北京市海淀区2020届高三上学期期末数学试题(解析版)
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【详解】
集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则 ðU B 1,5, 6 ， 因此， A ðU B 1,5 .
故选：D. 【点睛】 本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力， 属于基础题.
2．抛物线 y2 4x 的焦点坐标为（ ）
【解析】由等式 a b c 0 得 a b c ，等式两边平方可求出 a b 的值.
【详解】
由a
b
c
0
可得 a
b
c
，等式两边平方得
c
2
2 a
2 b
2a b
，即 2a b
2
1，
因此，
a
b
1
.
2
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属
体 ABCD A1B1C1D1 中，记平面 AB1C1D 为 ，平面 ABCD 为 ，点 P 是棱 CC1 上
一动点（与 C 、 C1 不重合） Q1 f f P ， Q2 f f P .给出下列三个结论：
1 2
①线段
PQ2
长度的取值范围是
2
,
2
；
②存在点 P 使得 PQ1 // 平面 ；
D． sin BAD 2 sin CAD
【答案】C
【解析】利用余弦定理计算出 BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行
判断.
【详解】
如下图所示：
点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， BD 1 BC 3 ，
2
2
由余弦定理得 AD2 AB2 BD2 2 AB BD cos ，整理得 BD2 3BD 2 0 ， 3
0,
1 2
,
1 2
，
PQ1
0,
a
2
1
,
a
，令 CQ2 PQ1
1 a 4
a 2
1 3a 4
0
，解得 a
1 3
0,1
，
所以，存在点 P 使得 PQ1 // 平面 ，命题②正确；
对于命题③，
PQ2
0,
1 2
,1 2a 2
Leabharlann Baidu
，令
PQ1
PQ2
1 a 4
a
2a
2
1
0
，
整理得 4a2 3a 1 0 ，该方程无解，所以，不存在点 P 使得 PQ1 ^ PQ2 ，命题③错
f P E ， 同理可证 EQ1 ， CQ ，则 f f P f E Q1 ，
第 6 页 共 21 页
f f P f C Q2 .
以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直
角坐标系 D xyz ，设 CP a 0 a 1 ，则 P 0,1, a ， C 0,1, 0 ，
E
0,
a
2
1
,
a
2
1
，
Q1
0,
a
2
1
,
0
，
Q2
0,
1 2
,
1 2
.
对于命题①， PQ2
1 4
a
1 2 2
，0
a
1，则 1 2
a
1 2
1 2
，则
0
a
1 2
2
1 ，所以， 4
PQ2
1 4
a
1 2
2
1 2
,
2 2 ，命题①正确；
对于命题②， CQ2
，则平面
的一个法向量为 CQ2
z
12 12
2.
故答案为： 2 .
【点睛】
本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
13．已知点 A 0, 3 ，点 B 、 C 分别为双曲线 x2 y2 1 a 0 的左、右顶点.若 a2 3 ABC 为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】 2 【解析】根据 ABC 为等边三角形求出 a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲
d 1 ，所以 a7 a2 5d 5 5 0 ．
【考点】等差数列的通项公式.
12．若复数 z = 1+ i ，则 z _________.
i 【答案】 2
【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算
出 z 的值.
【详解】
z
1i i
i 1 i
i2
i i 1 1 i ，因此，
）
A． 5
B． 5
C． 10
D． 10
【答案】A
【解析】写出二项展开式的通项，令 x 的指数为 3 ，求出参数的值，代入通项即可计算
出 x3 的系数.
【详解】
x
1 x
5
的展开式通项为
C5k
x5k
1 x
k
C5k
1k
x52k
，令 5 2k
3 ，得
第 2 页 共 21 页
k 1.
因此， x3 的系数为 C51 1 5 .
2AB AD
7
14
则 cos BAD 2 7 14 4 2 . cos CAD 7 5 7 5
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理
的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．声音的等级 f x （单位： dB ）与声音强度 x （单位：W / m2 ）满足
a
b
，则
1 3
a
1 3
b
，C
选项正确；
对于 D 选项，取 a 1， b 2 ，则 a b ，但 a2 b2 ，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，
考查推理能力，属于中等题.
