届中考数学第二轮复习专题(分类讨论)

2013届中考数学第二轮复习专题 分类讨论

Ⅰ、专题精讲：

在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．

分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行．

Ⅱ、典型例题剖析

【例1】（2005，南充，11分）如图3－2－1，一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB 和双曲线．直线AB 与双曲线的一个交点为点C ，CD ⊥x 轴于点D ，OD ＝2OB ＝4OA ＝4．求一次函数和反比例函数的解析式．

解：由已知OD ＝2OB ＝4OA ＝4，

得A （0，－1），B （－2，0），D （－4，0）．

设一次函数解析式为y ＝kx ＋b ．

点A ，B 在一次函数图象上，

∴⎩⎨⎧=+--=,02,1b k b 即⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.

1,21b k 则一次函数解析式是 .121--=x y

点C 在一次函数图象上，当4-=x 时，1=y ，即C （－4，1）． 设反比例函数解析式为m y x

=． 点C 在反比例函数图象上，则4

1-=m ，m ＝－4． 故反比例函数解析式是：x

y 4-=．

点拨：解决本题的关键是确定A 、B 、C 、D 的坐标。

【例2】（2005，武汉实验，12分）如图3－2－2所示，如图，在平面直角坐标系中，点O 1的坐标为（－4，0），以点O 1为圆心，8为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，过点A 作直线l 与x 轴负方向相交成60°角。以点O 2（13，5）为圆心的圆与x 轴相切于点D.

（1）求直线l 的解析式；

（2）将⊙O 2以每秒1个单位的速度沿x 轴向左平移，同时直线l 沿x 轴向右平移，当⊙O 2第一次与⊙O 2相切时，直线l 也恰好与⊙O 2第一次相切，求直线l 平移的速度；

（3）将⊙O 2沿x 轴向右平移，在平移的过程中与x 轴相切于点E ，EG 为⊙O 2的直径，过点A 作⊙O 2的切线，切⊙O 2于另一点F ，连结A O 2、FG ，那么FG·A O 2的值是否会发生变化？如果不变，说明理由并求其值；如果变化，求其变化范围。

解（1）直线l 经过点A （－12，0），与y 轴交于点（0，123－

设解析式为y ＝kx ＋b ，则b ＝3－k ＝3－

所以直线l 的解析式为y 3x 123＝－－（2）可求得⊙O 2第一次与⊙O 1相切时，向左平移了5秒（5个单位）如图所示。 在5秒内直线l 平移的距离计算：8＋12330533 所以直线l 平移的速度为每秒（63

（3）提示：证明Rt△EFG∽Rt△AE O 2 于是可得：222

FG EG 1

O E EG O E AO 2＝（其中＝）

所以FG·A O 2＝21EG 2，即其值不变。

点拨：因为⊙O 2不断移动的同时，直线l 也在进行着移动，而圆与圆的位置关系有：相离(外离，内含)，相交、相切(外切、内切〕，直线和圆的位置关系有：相交、相切、相离，所以这样以来，我们在分析过程中不能忽略所有的可能情况．

【例3】（2005，衢州，14分）如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=2，点A 的坐标为(1，0)，以CD 为直径，在矩形ABCD 内作半圆，点M 为圆心．设过A 、B 两点抛物线的解析式为y=ax 2

+bx+c ，顶点为点N ．

(1)求过A 、C 两点直线的解析式；

(2)当点N 在半圆M 内时，求a 的取值范围；

(3)过点A 作⊙M 的切线交BC 于点F ，E 为切点，当以点A 、F,B 为顶点的三角形与以C 、N 、M 为顶点的三角形相似时，求点N 的坐标．

解：(1)过点A 、c 直线的解析式为y=32x －32 (2)抛物线y=ax 2－5x+4a ．

∴顶点N 的坐标为(－52 ，－94

a)． 由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点M 且与CD 垂直的直线上，

又点N 在半圆内，12 ＜－94 a ＜2，解这个不等式，得－98 ＜a ＜－29

． (3)设EF=x ，则CF=x ，BF=2－x

在Rt△ABF 中，由勾股定理得x= 98 ，BF= 78

【例4】（2005，杭州，8分）在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O 为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得ΔAOP 成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P 都找出来,画上实心点,并在旁边标上P 1,P 2,……,P k,(有k 个就标到P K 为止,不必写出画法) 解：以A 为圆心，OA 为半径作圆交坐标轴得1(4,0)P 和2(0,2)P ；

以O 为圆心，OA 为半径作圆交坐标轴得3(5,0)P ，4(5,0)P -，55)P 和6(0,5)P -；

作OA的垂直平分线交坐标轴得7

5 (,0) 4

P和

8

5 (0,)

2

P。

点拨：应分三种情况：①OA=OP时；②OP=P时；③OA=PA时，再找出这三种情况中所有符合条件的P点．

Ⅲ、同步跟踪配套试题

（60分 45分钟）

一、选择题（每题 3分，共 15分）

1．若等腰三角形的一个内角为50＼则其他两个内角为（）

A．500 ，80o B．650， 650

C．500 ，650 D．500，800或 650，650

2．若||3,||2,,( )

a b a b a b

==>+=

且则

A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1

3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（）

A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定

4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（）

A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500

5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9，则kb值为（）A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14

二、填空题（每题3分，共15分）

6．已知||3,||2,0,

x y xy x y

==<+=

且则_______.

7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB与CD 之间的距离为__________.