已知一点的应力状态MPa
平面问题中一点的应力状态
⑶ 它是在边界上物体保持连续性的条 件，或位移保持连续性的条件。
应力边界条件－－设在 s 上给定了面力分 量
fx (s), f y (s).
通过三角形微分体的平衡条件，导出坐标面应力 与斜面应力的关系式，
p l σ m , p m σ l , x x y x y y x y
x y 2 2 xy
2
σ1+σ2=σx+σy
③任一点主应力值是过该点各截面上正应力中的极值。 2 ④最大剪应力所在平面与主 x y 1 2 平面相交45°，其值为 2
m ax
2
⑤主平面上剪应力等于零，但τmax
yx
A
y
x
x l l m p l m l l xy m xy x x x x y x l xy p xyl m m l y ym y xy m xy m l px m y xy l y
问题
§2－ 5
平面问题中一点的 应力状态
空间问题有 6 个独立的应力分量，平面问题有 3 个 不为0的应力分量，可决定一点的应力状态。即， 可求出过该点任意斜截面上的正应力与剪应力。
问题的提出：
,xy 已知任一点P处坐标面上应力 σx, σy，
求经过该点的任何斜面上的应力。
问题
斜面应力表示：p ( p ,p ), p ( σ , ). x y n n 求解：取出一个三角形微分体（包含 x 面，
小结： （1）斜面上的应力
p l m yx x x p m l y y x y
（2-3） （2-4）
2 2 l m 2 l m N x y x y （2-5） 2 2 l m ( ) ( l m ) （2-6） N y x x y
弹塑性力学习题解答
第一、二章作业一、选择题：1．弹性力学的研究对象是 B 。
A．刚体；B．可变形固体；C．一维构件； D．连续介质；2．弹性力学的研究对象是 C几何尺寸和形状。
A．受到…限制的物体； B．可能受到…限制的物体；C．不受…限制的物体； D．只能是…受限制的任何连续介质；3．判断一个张量的阶数是根据该张量的C确定的。
A．下标的数量； B．哑标的数量； C．自由标的数量； D．字母的数量。
4．展开一个张量时，对于自由下标操作的原则是按其变程C。
A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。
5．展开一个张量时，对于哑脚标操作的原则是按其变程B。
A．一一罗列； B．先罗列再求和； C．只罗列不求和； D．一一求和。
6．在弹性力学中，对于固体材料（即研究对象）物性组成的均匀性以及结构上的连续性等问题，提出了基本假设。
这些基本假设中最基本的一条是 A。
A．连续性假设； B．均匀性假设；C．各向同性的假设； D．几何假设——小变形条件；7．从一点应力状态的概念上讲，当我们谈及应力，必须表明的是D。
A．该应力的大小和指向，是正应力还是剪应力；B．该应力是哪一点处的正应力和剪应力，还是全应力；C．该应力是哪一点处的应力D．该应力是哪一点处哪一微截面上的应力，是正应力还是剪应力。
8．表征受力物体内一点处的应力状态一般需要__B_应力分量，其中独立的应力分量有_C__。
A． 18个； B． 9个； C． 6个； D． 2个。
9．一点应力状态的主应力作用截面上，剪应力的大小必定等于___D_________。
A．主应力值； B．极大值； C．极小值； D．零。
10．一点应力状态的最大（最小）剪应力作用截面上的正应力，其大小_____D_______。
A．一般不等于零； B．等于极大值； C．等于极小值； D．必定等于零。
11．平衡微分方程是 C 间的关系。
A ．体力分量和面力分量；B ．应力分量和面力分量；C ．体力分量和应力分量；D ．体力分量、面力分量和应力分量；12．静力边界条件是 B 间的关系。
弹性力学100题
一、单项选择题1.弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A ．相容方程B ．近似方法C ．边界条件D ．附加假定2.根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A ．几何上等效B ．静力上等效C ．平衡D ．任意3.弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A ．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B ．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C ．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D ．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同4.不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A. ①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5.如下图1所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm 对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I 单元的整体编码为162② II 单元的整体编码为426③ II 单元的整体编码为246④ III 单元的整体编码为243⑤ IV 单元的整体编码为564图1A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤ 6.平面应变问题的微元体处于（ C ）A.单向应力状态B.双向应力状态C.三向应力状态，且z 是一主应力D.纯剪切应力状态7.圆弧曲梁纯弯时，（ C ）A.应力分量和位移分量都是轴对称的 463521I III II IVB.应力分量和位移分量都不是轴对称的C.应力分量是轴对称的，位移分量不是轴对称的D.位移分量是轴对称的，应力分量不是轴对称的8.下左图2中所示密度为ρ的矩形截面柱，应力分量为：0,,0=+==xy y x B Ay τσσ对图（a ）和图(b)两种情况由边界条件确定的常数A 及B 的关系是（ C ）A.A 相同，B 也相同B.A 不相同，B 也不相同C.A 相同，B 不相同D.A 不相同，B 相同图 2 图 39、上右图3示单元体剪应变γ应该表示为（ B ）10、设有平面应力状态x ay dx dy cx by ax xy y x γτσσ---=+=+=,,，其中，d c b a ,,,均为常数，γ为容重。