5．在
x
1 x
5
的展开式中，
x3
的系数为（
北京市海淀区 2020 届高三上学期期末试题
数学
一、单选题
1．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则集合 A ðU B 是
()
A．1,3,5, 6}
B． 1, 3, 5}
C． 1, 3}
D． 1, 5}
【答案】D
【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 A ðU B .
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.
4．已知 a 、 b R ，且 a b ，则（ ）
A． 1 1 ab
B． sin a sin b
C．
1 a 3
1 3
b
D． a2 b2
【答案】C
【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.
f
x
10
lg
x 11012
.
喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，
声音的等级约为 60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
（）
A．106 倍
B．108 倍
C．1010 倍
D．1012 倍
【答案】B
【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1 、 x2 ，根据题
故选：B. 【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力， 属于中等题.
8．已知等边 ABC 边长为 3 ，点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 .下列结论
中错误的是（ ）
A． BD 2 CD
B． SABD 2 SACD
C． cos BAD 2 cos CAD
意得出
f
x1
140
，
f
x2
60 ，计算出
x1 和
x2
的值，可计算出
x1 x2
的值.
【详解】
设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1 、 x2 ，
由题意可得
f
x1
10
lg
x1 11012
140 ，解得 x1
102 ，
f
x2
10
lg
x2 11012
60 ，解得 x2
106 ，所以，
线的离心率.
【详解】
由于 ABC 为正三角形，则 tan ABC OA 3 3 ，得 a 1. OB a
所以，双曲线的半焦距为 c
a2
3
2
，因此，该双曲线的离心率为
e
c a
2 1
2
.
故答案为： 2 .
【点睛】
第 8 页 共 21 页
本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算 能力，属于基础题.
A． 1, 0 B． 1, 0 C． 0, 1 D． 0,1
【答案】B
【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 x 轴正半轴，由
2 p 4 ，可得： p 1 ，即焦点坐标为 1, 0 .
2
本题选择 B 选项.
3．下列直线与圆 x 12 y 12 2 相切的是（ ）
A． y x
B． y x
C． y 2x
D． y 2x
【答案】A 【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方 程即可. 【详解】 由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，
第 1 页 共 21 页
圆心坐标为 1,1 ，圆心与原点连线的斜率为1，
所以，圆 x 12 y 12 2 在原点处的切线方程为 y x .
故选：A.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，
考查计算能力，属于基础题.
6．已知平面向量 a 、 b 、 c 满足 a b c 0 ，且
a
b
c
1
，则
a
b
的值为
（）
A． 1 2
1
B．
2
C． 3 2
D． 3 2
【答案】A
然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
【详解】
取 C1D 的中点 Q2 ，过点 P 在平面 AB1C1D 内作 PE C1D ，再过点 E 在平面 CC1D1D
内作 EQ1 CD ，垂足为点 Q1.
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD 平面 CC1D1D ， PE 平面 CC1D1D ， ∴ PE AD ， 又 PE C1D ， AD C1D D ， PE 平面 AB1C1D ，即 PE ，
【详解】
如下图所示，将平面 、 、 视为三棱柱的三个侧面，设 a ，将 a 、 m 、 n
视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“ m//n ” “ // ”；
第 3 页 共 21 页
另一方面，若 // ，且 m ， n ，由面面平行的性质定理可得出 m//n .
所以，“ // ” “ m//n ”，因此，“ m//n ”是“ // ”的必要而不充分条件.
误. 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义， 利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
第 7 页 共 21 页
二、填空题
11．在等差数列{an}中,若 a2 5, a5 2 ,则 a7
.
【答案】 0
【解析】试题分析：设等差数列{an}的公差为 d ，由已知得 a5 a2 3d 3 ，所以
③存在点 P 使得 PQ1 ^ PQ2 .
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】D
【解析】以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立
空间直角坐标系 D xyz ，设点 P 的坐标为 0,1, a 0 a 1 ，求出点 Q1、 Q2 的坐标，
x1 x2
108 ，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108 倍，
故选：B. 【点睛】 本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属 于中等题.
第 5 页 共 21 页
10．若点 N 为点 M 在平面 上的正投影，则记 N f M .如图，在棱长为1的正方
于中等题.
