高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质(精华试题版)
数学必修2第二章线面平行、面面平行的判定及性质练习测试
精心整理2.2 线面平行、面面平行的判断例题分析 :例 1. 如图， ABCD 是平行四边形， S 是平面 ABCD 外一点， M 为SC 的中点 .求证： SA ∥平面MDB.例 2. 正方形 ABCD 交正方形 ABEF 于 AB ， M 、 N 在对角线 AC 、 FB 上，且 AM FN ，求证： MN // 平面 BCE F E例 3. 已知 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 ABCD 外一点， M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过 GN和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH ，求证： AP ∥GH 、例 4. 如图，在空间四边形 ABCD 中， P 、 Q 分别是△ ABC 和△ BCD 的重心 . 求证： PQ ∥平面 ACD.A B例 5. 如图，在正方体 ABCD －A 1B 1C 1D 1 中，O 为底面 ABCD 的中心，P 是 DD 1 的中点，设 Q 是 CC 1 上的点，问：当点 Q 在什么地点时，平面 D 1BQ ∥ 平面 PAO? M稳固练习： D C1. 若 l // ， A ，则以下说法正确的选项是（）A. 过 A 在平面 内可作无数条直线与 l平行 B. 过 A 在平面内仅可作一条直线与 l 平行C.过 A 在平面 内可作两条直线与 l平行 D.与 A 的地点相关2. 若直线 a ∥ 直线 b ，且 a ∥ 平面 ，则 b 与 a 的地点关系是（）A 、必定平行 B 、不平行 C 、平行或订交 D 、平行或在平面内3. 如图在四周体中，若直线 EF 和GH订交，则它们的交点必定（） . A.在直线 DB 上 B. 在直线 AB 上C.在直线CB上 D.都不对 4. 一条直线若同时平行于两个订交平面，则这条直线与这两个平面的交线()A ．异面B ．订交C ．平行D ．不确立5. 已知平面 、β 和直线 m ，给出条件： ①m ∥ ； ②m ⊥ ； ③m? ； ④ ⊥β；⑤ ∥β . 为使m ∥β，应选择下边四个选项中的 ()A ．①④B． ①⑤C．②⑤D．③⑤6. 若直线 l 与平面α的一条平行线平行，则 l 和 的地点关系是 ()A. lB. l //C. l或l//D. l 和 订交7 若直线 a 在平面 内，直线 a,b 是异面直线，则直线A ．订交 B. 平行 C. 订交或平行 D.订交且垂直 8. 若直线 l 上有两点 P 、 Q 到平面 的距离相等，则直线A. 平行B. 订交C.平行或订交D.平行、订交或在平面b 和平面的地点关系是 l 与平面 的地点关系是内()()9. 以下命题正确的个数是 (???)(1) 若直线 l 上有无数个点不在α内，则 l ∥精心整理(2)若直线 l 与平面α平行， l 与平面内的随意向来线平行(3)两条平行线中的一条直线与平面平行，那么另一条也与这个平面平行(4)若向来线 a 和平面内向来线 b 平行，则 a∥A.0 个???????B.1 个 ??????C.2 个 ???????D.3 个10.如图，在四棱锥 P ABCD 中， ABCD 是平行四边形， M ， N 分别是AB ， PC 的中点．求证： MN // 平面 PAD ．11.如图 , S 是平行四边形 ABCD 平面外一点，M , N分别是SA, BD上的点，且AM=BN,SM ND求证： MN // 平面 SBC12.如图 A 、 B 、C分别是△PBC、△PCA、△PAB的重心 . 求证：面A B C∥面ABC.13.如图，空间四边形 ABCD 的对棱 AD 、 BC 成60o的角，且 AD 面分别交 AB、 AC、CD、BD于E、F 、G、H ．A （１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２） E 在 AB 的哪处时截面 EGFH 的面积最大？最大面积是多少？ASPM D C BC 2 ，平行于AD与BC的截·N· B·CCB。
高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系知识点与常考题(附解析)
必修二第二章点直线平面之间的位置关系知识点与常考题(附解析)知识点：1、空间点、直线、平面的位置关系（1）平面① 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限伸展的；② 平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC 。
③ 点与平面的关系：点A 在平面α内，记作A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A ∈l ； 点A 在直线l 外，记作A ∉l ；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l ⊂α；直线l 不在平面α内，记作l ⊄α。
（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。
（即直线在平面内，或者平面经过直线）应用：检验桌面是否平； 判断直线是否在平面内用符号语言表示公理1：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。
推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。
公理2及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据 ②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线符号：平面α和β相交，交线是a ，记作α∩β＝a 。
符号语言：,P A B A B l P l ∈⇒=∈公理3的作用：①它是判定两个平面相交的方法。
②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。
③它可以判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。
（5）公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行（6）空间直线与直线之间的位置关系① 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线② 异面直线性质：既不平行，又不相交。
③ 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线 ④ 异面直线所成角：直线a 、b 是异面直线，经过空间任意一点O ，分别引直线a ’∥a ，b ’∥b ，则把直线a ’和b ’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。
高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质
空间点线面的位置关系精编考题1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈I5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线典例1如图长方体中，(1)说出以下各对线段的位置关系?①EC 和BH 是 直线；②BD 和FH 是 直线； ③BH 和DC 是 直线(2)与棱AB 所在直线异面的棱共有 条? （3）长方体的棱中共有多少对异面直线？例2：如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （1）求证：EF 1C 1C 1C 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．1或4 D2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交C ．任意一条直线不相交D ．无数条直线不相交3. 若b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内GFHE BCDAA 14. 正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形5. 下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ． 若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线6. 已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能7. 若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定 8 已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面9．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c 一定（ ） A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．10．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面11．若空间两条直线a ，b 没有公共点，则其位置关系是____________．12．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是______________． 13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱共有________条． 14．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是________． 15．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； ③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直； ④若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，则OB ∥O 1B 1． 其中正确命题的序号为________．16．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .17 在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个.18．已知直线,a b 和平面α，且,,a b a α⊥⊥则b 与α的位置关系是 . 19．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中： (1)B C 1与C D 1所成的角为________； (2)AD 与B C 1所成的角为 ．20．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ． 以上结论中正确结论的序号为________．21．如图所示，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填序号)．22：已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体． (1) 正方体的哪些棱所在的直线与直线BC 1是异面直线． (2) 求异面直线AA 1与BC 所成的角． (3) 求异面直线BC 1和AC 所成的角．空间直线与平面平行的判定及其性质精选考题【知识点总结】 空间中的平行问题 1．直线与直线平行C DA 11C 1B 1A CDA 1D 1C 1B 1（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC 2．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒I3．平面与平面平行 1,面面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，a b A =I ，//a β，////b βαβ⇒（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
