北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题(解析版)

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海淀区2020届高三第一学期期末数学试题及答案(官方版)

海淀区高三年级第一学期期末练习数学 2020. 01本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,3,5A =，{}2,3,4B =，则集合U A B I ð是（A ）{1,3,5,6}（B ）{1,3,5} （C ）{1,3} （D ）{1,5}（2）抛物线24y x =的焦点坐标为（A ）(0,1)（B ）(10，) （C ）(0,1-) （D ）(1,0)-（3）下列直线与圆22(1)(1)2x y -+-=相切的是（A ）y x =- （B ）y x =（C ）2y x =- （D ）2y x =（4）已知,a b R Î，且a b >，则（A ）11ab <（B ）sin sin a b >（C ）11()()33ab<（D ）22a b >（5）在51()x x-的展开式中，3x 的系数为（A ）5-（B ）5（C ）10-（D ）10（6）已知平面向量,,a b c 满足++=0a b c ，且||||||1===a b c ，则⋅a b 的值为（A ）12-（B ）12（C ）32-（D ）32（7）已知α, β, γ是三个不同的平面，且=m αγI ，=n βγI ，则“m n ∥”是“αβ∥”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（8）已知等边△ABC 边长为3. 点D 在BC 边上，且BD CD >，7AD =. 下列结论中错误的是（A ）2BDCD= （B ）2ABDACDS S ∆∆= （C ）cos 2cos BADCAD∠=∠ （D ）sin 2sin BAD CAD ∠=∠ （9）声音的等级()f x （单位：dB ）与声音强度x （单位：2W/m ）满足12()10lg110x f x -=⨯⨯.喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，声音的等级约为60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的（A ）610倍（B ）810倍（C ）1010倍（D ）1210倍（10）若点N 为点M 在平面a 上的正投影，则记()N f M a =. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，记平面11AB C D 为b ，平面ABCD 为g ，点P 是棱1CC 上一动点（与C ，1C 不重合），1[()]Q f f P g b =，2[()]Q f f P b g =. 给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是12[,)22；②存在点P 使得1PQ ∥平面b ； ③存在点P 使得12PQ PQ ^. 其中，所有正确结论的序号是（A ）①②③（B ）②③（C ）①③（D ）①②第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2020届北京市海淀区高三上学期期末数学试题(解析版)

2020 届北京市海淀区高三上学期期末数学试题
一、单选题
1．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则集合 A U B 是
()
A．1,3,5, 6}
B． 1, 3, 5}
C． 1, 3}
D． 1, 5}
【答案】D
【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 A U B .
【详解】
集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则 U B 1,5, 6 ，因此， A U B 1,5 .
故选：D. 【点睛】本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力，属于基础题.
2．抛物线 y2 4x 的焦点坐标为（）
2AB AD
7
14
则 cos BAD 2 7 14 4 2 . cos CAD 7 5 7 5
故选：C.
【解析】由等式 a b c 0 得 a b c ，等式两边平方可求出 a b 的值.
【详解】
由a
b
c
0
可得 a
b
c
，等式两边平方得
c
2
2 a
2 b
2a b
，即 2a b
2
1
，
因此，
a
b
1
.
2
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属
故选：B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
8．已知等边 ABC 边长为 3 ，点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 .下列结论

2020届高三上学期期末教学质量检测数学理试题含答案及评分标准

理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3至4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项： 1．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．2．答第Ⅱ卷时，必须答题卡上作答．在试题卷上作答无效．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =棱柱的体积公式V Sh =，其中S 、h 分别表示棱柱的底面积、高．第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． 1．12i i +=A ．i --2B ．i +-2C ．i -2D ．i +22．集合{||2|2}A x x =-≤，2{|,12}B y y x x ==--≤≤，则A B =IA ．RB ．{|0}x x ≠C ．{0}D ．∅3．若抛物线22y px =的焦点与双曲线22122x y -=的右焦点重合，则p 的值为 A ．2- B ．2 C ．4- D ．44．不等式10x x->成立的一个充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ．1x > 5．对于平面α和共面的两直线m 、n ，下列命题中是真命题的为 A ．若m α⊥，m n ⊥，则//n α B ．若//m α，//n α，则//m nC ．若m α⊂，//n α，则//m nD ．若m 、n 与α所成的角相等，则//m n6．平面四边形ABCD 中0AB CD +=u u u r u u u r r ，()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r，则四边形ABCD 是A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．梯形 7．等比数列{}n a 中5121=a ，公比21-=q ，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），8∏ ，9∏，10∏，11∏中值为正数的个数是 A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 48．定义域R 的奇函数()f x ，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二填空题：本题共6小题，共30分，把答案填在答题卷相应的位置上．9．某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名奥运火炬手，抽到高一男生的概率是0.2，现用分层抽样的方法在全校抽取100名奥运志愿者，则在高二抽取的学生人数为______．10．如果实数x 、y 满足条件101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩，那么2x y -的最大值为______．11．在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2)cos cos b c A a C -=，则cos A =________． 12．右图给出的是计算201614121+⋅⋅⋅+++的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是i >___？13．由数字0、1、2、3、4组成无重复数字的五位数，其中奇数有个． 14．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的体积为__________．三．解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题共12分）已知函数()sin cos f x x x =+，()f x '是()f x 的导函数．（1）求函数()()'()g x f x f x =⋅的最小值及相应的x 值的集合；（2）若()2()f x f x '=，求tan()4x π+的值．16．（本题满分12分）近年来，政府提倡低碳减排，某班同学利用寒假在两个小区逐户调查人们的生活习惯是否符合低碳观念．若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳题12图主视图俯视图左视图族”．数据如下表（计算过程把频率当成概率）．（1）如果甲、乙来自A小区，丙、丁来自B小区，求这4人中恰有2人是低碳族的概率；（2）A小区经过大力宣传，每周非低碳族中有20%的人加入到低碳族的行列．如果2周后随机地从A小区中任选25个人，记X表示25个人中低碳族人数，求()E X．17．（本小题满分14分）已知点(4,0)M、(1,0)N，若动点P满足6||MN MP NP=⋅u u u u r u u u r u u u r．（1）求动点P的轨迹C；（2）在曲线C上求一点Q，使点Q到直线l：2120x y+-=的距离最小．18．(本小题满分14分)已知梯形ABCD中，AD∥BC，2π=∠=∠BADABC，42===ADBCAB，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，xAE=．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF(如图)．G是BC的中点，以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为()f x．（1）当2=x时，求证：BD⊥EG；（2）求()f x的最大值；（3）当()f x取得最大值时，求异面直线AE与BD所成的角的余弦值．19．（本题满分14分）数列{}na中112a=，前n项和2(1)n nS n a n n=--，1n=，2，…．（1）证明数列1{}nnSn+是等差数列；（2）求nS关于n的表达式；（3）设3n nnb S=１，求数列{}nb的前n项和nT．20．（本题满分14分）二次函数()f x满足(0)(1)0f f==，且最小值是14-．A小区低碳族非低碳族频率p0.50.5B小区低碳族非低碳族频率p0.80.2（1）求()f x 的解析式；（2）设常数1(0,)2t ∈，求直线l ： 2y t t =-与()f x 的图象以及y 轴所围成封闭图形的面积是()S t ；（3）已知0m ≥，0n ≥，求证：211()()24m n m n +++≥．答案及评分标准：8~1：CCDD ；CBB A ；9．30；10．1；11．12；12．10；13．36；14．以下是各题的提示：1．21222i i i i i i+-+==-．2．[0,4]A =，[4,0]B =-，所以{0}A B =I ．3．双曲线22122x y -=的右焦点为(2,0)，所以抛物线22y px =的焦点为(2,0)，则4p =．4．画出直线y x =与双曲线1y x=，两图象的交点为(1,1)、(1,1)--，依图知10x x->10x ⇔-<<或1x >(*)，显然1x >⇒(*)；但(*)⇒/1x >．5．考查空间中线、面的平行与垂直的位置关系的判断．６．由0AB CD +=u u u r u u u r r ，得AB CD DC =-=u u u r u u u r u u u r，故平面四边形ABCD 是平行四边形，又()0AB AD AC -=⋅u u u r u u u r u u u r ，故0DB AC =⋅u u u r u u u r，所以DB AC ⊥，即对角线互相垂直．７．等比数列{}n a 中10a >，公比0q <，故奇数项为正数，偶数项为负数，∴110∏<，100∏<，90∏>，80∏>，选B ．8．设()()g x xf x =，依题意得()g x 是偶函数，当(,0)x ∈-∞时()'()0f x xf x +<，即'()0g x <恒成立，故()g x 在(,0)x ∈-∞单调递减，则()g x 在(0,)+∞上递增，3(3)(3)a f g ==，(log 3)(log 3)(log 3)b f g πππ==⋅，2(2)(2)(2)c f g g =--=-=．又log 3123π<<<，故a c b >>． 9．依表知400020002000x y z ++=-=，0.24000x=，于是800x =， 1200y z +=，高二抽取学生人数为112003040⨯=．10．作出可行域及直线l ：20x y -=，平移直线l 至可行域的点(0,1)-时2x y -取得最大值．11．由(2)cos cos b c A a C -=，得2cos cos cos b A c A a C =+，2sin cos sin cos sin cos B A C A A C =+，故2sin cos sin()B A A C =+，又在ABC ∆中sin()sin 0A C B +=>，故1cos 2A =，12．考查循环结构终止执行循环体的条件．13．1132336636C C A =⨯=⋅⋅．14．由左视图知正三棱柱的高2h =，设正三棱柱的底面边长a ，=，故4a =，底面积142S =⨯⨯=，故2V Sh === 15．解：（1）∵()sin cos f x x x =+，故'()cos sin f x x x =-， …… 2分∴()()'()g x f x f x =⋅(sin cos )(cos sin )x x x x =+-22cos sin cos 2x x x =-=， ……… 4分∴当22()x k k Z ππ=-+∈，即()2x k k Z ππ=-+∈时，()g x 取得最小值1-，相应的x 值的集合为{|,}2x x k k Z ππ=-+∈． ……… 6分评分说明：学生没有写成集合的形式的扣1分．（2）由()2()f x f x '=，得sin cos 2cos 2sin x x x x +=-，∴cos 3sin x x =，故1tan 3x =， …… 10分 ∴11tan tan34tan()2141tan tan 143x x x πππ+++===--． …… 12分 16．解：（1）设事件C 表示“这4人中恰有2人是低碳族”． …… 1分2222112222222222()0.50.20.50.50.20.80.50.8P C C C C C C C =+⨯⨯⨯+⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅0.010.160.160.33=++=． …… 4分答：甲、乙、丙、丁这4人中恰有2人是低碳族的概率为0.33； …… 5分（2）设A 小区有a 人，两周后非低碳族的概率20.5(120%)0.32a P a⨯⨯-==．故低碳族的概率10.320.68P =-=． ………… 9分随机地从A 小区中任选25个人，这25个人是否为低碳族相互独立，且每个人是低碳族的概率都是0.68，故这25个人中低碳族人数服从二项分布，即17~(25,)25X B ，故17()251725E X =⨯=． ………… 12分 17．解：（1）设动点(,)P x y ，又点(4,0)M 、(1,0)N ，∴(4,)MP x y =-u u u r ，(3,0)MN =-u u u u r ，(1,)NP x y =-u u u r． ……… 3分由6||MN MP NP =⋅u u u u r u u u r u u u r，得3(4)x --= ……… 4分∴222(816)4(21)4x x x x y -+=-++，故223412x y +=，即22143x y +=， ∴轨迹C 是焦点为(1,0)±、长轴长24a =的椭圆； ……… 7分评分说明：只求出轨迹方程，没有说明曲线类型或交代不规范的扣1分．（2）椭圆C 上的点Q 到直线l 的距离的最值等于平行于直线l ：2120x y +-=且与椭圆C 相切的直线1l 与直线l 的距离．设直线1l 的方程为20(12)x y m m ++=≠-． ……… 8分由22341220x y x y m ⎧+=⎨++=⎩，消去y 得2242120x mx m ++-= （*）．依题意得0∆=，即0)12(16422=--m m ，故216m =，解得4m =±．当4m =时，直线1l ：240x y ++=，直线l 与1l 的距离5d ==当4m =-时，直线1l ：240x y +-=，直线l 与1l 的距离d ==由于55<，故曲线C 上的点Q 到直线l 的距离的最小值为5．…12分当4m =-时，方程（*）化为24840x x -+=，即2(1)0x -=，解得1x =．由1240y +-=，得32y =，故3(1,)2Q ． ……… 13分 ∴曲线C 上的点3(1,)2Q 到直线l 的距离最小． ……… 14分18．（法一）（1）证明：作EF DH ⊥，垂足H ，连结BH ，GH ， ∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，DH ⊂平面EBCF ， ∴⊥DH 平面EBCF ，又⊂EG 平面EBCF ，故DH EG ⊥， ∵12EH AD BC BG ===，//EF BC ，90ABC ∠=o ． ∴四边形BGHE 为正方形，故BH EG ⊥．又BH 、DH ⊂平面DBH ，且BH DH H =I ，故⊥EG 平面DBH ．又⊂BD 平面DBH ，故BD EG ⊥．（2）解：∵AE EF ⊥，平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ．∴AE ⊥面EBCF ．又由（1）⊥DH 平面EBCF ，故//AE DH ，∴四边形AEHD 是矩形，DH AE =，故以F 、B 、C 、D 为顶点的三棱锥D BCF - 的高DH AE x ==，又114(4)8222BCF S BC BE x x ∆==⨯⨯-=-⋅． ∴三棱锥D BCF -的体积()f x =13BFC S DH ∆⋅13BFC S AE ∆=⋅2128(82)333x x x x =-=-+2288(2)333x =--+≤．∴当2x =时，()f x 有最大值为83．（3）解：由（2）知当()f x 取得最大值时2AE =，故2BE =，由（2）知//DH AE ，故BDH ∠是异面直线AE 与BD 所成的角．在Rt BEH ∆中222422BH BE EH AD =+=+=，由⊥DH 平面EBCF ，BH ⊂平面EBCF ，故DH BH ⊥ 在Rt BDH ∆中222823BD BH DH AE =+=+=，∴3cos 323DH BDH BD ∠===． ∴异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33．法二：（1）证明：∵平面AEFD ⊥平面EBCF ，交线EF ，AE ⊂平面AEFD ，EF AE ⊥，故AE ⊥平面EBCF ，又EF 、BE ⊂平面EBCF ，∴AE ⊥EF ，AE ⊥BE ，又BE ⊥EF ，取EB 、EF 、EA 分别为x 轴、y轴、z 轴，建立空间坐标系E xyz -，如图所示．当2x =时，2AE =，2BE =，又2AD =，122BG BC ==． ∴(0,0,0)E ，(0,0,2)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)G ，(0,2,2)D ．∴(2,2,2)BD =-u u u r ，(2,2,0)EG =u u u r，∴440BD EG ⋅=-+=u u u r u u u r．∴BD EG ⊥u u u r u u u r，即BD EG ⊥；（2）解：同法一；（3）解：异面直线AE 与BD 所成的角θ等于,AE BD <>u u u r u u u r或其补角．又(0,0,2)AE =-u u u r ，故3cos ,3|||2444|AE BD AE BD AE BD <>===-++⋅⋅u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r ∴3cos 3θ=，故异面直线AE 与BD 所成的角的余弦值为33． 19．（1）证明：由2(1)n n S n a n n =--，得21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥．∴221(1)(1)n n n S n S n n ---=-，故111(2)1n n n nS S n n n -+-=≥-．…２分 ∴数列由1{}n n S n+是首项11221S a ==，公差1d =的等差数列； …… 4分（2）解：由（1）得112(1)11n n S S n d n n n+=+-=+-=．……… 6分∴21n n S n =+； ………８分（3）由（２），得3n n nb S =１＝321n n n +g １＝111(1)1n n n n =-++．…… 10分∴数列{}n b 的前n 项和1211111111122311n n n T b b b b n n n n -=++++=-+-++-+--+L L …１２分 1111n n n =-=++． ……… 14分 20．解：（1）由二次函数()f x 满足(0)(1)0f f ==．设()(1)(0)f x ax x a =-≠，则221()()24af x ax ax a x =-=--． ……………… ２分又()f x 的最小值是14-，故144a -=-．解得1a =．∴2()f x x x =-； ………………４分（2）依题意，由22x x t t -=-，得x t =，或1x t =-．（1t -p ｔ）……６分由定积分的几何意义知3232222002()[()()]()|3232t tx x t t S t x x t t dx t x tx =---=--+=-+⎰…… ８分（3）∵()f x 的最小值为14-，故14m -，14n ≥-． …… １０分∴12m n +-≥-，故12m n ++． ……… 12分∵1()02m n +，102m n ++≥≥， ……… 13分∴11()()22m n m n +++≥=，∴211()()24m n m n +++≥． ……… 14分。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)8

