遥感图象分形维数的几种估计算法研究

遥感图象分形维数的几种估计算法研究1

张凯选1，郭嗣琮2

1辽宁工程技术大学测绘与地理科学学院，辽宁阜新（123000）

2辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新（123000）

E-mail：zhangkaixuan@

摘要：美籍法国数学家曼德布罗特（B.Mandelbrot）首次引入分形这个新术语，今天分形理论已经成为一门描述自然界中许多不规则事物规律性的科学，在遥感影象学中也有很大的用途。在研究遥感图像的分形维数时,通常把图像看作一个由许多像素点的灰度值构成的曲面来进行估算和分析，本文给出了遥感图象分形维数的几种估算方法，并作了相关实验。关键词：分形，分形维数，遥感图象

中图分类号：TP7

1．引言

分形理论始创立于20世纪70年代中期[1],创立伊始就引起人们极大的兴趣,与耗散结构、混沌并称为70年代科学史上的三大发现。作为一门独立的学科,该理论只有大约30多年的历史。

基于对复杂景物自相似性的描述,Mandelbrot创立了分形几何学理论,提出用分形维数( fractal dimension)D来度量自然现象的不规则程度。分形理论借助相似性原理洞察隐藏于混乱现象中的精细结构,为人们从局部认识整体、从有限认识无限提供新的方法论,为不同的学科发现的规律提供了崭新的语言和定量的描述,为现代科学技术提供了新的思想方法。近年来,分形理论在自然科学、社会科学以及遥感的许多领域中得到了广泛的应用,并逐步成为连结现代各学科的纬线。

2．分形与分形维数的定义

美籍法国数学家曼德布罗特(B.Mandelbrot) 于1967 年在《科学》杂志上发表了一篇题为“英国的海岸线有多长? 统计自相似性与分数维数” 的论文[2], 通常被认为是“分形”学科诞生的标志。自然界的许多物体在某一范围内都具有统计的自相似性,即每一部分都被认为是整体的一个缩小图像。曼德布罗特在随后两本著作《自然界的分形几何学》和《分形、形状、机遇与维数》中第一次提出了fractal这个英文词,其原意是“不规则的”、“分数的”、“支离破碎的”物体,并阐述分形理论的基本思想,即分形研究的对象是具有自相似性的无序系统,其维数的变化是连续的。

关于分形,目前还没有严格的数学定义,只能给出描述性的定义。粗略地说,分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似性图形和结构的总称。它具有两个基本性质:自相似性和标度不变性。自相似性是指局部是整体成比例缩小的性质。形象地说,就是当用不同倍数的照相机拍摄研究对象时,无论放大倍数如何改变,看到的照片都是相似的(统计意义) ,而从相片上也无法断定所用的相机的倍数,即标度不变性或全息性。严格按一定的数学方法生成的许多经典的分形(如图1) 具有严格的自相似性,称之为有规分形。而一般情况下的分形都是无规分形,即自相似性并不是严格的,只是统计意义下的自相似性,其局部经放大或缩小操作可能得到与整体完全不同的表现形式,但表征自相似结构或系统的定量参数如分形维数,并

本课题得到辽宁工程技术大学青年基金（05－124），辽宁省教育厅基金项目（05L181）,辽宁省高等学校重点实验室项目基金（20060370）的资助。

不因此变化。

图1 （a ）Sierpinski 三角形 （b ）Kock 曲线

这位被科学界尊称为“分形之父”的曼德布罗特的最大贡献在于提出“物体或几何图形的维数的变化可以是连续的”这一惊人的论断,即其维数可以不是整数。

分形维数(fractal dimension) ,又叫分维、分数维,是分形几何学定量描述分形集合特征和几何复杂程度的参数. 由于分形集的复杂性,关于分形维数已有多种定义,最有代表性的是Hausdorff 维数。 对于任何一个有确定维数的几何形体,若用与它维数相同的尺度r 去度量,其大小N ( r) 与单位量度r 之间存在如下关系:

()H D N r r −∝或ln ()/ln(1/)H D N r r = (1) 式中, D H 即为Hausdorff 维数, 它可以是整数, 也可以是分数。