20151211~必修二~点线面关系知识总结和练习题(有答案)
//a α//a b点线面位置关系总复习知识梳理一、直线与平面平行 1.判定方法（1）定义法：直线与平面无公共点。
（2）判定定理：（3）其他方法：//a αββ⊂2.性质定理：//a a bαβαβ⊂⋂=二、平面与平面平行 1.判定方法（1）定义法：两平面无公共点。
（2）判定定理：////a b a b a b Pββαα⊂⊂⋂= //αβ（3）其他方法：a a αβ⊥⊥ //αβ; ////a γβγ//αβ 2.性质定理：//a bαβγαγβ⋂=⋂=三、直线与平面垂直（1）定义：如果一条直线与一个平面内的所有直线都垂直，则这条直线和这个平面垂直。
（2）判定方法 ① 用定义.//a b a b αα⊄⊂//a α//a b//a b ② 判定定理:a ba cb c A b c αα⊥⊥⋂=⊂⊂ a α⊥③ 推论://a a bα⊥ b α⊥ （3）性质 ①a b αα⊥⊂ a b ⊥ ②a b αα⊥⊥四、平面与平面垂直（1）定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直线二面角，就说这两个平面互相垂直。
（2）判定定理a a αβ⊂⊥ αβ⊥ （3）性质①性质定理la a lαβαβα⊥⋂=⊂⊥ αβ⊥② l P PA Aαβαβαβ⊥⋂=∈⊥垂足为 A l ∈④ l P PA αβαβαβ⊥⋂=∈⊥ PA α⊂“转化思想”面面平行 线面平行 线线平行 面面垂直 线面垂直 线线垂直●求二面角1.找出垂直于棱的平面与二面角的两个面相交的两条交线,它们所成的角就是二面角的平面角.2.在二面角的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB叫做二面角的平面角例1．如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求以BD为棱，以BDE和BDC为面的二面角的度数。
●求线面夹角定义：斜线和它在平面内的射影的夹角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）方法：作直线上任意一点到面的垂线，与线面交点相连，利用直角三角形有关知识求得三角形其中一角就是该线与平面的夹角。
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(内含答案解析)
人教版高中数学必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（内含答案解析）一、选择题1．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，那么这n条直线中与直线a平行的()A．至少有一条B．至多有一条C．有且只有一条D．没有【解析】过a和平面内n条直线的交点只有一个平面β，所以平面α与平面β只有一条交线，且与直线a平行，这条交线可能不是这n条直线中的一条也可能是．故选B.【答案】B2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，若a∥α，a⊂β，α∩β＝b，则α内与b相交的直线与a的位置关系是()A．平行 B．相交C．异面 D．平行或异面【解析】条件即为线面平行的性质定理，所以a∥b，又a与α无公共点，故选C.【答案】C3．下列命题中不正确的是()A．两个平面α∥β，一条直线a平行于平面α，则a一定平行于平面βB．平面α∥平面β，则α内的任意一条直线都平行于平面βC．一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面，那么三角形所在平面与这个平面平行D．分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或者是异面直线【解析】选项A中直线a可能与β平行，也可能在β内，故选项A不正确；三角形两边必相交，这两条相交直线平行于一个平面，那么三角形所在的平面与这个平面平行，所以选项C正确；依据平面与平面平行的性质定理可知，选项B，D也正确，故选A.【答案】A4．如图2221，四棱锥P ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面P AD，则()图2221A．MN∥PDB．MN∥P AC．MN∥ADD．以上均有可能【解析】∵MN∥平面P AD，MN⊂平面P AC，平面P AD∩平面P AC＝P A，∴MN∥P A.【答案】B5．设平面α∥平面β，A∈α，B∈β，C是AB的中点，当点A、B分别在平面α，β内运动时，动点C()A．不共面B．当且仅当点A、B分别在两条直线上移动时才共面C．当且仅当点A、B分别在两条给定的异面直线上移动时才共面D．无论点A，B如何移动都共面【解析】无论点A、B如何移动，其中点C到α、β的距离始终相等，故点C在到α、β距离相等且与两平面都平行的平面上．【答案】D二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2123，长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点．(1)求证：D1E∥BF；(2)求证：∠B1BF＝∠D1EA1.图2123【证明】(1)取BB1的中点M，连接EM，C1M.在矩形ABB1A1中，易得EM═∥A1B1，∵A1B1═∥C1D1，∴EM═∥C1D1，∴四边形EMC1D1为平行四边形，∴D1E∥C1M.在矩形BCC1B1中，易得MB═∥C1F，∴BF═∥C1M.∴D1E∥BF.(2)∵ED1∥BF，BM∥EA1，又∠B1BF与∠D1EA1的对应边方向相同，∴∠B1BF＝∠D1EA1.9．如图2124，正方体ABCDEFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：(1)BE与CG所成的角；(2)FO与BD所成的角．图2124【解】(1)如图，因为CG∥BF，所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又△BEF中，∠EBF＝45°，所以BE与CG所成的角为45°.(2)连接FH，因为HD═∥EA，EA═∥FB，所以HD═∥FB，所以四边形HFBD为平行四边形，所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．连接HA、AF，易得FH＝HA＝AF，所以△AFH为等边三角形，又依题意知O为AH的中点，所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角是30°.10．如图2125是正方体的平面展开图，在这个正方体中，图2125①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60°角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是()A．①②③B．②④C．③④ D．②③④【解析】由题意画出正方体的图形如图：显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC＝60°，正确；④正确．【答案】C11．在四面体ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．若BD、AC所成的角为60°，且BD＝AC＝1.求EF的长度．【解】如图，取BC中点O，连接OE、OF，∵OE∥AC，OF∥BD，∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AC与BD所成的角，而AC、BD所成的角为60°.∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.当∠EOF＝60°时，EF＝OE＝OF＝21.当∠EOF＝120°时，取EF的中点M，连接OM，则OM⊥EF，EF＝2EM＝2×43＝23.。
必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质
必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质 测试题 2019.91,点到平面的距离分别为和，则线段的中点到平面的距离为_________________.2,从正方体的八个顶点中任取三个点为顶点作三角形，其中直角三角形的个数为_______.3,一条直线和一个平面所成的角为，则此直线和平面内不经过斜足的所有直线所成的角中最大的角是____________.4,正四棱锥（顶点在底面的射影是底面正方形的中心）的体积为，底面对角线的长为，则侧面与底面所成的二面角等于___________________.5,在正三棱锥（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,过作与分别交于和的截面，则截面的周长的最小值是________.6,已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为，体积为，则这个球的表面积是（ ） Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.7,已知在四面体中，分别是的中点，若，则与所成的角的度数为（ ）Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.8,三个平面把空间分成部分时，它们的交线有（ ）,A B α4cm 6cm AB M α06012P ABC -4,8AB PA ==A ,PB PC D E ∆ADE 41616π20π24π32πABCD ,E F ,AC BD 2,4,AB CD EF AB ==⊥EF CD 904560307Ａ. 条 Ｂ. 条 Ｃ. 条 Ｄ. 条或条 9,在长方体，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离为( )A. B. C. D.10,直三棱柱中，各侧棱和底面的边长均为，点是上任意一点，连接，则三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.测试题答案1, 或 分在平面的同侧和异侧两种情况2, 每个表面有个，共个；每个对角面有个，共个3, 垂直时最大4, 底面边长为，5, 沿着将正三棱锥侧面展开，则共线，且6, C 正四棱柱的底面积为，正四棱柱的底面的边长为，正四棱柱的底面的对角线为，正四棱柱的对角线为，而球的直径等于正四棱柱的对角线，即123121111ABCD A B C D -241A 11AB D 83384334111ABC A B C -a D 1CC 11,,,A B BD A D AD 1A A BD -361a 3123a 363a 3121a 5cm 1cm ,A B 48464⨯464⨯0900301tan θ=11PA P ABC -',,,A D E A '//AA BC 422R =2424R S R ππ===球7, D 取的中点，则则与所成的角8, C 此时三个平面两两相交，且有三条平行的交线9, C 利用三棱锥的体积变换：，则10, BBC G 1,2,,EG FG EF FG ==⊥EF CD 030EFG ∠=111A AB D -111111A AB D A A B D V V --=1124633h ⨯⨯=⨯⨯11211332A A BD D A BA a V V Sh --===⨯=。
高中数学必修2试题直线平面平行的判定及其性质
高中数学必修2试题:直线平面平行的判定及其性质
一、线面平行的判定与性质
(2016·高考全国卷丙)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．