【答案】C
x 0,
9．设点
P(
x,
y)
在不等式组
2x
y
0,
表示的平面区域上，则 z
x y 3 0
(x 1)2 y2 的
最小值为（）
A．1
B． 5 5
C． 2
D． 2 5 5
【来源】辽宁省沈阳市东北育才学校 2019 届高三第五次模拟数学（文)试题
【答案】D
10．已知各项均为正数的等比数列an 单调递增，且 a1 a3 36，a1 a2 a3 26 ，
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在 ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c .若 ABC 的面积为
b2 c2 a2 ，则角 A =（
A． ab ac
B． c b a 0
C． cb2 ab2
D． ac a c 0
【来源】2019 年上海市格致中学高三上学期第一次检测数学试题
【答案】C
6．已知 a，b ∈ R，则 a > |b|是 a|a| > b|b|的（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
则 Ð B =___________．【来源】重庆市綦江实验中学校 2017-2018 学年高一下学期半期考试数学（理)试题.
【答案】150
23．已知等差数列an 的公差为 2，若 a1，a3 ，a4 成等比数列，则 a2 ________．
【来源】安徽省阜阳三中 2018-2019 学年高二上学期第一次调研考试数学（文)试题

北京市海淀区2024届高三下学期期中练习(一模)数学试题(解析版)

海淀区2023—2024学年第二学期期中练习高三数学本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，则U A =ð（）A.(2,1)--B.[2,1]--C.(2,1){2}-- D.[2,1){2}-- 【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用补集的定义求解即得.【详解】全集{|22}U x x =-≤≤，集合{}12A x x =-≤<，所以[2,1){2}U A =-- ð.故选：D2.若复数z 满足i 1i z =+，则z 的共轭复数是()A.1i --B.1i +C.1i -+D.1i-【答案】B 【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算求出复数z 即可求解结果．【详解】解：复数z 满足i 1i z =+，所以()21i 1i 1i1i i i i 1z ++-+====--．所以z 的共轭复数是1i +．故选：B ．3.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若122a a =，公差0,0m d S ≠=，则m 的值为（）A.4B.5C.6D.7【答案】B 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式求出1a 和d 的关系，代入0m S =计算可得m 的值.【详解】由已知()12122a a a d ==+，得12a d =-，又()()1112022m m m m m S ma d md d --=+=-+=，又0d ≠，所以()1202m m m --+=，解得5m =或0m =（舍去）故选：B.4.已知向量,a b 满足||2,(2,0)a b ==，且||2a b += ，则,a b 〈〉= （）A.π6B.π3C.2π3 D.5π6【答案】C 【解析】【分析】将||2a b +=两边同时平方，将条件带入计算即可.【详解】由已知||2,2a b ==，所以()22224222cos ,44a b a b a b a b +=+⋅+=+⨯⨯⨯〈〉+=r r r r r r r r，得1cos ,2a b 〈〉=- ，又[],0,πa b 〈〉∈ ，所以2π,3a b 〈〉= .故选：C.5.若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上的一点到焦点(的距离比到焦点的距离大b ，则该双曲线的方程为（）A.2214x y -= B.2212x y -= C.2212y x -= D.2214y x -=【答案】D 【解析】【分析】根据题意及双曲线的定义可知2a b =，c =，再结合222+=a b c ，求出,a b ，即可求出结果.【详解】由题知c =，根据题意，由双曲线的定义知2a b =，又222+=a b c ，所以255a =，得到221,4a b ==，所以双曲线的方程为2214y x -=，故选：D.6.设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且,m l αα⊂⊥.则“l β⊥”是“//m β”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】通过面面平行的性质判断充分性，通过列举例子判断必要性.【详解】l β⊥，且l α⊥，所以//αβ，又m α⊂，所以//m β，充分性满足，如图：满足//m β，,m l αα⊂⊥，但l β⊥不成立，故必要性不满足，所以“l β⊥”是“//m β”的充分而不必要条件.故选：A .7.已知()()3,0lg 1,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，函数()f x 的零点个数为m ，过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的条数为n ，则,m n 的值分别为（）A.1,1B.1,2C.2,1D.2,2【答案】B 【解析】【分析】借助分段函数性质计算可得m ，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n .【详解】令()0f x =，即0x ≤时，30x =，解得0x =，0x >时，()lg 10x +=，无解，故1m =，设过点(0,2)与曲线()y f x =相切的直线的切点为()00,x y ，当0x <时，()23f x x '=，则有()320003y x x x x -=-，有()3200023x x x -=-，整理可得301x =-，即01x =-，即当00x <时，有一条切线，当0x >时，()lg e1f x x '=+，则有()()000lg 1e lg 1y x x x x -=-++，有()()000l 2g elg 11x x x -+=-+，整理可得()()()000221lg 10lg e x x x ++-++=，令()()()()()2l 0g 2l 1e 1g g x x x x x =++-++>，则()()2lg 1g x x '=-+，令()0g x '=，可得99x =，故当()0,99x ∈时，()0g x '>，即()g x 在()0,99上单调递增，当()99,x ∈+∞时，()0g x '<，即()g x 在()99,∞+上单调递减，由()()992lg e 99220099lg e 0g =+⨯+-=>，()02020g =-=>，故()g x 在()0,99x ∈上没有零点，又()()9992lg e 999210003999lg e 10000g =+⨯+-⨯=-<，故()g x 在()99,999上必有唯一零点，即当00x >时，亦可有一条切线符合要求，故2n =.故选：B.8.在平面直角坐标系xOy 中，角α以Ox 为始边，终边在第三象限.则（）A.sin cos tan ααα-≤B.sin cos tan ααα-≥C.sin cos tan ααα⋅<D.sin cos tan ααα⋅>【答案】C 【解析】【分析】对A 、B ：举出反例即可得；对C 、D ：借助三角函数的商数关系及其值域计算即可得.【详解】由题意可得sin 0α<、cos 0α<，tan 0α>，对A ：当sin 0α-→时，cos 1α→-，则sin cos 1αα-→，tan 0α→，此时sin cos tan ααα->，故A 错误；对B ：当5π4α=时，1sin cos sinc 5π5π5π0tan 44os 4αα-=-=<=，故B 错误；对C 、D ：22sin sin cos cos cos tan cos ααααααα⋅=⋅=⋅，由1cos 0α-<<，故()2cos 0,1α∈，则2cos tan tan ααα⋅<，即sin cos tan ααα⋅<，故C 正确，D 错误.故选：C.9.函数()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，其图象如图所示，(3)0f =.设()f x '是()f x 的导函数，则关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集是（）A.[0,2]B.[3,0][3,4)-C.(5,0][2,4)-D.(4,0][2,3)- 【答案】D 【解析】【分析】借助函数图象与导数的关系计算即可得.【详解】由(3)0f =，且()f x 为偶函数，故(3)0f -=，由导数性质结合图象可得当()4,0x ∈-时，()0f x '<，当()0,4x ∈时，()0f x '>，当0x =时，即()00f '=，则由(1)()0f x f x '+⋅≥，有41444x x -<+<⎧⎨-<<⎩，解得43x -<<，亦可得()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩，或()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩，或()10f x +=，或()0f x '=，由()()100f x f x ⎧+>>'⎪⎨⎪⎩可得41304x x -<+<-⎧⎨<<⎩或31404x x <+<⎧⎨<<⎩，即23x <<，由()()100f x f x ⎧+<<'⎪⎨⎪⎩可得31340x x -<+<⎧⎨-<<⎩，即40x -<<，由()10f x +=，可得13x +=±，即2x =或4x =-（舍去，不在定义域内），由()0f x '=，可得0x =，综上所述，关于x 的不等式(1)()0f x f x '+⋅≥的解集为(4,0][2,3)- .故选：D.10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60︒），再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O 开始，沿直线繁殖到11A ，然后分叉向21A 与22A 方向继续繁殖，其中21112260A A A ∠=︒，且1121A A 与1122A A 关于11OA 所在直线对称，112111221112A A A A OA ==….若114cm OA =，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案.【详解】由题意可知，114cm OA =，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在11OA 方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围，依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在11OA 方向上前进的距离依次为：1114,2,222482⨯⨯⨯ ，则31353842155722244+⨯++⨯=+>+=，黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在11OA 方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和，即1311432164316841+281142282331144++⎛⎫⎛⎫++++++≈+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--，综合可得培养皿的半径r （*N r ∈，单位：cm ）至少为8cm ，故选：C【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在11OA 方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知ln 2ab=，则22ln ln a b -=_______.【答案】4【解析】【分析】直接利于对数的运算性质求解.【详解】因为ln2ab=，所以22222ln ln ln ln 2ln 4a a a a b b b b ⎛⎫-==== ⎪⎝⎭.故答案为：4.12.已知22:(1)3C x y -+= ，线段AB 是过点(2,1)的弦，则AB 的最小值为_______.【答案】2【解析】【分析】借助直径与弦AB 垂直时，AB 有最小，计算即可得.【详解】由22(21)123-+=<，故点(2,1)在圆的内部，且该圆圆心为()1,0设圆心到直线AB 的距离为d ，由垂径定理可得2222AB r d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即AB =，故当d 取最大值时，AB 有最小值，又max d ==故2AB =≥=.故答案为：2.13.若443243210(2)x a x a x a x a x a -=++++，则0a =_______；13024a a a a a +=++_______.【答案】①.16②.4041-【解析】【分析】借助赋值法，分别令0x =、1x =、=1x -计算即可得.【详解】令0x =，可得40(02)a -=，即40216a ==，令1x =，可得443210(12)a a a a a -=++++，即()44321011a a a a a ++++=-=，令=1x -，可得443210(12)a a a a a --=-+-+，即()443210381a a a a a -+-+=-=，则()()()4321043210420218182a a a a a a a a a a a a a +++++-+-+=++=+=，即42082412a a a ++==，则()42103114140a a a a a =-++==-+-，故130244041a a a a a +=-++.故答案为：16；4041-.14.已知函数π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则5π4f ⎛⎫= ⎪⎝⎭_________；函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为_______.【答案】①.1-②.π(,0)4-（答案不唯一）【解析】【分析】根据函数表达式，代入即可求出5π4f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的函数值，根据条件，先求出使()0f x =的一个取值π4x =-，再证明π(,0)4-是()f x 的一个对称中心即可.【详解】因为π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以55ππππsin()sin(214444f ⎛⎫=+⨯=- ⎪⎝⎭，因为()f x 定义域为R ，当π4x =-时，ππππ()sin sin()04442f ⎛⎫-=-+-= ⎪⎝⎭，下证π(,0)4-是()f x 的一个对称中心，在π()sin sin 24f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭上任取点()00,P x y ，其关于π(,0)4-对称的点为00π(,)2P x y '---，又00000000ππππππ()sin sin 2()sin()sin(π2)sin()sin(2)224244f x x x x x x x y ⎛⎫--=--+--=----=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的图象的一个对称中心的坐标为π(,0)4-，故答案为：1-；π(,0)4-（答案不唯一）15.已知函数()f x =①函数()f x 是奇函数；②R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根；③已知P 是曲线()y f x =上任意一点，1,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，则12AP ≥；④设()11,M x y 为曲线()y f x =上一点，()22,N x y 为曲线()y f x =-上一点.若121x x +=，则1MN ≥.其中所有正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】【分析】对①：计算定义域即可得；对②：对0k >与0k <分类讨论，结合二次函数求根公式计算即可得；对③：借助两点间的距离公式与导数求取最值计算即可得；对④：结合函数性质与③中所得结论即可得.【详解】对①：令30x x -≥，即有()()110x x x +-≥，即[][]1,01,x ∞∈-⋃+，故函数()f x 不是奇函数，故①错误；对②：0()f x kx kx -=-=kx =，当0x =00-=，故0是该方程的一个根；当0x ≠，0k >kx =，故0x >，结合定义域可得[]1,x ∞∈+，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x +=或242k x -=（负值舍去），则20122k x ++=>=，故2210x k x --=必有一个大于1的正根，即0()f x kx -=必有一个大于1的正根；当0x ≠，0k <kx =，故0x <，结合定义域有[)1,0∈-x ，有322x x k x -=，即()2210x x k x --=，令2210x k x --=，440k ∆=+>，有242k x =或242k x +=（正值舍去），令244k t +=>，即24k t =-，则22211711744242412222k t x ⎫⎛⎫---⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭===>=-，即212k x =>-，故2210x k x --=在定义域内亦必有一根，综上所述，R k ∀∈，且0k ≠，关于x 的方程0()f x kx -=恰有两个不相等的实数根，故②正确；对③：令(),P x y，则有y =222321124AP x x x ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭，令()3214g x x x =++，[][]1,01,x ∞∈-⋃+，()()23232g x x x x x =='++，当()21,1,3x ∞⎛⎫∈--⋃+ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，当2,03x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，故()g x 在21,3⎛⎫--⎪⎝⎭、()1,∞+上单调递增，在2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，又()1111144g -=-++=，()110044g =+=，故()14g x ≥恒成立，即214AP ≥，故12AP ≥，故③正确；对④：当12x x =时，由[][]1,01,x ∞∈-⋃+，121x x +=，故1212x x ==-，此时，124y y =-==，则12MN =≥，当12x x ≠时，由()y f x =与()y f x =-关于x 轴对称，不妨设12x x <，则有1210x x -≤<≤或121012x x -≤≤<≤≤，当121012x x -≤≤<≤≤时，由2121x x x -≥≥，有121MN x x =≥-≥，故成立；当1210x x -≤<≤时，即有211x x =-，由③知，点M 与点N 在圆2211:24A x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上或圆外，设点()1,M x m '与点()2,N x n '在圆上且位于x 轴两侧，则1M N ''=,故1MN M N ''≥=；综上所述，1MN ≥恒成立，故④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：结论④中的关键点在于借助结论③，结合函数的对称性，从而得到当1x 、2x 都小于零时，MN 的情况.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.在ABC 中，sin cos 2b C B c =.（1）求B ∠；（2）若4a b c =+=，求ABC 的面积.【答案】（1）π6（2【解析】【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到sin 2B B +=，再利用辅助角公式及特殊角的三角函数值，即可求出结果；（2）根据（1）中π6B =及条件，由余弦定理得到22126c b c +-=，再结合4b c +=，即可求出2c =，再利用三角形面积公式，即可求出结果.【小问1详解】因为sin cos 2b C B c =，由正弦定理可得sin sin cos 2sin B C C B C =，又(0,π)C ∈，所以sin 0C ≠，得到sin 2B B +=，即π2sin(23B +=，所以πsin()13B +=，又因为(0,π)B ∈，所以2ππ3B +=，得到π6B =.【小问2详解】由（1）知π6B =，所以2223cos 22a cb B ac +-==，又a =，得到22126c b c +-=①，又4b c +=，得到4b c =-代入①式，得到2c =，所以ABC 的面积为11πsin 2sin 226ABC S ac B ==⨯⨯= .17.如图，在四棱锥P ABCD -中，,AD BC M //为BP 的中点，//AM 平面CDP .（1）求证：2BC AD =；（2）若,1PA AB AB AP AD CD ⊥====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD -存在且唯一确定.（i ）求证：PA ⊥平面ABCD ；（ⅱ）设平面CDP ⋂平面BAP l =，求二面角C l B --的余弦值.条件①：BP DP =；条件②：AB PC ⊥；条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】（1）证明见解析（2）（i ）证明见解析；（ⅱ）77【解析】【分析】（1）借助线面平行的性质定理与中位线的性质即可得；（2）（i ）借助线面垂直的判定定理即可得；（ⅱ）结合所给条件建立适当的空间直角坐标系后借助空间向量计算即可得.【小问1详解】取PC 的中点N ，连接,MN ND ，因为M 为BP 的中点，所以1,//2MN BC MN BC =，因为//AD BC ，所以//AD MN ，所以,,,M N D A 四点共面，因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =，AM ⊂平面MNDA ，所以//AM DN ，所以四边形AMND 为平行四边形，所以MN AD =，所以2BC AD =；【小问2详解】（i ）取BC 的中点E ，连接,AE AC ，由（1）知2BC AD =，所以EC AD =，因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形，所以1,EC AD AE CD ===，因为1AB CD ==，所以112AE BC ==，所以90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，选条件①：BP DP =，因为1,AB AD PA PA ===，所以PAB 与PAD 全等，所以PAB PAD ∠=∠，因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=o ，所以90PAD ∠= ，即AP AD ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ；（ⅱ）由（i ）知AP ⊥平面ABCD ，而AC ⊂平面ABCD ，所以AP AC ⊥，因为,1PA AB AP ⊥=，建立如图所示空间直角坐标系A xyz -，则()()10,0,1,0,,,22P C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以()1313,,0,,,12222CD PD AC ⎛⎫⎛⎫=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，设平面PDC 的法向量为(),,n x y z = ,则0n CD n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即102213022x y x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令x =，则1,y z =-=，于是1,n =-，因为AC 为平面PAB 的法向量,且7cos ,7AC n AC n AC n ⋅===-⋅,所以二面角C l B --的余弦值为77.选条件③：CBM CPM ∠=∠，(i)因为CBM CPM ∠=∠，所以CB CP =，因为1,AB AP CA CA ===，所以ABC 与APC △全等，所以90∠=∠= PAC BAC ，即PA AC ⊥，因为PA AB ⊥，又因为AB AC A ⋂=，AB 、AC ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥平面ABCD ；(ii)同选条件①.不可选条件②，理由如下：由（i ）可得AB AC ⊥，又PA AB ⊥，PA AC A = ，PA 、AC ⊂平面PAC ，所以AB ⊥平面PAC ，又因为PC ⊂平面PAC ，所以AB PC ⊥，即AB PC ⊥是由已知条件可推出的条件，故不可选条件②.18.某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取100名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x科普过程性积分人数90100x ≤≤4108090x ≤<3a 7080x ≤<2b 6070x ≤<123060x ≤<02（1）当35a =时，（i ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X 为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X 的数学期望()E X ；（2）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，上述100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y .若根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立，直接写出a 的最小值.【答案】（1）（i ）0.45；（ⅱ）589；（2）7.【解析】【分析】（1）（i ）求出科普过程性积分不少于3分的学生数，再求出频率，并用频率估计概率即得；（ⅱ）求出X 的所有可能值，由（i ）的结论结合独立重复试验的概率问题求出各个取值的概率，再求出期望即得.（2）求出1Y 的最大值，再求出100名学生科普测试成绩的平均值2Y 的最小值，由题设信息列出不等式求解即得.【小问1详解】当35a =时，（i ）由表知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为103545+=，则从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的频率为450.45100=，所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45.（ⅱ）依题意，从样本中成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的频率为35735109=+，所以从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为3分的概率估计为79，同理，从该校学生科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取一名，这名学生的科普过程性积分为4分的概率估计为29，X 的所有可能值为6，7，8，7749(6)9981P X ==⨯=，7228(7)29981P X ==⨯⨯=，224(8)9981P X ==⨯=，所以X 的数学期望4928458()6788181819E X =⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】由表知，10232100a b ++++=，则65b a =-，从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1Y ，则1Y 的最大值为69，100名学生科普测试成绩的平均值记为2Y ，要12Y Y ≤恒成立，当且仅当2min ()69Y ≥，显然2Y 的最小值为各分数段取最小值求得的平均分，因此2min 1683()108070(65)602302]10010a Y a a +=⨯++-+⨯+⨯=，则6836910a+≥，解得7a ≥，所以根据表中信息能推断12Y Y ≤恒成立的a 的最小值是7.19.已知椭圆22:G x my m +=的离心率为12,,2A A 分别是G 的左、右顶点，F 是G 的右焦点.（1）求m 的值及点F 的坐标；（2）设P 是椭圆G 上异于顶点的动点，点Q 在直线2x =上，且PF FQ ⊥，直线PQ 与x 轴交于点M .比较2MP 与12MA MA ⋅的大小.【答案】（1）2m =，()1,0F （2）122MA A MP M <⋅【解析】【分析】（1）借助离心率计算即可得；（2）设()00,P x y ，表示出M 与Q 点坐标后，可得2MP 、12MA MA ⋅，借助作差法计算即可得.【小问1详解】由22:G x my m +=，即22:1x G y m+=，由题意可得1m >，故2=，解得2m =，故22:12x G y +=1=，故()1,0F ；【小问2详解】设()00,P x y ，00,0x y ≠，0x <<，有220012x y +=，由PF FQ ⊥，则有()()001210Q x y y -⋅-+⋅=，即01Q x y y -=，由0PQ k ≠，故有0002Q My y y x x x -=--，即有()()()2000000000200000022211M Q y x y x y x x x x x x y y x y y y ---=-=-=------()200320000022000012222422x x x x x x x x x x x ⎛⎫-- ⎪--+⎝⎭=-=---()()32320000002200000002222242222x x x x x x x x x x x x x ----+=-==---，由22:12x G y +=可得()1A、)2A ，则22222222000000022200002444441322x x MP x y x y x x x x x ⎛⎫=-+=-++=-++-=-+ ⎪⎝⎭，1220002242MA MA x x x ⎛⋅==- ⎝，则222001222004432122x x MP MA MA x x -⋅=-+-+=-，由0x <<，故20102x -<，即212MP MA MA <⋅.20.已知函数12()ea x f x x -=.（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数2()()e ,(0,)g x f x a x -=+∈+∞存在最大值，求a 的取值范围.【答案】（1）()f x 的增区间为(),2∞-，减区间为(2,)+∞（2）1a ≥-【解析】【分析】（1）对函数求导，得到121(1))e 2(a x f x x -=-'，再求出()0f x '>和()0f x '<对应的x 取值，即可求出结果；（2）令2()()e h x f x a -=+，对()h x 求导，利用导数与函数单调性间的关系，求出()h x 的单调区间，进而得出()h x 在(0,)+∞上取值范围，从而将问题转化成1222ee e a a a ---+≥成立，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性，即可求出结果.【小问1详解】易知定义域为R ，因为12()ea x f x x -=，所以11122211(1)()e2e e 2a x a x a x x x x f ----=-'=，由()0f x '=，得到2x =，当2x <时，()0f x '>，当2x >时，()0f x '<，所以，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+.【小问2详解】令2()()e h x f x a -=+，则()()h x f x ''=，由（1）知，函数()f x 的单调递增区间为(),2∞-，单调递减区间为()2,∞+，所以()h x 在2x =时取得最大值12(2)2e e a h a --=+，所以当2x >时，1222()e e e (0)a x h x x a a h ---=+>=，当02x <<时，()(0)h x h >，即当,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，所以函数122()ee a x g x x a --=+在(0,)+∞存在最大值的充要条件是1222e e e a a a ---+≥，即122122e e e e +e 02a a a a a -----++=≥，令12()e e x m x x --=+，则12()e e 0x m x --'=+>恒成立，所以12()e e x m x x --=+是增函数，又因为22(1)e e 0m ---=-=，所以12()e e 0a m a a --=+≥的充要条件是1a ≥-，所以a 的取值范围为[)1,-+∞.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，构造函数122()e e a x h x x a --=+，利用函数单调性得到,()0x ∈+∞时，(]()(0),(2)h x h h ∈，从而将问题转化成1222e e e a a a ---+≥，构造函数12()e e x m x x --=+，再利用()m x 的单调性来解决问题.21.已知：()2*12:,,,2,m Q a a a m m ≥∈N为有穷正整数数列，其最大项的值为m ，且当0,1,,1k m =- 时，均有(1)km i km j a a i j m ++≠≤<≤.设00b =，对于{0,1,,1}t m ∈- ，定义{}1min ,t t n b n n b a t +=>>，其中，min M 表示数集M 中最小的数.（1）若:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，写出13,b b 的值；（2）若存在Q 满足：12311b b b ++=，求m 的最小值；（3）当2024m =时，证明：对所有2023,20240Q b ≤.【答案】（1）11b =，36b =（2）4（3）证明见解析【解析】【分析】（1）结合定义逐个计算出1b 、2b 、3b 即可得；（2）当3m =时，可得12310b b b ++≤，故4m ≥，找到4m =时符合要求的数列Q 即可得；（3）结合题意，分两段证明，先证10122024b ≤，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，再证得2024k C b k ≤，即可得证,【小问1详解】由:3,1,2,2,1,3,1,2,3Q ，00b =，则{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，故23b =，则{}3min 3,2n b n n a =>>，故36b =；【小问2详解】由题意可知，3m ≥，当3m =时，由1n a ≥，{}1min 0,0n b n n a =>>，故11b =，则{}2min 1,1n b n n a =>>，由题意可得123a a a ≠≠，故2a 、3a 总有一个大于1，即22b =或23b =，{}32min ,2n b n n b a =>>，由456a a a ≠≠，故4a 、5a 、6a 总有一个大于2，故36b ≤，故当3m =时，12310b b b ++≤，不符，故4m ≥，当4m =时，取数列:4,1,3,2,1,2,3,4,1,2,3,4,1,2,3,4Q ，有11b =，23b =，37b =，即12311b b b ++=，符合要求，故m 的最小值为4；【小问3详解】因为{}11min ,,0,1,,2023t n b nn b a t t +=>>= ∣，所以11,0,1,,2023i b b t +>= ，(i)若12024t b +≤，则当1t n b +<时，至少以下情况之一成立：①n a t ≤，这样的n 至少有t 个，②存在,i i t b n ≤=，这样的n 至多有t 个，所以小于1t b +的n 至多有2t 个，所以1121t b t t t +≤++=+，令212024t +≤，解得11012t +≤，所以10122024b ≤，(ii)对*k ∈N ，若12024t t b k b +≤<，且()1202420241t l k b k ++<≤+，因为{}1min ,t l t l n b nn b a t l +++=>>+∣，所以当()12024,t l n k b ++∈时，至少以下情况之一成立：①n a t l ≤+，这样的n 至多有t l +个；②存在,i t i i l <≤+且i b n =，这样的n 至多有l 个，所以120241202421t l b k t l l k t l ++≤++++=+++，令212024t l ++≤，解得20232t l -⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，即202512t t l +⎡⎤++≤⎢⎥⎣⎦，其中[]x 表示不大于x 的最大整数，所以当12024t t b k b +≤<时，()2025220241t b k +⎡⎤⎢⎥⎣⎦≤+；综上所述，定义1120251012,2k k C C C ++⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，则2024k C b k ≤，依次可得：2345671518,1771,1898,1961,1993,2009C C C C C C ======，89102017,2021,2023C C C ===，所以202320241020240b ≤⨯=.【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解所给出的定义，由给定数列结合新定义探求出数列的相关性质，进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.。

