F A EFB ED ==，故EF //11B D ，则11C A EF ⊥，而1111C A AA A ⋂=，111,C A AA ⊂面11AA C C ，所以EF ⊥平面11AA C C ，且1A P ⊂面11AA C C ，所以1EF A P ⊥，取Q 为1D D 的中点，3DH HA =，则1EH A Q ⊥且EH PQ ⊥，1A Q PQ Q ⋂=，1,A Q PQ ⊂面1A PQ ，所以EH ⊥平面1A PQ ，因为1A P ⊂平面1A PQ ，1EH A P ⊥，同理可得3BG GA =，所以等腰梯形HGFE 为所得截面，又2HG EF EH ====作EF HK ⊥，显然HK ==，则梯形的高为所以等腰梯形HGFE 的面积为1122⨯+⨯=．故答案为：1214.甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为n X ，恰有2个黑球的概率为n p ，恰有1个黑球的概率为n q ，则n X 的数学期望()n E X =________.（用n 表示）【答案】1(13n+【解析】【分析】一方面：利用已知条件求出11,p q ，进一步推出22,p q ，另一方面得出11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，由此可求出12()13n n n p q +=+，进一步由期望公式即可求解.【详解】一方面：由题意可知：113p =，123q =，则211121733327p p q =+⨯=；2112221116()3333327q p q =+⨯+⨯=．另一方面：由题意可知：11211233339n n n n n p p q p q +=+⨯=+，122211212()(1)33333393n n n n n n q p q p q q +=+⨯+⨯+--=-+，两式相加可得11212122(2)33333n n n n n n p q p q p q +++=++=++，则：*2,N n n ≥∈时，11122(2)33n n n n p q p q --+=++，所以，11121(21)3n n n n p q p q --+-=+-，因为111213p q +-=，数列{21}n n p q +-是首项为13，公比为13的等比数列，所以121()3nn n p q +-=，即12()13nn n p q +=+，所以1()20(1)()13nn n n n n E X p q p q =++⨯--=+.故答案为：1(13n+.【点睛】关键点点睛：关键是得出12()13nn n p q +=+，由此即可顺利得解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记n S ，n T 分别为数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，2n n S a +=，12n n n a b b ++=，322S T =．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设,4,5n n n a n c b n ≤⎧=⎨≥⎩，记{}n c 的前n 项和为n Q ，若对任意*N n ∈，n Q m <，求整数m 的最小值．【答案】（1）112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，112n n n b -+=（2）3【解析】【分析】（1）由已知2n n S a +=，可得1,n n a a -的关系，从而可得数列{}n a 是等比数列，求出通项公式；由12n n n a b b ++=，将n a 代入，可得{}12n n b -为等差数列，再由322S T =可得n b 的通项公式.（2）由（1），将,n n a b 的通项公式代入n c ，从而得到n Q ，求出整数m 的最小值．【小问1详解】当1n =时，112S a +=，所以11a =，当2n ≥时，()11122n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，所以1112,2n n n n a a a a --==，数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，所以112n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为11122n n n b b +-=-，所以11221n n n n b b -+=-，即11221n n n n b b -+-=，所以数列{}12n n b -是公差为1的等差数列，所以1121n n b b n -=+-，所以1112n n b n b -+-=，因为322S T =，而321722222S ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，所以121211722b T b b b +=+=+=，所以12b =，112n n n b -+=.【小问2详解】依题意，111,421,52n n n n c n n --⎧≤⎪⎪=⎨+⎪≥⎪⎩，当4n ≤时，131115222228n n n n Q S a -==-=-≤-=，当5n ≥时，因为121123222n n n n n n n b ---+++==-，所以344521115788923113822222242n n n n n n n Q ---+++=+-+-++-=- ，其中，当n →+∞时，1302n n -+→，114n Q ∴<，n Q 无限接近114，所以整数m 的最小值为3．16.据新华社北京2月26日报道，中国航天全年预计实施100次左右发射任务，有望创造新的纪录，我国首个商业航天发射场将迎来首次发射任务，多个卫星星座将加速组网建设；中国航天科技集团有限公司计划安排近70次宇航发射任务，发射290余个航天器，实施一系列重大工程任务.