(1)证明MN∥平面PAB；
(2)求四面体NBCM的体积．
二、面面平行的判定与性质
已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，则BD的长为________．
三、线、面平行中的探索性问题
如图，四棱锥PABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为PB的中点．
(1)求证：CE∥平面PAD；
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，证明你的结论，若不存在，请说明理由．
(2017·湖南省长沙一中高考模拟)如图所示，正方体
ABCDA1B1C1D1的棱长为a，点P是棱AD上一点，且AP＝a
3
，过B1、D1、P的平面交底面ABCD于PQ，Q在直线CD上，则PQ＝________．
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人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质测试
人教新课标A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系 2.2直线、平面平行的判定及其性质同步测试共 25 题一、单选题1、如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形EFGH为截面，长方形ABCD为底面，则四边形EFGH的形状为( )A.梯形B.平行四边形C.可能是梯形也可能是平行四边形D.不确定2、若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A.α内存在直线与l异面B.α内存在与l平行的直线C.α内存在唯一的直线与l平行D.α内的直线与l都相交3、若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（）A. B.1C. D.4、已知直线l及两个平面α、β，下列命题正确的是（）A.若l∥α，l∥β，则α∥βB.若l∥α，l∥β，则α⊥βC.若l⊥α，l⊥β，则α∥βD.若l⊥α，l⊥β，则α⊥β5、已知平面α∥平面β，P是α，β外一点，过点P的直线m与α，β分别交于点A，C，过点P的直线n与α，β分别交于点B，D，且PA=6，AC=9，PD=8，则BD的长为（ ）A. B.C.或24D.或126、下列条件中，能判断两个平面平行的是（ ）A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D.一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面7、已知平面α∥平面β，直线m⊂α，直线n⊂β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（）A.b≤a≤cB.a≤c≤bC.c≤a≤bD.c≤b≤a8、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥nB.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βC.若m∥α，m∥β，则α∥βD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n9、A是平面BCD外一点，E，F，G分别是BD，DC，CA的中点，设过这三点的平面为α，则在直线AB，AC，AD，BC，BD，DC中，与平面α平行的直线有（ ）A.0条B.1条C.2条D.3条10、若M、N分别是△ABC边AB、AC的中点，MN与过直线BC的平面β的位置关系是（ ）A.MN∥βB.MN与β相交或MN⊊βC.MN∥β或MN⊊βD.MN∥β或MN与β相交或MN⊊β11、点 E，F，G，H分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH是（ ）A.菱形B.梯形C.正方形D.平行四边形12、给出下列命题：（1）平行于同一直线的两个平面平行（2）平行于同一平面的两个平面平行（3）垂直于同一直线的两直线平行（4）垂直于同一平面的两直线平行其中正确命题的序号为（ ）A.（1）（2）B.（3）（4）C.（2）（4）D.（1）（3）13、如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（ ）A.①②B.③④C.②③D.①④14、已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（ ）A.若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB.若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC.若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥bD.若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β④平面PAE⊥平面ABC．、已知m、n是两条不重合的直线，1AP= ，过、如图四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD 、如图所示，在三棱锥A﹣BCD中，________ 时，四边形EFGH为菱形．三、解答题21、如图所示，在棱长为2cm的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1B1的中点是P，过点A1作出与截面PBC1平行的截面，简单证明截面形状，并求该截面的面积．22、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1， E，F，P，Q分别是BC，C1D1， AD1， BD的中点，求证：（1）PQ∥平面DCC1D1（2）EF∥平面BB1D1D．23、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．24、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC⊥BC，E、F分别在线段B1C1和AC上，B1E=3EC1，AC=BC=CC1=4（1）求证：BC⊥AC1；（2）试探究满足EF∥平面A1ABB1的点F的位置，并给出证明．25、直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，D是AB的中点．（Ⅰ）求证：AC⊥B1C；（Ⅱ）求证：AC1∥平面B1CD参考答案一、单选题1、【答案】B【解析】【解答】因为，长方体中相对的平面互相平行，所以，被平面截后，EF,GH平行且相等，GF,EH平行且相等，故四边形的形状为平行四边形，选B。
高中数学必修二点线面的位置关系与线面平行判定及其性质(精华试题版)
空间点线面的位置关系精编考题1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈I5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线典例1如图长方体中，(1)说出以下各对线段的位置关系?①EC 和BH 是 直线；②BD 和FH 是 直线； ③BH 和DC 是 直线(2)与棱AB 所在直线异面的棱共有 条? （3）长方体的棱中共有多少对异面直线？例2：如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （1）求证：EF//A 1C 1．（2）求证：四边形EF A 1C 1是梯形． （3）若M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点， 求证：∠MD 1N=∠EDF ．GFHE BCDAA 1精选考题1. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定 2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交3. 若b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内4. 正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形5. 下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ． 若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线6. 已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．α⊂bC ．b 与平面α相交D ．以上都有可能7. 若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定 8 已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面9．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c 一定（ ） A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．10．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面11．若空间两条直线a ，b 没有公共点，则其位置关系是____________．12．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是______________． 13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱共有________条． 14．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l 1，l 2是异面直线，则与l 1，l 2都相交的两条直线是异面直线． 其中假命题的个数是________． 15．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行； ②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形； ③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直； ④若∠AOB ＝∠A 1O 1B 1，且OA ∥O 1A 1，则OB ∥O 1B 1． 其中正确命题的序号为________．16．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是 .17 在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有 个.18．已知直线,a b 和平面α，且,,a b a α⊥⊥则b 与α的位置关系是 . 19．已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中： (1)B C 1与C D 1所成的角为________； (2)AD 与B C 1所成的角为 ．20．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论： ①AB ⊥EF ； ②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ． 以上结论中正确结论的序号为________．21．如图所示，G 、H 、M 、N 分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH ，MN 是异面直线的图形有________(填序号)．A CDA 1D 1C 1B 122：已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体． (1) 正方体的哪些棱所在的直线与直线BC 1是异面直线． (2) 求异面直线AA 1与BC 所成的角． (3) 求异面直线BC 1和AC 所成的角．【知识点总结】 空间中的平行问题 1．直线与直线平行（1）平行四边形ABCD （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//AB CD ，//BC AD （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//EF BC 2．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 //l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒I3．平面与平面平行 1,面面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，a b A =I ，//a β，////b βαβ⇒（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