北京市海淀区北京一零一中学23届高三上学期9月月考数学含答案

北京101中学2023届上学期高三年级9月月考数学试卷一、选择题共10小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合M ＝｛x ∈Z |1g （x -1）≤0｝，N ＝｛x ∈Z|x |＜2}，则M N ＝（） A.φB. （1，2）C. （-2，2］D. {-1，0，1，2｝2. 如果-1，a ，b ，c ，-9成等比数列，那么（） A. b ＝3，ac ＝9B. b ＝-3，ac ＝9C. b ＝3，ac ＝-9D. b ＝-3，ac ＝-93. 设)(x f ，)(x g 都是单调函数，有如下四个命题：①若)(x f 单调递增，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递增； ②若)(x f 单调递增，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递增； ③若)(x f 单调递减，)(x g 单调递增，则)(x f -)(x g 单调递减； ④若)(x f 单调递减，)(x g 单调递减，则)(x f -)(x g 单调递减。

其中，正确的命题是（） A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④4. 若ab ＞0，且a ＜b ，则下列不等式一定成立的是（） A. 22b a <B.a 1＜b1C.2>+ba ab D.2ba +＞ab 5. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若CcB b A a cos cos cos ==，则△ABC 是（）A. 钝角三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 直角三角形，但不是等腰三角形6. 已知函数)(x f ＝cos 2ωx -sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，则（） A. )(x f 在（0，2π）内单调递增B. )(x f 在（0，2π）内单调递减 C. )(x f 在（4π，43π）内单调递增D. )(x f 在（4π，43π）内单调递减7. 若)(x f 是R 上周期为5的奇函数，且满足f （1）＝1，f （2）＝2，则f （3）-f （4）＝（）A. -1B. 1C. -2D. 28. 下图是下列四个函数中的某个函数在区间［-3，3］的大致图像，则该函数是（）A. 1323++-=x xx yB. 123+-=x xx yC. 1cos 22+=x xx yD. 1sin 22+=x xy 9. 已知函数)(x f ＝x 3+x 2-2|x |-k 。

2020-2021学年北京海淀区人教版八年级(上)期末数学试卷(含答案)

