高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
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二重积分的概念省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
I2 (x2 y2 )3 d ,其中D2 {(x, y) | 0 x 1, 0 y 2} D2 利用二重积分旳几何意义阐明I1和I2之间旳关系
y2
解：
-1
1
x
-2
由二重积分旳几何意义知，I1表达底为D1，顶为曲 面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M1旳体积；I2表达底为D2， 顶为曲面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M2旳体积；因为位 于D1上方旳曲面z=（x2+y2）3有关yox面和zox面均对 称，故yoz面和zox面将M1提成四个等积旳部分，其中 位于第一卦限旳部分即为M2。由此可知
M 若 (x, y) 非常数 , 仍可用
y D
“分割, ,近似和, 求 极限”
处理.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“近似”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块旳质量
M k (k , k ) k (k 1, 2,, n)
【附注】
比较 f (x, y) 和 (x, y) 旳大小
先令 f (x, y) (x, y) 得曲线
F (x, y) f (x, y) (x, y) 0
在 F (x, y) 0 旳两侧 一般旳有
F (x, y) 0或F (x, y) 0
判断D在曲线旳哪一侧，即可判断 f (x, y) (x, y)
D
⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
尤其地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立，
则
f (x, y)d 0 ( ≥0 )
y2
解：
-1
1
x
-2
由二重积分旳几何意义知，I1表达底为D1，顶为曲 面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M1旳体积；I2表达底为D2， 顶为曲面z=（x2+y2）3旳曲顶柱体M2旳体积；因为位 于D1上方旳曲面z=（x2+y2）3有关yox面和zox面均对 称，故yoz面和zox面将M1提成四个等积旳部分，其中 位于第一卦限旳部分即为M2。由此可知
M 若 (x, y) 非常数 , 仍可用
y D
“分割, ,近似和, 求 极限”
处理.
1)“分割”
x
用任意曲线网分D 为 n 个小区域 1, 2, , n ,
相应把薄片也分为小区域 .
2)“近似”
在每个 k 中任取一点 (k ,k ),则第 k 小块旳质量
M k (k , k ) k (k 1, 2,, n)
【附注】
比较 f (x, y) 和 (x, y) 旳大小
先令 f (x, y) (x, y) 得曲线
F (x, y) f (x, y) (x, y) 0
在 F (x, y) 0 旳两侧 一般旳有
F (x, y) 0或F (x, y) 0
判断D在曲线旳哪一侧，即可判断 f (x, y) (x, y)
D
⑸ 在D上,若恒有f(x,y)≤g(x,y)，则
f (x, y)d g(x, y)d
D
D
尤其地，在D上若f(x,y)≤0 ( ≥0 ) 恒成立，
则
f (x, y)d 0 ( ≥0 )
二重积分的概念和性质PPT讲稿
17
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
例 设D为圆域 x2 y2 R2
z
二重积分 R2 x2 y2 d
D
=
DO
xR
y
解 z R2 x2 y2是上半球面
由二重积分的几何意义可知，上述积分等于
上半球体的体积：
R2 x2 y2d 2 R3 3
D
18
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
看作均匀薄片.
(2) Mi (i ,i ) i
y
n
(3) M (i ,i ) i
(i ,i )
i1 n
•
(4) M lim 0
(i ,i ) i
i 1
O
i
x
10
二、二重积分的概念
1. 二重积分的定义
定义 设f ( x, y)是有界闭区域D上的有界函数,
① 将闭区域D任意分成n个小闭区域
2
double integral
第一节 二重积分的概念 与性质
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质
3
一、问题的提出
回想 定积分中会求平行截面面积为已知的 立体的体积、旋转体的体积.
一般立体的体积如何求 先从曲顶柱体的体积开始. 一般立体的体积可分成一些比较简单的 曲顶柱体的体积. 而曲顶柱体的体积的计算问题, 可作为 二重积分的一个模型.
即
V f ( x, y)d ,
D
平面薄片D的质量
它的面密度 ( x, y)在薄片D上的二重积分,
即
M ( x, y)d .