2必修二-点线面之间的位置关系测试题-含答案-1130
第二章点、直线、平面之间的位置关系一、选择题1．设α，β为两个不同的平面，l，m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂β，有如下的两个命题：①若 α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则 α⊥β．那么()．A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是()．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1(第2题)D．异面直线AD与CB1角为60°3．关于直线m，n与平面 α，β，有下列四个命题：①m∥α，n∥β 且 α∥β，则m∥n；②m⊥α，n⊥β 且 α⊥β，则m⊥n；③m⊥α，n∥β 且 α∥β，则m⊥n；④m∥α，n⊥β 且 α⊥β，则m∥n．其中真命题的序号是()．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是()．A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的个数是()．①若直线l上有无数个点不在平面 α 内，则l∥α②若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面 α 平行，则l与平面 α 内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面()．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为()．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是()．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是()．A．4 B．3 C． 2 D．110．异面直线a，b所成的角60°，直线a⊥c，则直线b与c所成的角的范围为()．A．[30°，90°]B．[60°，90°]C．[30°，60°] D．[30°，120°]二、填空题11．已知三棱锥P－ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S1，S2，S3，则这个三棱锥的体积为．12．P是△ABC所在平面 α 外一点，过P作PO⊥平面 α，垂足是O，连PA，PB，PC．(1)若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的心；(2)PA⊥PB，PA⊥PC，PC⊥PB，则O是△ABC的心；(3)若点P到三边AB，BC，CA的距离相等，则O是△ABC的心；(4)若PA＝PB＝PC，∠C＝90º，则O是AB边的点；(5)若PA＝PB＝PC，AB＝AC，则点O在△ABC的线上．13．如图，在正三角形ABC中，D，E，F分别为各J边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．14．直线l与平面α 所成角为30°，l∩α＝A，直线m∈α，则m与l所成角的取值范围是．15．棱长为1的正四面体内有一点P，由点P向各面引垂线，垂线段长度分别为d1，d2，d3，d4，则d1＋d2＋d3＋d4的值为．16．直二面角 α－l－β 的棱上有一点A，在平面 α，β 内各有一条射线AB，AC与l成45°，AB⊂α，AC⊂β，则∠BAC＝．三、解答题17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；(第17题) (3)设二面角A－BC－D的大小为θ，猜想θ 为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB ⊥平面EBC ；(2)求二面角E －DB －C 的正切值.19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，SA ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝１，AD ＝21． (1)求四棱锥S —ABCD 的体积；(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．(提示：延长 BA ，CD 相交于点 E ，则直线 SE 是所求二面角的棱.20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在 AA 1 上取一点 P ，过 P 作棱柱的截面，使 AA 1 垂直于这个截面.)(第20题)答案：DDDDB BCDBA11．313212S S S ． 12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分． 13．60°．14．[30°，90°]． 15．36． 16．60°或120°．三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ．∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形，(第18题)∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ，∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝θ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ，∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3．又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin θ＝DO DE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当 θ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ． 在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题) 又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41．(2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ，∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线．又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角．∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ，∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ，(第19题) 即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P作截面PQR，使AA1⊥截面PQR，AA1∥CC1，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO＝6．1·QR·PO·AA1∴V 斜＝S△PQR·AA1＝21·PO·QR·BB1＝21×10×6＝2＝30．(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案及解析A组一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面 α∩平面 β＝直线n，l⊂α，m⊂β，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面 α 不垂直平面β， (第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与 α 无公共点，l与平面 α 内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B．(第5题)6．B 解析：设平面 α 过l 1，且 l 2∥α，则 l 1上一定点 P 与 l 2 确定一平面 β ，β 与 α 的交线l 3∥l 2，且 l 3 过点 P . 又过点 P 与 l 2 平行的直线只有一条，即 l 3 有唯一性，所以经过 l 1 和 l 3 的平面是唯一的，即过 l 1 且平行于 l 2 的平面是唯一的.7．C 解析：当三棱锥D －ABC 体积最大时，平面DAC ⊥ABC ，取AC 的中点O ，则△DBO 是等腰直角三角形，即∠DBO ＝45°． 8．D 解析：A ．一组对边平行就决定了共面；B ．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C ．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D ．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ． 二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘：∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3，∴ abc ＝23212S S S ．∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心； (2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心；(3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心；(4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°． 14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面 α 所成的30°的角为m 与l 所成角的最小值，当m 在 α 内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°． 15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36．16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ， ∴BC⊥AD ． (第17题)解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝θ，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ． ∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin θ＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23．(3)当 θ＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABC D －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ，∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD ⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO 为二面角E －D B －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51，(第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱．∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角．∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ，∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ，(第19题)即所求二面角的正切值为22．20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6． ∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1＝21×10×6 ＝30．(第20题)。