已知一点的应力状态MPa
第一章々o …已知一点的应力状态b 耳=5 -151° 0… x 10 MPa ,试求该应力空间中一10」解：若平面方程为 Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为:1cx I + T xy m + T xz n= 200- - 50 333解：J 1 - ； x 二 y =100+50-10=140. 2 2 2J 2 = m 「二 y 一 yz 一 xz 一 xy =100 X 50+50 X( -10 ) +100 X( -10 )x -2y 2z =1的斜截面上的正应力；「n 和切应力• n 为多少?1-10.A A 2B 2C 2m -----------------寸A 2 +B 2 +C 2c ..A 2 B 2 C 2因此：I . __________________J 12 +(-2)2 +22-2 12 (-2)2222；n ——S x =S y=Txy l +S z =T xz l +12350cr y m+ T zy n = 50150 -32001-11 已知 OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为(4 , 3 , -12 ),其应力张量为:100 4050 ，求出主应力，应力偏量及球张量,八面体应力。
30-102 100即：-6 3c 2y 2 3G -c 3x 2 = 0-2c 3- 3c 2- 0(2)有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方， 因此，-6-3C 2=03C 1-C 3=0联立（2 ）、（ 3 ）和（4）式得： 即：c 1 = 1 , C 2 = —2 , c 3=3要使（1）为零，必须使其系数项为零，塔050 80 \1 (3) (4)1-13.已知受力物体内一点应力张量为：6 =50 0 -75 MPa,求外法线方向余e°-75-30 /1 1 1 — T xz n=505080 一 ： 50 40 •, 22T xz l + T yz m + T z n =80 汽 一一75 汉一一30 汉丄= 2.5 —15血2 2 <2S=111.7 J1=20 J2=16025 J3=-80625032T -20 T -16025 T +806250=0方程具有三个不相等的实根!T 1=-138.2, T 2=99.6, T 3=58.61-14.在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为z 10 0 -10、 '050 0 '*-10-5 -10 A a)Fj =-10 0MPa ;b)—j =50 00 MPa ;泸 j =-5-2c 1010310C 100 一6」MPa(1)1弦为l=m=—,n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。
材料力学习题解答[第五章]
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5-1构件受力如图5-26所示。
试：(1)确定危险点的位置；(2)用单元体表示危险点的应力状态（即用纵横截面截取危险点的单元体，并画出应力）。
题5-1图解：a) 1) 危险点的位置：每点受力情况相同，均为危险点；2）用单元体表示的危险点的应力状态见下图。
b) 1) 危险点的位置：外力扭矩3T与2T作用面之间的轴段上表面各点；2）应力状态见下图。
c) 1) 危险点：A点，即杆件最左端截面上最上面或最下面的点；2）应力状态见下图。
d) 1）危险点：杆件表面上各点；2）应力状态见下图。
5-2试写出图5-27所示单元体主应力σ1、σ2和σ3的值，并指出属于哪一种应力状态（应力单位为MPa）。
10题5-2图解：a)1σ=50 MPa,2σ=3σ=0,属于单向应力状态AAT （a）（c）（d）364dFlπτ=a) b) c) d)a) b) c)b) 1σ=40 MPa, 2σ=0, 3σ=－30 MPa ，属于二向应力状态 c) 1σ=20 MPa, 2σ=10 MPa, 3σ=－30 MPa ，属于三向应力状态5-3已知一点的应力状态如图5-28所示（应力单位为MPa ）。
试用解析法求指定斜截面上的正应力和切应力。
题5-3图解：a) 取水平轴为x 轴，则根据正负号规定可知： x σ=50MPa , y σ=30MPa , x τ=0, α=－30 带入式（5-3），（5-4）得 ατασσσσσα2sin 2cos 22x yx yx --++==45MPaατασστα2cos 2sin 2x yx +-== -8.66MPab) 取水平轴为x 轴，根据正负号规定：x σ= -40MPa , y σ=0 , x τ=20 MPa , α=120带入公式，得：240sin 20240cos 20402040---++-=ασ=7.32MPa x τ= 240cos 20240sin 2040+--=7.32MPac) 取水平轴为x 轴，则x σ= -10MPa , y σ=40MPa , x τ= -30MPa,α=30代入公式得：60sin )30(60cos 2401024010----++-=ασ=28.48MPa x τ= 60cos 3060sin 24010---=-36.65MPa5-4已知一点的应力状态如图5-29所示（应力状态为MPa ）。
材料成型原理第九章答案
第九章习题9-6 等效应力有何特点？写出其数学表达式。
答：等效应力的特点：等效应力不能在特定微分平面上表示出来，但它可以在一定意义上“代表”整个应力状态中的偏张量部分，因而与材料的塑性变形密切有关。
人们把它称为广义应力或应力强度。
等效应力也是一个不变量。