7．已知 、 、 是三个不同的平面，且 m ， n ，则“ m//n ”是
“ // ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断
出“ m//n ”是“ // ”的必要而不充分条件.
14．已知函数 f x x a 在区间 1, 4 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是
x _________.
【答案】 1,16
【解析】由题意可知，函数 y f x 在区间 1, 4 上存在极小值，分 a 0 和 a 0 两
【详解】
对于 A 选项，取 a 1， b 1，则 a b 成立，但 1 1 ，A 选项错误； ab
对于 B 选项，取 a ， b 0 ，则 a b 成立，但 sin sin 0 ，即 sin a sin b ，B 选
项错误；
对于
C
选项，由于指数函数
y
1 3
x
在
R
上单调递减，若
BD
3 ，解得 BD
2
2 ，∴CD
1，则 SABD SACD
BD CD
2，
第 4 页 共 21 页
BD 由正弦定理得 sin BAD
AD sin
3
CD sin CAD
sin BAD
，所以，
sin CAD
BD CD
2.
由余弦定理得 cos BAD AB2 AD2 BD2 2 7 ，同理可得 cos CAD 5 7 ，
集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则 ðU B 1,5, 6 ， 因此， A ðU B 1,5 .
故选：D. 【点睛】 本题考查交集与补集的混合运算，熟悉交集和补集的定义是解题的关键，考查计算能力， 属于基础题.
2．抛物线 y2 4x 的焦点坐标为（ ）
【解析】由等式 a b c 0 得 a b c ，等式两边平方可求出 a b 的值.
【详解】
由a
b
c
0
可得 a
b
c
，等式两边平方得
c
2
2 a
2 b
2a b
，即 2a b
2
1，
因此，
a
b
1
.
2
故选：A.
【点睛】
本题考查平面向量数量积的计算，解题的关键就是对等式进行变形，考查计算能力，属
体 ABCD A1B1C1D1 中，记平面 AB1C1D 为 ，平面 ABCD 为 ，点 P 是棱 CC1 上
一动点（与 C 、 C1 不重合） Q1 f f P ， Q2 f f P .给出下列三个结论：
1 2
①线段
PQ2
长度的取值范围是
2
,
2
；
②存在点 P 使得 PQ1 // 平面 ；
D． sin BAD 2 sin CAD
【答案】C
【解析】利用余弦定理计算出 BD ，结合正弦定理等三角形知识可对各选项的正误进行
判断.
【详解】
如下图所示：
点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， BD 1 BC 3 ，
2
2
由余弦定理得 AD2 AB2 BD2 2 AB BD cos ，整理得 BD2 3BD 2 0 ， 3
0,
1 2
,
1 2
，
PQ1
0,
a
2
1
,
a
，令 CQ2 PQ1
1 a 4
a 2
1 3a 4
0
，解得 a
1 3
0,1
，
所以，存在点 P 使得 PQ1 // 平面 ，命题②正确；
对于命题③，
PQ2
0,
1 2
,1 2a 2
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，令
PQ1
PQ2
1 a 4
a
2a
2
1
0
，
整理得 4a2 3a 1 0 ，该方程无解，所以，不存在点 P 使得 PQ1 ^ PQ2 ，命题③错
f P E ， 同理可证 EQ1 ， CQ ，则 f f P f E Q1 ，
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f f P f C Q2 .
以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直
角坐标系 D xyz ，设 CP a 0 a 1 ，则 P 0,1, a ， C 0,1, 0 ，
E
0,
a
2
1
,
a
2
1
，
Q1
0,
a
2
1
,
0
，
Q2
0,
1 2
,
1 2
.
对于命题①， PQ2
1 4
a
1 2 2
，0
a
1，则 1 2
a
1 2
1 2
，则
0
a
1 2
2
1 ，所以， 4
PQ2
1 4
a
1 2
2
1 2
,
2 2 ，命题①正确；
对于命题②， CQ2
，则平面
的一个法向量为 CQ2
z
12 12
2.
故答案为： 2 .
【点睛】
本题考查复数模的计算，同时也考查了复数的除法运算，考查计算能力，属于基础题.