人教A版高中数学必修2第二章 点、直线、平面之间的位置关系2.2 直线、平面平行的判定及其性质习题
直线、平面平行的判定及其性质 习题（含答案）一、单选题1．已知直线和不同的平面，下列命题中正确的是 A ．α⊥βm ⊥β}⇒m//α B ． α⊥βm ⊂α}⇒m ⊥β C ． m//αm//β}⇒α//β D ． α//βm ⊂α}⇒m//β 2．已知直线1:3l y ax =+与2l 关于直线y x =对称， 2l 与3:210l x y +-=垂直，则a =（ ）A ． 12-B ． 12C ． -2D ． 2 3．已知α，β是两个不同的平面，m ，n 是异面直线且m ⊥n ，则下列条件能推出α⊥β的是（ ）A ． m//α，n//βB ． m ⊥α，n//βC ． m//α，n ⊥βD ． m ⊥α，n ⊥β4．设m ，n 是不同的直线，α，β，γ是不同的平面，有以下四个命题：①α∥βα∥γ}⇒β∥γ；②α⊥βm ∥α}⇒m ⊥β；③m ⊥αm ∥β}⇒α⊥β；④m ∥n n ∥α}⇒m ∥α． 其中正确的命题是（ ）．A ． ①②B ． ①③C ． ②④D ． ③④5．如图，在棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，A 1B 1的中点是P ，过点A 1作与截面PBC 1平行的截面，则该截面的面积为( )A ． 2√2B ． 2√3C ． 2√6D ． 46．下列命题正确的是A ． 四边形确定一个平面B ． 经过一条直线和一个点确定一个平面C ． 经过三点确定一个平面D ． 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面-中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，7．四棱锥P ABCDPA=E为PC的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．8．直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=AA1，则直线A1B与AC1所成角的大小为A．30°B．60°C．90°D．120°9．如图，在正四棱台ABCD−A1B1C1D1中，上底面边长为4，下底面边长为8，高为5，点M,N分别在A1B1,D1C1上，且A1M=D1N=1.过点M,N的平面α与此四棱台的下底面会相交，则平面α与四棱台的面的交线所围成图形的面积的最大值为A．18√7B．30√2C．6√61D．36√3二、填空题10．如图,在直四棱柱ABCD−A1B1C1D1中,底面ABCD是正方形,AA1=√3AB.记异面直线AB1,与BD所成的角为θ,则cosθ的值为_________.11．如图所示的正方体中，P，Q，M，N分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图形是________（把正确图形的序号都填上）.12．空间四边形ABCD 中，AB =CD ，且异面直线AB 与CD 所成的角为40°，E 、F 分别为BC 和AD 的中点，则异面直线EF 和AB 所成角的大小是_________________．13．正方体1111ABCD A B C D -中，直线1BC 与直线1AB 所成角的大小为__________ .14．在正四面体P-ABC ，已知M 为AB 的中点，则PA 与CM 所成角的余弦值为____.15．若直线()120a x y +-=与直线1x ay -=互相平行，则实数a =______,若这两条直线互相垂直，则a =______.16．如图，长方体1111ABCD A B C D -中， 12,1AA AB AD ===，点E F G 、、分别是11DD AB CC 、、的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是__________．17．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________．18．已知m,n 是两条不重合的直线α,β,γ是三个两两不重合的平面给出下列四个命题:(1)若m ⊥α,m ⊥β,则α//β(2)若α⊥γ,β⊥γ,则α//β(3)若m ⊂α,n ⊂β,m//n ,则α//β(4)若m//β， β//γ，则m//γ其中正确的命题是________．(填上所有正确命题的序号)三、解答题19．如图，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，DE//AP,AP =AD =2DE =2.(Ⅰ)证明：平面DCE//平面ABP ；(Ⅱ)求直线CP 与平面DCE 所成角的余弦值.20．如图，在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB//DC ，AD =DC =AP =2，AB =1，点E 为棱PC 的中点．(1)（理科生做）证明：BE ⊥CD ；（文科生做）证明：BE//平面PAD ；(2)（理科生做）若F 为棱PC 上一点，满足BF ⊥AC ，求二面角F −AB −P 的余弦值． （文科生做）求点B 到平面PCD 的距离.21．如图所示的几何体中，四边形ABCD 是菱形，ADNM 是矩形，平面ADNM ⊥平面ABCD ，点P 为DN 的中点，点E 为AB 的中点.(1)求证：BD ⊥MC ；(2)求证：AP//平面NEC .22．如图，在底面是菱形的四棱锥P ABCD -中, PA ⊥平面ABCD ， 60,2ABC PA AB ∠=︒==，点E F 、分别为BC PD 、的中点，设直线PC 与平面AEF 交于点Q .（1）已知平面PAB ⋂平面PCD l =，求证： //AB l .（2）求直线AQ 与平面PCD 所成角的正弦值.23．如图所示, CC 1⊥平面ABC ,平面ABB 1A 1⊥平面ABC ,四边形ABB 1A 1⊥为正方形，∠ABC =60∘, BC =CC 1= 12AB =2,点E 在棱BB 1上.(1)若F 为A 1B 1的中点E 为BB 1的中点,证明:平面EC 1F ∥平面A 1CB ；(2)设BE ⃑⃑⃑⃑⃑ =λBB 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ,是否存在λ,使得平面A 1EC 1⊥平面A 1EC ?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.24．如图，在底面边长为a 的正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中， BB 1=√a ，D 是 AC 的中点。
2020年最新人教A版高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系2.2直线、平面平行的判定及其性质习题(
2.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定2.2.2平面与平面平行的判定一、基础达标1．已知三个平面α，β，γ，一条直线l，要得到α∥β，必须满足下列条件中的() A．l∥α，l∥β，且l∥γB．l?γ，且l∥α，l∥βC．α∥γ，且β∥γD．l与α，β所成的角相等答案 C解析α∥γ?α与γ无公共点β∥γ?β与γ无公共点?α与β无公共点?α∥β.2．下列图形中能正确表示语句“平面α∩β＝l，a?α，b?β，a∥β”的是()答案 D解析A中不能正确表达b?β；B中不能正确表达a∥β；C中也不能正确表达a∥β.D正确．3．(2014·郑州高一检测)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱CD上的动点，则直线MC1与平面AA1B1B的位置关系是() A．相交B．平行C．异面D．相交或平行答案 B解析如图，MC1?平面DD1C1C，而平面AA1B1B∥平面DD1C1C，故MC1∥平面AA1B1B.4．平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为() A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合答案 C解析若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．5．点E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则空间四面体的六条棱中与平面EFGH平行的条数是() A．0 B．1C．2 D．3答案 C解析如图，由线面平行的判定定理可知，BD∥平面EFGH，AC∥平面EFGH.6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________．答案平行或相交解析三条平行线段共面时，两平面可能平行也可能相交，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．7.如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，E、F分别是PC、PD的中点，求证：EF∥平面PAB.证明∵E、F分别是PC，PD的中点，∴EF∥CD，∵CD∥AB，∴EF∥AB，∵EF?面PAB，AB?平面PAB，∴EF∥平面P AB.二、能力提升8．(2014·绍兴高一检测)已知直线l，m，平面α，β，下列命题正确的是() A．l∥β，l?α?α∥βB．l∥β，m∥β，l?α，m?α?α∥βC．l∥m，l?α，m?β?α∥βD．l∥β，m∥β，l?α，m?α，l∩m＝M?α∥β答案 D解析如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，则AB∥平面DC1，AB?平面AC，但是平面AC与平面DC1不平行，所以A错误；取BB1的中点E，CC1的中点F，则可证EF∥平面AC，B1C1∥平面AC.EF?平面BC1，B1C1?平面BC1，但是平面AC与平面BC1不平行，所以B错误；可证AD∥B1C1，AD?平面AC，B1C1?平面BC1，又平面AC与平面BC1不平行，所以C错误；很明显D是面面平行的判定定理，所以D正确．9．三棱锥S－ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG 与平面SBC的关系为________．答案平行解析如图，延长AG交BC于F，则由G为△ABC的重心知AG∶GF＝2，又AE∶ES＝2，∴EG∥SF，又SF?