其数学表达式如下： 等效应力在主轴坐标系中定义为 22132322213)()()(21J '=-+-+-=σσσσσσσ在任意坐标系中定义为 )(6)()()(21222222zx yz xy x z z y y x τττσσσσσσσ+++-+-+-=9-7已知一点的应力状态12515100010ij σ⎛⎫⎪=-⨯ ⎪ ⎪-⎝⎭MPa ，试求该应力空间中122=+-z y x的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？ 解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxzn=122012050333⨯-⨯= S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n =3350321503150=⨯+⨯ S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-20135022002S S S 33333310801209x y z l m n σ=++=⨯-⨯-⨯=-=-22222222035020018100333x y z S S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭60.8τ=9-8 如222450/,450/,0,150/x y z xy N mm N mm N mm σσστ====，那么主应力和最大剪应力是多少？解：通过450x σ=及450y σ=的莫尔圆圆心一定在450σ=处，因此，x σ及y σ就是作用在极大剪应力平面上的正应力，而2150/m xy mm ττ==。
弹性力学与有限元分析试题及其答案
一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。
2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。
3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。
4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。
与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。
应力及其分量的量纲是L -1MT -2。
5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。
6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。
7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力=1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。
8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。
9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ1052MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。
10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。
11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。
12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。
分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。
13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。
14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。
其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。
15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。
金属塑性加工习题
绪论0-1 请选择你生活学习中所接触的五种物品，写一篇约五千字的调研笔记，调查其从原料到该物品制造的全过程，运用你所学的知识分析制造这些物品所涉及的学科知识。
第一章应力分析与应变分析1-1 塑性加工的外力有哪些类型？1-2 内力的物理本质是什么？诱发内力的因素有哪些？1-3 何谓应力、全应力、正应力与切应力？塑性力学上应力的正、负号是如何规定的？1-4 何谓应力特征方程、应力不变量？1-5何谓主切应力、八面体应力和等效应力？它们在塑性加工上有何意义？1-6 何谓应力张量和张量分解方程？它有何意义？1-7 应力不变量（含应力偏张量不变量）有何物理意义？1-8 塑性变形的力学方程有哪几种？其力学意义和作用如何？1-9 锻造、轧制、挤压和拉拔的主力学图属何种类型？1-10变形与位移有何关系？何谓全量应变、增量应变？它们有何联系和区别？1-11简述塑性变形体积不变条件的力学意义。
1-12何谓变形速度？它们与工具速度、金属质点运动速度有何区别和联系？1-13何谓变形力学图？如何根据主应力图确定塑性变形的类型？1-14锻造、轧制、挤压和拉拔的变形力学图属何种类型？1-15塑性加工时的变形程度有哪几种表示方法？各有何特点？1-16已知一点的应力状态MPa，试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少？1-17现用电阻应变仪测得平面应力状态下与x轴成0°，45°，90°角方向上的应力值分别为，试问该平面上的主应力各为多少？1-18 试证明：（1）（2）1-19 一圆形薄壁管，平均半径为R，壁厚为t，二端受拉力P及扭矩M的作用，试求三个主应力的大小与方向。
1-20 两端封闭的薄壁圆管。
受轴向拉力P，扭矩M，内压力ρ作用，试求圆管柱面上一点的主应力的大小与方向。
其中管平均半径为R，壁厚为t，管长为l。
1-21已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为，，试求该点的应奕分量，并求出主应变的大小与方向。
金属塑性加工试卷及标准答案
中南大学考试试卷2001 —— 2002 学年第二学期时间110 分钟金属塑性加工原理课程64 学时4 学分考试形式：闭卷专业年级材料1999 级总分100 分，占总评成绩70%一、名词解释（本题10分，每小题2分）1.热效应2.塑脆转变现象3.动态再结晶4.冷变形5.附加应力二.填空题（本题10分，每小题2分）1.主变形图取决于______，与_______无关。
