高一集合讲义

集合
（一）集合的含义与表示
1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.
2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.
（三）集合的基本运算
1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.
3．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。

一、集合的含义与表示
1、集合与元素的概念
集合是一个不定义的原始概念,某些指定．．的对象．．
集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A 、B 、C 表示；集合中的每一个对象都叫做这个集合的元素,通常用小写字母 c b a 、、表示.
2．集合中的元素的特征
(1)确定性：按照明确的标准判断一个元素是否是在该集合里，不能模棱两可；
(2)互异性：集合中没有两个元素是一样的；
(3)无序性:集合中的元素无先后顺序，如{}{}c a b c b a ,,,,与是同一集合.
3、元素与集合的关系
元素与集合是属于和不属于的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈，若a 不是集合A 的元素，记作A a ∉．
4、数学中一些常用的数集及其记法
（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记做：N
（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记做：+*
N 或N
（3）全体整数组成的集合称为整数集，记做：Z
（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记做：Q
（5）全体实数组成的集合称为实数集，记做：R
5、集合的表示方法
（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来表示集合的方法叫列举法;
（2）描述法：用集合所有元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;
（3）图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合，另外还可以利用数轴、
平面直角坐标系等表示集合.
考点1：集合的基本概念
例1. 下列哪些能构成集合;
①我们班的高个子;
②中国的所有大河;
③某个村子里的年青人;
④所有小正数组成的集合;
⑤一切很大的数 ;
⑥聪明的人;
⑦小于10的正偶数.
例2、以下四个对象
①某中学的大胖子；
②你所在班中身高超过1.8米的同学；
③2008北京奥运会的比赛项目；
④1,3,5
能构成集合的有
考点2：集合的表示方法
例3、下列四个集合各自的含义分别是什么：
① ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧
==x y x A 1 ② ⎭
⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B 1 ③ ()⎭⎬⎫⎩
⎨⎧
==x y y x C 1,
例4、用适当的方法表示下列对象构成的集合
（1）方程0322
=--x x 的解集；
（2）小于10的所有正奇数；
（3）不等式823>+x 的解集；
（4）直角坐标系中一、三象限内的点；
（5）方程0112=-+-y x 的解.
考点3：集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性
例5、（1）下列命题中 ①集合{
}5,4,3,2,1和{}1,2,3,4,5表示同一个集合 ②41,
46,23,21,5,0这些数组成的集合有五个元素 ③方程0)3)(2)(12(2=-++-x x x x 的解集中含有4个元素
④方程0122
=+-x x 的解集为{}1,1 正确的有
(2) 由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）
A 、1
B 、-2
C 、6
D 、2
(3) 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取得值是（ ）
A 、2
B 、3
C 、4
D 、5
（4）若{}
1,3,132+-∈-m m m ，则m=________________
（5）若集合{}c b a M ,,=中元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是（ ）
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
（6）已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ，对任意的=∈∈B B a A a 则有,,
(7)含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}200820082,0,,b a
b a a ++求
考点4：元素与集合的关系
例6、用∉∈,填空 （1）集合{
}5,4,3,2,1=A 那么 ①0 A ; ②1 A ; ③3 A ; ④-5 A ; ⑤5 A ; ⑥2 A ;
(2)①6 N; ②
23 Q; ③0 N; ④0 *N ;⑤0.5 Z
考点5;集合与方程、不等式的联系
例7、已知集合{}
R a x ax x ∈=++,0122
（1）若集合A 中只有一个元素，求a 的取值范围
（2）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围
（1）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围
二、集合间的基本关系
1．子集
（1）子集：若集合A 中任意．．一个元素都是集合B 的元素，就说集合A 包含于．．．
集合B （或集合B 包含．．
集合A ），记作B A ⊆,集合A 叫做集合B 的子集. （2）空集：我们把不含有任何元素的集合叫空集，记做：Φ,规定空集是任何集合的子．．．．．．．．．．．集．.．
（3）子集的性质：
①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A A ⊆;
②传递性:若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。