面SBC，EG?平面SBC，∴EG∥平面SBC.10．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①BM∥平面DE；②CN∥平面AF；③平面BDM∥平面AFN；④平面BDE∥平面NCF.以上四个命题中，正确命题的序号是________．答案①②③④解析以ABCD为下底面还原正方体，如图：则易判定四个命题都是正确的．11．(2014·自贡高一检测)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接OD.由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B.又A1B?平面ADC1，OD?平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.三、探究与创新12.如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为棱AB，CC1，AA1，C1D1的中点．求证：平面CEM∥平面BFN.证明因为E，F，M，N分别为其所在各棱的中点，如图连接CD1，A1B，易知FN∥CD1.同理，ME∥A1B.易证四边形A1BCD1为平行四边形，所以ME∥NF.连接MD1，同理可得MD1∥BF.又BF，NF为平面BFN中两相交直线，ME，MD1为平面CEM中两相交直线，故平面CEM∥平面BFN.13.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足什么条件时，有MN∥平面B1BDD1.(不必考虑所有可能情况，只要写出一个即可，并说明理由)解①若M为H点时，连接HN，∵H、N为边DC，BC中点，∴HN∥BD.∵BD?平面BDD1B1，HN?平面BDD1B1，∴HN∥平面B1BDD1，即MN∥平面B1BDD1.②若M为F点时，取BD中点P，连接PN、FN、D1P，∵N为BC中点，F为D1C1中点，结合中位线及正方体的性质可知PN綉D1F，∴四边形D1PNF为平行四边形，∴FN∥D1P，∵FN?平面B1BDD1，D1P?平面B1BDD1，∴FN∥平面B1BDD1，即MN∥平面B1BDD1.③连接FH，若M为FH上任一点，作MQ∥D1C1交D1D于点Q，取BD中点P，并连接PQ，PN，易知MQPN为平行四边形，∴MN∥PQ，∵MN?平面B1BDD1，PQ?平面B1BDD1，∴MN∥平面B1BDD1.综上知M在线段FH上时，MN∥平面B1BDD1.。
高中数学必修2 第二章 点线面位置关系(B卷)
高中数学必修2 第二章点线面位置关系（B卷）试卷一、选择题（共21题；共90分）1.下列图形所表示的直线与平面的位置关系，分别用符号表示正确的一组是()A.a⊄α，a∩α＝A，a∥αB.，a∩α＝A，a∥αC.a⊂α，a∩α＝A，a∥αD.，a∩α＝A，a∥α【答案】C【考点】平面概念及表示,点线面关系【解析】根据图形可得，选C.2.若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.异面或平行B.异面或相交C.异面D.相交，平行或异面【答案】D【考点】异面直线【解析】a和c可以相交，平行或者异面.选D.3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与b的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.平行或异面【答案】D【考点】平面概念及表示,平面的公理及应用,异面直线,点线面关系【解析】由于平面α∥平面β，直线a⊂α，直线b⊂β，所以直线a与b没有公共点，即直线a与b的位置关系为平行或异面．4.已知平面α与平面β平行，a⊂α，则下列命题正确的是()A.a与β内所有直线平行B.a与β内的无数条直线平行C.a与β内的任何一条直线都不平行D.a与β内的一条直线平行【答案】B【考点】线面平行的判定与性质【解析】根据线面平行的判定可以得到.5.平面α平面β，平面γ平面δ，且α∩γ＝a，α∩δ＝b，β∩γ＝c，β∩δ＝d，则交线a，b，c，d的位置关系是()A.互相平行B.交于一点C.相互异面D.不能确定【答案】A【考点】线线平行的判定与性质,面面平行的判定与性质【解析】由平面与平面平行的性质定理知，a b，a c，b d，c d，所以a b c d，故选A.6.如图，已知三棱柱ABC—A1B1C1中，E是BC的中点，D是AA1上的动点，且，若AE平面DB1C，则m的值为()A.B.1C.D.2【答案】B【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质【解析】如图，取CB1的中点G，连接GE，DG，当m＝1时，且AD GE，∴四边形ADGE为平行四边形，则AE DG，可得AE平面DB1C.7.已知直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，下面四个结论：①若l⊥α，则l⊥m；②若l∥α，则l∥m；③若l⊥m，则l⊥α；④若l∥m，则l∥α，其中正确的是()A.①②④B.③④C.②③D.①④【答案】D【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】由直线l⊄平面α，直线m⊂平面α，知，在①中，若l⊥α，则由线面垂直的性质定理得l⊥m，故①正确；在②中，若l∥α，则l与m平行或异面，故②错误；在③中，若l⊥m，则l与α不一定垂直，故③错误；在④中，若l∥m，则由线面平行的判定定理得l∥α，故④正确.故选D.8.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是()A.平行B.垂直C.相交D.不确定【答案】B【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】由于直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，而这两边相交于点C，所以直线l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三边AB在这个平面内，所以l⊥AB.9.如图所示，在三棱锥P－ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA＝PB，AD＝DB，则()A.PD⊂平面ABCB.PD⊥平面ABCC.PD与平面ABC相交但不垂直D.PD∥平面ABC【答案】B【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】因为PA＝PB，AD＝DB，所以PD⊥AB.又因为平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PD⊂平面PAB，所以PD⊥平面ABC.10.已知两条不同直线m，l，两个不同平面α，β，在下列条件中，可得出α⊥β的是()A.m⊥l，lα，lβB.m⊥l，α∩β＝l，m⊂αC.m l，m⊥α，l⊥βD.m l，l⊥β，m⊂α【答案】D【考点】面面垂直的判定与性质,垂直关系综合【解析】对于A，lα，lβ，α与β可以平行，相交，故A不正确；对于B，α与β可以相交，故B不正确；对于C，m l，m⊥α⇒l⊥α，l⊥β⇒αβ.故C不正确；对于D，m l，l⊥β⇒m⊥β，m⊂α⇒α⊥β.故D正确．故选D.11.在△ABC所在的平面α外有一点P，且PA＝PB＝PC，则P在α内的射影是△ABC的()A.垂心B.内心C.外心D.重心【答案】C【考点】线面垂直的判定与性质【解析】设P在平面α内的射影为O，易证△PAO≌△PBO≌△PCO⇒AO＝BO＝CO.12.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1，若AB＝BC，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论中成立的是()①EF与BB1垂直；②EF⊥平面BCC1B1；③EF与C1D所成的角为45°；④EF平面A1B1C1D1.A.②③B.①④C.③D.①②④【答案】B【考点】线线垂直的判定与性质,线面垂直的判定与性质【解析】连B1C，则B1C交BC1于F且F为BC1中点，在三角形B1AC中，，所以EF平面ABCD，因为AB与BB1垂直，所以EF与BB1垂直①正确；AC不垂直平面BCC1B1，所以②EF⊥平面BCC1B1；②不正确；③EF与C1D所成角就是∠B1AC=60°，③中EF与C1D所成角为45°，不正确；④由，AC A1C1得EF A1C1，所以EF平面A1B1C1D1正确．故选B．13.若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为()A.130°B.50°C.130°或50°D.不能确定【答案】C【考点】异面直线所成的角【解析】根据等角定理可知，可以相等或互补，选C.14.下列命题中正确的结论有()①如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等；②如果两条相交直线和另两条直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等；③如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补；④如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【考点】平面的公理及应用,异面直线【解析】对于①，这两个角也可能互补，故①错；对于②，正确；对于③，不正确，举反例：如图，BC⊥PB，AC⊥PA，∠ACB的两条边分别垂直于∠APB的两条边，但这两个角既不一定相等，也不一定互补；对于④，由公理4可知正确．故②④正确，所以正确的结论有2个．15.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，则下列五个命题中正确的命题有()①a c，b c⇒a b；②aγ，bγ⇒a b；③cα，cβ⇒αβ；④cα，a c⇒aα；⑤aγ，αγ⇒aα.A.1个B.2个C.3个D.5个【答案】A【考点】线线平行的判定与性质,线面平行的判定与性质,面面平行的判定与性质,平行关系综合【解析】由公理4知①正确；②错误，a与b可能相交；③错误，α与β可能相交；④错误，可能有a⊂α；⑤错误，可能有a⊂α.16.设有直线m，n和平面α，β，则下列结论中正确的是()①若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β；②若m⊥n，α∩β＝m，n⊂α，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β.A.①②B.①③C.②③D.①②③【答案】B【考点】线面垂直的判定与性质,面面垂直的判定与性质【解析】②错，当两平面不垂直时，在一个平面内可以找到无数条直线与两个平面的交线垂直．17.在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且，EF＝，则AB和CD所成角的大小（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】D【考点】异面直线所成的角【解析】如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于O，连接OF.∵EO AB，∴.又∵AB=3，∴EO=2.又，∴，∴OF DC，∴OE与OF所成的角即为AB和CD的所成的角，.∵DC=3，∴OF=1，在△OEF中，，∴∴AB和CD所成的角为.18.如图所示，在三棱锥A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.则直线AS与平面SBC 所成的角（）A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】A【考点】直线与平面所成的角【解析】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD，则AD⊥BC.