2.第二类再结晶图是_____，_______与__________的关系图。
3.第二类硬化曲线是金属变形过程中__________与__________之间的关系曲线。
4.保证液体润滑剂良好润滑性能的条件是_______，__________。
5.出现细晶超塑性的条件是_______，__________，__________。
三、判断题（本题10分，每小题2分）1.金属材料冷变形的变形机构有滑移（），非晶机构（），孪生（），晶间滑动（）。
2.塑性变形时，静水压力愈大，则金属的塑性愈高（），变形抗力愈低（）。
3.金属的塑性是指金属变形的难易程度（）。
4.为了获得平整的板材，冷轧时用凸辊型，热轧时用凹辊型（）。
5.从金相照片上观察到的冷变形纤维组织，就是变形织构（）。
四、问答题（本题40 分，每小题10 分）1.分别画出挤压、平辊轧制、模锻这三种加工方法的变形力学图，并说明在生产中对于低塑性材料的开坯采用哪种方法为佳？为什么？2.已知材料的真实应变曲线，A 为材料常数，n 为硬化指数。
试问简单拉伸时材料出现细颈时的应变量为多少？3.试比较金属材料在冷，热变形后所产生的纤维组织异同及消除措施？4.以下两轧件在变形时轧件宽度方向哪一个均匀？随着加工的进行会出现什么现象？为什么？（箭头表示轧制方向）五、证明题（本题10 分）证明Mises 塑性条件可表达成：六、综合推导题（本题20 分）试用工程法推导粗糙砧面压缩矩形块（Z 向不变形）的变形力P 表达式，这里接触摩擦中南大学考试试卷2002 —— 2003 学年第二学期时间110 分钟金属塑性加工原理课程64 学时4 学分考试形式：闭卷专业年级材料2000 级总分100 分，占总评成绩70%一、名词解释（本小题10分，每小题2分）1.热变形2.弹塑性共存定律3.动态再结晶4.附加应力5.热效应二、填空题（本题22 分，每小题 2 分）1.金属塑性加工时，工件所受的外力分为_______________ 和_______________2.主变形图有_______________ 种，各主应变分量必须满足条件是：_______________3.应变速度是指_________________________________________4.平面应变其应力状态的特点是σz ＝________________________________________5.材料模型简化为理想刚塑性材料是忽略了材料的_______________ 和______________6.压力加工中热力学条件是指________、_______、_______7.第二类再结晶图是_______、________与_________关系图。
塑性成形理论课后答案(答案参考)
第一章1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ΛΛΛij σMPa ，试求该应力空间中122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100325031200=⨯-⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350321503150=⨯+⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-11191000323200323350313100S S S -=-=⨯-⨯-⨯=++=n m l z y x σ125003200335031002222222=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=zyxS S S S4.1391000125002=⎪⎭⎫⎝⎛-=τ1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1030205040100ΛΛΛij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140=2J 222xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600=3J 321σσσ=2222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000019200060014023=-+-σσσσ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7;7.5630203.3403.53⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='ΛΛΛij σ ;7.460007.4607.46m ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛi σσ8=σm =46.71.39)()()(312132322218=-+-+-±=σσσσσστ 1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
金属塑性成形理论课后答案
第一章1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ΛΛΛij σMPa ，试求该应力空间中122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100325031200=⨯-⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350321503150=⨯+⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-11191000323200323350313100S S S -=-=⨯-⨯-⨯=++=n m l z y x σ125003200335031002222222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛=++=z y x S S S S4.1391000125002=⎪⎭⎫⎝⎛-=τ1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1030205040100ΛΛΛij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140=2J 222xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600=3J 321σσσ=2222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000019200060014023=-+-σσσσ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7;7.5630203.3403.53⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--='ΛΛΛij σ ;7.460007.4607.46m ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛi σ σ8=σm =46.71.39)()()(312132322218=-+-+-±=σσσσσστ 1-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
已知应力状态如图所示
60o
σ2
p
σ1
解：(1) 求主应力
σ1
=
pD 2t
=
3×106 ×1 = 150 2 × 0.01
MPa
σ2
=
pD 4t
= σ1 2
= 75
MPa
σ3 = 0
最大切应力
τ max
=
σ1
−σ3 2
= 150 − 0 2
=
75
MPa
(2) 斜截面 ab 上的正应力及切应力：
σ x = σ 2 σ y = σ1 τ xy = 0 α = 60o
τ
(35,60.6)
60o
-70
70 σ
(e) (1) 应力分量
σ x = 70MPa σ y = 70MPa τ xy = 0 α = 30o
(2) 用解析法求斜截面上的应力
σα
=σ x
+σ 2
y
+σx
−σ 2
y
cos 2α
−τ
x sin 2α
= 70 + 70 = 70MPa 2
τ
α
σ =
x
−σ 2
σ1 = 70.4 MPa σ 2 = 0 σ 3 = −10.4 MPa
(4) 截面上 4 点的应力：
σ (4) = −σ (1) = 120 MPa τ (4) = 0
应力状态单元：
120MPa
主应力：
σ1 = 120 MPa σ 2 = σ 3 = 0
8.8. 图为薄壁圆筒的扭转-拉伸示意图。若 P=20 kN，T=600 NN·m，且 d=50 mm，δ=2 mm。 试求：(1)A 点在指定斜截面上的应力。(2)A 点主应力的大小及方向，并用单元体表示。
东北大学考研金属塑性成型力学课后答案解析
1-6 已知物体内某点的应力分量为xσ=yσ=20MPa，xyτ=10MPa，其余应力分量为零，试求主应力大小和方向。
解：zyxIσσσ++=1=40MPa2222)(zxyzxyxzzyyxIτττσσσσσσ+++++-==-300 MPa22232xyzzxyyzxzxyzxyzyxIτστστστττσσσ---+==03004023=+-σσσ1σ=30MPa2σ=10 MPa3σ=01-7已知变形时一点应力状态如图1-34所示，单位为MPa，是回答下列问题？（1）注明主应力；（2）分解该张量；（3）给出主变形图；（4）求出最大剪应力，给出其作用面。
解：（1）注明主应力如下图所示：（2）分解该张量；⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---11666765＋＝（3）给出主变形图（4）最大剪应力127523113±=+-±=-±=σστ MPa 其作用面为1-8已知物体内两点的应力张量为a 点1σ=40 MPa ，2σ=20 MPa ，3σ=0；b 点：y x σσ==30 MPa ，xy τ=10 MPa ，其余为零，试判断它们的应力状态是否相同。
解：a 点MPa I 603211=++=σσσ)(1332212σσσσσσ++-=I =-800 MPa 3213σσσ=I =0z y x I σσσ++=1=60 MPa2222)(zx yz xy x z z y y x I τττσσσσσσ+++++-==-800 MPa 22232xyz zx y yz x zx yz xy z y x I τστστστττσσσ---+==0 其特征方程一样，则它们的应力状态相同。
1-10 某材料进行单向拉伸试验，当进入塑性状态时的断面积F=100mm 2，载荷为P=6000N ； （1）求此瞬间的应力分量、偏差应力分量与球分量； （2）画出应力状态分解图，写出应力张量； （3）画出变形状态图。
第十二章 应力状态和强度理论习题
试题答案：
解：(1)
(2)
(3)
， ，
8、求图示木梁截面 上点 与轴线成 角方向的线应变 。已知 ， ， ，材料的弹性模量 ，泊松比 。
试题答案：
解：在点B，正应力为零，只有切应力，为纯剪切应力状态。
，
9、设地层由石灰岩组成，其密度 ，泊松比 。计算离地面 深处的地压应力。
（2）
（3）
12、受内压的薄壁圆筒，已知内压为 ，平均直径为 ，壁厚为 ，弹性常数为 、 。试确定圆筒薄壁上任一点的主应力、主应变及第三、第四强度理论的相当应力。
解： ， ，
13、构件中危险点的应力状态如图所示。试选择合适的准则对以下两种情形作强度校核：1．构件为钢制
= 45MPa， = 135MPa， = 0， = 0，
1、层合板构件中微元受力如图所示，各层板之间用胶粘接，接缝方向如图中所示。若已知胶层剪应力不得超过1MPa。试分析是否满足这一要求。
解：
MPa
MPa，不满足。
2从构件中取出的微元受力如图所示，其中AC为无外力作用的自由表面。试求：x和xy。
解：应用应力解析公式，有
MPa
据此，解得
MPa
Mpa
3、已知一点的应力状态如图。试求其主应力及其方向角，并确定最大切应力值。
许用应力 = 160MPa。
2．构件材料为铸铁
= 20MPa， =25MPa， = 30MPa， = 0， = 30MPa。
解：
1． 强度满足。
2． 强度满足。
14、炮筒横截面如图示。在危险点处 ， ，第二个主应力 ，且垂直于图面。材料的 ，试用第三强度和第四强度理论进行强度校核。
《金属塑性成形原理》试卷及答案
《金属塑性成形原理》试卷及答案一、填空题1. 设平面三角形单元内部任意点的位移采用如下的线性多项式来表示：，则单元内任一点外的应变可表示为＝。
2. 塑性是指：在外力作用下使金属材料发生塑性变形而不破坏其完整性的能力。
3. 金属单晶体变形的两种主要方式有：滑移和孪生。
4. 等效应力表达式：。