2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣73．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a54．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是．（写出一个即可）13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为cm．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．18．（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．19．（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．20．（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠．（）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．21．（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．22．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．23．（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝对称．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．25．（7分）（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线l为过点M（m，0）且与x轴垂直的直线．对某图形上的点P（a，b）作如下变换：当b≥|m|时，作出点P关于直线l的对称点P1，称为Ⅰ（m）变换；当b＜|m|时，作出点P关于x轴的对称点P2，称为Ⅱ（m）变换．若某个图形上既有点作了Ⅰ（m）变换，又有点作了Ⅱ（m）变换，我们就称该图形为m﹣双变换图形．例如，已知A（1，3），B（2，﹣1），如图1所示，当m＝2时，点A应作Ⅰ（2）变换，变换后A1的坐标是（3，3）；点B作Ⅱ（2）变换，变换后B1的坐标是（2，1）．请解决下面的问题：（1）当m＝0时，①已知点P的坐标是（﹣1，1），则点P作相应变换后的点的坐标是；②若点P（a，b）作相应变换后的点的坐标为（﹣1，2），求点P的坐标；（2）已知点C（﹣1，5），D（﹣4，2），①若线段CD是m﹣双变换图形，则m的取值范围是；②已知点E（m，m）在第一象限，若△CDE及其内部（点E除外）组成的图形是m﹣双变换图形，且变换后所得图形记为G，直接写出所有图形G所覆盖的区域的面积．2020-2021学年北京市海淀区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共24分，每小题3分）第1～8题符合题意的选项均只有一个，请将你的答案填写在下面的表格中．1．（2020秋•海淀区期末）冬季奥林匹克运动会是世界规模最大的冬季综合性运动会，每四年举办一届．第24届冬奥会将于2022年在北京和张家口举办．下列四个图分别是四届冬奥会图标中的一部分，其中是轴对称图形的为（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【专题】平移、旋转与对称；几何直观．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2021•朝阳区校级模拟）KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病．“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003m的非油性颗粒．其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A．3×10﹣6B．3×10﹣7C．0.3×10﹣6D．0.3×10﹣7【考点】科学记数法—表示较小的数．【专题】实数；数感．【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000003用科学记数法表示为：3×10﹣7．故选：B．【点评】本题考查了科学记数法，用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2020秋•海淀区期末）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．（2a）3＝2a3D．a10÷a2＝a5【考点】同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a）3＝8a3，故本选项不合题意；D、a10÷a2＝a8，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．4．（2020秋•海淀区期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．x（x﹣2）＝x2﹣2x B．（x+1）2＝x2+2x+1C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）D．x+2＝x（1+）【考点】因式分解的意义．【专题】整式；运算能力．【分析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，可得答案．【解答】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，是因式分解，故此选项符合题意；D、没把一个多项式转化成几个整式乘积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了因式分解的意义．严格按照因式分解的定义去验证每个选项是正确解答本题的关键．5．（2021•绿园区一模）如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为（）A．135°B．140°C．144°D．150°【考点】多边形内角与外角．【专题】多边形与平行四边形；几何直观．【分析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．【解答】解：该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝1260°÷9＝140°．故选：B．【点评】本题主要考查了多边形的内角和定理：180°•（n﹣2），比较简单，解答本题的关键是直接根据内角和公式计算可得内角和．6．（2021•柳南区校级模拟）小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：已知：∠AOB．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB．作法：（1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；（3）以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点D′；（4）过点D'画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB．小聪作法正确的理由是（）A．由SSS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBB．由SAS可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBC．由ASA可得△O′C′D′≌△OCD，进而可证∠A′O′B′＝∠AOBD．由“等边对等角”可得∠A′O′B′＝∠AOB【考点】全等三角形的判定；等腰三角形的性质；作图—基本作图．【专题】作图题；应用意识．【分析】先利用作法得到OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：由作图得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△C′O′D′≌△COD．故选：A．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：基本作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．也考查了全等三角形的判定．7．（2021•沂南县模拟）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．【考点】分式的化简求值．【专题】分式；运算能力．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式＝•＝•＝a﹣b，当a﹣b＝2时，原式＝2．故选：A．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．8．（2020秋•海淀区期末）在△ABC中，AB≠AC，线段AD，AE，AF分别是△ABC的高，中线，角平分线，则点D，E，F的位置关系为（）A．点D总在点E，F之间B．点E总在点D，F之间C．点F总在点D，E之间D．三者的位置关系不确定【考点】三角形的角平分线、中线和高；全等三角形的判定与性质．【专题】三角形；推理能力．【分析】延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，证明△AEB≌△HEC，根据全等三角形的性质得到AB＝CH，∠BAE＝∠H，根据三角形的高、中线、角平分线的定义解答即可．【解答】解：假设AB＜AC，如图所示，延长AE至点H，使EH＝AE，连接CH，在△AEB和△HEC中，，∴△AEB≌△HEC（SAS），∴AB＝CH，∠BAE＝∠H，∵AB＜AC，∴CH＜AC，∴∠CAH＜∠H，∴∠CAH＜∠BAE，∴点F总在点D，E之间，故选：C．【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的中线、高、角平分线的定义，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．二、填空题（本大题共24分，每小题3分）9．（2020•北京一模）使式子有意义的x取值范围是x≠2．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式的分母不等于零分式有意义，可得答案．【解答】解：要使式子有意义，得x﹣2≠0．解得x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查了分式有意义的条件，利用了分式的分母为零分式无意义．10．（2020秋•海淀区期末）计算：（3a2+2a）÷a＝3a+2．【考点】整式的除法．【专题】整式；运算能力．【分析】直接利用整式的除法运算法则计算得出答案．【解答】解：（3a2+2a）÷a＝3a2÷a+2a÷a＝3a+2．故答案为：3a+2．【点评】此题主要考查了整式的除法，正确掌握相关运算法则是解题关键．11．（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，BD⊥AC，垂足为D．若AB＝6，则BD的长为3．【考点】含30度角的直角三角形．【专题】等腰三角形与直角三角形；几何直观．【分析】利用含30°的直角三角形的性质解答即可．【解答】解：在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，∴∠BAC＝90°﹣∠ACB＝90°﹣60°＝30°，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°，∵AB＝6，∴BD＝AB＝，故答案为：3．【点评】此题考查含30°的直角三角形的性质，关键是根据在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半解答．12．（2020秋•海淀区期末）如图，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分别为B，D．只需添加一个条件即可证明△ABC≌△ADC，这个条件可以是AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．（写出一个即可）【考点】全等三角形的判定．【专题】图形的全等；推理能力．【分析】由全等三角形的判定定理可求解．【解答】解：若添加AB＝AD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加BC＝CD，且AC＝AC，由“HL”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BAC＝∠DAC，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；若添加∠BCA＝∠DCA，且AC＝AC，由“AAS”可证Rt△ABC≌Rt△ADC；故答案为：AB＝AD或BC＝CD或∠BAC＝∠DAC或∠ACB＝∠ACD（答案不唯一）．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是本题的关键．13．（2020秋•海淀区期末）某中学要举行校庆活动，现计划在教学楼之间的广场上搭建舞台．已知广场中心有一座边长为b的正方形的花坛．学生会提出两个方案：方案一：如图1，围绕花坛搭建外围为正方形的“回”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S1；方案二：如图2，在花坛的三面搭建“凹”字形舞台（阴影部分），舞台的面积记为S2；具体数据如图所示，则S1＞S2．（填“＞”，“＜”或“＝”）【考点】正方形的性质．【专题】矩形菱形正方形；运算能力．【分析】根据正方形和矩形的面积公式即可得到结论．【解答】解：方案一：如图1，S1＝a2﹣b2，方案二：如图2，S2＝（a﹣b）（+b+）﹣b2＝（a﹣b）（a﹣b）﹣b2＝a2﹣b2﹣b2＝a2﹣2b2，∵S1﹣S2＝a2﹣b2﹣（a2﹣2b2）＝a2﹣b2﹣a2+2b2＝b2＞0，∴S1＞S2．故答案为：＞．【点评】本题考查了正方形的性质，正方形和矩形的面积的计算，正确识别图形是解题的关键．14．（2020秋•海淀区期末）如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．则∠DBC 的大小为30°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力．【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出∠ABC及∠ACB的度数，再根据线段垂直平分线的性质求出∠ABD的度数即可进行解答．【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝70°，∵MN的垂直平分AB，∴DA＝DB，∴∠A＝∠ABD＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．故答案为：30°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等．15．（2020秋•海淀区期末）在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，点C在x轴上，若△ABC为等腰直角三角形，则点C的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．【考点】等腰直角三角形；关于x轴、y轴对称的点的坐标．【专题】等腰三角形与直角三角形；平移、旋转与对称；推理能力．【分析】由轴对称的性质可求点B坐标，由等腰直角三角形的性质可求OC＝OA＝3，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（0，3），点B与点A关于x轴对称，∴点B（0，﹣3），∴OA＝OB＝3，又∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴OC＝OA＝OB＝3，∴点C（3，0）或（﹣3，0），故答案为：（3，0）或（﹣3，0）．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，掌握等腰直角三角形的性质是本题的关键．16．（2020秋•海淀区期末）图1是小明骑自行车的某个瞬间的侧面示意图，将小明右侧髋关节和车座看作一个整体抽象为A点，将膝盖抽象为B点，将脚跟、脚掌、踏板看作一个整体抽象为C点，将自行车中轴位置记为D点（注：自行车中轴是连接左右两个踏板，使两个踏板绕其旋转的部件），在骑行过程中，点A，D的位置不变，B，C为动点．图2是抽象出来的点和线．若AB＝BC＝40cm，CD＝16cm，小明在骑车前，需调整车座高度，保证在骑行过程中脚总可以踩到踏板，则AD最长为64cm．【考点】旋转的性质．【专题】平移、旋转与对称；运算能力；推理能力．【分析】根据已知条件得到当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，根据线段的和差即可得到结论．【解答】解：∵在骑行过程中脚总可以踩到踏板，∴当AB+BC＝AD+CD时，AD最长，则，AD最长为AB+BC﹣CD＝40+40﹣16＝64（cm），故答案为：64．【点评】本题考查了旋转的性质，知道当AB+BC＝AD+CD时，AD最长是解题的关键．三、解答题（本大题共52分，第17题8分，第18～21题每题5分，第22题6分，第23题5分，第24题6分，第25题7分）17．（8分）（2020秋•海淀区期末）（1）计算：（﹣）2+2﹣2﹣（2﹣π）0；（2）分解因式：3x2﹣6xy+3y2．【考点】实数的运算；提公因式法与公式法的综合运用；零指数幂；负整数指数幂．【专题】因式分解；实数；运算能力．【分析】（1）原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则计算即可求出值；（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：（1）原式＝+﹣1＝﹣1＝﹣；（2）原式＝3（x2﹣2xy+y2）＝3（x﹣y）2．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，以及实数的运算，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18．（5分）（2021•朝阳区校级模拟）已知3x2﹣x﹣1＝0，求代数式（2x+5）（2x﹣5）+2x（x﹣1）的值．【考点】整式的混合运算—化简求值．【专题】整式；运算能力．【分析】首先利用多项式乘以多项式、多项式乘以单项式进行计算，然后再合并同类项，化简后，再代入求值即可．【解答】解：原式＝4x2﹣25+2x2﹣2x＝6x2﹣2x﹣25，∵3x2﹣x﹣1＝0，∴3x2﹣x＝1．∴原式＝2（3x2﹣x）﹣25＝2×1﹣25＝﹣23．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，关键是掌握有乘方、乘除的混合运算中，要按照先乘方后乘除的顺序运算，其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似．19．（5分）（2020秋•海淀区期末）如图，C是AB的中点，CD∥BE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD ＝CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：∵C是AB的中点，∴AC＝CB，∵CD∥BE，∴∠ACD＝∠B．在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（SAS），∴AD＝CE．【点评】该题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题；应牢固掌握全等三角形的判定．20．（5分）（2020秋•海淀区期末）《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”请补全上述命题的证明．已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB．（等边对等角）（填推理的依据）∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）（填推理的依据）∴∠ADB＞∠C．∴∠ABD＞∠C．∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD．∴∠ABC＞∠C．【考点】作图—应用与设计作图．【专题】作图题；推理能力．【分析】根据文字题目的要求写出已知，求证，利用等腰三角形的性质以及三角形的我觉得性质解决问题即可．【解答】已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．求证：∠ABC＞∠C．证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），∵∠ADB是△BCD的外角，∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），∴∠ADB＞∠C，∴∠ABD＞∠C，∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，∴∠ABC＞∠ABD，∴∠ABC＞∠C．故答案为：∠ABC＞∠C，ADB，等边对等角，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．21．（5分）（2020秋•海淀区期末）列方程解应用题开展“光盘行动”，拒绝“舌尖上的浪费”，已成为一种时尚．某学校食堂为了激励同学们做到光盘不浪费，提出如果学生每餐做到光盘不浪费，那么餐后奖励香蕉或橘子一份．近日，学校食堂花了2800元和2500元分别采购了香蕉和橘子，采购的香蕉比橘子多150千克，香蕉每千克的价格比橘子每千克的价格低30%，求橘子每千克的价格．【考点】分式方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【分析】设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元，根据题意可得等量关系：2800元所购买的香蕉的重量﹣2500元所购买的橘子的重量＝150，再列出方程，解出x的值即可．【解答】解：设橘子每千克的价格为x元，则香蕉每千克的价格为70%x元．根据题意，得﹣＝150，解得x＝10，检验：当x＝10时，70%x≠0．所以原分式方程的解为x＝10且符合题意．答：橘子每千克的价格为10元．【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．22．（6分）（2020秋•海淀区期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AC边上一点，连接BD，EC⊥AC，且AE＝BD，AE与BC交于点F．（1）求证：CE＝AD；（2）当AD＝CF时，求证：BD平分∠ABC．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【专题】图形的全等；几何直观；推理能力．【分析】（1）根据HL证明Rt△CAE与Rt△ABD全等，进而解答即可；（2）根据全等三角形的性质和角之间的关系解答即可．【解答】证明：（1）∵EC⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠ACE＝∠BAC＝90°，在Rt△CAE与Rt△ABD中，，∴Rt△CAE≌Rt△ABD（HL），∴CE＝AD．（2）由（1）得Rt△CAE≌Rt△ABD，∴∠EAC＝∠ABD，∠E＝∠ADB．由（1）得CE＝AD，∵AD＝CF，∴CE＝CF．∴∠CFE＝∠E，∵∠CFE＝∠AFB，∴∠AFB＝∠E．∵∠E＝∠ADB，∴∠AFB＝∠ADB，∵∠AGB＝∠EAC+∠ADB，∠AGB＝∠DBC+∠AFB，∴∠EAC＝∠DBC．∵∠EAC＝∠BAD，∴∠BAD＝∠DBC，∴BD平分∠ABC．【点评】此题考查全等三角形问题，关键是根据HL证明三角形全等，再利用全等三角形的性质解答．23．（5分）（2020秋•海淀区期末）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多项式x2﹣2x+3，由于x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，所以当x﹣1取任意一对互为相反数的数时，多项式x2﹣2x+3的值是相等的．例如，当x﹣1＝±1，即x＝2或0时，x2﹣2x+3的值均为3；当x﹣1＝±2，即x＝3或﹣1时，x2﹣2x+3的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于x的多项式，若当x﹣t取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x＝t对称．例如x2﹣2x+3关于x＝1对称．请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题：（1）多项式x2﹣4x+6关于x＝2对称；（2）若关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝3对称，求b的值；（3）整式（x2+8x+16）（x2﹣4x+4）关于x＝﹣1对称．【考点】配方法的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【分析】（1）对多项式进行配方，根据新定义判断即可；（2）求出x2+2bx+3的对称轴，令对称轴＝3即可；（3）对多项式进行配方，根据新定义判定即可．【解答】解：（1）x2﹣4x+6＝（x﹣2）2+2，则多项式关于x＝2对称，故答案为：2；（2）∵x2+2bx+3＝（x+b）2+3﹣b2，∴关于x的多项式x2+2bx+3关于x＝﹣b对称，∴﹣b＝3，∴b＝﹣3；（3）原式＝（x+4）2（x﹣2）2＝[（x+4）（x﹣2）]2＝（x2+2x﹣8）2＝[（x+1）2﹣9]2＝[（x+1+3）（x+1﹣3）]2＝（x+4）2（x﹣2）2，当x＝﹣4和2时，原式＝0，∴关于x＝﹣1对称，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了配方法的应用，能够对多项式进行配方，根据新定义判断出对称轴是解题的关键．24．（6分）（2020秋•海淀区期末）已知△ABC是等边三角形，点D在射线BC上（与点B，C不重合），点D关于直线AC的对称点为点E，连接AD，AE，CE，DE．（1）如图1，当点D为线段BC的中点时，求证：△ADE是等边三角形；（2）当点D在线段BC的延长线上时，连接BE，F为线段BE的中点，连接CF．根据题意在图2中补全图形，用等式表示线段AD与CF的数量关系，并证明．。

北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题(含解析)

