一阶常微分方程的奇解汇编
总结一阶常微分方程奇解的求法
总结一阶微分方程奇解的求法摘要：利用有关奇解的存在定理，总结出求一阶微分方程奇解的几种方法，并通过一些具体的例题说明这几种方法的应用Using relevant theorems to develop several methods of finding singular solution of ordinary differential equation. In addition, illustrate the application of these methods through the concrete examples.关键词：常微分方程 奇解 c-判别式 p-判别式方法一：利用c-判别式求奇解设一阶微分方程0,,=⎪⎭⎫ ⎝⎛dx dy y x F ①可求出方程①的通解为()0,,=c y x φ ②如果()()⎩⎨⎧==0,,0,,'c y x c y x c φφ③是微分方程①的解，且对③式满足：()()02'2'≠+yx φφ ④则③是微分方程①的奇解，且是通解②的包络。
例1：方程()222x xy dydx dydx +-=的奇解 解：首先，本具题意求出该微分方程的通解为222c cx y x ++=与42x y =其中c 为任意常数 当时222c cx y x ++=， ()y c cx x c y x -++=222,,φ 其相应的c -判别式为⎩⎨⎧=+=-++02022x 2c x y c cx易得到： ⎩⎨⎧=-=22cy c x代入原微分方程，可知⎩⎨⎧=-=22c y cx 不是原微分方程的解； 当42x y =时，易求出2,1''xy x ==φφ，则有()()02'2'≠+yx φφ故42x y =为原微分方程的奇解例2：试求微分方程()()y y dydx 94221=-的奇解解：首先，根据题意求出微分方程的通解为：()()0322=---y y c x 其中c 为任意常数 再由相应的c-判别式：()()()⎩⎨⎧=--=---020322c x y y c x易求出：⎩⎨⎧==0y c x 或 ⎩⎨⎧==3y c x当⎩⎨⎧==0y c x 时，代入原微分方程成立；所以⎩⎨⎧==0y c x 为原微分方程的解且有()02'=--=c x x φ；()()93232'-=---=y y y y φ满足(Φ‘x )2+(Φ‘y )2≠0易验证⎩⎨⎧==3y c x 不是原微分方程的解故x=c, y=0 是元微分方程的奇解。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法一阶常微分方程是微积分中的一种基础概念。
它描述了一个未知函数及其导数之间的关系。
求解一阶常微分方程是微积分研究的重要内容之一，它在科学、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍几种解一阶常微分方程的常用方法。
1. 分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最常用的方法之一。
通过将未知函数的变量和导数分离到方程的两侧，然后进行变量的求解即可得到问题的解。
例如，对于形式为dy/dx = f(x)g(y)的微分方程，可以将dy/g(y) =f(x)dx进行变量的分离，然后对两侧进行积分，得到∫dy/g(y) = ∫f(x)dx，进一步求解得到y的表达式。
2. 齐次方程法齐次方程是指形如dy/dx = f(y/x)的一阶常微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的代换来将其转化为分离变量法适用的形式。
例如，令u = y/x，对原方程进行偏导数变换，可得du/dx = (dy/dx - u)/x，进而得到线性微分方程du/dx + u/x = f(u)。
对该线性微分方程应用分离变量法即可求解得到u(x)的表达式，再将u(x)代回原来的变量即可获得y(x)的解析表达式。
3. 一阶线性微分方程法一阶线性微分方程是指形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的微分方程。
其中P(x)和Q(x)是已知函数。
对于这种类型的微分方程，可以通过一阶线性微分方程的解析公式进行求解。
一阶线性微分方程的解析公式为y = e^(-∫P(x)dx)∫[e^(∫P(x)dx)Q(x)]dx + Ce^(-∫P(x)dx)，其中C为任意常数。
4. 变量可分离线性微分方程法变量可分离线性微分方程是指形如dy/dx = f(x)/g(y)的微分方程。
对于这种类型的微分方程，可以通过变量的移项和对两侧的积分进行求解。
例如，对于形如dy/dx = x/y的微分方程，可以将其转化为xydy = y^2dx，然后进行两侧的积分，得到∫xydy = ∫y^2dx，进一步求解即可得到y的表达式。
一类一阶微分方程的奇解