5.一点的代数值最大的 __ 主应力 __ 的指向称为第一主方向，由第一主方向顺时针转所得滑移线即为线。
6. 平面变形问题中与变形平面垂直方向的应力σ z = 。
7．塑性成形中的三种摩擦状态分别是：干摩擦、边界摩擦、流体摩擦。
8．对数应变的特点是具有真实性、可靠性和可加性。
9．就大多数金属而言，其总的趋势是，随着温度的升高，塑性提高。
10．钢冷挤压前，需要对坯料表面进行磷化皂化润滑处理。
11．为了提高润滑剂的润滑、耐磨、防腐等性能常在润滑油中加入的少量活性物质的总称叫添加剂。
12．材料在一定的条件下，其拉伸变形的延伸率超过１００％的现象叫超塑性。
13．韧性金属材料屈服时，密席斯（Mises）准则较符合实际的。
14．硫元素的存在使得碳钢易于产生热脆。
15．塑性变形时不产生硬化的材料叫做理想塑性材料。
16．应力状态中的压应力，能充分发挥材料的塑性。
17．平面应变时，其平均正应力 ｍ等于中间主应力 ２。
18．钢材中磷使钢的强度、硬度提高，塑性、韧性降低。
19．材料经过连续两次拉伸变形，第一次的真实应变为 １＝０.1，第二次的真实应变为 ２＝０.25，则总的真实应变 ＝0.35 。
20．塑性指标的常用测量方法拉伸试验法与压缩试验法。
21．弹性变形机理原子间距的变化；塑性变形机理位错运动为主。
二、下列各小题均有多个答案，选择最适合的一个填于横线上1．塑性变形时，工具表面的粗糙度对摩擦系数的影响A工件表面的粗糙度对摩擦系数的影响。
Ａ、大于；Ｂ、等于；Ｃ、小于；2．塑性变形时不产生硬化的材料叫做A。
Ａ、理想塑性材料；Ｂ、理想弹性材料；Ｃ、硬化材料；3．用近似平衡微分方程和近似塑性条件求解塑性成形问题的方法称为B。
弹性力学题
弹性力学题Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】一、单项选择题1.弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，还必须结合（ C ）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、应变、位移。
A．相容方程 B．近似方法 C．边界条件 D．附加假定2.根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用（ B ）的力系代替，则仅在近处应力分布有改变，而在远处所受的影响可以不计。
A．几何上等效 B．静力上等效 C．平衡 D．任意3.弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题的三类基本方程不完全相同，其比较关系为（ B ）。
A．平衡方程、几何方程、物理方程完全相同B．平衡方程、几何方程相同，物理方程不同C．平衡方程、物理方程相同，几何方程不同D．平衡方程相同，物理方程、几何方程不同4.不计体力，在极坐标中按应力求解平面问题时，应力函数必须满足（ A ）①区域内的相容方程；②边界上的应力边界条件；③满足变分方程；④如果为多连体，考虑多连体中的位移单值条件。
A.①②④B. ②③④C. ①②③D. ①②③④5.如下图1所示三角形薄板，按三结点三角形单元划分后，对于与局部编码ijm对应的整体编码，以下叙述正确的是（ D ）。
① I单元的整体编码为162② II单元的整体编码为426③ II单元的整体编码为246④ III单元的整体编码为243⑤ IV单元的整体编码为564图1A. ①③B. ②④C. ①④D. ③⑤6.平面应变问题的微元体处于（ C ）A.单向应力状态B.双向应力状态是一主应力 D.纯剪切应力状态C.三向应力状态，且z7.圆弧曲梁纯弯时，（ C ）A.应力分量和位移分量都是轴对称的B.应力分量和位移分量都不是轴对称的C.应力分量是轴对称的，位移分量不是轴对称的D.位移分量是轴对称的，应力分量不是轴对称的8.下左图2中所示密度为ρ的矩形截面柱，应力分量为：0,,0=+==xy y x B Ay τσσ对图（a ）和图(b)两种情况由边界条件确定的常数A 及B 的关系是（ C ）相同，B 也相同 不相同，B 也不相同相同，B 不相同 不相同，B 相同图 2 图 39、上右图3示单元体剪应变γ应该表示为（ B ）10、设有平面应力状态x ay dx dy cx by ax xy y x γτσσ---=+=+=,,，其中，d c b a ,,,均为常数，γ为容重。
一点应力状态描述
一点应力状态与材料强度关系研究1一点应力状态1.1 应力当材料在外力作用下不能产生位移时，它的几何形状和尺寸将发生变化，这种形变就称为应变（Strain）。
材料发生形变时其内部产生了大小相等但方向相反的反作用力抵抗外力，把分布内力在一点的集度称为应力（Stress），应力与微面积的乘积即为内力，或物体由于外因（受力、温度变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并力图使物体从变形后的位置回复到变形前的位置。
1.1.1一点应力状态1.一点应力状态的定义同一截面，点的应力状态不同；即使同一截面，点的应力状态也可能不同。
通过物体内一点可以作出无数个不同取向的截面，其中一定可以选出三个互相垂直的截面，在它上面只有正应力作用，剪应力等于零，用这三个截面表达的某点上的应力，即称为此点的应力状态研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以，了解材料发生破坏的力学上的原因，从而研究一点应力状态有重要意义。
2.一点应力状态的表示一点应力状态的表示可以围绕该点截取微单元体三对相互垂直微面上的应力表示，即单元体上给面应力来表示。
3.一点应力状态的研究方法a.选取一个单元体（含几个应力已知的特殊面），这个过程常称为一点应力状态的描述。
b.研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，就是应力状态分析。
1.1.2材料强度结构杆件所用材料在规定的荷载作用下，材料发生破坏时的应力称为强度，要求不破坏的要求，称为强度要求。
根据外力作用方式不同，材料的抗拉强度、抗压强度、抗剪强度等。
对有屈服点的钢材还有屈服强度和极限强度的区别。
2 应力状态分类及对比研究应力状态的几个概念：主平面：切应力为零的平面；主应力：过一点主平面上的正应力；主方向：主平面的法线方向；可以证明，过一点某单元体上各面的应力已知，则过该点其它面上应力也就完全确定了。