北京市朝阳区2020届高三数学上学期期末考试试题（含解析）第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项1.在复平面内,复数对应的点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【详解】解：复数i（2+i）＝2i﹣1对应的点的坐标为（﹣1,2）,故选：C【点睛】本题考查了复数的运算法则、几何意义,考查了推理能力与计算能力,属于基础题．2.已知,,,则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用中间量隔开三个值即可.【详解】∵,,,∴,故选：D【点睛】本题考查实数大小的比较,考查幂指对函数的性质,属于常考题型.3.已知双曲线的离心率为,则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据题意,得双曲线的渐近线方程为y＝±x,再由双曲线离心率为2,得到c＝2a,由定义知b a,代入即得此双曲线的渐近线方程．【详解】解：∵双曲线C方程为：1（a＞0,b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y＝±x又∵双曲线离心率为2,∴c＝2a,可得b a因此,双曲线的渐近线方程为y＝±x故选：B．【点睛】本题给出双曲线的离心率,求双曲线的渐近线方程,着重考查了双曲线的标准方程与基本概念,属于基础题．4.在中,若,,,则角的大小为（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到结果.【详解】解：∵b＝3,c,C,∴由正弦定理,可得,可得：sin B,∵c＜b,可得B或,故选：D．点睛】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用,考查计算能力,属于基础题．5.从名教师和名学生中,选出人参加“我和我的祖国”快闪活动．要求至少有一名教师入选,且入选教师人数不多于入选学生人数,则不同的选派方案的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由题意可分成两类：一名教师和三名学生,两名教师和两名学生,分别利用组合公式计算即可.【详解】由题意可分成两类：（1）一名教师和三名学生,共；（2）两名教师和两名学生,共；故不同的选派方案的种数是.故选：C【点睛】本题考查组合的应用,是简单题,注意分类讨论、正确计算即可．6.已知函数,则（）A. 是奇函数,且在上单调递增B. 是奇函数,且在上单调递减C. 是偶函数,且在上单调递增D. 是偶函数,且在上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性的定义以及单调性的性质判断即可．【详解】函数的定义域为R,,即,∴是偶函数,当时,,为增函数,为减函数,∴在上单调递增,故选：C【点睛】本题考查了函数的奇偶性以及函数的单调性问题,考查推理能力,是一道中档题．7.某三棱锥的三视图如图所示,已知网格纸上小正方形的边长为1,则该几何体的体积为A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意把三棱锥放入棱长为2的正方体中,得出三棱锥的形状,结合图形,求出该三棱锥的体积．【详解】解：根据题意,把三棱锥放入棱长为2的正方体中,是如图所示的三棱锥P﹣ABC, ∴三棱锥P﹣ABC的体积为：,故选：A【点睛】本题考查了利用三视图求空间几何体体积的应用问题,考查空间想象能力,是基础题．8.设函数,则“”是“有且只有一个零点”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【分析】有且只有一个零点的充要条件为,或,从而作出判断. 【详解】f（x ）＝, f′（x）＝3x2﹣3＝3（x+1）（x﹣1）, 令f′（x）＞0,解得：x＞1或x＜﹣1, 令f′（x）＜0,解得：﹣1＜x＜1, ∴在,上单调递增,在上单调递减,且,,若有且只有一个零点,则,或∴“”是“有且只有一个零点”的充分而不必要条件,故选：A【点睛】本题考查充分性与必要性,同时考查三次函数的零点问题,考查函数与方程思想,属于中档题.9.已知正方形的边长为,以为圆心的圆与直线相切.若点是圆上的动点,则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建立平面直角坐标系,圆的方程为：,,利用正弦型函数的性质得到最值.【详解】如图,建立平面直角坐标系,则,,,圆的方程为：,∴,∴,,∴∴时,的最大值是8,【点睛】本题考查了向量的坐标运算、点与圆的位置关系,考查了,考查了正弦型函数的性质,考查推理能力与计算能力,属于中档题．10.笛卡尔、牛顿都研究过方程,关于这个方程的曲线有下列说法：①该曲线关于轴对称；②该曲线关于原点对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数．其中正确的是（）A. ②③B. ①④C. ③D. ③④【答案】C【解析】【分析】以﹣x代x,以﹣x代x,﹣y代y,判断①②的正误,利用方程两边的符号判断③的正误,利用赋值法判断④的正误.【详解】以﹣x代x,得到,方程改变,不关于轴对称；以﹣x代x,﹣y代y,得到,方程改变,不关于对称；当时,显然方程不成立,∴该曲线不经过第三象限；令,易得,即适合题意,同理可得适合题意,∴该曲线上有且只有三个点的横、纵坐标都是整数是错误的,故选：C【点睛】本题考查曲线与方程,考查曲线的性质,考查逻辑推理能力与转化能力,属于中档题．第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题,每小题4分,共24分11.的展开式中的常数项为______.【答案】24【解析】【分析】先求出二项式展开式通项公式,再令,求出代入运算即可得解.【详解】解：由二项式展开式通项公式为, 令,解得,即展开式中的常数项为,故答案为24.【点睛】本题考查了二项式定理,重点考查了二项式展开式通项公式,属基础题.12.已知等差数列的公差为,若,,成等比数列,则_______；数列的前项和的最小值为_____．【答案】 (1). (2).【解析】【分析】运用等比数列中项的性质和等差数列的通项公式,解方程可得首项,即可得到a2,再由等差数列的求和公式,结合二次函数的最值求法,即可得到所求最小值．【详解】解：等差数列{a n}的公差d为2,若a1,a3,a4成等比数列,可得a32＝a1a4,即有（a1+2d）2＝a1（a1+3d）,化为a1d＝﹣4d2,解得a1＝﹣8,a2＝﹣8+2＝﹣6；数列{a n}的前n项和S n＝na1n（n﹣1）d＝﹣8n+n（n﹣1）＝n2﹣9n＝（n）2,当n＝4或5时,S n取得最小值﹣20．故答案为：﹣6,﹣20．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用,考查等比数列中项的性质,以及二次函数的最值的求法,考查运算能力,属于中档题．13.若顶点在原点的抛物线经过四个点,,,中的2个点,则该抛物线的标准方程可以是________．【答案】或【解析】【分析】分两类情况,设出抛物线标准方程,逐一检验即可.【详解】设抛物线的标准方程为：,不难验证适合,故；设抛物线的标准方程为：,不难验证适合,故；故答案为：或【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法,考查待定系数法,考查计算能力,属于基础题. 14.春天即将来临,某学校开展以“拥抱春天,播种绿色”为主题的植物种植实践体验活动．已知某种盆栽植物每株成活的概率为,各株是否成活相互独立．该学校的某班随机领养了此种盆栽植物10株,设为其中成活的株数,若的方差,,则________．【答案】【解析】【分析】由题意可知：,且,从而可得值．【详解】由题意可知：∴,即,∴故答案为：【点睛】本题考查二项分布的实际应用,考查分析问题解决问题的能力,考查计算能力,属于中档题．15.已知函数的定义域为,且,当时,．若存在,使得,则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】由f（x +）＝2f（x）,得f（x）＝2f（x ﹣）,分段求解析式,结合图象可得m的取值范围．【详解】解：∵,∴,∵当时,．∴当时,．当时,．当时,．作出函数的图象：令,解得：或, 若存在,使得,则, 故答案为：【点睛】本题考查函数与方程的综合运用,训练了函数解析式的求解及常用方法,考查数形结合的解题思想方法,属中档题．16.某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层玻璃厚度（每层玻璃的厚度相同）及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响,利用热传导定律得到热传导量满足关系式：,其中玻璃的热传导系数焦耳/（厘米度）,不流通、干燥空气的热传导系数焦耳/（厘米度）, 为室内外温度差．值越小,保温效果越好．现有4种型号的双层玻璃窗户,具体数据如下表：型号每层玻璃厚度（单位：厘米）玻璃间夹空气层厚度（单位：厘米）A型B型C 型D 型则保温效果最好的双层玻璃的型号是________型．【答案】【解析】【分析】分别计算4种型号的双层玻璃窗户的值,根据值越小,保温效果越好．即可作出判断. 【详解】A型双层玻璃窗户：,B型双层玻璃窗户：,C型双层玻璃窗户：,D 型双层玻璃窗户：,根据,且值越小,保温效果越好．故答案为：B【点睛】本题以双层玻璃窗户保温效果为背景,考查学生学生分析问题解决问题的能力,考查计算能力.三、解答题共6小题,共86分。

2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题含解析

2024届北京市高一数学第一学期期末经典试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的 1．如图，在等腰梯形ABCD 中，222CD AB EF a ===，,E F 分别是底边,AB CD 的中点，把四边形BEFC 沿直线EF 折起使得平面BEFC ⊥平面ADFE .若动点P ∈平面ADFE ，设,PB PC 与平面ADFE 所成的角分别为12,θθ（12,θθ均不为0）.若12=θθ，则动点P 的轨迹围成的图形的面积为A.214a B.249a C.214a π D.249a π 2．设1153a =，1315b =，151log 3c =，则,,a b c 的大小关系是（）A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.c b a <<3．设定义在R 上的函数()f x 满足：当12x x <时，总有()()122122xxf x f x <，且()12f =，则不等式()2xf x >的解集为（） A.(),1-∞ B.()1,+∞ C.()1,1-D.()(),11,-∞+∞4．工艺扇面是中国书面一种常见的表现形式.某班级想用布料制作一面如图所示的扇面.已知扇面展开的中心角为120︒，外圆半径为40cm ，内圆半径为20cm .则制作这样一面扇面需要的布料为（）2cm .A.4003πB.400πC.800πD.7200π5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（） A.{}33x x -<< B.{1x x <-或}5x > C.{3x x <-或}3x > D.{5x x <-或}1x >6．已知()3sin 5απ-=，则cos2=α（） A.－925 B.925C.－725 D.7257．设函数()()()sin cos f x a x b x παπβ=+++，其中a ，b ，α，β都是非零常数，且满足()120193f =-，则()2020f =（）A.3-B.13-C.13D.38．下列所给出的函数中，是幂函数的是 A.3y x =- B.3y x -= C.32y x =D.31y x =-9．已知命题“x R ∃∈，使()212102x a x +-+≤”是假命题，则实数a 的取值范围是（） A.1a <- B.13a -<< C.3a >-D.31a -<<10．函数f （x ）=ln x +3x -4的零点所在的区间为（） A.()0,1 B.()1,2 C.()2,3D.()2,4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

2020届北京市西城区高三上学期期末考试数学试题(解析版)

3.在中,若 ,则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形内角和求出角 ,再根据正弦定理即可求出边．
【详解】因为 ,所以根据正弦定理知, ,即 ,解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查已知三角形两角和一边,利用正弦定理解三角形,属于基础题．
4.设 ,且则下列不等式中一定成立的是（）
10.已知向量满足 ,其中 ,那么 _____________
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量平行的坐标表示求出 ,再根据向量模的坐标计算公式即可求出．
【详解】因为 ,所以 ,解得．
因此．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示以及向量模的坐标计算公式的应用,属于基础题．
11.在公差为的等差数列中, ,且成等比数列,则 ______________
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据函数的单调性可知, ,即得 ,故可知是方程的两个不同非负实根,由根与系数的关系即可求出．
【详解】根据函数的单调性可知, ,即可得到 ,即可知是方程的两个不同非负实根,所以 ,解得．
故选：D．
【点睛】本题主要考查函数的单调性的应用以及一元二次方程的根与系数的关系应用,意在考查学生的转化能力,属于中档题．
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.在的展开式中, 的系数为___________.
【答案】10
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项,赋值即可求出．
【详解】展开式通项为 ,令 ,所以的系数为．

北京市2022年高三数学理试卷分类汇编(含9区一模及上学期年末试卷)专项：排列、组合、二项式定理

北京市2022年高三数学理试卷分类汇编（含9区一模及上学期年末试卷）专项：排列、组合、二项式定理一、选择题1 ．（2020届北京海边一模理科）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A．12种B．15种C．17种D．19种2 ．（2020届北京市延庆县一模数学理）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A．420 B．560 C．840 D．202103 ．（2020届北京西城区一模理科）从甲、乙等5名理想者中选出4名，分别从事A，B，C，D四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A工作，则不同的工作分配方案共有（）A．60种B．72种C．84种D．96种4 ．（2020届门头沟区一模理科）有4名优秀学生A．B．C．D全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A生不去甲校，则不同的保送方案有（）(A) 24种 (B) 30种(C) 36种 (D) 48种5 ．（北京市顺义区2020届高三第一次统练数学理科试卷（解析））从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中偶数的个数为（）A．36 B．30 C．24 D．126 ．（北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学理试题）在高三（1）班进行的演讲竞赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.假如2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为（）A．24 B．36 C．48 D．607 ．（【解析】北京市朝阳区2020届高三上学期期末考试数学理试题）某中学从4名男生和3名女生中举荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A ．140种B ．120种C ．35种D ．34种8 ．（【解析】北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题）用数字0,1,2,3组成数字能够重复的四位数, 其中有且只有一个数字显现两次的四位数的个数为（）A ．144B ．120C ．108D ．729 ．（【解析】北京市石景山区2020届高三上学期期末考试数学理试题）若从1,2,3, (9)9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不同的取法共有（）A ．60种B ．63种C ．65种D ．66种二、填空题10．（2020届东城区一模理科）有甲、乙、丙在内的6个人排成一排照相，其中甲和乙必须相邻，丙不排在两头，则如此的排法共有种．11．（2020届房山区一模理科数学）在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能在第一或最后一步实施，程序B 和C 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有种.(用数字作答)12．（北京市东城区一般高中示范校2020届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）有6名同学参加两项课外活动，每位同学必须参加一项活动且不能同时参加两项，每项活动最多安排4人，则不同的安排方法有________种．（用数字作答）13．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题）由1、2、3、4、5组成的无重复数字的五位数中奇数有个.14．（北京市房山区2020届高三上学期期末考试数学理试题）5)1(+x 的展开式中x 的系数是 .（用数字作答）15．（【解析】北京市海淀区2020届高三上学期期末考试数学理试题）在261(3)x x+的展开式中，常数项为______.(用数字作答)16．（北京市东城区一般校2020届高三3月联考数学（理）试题）在6)11(x+的展开式中，含1x项的系数是________.（用数字作答）17．（2020届东城区一模理科）262()x x+的展开式中3x 的系数是．18．（2020届北京大兴区一模理科）设5260126(1)(12)x x a a x a x a x ，则2a 。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)3

【答案】A
15．设 Sn 为等差数列an 的前 n 项和，若 3S3 S2 S4 ， a1 2 ，则 a5
A． 12
B． 10
C．10
D．12
【来源】2018 年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标 I 卷)
【答案】B
16．若圆的半径为 4，a、b、c 为圆的内接三角形的三边，若 abc＝16 2 ，则三角形的
b
c
a
A．都大于 2
B．都小于 2
C．至少有一个不大于 2
D．至少有一个不小于 2
【来源】2015-2016 湖南常德石门一中高二下第一次月考文科数学卷（带解析)
【答案】D
5． ABC 中， A 、 B 、 C 的对边的长分别为 a 、 b 、 c ，给出下列四个结论： ①以 1 、 1 、 1 为边长的三角形一定存在；
人教版数学高三期末测试精选（含答案)
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题
1．在 ABC 中， a 2 3 0°或150
B． 60 或120
A．等腰直角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
【来源】2013-2014 学年河南省郑州一中高二上学期期中考试文科数学试卷（带解析)
【答案】C
21．在△ABC 中，如果 sin A : sin B : sin C 2 : 3 : 4 ，那么 cosC 等于（）
2
A．
3
B． 2 3
【答案】D
10．在锐角 ABC 中，a ，b ，c 分别是角 A ，B ，C 的对边，a b cosC 3 c sin B ， 3