即：若B A ⊆且C B ⊆,
则C A ⊆.
（4）集合相等：对于集合A 、B ，如果B A ⊆且A B ⊆,那么B A =，即B A 、里元素均相等.
2、真子集
（1）真子集：如果B A ⊆且存在元素B x ∈,且A x ∉,即B A ≠⊆且B A ，就说集合A 是集
合B 的真子集，记作A
B .
（2）真子集的性质
①规定空集是任何非空集合的真子集;
②传递性：若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集.
3、子集、真子集、非空真子集个数的求法
若某个集合有n 个元素，则它的所有子集个数为n 2，真子集个数为（n 2-1）个，非空真 子集个数为(n 2-2)个.
考点1：子集的基本符号
例1、 在下列横线上填上适当的符号 （1）{}a {}a ； （2）{
}3,1 {}3,2,1； （3）φ {}0；
（4）0 {}0； （5）φ {
}φ； （6）{}1 {}3<x x ；
例2、已知{}是菱形x x A =，{}是正方形x x =B ，{}
是平行四边形x x =C ，那么C
B A ,,之间的关系是
考点2：参数范围的确定 例3、设集合{}{}
ab a a B b a A ,,,,,12==，且B A =，求实数b a ,.
例4、已知集合{}12,3,1--=m A ，集合{}2,3m
B =，若A B ⊆，求实数m 的值.
例5、设集合{}{}A B a x a x x B x x x A ⊆=-+++==+=若,01)1(2,04222,求实数a 的范
围.
例6、已知{}{}a x x B x x A <=<=,3
（1） 若A B ⊆，则a 的取值范围是多少？
（2） 若A
B ，则a 的取值范围是多少？
例7、若{}{}
A B m x m x B x x A ⊆+≤≤-=≤≤-=当,112,43,求实数m 的取值范围.
例8、已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ⊆,求m 的取值范围.
考点3：子集个数问题
例9、下列集合中，只有一个子集的集合为（ ） {}0.2≤x x A {}0.3≤x x B {}0.2<x x C {}
0.3<x x B
例10、已知集合{
}3,2,1=A （1）写出A 的所有子集;
（2）若以这些子集为元素组成集合B ，判断A 与B 的关系.
三、集合的基本运算
1、交集：由所有属于集合A 且．
属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的交集，记作A∩B，即A∩B＝{}B x A x x ∈∈且.
2、并集：由所有属于集合A 或．
属于集合B 的元素组成的集合，叫做集合A 与B 的并集，记作A∪B，即A∪B＝{}B x A x x ∈∈或.
3、补集：集合A 是集合U 的子集，由集合U 中所有不属于A 的元素组成的集合，叫做U 中子集A 的补集，记作A U C ，即A U C ＝{}
A x U x x ∉∈且.
4、集合中元素的个数 )()()()(B A card B card A card B A card ⋃-+= ;
)()()()(B A card B card A card B A card -+=⋃.
5、运算性质
（1）B B A B A =⇔⊆ ;
(2)A B A B A =⇔⊆ .
考点1：集合的基本运算
例1、设集合{}{}
=≤≤-∈=<<-∈=N M n Z n N m Z m M 则,31,23( ) {}1,0.A {}1,0,1.-B {}2,1,0.C {}2,1,0,1.-D
例2、已知{}{}
{}x N M x x x N x x M 则若3,0,12,1,,1,1,322-=---=++-= 的值为（ ） 2-.A 1-B. C.1 D.2
例3、已知集合}4,12,{2
--=x x A ,}9,1,5{x x B --=，若B A }9{=，求B A .
例4、已知集合}015|{2=+-=px x x A 和}0|{2
=--=b ax x x B ，若}5,3,2{=B A ，}3{=B A ，分别求实数p 、a 、b 的值
例5、满足{}{}{}213214321,,,,,,M a a a a a M a a a a =⊆ 且的集合M 的个数为( )
.1A B.2 C.3 D.4
例6、已知全集{}{}(){}()()
{}5,1,4,2,5,4,3,2,1====B U A U A U C C B C B A U 若,则下列结论正确的是( )
B 3A,.3∉∉且A B 3A,.3∉∈且B A .3∉
C B 3A,.3∈∈且D
例7、已知{
}{}{}{}2,7,8C ,6,3,1,5,4,3,8,7,6,5,4,3,2,1====那么集合B A U 是（ ） B .A ⋃A B B.A ⋂ ())(C C C.B U A
U ⋃ ())(C C D.B U A U ⋂
考点2：集合运算与方程、不等式
例8、设集合{}{}
01)1(2,04x x 222=-+++==+=a x a x x B x A
（1）若的范围求a B B A ,= ;
（2）若的范围求a B B A ,= .
例9、集合{}{}a x x B x x A <=<<-=,11
（1） 若的范围求a B A ,φ= ;
（1） 若{}的范围求a x x B A ,1<= .
考点3:交集、并集、补集中元素个数
例10、某班有学生55人，其中音乐爱好者有34人，体育爱好者有43人，还有4人既不爱体育也不爱好音乐，班级中即爱好体育又爱好音乐的有多少人？
例11、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为0049，电视机拥有率为0085，洗衣机拥有率为0044，拥有上述三种电器中的任意两种的占0063，三种电器齐全的有0025，那么一种电器也么有的农户占比例为多少?。