1.根据应力状态分类a.单项应力:只有一个主应力不等于零，另外两个主应力等于零的状态。
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第一章1-10． 已知一点的应力状态10100015520⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ΛΛΛij σMPa ，试求该应力空间中122=+-z y x 的斜截面上的正应力n σ和切应力n τ为多少？解：若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为：222CB A A ++=l ，222CB A B ++=m ，222CB AC n ++=因此：312)(-211222=++=l ，322)(-212-222-=++=m ；322)(-212n 222=++= S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=3100325031200=⨯-⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 3350321503150=⨯+⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=320032100-=⨯-1-11已知OXYZ 坐标系中，物体内某点的坐标为（4，3，-12），其应力张量为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1030205040100ΛΛΛij σ，求出主应力，应力偏量及球张量，八面体应力。
解：=1J z y x σσσ++=100+50-10=140=2J 222xy xz yz y x z x z y τττσσσσσσ---++=100×50+50×（-10）+100×（-10）-402-(-20)2-302=600=3J 321σσσ=2222xy z xz y yz x xz yz xy z y x τστστστττσσσ---+ =-192000σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5 σm=140/3=46.7 σ8=σm =46.71-12设物体内的应力场为3126x c xy x +-=σ，2223xy c y -=σ，y x c y c xy 2332--=τ，0===zx yz z ττσ，试求系数c 1，c 2，c 3。
解：由应力平衡方程的：即：()()0x c -3cy 3c 623122=++-（1）03c 2c 23=-- （2）有（1）可知：因为x 与y 为任意实数且为平方，要使（1）为零，必须使其系数项为零， 因此，-6-3c 2=0 （3） 3c 1-c 3=0 （4） 联立（2）、（3）和（4）式得： 即：c 1=1，c 2=－2，c 3=31-13． 已知受力物体内一点应力张量为：,MPa 03750875005805005⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=ij σ求外法线方向余弦为l=m=21，n=21的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。
解：S x ＝σx l ＋τxy m ＋τxz n=24050218021502150+=⨯+⨯+⨯S y ＝τxy l ＋σy m ＋τzy n = 25.372521752150-=⨯-⨯S z ＝τxz l ＋τyz m ＋σz n=2155.22130********-=⨯-⨯-⨯S=111.7J1=20 J2=16025 J3=-806250σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根！ σ1=-138.2, σ2=99.6,σ3=58.61-14． 在直角坐标系中，已知物体内某点的应力张量为a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σMPa ；b)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=010*********ij σ MPa ；c)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σMPa1）画出该点的应力单元体；2）求出该点的应力不变量，主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。
解：a ）点的应力单元体如下图 2）a)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=01001-001010-001ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=200 MPa ，J 3=0 MPa ，主应力和主方向： σ1=20 MPa ，l=;22±m=0；n=;22μ σ2=-10 MPa ，l=m= n=0 σ3=0 MPa ，l=;22±m=0；n=;22± 主剪应力τ12=±15 MPa ；τ23=±5 MPa ；τ12=±10 MPa最大剪应力τmax =15 MPa八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=12.47 MPa 。
等效应力45.26=σMPa 应力偏张量及球张量。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=302001-0304010-032ij σ MPa ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100031000301ij σ MPa ； b) 点的应力单元体如下图⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=010*********ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=10 MPa ，J 2=2500 MPa ，J 3=500 MPa ，主应力和主方向：σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;22±n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;22±n=0。