由于航天行业拥有广阔的发展前景，有越来越多的公司开始从事航天研究，某航天公司研发了一种火箭推进器，为测试其性能，对推进器飞行距离与损坏零件数进行了统计，数据如下：飞行距离x （kkm ）5663717990102110117损坏零件数y （个）617390105119136149163参考数据：86x =，112y =，8182743iii x y==∑，82162680i i x ==∑（1）建立y 关于x 的回归模型ˆˆˆy bx a =+，根据所给数据及回归模型，求y 关于x 的回归方程（ˆb精确到0.1，ˆa精确到1）；（2）该公司进行了第二项测试，从所有同型号推进器中随机抽取100台进行等距离飞行测试，对其中60台进行飞行前保养，测试结束后，有20台报废，其中保养过的推进器占比30%，请根据统计数据完成2×2列联表，并根据小概率值0.01α=的独立性检验，能否认为推进器是否报废与保养有关？保养未保养合计报废20未报废合计60100附：回归方程ˆˆˆy bx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()121ˆniii ni i x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y bx=-，()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++；()20P K k ≥0.250.10.050.0250.010.0010k 1.3232.7063.8415.0246.63510.828【答案】（1） 1.626ˆyx =-（2）22⨯列联表见解析；是否报废与保养有关，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据题意可求出ˆ 1.6b=，ˆ26a =-，从而可求解.（2）根据题意可将22⨯列联表补充完整，并求得29.375 6.635K =>，从而求解判断是否报废与是否保养有关.【小问1详解】由题意得()()()81182222118827438861121.662680886ˆ8niii ii i ni i ii x x y y x y xy bx x x x ====----⨯⨯===≈-⨯--∑∑∑∑，则112 1.686ˆ26a=-⨯≈-，所以 1.626ˆyx =-.【小问2详解】设零假设为0H ：是否报废与是否保养无关，由题意，报废推进器中保养过的共2030%6⨯=台，未保养的推进器共20614-=台，补充22⨯列联表如下：保养未保养合计报废61420未报废542680合计6040100则()()()()()()22210062614549.375 6.63520406080n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===>++++⨯⨯⨯，根据小概率值0.01α=的独立性检验，我们推断0H 不成立，即认为是否报废与保养有关，此推断的错误概率不大于0.01.17.在三棱锥-P ABC 中，PB ⊥平面ABC ，2AB BC BP ===，点E 在平面ABC 内，且满足平面PAE ⊥平面,PBE BA 垂直于BC ．（1）当ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦时，求点E 的轨迹长度；（2）当二面角E PA B --的余弦值为3时，求三棱锥E PCB -的体积．【答案】（1）5π12（2）23【解析】【分析】（1）先通过垂直关系得到AE BE ⊥，然后建立空间直角坐标系得到点E 的轨迹，根据角度求轨迹的长；（2）利用向量法求面面角，解方程求出点E 的坐标，进而利用体积公式求解即可.【小问1详解】作BH PE ⊥交PE 于H ，因为平面PAE ⊥平面PBE ，且平面PAE 平面PBE PE =，BH ⊂面PBE ，所以BH ⊥平面PAE ，又因为AE ⊂平面PAE ，所以BHAE ⊥，因为PB ⊥平面ABC ，且AE ⊂平面ABC ，所以PB AE ⊥，因为BHAE ⊥，PB AE ⊥，PB 、BH ⊂平面PBE ，PB BH B = ，所以⊥AE 平面PBE ，又因为BE ⊂平面PBE ，所以AE BE ⊥．分别以直线,,BA BC BP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图，则(0,0,0)B ，(0,0,2)P ，(0,2,0)C ，(2,0,0)A ，设(,,0)E x y ，因为AE BE ⊥，所以0AE BE ⋅=，又(2,,0)AE x y =- ，(,,0)BE x y =，所以(2)0x x y y -⋅+⋅=，即22(1)1x y -+=，设AB 中点为N ，则(1,0)N，如图：又ππ,83ABE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，所以π2π,43ANE ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，因此，E 的轨迹为圆弧QE ，其长度为2ππ5π13412⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭；【小问2详解】由（1）知，可设(,,0)E x y ，(2,0,2)PA =-，(2,,0)AE x y =- ，设平面PAE 的一个法向量为(,,)n a b c =，则00n PA n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即()22020a c a x by -=⎧⎨-+=⎩，令a y =得(,2,)n y x y =- ．(0,2,0)BC =为平面PAB 的一个法向量，令二面角E PA B --为角θ，||cos 3||||n BC n BC θ⋅== ，又22(1)1x y -+=，解得2x =，0y =（舍去）或1x =，1y =±，则(1,1,0)E 或(1,1,0)E -，从而可得三棱锥E PCB -的体积11122213323E PCB PCB V S h -==⨯⨯⨯⨯=⋅△．