设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝a，.在Rt△ADC中，.则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．在Rt△ASD中，，所以∠ASD＝45°，即直线AS与平面SBC所成的角为45°.19.如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝.求二面角A－BE－P的大小( )A.45°B.30°C.60°D.90°【答案】C【考点】二面角【解析】如图所示，连接BD，由ABCD是菱形且∠BCD＝60°，知△BCD是等边三角形．因为E是CD的中点，所以BE⊥CD.又AB∥CD，所以BE⊥AB.又因为PA⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，所以PA⊥BE.而PA∩AB＝A，因此BE⊥平面PAB.因为PB⊂平面PAB，所以PB⊥BE.又AB⊥BE，所以∠PBA是二面角A－BE－P的平面角．在Rt△PAB中，，则∠PBA＝60°.故二面角A－BE－P的大小是60°.20.在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，M为PE的中点，在棱PC上一点F，当（）时使平面BFM平面AEC？A.B.C.D.【答案】A【考点】面面平行的判定与性质【解析】当F是棱PC的中点时，平面BFM平面AEC.∵M是PE的中点，∴FM CE.∵,,∴FM平面AEC.由，得E为MD的中点，连接BM，BD,如图所示，设,则O为BD的中点，连接OE，则BM OE.∵,,∴BM平面AEC.又∵，，,∴平面BFM平面AEC.21.已知平面α外两点A，B到平面α的距离分别为1和2，A，B两点在α内的射影之间的距离为，则直线AB和平面α所成的角（）A.45°B.30°C.60°D.30°或60°【答案】D【考点】直线与平面所成的角【解析】① 如图1，当A、B位于平面α同侧时，由点A、B分别向平面α作垂线，垂足分别为A1，B1，则AA1＝1，BB1＝2，.过点A作AH⊥BB1于点H，则AB和α所成角即为∠HAB.而∴∠BAH＝30°.②如图2，当A、B位于平面α异侧时，经A、B分别作AA1⊥α于点A1，BB1⊥α于点B1，AB∩α＝C，则A1B1为AB在平面α上的射影，∠BCB1或∠ACA1为AB与平面α所成的角．∵△BCB1∽△ACA1，∴，∴B1C＝2CA1，而，∴∴∴∠BCB1＝60°.综合①②可知AB与平面α所成的角为30°或60°.二、解答题（共1题；共10分）22.如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点.(1). 点C到平面A1ABB1的距离（）A.B.C.D.2【答案】B【考点】空间距离【解析】由AC＝BC，D为AB的中点，得CD⊥AB，又CD⊥AA1，故CD⊥平面A1ABB1，所以C到平面A1ABB1的距离.(2).若AB1⊥A1C，二面角A1－CD－C1的平面角的余弦值（）A.B.C.D.【答案】C【考点】二面角【解析】如图，取D1为A1B1的中点，连接DD1，则DD1AA1CC1.又由(1)知CD⊥平面A1ABB1，故CD⊥A1D，CD⊥DD1，所以∠A1DD1为所求的二面角A1－CD－C1的平面角．因为CD⊥平面A1ABB1，AB1⊂平面A1ABB1，所以AB1⊥CD，又已知AB1⊥A1C，A1C∩CD＝C，所以AB1⊥平面A1CD，故AB1⊥A1D，从而∠A1AB1、∠A1DA都与∠B1AB互余，因此∠A1AB1＝∠A1DA，所以Rt△A1AD∽Rt△B1A1A.因此，即，得A1A＝.从而所以，在Rt△A1DD1中，.。
高中数学必修2(人教A版)第二章几点、直线、平面的位置关系2.2知识点总结含同步练习及答案
ABCD −
AB = 2
AD
4. 如图，正方体 ABCD − A1 B1 C1 D1 中，AB = 2，点 E 为 AD 的中点，点 F 在 CD 上，若
EF ∥ 平面 AB1 C，则线段 EF 的长度等于
．
答案： √2 高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
例题： 下列命题（其中 a，b 表示直线， α 表示平面）中，正确的个数是（
）
①若 a ∥ b，b ⊂ α，则 a ∥ α；
②若 a ∥ α，b ∥ α，则 a ∥ b；
③若 a ∥ b，b ∥ α，则 a ∥ α；
④若 a ∥ α，b ⊂ α，则 a ∥ b．
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．3 个
证明： 因为四边形 EF GH 为平行四边形，所以 EF ∥ GH． 又 GH ⊂ 平面BCD，EF ⊄ 平面BCD，所以 EF ∥ 平面BCD． 而 EF ⊂ 平面ACD，平面ACD ∩ 平面BCD = CD，所以 EF ∥ CD． 如图所示，在三棱锥 S − ABC 中，D ，E，F 分别是棱 AC，BC，SC 的中点，求证： 平面DEF ∥ 平面SAB．
A．①②③
B．①④
C．①②④
D．②④
答案： C 解析： 当 m, n 都在 α 内时，符合条件点的集合是一条直线；
当 m, n 分别在 α 的两侧都平行于 α ，且到 α 的距离相等时，符合条件点的集合是一个平面； 当 m, n 都平行于 α ，但到 α 的距离不相等时，是空集； 任何时候都不可能只有一个点满足条件．
二、知识清单
空间的平行关系
三、知识讲解
1.空间的平行关系 描述： 空间四边形 顺次连接不共面的四个点 A、B、C、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点 叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的 线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，图中的四边形可 以表示为空间四边形 ABCD ，线段 AC，BD 是它的对角线．
高二数学点线面的位置关系试题
高二数学点线面的位置关系试题1.如图，在正方体中，是的中点，求证：平面【答案】见解析【解析】证明线面平行常用方法：一是平面外一条线与面内一条线平行，或两平面有交线一条线与另一条平行，（强调平面外与平面内）；二是平面外一直线上不同两点到面的距离相等，强调平面外（直线与平面平行）；三是证明线面无交点；四是反证法（直线与平面相交，再推翻）试题解析：证明：连接交于，连接，∵为的中点，为的中点∴为三角形的中位线∴又在平面内，在平面外∴平面。
【考点】三角形中位线定理和线面平行的判定定理2.如图所示，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别为AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC＝l.(1)求证：BC∥l；(2)MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论。
【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】证明线线平行的方法；1，向量法，2.垂直于同一平面的两条直线平行，3平行于同一直线的两条直线平行，4一个平面与另外两个平行平面相交,那么两条交线也平行。
线面平行，1平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行，2若一条直线与一个平面同时平行于另一个平面且这条直线不属于这个平面，则这条直线与这个平面平行，3若一条直线与两平行平面中的一个平行，则这条直线与另一个平面平行，4，最好用的还是向量法。
试题解析：(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD.又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l.(2)解 MN∥平面PAD.证明如下：如图所示，取PD中点E，连结AE，EN.又∵N为PC的中点，∴又∵∴即四边形AMNE为平行四边形．∴AE∥MN，又MN⊄平面PAD，AE⊂平面PAD.∴MN ∥平面PAD.【考点】线面平行的性质定理及判断定理3. 如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD ＝DC ＝BC ＝1，AB ＝2，AB ∥DC ，∠BCD ＝90°．(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离．【答案】(1)证明详见解析；（2）.【解析】(1) 由PD ⊥平面ABCD ，得PD ⊥BC ，由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ，所以BC ⊥平面PCD ，那么PC ⊥BC ；（2）利用等积法，先求出棱锥的体积V ＝S △ABC ·PD ＝，再求出S △PBC ＝，由S △PBC ·h ＝V ＝，得h ＝．解：(1)证明：∵ PD ⊥平面ABCD ，BC 平面ABCD ，∴ PD ⊥BC ． 1分 由∠BCD ＝90°，得CD ⊥BC ． 3分 又PD∩DC ＝D ， PD ，DC 平面PCD ， ∴ BC ⊥平面PCD ． 5分∵ PC 平面PCD ，故PC ⊥BC ． 7分(2)连接AC ，设点A 到平面PBC 的距离为h ． ∵ AB ∥DC ，∠BCD ＝90°，∴∠ABC ＝90°． 8分 由AB ＝2，BC ＝1，得△ABC 的面积S △ABC ＝1． 9分 由PD ⊥平面ABCD ，及PD ＝1，得三棱锥P-ABC 的体积 V ＝S △ABC ·PD ＝． 10分∵ PD ⊥平面ABCD ，DC 平面ABCD ，∴ PD ⊥DC ． ....11分 又∴PD ＝DC ＝1，∴PC ＝＝．由PC ⊥BC ，BC ＝1， 得△PBC 的面积S △PBC ＝． .. ..12分∵V A - PBC ＝V P - ABC ， ∴S △PBC ·h ＝V ＝，得h ＝． .13分故点A 到平面PBC 的距离等于． 14分【考点】1.线、面之间的平行与垂直关系的判定与性质；2.三棱锥的体积.4. 已知为直角梯形，,平面，(1)求证：平面; (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)详见解析；(2)锐二面角的余弦值为.【解析】(1)证明法一可建立空间直角坐标系利用平面PAB 的法向量即可 证明法二：要证平面只要证BC ⊥PA ，而BC ⊥PA 由已知易得；(2)先求平面PCD的法向量，再利用向量求二面角的公式即可试题解析：解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得。