D
13
注
1.重积分中 d 0,
2. 在直角坐标系下用 y
平行于坐标轴的直线网来
高中数学(人教版)二重积分的概念与性质课件
3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
《高数14二重积分》课件
二重积分的奇偶性
要点一
总结词
二重积分的奇偶性是指对于二重积分，如果被积函数是奇 函数或偶函数，则其积分结果也具有相应的奇偶性。
要点二
详细描述
如果被积函数$f(x,y)$是关于原点对称的奇函数，即$f(-x,y) = -f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 0$（D关于原 点对称）。如果被积函数是关于原点对称的偶函数，即 $f(-x,-y) = f(x,y)$，则$int_{D} f(x,y) dsigma = 2 int_{D/2} f(x,y) dsigma$（D关于x轴对称）。
详细描述
在计算立体的体积时，首先需要将立体离散化成一系列小的 立方体。然后，对每个立方体进行二重积分，积分区域为该 立方体所对应的平面区域。最后，将所有立方体的体积相加 ，即可得到整个立体的体积。
平面薄片的质量分布
总结词
利用二重积分，可以计算平面薄片在某个区域内的质量分布情况。通过将平面薄 片离散化成一系列小的面积元，对每个面积元进行积分，最后求和得到整个薄片 的质量分布情况。
《高数14二重积分》ppt课 件
• 二重积分的定义与性质 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的几何应用 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的性质与定理 • 二重积分的应用案例分析
01
二重积分的定义与性质
二重积分的定义
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维空间上的扩展，表示一个函数在平面区域上的面积。
定义方式
通过将积分区域划分为若干个小区域，并在每个小区域内取一个点，将所有这些点的函数值相加并乘以小区域的面积 ，再求和得到整个区域的面积。
几何意义
二重积分表示的是函数所围成的平面区域的面积。
第一部分二重积分的概念和质教学课件
D 2
其中DБайду номын сангаасD1+D2
性质4 1ddS
D
D
S表示区域D的面积
性质5 若在区域D上有 f(x,y)g(x,y),则有
f(x,y)dg(x,y)d
D
D
性质6 mS f(x,y)dMS
D
其中m，M分别为被积函数 f (x, y) 在D上的最小和
最大值，S为D的面积。 性质7（积分中值定理） 设函数 f (x, y) 在有界
D
去xOy面下方的曲顶柱体体积之和。
三 二重积分的性质
性质1 k f(x,y)dkf(x,y)d
D
D
性质2 [f ( x ,y ) g ( x ,y )d ] f( x ,y ) d g ( x ,y ) d
D
D
D
性质3
f(x ,y )d f(x ,y )d f(x ,y )d
D
D 1
(xi , yi )
D
ⅱ 近似 当 i 很小时，
O
可近似地将其看作质量均匀分
y
布，因而可用质量均匀分布的
值作其质量的近似值。于是在 i 上任取一点 (xi , yi ) ，
可得质量 m i 的近似值：
m i (xi,yi)i
ⅲ 求和 将所得的n个数值相加，就得到这 个平面薄板质量的近似值：
n
设质量非均匀分布的平面薄片占有xOy平面上 的有界闭区域，在点(x,y)处的面密度为 (x,y) ， 它是D上的连续正值函数，求此薄片质量。
我们仍可用第一个问题的处理方法进行计算。
ⅰ 分割 将区域D任意划分
为n个小区域，用 i 表示第 i
个小区域的面积，这样，平面
高数课件27二重积分
二重积分的物理应用
重力场中的质点位移
重力场：地球 表面或天体表
面的重力场
质点：质量集 中于一点的物
体
位移：质点在 重力场中的位
置变化
二重积分：计 算质点在重力 场中的位移所 需的数学工具
电场中的电势计算
电势的定义：电场 中单位电荷所具有 的电势能
电势的计算公式： U=∫Edx
电势的应用：计算 电场中的电势分布 ，分析电场特性
电势的物理意义： 描述电场中电荷所 具有的能量状态
磁场中的磁通量计算
磁通量：磁场穿 过一个平面的磁 力线数量
计算公式：Φ=B·S， 其中B为磁感应强 度，S为平面面积
应用：计算磁场 中的磁通量，了 解磁场分布情况