18.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆W ：()222210x y a b a b+=>>的离心率为e ，已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且椭圆W 过点()1,e ．（1）求椭圆W 的方程；（2）已知平行四边形ABCD 的四个顶点均在W 上，求平行四边形ABCD 的面积S 的最大值．【答案】（1）2214x y +=（2）4【解析】【分析】（1）根据题意可得2222111e a b b+==，从而求出2a =，即可求解.（2）分情况讨论直线AB 斜率存在与不存在的情况，然后与椭圆方程式联立，再结合韦达定理求出相应关系式，并利用基本不等式求出最值，从而可求解.【小问1详解】由题意知2222222222221111e c b c a b a a b a b b++=+===，解得1b =，由长轴长是短轴长的2倍，则2a =，所以椭圆W 的方程为2214x y +=.【小问2详解】当直线AB 斜率存在，这AB 的方程为1y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y 因为AB CD ，故可设CD 方程为2y kx m =+，由12214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22211148440k x km x m +++-=，则()2218210k m ∆=-+>，1122814km x x k +=-+，211224414m x x k-=+，所以AB =，同理CD =，因为AB CD =，所以2212m m =，因为12m m ≠，所以120m m +=，所以222112412·8414k m m S AB d k -++===≤=+，当且仅当221412k m +=时，平行四边形ABCD 取得最大值为4.当直线AB 的斜率不存在时，此时平行四边形ABCD 为矩形，设()11,A x y ，易得114S x y =，又因为22111114x y x y =+≥，所以4S ≤，当且仅当11x y =时取等.综上所述：平行四边形ABCD 的面积S 的最大值为4.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意Δ的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.19.已知函数()(1)1(1)r f x x rx x =+-->-，0r >且1r ≠．（1）讨论()f x 的单调性；（26332的大小，并说明理由；（3）当*n∈N 时，证明：2sin176nkk n =<+∑．【答案】（1）答案见解析；（26332<，理由见解析（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）分析题意，根据参数的不同范围，含参利用导数讨论单调性即可.（2）根据（1）可知，当01r <<时，(1)1r x rx +<+，(0)x ≠，代值进行比较即可.（3）设()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，分不同情况讨论，利用放缩法结合裂项相消法证明不等式即可.【小问1详解】易知1()(1)1r f x r x -⎡⎤='+-⎣⎦．①01r <<．当10x -<<时，10(1)(1)1r x x -+>+=，即()0f x '>，所以()f x 在(1,0)-上单调递增，当0x >时，10(1)(1)1r x x -+<+=，即()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；②1r >．当10x -<<时，10(1)(1)1r x x -+<+=，即()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-上单调递减，当0x >时，10(1)(1)1r x x -+>+=，即()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增；综上所述，当01r <<时，()f x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减；当1r >时，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增；【小问2详解】由（1）可知，当01r <<时，(1)1r x rx +<+，(0)x ≠，取116x =-，14r =，则有1411163111616464⎛⎫-<-⨯+= ⎪⎝⎭，6364<6332<；【小问3详解】证明：设()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以()(0)0g x g ≥=，即当0x >时，sin x x >，结合（1）可知，221sin21111kkkk k ⎫⎛⎫<=+<+ ⎪⎝⎭，当1n =时，sin 237126<<<+成立，当2n ≥时，因为2214112412121k k k k ⎛⎫<=- ⎪--+⎝⎭，所以2sin12223111111111112223235572121kk n n n n n n =⎛⎫∑<+-++++<++-+-+- ⎪-+⎝⎭即2sin1122723216kk nn n n =∑<++-<++．综上所述，2sin 176kk nn =∑<+．【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数证明不等式，解题关键是合理运用放缩法，然后再利用裂项相消法求和，得到所要求的不等关系即可．。