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空间点线面的位置关系精编考题1．平面的基本性质公理1如果一条直线上的两个点都在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,,A B l A B α∈⎫⎬∈⎭l α⇒⊂2．平面的基本性质公理2（确定平面的依据） 经过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面3．平面的基本性质公理2的推论（1）经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面 （2）经过两条相交直线，有且只有一个平面 （3）经过两条平行直线，有且只有一个平面4．平面的基本性质公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是一条直线A A αβ∈⎫⎬∈⎭⇒lA lαβ=∈5．异面直线的定义与判定（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线，既不相交也不平行（2）判定：过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线典例1如图长方体中，(1)说出以下各对线段的位置关系?①EC 和BH 是 直线；②BD 和FH 是 直线； ③BH 和DC 是 直线(2)与棱AB 所在直线异面的棱共有 条? （3）长方体的棱中共有多少对异面直线？例2：如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，已知E 、F 分别是AB 、BC 的中点． （1）求证：EF//A 1C 1．（2）求证：四边形EF A 1C 1是梯形． （3）若M 、N 分别是A 1B 1、B 1C 1的中点， 求证：∠MD 1N=∠EDF ．GFHE BCDAA 1精选考题1. 空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（ ）A ．0B ．1C ．1或4D ．无法确定 2. 直线与平面平行的条件是这条直线与平面内的（ ） A ．一条直线不相交 B ．两条直线不相交 C ．任意一条直线不相交 D ．无数条直线不相交3. 若b a //，且a 与平面α相交，那么直线b 与平面α的位置关系是（ ） A ．必相交 B ．有可能平行 C ．相交或平行 D ．相交或在平面内4. 正方体1111D C B A ABCD -中，P 、Q 分别为11,CC AA 的中点，则四边形PBQ D 1是（ ） A ．正方形 B ．菱形 C ．矩形 D ．空间四边形5. 下列命题正确的是（ ）A ． 若βα⊂⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线B ． 若βα⊄⊂b a ,，则直线b a ,为异面直线C ． 若∅=⋂b a ，则直线b a ,为异面直线D ． 不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线6. 已知直线a 与直线b 垂直，a 平行于平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ） A ．α//b B ．α⊂b C ．b 与平面α相交 D ．以上都有可能7. 若直线a 与直线b 是异面直线，且//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．α//bB ．b 与平面α相交C ．α⊂bD ．不能确定 8 已知//a 平面α，直线α⊂b ，则直线a 与直线b 的关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．异面 D ．平行或异面9．已知异面直线a ，b 分别在平面α、β内，且α∩β＝c,那么直线c 一定（ ） A ．与a 、b 都相交；B ．只能与a 、b 中的一条相交；C ．至少与a 、b 中的一条相交；D ．与a 、b 都平行．10．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ） A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定异面 D ．相交或异面11．若空间两条直线a ，b 没有公共点，则其位置关系是____________．12．若a 和b 是异面直线，b 和c 是异面直线，则a 和c 的位置关系是______________． 13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，与对角线AC 1异面的棱共有________条． 14．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行； ②平行于同一直线的两直线平行；③若直线a ，b ，c 满足a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c ；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线．其中假命题的个数是________．15．有下列命题：①两条直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行；②四条边相等且四个角也相等的四边形是正方形；③经过直线外一点有无数条直线和已知直线垂直；④若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，则OB∥O1B1．其中正确命题的序号为________．16．若一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，则这条直线与另一平面的位置关系是.17 在三角形、四边形、梯形和圆中，一定是平面图形的有个.18．已知直线,a b和平面α，且,,a b aα⊥⊥则b与α的位置关系是. 19．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中：(1)B C1与C D1所成的角为________；(2)AD与B C1所成的角为．20．一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：①AB⊥EF；②AB与CM所成的角为60°；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD．以上结论中正确结论的序号为________．21．如图所示，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________(填序号)．22：已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体．(1) 正方体的哪些棱所在的直线与直线BC1是异面直线．(2) 求异面直线AA1与BC所成的角．(3) 求异面直线BC1和AC所成的角．C A1C空间直线与平面平行的判定及其性质精选考题【知识点总结】 空间中的平行问题 1．直线与直线平行（1）平行四边形A B C D （矩形，菱形，正方形）对边平行且相等，//A B C D ，//B C A D （2）三角形的中位线,E F 分别是,AB AC 的中点中位线平行且等于底边的一半，//E F B C 2．直线与平面平行（1）线面平行的判定定理如果不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 a α⊄，b α⊂，////a b a α⇒ （2）线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行//l α，l β⊂，//m l m αβ=⇒ 3．平面与平面平行1,面面平行的判定定理(1)如果一个平面内有两条相交直线，分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行a α⊂，b α⊂，a b A = ，//a β，////b βαβ⇒（2）如果在两个平面内，各有两组相交直线对应平行，那么这两个平面平行。
（线线平行→面面平行），（3）垂直于同一条直线的两个平面平行，a α⊥，//a βαβ⊥⇒2,面面平行的性质定理(1) 如果两个平面互相平行，那么一个平面内的任一直线都平行于另一个平面 //αβ，//a a αβ⊂⇒(2) 如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，则它们的交线平行（面面平行→线线平行） //αβ，a αγ= ，//b a b βγ=⇒精选考题1.能保证直线a 与平面α平行的条件是A.b a b a //，，αα⊂⊄B.b a b //，α⊂C.c a b a c b //////，，，αα⊂D.b D b C a B a A b ∈∈∈∈⊂，，，，α且BD AC =2.如果直线a 平行于平面α,则A.平面α内有且只有一直线与a 平行B.平面α内无数条直线与a 平行C.平面α内不存在与a 平行的直线D.平面α内的任意直线与直线a 都平行3.如果两直线a ∥b ,且a ∥平面α,则b 与α的位置关系A.相交B.α//bC.α⊂bD.α//b 或α⊂b4.b 是平面α外的一条直线，下列条件中可得出b ∥α是A.b 与α内的一条直线不相交B.b 与α内的两条直线不相交C.b 与α内的无数条直线不相交D.b 与α内的所有直线不相交5.已知直线l 1、l 2，平面α，l 1∥l 2,l 1∥α，则l 2与α的位置关系是A.l 2∥αB.l 2⊂αC.l 2∥α或l 2⊂αD.l 2与α相交6.已知两条相交直线a 、b ，a ∥平面α，则b 与α的位置关系A.b ∥αB.b 与α相交C.b ⊂αD.b ∥α或b 与α相交7.直线a ∥平面α,平面α内有n 条直线交于一点,那么这几条直线中与直线a 平行的A.至少有一条B.至多有一条C.有且只有一条D.不可能有8．已知直线a ∥平面α，P α∈，那么过点P 且平行于α的直线 （ ）Ａ．只有一条，不在平面α内 Ｂ．有无数条，不一定在α内 Ｃ．只有一条，且在平面α内Ｄ．有无数条，一定在α内9.下列命题正确的个数是（1）若直线l 上有无数个点不在平面α内,则l ∥α（2）若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一直线平行（3）两条平行线中的一条直线与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行 （4）若一直线a 和平面α内一直线b 平行,则a ∥α A.0个 B.1个 C.2个 D.3个10.若直线a ⊥b ,且a ∥平面α,则直线b 与平面α的位置关系是A.b ⊂αB.b ∥αC.b ⊂α或b ∥αD.b 与α相交或b ∥α或b ⊂α都有可能11.已知α､β是两个不同的平面,在下列条件中,可判断平面α与平面β平行的是A.α､β都垂直于平面γB.a ､b 是α内两条直线,且a ∥β,b ∥βC.α内不共线的三个点到β的距离相等D.a ､b 为异面直线,且a ∥α,b ∥α,a ∥β,b ∥β12.下列命题正确的个数是①若直线l 上有无数个点不在平面α内，则l ∥α②若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行 ④若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个13.平行于同一个平面的两条直线的位置关系是A.平行B.相交C.异面D.平行或相交或异面14.下列四个命题中假命题的个数是①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行 ②两条直线没有公共点，则这两条直线平行③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行 A.4 B.3 C.2 D.115下列结论中正确的是 ①α∥β，β∥γ，则α∥γ②过平面外一条直线有且只有一个平面与已知平面平行；③平面外的两条平行线中，如果有一条和平面平行，那么另一条也和这个平面平行； ④如果一条直线与两个平行平面中一个相交，那么它与另一个必相交。
A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④ 16、如图，正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点且SA 与BC 异面垂直，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于（ ）A ．90°B ．45°C ．60°D ．30°17.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过点A 、E 、C 的平面的位置关系是__________.18在正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1DD 的中点，求证：1BD ∥面AECABSCEF19．如图，在四面体P A B C 中，,PC AB PA BC ⊥⊥，点,,,D E F G 分别是棱,A P A C ，,B C P B 的中点，求证：//D E 平面B C P20．如图所示，在棱长为a 的正方体1111ABC D A B C D -中，E ，F ，P ，Q 分别是B C ，11C D ，1AD ，B D 的中点.(1)求证：PQ //平面11D C C D ； (2)求PQ 的长； (3)求证：EF //平面11BB D D 。