13．已知点 A 0, 3 ，点 B 、 C 分别为双曲线 x2 y2 1 a 0 的左、右顶点.若 a2 3 ABC 为正三角形，则该双曲线的离心率为_________. 【答案】 2 【解析】根据 ABC 为等边三角形求出 a 的值，可求出双曲线的焦距，即可得出双曲
d 1 ，所以 a7 a2 5d 5 5 0 ．
【考点】等差数列的通项公式.
12．若复数 z = 1+ i ，则 z _________.
i 【答案】 2
【解析】利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式可计算
出 z 的值.
【详解】
z
1i i
i 1 i
i2
i i 1 1 i ，因此，
）
A． 5
B． 5
C． 10
D． 10
【答案】A
【解析】写出二项展开式的通项，令 x 的指数为 3 ，求出参数的值，代入通项即可计算
出 x3 的系数.
【详解】
x
1 x
5
的展开式通项为
C5k
x5k
1 x
k
C5k
1k
x52k
，令 5 2k
3 ，得
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k 1.
因此， x3 的系数为 C51 1 5 .
2AB AD
7
14
则 cos BAD 2 7 14 4 2 . cos CAD 7 5 7 5
故选：C.
【点睛】
本题考查三角形线段长、面积以及三角函数值比值的计算，涉及余弦定理以及正弦定理
的应用，考查计算能力，属于中等题.
9．声音的等级 f x （单位： dB ）与声音强度 x （单位：W / m2 ）满足
a
b
，则
1 3
a
1 3
b
，C
选项正确；
对于 D 选项，取 a 1， b 2 ，则 a b ，但 a2 b2 ，D 选项错误.
故选：C.
【点睛】
本题考查不等式正误的判断，常用特殊值法、函数单调性与不等式的性质来进行判断，
考查推理能力，属于中等题.
5．在
x
1 x
5
的展开式中，
x3
的系数为（
北京市海淀区 2020 届高三上学期期末试题
数学
一、单选题
1．已知集合U 1, 2,3, 4,5, 6 ， A 1,3,5 ， B 2,3, 4 ，则集合 A ðU B 是
()
A．1,3,5, 6}
B． 1, 3, 5}
C． 1, 3}
D． 1, 5}
【答案】D
【解析】利用补集和交集的定义可求出集合 A ðU B .
故选：A.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系的判断，考查计算能力，属于基础题.
4．已知 a 、 b R ，且 a b ，则（ ）
A． 1 1 ab
B． sin a sin b
C．
1 a 3
1 3
b
D． a2 b2
【答案】C
【解析】利用特殊值法和函数单调性可判断出各选项中不等式的正误.
f
x
10
lg
x 11012
.
喷气式飞机起飞时，声音的等级约为140dB ；一般说话时，
声音的等级约为 60dB ，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的
（）
A．106 倍
B．108 倍
C．1010 倍
D．1012 倍
【答案】B
【解析】设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1 、 x2 ，根据题
故选：B. 【点睛】 本题考查必要不充分条件的判断，同时也考查了空间中平行关系的判断，考查推理能力， 属于中等题.
8．已知等边 ABC 边长为 3 ，点 D 在 BC 边上，且 BD CD ， AD 7 .下列结论
中错误的是（ ）
A． BD 2 CD
B． SABD 2 SACD
C． cos BAD 2 cos CAD
意得出
f
x1
140
，
f
x2
60 ，计算出
x1 和
x2
的值，可计算出
x1 x2
的值.
【详解】
设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为 x1 、 x2 ，
由题意可得
f
x1
10
lg
x1 11012
140 ，解得 x1
102 ，
f
x2
10
lg
x2 11012
60 ，解得 x2
106 ，所以，
线的离心率.
【详解】
由于 ABC 为正三角形，则 tan ABC OA 3 3 ，得 a 1. OB a
所以，双曲线的半焦距为 c
a2
3
2
，因此，该双曲线的离心率为
e
c a
2 1
2
.
故答案为： 2 .
【点睛】
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本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线方程中的几何量，考查计算 能力，属于基础题.