2020届海淀区高三期中数学试卷及答案

海淀区高三年级第一学期期中练习数学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。

人教版数学高三期末测试精选(含答案)4

人教版数学高三期末测试精选（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第19项为（）（注：2222(1)(21)1236n n n n ++++++=L ）A ．1624B ．1024C ．1198D ．1560【来源】2020届湖南省高三上学期期末统测数学（文)试题【答案】B2．在ABC ∆中，若222sin sin sin A B C +＜，则ABC ∆的形状是( ) A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形D ．不能确定【来源】海南省文昌中学2018-2019学年高一下学期段考数学试题【答案】A3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ﹣b ＝c cos B ﹣c cos A ，则△ABC 的形状为（） A ．等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】D4．已知圆C 1：（x +a ）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣b ）2+（y ﹣2）2=4相外切，a ，b 为正实数，则ab 的最大值为( )A ．B ．94C ．32D ．2【来源】安徽省安庆市五校联盟2018-2019学年高二（上)期中数学（理科)试题【答案】B5．已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（）【来源】甘肃省兰州市第一中学2016-2017学年高二下学期期末考试数学（文)试题【答案】A6．《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是 ( ) A ．116B ．103C ．56D ．53【来源】湖南省湘南三校联盟2018-2019学年高二10月联考文科数学试卷【答案】D7．若ABC ∆的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则ABC ∆（） A ．一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形【来源】广东省中山市第一中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学试题【答案】C8．若不等式22log (5)0x ax -+>在[4,6]x ∈上恒成立，则a 的取值范围是( )A ．(,4)-∞）B ．20(,)3-∞ C ．(,5)-∞D ．29(,)5-∞【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】C9．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案：每次均加30升的燃油；第二种方案，每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（） A ．采用第一种方案划算 B ．采用第二种方案划算 C ．两种方案一样D ．无法确定【来源】2020届广东省珠海市高三上学期期末数学（文)试题【答案】B10．已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，23434a a a +=，则5S =（）【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】A11．在ABC ∆中3AB =，5BC =，7AC =，则边AB 上的高为( )A B C D 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B12．不等式220ax bx ++>的解集是()1,2-，则a b -=( ) A ．3-B ．2-C ．2D ．3【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B13．各项均为正数的数列{}n a ，其前n 项和为n S ，若224n n n a S a -=，则2019S 为( )A ．BC ．2019D ．4038【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A14．设m ，n 为正数，且2m n +=，则2312m n m n +++++的最小值为( ) A ．176B ．145 C ．114D ．83【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且314n n S a +=，则使不等式1000成立的n 的最大值为( )A ．7B ．8C ．9D ．10【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C16．ABC ∆中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若1a =，b =4B π=，则A =( )A ．6π B ．56π C ．6π或56πD ．23π【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】A17．等差数列{}n a 前n 项和为n S ，已知46a =，36S =,则（） A ．410n a n =-B ．36n a n =-C ．2n S n n =-D ．224n S n n =-【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题【答案】C18．在等差数列{}n a 中，652a a =，则17a a +=（） A ．0B ．1C ．2-D ．3【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题【答案】A19．若0,0,a b c d >><<则一定有（） A ．a b c d> B ．a b c d< C ．a b d c> D ．a b d c< 【来源】2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（四川卷带解析) 【答案】D20．已知平面上有四点O ，A ，B ，C ，向量,,OA OB OC u u u r u u u r u u u r 满足：0OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r1OA OB OB OC OC OA ⋅=⋅=⋅=-u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v，则△ABC 的周长是( )A ．B ．C ．3D ．6【来源】福建省晋江市季延中学2017-2018学年高一下学期期末考试数学试题【答案】A21．在ABC ∆中，60A =︒，1b =，则sin sin sin a b c A B C ++++的值为（）A ．1B ．2C D ．【来源】辽宁省实验中学分校2016-2017学年高一下学期期末数学(文)试题【答案】B二、填空题22．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【来源】2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷) 【答案】923．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知5a ＝8b ，A ＝2B ，则sin B ＝_____．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】3524．如图,为测得河对岸塔AB 的高,先在河岸上选一点C,使C 在塔底B 的正东方向上,测得点A 的仰角为60°,再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D,测得∠BDC ＝45°,则塔AB 的高是_____.【来源】2014届江西省南昌大学附属中学高三第三次月考理科数学试卷（带解析) 【答案】1025．设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2…a n 的最大值为．【来源】智能测评与辅导[文]-等比数列【答案】6426．设x ，y 满足约束条件20260,0x y x y x y +-≥⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，则23z x y =-+的最小值是______.【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】9-27．已知数列{}n a 是等差数列，且公差0d <，()11a f x =+，20a =，()31a f x =-，其中()242f x x x =-+，则{}n a 的前10项和10S =________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】70-28．若x ，y 满足约束条件22020x x y x y ≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则3z x y =-的最小值为________.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】2-29．已知数列{}n a 满足11a =，()13N n n n a a n *+⋅=∈，那么数列{}n a 的前9项和9S =______.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（理)试题【答案】24130．设a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边.已知2cos cos a B C=，则222a cb ac+-的取值范围为______.【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】()()0,2U三、解答题31．如图，在平面四边形ABCD 中，BC ＝3，CD ＝5，DA 2=，A 4π=，∠DBA 6π=．（1）求BD 的长：（2）求△BCD 的面积．【来源】江苏省常州市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】（1）7；（2 32．近年来，中美贸易摩擦不断.特别是美国对我国华为的限制.尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步.华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲.今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机.通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且 210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-≥⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.（I ）求出2020年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；(II)2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【来源】湖北省四校（襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)2018-2019学年高一下学期期中联考数学试题【答案】（Ⅰ）210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++≥⎪⎩（Ⅱ）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元. 33．设集合A={x|x 2＜9}，B={x|（x-2）（x+4）＜0}．（1）求集合A∩B ；（2）若不等式2x 2+ax+b ＜0的解集为A ∪B ，求a ，b 的值．【来源】2013-2014学年广东阳东广雅、阳春实验中学高二上期末文数学卷（带解析) 【答案】（1）{x |3x 2}-＜＜（2）2,24a b ==- 34．已知数列{}n a 满足11a =，()111n n n a na n ++-=+. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）n S 为数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，求证：223n S ≤<. 【来源】2020届山西省吕梁市高三上学期第一次模拟考试数学（文)试题【答案】（1）12n n a +=（2）证明见解析 35．在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积. 【来源】2020届山东省滨州市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）6A π=；（2）见解析36．设函数()22sin cos 3x x f x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）若0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求()f x 的单调递增区间；（2）在ABC ∆中，1AB =，2AC =，()2f A =-，且A 为钝角，求sin C 的值. 【来源】2020届浙江省嘉兴市高三上学期期末考试数学试题【答案】（1）5,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦（2）1437．在四边形ABCD 中，120BAD ︒∠=，60BCD ︒∠=，1cos 7D =-，2AD DC ==.(1) 求cos DAC ∠及AC 的长； (2) 求BC 的长.【来源】2020届宁夏石嘴山市第三中学高三上学期期末考试数学（文)试题【答案】(1) cos 7DAC ∠=，7AC =；(2) 3 38．在ABC V 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c bB A b-=.（1）求A ；（2）设5b =，ABC S =V 若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长. 【来源】2020届福建省莆田市（第一联盟体)学年上学期高三联考文科数学试题【答案】（1）3π；（239．在ABC ∆中，45,B AC ︒∠==cos C =. （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长.【来源】北京101中学2018-2019学年下学期高一年级期中考试数学试卷【答案】（1）（240．已知函数2()2()f x x mx m R =-++∈，()2x g x =. （1）当2m =时，求2()(log )f x g x >的解集；（2）若对任意的1[1,1]x ∈-，存在2[1,1]x ∈-，使不等式12()()f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.【来源】重庆市七校(渝北中学、求精中学)2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】（1）(0,2)（2）11[,]22-41．已知1x =是函数2()21g x ax ax =-+的零点，()()g x f x x=. （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若不等式(ln )ln 0f x k x -≥在2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦上恒成立，求实数k 的取值范围；（Ⅲ）若方程()3213021xxf k k ⎛⎫⎪-+-= ⎪-⎝⎭有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围.【来源】天津市滨海新区2018-2019学年高一上学期期末检测数学试题【答案】(Ⅰ)1；(Ⅱ)(],0-∞；(Ⅲ)103k -<<．42．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，cos sin C c B =．（1）求角C 的大小（2）若c =ABC ∆的面积为，求ABC ∆的周长．【来源】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文)试题【答案】（Ⅰ）3C π=．（Ⅱ）10+43．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，523a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若等比数列{}n b 满足13b =，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和n S . 【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n a n =-；(2) 1332n n S +-= 44．对于正项数列{}n a ，定义12323nn a a a na G n+++⋅⋅⋅+=为数列{}n a 的“匀称”值.(1)若当数列{}n a 的“匀称”值n G n =，求数列{}n a 的通项公式； (2)若当数列{}n a 的“匀称”值2n G =，设()()128141n n nb n a +=--，求数列{}n b 的前2n 项和2n S 及2n S 的最小值.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1) 21n n a n -=；(2)21141n S n =-+，4545．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2sin tan c B b C =.(1)求角C 的值；(2)若c =3a b =，求ABC ∆的面积.【来源】重庆市松树桥中学2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】(1)3C π=，(2)ABC S ∆=46．在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足1cos cos a cB C b b-=-. （1）求角C 的大小；（2）若2c =，a b +=ABC V 的面积.【来源】2020届安徽省芜湖市高三上学期期末数学（文)试题【答案】（1）3C π=；（2）447．已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin cos a B A =. （1）求A ；（2）若a =，ABC V 的面积为ABC V 的周长.【来源】2020届福建省三明市高三上学期期末质量检测文科数学试题试卷第11页，总11页【答案】（1）3A π=（2）7+48．在正项数列{}n a中，11a =，()()2211121n n n n a a a a ++-=-，1n n nb a a =-. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式；（2）求数列(){}22n n n a b -的前n 项和nT . 【来源】2020届吉林省通化市梅河口市第五中学高三上学期期末数学（理)试题【答案】（1）22n n a +=，2n n b =，（2）()()13144219n n n T n n +-+=++49．在ABC ∆中，10a b +=，cos C 是方程22320x x --=的一个根，求ABC ∆周长的最小值。

