电磁场原理习题与解答(第4章)

第四章习题答案

4-4 设磁矢量位的参考点为无穷远处，计算一段长为2m 的直线电流I 在其中垂线上距线电流1m 的磁矢量位值。

解：选圆柱坐标，在z '处取元电流段

z e I l I

'dz d ＝，元电流段 产生的元磁矢量位为

z 0e R

4z Id A d πμ'=

整个线电流产生的磁矢量位：

C e R z Id 4A z 2

l 2

l 0

+'=

⎰

-

//π

μ 其中 2

2z R '+=ρ，电流有限分布，参考点选

在无穷远处，所以积分常数C 为零。

()()

z e 2l 2l 2l 2l 2I e z z Id 4A 222

20z 2

l 2

l 2

20 ////ln //++-++='+'

=

⎰

-ρρπμρπ

μ

将 l =2 ，1=ρ 带入上式，得

z 0e 222I A

1

1π-+=ln μ

4.5

解：由恒定磁场的基本方程，磁感应强度一定要满足0B ∇=

，因此，此方程可以作为判断

一个矢量是否为磁感应强度B

的条件。

4-6 相距为d 的平行无限大平面电流，两个平面分别在2

d z -

=和2

d z =

且平行与xO y 平面。

相应的面电流密度分别为x e k 和y e k

,求由两个无限大平面分割出来的三个空间区域的磁感应强度。

解：由例题4-7结果，分别求出面电流x e k 和y e k

产生的磁场，然后应用叠加原理，

x e k

产生的磁场为：

ρ

y

图4-4

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-<->-2d z e 2

K 2d z e 2K B y 0y 01,,)()(

μμ＝ y e k

产生的磁场为

⎪⎩⎪⎨

⎧>

<-2),(2

2),(2002d z e K d z e K B x x

μμ＝ 由叠加原理知：

⎪⎪⎪

⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-<<-+--<-=2),(2

22,)(22

),(2000d z e e K d z d e e K d z e e K B x

y x y x y

μμμ

4-7 参见教材例4.8

4-8 如题图4-8所示，同轴电缆通以电流I ，求各处的磁感应强度。 解：选圆柱坐标，应用安培环路定律：

in 0I l d B l

μ=⎰∙

当10R <<

ρ时：

内导体上的电流密度：

z

21

e R I J π= I R B e d e B l d B l 21

2

0202ππρμπραρφφπ===∙∙⎰⎰ φπρμπρμe R I B R I B 2

1021

02,

2==∴

当21R R <<

ρ时

I B l d B l

02μπρ==⎰∙

题图4-8

φπρ

μπρ

μe I B I

B 2,200==∴

当 32R R <<

ρ时

外导体上的电流密度：

()

z

2223e R R I

J -=

π I R R R B l d B l )1(222

232

220---==⎰∙ρμπρ φρ

πρμρπρμe R R R I B R R R I B )(2)(,)(2)(2

223223022232230--=--=∴ 当ρ<3R 时

0=⎰∙l

l d B

0=∴

B

4-9略

4-10有内半径为1R ，外半径为2R ，厚度为h ，磁导率为μ（)0μμ>>的圆环形铁芯，其上均匀绕有N 匝线圈，线圈中电流为I ，如题4-10所示。求铁芯中的磁感应强度和铁芯截面上的磁通以及线圈的磁链。

解：由于磁场为轴对称场，建立圆柱坐标系 φρe )(

∙=B B 用安培环路定理可得：

φ

φ

ρ

πρ

ρe I μN B NI H I N H NI

l H π2e 22πd l ===⇒=∴∙∙⎰ 12

2R 1

R m ln 2d 2d 2d 2d R R h I N μh I N h I N e h e I N s d B m πρπρμρ

πρ

μρπρμφφ==Φ===Φ⎰∙∙

由于每匝交链的磁通都相等

1

2

21

2

2m R R h N I R R h I N N ln

2L ln

2m πμψ

πμΦψ====,

题4.10图

1

2222

R R h I N I W ln

4L 21

m πμ==

4-11 在无限大磁媒质分界面上，有一无限长直线电流I ，如题图4-11所示。求两种媒质中的磁感应强度和磁场强度。

解：由分界面衔接条件 2121 0)(B B B B e n

==-∙

选用圆柱坐标，利用安培环路定理有：

()

φ

μμρμμμμμμe I

B B I

B B l d B l d B l H l l

212121221

12211l πd 21+===⎪⎪⎭⎫

⎝⎛+=+=∴⎰⎰⎰∙∙∙

()φμμρμe I μB H 111 212π+== ， ()

φμμρμe I μB H 222

211π+==

4-14、如题图4-14所示，有内半径为1R ，外半径为2R ，厚度为h ，磁导率为μ（)0μμ>>的圆环形铁芯，其上均匀绕有N 匝线圈，求线圈的自感。若将铁芯割掉一小段，形成空气

隙，空气隙对应的圆心角为α∆，求线圈的自感。

解：铁心被切去一小段后，形成空气隙，由安培环路定理得：

I

N l d H l d H NI

l H l l

=+⇒

=⎰⎰⎰∙∙∙2

1

21l d

B B B B B e n

===-∙2121

0)( I N B l d B l d B l l =⎥⎦⎤⎢⎣⎡∆-+∆=+∙∙⎰⎰ραπμαρμμμ)(21

10201

21

[]φρ

α∆πμα∆μμμe I N B

)(2 00-+=

∴

[]12

0000)(2d )(2R R I N h h I N N

N 2R R m m 2

1

ln α∆πμα∆μμμρα∆πμα∆μμμΦψ-+=-+==⎰

1

2021

22m

R R h μμN R R h

N I

ln

ln α

∆μμπμα∆πμα∆μμμψ)(2)

(2L 0000-+=-+=

=

2m L 2

1

I W =

题图 4-14

题图 4-11