已知一点的应力状态MPa

第一章

1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=ΛΛΛ

ij σMPa ，试求该应力空间中

122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？

解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：

2

2

2

C

B A A ++=

l ，2

2

2

C

B A B ++=

m ，2

2

2

C

B A

C n ++=

因此：312)(-2112

22=

++=

l ，322)(-212-222-=++=m ；3

22)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100

325031200=

⨯-⨯

S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350

321503150=⨯+⨯

S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=3

200

32100-=⨯-

1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：

⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛--=1030205040100ΛΛΛ

ij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。

解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140

=2J 2

22xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）

-402

-(-20)2

-302

=600

=3J 321σσσ=2

222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000

σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7 σ8=σm =46.7

1-12设物体内的应力场为3

126x c xy x +-=σ，222

3

xy c y -

=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。

解：由应力平衡方程的：

即：()()0x c -3c

y 3c 6231

22

=++-

（1）

03c 2c 23=-- （2）

有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=3

1-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 0375087500

58050

05⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---=ij σ求外法线方向余弦为l=m=

21

，n=2

1的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。 解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=240502

1

8021502150+=⨯+⨯+⨯

S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 25.37252

1752150-=⨯-⨯

S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=2155.22

130********-=⨯-⨯-⨯

S=111.7

J1=20 J2=16025 J3=-806250

σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.6

1-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为

a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σMPa ；b)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********ij σ MPa ；c)⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ

MPa

1）画出该点的应力单元体；

2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。 解：a ）点的应力单元体如下图 2）

a)⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛-=01001-001010-00

1ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，

主应力和主方向： σ1=20 MPa ，l=;22±

m=0；n=;2

2

μ σ2=-10 MPa ，l=m= n=0 σ3=0 MPa ，l=;22±

m=0；n=;2

2± 主剪应力τ12=±15 MPa ；τ23=±5 MPa ；τ12=±10 MPa

最大剪应力τmax =15 MPa

八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=12.47 MPa 。 等效应力45.26=σMPa 应力偏张量及球张量。

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-

=30200

1-030

4010-03

2ij σ MPa ；⎪

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭⎫ ⎝

⎛=3010003

1000301ij σ MPa ； b) 点的应力单元体如下图

⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛=010*********ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=2500 MPa ，J 3=500 MPa ，

主应力和主方向：

σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;2

2

±

n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;2

2

±

n=0。 主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax =30 MPa

八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=41.1 MPa 。 等效应力2.87=σMPa 应力偏张量及球张量。