北京市海淀区2020届高三第二学期期末考试(二模)试题数学【解析版】

北京市海淀区2020届高三第二学期期末考试（二模）试题数学【解析版】一、选择题.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.若全集U =R ，{|1}A x x =<，{|1}B x x =>-，则（） A. A B ⊆ B. B A ⊆C. U B C A ⊆D. U C A B ⊆【答案】D 【解析】【分析】计算{}1U C A x x =≥，再依次判断每个选项得到答案.【详解】U =R ，{|1}A x x =<，{|1}B x x =>-，则{}1U C A x x =≥，故U C A B ⊆，D 正确；A B ⊄且B A ⊄，U B C A ⊄，ABC 错误；故选：D.【点睛】本题考查了集合的包含关系，补集运算，属于简单题. 2.下列函数中，值域为[0,)+∞且为偶函数的是（） A. 2yx B. |1|y x =-C. cos y x =D. ln y x =【答案】A 【解析】【分析】由题意结合函数奇偶性与函数的值域分别进行检验，即可得解．【详解】对于A ，由()22x x -=可得函数2yx 为偶函数，且2yx 的值域为[)0,+∞，故A 正确；对于B ，由11x x --=+可得|1|y x =-为非奇非偶函数，故B 错误；对于C ，函数cos y x =的值域为[]1,1-，故C 错误；对于D ，函数ln y x =的值域为(),-∞+∞，故D 错误. 故选：A.3.若抛物线212y x =的焦点为F ，点P 在此抛物线上且横坐标为3，则||PF 等于（） A. 4 B. 6C. 8D. 10【答案】B 【解析】【分析】直接利用抛物线焦半径公式得到答案. 【详解】根据题意：63622p PF x =+=+=. 故选：B.【点睛】本题考查了抛物线焦半径公式，属于简单题.4.已知三条不同的直线l ，m ，n 和两个不同的平面αβ，，下列四个命题中正确的为（） A. 若//m α，//n α，则//m n B. 若//l m ，m α⊂，则//l α C. 若//l α，//l β，则//αβ D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥【答案】D 【解析】【分析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. 若//m α，//n α，则//m n ，或,m n 相交，或,m n 异面，A 错误； B. 若//l m ，m α⊂，则//l α或l α⊂，B 错误； C. 若//l α，//l β，则//αβ或,αβ相交，C 错误； D. 若//l α，l β⊥，则αβ⊥，D 正确.故选：D. 【点睛】本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的推断能力和空间想象能力. 5.在ABC 中，若7a =，8b =，1cos 7B =-，则A ∠的大小为（） A.6πB.4π C.3π D.2π 【答案】C 【解析】根据同角三角函数关系得到43sin 7B =，再利用正弦定理得到答案. 【详解】1cos 7B =-，,2B ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故243sin 1cos B B =-=，根据正弦定理：sin sin a b A B =，故43737sin 8A ⨯==，0,2A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故3A π=. 故选：C.【点睛】本题考查了同角三角函数关系，正弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6.将函数()sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A. sin 26xB. 2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C. cos2xD. cos2x -【答案】C 【解析】【分析】由题意结合函数图象平移的规律及诱导公式即可得解. 【详解】由题意()sin 2sin 2cos 2362g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的图象变换与诱导公式的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 7.某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该三棱锥的体积为（）A.23B.43C. 2D. 4【解析】【分析】如图所示：三棱锥1C BDE -为三视图对应几何体，计算体积得到答案.【详解】如图所示：在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为CD 中点，则三棱锥1C BDE -为三视图对应几何体.111121223323BDE V S CC =⋅=⨯⨯⨯⨯=△.故选：A.【点睛】本题考查了根据三视图求体积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 8.对于非零向量a ，b ，“2()2a b a a +⋅=”是“a b =”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】分别判断充分性和必要性：取2b a =，,3a b π=，满足2()2a b a a +⋅=，而a b ≠；a b =时，2()2a b a a +⋅=，得到答案.【详解】2()2a b a a +⋅=，则222a a b a +⋅=，即2a b a ⋅=，取2b a =，,3a b π=，此时满足2()2a b a a +⋅=，而a b ≠；当a b =时，2()2a b a a +⋅=.故“2()2a b a a +⋅=”是“a b =”的必要而不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的计算能力和推断能力.9.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（）25B.555 D. 25【答案】C 【解析】【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解. 【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，所以11B F BF ==,2DO BO OC ===，11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=223OF OB BF =+2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由OCOF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ，又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.10.为了预防新型冠状病毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离．某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一行、每一列均不能有连续三人就座．例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中“√”表示就座人员）．根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为（）A. 9B. 10C. 11D. 12【答案】C 【解析】【分析】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人，排除12人的情况，将11人的情况作图得到答案. 【详解】考虑每一列最多有3个人，故最多有12个人；若人数为12，则每一列的空位置必须在2行或者第3行，则会产生第1行和第4行有连续的3个人，不满足；而11个人满足，如下图：故选：C.【点睛】本题考查了逻辑推理，意在考查学生的理解能力和推理能力.第二部分（非选择题）二、填空题.11.若复数(2)()i a i -+为纯虚数，则实数a =______．【答案】12-【分析】由题意结合复数的乘法运算可得()()(2)()212i a i a a i -+=++-，再由纯虚数的概念即可得解. 【详解】由题意()()(2)()212i a i a a i -+=++-，由复数(2)()i a i -+为纯虚数可得21020a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-.故答案为：12-. 【点睛】本题考查了复数的运算及纯虚数的概念，考查了运算求解能力，关键是对于概念的掌握，属于基础题.12.已知双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，且焦距大于4，则双曲线E 的标准方程可以为______．（写出一个即可）【答案】22133y x -=（满足(2212x y λλλ-=>或)2λ<-即可）. 【解析】【分析】由题意结合双曲线的渐近线可设双曲线E 的标准方程为()2210x y λλλ-=≠，按照0λ>、0λ<讨论，结合双曲线的焦距分别求得λ的取值范围即可得解. 【详解】双曲线E 的一条渐近线方程为y x =，∴设双曲线E 的标准方程为()2210x y λλλ-=≠，当0λ>时，该双曲线的焦距为22λ224λ>，解得2λ>；当0λ<时，该双曲线的焦距为2λ-224λ->，解得2λ<-；∴双曲线的标准方程为(2212x y λλλ-=>或)2λ<-，令3λ=可得双曲线的标准方程为22133y x -=.故答案为：22133y x -=（满足(2212x y λλλ-=>或)2λ<-即可）. 【点睛】本题考查了双曲线性质的应用，考查了运算求解能力，关键是对于双曲线相关概念的熟练应用，属于基础题.13.数列{}n a 中，12a =，12n n a a +=，*n N ∈．若其前k 项和为126，则k =______．【答案】6 【解析】【分析】直接利用等比数列求和公式得到答案.【详解】根据题意{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列，故11222212612kk k S +-==-=-，解得6k =. 故答案为：6.【点睛】本题考查了等比数列求和，属于简单题.14.已知点(2,0)A ，(1,2)B ，(2,2)C ，AP AB AC =-，O 为坐标原点，则AP =______，OP 与OA 夹角的取值范围是______．【答案】 (1). 1 (2). 06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】由题意结合平面向量的相关知识可得1AP AB AC CB =-==，即可得点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，结合平面向量夹角的概念数形结合即可得解. 【详解】由题意可得()1,0AB AC CB -==-，所以1AP AB AC CB =-==；则点P 在以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆上，如图：由图可知，当OP 与OA 夹角最小值为0，当直线OP 与圆A 相切时，OP 与OA 夹角取最大值，连接AP ，易得POA ∠为锐角且1sin 2AP POA OA ∠==，所以6POA π∠=，所以此时OP 与OA 夹角的取值范围是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为：1；06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查了平面向量线性运算及其坐标表示、平面向量模的求解，考查了平面向量夹角的概念与数形结合思想，属于中档题.15.已知函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，给出下列三个结论：①当2a =-时，函数()f x 的单调递减区间为(,1)-∞； ②若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞；③若1a <且0a ≠，则b R ∃∈，使得函数()y f x b =-.恰有3个零点1x ，2x ，3x ，且1231x x x =-．其中，所有正确结论的序号是______．【答案】②③【解析】【分析】由题意结合函数单调性的概念举出反例可判断①；画出函数的图象数形结合即可判断②；由题意结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，进而可得11b x a -=，2b x e -=，3bx e =，令111b x a-==-验证后即可判断③；即可得解.【详解】对于①，当2a =-时，由201e -<<，22(0)1()ln 2f f e e--=<==，所以函数()f x 在区间(,1)-∞不单调递减，故①错误；对于②，函数1,0()ln ,0ax x f x x x +≤⎧=⎨>⎩可转化为1,0()ln ,01ln ,1ax x f x x x x x +≤⎧⎪=-<≤⎨⎪>⎩，画出函数的图象，如图：由题意可得若函数()f x 无最小值，则a 的取值范围为(0,)+∞，故②正确；对于③，令()0y f x b =-=即()f x b =，结合函数图象不妨设12301x x x <<<<，则1231ln ln ax x x b +=-==，所以11b x a -=，2b x e -=，3bx e =，所以231b b x x e e -⋅=⋅=，令111b x a-==-即1b a =-+，当0a <时，11b a =-+>，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意；当01a <<时，011b a <=-+<，()0y f x b =-=存在三个零点，且1231x x x =-，符合题意；故③正确.故答案为：②③.【点睛】本题考查了分段函数单调性、最值及函数零点的问题，考查了运算求解能力与数形结合思想，合理使用函数的图象是解题的关键，属于中档题.三、解答题.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16.已知{}n a 是公差为d 的无穷等差数列，其前n 项和为n S ．又______，且540S =，是否存在大于1的正整数k ，使得1k S S =？若存在，求k 的值；若不存在，说明理由．从①14a =，②2d =-这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】见解析【解析】【分析】选①14a =时，根据求和公式得出2d =，再由求和公式得出234k k +=，求解即可得出结论；选②2d =-时，根据求和公式得出112a =，进而得出213k S k k =-+，解方程21312k k -+=，即可得出结论；【详解】选①14a = ∵{}n a 是等差数列 ∴1(1)2n n n S na d -=+∵14a =，540S = ∴5201040S d =+= ∴2d =∵23k S k k =+，114S a ==∵1k S S = ∴234k k +=(1)(4)0k k -+=∴1k =或4k =-（舍去）∴不存在1k >，使得1k S S = 选②2d =- ∵{}n a 是等差数列 ∴1(1)2n n n S na d -=+∵2d =-，540S = ∴112a =∴213k S k k =-+，1112S a ==∵1k S S = ∴21312k k -+=(12)(1)0k k --=∴1k =或12k = ∵121k =>∴存在1k >，使得1k S S =【点睛】本题主要考查了等差数列前n 项和基本量的计算，属于中档题.17.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//BC AD ，90ADC ∠=︒，112BC CD AD ===，E 为线段AD 的中点，PE ⊥底面ABCD ，点F 是棱PC 的中点，平面BEF 与棱PD 相交于点G ．（1）求证：//BE FG ；（2）若PC 与AB 所成的角为4π，求直线PB 与平面BEF 所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）23【解析】【分析】（1）首先证明四边形BCDE 为平行四边形，得到//BE CD ，然后可得//BE 平面PDC ，然后由线面平行的性质定理可证//BE FG ；（2）以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立空间直角坐标系，设(0,0,)P p ，首先利用PC与AB 所成的角为4π求出2p =，然后算出平面BEF 的法向量坐标和PB 的坐标，然后可算出答案. 【详解】（1）证明：因为E 为AD 中点，且12BC AD =所以DE BC =，又因为//AD BC ，所以//DE BC 所以四边形BCDE 为平行四边形所以//BE CD ，因为BE ⊄平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，所以//BE 平面PDC 因为BE ⊂平面BEGF ，平面BEGF ⋂平面PDC FG = 所以//BE FG（2）由（1）可得//BE CD因为90ADC ∠=︒，所以90AEB =︒∠，且PE ⊥平面ABCD所以以E 为原点，EA 为x 轴，EB 为y 轴，EP 为z 轴建立空间直角坐标系设(0,0,)P p ，A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(1,1,0)-PC (1,1,)p =--，(1,1,0)AB =-，因为PC 与AB 所成角为4π所以2 cos,2||||PC ABPC ABPC AB⋅==，(0)p>解得2p=所以(0,0,2)P，112,,222F⎛⎫-⎪⎪⎝⎭，(0,0,0)E(0,1,2)PB=-，(0,1,0)EB=，112,,222EF⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭设平面BEF得一个法向量(,,)n x y z=EB nEF n⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得122yx z=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，可取(2,0,1)n=设直线PB与平面BEF所成的角为α||2sin|cos,|3||||PB nPB nPB nα⋅=〈〉==【点睛】向量法是求立体几何中的线线角、线面角、面面角时常用方法，计算能力是解题的关键.18.为了推进分级诊疗，实现“基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动”的诊疗模式，某地区自2016年起全面推行家庭医生签约服务．已知该地区居民约为2000万，从1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示．为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了1000名年满18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2所示．（1）估计该地区年龄在71~80岁且已签约家庭医生的居民人数；（2）若以图2中年龄在71~80岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医生的概率，则从该地区年龄在71~80岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；（3）据统计，该地区被访者的签约率约为44%．为把该地区年满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高图2中哪个年龄段的签约率?并结合数据对你的结论作出解释．【答案】（1）56万，（2）0.42，（3）应着重提高31-50这个年龄段的签约率，见解析.【解析】【分析】（1）先由图1算出年龄在71-80岁的居民人数，然后由图2得到年龄在71-80岁的居民签约率，即可算出答案；（2）由图2得到年龄段在71-80的每个居民签约家庭医生的概率，然后即可算出答案；（3）根据图1算出每个年龄段的人数，然后结合签约率即可得到答案.【详解】（1）由题知该地区居民约为2000万，由图1知，该地区年龄在71-80岁的居民人数为0.00410200080⨯⨯=万.由图2知，年龄在71-80岁的居民签约率为0.7，所以该地区年龄在71-80岁且已签约家庭医生的居民人数为：800.756⨯=万.（2）由题知此地区年龄段在71-80的每个居民签约家庭医生的概率为0.7P=，且每个居民之间是否签约都是独立的，所以设“从该地区年龄在71-80岁居民中随机抽取两人”为事件B，随机变量为x，这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率为：()111210.70.30.42P x C==⨯=（3）由图1，2知：年龄段该地区人数（万）签约率%18-30 0.005102000100⨯⨯=0.018102000360⨯⨯=大于360，小于46030.331-40，41-50 (0.0210.016)102000740+⨯⨯=37.1 51-60 0.015102000300⨯⨯=55.7 61-70 0.010*********⨯⨯=61.7 71-80 0.00410200080⨯⨯=7080以上 (0.00250.0005)10200060+⨯⨯=75.8由以上数据可知这个地区在31-50这个年龄段的人为740万，基数较其他年龄段是最大的，且签约率为37.1%，非常低，所以为把该地区满18周岁居民的签约率提高到55%以上，应着重提高31-50这个年龄段的签约率. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用和概率的求法，考查了学生的阅读能力和计算能力，属于基础题.19.已知椭圆W ：22221x y a b +=(0)a b >>过(0,1)A ，(0,1)B -两点，离心率为32.（1）求椭圆W 的方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆W 的另一个交点为C ，直线l 交直线2y =于点M ，记直线BC ，BM 的斜率分别为12k k ，，求12k k 的值．【答案】（1）2214x y +=（2）1234k k =-【解析】【分析】（1）根据题意可得b ，由离心率可得,a c 关系，求解即可得到椭圆的标准方程；（2）设直线l : 1y kx =+，与直线方程联立求出C 的坐标，再求出M ，根据斜率公式即可求出. 【详解】（1）由题意可知22231c a b b c a ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎪⎩，解得213a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩ 所以椭圆W 的方程为2214x y +=.（2）由题意可知，直线l 斜率存在且不为0，设直线l ：1y kx =+，由22144y kx x y =+⎧⎨+=⎩得()224180k x kx ++= 所以2841C kx k -=+，在直线l ：1y kx =+中，令2y =，得1M x k =，即1,2M k ⎛⎫⎪⎝⎭所以2112241144c c c c c y kx k k k k x x x k k+++===+=-=- 2331k k k== 所以1213344k k k k =-⨯=-. 【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和椭圆的位置关系,直线的斜率公式，考查化简运算能力、推理能力,属于中档题.20.已知函数()(sin cos )xf x e x x =+．（1）求()f x 的单调递增区间；（2）求证：曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一条斜率为2的切线．【答案】（1）2,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈（2）见解析【解析】【分析】（1）根据函数解析式，求得导函数()f x '，令()0f x '>即可求得()f x 的单调递增区间；（2）曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一条斜率为2的切线，等价于在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上方程cos 1x e x =有唯一解，构造函数()cos xg x e x =，求得导函数()g x '，并判断()g x '的符号，确定()g x 的单调性与极值，从而判断出()0f x '=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点，即可证明结论.【详解】（1）函数()(sin cos )xf x e x x =+,x ∈R ，则()(sin cos )(cos sin )2cos xxxf x e x x e x x e x '=++-=，令()2cos 0xf x e x '=>得2,222x k k ππππ⎛⎫∈-+⎪⎝⎭，k Z ∈， ∴()f x 单调递增区间为2,222k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，k Z ∈ （2）原命题等价于：在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上，方程cos 1xe x =有唯一解，设()cos xg x e x =，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则()cos sin 2sin 4x x xg x e x e x e x π⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭此时，x ，()g x '，()g x 变化情况如下：x0,4π⎛⎫⎪⎝⎭ 4π ,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x ' +-()g x极大值此时，()g x 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且(0)1g =，42142g e ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，()g x 在,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，且02g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴()cos 1xg x e x ==在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个根， ()2cos 20x f x e x '=-=在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上存在唯一一个零点，∴曲线()y f x =在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上有且仅有一条斜率为2的切线. 【点睛】本题考查了由导函数判断函数的单调区间，函数零点、方程的根与函数单调性的综合应用，构造函数法分析函数的单调性与极值，属于中档题.21.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．对任意的点(,)P x y ，定义OP x y =+．任取点11()A x y ，，22()B x y ，，记12()A x y '，，21()B x y '，，若此时2222OA OB OA OB ''+≥+成立，则称点A ，B 相关．（1）分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； ①(2,1)A -，(3,2)B ；②(4,3)C -，(2,4)D ．（2）给定*n N ∈，3n ≥，点集{}(,),,,n x y n x n n y n x y Z Ω=-≤≤-≤≤∈．（i ）求集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；（ii ）若n S ⊆Ω，且对于任意的A ，B S ∈，点A ，B 相关，求S 中元素个数的最大值．【答案】（1）①相关；②不相关.（2）（i ）245n +个（ii ）81n -. 【解析】【分析】（1）根据所给定义，代入不等式化简变形可得对应坐标满足的关系，即可判断所给两个点的坐标是否符合定义要求.（2）（i ）根据所给点集，依次判断在四个象限内满足的点个数，坐标轴上及原点的个数，即可求得集合n Ω中与点(1,1)A 相关的点的个数；（ii ）由（1）可知相关点满足()()12120x x y y --≥，利用分类讨论证明()()11221x y x y +-+≥，即可求得S 中元素个数的最大值．【详解】若点()11,A x y ，()22,B x y 相关，则()12,A x y '，()21,B x y ，而OP x y =+，不妨设11220,0,0,0x y x y ≥≥≥≥，则由定义2222OA OBOA OB ''+≥+可知()()()()222211221221x y x y x y x y +++≥+++，化简变形可得()()12120x x y y --≥，（1）对于①(2,1)A -，(3,2)B ；对应坐标取绝对值，代入可知(23)(12)0--≥成立，因此相关； ②对应坐标取绝对值，代入可知(42)(34)0--<，因此不相关.（2）（i ）在第一象限内，(1)(1)0x y --≥，可知1x n ≤≤且1y n ≤≤，有2n 个点；同理可知，在第二象限、第三象限、第四象限也各有2n 个点.在x 轴正半轴上，点()1,0满足条件；在x 轴负半轴上，点()1,0-满足条件；在y 轴正半轴上，点()0,1满足条件；在y 轴负半轴上，点()0,1-满足条件；原点()0,0满足条件；因此集合n Ω中共有245n +个点与点(1,1)A 相关.（ii ）若两个不同的点()11,A x y ，()22,B x y 相关，其中1x ，20x ≥，1y ，20y ≥，可知()()12120x x y y --≥.下面证明()()11221x y x y +-+≥.若12x x =，则12y y ≠，成立；若12x x >，则12y y ≥，若12x x <，则12y y ≤，亦成立.由于()()1122()(00)2x y x y n n n +-+≤+-+=，因此最多有21n 个点两两相关，其中最多有21n -个点在第一象限；最少有1个点在坐标轴正半轴上，一个点为原点.因此S 中元素个数的最大值为4(21)21181n n -+⋅+=-.【点睛】本题考查了集合中新定义的应用，对题意的理解与分析能力的要求较高，属于难题.。

【数学】北京市海淀区2021-2022学年高一上学期期末考试试题(解析版)