实例：计算一个圆 形线圈中的磁通量， 了解线圈磁场的分 布情况
感谢您的耐心观看
汇报人：
极坐标系下的计算方法
极坐标系下的二重积分定义 极坐标系下的二重积分计算公式 极坐标系下的二重积分计算步骤 极坐标系下的二重积分应用实例
参数方程下的计算方法
确定参数方程的形 式
计算参数方程的偏 导数
计算参数方程的雅 可比矩阵
计算二重积分的值
二重积分的几何应用
计算平面图形的面积 计算旋转体的体积 计算曲面的面积 计算曲线的长度
二重积分的性质
积分区域的可加性
积分区域的可加性是指，如果两个积分区域的可加性是二重积分的一个重要性质，它使得我们可以将复杂的积分区域分解为若干个 简单的积分区域，从而简化计算
积分区域的可加性还可以用于证明一些积分公式，如格林公式、高斯公式等
积分区域的可加性还可以用于求解一些复杂的积分问题，如曲面积分、曲线积分等
二重积分是计算曲面面积 的一种方法
高数课件27二重积分
二重积分的应用
在几何、物理、经济学等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质 心、转动惯量等。
常见错误类型及避免方法
计算错误
如对积分区域理解不准确、积分顺序错误、 计算失误等；需要细心审题，按照正确的计 算步骤进行计算。
概念理解错误
如对二重积分的概念、性质理解不透彻；需要加强 对基本概念和性质的理解和掌握。
解题步骤
在实际应用中，可能会遇到一些特殊 的二重积分问题，如物理中的质心、 转动惯量等计算问题。
求均匀薄板在直角坐标系下的质心坐 标，其中薄板的密度函数为ρ(x,y)， 所占区域为D。
04 数值方法与近似计算
矩形法、梯形法和辛普森法简介
矩形法
将积分区域划分为若干个小矩形， 以矩形的面积近似代替被积函数 的面积，从而求得二重积分的近 似值。
极坐标下二重积分表示
设$D$是直角坐标系$xOy$中的有界闭区域，其边界曲线 在极坐标系$rho O theta$中的方程为$rho=rho(theta)$， $alpha leq theta leq beta$，则 $iint_{D}f(x,y)dsigma=int_{alpha}^{beta}dtheta int_{0}^{rho(theta)}f(rho cos theta, rho sin theta)rho drho$。
应用问题错误
如在实际应用中未能正确建立数学模型或选 择合适的计算方法；需要提高应用能力和问 题解决能力。
提高解题效率和准确性建议
熟练掌握基本计算方法
通过大量练习，熟练掌握直角坐标法、极坐标法等基本 计算方法，提高计算速度和准确性。
注意积分顺序的选择
根据具体问题选择合适的积分顺序，可以简化计算过程 并提高计算效率。
在几何、物理、经济学等领域有广泛应用，如计算面积、体积、质 心、转动惯量等。
常见错误类型及避免方法
计算错误
如对积分区域理解不准确、积分顺序错误、 计算失误等；需要细心审题，按照正确的计 算步骤进行计算。
概念理解错误
如对二重积分的概念、性质理解不透彻；需要加强 对基本概念和性质的理解和掌握。
解题步骤
在实际应用中，可能会遇到一些特殊 的二重积分问题，如物理中的质心、 转动惯量等计算问题。
求均匀薄板在直角坐标系下的质心坐 标，其中薄板的密度函数为ρ(x,y)， 所占区域为D。
04 数值方法与近似计算
矩形法、梯形法和辛普森法简介
矩形法
将积分区域划分为若干个小矩形， 以矩形的面积近似代替被积函数 的面积，从而求得二重积分的近 似值。
极坐标下二重积分表示
设$D$是直角坐标系$xOy$中的有界闭区域，其边界曲线 在极坐标系$rho O theta$中的方程为$rho=rho(theta)$， $alpha leq theta leq beta$，则 $iint_{D}f(x,y)dsigma=int_{alpha}^{beta}dtheta int_{0}^{rho(theta)}f(rho cos theta, rho sin theta)rho drho$。
应用问题错误
如在实际应用中未能正确建立数学模型或选 择合适的计算方法；需要提高应用能力和问 题解决能力。
提高解题效率和准确性建议
熟练掌握基本计算方法
通过大量练习，熟练掌握直角坐标法、极坐标法等基本 计算方法，提高计算速度和准确性。
注意积分顺序的选择
根据具体问题选择合适的积分顺序，可以简化计算过程 并提高计算效率。
最新文档-0901二重积分的概念与性质-PPT精品文档
V i f(i,i)i. o
(3) 求和:
xD
n
n
VV i f(i,i)i.