一类一阶微分方程的奇解杨洁【摘要】给出了一阶微分方程 a（x）y′3－ b（x）y′＋ c（y）＝0有奇解存在的充分条件是2 a 23（x）b′（x）－c 23（y）a′（x）＝2 a 23（x）c′（y）。
推广了已有的结论，并在奇解存在的条件下，给出了这类方程的通解的表达式。
并举例说明该结论。
%If the sufficient condition is 2 a 3 (x)b′(x) - c23 (y)a′(x) = 2a23 (x)c′(y) ,then the differential equation a(x)y′3 - b(x)y′ + c(y) = 0 has a singular solution . This generalizes the existing conclusions . Under the condition that singular solution exists , the general solution of such equation is given .And we illustrate this conclusion .【期刊名称】《怀化学院学报》【年(卷),期】2014(000)011【总页数】2页(P33-34)【关键词】一阶微分方程;奇解;通解【作者】杨洁【作者单位】怀化学院数学系，湖南怀化 418008【正文语种】中文【中图分类】O175.8求一阶微分方程的奇解是非常困难的.文[1]给出了p-判别曲线法.先求出p-判别曲线，再验证所求曲线中的某一支是一阶微分方程的积分曲线.文[2]对形如和的方程研究了奇解存在的条件.文[3]得到了一阶常微分方程a(y)y′3-xy′+b(y)=0有奇解的充分条件是2a(y)=a′(y)b(y)+2b′(y)a(y).本文进一步研究方程a(x)y′3-b(x)y′+c(y)=0的奇解存在的充分条件，进一步推广了文[3]的部分结果.引理[1] 对于一阶微分方程设函数F(x,y,p)对(x,y,p)∈G是二阶连续可微的.又设其p-判别式(消去p后)得到的函数y=ψ(x)(x∈J)是微分方程(1)的解.而且设条件以及对x∈J成立.则y=ψ(x)是微分方程(1)的奇解.下面用该定理研究微分方程a(x)y′3-b(x)y′+c(y)=0存在奇解的充分条件，得到了以下结果.定理1 对于方程a(x)y′3-b(x)y′+c(y)=0，若函数a(x),b(x),c(y)在某个区间上满足其中c′(y)≠0，则由方程-b(x)=0所确定的隐函数y=φ(x)是该一阶常微分方程的一个奇解.证由F(x,y,p)=a(x)p3-b(x)p+c(y)=0，F(x,y,p)=3a(x)p2-b(x)=0，(2)-p(3)得-2a(x)p3+c(y)=0,则p3=，代入(2)得由(4)确定的函数记为y=φ(x).由(4)得，由隐函数存在定理，要使即3a(x)y′2-b(x)=3a(x)y′2- =0所以，y′=.再由(5)式得由(4)得).因此，条件等价于条件y′=.则例1 判断方程y′3-xy′+y=0是否有奇解.解由于a(x)=1,b(x)=x,c(y)=y，因此成立.奇解为-b(x)=0所确定的隐函数即y2=x3.【相关文献】[1]丁同仁，李承志.常微分方程教程(第二版)[M].北京：高等教育出版社，2004：109.[2]何永葱.两类一阶常微分方程有奇解的条件[J].重庆教育学院学报，2007,20(6)：5-6.[3]何永葱.一阶常微分方程的奇解的存在定理的应用[J].重庆教育学院学报，2009,22(3)：5-6.。
高等数学课件38一阶常微分方程
ln y f ( x )dx C
y e f ( x ) dx C
一阶齐次线性常微分方程通解公式
GS .
y Ce f ( x ) dx
C : 任意常数。
2）当 g (x) ≠ 0 时,
dy f ( x) y g( x) dx
两边积分 ln y
du ( u) u 即 dx x 当 ( u) u 0 时，
可分离变量的方程
y 解出方程后再用 u 代入, 即为原方程的通解。 x
注意 分离变量时, 若 ( u) u 0 时，
du dx ( u) u x
du 0 uC dx ∴原方程的通解为 y Cx .
dy g ( x ) dx f ( x )dx y y g( x) dx f ( x )dx y
ln y ( x ) f ( x )dx
=
GS .
ye
( x)
e
f ( x ) dx
C ( x )e f ( x ) dx
非齐次方程通解形式与齐次方程通解相比:
u c1 a1 x b1 y c1 1 du ( a1 ) ( a1 x b1 y) c2 u c2 b1 dx du g ( u) , 即可化为可分离变量的方程 dx 此微分方程总可变为可分离变量的微分方程 dy a1 x b1 y c1 f( ). 且可推广到 dx a2 x b2 y c2
d (e cos y mxy) 0
x
GS . e x cos y mxy C .