北京市海淀区2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．已知集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．（0，1）C．（0，2）D．{0，1，2}2．命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”的否定为（）A．∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0B．∃x∈R，使得x2﹣x+3＞0C．∀x∈R，都有x2﹣x+3≤0D．∃x∉R，使得x2﹣x+3≤03．已知a＜b＜0，则（）A．a2＜b2B．＜C．2a＞2b D．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）4．已知函数f（x）＝﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）5．4×100米接力赛是田径运动中的集体项目，一根小小的木棒，要四个人共同打造一个信念，一起拼搏，每次交接都是信任的传递．甲、乙、丙、丁四位同学将代表高一年级参加校运会4×100米接力赛，教练组根据训练情况，安排了四人的交接棒组合．已知该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（）A．p1p2p3B．1﹣p1p2p3C．（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）D．1﹣（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）6．下列函数中，在R上为增函数的是（）A．y＝2﹣x B．y＝x2C．y＝D．y＝lg x7．已知某产品的总成本C（单位：元）与年产量Q（单位：件）之间的关系为C＝Q2+3000，设该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）（单位：元/件），则f（Q）的最小值是（）A．30B．60C．900D．18008．逻辑斯蒂函数f（x）＝二分类的特性在机器学习系统，可获得一个线性分类器，实现对数据的分类，下列关于函数f（x）的说法错误的是（）A．函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称B．函数f（x）的值域为（0，1）C．不等式f（x）＞的解集是（0，+∞）D．存在实数a，使得关于x的方程f（x）﹣a＝0有两个不相等的实数根9．甲、乙二人参加某体育项目训练，近期的八次测试得分情况如图，则下列结论正确的是（）A．甲得分的极差大于乙得分的极差B．甲得分的75%分位数大于乙得分的75%分位数C．甲得分的平均数小于乙得分的平均数D．甲得分的标准差小于乙得分的标准差10．已知函数f（x）＝2x2+bx+c（b，c为实数），f（﹣10）＝f（12）．若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则+的最小值是（）A．4B．2C．1D．二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11．函数f（x）＝log0.5（x﹣1）的定义域是．12．已知f（x）是定义域为R的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝ln x，则f（﹣）的值是．13．定义域为R，值域为（﹣∞，1）的一个减函数是．14．已知函数f（x）＝|log5x|，若f（x）＜f（2﹣x），则x的取值范围是．15．已知函数f（x）＝（a＞0且a≠1），给出下列四个结论：①存在实数a，使得f（x）有最小值；②对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数；③存在实数a，使得f（x）的值域为R；④若a＞3，则存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0）．其中所有正确结论的序号是．三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16．（9分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，B＝{x|x﹣4a≤0}．（Ⅰ）当a＝1时，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B＝R，求实数a的取值范围．17．（10分）已知函数f（x）＝a x+b•a﹣x（a＞0且a≠1），再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知．（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性，说明理由；（Ⅱ）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性，并用单调性定义证明；（Ⅲ）若f（|m|﹣3）不大于b•f（2），直接写出实数m的取值范围．条件①：a＞1，b＝1；条件②：0＜a＜1，b＝﹣1．18．（10分）某工厂有甲、乙两条相互独立的产品生产线，单位时间内甲、乙两条生产线的产量之比为4：1，现采用分层抽样的方法从甲、乙两条生产线得到一个容量为100的样本，其部分统计数据如下表所示（单位：件）．一等品二等品甲生产线76b乙生产线a2（Ⅰ）写出a，b的值；（Ⅱ）从上述样本的所有二等品中任取2件，求至少有1件为甲生产线产品的概率；（Ⅲ）以抽样结果的频率估计概率，现分别从甲、乙两条产品生产线随机抽取10件产品，记P1表示从甲生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，P2表示从乙生产线随机抽取的10件产品中恰好有5件一等品的概率，试比较P1和P2的大小．（只需写出结论）19．（11分）已知定义域为D的函数f（x），若存在实数a，使得∀x1∈D，都存在x2∈D满足＝a，则称函数f（x）具有性质P（a）．（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质P（0），说明理由；①f（x）＝2x；②f（x）＝log2x，x∈（0，1）．（Ⅱ）若函数f（x）的定义域为D，且具有性质P（l），则“f（x）存在零点”是“2∈D”的条件，说明理由；（横线上填“充分而不必要”“必要而不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”）（Ⅲ）若存在唯一的实数a，使得函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]具有性质P（a），求实数t的值．选做题：20．2015年10月5日，我国女药学家屠呦呦获得2015年诺贝尔医学奖．屠呦呦和她的团队研制的抗疟药青蒿素，是科学技术领域的重大突破，开创了疟疾治疗新方法，挽救了全球特别是发展中国家数百万人的生命，对促进人类健康、减少病痛发挥了难以估量的作用．当年青蒿素研制的过程中，有一个小插曲：虽然青蒿素化学成分本身是有效的，但是由于实验初期制成的青蒿素药片在胃液中的溶解速度过慢，导致药片没有被人体完全吸收，血液中青蒿素的浓度（以下简称为“血药浓度”）的峰值（最大值）太低，导致药物无效．后来经过改进药片制备工艺，使得青蒿素药片的溶解速度加快，血药浓度能够达到要求，青蒿素才得以发挥作用．已知青蒿素药片在体内发挥作用的过程可分为两个阶段，第一个阶段为药片溶解和进入血液，即药品进入人体后会逐渐溶解，然后进入血液使得血药浓度上升到一个峰值；第二个阶段为吸收和代谢，即进入血液的药物被人体逐渐吸收从而发挥作用或者排出体外，这使得血药浓度从峰值不断下降，最后下降到一个不会影响人体机能的非负浓度值．人体内的血药浓度是一个连续变化的过程，不会发生骤变，现用t表示时间（单位：h），在t＝0时人体服用青蒿素药片；用C表示青蒿素的血药浓度（单位：μg/ml），根据青蒿素在人体发挥作用的过程可知，C是t的函数．已知青蒿素一般会在1.5小时达到需要血药浓度的峰值．请根据以上描述完成下列问题：（Ⅰ）下列几个函数中，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是；①C（t）＝②C（t）＝③C（t）＝④C（t）＝（Ⅱ）对于青蒿素药片而言，若血药浓度的峰值大于等于0.1μg/mL，则称青蒿素药片是合格的．基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），可判断此青蒿素药片；（填“合格”、“不合格”）（Ⅲ）记血药浓度的峰值为C max，当C≥C max时，我们称青蒿素在血液中达到“有效浓度”，基于（Ⅰ）中你选择的函数（若选择多个，则任选其中一个），计算青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间是．【参考答案】一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．A【解析】集合A＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|﹣3＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．2．A【解析】根据题意，命题“∀x∈R，都有x2﹣x+3＞0”是全称命题，其否定为：∃x∈R，使得x2﹣x+3≤0．故选：A．3．D【解析】∵a＜b＜0，∴，ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）．故选：D．4．C【解析】函数f（x）＝﹣log2x，是减函数，又f（2）＝﹣log22＝＞0，f（3）＝1﹣log23＜0，可得f（2）f（3）＜0，由零点判定定理可知：函数f（x）＝﹣log2x，包含零点的区间是：（2，3）．故选：C．5．C【解析】∵该组合三次交接棒失误的概率分别是p1，p2，p3，∴三次交接棒不失误的概率分别为1﹣p1，1﹣p2，1﹣p3，∴假设三次交接棒相互独立，则此次比赛中该组合交接棒没有失误的概率是（1﹣p1）（1﹣p2）（1﹣p3）．故选：C．6．C【解析】根据题意，依次分析选项：对于A，y＝2﹣x是指数函数，在R上为减函数，不符合题意，对于B，y＝x2，是二次函数，在（﹣∞，0）上为减函数，不符合题意，对于C，y＝，在R上为增函数，符合题意，对于D，y＝lg x，是对数函数，定义域为（0，+∞），不符合题意，故选：C．7．B【解析】由题意可得该产品年产量为Q时的平均成本为f（Q）＝，则f（Q）＝＝60，当且仅当，即Q＝100时取等号，此时f（Q）的最小值为60，故选：B．8．D【解析】对于A：f（x）＝＝，f（﹣x）＝，f（x）+f（﹣x）＝1，所以函数f（x）的图象关于点（0，）对称，又f（0）＝，所以函数f（x）的图象关于点（0，f（0））对称，故A正确；对于B：f（x）＝，易知e﹣x＞0，所以1+e﹣x＞1，则（0，1），即函数f（x）的值域为（0，1），故B正确；对于C：由f（x）＝容易判断，函数f（x）在R上单调递增，且f（0）＝，所以不等式f（x）＞的解集是（0，+∞），故C正确；对于D：因为函数f（x）在R上单调递增，所以方程f（x）﹣a＝0不可能有两个不相等的实数根，故D错误．故选：D．9．B【解析】对于A，乙组数据最大值为29，最小值为5，极差为24，甲组数据最大值小于29，最小值大于5，故A错误；对于B，甲得分的75%分位数是＝22.5，乙得分的75%分位数是17，故B正确；对于C，甲组具体数据不易看出，不能判断甲得分的平均数与乙得分的平均数的大小关系，故C错误；对于D，乙组数据更集中，标准差更小，故D错误．故选：B．10．B【解析】根据题意，函数f（x）＝2x2+bx+c为二次函数，若f（﹣10）＝f（12），则f（x）的对称轴为x＝1，若方程f（x）＝0有两个正实数根x1，x2，则有x1+x2＝2，则+＝（+）（x1+x2）＝（2++）≥（2+2）＝2，当且仅当x1＝x2＝1时等号成立，即+的最小值是2，故选：B．二、填空题：共5小题，每小题4分，共20分.11．（1，+∞）【解析】要使函数有意义，则x﹣1＞0，即x＞1，即函数的定义域为（1，+∞），故答案为：（1，+∞）．12．1【解析】∵当x＞0时，f（x）＝ln x，且f（x）是奇函数，∴f（﹣）＝﹣f（）＝﹣ln＝1，故答案为：1．13．y＝1﹣2x（答案不唯一）【解析】根据题意，要求函数可以为指数函数变换形式，如y＝1﹣2x；故答案为：y＝1﹣2x（答案不唯一）．14．（1，2）【解析】∵函数f（x）＝|log5x|的定义域为（0，+∞），∴，∴0＜x＜2，①当x＝1时，f（x）＝f（2﹣x），不符合题意，②当0＜x＜1时，2﹣x＞1，则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，∴﹣log5x＜log5（2﹣x），∴log5（2﹣x）+log5x＞0，即log5[x（2﹣x）]＞0，∴x（2﹣x）＞1，∴x2﹣2x+1＜0，此方程无解，③当1＜x＜2时，0＜2﹣x＜1，则f（x）＜f（2﹣x）等价于|log5x|＜|log5（2﹣x）|，∴log5x＜﹣log5（2﹣x），∴log5（2﹣x）+log5x＜0，即log5[x（2﹣x）]＜0，∴x（2﹣x）＜1，∴x2﹣2x+1＞0，即x≠1，则1＜x＜2符合题意，综上所述，x的取值范围是（1，2）．15．①②④【解析】对于①，当a＝3时，函数f（x）＝，函数有最小值﹣1，故①正确；对于②，若f（x）是R上的减函数，则，解得a∈∅，∴对任意实数a（a＞0且a≠1），f（x）都不是R上的减函数，故②正确；对于③，若f（x）的值域为R，需，得a∈∅，故③错误；对于④，若a＞3，函数f（x）＝的图象如图所示：直线y＝（a﹣2）x与曲线y＝a x﹣1一定有交点，即存在x0∈（0，+∞），使得f（x0）＝f（﹣x0），故④正确．∴正确结论的序号是①②④．故答案为：①②④．三、解答题：共4小题，共40分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16．解：（Ⅰ）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}．当a＝1时，B＝{x|x≤4}，∴A∩B＝{x|x＜﹣1或3＜x≤4}；（Ⅱ）∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，B＝{x|x﹣4a≤0}，A∪B＝R，∴4a＞3，解得a＞，∴实数a的取值范围是（，+∞）．17．解：选择条件①：（Ⅰ）a＞1，b＝1，函数f（x）是偶函数，理由如下：f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，∵f（﹣x）＝a﹣x+a x＝f（x），∴函数f（x）是偶函数．（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则x1+x2＞0，∵a＞1，∴，，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（）（1﹣）＝（）•＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．（Ⅲ）实数m的取值范围是[﹣5，﹣1]∪[1，5]．选择条件②：0＜a＜1，b＝﹣1，（Ⅰ）函数f（x）是奇函数，理由如下：f（x）的定义域为R，对任意x∈R，则﹣x∈R，∴f（﹣x）＝a﹣x﹣a x＝﹣f（x），∴函数f（x）是奇函数．（Ⅱ）f（x）在（0，+∞）上是减函数．证明如下：任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，∵0＜a＜1，∴＞0，，∴f（x1）﹣f（x2）＝﹣（）＝（）（1+）＝（）•＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴函数f（x）在（0，+∞）上是单调减函数．（Ⅲ）实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．18．解：（Ⅰ）由题意知，解得a＝4，b＝18．（Ⅱ）记样本中甲生产线的4件二等品为A1，A2，A3，A4，乙生产线的2件二等品为B1，B2，从6件二等品中任取2件，所有可能的结果有15个，分别为：（A1，A2），（A1，A3），（A1，A4），（A2，A3），（A2，A4），（A3，A4）（A1，B1），（A2，B1），（A3，B1），（A4，B1），（A1，B2），（A2，B2），（A3，B2），（A4，B2），（B1，B2），记C为“至少有1件为甲生产线产品”这一事件，则中的结果只有一个，是（B1，B2），∴至少有1件为甲生产线产品的概率为P＝1﹣P（）＝1﹣＝．（Ⅲ）p1＜p2．19．解：（Ⅰ）①函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．理由如下：对于a＝0，x1＝1，∵，x2∈R，∴不存在x2∈R满足＝0，∴函数f（x）＝2x不具有性质P（0）．②函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．理由如下：对于∀x1∈（0，1），取x2＝，则x2∈（0，1），∵＝＝0，∴函数f（x）＝log2x，x∈（0，1）具有性质P（0）．（Ⅱ）“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．理由如下：（i）若f（x）存在零点，令f（x）＝3x﹣1，x∈[0，1]，则f（）＝0，∵∀x1∈[0，1]，取x2＝1﹣，则x2∈[]，且＝＝1，∴f（x）具有性质P（1），但2∉[0，1]．（ii）若2∈D，∵f（x）具有性质P（1），取x1＝2，则存在x2∈D，使得＝＝1，∴f（x2）＝0，∴f（x）存在零点x2，综上，“f（x）存在零点”是“2∈D”的充分而不必要条件．故答案为：充分而不必要．（Ⅲ）记函数f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的值域为F，函数g（x）＝2a﹣x，x∈[0，2]的值域为A＝[2a﹣2，2a]，∵存在唯一的实数a，使得函数f（x2）＝2a﹣x1成立，∴F＝A．（i）当t＝0时，f9x）＝x+4，x∈[0，2]，其值域F＝[4，6]，由F＝A，得a＝3．（ii）当﹣≤t，且t≠0时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]是增函数，∴其值域F＝[4，4t+6]，由F＝A，得t＝0，舍去．（iii）当﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为4，∴f（x）的值域为F＝[4，4﹣]．由F＝A，得t＝﹣，舍去．当t＜﹣时，f（x）＝tx2+x+4，x∈[0，2]的最大值为f（﹣）＝4﹣，最小值为f（2）＝4t+6，∴f（x）的值域为F＝[4t+6，4﹣]，由F＝A，得t＝（舍去t＝）．选做题：20．解：（Ⅰ）根据题意，得函数C（t）同时满足以下条件：A．函数C（t）在[0，1.5）上单调递增，在（1.5，+∞）上单调递减；B．当t＝1.5时，函数C（t）取得最大值；函数C（t）的最小值非负；C．函数C（t）是一个连续变化的函数，不会发生骤变．选择①：，因为C（3）＝0.75﹣0.3×3＝﹣0.15不满足条件B，所以①不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择②：C（t）＝当0≤t＜15时，，当t＝1时，函数C（t）取得最大值，不满足条件B，所以②不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择③：因为，，所以不满足条件C，所以③不能描述青蒿素血药浓度变化过程；选择④：因为，且当t≥1.5时，C（t）＞0，所以C（t）同时满足三个条件，即④能描述青蒿素血药浓度变化过程；综上所述，能够描述青蒿素血药浓度变化过程的函数的序号是④．（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数④：，因为，即血药浓度的峰值大于0.1μg/ml，所以此青蒿素药片合格，即答案为：合格；（Ⅲ）当0≤t＜1.5时，令0.2ln（t+1）≥0．ln2.5，所以ln（t+1）2≥ln2.5，即，即2t2+4t﹣3≥0，解得或，即当t≥1.5时，令，则，解得t≤3，即1.5≤t≤3；综上所述，青蒿素在血液中达到“有效浓度”的持续时间为．。

人教版数学高三期中测试精选(含答案)8

【答案】A
9．设 a, b, c 是互不相等的整数，则下列不等式中不恒成立的是（）
A．| a b || a c | | b c |
C．
|
a
b
|
a
1
b
2
B． a2
1 a2
a
1 a
D． a 3 a 1 a 2 a
【来源】上海市上海中学 2018-2019 学年高三上学期期中数学试题
x [2, 4] ，不等式 f (x) t 2 恒成立，则 t 的取值范围为__________．
【来源】山东省菏泽一中、单县一中 2016-2017 学年高二下学期期末考试数学（文)试
题【答案】 (,10]
2x y 1 0,
12．设关于
x
，
y
的不等式组
x m 0,
表示的平面区域为 D ，若存在点
【答案】（1）见解析;(2) 2- n 2 n n2
2n
2
7x 5y 23 0
30．已知
x，y
满足条件：
x
7
y
11
0
，求：
4x y 10 0
（1） 4x 3y 的最小值； x y 1
（2） x 5 的取值范围.
【来源】上海市上海中学 2015-2016 学年高二上学期期中数学试卷
an
2n
的前
n
项和
Sn
．
【来源】江西省抚州市临川一中 2019-2020 届高三上学期第一次联合考试数学（文科)
试题
【答案】（1） an
1 2
n
；（2）
Sn
2n1
n2
n
2
.
34．已知等差数列an 的前 n 项和为 Sn ， a2 a8 82 ， S41 S9 .

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