i1
i1
y
(i ,i )
i
n
(4)
取极限:
Vl i0m i 1f(i,i)i.
Vf(x,y)d.
D
２．计算平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D，在点
D
D
特殊地 f(x,y)df(x,y)d.
D
D
性质６(二重积分估值不等式）
设 M 和 m分别 f(x,是 y)在有闭 D上 区 的 域 最大 , 和
表示闭 D的 区面 域 , 则 积有:
m f(x,y)dM .
D
性质７(二重积分中值定理)
若f(x,y)在有界闭 D上区 连域 ,续 表示闭 D的 区面 域 , 积 则D 在 上至少存 (,在 )使 , 一得 :点
1e x2y2d ea2 ,
D
abe(x2y2)dabea2.
D
例3 比l较 n x (y)d与பைடு நூலகம்[lx n y ()2 ]d的大 , 小
D
D
其D 是 中三角 ,其 形 顶 闭 点 (1,区 0)(,2 分 ,0)域 (1 ,,1 别 ).
lim0i1ki
n
klim0i1i
klimA
0
D
(i,i)
kA.
i
◆关于面积元素的说明:
在直角坐标系下用平行于坐 标轴的直线网来划分区域D. y
则面积元素 ddxdy,
故二重积分可写为:
o
D
x
f(x,y)df(x, y)dxd.y
二重积分的概念与性质-PPT精品文档
的体积为
Vlim λ0 i1
f(ξi,ηi)σi.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
由于这种特殊和式的极限应用极广，实际工作 中各个领域中的不少问题，通常都要化为这种和式 的极限。因此，有必要对这种和的极限进行一般性 的研究。
为了研究问题方便起见，数学上人们就把这种 特殊结构的和的极限称为二重积分。
者之间的共性与区别.
第一节 二重积分的概念与性质
（一）问题的提出
曲顶柱体 以曲面zf(x,为y)顶，以xy平面上区域D为
底，以通过D的边界且与z轴平行的柱面为侧面的立体。
１．曲顶柱体的体积(volume)
zf(x,y)
（曲顶）柱体体积=？
特点：曲顶 D （平顶）柱体体积 =底面积 × 高
特点：平顶
以常代变Δ Si f(ξi)Δ xi;
n
n oa
积零为整 S Si f(ξi)Δxi.
bx
i1
i1
无限累加
n
b
Slλ i0m i1f(ξi)Δ xi af(x)dx.
第一节 二重积分的概念与性质
1. 求曲顶柱体的体积
曲顶柱体: 以xOy平面上的
有界闭区域D为底, 其侧面为以 D的边界线为准线, 而母线平行于 z轴的柱面， 其顶是连续曲面
(3)若f (x,y)在D的某些子区域上为正的, 在D的另一些
子区域上为负的， 则 f (x, y)dσ表示在这些子区域上
曲顶柱体体积的代数和. D
（4）当 f(x,y时), 1 则 d =区域D的面积.
D
4.二重积分的性质
V bπ[f(x)]2dx. a
已知平行截面面积的几何体的体积
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i
i
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
i
2) 取近似.
