高一集合讲义

集合

（一）集合的含义与表示

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.

（三）集合的基本运算

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

3．能使用韦恩图（Venn ）表达集合的关系及运算。

一、集合的含义与表示

1、集合与元素的概念

集合是一个不定义的原始概念,某些指定．．的对象．．

集在一起就成为一个集合，简称集，通常用大写字母A 、B 、C 表示；集合中的每一个对象都叫做这个集合的元素,通常用小写字母 c b a 、、表示.

2．集合中的元素的特征

(1)确定性：按照明确的标准判断一个元素是否是在该集合里，不能模棱两可；

(2)互异性：集合中没有两个元素是一样的；

(3)无序性:集合中的元素无先后顺序，如{}{}c a b c b a ,,,,与是同一集合.

3、元素与集合的关系

元素与集合是属于和不属于的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈，若a 不是集合A 的元素，记作A a ∉．

4、数学中一些常用的数集及其记法

（1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集），记做：N

（2）所有正整数组成的集合称为正整数集，记做：+*

N 或N

（3）全体整数组成的集合称为整数集，记做：Z

（4）全体有理数组成的集合称为有理数集，记做：Q

（5）全体实数组成的集合称为实数集，记做：R

5、集合的表示方法

（1）列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来表示集合的方法叫列举法;

（2）描述法：用集合所有元素的共同特征表示集合的方法称为描述法;

（3）图示法：用一条封闭的曲线所围成的图形的内部表示一个集合，另外还可以利用数轴、

平面直角坐标系等表示集合.

考点1：集合的基本概念

例1. 下列哪些能构成集合;

①我们班的高个子;

②中国的所有大河;

③某个村子里的年青人;

④所有小正数组成的集合;

⑤一切很大的数 ;

⑥聪明的人;

⑦小于10的正偶数.

例2、以下四个对象

①某中学的大胖子；

②你所在班中身高超过1.8米的同学；

③2008北京奥运会的比赛项目；

④1,3,5

能构成集合的有

考点2：集合的表示方法

例3、下列四个集合各自的含义分别是什么：

① ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

==x y x A 1 ② ⎭

⎬⎫⎩⎨⎧==x y y B 1 ③ ()⎭⎬⎫⎩

⎨⎧

==x y y x C 1,

例4、用适当的方法表示下列对象构成的集合

（1）方程0322

=--x x 的解集；

（2）小于10的所有正奇数；

（3）不等式823>+x 的解集；

（4）直角坐标系中一、三象限内的点；

（5）方程0112=-+-y x 的解.

考点3：集合中元素的特征:确定性、互异性、无序性

例5、（1）下列命题中 ①集合{

}5,4,3,2,1和{}1,2,3,4,5表示同一个集合 ②41,

46,23,21,5,0这些数组成的集合有五个元素 ③方程0)3)(2)(12(2=-++-x x x x 的解集中含有4个元素

④方程0122

=+-x x 的解集为{}1,1 正确的有

(2) 由4,2,2a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）

A 、1

B 、-2

C 、6

D 、2

(3) 集合{}2,1,12--x x 中的x 不能取得值是（ ）

A 、2

B 、3

C 、4

D 、5

（4）若{}

1,3,132+-∈-m m m ，则m=________________

（5）若集合{}c b a M ,,=中元素是ABC ∆的三边长，则ABC ∆一定不是（ ）

A.锐角三角形

B.直角三角形

C.钝角三角形

D.等腰三角形

（6）已知集合{}3,2,1,0,1,2--=A ，对任意的=∈∈B B a A a 则有,,

(7)含有三个实数的集合可表示为⎭⎬⎫⎩⎨⎧1,,a b a ，也可表示为{}200820082,0,,b a

b a a ++求

考点4：元素与集合的关系

例6、用∉∈,填空 （1）集合{

}5,4,3,2,1=A 那么 ①0 A ; ②1 A ; ③3 A ; ④-5 A ; ⑤5 A ; ⑥2 A ;

(2)①6 N; ②

23 Q; ③0 N; ④0 *N ;⑤0.5 Z

考点5;集合与方程、不等式的联系

例7、已知集合{}

R a x ax x ∈=++,0122

（1）若集合A 中只有一个元素，求a 的取值范围

（2）若集合A 中至多有一个元素，求a 的取值范围

（1）若集合A 中至少有一个元素，求a 的取值范围

二、集合间的基本关系

1．子集

（1）子集：若集合A 中任意．．一个元素都是集合B 的元素，就说集合A 包含于．．．

集合B （或集合B 包含．．

集合A ），记作B A ⊆,集合A 叫做集合B 的子集. （2）空集：我们把不含有任何元素的集合叫空集，记做：Φ,规定空集是任何集合的子．．．．．．．．．．．集．.．

（3）子集的性质：

①反身性：任何一个集合都是它自身的子集，即A A ⊆;

②传递性:若A 是B 的子集，B 是C 的子集，则A 是C 的子集。即：若B A ⊆且C B ⊆,

则C A ⊆.

（4）集合相等：对于集合A 、B ，如果B A ⊆且A B ⊆,那么B A =，即B A 、里元素均相等.