A． 1, 0 B． 1, 0 C． 0, 1 D． 0,1
【答案】B
【解析】解：由 抛物线方程的特点可知，抛物线的焦点位于 x 轴正半轴，由
2 p 4 ，可得： p 1 ，即焦点坐标为 1, 0 .
2
本题选择 B 选项.
3．下列直线与圆 x 12 y 12 2 相切的是（ ）
A． y x
B． y x
C． y 2x
D． y 2x
【答案】A 【解析】观察到选项中的直线都过原点，且圆也过原点，只需求出圆在原点处的切线方 程即可. 【详解】 由于选项中各直线均过原点，且原点在圆上，
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圆心坐标为 1,1 ，圆心与原点连线的斜率为1，
所以，圆 x 12 y 12 2 在原点处的切线方程为 y x .
故选：A.
【点睛】
本题考查二项展开式中指定项系数的求解，解题时要熟练利用二项展开式通项来计算，
考查计算能力，属于基础题.
6．已知平面向量 a 、 b 、 c 满足 a b c 0 ，且
a
b
c
1
，则
a
b
的值为
（）
A． 1 2
1
B．
2
C． 3 2
D． 3 2
【答案】A
然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.
【详解】
取 C1D 的中点 Q2 ，过点 P 在平面 AB1C1D 内作 PE C1D ，再过点 E 在平面 CC1D1D
内作 EQ1 CD ，垂足为点 Q1.
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AD 平面 CC1D1D ， PE 平面 CC1D1D ， ∴ PE AD ， 又 PE C1D ， AD C1D D ， PE 平面 AB1C1D ，即 PE ，
【详解】
如下图所示，将平面 、 、 视为三棱柱的三个侧面，设 a ，将 a 、 m 、 n
视为三棱柱三条侧棱所在直线，则“ m//n ” “ // ”；
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另一方面，若 // ，且 m ， n ，由面面平行的性质定理可得出 m//n .
所以，“ // ” “ m//n ”，因此，“ m//n ”是“ // ”的必要而不充分条件.
误. 故选：D. 【点睛】 本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义， 利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题.
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二、填空题
11．在等差数列{an}中,若 a2 5, a5 2 ,则 a7
.
【答案】 0
【解析】试题分析：设等差数列{an}的公差为 d ，由已知得 a5 a2 3d 3 ，所以
③存在点 P 使得 PQ1 ^ PQ2 .
其中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③
B．②③
C．①③
D．①②
【答案】D
【解析】以点 D 为坐标原点， DA 、 DC 、 DD1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立
空间直角坐标系 D xyz ，设点 P 的坐标为 0,1, a 0 a 1 ，求出点 Q1、 Q2 的坐标，
x1 x2
108 ，
因此，喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的108 倍，
故选：B. 【点睛】 本题考查对数函数模型的应用，同时也涉及了指数与对数式的互化，考查计算能力，属 于中等题.
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10．若点 N 为点 M 在平面 上的正投影，则记 N f M .如图，在棱长为1的正方
于中等题.
7．已知 、 、 是三个不同的平面，且 m ， n ，则“ m//n ”是
“ // ”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据几何模型与面面平行的性质定理，结合充分条件和必要条件的定义可判断
出“ m//n ”是“ // ”的必要而不充分条件.
14．已知函数 f x x a 在区间 1, 4 上存在最小值，则实数 a 的取值范围是
x _________.
【答案】 1,16
【解析】由题意可知，函数 y f x 在区间 1, 4 上存在极小值，分 a 0 和 a 0 两
【详解】
对于 A 选项，取 a 1， b 1，则 a b 成立，但 1 1 ，A 选项错误； ab
对于 B 选项，取 a ， b 0 ，则 a b 成立，但 sin sin 0 ，即 sin a sin b ，B 选
项错误；
对于
C
选项，由于指数函数
y
1 3
x
在
R
上单调递减，若
BD
3 ，解得 BD
2
2 ，∴CD
1，则 SABD SACD
BD CD
2，
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BD 由正弦定理得 sin BAD
AD sin
3
CD sin CAD
sin BAD
，所以，
sin CAD
BD CD
2.
由余弦定理得 cos BAD AB2 AD2 BD2 2 7 ，同理可得 cos CAD 5 7 ，