物理 问 题 m ( , )
3) 求和. m
( , )
i 1 i i
n
i n
i
i
i
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
数学形式相同
lim f ( i , i ) i
0
i 1
n
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D 任意分成 n 个小闭区域
o
A
C
x
x y 1
利用对称性简化二重积分的计算
D关于坐标轴对称 关于x轴对称
关于y轴对称类似
D1
f ( x , y )d
D
0
D1
f ( x , y ) f ( x , y )
2 f ( x , y )d f ( x , y ) f ( x , y )
D关于原点对称
Vi f ( i , i ) i 2) 取近似. m i ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i
0
i 1
y
( i , i )
D
μ(x,y)
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
y
( i ,i )
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
3) 求和. m
Vi f ( i , i ) i 2) 取近似. m i ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i
D1
f ( x , y )d
D
0
f ( x , y ) f ( x , y )
2 f ( x , y )d f ( x , y ) f ( x , y )
D1
D关于y=x对称
D2 D1
f ( x , y )d f ( y, x )d
D D
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
性质1
(线性)
f ( x , y ) g( x , y )d f ( x , y )d g( x , y )d
D D D
性质2
(区域可加性)
1
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d D D
D D1 D2
D2
性质3
1d d (σ为区域D的面积)
D D
性质4
(不等式)
如果在D上， f
( x , y ) ( x , y ),
f ( x , y )d ( x , y )d
D D
推论
性质5
f ( x , y )d f ( x , y ) d
D
注 (1) 二重积分仍然是一个数! (2) 二重积分仅与 被积函数
区域分法
无关 有关，与 ξ 的取法 i 积分区域 积分变量记法 (3) 二重积分的存在性:
若f(x,y)在闭区域D上连续，f(x,y)在D上的二重积分存在. (4) 二重积分的几何意义:
f ( x, y) 0
曲顶柱体的体积
f ( x , y )d
当各小闭区域的直径中的最大值 且与闭区域D的分法及点
0 时,这和的极限总存在,
(的取法无关，那么称此极限为 i , i )
记作
函数 f ( x , y )在闭区域D上的二重积分, 即
n
D
f ( x , y )d ,
D
f ( x , y )d lim f ( i , i ) i .
1 , 2 , , n ,其中 i 表示第i个 i 上任取一点 ( i , i ),
n i 1
个小闭区域,也表示它的面积.在每个
作乘积
f ( i , i ) i ( i 1 , 2 , , n ), 并作和 f ( i , i ) i . 如果
D D
(估值定理)
如果在D上， m
f ( x, y) M
(σ为区域D的面积)
m f ( x , y )d M
D
性质6
(中值定理)
若f(x,y)在闭区域D上连续
, D ,
f x , y d f ( , )
D
例2 比较下列积分的大小： (1)
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
曲顶柱体的体积:
V f ( x , y )d .
D
平面薄片的质量:
M ( x , y )d .
( x y ) d
2 D
与
( x y ) d
3 D
y
D:
( x 2 ) ( y 1) 2
2 2
o (2)
x
ln( x y )d 与 ln( x y ) d
2
D
x y1
D
y
B
D:顶点为A(1，0),B(1，1) C(2，0)的三角形闭区域.
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
f ( x , y )d f ( y, x )d
D1
f ( x, y) f ( y, x )
1 f ( x , y )d 2 D
D2
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 分割 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
第一讲 二重积分的概念与性质
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域 2.平面薄片的质量
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
z
z =f (x,y)
Vi f ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i
i
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
i
2) 取近似.
