第八章定积分的应用和近似计算

第八章 定积分的应用和近似计算

§1. 平面图形的面积

1. 求下列用极坐标表示的曲线所围图形的面积：

(1) 双纽线22cos 2;r a ϕ=

(2) 三叶玫瑰线sin 3;r a ϕ=

(3) 蚌线cos ().r a b b a θ=+ ≥

2. 求下列各曲线所围成的图形面积：

(1) 224(1),4(1);y x y x =+ =-

(2) |ln |,0 (0.110);y x y x = = ≤≤

(3) 2,sin (0);y x y x x x π= =+ ≤≤

(4) 22,5;y x x = =

(5) 2,5;y x y x = =+

(6) 222

333;x y a +=

3. 直线y x =把椭圆2236x y y +=的面积分成两部分A (小的一块)和B (的一块)，A B 之值．

4. 求下列用参数方程表示的曲线所围图形的面积：

(1) 2232,2;x t t y t t =- =-

(2) 摆线(sin ),(1cos )(02)x a t t y a t t π=- =- ≤≤及x 轴；

(3) 圆的渐开线(c o s s i n ),(s i n c o s ),(02x a t t t y a t t t t π=+ =- ≤≤，及半直线

(0)x a y = ≤，其中0a >． 5. 求3cos r θ=和1cos r θ=+所围的公共部分的面积．

§2. 曲线的弧长

1. 求下列曲线的弧长：

(1) 2,01;y x x = ≤≤

(2) 2,12;

y e x = ≤≤

(3) 1;+=

(4) 星形线33cos sin (02);x a t y a t t π= = ≤≤

(5) 圆的渐开线(cos sin ),(sin cos ),0,02;x a t t t y a t t t a t π=+ =- > ≤≤

(6) 3sin (0);3r a a θ

= >

(7) 心脏线(1cos ),02,0.r a a θθπ=+ ≤≤ >

§3. 体积

1. 求下列旋转体的体积：

(1) 椭圆22221x

y a b +=绕x 轴；

(2) sin ,0(0)y x y x π= = ≤≤

(i)绕x 轴， (ii)绕y 轴；

(3) 旋轮线(sin ),(1cos )(02),0x a t t y a t t y π=- =- ≤≤ =

(i)绕x 轴， (ii)绕y 轴， (iii)绕直线2;y a =

(4) 双曲线22221y

x b a -=与直线x h =±所围的图形绕x 轴旋转.

2. 已知球半径为R ，试求高为h 的球冠体积(h ≤R )．

3. 求由下列各曲面所围成的几何体的体积：

(1)求截锥体的体积，其上，下底皆为椭圆，椭圆的轴长分别等于A ，B 和 a ，b ，而高为h ；

(2)正圆台：其上下底分别是半径为a 、b 的圆，而其间的距离为h ．

§4. 旋转曲面的面积

1. 求下列平面曲线绕轴旋转所得旋转曲面的面积：

(1) sin ,0y x x π= ≤≤绕x 轴；

(2) (sin ),(1cos ),0,02x a t t y a t a t π=- =- > ≤≤绕直线2;y a =

(3) 22221()x

y a b a b += >绕x 轴；

(4) 33cos ,sin x a t y a t = =绕x 轴；

(5) 222cos 2r a θ=绕极轴．

§5. 质心

1. 求下列曲线段的质心：

(1) 半径为r ，弧长为专1

()2πααπ ≤的均匀圆弧； (2) 对数螺线(0,0)k r ae a k θ= >>上由点(0,)a 到点(,)r θ的均匀弧段；

(3) 以A(0，0)，B (0，1)，C(2，1)，D (2，0)为顶点的矩形周界，曲线上任一点的密度等于该点到原点距离的2倍；

(4) (sin ),(1cos )02,x a t t y a t t a π=- =- ≤≤ >0，密度为常数．

2. 已知一抛物线段2(11)y x x =-≤≤，曲线段上任一点处的密度与该点到y 轴的距离成正比，1x =处密度为5，求此曲线段的质量．

3. 求半球0z ≤≤

的质心.

4. z h ≤≤的质心和绕z 轴的转动惯量．

5. 轴长10m ，密度分布为()(60.3)kg/m x x ρ=+，其中x 为距轴的一个端点的距离，求轴的质量．

§6. 平均值、功

1． 有一长为a 的细棒，它在各点处的线密度与相距某一端点的距离平方成正比，求此

细棒的平均密度.

2． 某水库的闸门是一梯形，上底6m ，下底2m ，高10m ，求水灌满时闸门所要的力。

设水的比重为10003/kg m .

3． 有一薄版22221()x

y a b a b +≤ >，长轴沿铅直方向一半浸入水中，求水对板的压力.

4． 半径为r 的球沉入水中，它与水面相接，球的比重为1，现将球从水中取出，要作

多少功？

5． 修建大桥桥墩时要先下围囹。设一圆柱形围囹的直径为20m ，水深27m ，围囹高

出水面3m ，要把水抽尽，计算克服重力所作的功。

6． 把弹簧拉长所需的力与弹簧的伸长成正比。已知1kg 的力能使弹簧伸长1cm ，问

把弹簧拉长10cm 要作多少功？

§7. 定积分的近似计算

1． 把积分区间10等分，用抛物线公式计算下列积分的近似值，精确到小数点后三

位：

(1) 0

⎰； (2) 21dx x ⎰. 2． 已知1

2014dx x π=+⎰

，试把积分区间[0,1] 分成10等分，分别用梯形公式和抛物线公式计算π的近似值，精确到小数点后三位.