此外,分维还有多种其它定义,如相似维数、盒维数、关联维数、容量维数、谱维数等。

3．遥感图象中分形维数的计算

分维数D 的引入给出了一个关于集合的复杂度、不规整度的定量回答, 形状越复杂, D 值越大。Hausdorff 维数仅仅给出了分维数的定义, 难以用计算的方法计算和估计。为了能够计算和估计分维数,必须考虑采用容易计算的分维数的定义。

关于图像分维数的计算方法目前主要有2类[3]。一类是从便于计算机实现计算的维数的定义出发来计算,如根据Box - counting 维数的定义,有Keller 等提出的概率盒法和N. Sarkar 等提出的差分盒维数法等;另一类是基于分形布朗随机场模型的灰度统计法、Pentland 提出的傅立叶变换功率谱密度法和Peleg 提出的毯覆盖法。本文主要介绍分形布朗随机场模型法，三角棱柱法和Peleg 地毯法。

3.1 分形布朗运动

分形技术用于目标检测与识别的理论基础[4], 主要是基于B.Mandelbrot 及Van Ness 于1965年提出的分形布朗运动( FBM) , 即离散分形布朗增量随机模型(DFBIR) 。起初是用于模拟各种具有分形特征的噪声等, 现已成为一个能反映广泛的自然物体性质的数学模型。大多数自然物体的表面都能用DFBIR 场模型较好的描述, 是由于DFBIR 在局部区域内的增量一、二阶绝对距具有幂指数特性, 因此可根据此特性来估计分形维数D 。如果定义一个随机过程B( t) 为布朗运动,它具有如下两个性质:

（1） 增量（B （t 2）- B （t 1） ）服从高斯分布;

（2） 均方增量正比于时间的变化, 即:

22121()()E B t B t t t ⎡⎤−∝−⎣⎦

从分形布朗运动可以推导出三个最基本的性质: (1):222121()()H Var B t B t t t ⎡⎤−∝−⎣⎦

; (2):211()H S f f +∝

; (3):2()D A r r −∝;

其中, Var 表示方差,A()为B( t) 图形在尺度r 下所测得的表面积。图形的分数维为D=E-H 。其中, E 为图形所在空间的拓扑维, H 为频谱指数。

3.2三角棱柱法

三角棱柱法( Triangular prism method , TPM) 是通过比较在采用不同尺度观测图像“表面”时表面积的大小的变化情况来计算曲面的分形维数的一种方法[5],其中表面积的计算采用了三角棱柱法,因而得名。其关键是计算在不同尺度情况下的图像的表面积,可通过依次计算由4 个空间点构成的表面面积作为计算整个表面积的基本单元,然后相加得到整个图像的表面积。对于遥感图像,空间点坐标可以表示为( x , y ,i) (其中x , y 为像素点的行列号,i 为像素的灰度值) 。求解由这4 个空间点构成的表面积,可以直接连接任意不相邻的2 个点构成2 个三角形,分别计算三角形的面积,并相加即是所求的表面积。但是研究表明,选择不同的相连方法,得到的面积差异较大。为此,先在4 个空间点的行列号的中间插入一个附加点,其“高度”采用4 个像素的灰度的平均值。这样由这5 个空间点可以构成4 个三角形（如图2所示）,分别计算4 个三角形的面积,相加就可以得到所求的表面积。因此该算法的主要步骤是:(1):计算最小尺度(一个像素) 下的图像“表面积”。依次以一个像素为核心,取其4 个相邻的顶角的像素点为4 个空间点,按上述方法计算图像表面积。(2):计算以2 个像素为尺度时的图像表面积。依次以4 个像素为核心,同样取其4 个相邻的顶角的像素点为4 个空间点计算图像的表面积。(3):依此类推,分别以4 ,8 ,16 ,…为尺度计算图像的表面积。直到以整幅图像为尺度为止,从而得到一个“尺度-表面积”序列。(4):计算“尺度- 表面积”在对数坐标上的斜率（B ）, D = 2. 0 - B 即为该图像的分形维数。

根据上述方法和步骤,不难发现这种方法对所计算的图像大小是有要求的。因为采用线性回归方法进行曲线斜率计算时需要有一定数量的数据点,一般认为至少在5个以上,才能具有统计意义。据此“尺度”至少需要达到16个像素,因此图像大小至少为16×16像素。

图2 三角棱柱法原理图