主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax =30 MPa八面体应力σ8=3.3 MPa ；τ8=41.1 MPa 。
等效应力2.87=σMPa 应力偏张量及球张量。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=30200030150050301ij σ MPa ；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30100031000301ij σ MPa ； c) 点的应力单元体如下图⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=6001-025-10-5-01-ij σ MPa 该点的应力不变量：J 1=-18 MPa ，J 2=33 MPa ，J 3=230 MPa ，主应力和主方向：σ1=10 MPa ，l=m= n=0 σ2=50 MPa ，l= m=;22±n=0； σ3=-50 MPa ，l= m=;22±n=0。
主剪应力τ12=±20 MPa ；τ23=±50 MPa ；τ12=±30 MPa 最大剪应力τmax=30 MPa八面体应力σ8=-6MPa ；τ8=9.7 MPa 。
等效应力σ=20.6MPa 应力偏张量及球张量。
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12001-085-10-5-16-ij σ； ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=600060006ij σ1-19．平板在x 方向均匀拉伸（图1-23），在板上每一点x σ=常数，试问y σ为多大时，等效应力为最小？并求其最小值。
图1-23（题19）解：等效应力： 令2x2y2yx)()()(yσσσσ++-=，要使等效应力最小，必须使y 值最小，两边微分得：等效应力最小值：1-20．在平面塑性变形条件下，塑性区一点在与x 轴交成θ角的一个平面上，其正应力为σ（σ＜0），切应力为τ，且为最大切应力K ，如图1-24所示。
试画出该点的应力莫尔圆，并求出在y 方向上的正应力σy 及切应力τxy ，且将σy ﹑τyz 及σx 、τxy 所在平面标注在应力莫尔圆上。
图1-24（题20）解：由题意得知塑性区一点在与x 轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K ，因此可以判断该平面为主剪平面，又由于切应力方向为逆时针，因此切应力为负，其位置为应力莫尔圆的最下方，该点的应力莫尔圆如图1-25所示。
图1-25第二章2-9．设xy a ;bx );y 2x (a xy 2y 22x==-=γεε，其中a 、b 为常数，试问上述应变场在什么情况下成立？ 解：对)y 2x (a 22x-=ε求y 的2次偏导，即：4a y2x2=∂∂ε （1） 对2yx b =ε求x 的2次偏导，即：2b x2y 2=∂∂ε （2）对xy a xy=γ求x 和y 的偏导，即：a yx xy 2=∂∂∂γ （3）带（1）、（2）和（3）入变形协调方程（4），得：y x xy xy yx ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222)(21 （4） 即：-b a =时上述应变场成立。
2-10试判断下列应变场是否存在？（1）2x x y =ε，y x 2y =ε，x y z =ε，0xy =γ，()y z 212y z +=γ，()22xz y x 21+=γ （2）22x y x +=ε，2y y =ε，0z =ε，2x y xy =γ，0xz y z ==γγ（1）解：对2x x y =ε、y x 2y =ε和x y z =ε分别求x 、y 或z 的2次偏导，对0xy =γ、()y z 212y z +=γ和()22xz y x 21+=γ分别求x 、y 和z 的2次偏导，则： 2xy 2x2=∂∂ε, 0z 2x 2=∂∂ε； （a ） 2y x2y 2=∂∂ε,0z2y 2=∂∂ε； （b ）0x 2z 2=∂∂ε，0y 2z 2=∂∂ε； （c ）0yx xy2=∂∂∂γ，0z y zy 2=∂∂∂γ；0z x zx 2=∂∂∂γ （d ） 将（a ）、（b ）、（c ）和（d ）代入变形协调方程（e ）：z y yz yz zy ∂∂∂=∂∂+∂∂γεε22222)(21 （e ） 则（e ）第一式不等，即：0)2y 2x (21≠+这说明应变场不存在。
（2）对22x y x +=ε、2y y =ε和0z =ε分别求x 、y 或z 的2次偏导，对2x y xy =γ和0xz y z ==γγ分别求x 、y 和z 的2次偏导，2y 2x2=∂∂ε, 0z 2x 2=∂∂ε； （a ） 0x2y 2=∂∂ε,0z2y 2=∂∂ε； （b ）0x 2z 2=∂∂ε，0y 2z 2=∂∂ε； （c ） 2y x xy2=∂∂∂γ，0zy zy 2=∂∂∂γ；0z x zx 2=∂∂∂γ （d ） 则：2yx 1)x y (21xy 22y22x 2=∂∂∂≠=∂∂+∂∂γεε，说明应变场不存在。
2-11．设物体中任一点的位移分量为求点A （0.5，－1，0）的应变分量、应变球张量，主应变，八面体应变、等效应变。
解：y 101.0xu3x-⨯=∂∂=ε将点A 的x=0.5，y=－1，z=0代入上式，得点A 的应变分量 对于点A ：即：0105.2108.125-101.513-102-43=⨯+⨯⨯--εεε 2-12． 物体中一点应变状态为：001.0x =ε，005.0y =ε，0001.-0z =ε，0.0008xy =γ，0006.0y z =γ，0004.0xz -=γ，试求主应变。
解：由题可知： 即：0101.98103.24105.9-10-62-33=⨯+⨯-⨯-εεε解方程得主应变：33-32-3110.73103.8104.6-⨯=⨯-=⨯=εεε，，2-13．已知平面应变状态下，变形体某点的位移函数为y x U x 401200341++=，y x U y 200125151-+=，试求该点的应变分量xy y x γεε,,，并求出主应变21,εε的大小与方向。