物理 问 题 m ( , )
3) 求和. m
( , )
i 1 i i
n
i n
i
i
i
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
数学形式相同
lim f ( i , i ) i
0
i 1
n
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
定义 设 f ( x , y ) 是有界闭区域D上的有界函数.将闭区域D 任意分成 n 个小闭区域
o
A
C
x
x y 1
利用对称性简化二重积分的计算
D关于坐标轴对称 关于x轴对称
关于y轴对称类似
D1
f ( x , y )d
D
0
D1
f ( x , y ) f ( x , y )
2 f ( x , y )d f ( x , y ) f ( x , y )
D关于原点对称
Vi f ( i , i ) i 2) 取近似. m i ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i
0
i 1
y
( i , i )
D
μ(x,y)
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
3) 求和. m
取近似 2) 取近似. m i ( i , i ) i Vi f ( i , i ) i 和 ) f ( , 求
i 1 i i
n
3) 求和. V
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
, i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i 4) 取极限.V lim f ( i 取极限
o
y
( i ,i )
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
3) 求和. m
Vi f ( i , i ) i 2) 取近似. m i ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
( , )
i 1 i i
n
n
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i4) 取极限.m lim ( i , i ) i
D1
f ( x , y )d
D
0
f ( x , y ) f ( x , y )
2 f ( x , y )d f ( x , y ) f ( x , y )
D1
D关于y=x对称
D2 D1
f ( x , y )d f ( y, x )d
D D
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
性质1
(线性)
f ( x , y ) g( x , y )d f ( x , y )d g( x , y )d
D D D
性质2
(区域可加性)
1
f ( x , y )d f ( x , y )d f ( x , y )d D D
D D1 D2
D2
性质3
1d d (σ为区域D的面积)
D D
性质4
(不等式)
如果在D上， f
( x , y ) ( x , y ),
f ( x , y )d ( x , y )d
D D
推论
性质5
f ( x , y )d f ( x , y ) d
D
注 (1) 二重积分仍然是一个数! (2) 二重积分仅与 被积函数
区域分法
无关 有关，与 ξ 的取法 i 积分区域 积分变量记法 (3) 二重积分的存在性:
若f(x,y)在闭区域D上连续，f(x,y)在D上的二重积分存在. (4) 二重积分的几何意义:
f ( x, y) 0
曲顶柱体的体积
f ( x , y )d
当各小闭区域的直径中的最大值 且与闭区域D的分法及点
0 时,这和的极限总存在,
(的取法无关，那么称此极限为 i , i )
记作
函数 f ( x , y )在闭区域D上的二重积分, 即
n
D
f ( x , y )d ,
D
f ( x , y )d lim f ( i , i ) i .
1 , 2 , , n ,其中 i 表示第i个 i 上任取一点 ( i , i ),
n i 1
个小闭区域,也表示它的面积.在每个
作乘积
f ( i , i ) i ( i 1 , 2 , , n ), 并作和 f ( i , i ) i . 如果
D D
(估值定理)
如果在D上， m
f ( x, y) M
(σ为区域D的面积)
m f ( x , y )d M
D
性质6
(中值定理)
若f(x,y)在闭区域D上连续
, D ,
f x , y d f ( , )
D
例2 比较下列积分的大小： (1)
D
f ( x, y) 0
一般情况
曲顶柱体体积的负值
曲顶柱体体积的代数和
例 1
根据二重积分的几何意义，计算下列积分值：
D : x2 y2 R2.
(1)
y
d
D
o
z
x
( 2)
D
R 2 x 2 y 2 d
o
y
x
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
0
i 1
i , i ) i . f ( f ( x , y )d lim 0
D i 1
n
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
曲顶柱体的体积:
V f ( x , y )d .
D
平面薄片的质量:
M ( x , y )d .
( x y ) d
2 D
与
( x y ) d
3 D
y
D:
( x 2 ) ( y 1) 2
2 2
o (2)
x
ln( x y )d 与 ln( x y ) d
2
D
x y1
D
y
B
D:顶点为A(1，0),B(1，1) C(2，0)的三角形闭区域.
o
x
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
i
几 何 问 题 2) 取近似. V f ( , )
3) 求和. V
1 , 2 , , i , , n
f ( x , y )d f ( y, x )d
D1
f ( x, y) f ( y, x )
1 f ( x , y )d 2 D
D2
0
i 1
0
i 1
不同点： 背景不同
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 分割 用一组曲线网把D分成n个小区域
2．平面薄片的质量
1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小块
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
1 , 2 , , i , , n
第一讲 二重积分的概念与性质
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
一、二重积分的概念
（一）引例 （二）定义
（一）引例
1．曲顶柱体的体积 1) 分割. 用一组曲线网把D分成n个小区域 2.平面薄片的质量
1 , 2 , , i , , n
2) 取近似.
z
z =f (x,y)
Vi f ( i , i ) i
3) 求和. V
f ( , )
i 1 i i
n
n
i
4) 取极限.V lim f ( i , i ) i