2、积分因子法
f ( x , y) g ( x , y) 当不满足 时， y x 虽 f ( x, y)dx g ( x, y)dy 0 不是全微分方程，
几类一阶常微分方程及其解法-文档资料
几类一阶常微分方程及其解法引言含有自变量、未知函数及导数（或微分）的关系式称为微分方程.通过解微分方程，可以得到所需的函数.微分方程是数学联系实际，并应用于实际的重要途径和桥梁，是各个学科进行科学研究的强有力的工具.微分方程是一门独立的数学学科，有完整的理论体系，其形式千变万化.微分方程的解有时候可以通过观察法直接得到，绝大部分微分方程的解用观察法是很难得到的，只有部分类型的微分方程可以通过特定的方法求出来.因此，在学习微分方程的内容时，应熟练掌握可求解的微分方程的类型.微分方程类型不同，其解法也大不一样.1.变量可分离或可化为变量可分离的一阶常微分方程1.1如果一阶微分方程可写成g（y）dy=f（x）dx，则称为可分离变量微分方程.此时，两边积分，得：？蘩g（y）dy=？蘩f（x）dx+C为微分方程的通解.例1：求（y+1）■■+x■=0的通解.解：原方程分离变量，得：（y+1）■dy=-x■dx，两端积分得■（y+1）■=-■x■+C，故而原方程的通解为：3x■+4（y+1）■=C■（C■=12c）.1.2如果一阶微分方程可写成■=f（ax+by+c），令u=ax+by+c，则■=a+b■，从而■=■（■-a），代入原方程，得到du=（bf（u）+a）dx，再利用可分离变量微分方程求解，得到原函数后用u=ax+by+c代换即可得到原方程的通解.例2：求y′=sin■（x-y+1）的通解.解：令u=x-y+1，则■=1-■，从而■=■-1，代入原方程，得到：■=dx，解得tanu=x+C，故所求通解为tan（x-y+1）=x+C.1.3如果一阶微分方程可写成■=φ（■），称为一阶齐次方程，此时令y=ux，则■=u+x■，代入原方程，得到：u+x■=φ（u），即■=■，然后用可分离变量微分方程求解，得到原函数后用u=■代换即可得到原方程的通解.例3：求y′=■+tan■的通解.解：令y=ux，则■=u+x■，代入原方程，得到：u+x■=u+tanu，即■=■，两边积分，得ln|sinu|=ln|x|+ln|C|，即sinu=xC，故所求通解为sin■=xC.1.4如果一阶微分方程可写成■=f（■），其中c■，c■不全为零，且■≠■，则可通过解方程组a■x+b■y+c■=0a■x+b■y+c■=0，解得x=x■y=y■.做变量替换x=X+x■y=Y+y■，则■=■，代入原方程，得■=f（■），此为齐次方程，在得到原函数后，变量替换即可得到原方程的通解.例4：求■=f（■）的通解.解：令x+y+4=0x-y-6=0，解得x=1y=-5.做变量替换x=X+1y=Y-5，则■=■，代入原方程，得■=f（■），令Y=uX，则原方程化为■du=■，其解为：arctanu-■ln（1+u■）=ln|CX|.代回原变量得通解：arctan（■）-■ln（1+（■）■）=ln|C （x-1）|.2.一阶线性微分方程2.1一阶线性齐次方程■+p（x）y=0的通解为y=Ce■.2.2一阶线性非齐次方程■+p（x）y=Q（x）的通解为：y=e■（？蘩Q（x）e■dx+C）.例5：求■+y=cosx的通解.解：这里p（x）=1，Q（x）=cosx代入上面公式，可知方程解为：y=e■（？蘩cosxe■dx+C）=e■（？蘩cosxe■dx+C）=e■（■+C）=■+Ce■2.3伯努利（Bernoulli）方程■+p（x）y=Q（x）y■，解法是令z=y■，代回原方程，得到：■+（1-n）p（x）y=（1-n）Q（x），此方程为一阶线性非齐次方程，求出通解后，用z=y■代回，就可得到原方程的通解.例6：求■-3xy=xy■的通解.解：此方程为伯努利方程，令z=y■，则■=-y■■，代入原方程，得：■+3xz=-x，其通解为z=e■（？蘩-xe■dx+C）=e■（？蘩-xe■dx+C）=e■（-■e■+C）=-■+Ce■，用z=y■代入上式，得原方程的通解为：y■=-■+Ce■.3.全微分方程若微分方程P（x，y）dx+Q（x，y）dx=0 （1）的左端恰好是某二元函数的全微分，即du（x，y）=P（x，y）dx+Q（x，y）dy，则方程称为全微分方程.全微分方程的通解为u（x，y）=C；而当P（x，y），Q（x，y）在单连通区域D内具有连续偏导数，且■=■时，方程（1）为全微分方程，此时微分方程通解为：u（x，y）=？蘩■■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=？蘩■■P（x，y■）dx+？蘩■■Q（x，y）dy =■P（x，y）dx+Q（x，y）dy=？蘩■■Q（x■，y）dy+？蘩■■P（x，y）dx=C其中（x■，y■）为单连通区域D内任意一点.例7：求xy■dx+x■y=0的通解.解：这里P（x，y）=xy■，Q（x，y）=x■y显然在整个xoy面上，P（x，y），Q（x，y）都有连续的一阶偏导数，且■=■=2xy，取x■=0，y■=0，则原方程的通解为：u（x，y）=？蘩■■xy■dx+x■ydy==？蘩■■0dx+？蘩■■x■ydy=■=C.4.有幂级数解的一阶微分方程在微分方程■=f（x，y）（2）中，若（x■，y■）在f（x，y）的定义域内，且f（x，y）是（x-x■），（y-y■）的多项式：f（x，y）=a■+a■（x-x■）+a■（y-y■）+…+a■（x-x■）■（y-y■）■则微分方程的通解可展开为x-x■的幂级数：y=a■+a■（x-x■）+a■（x-x■）■+...+a■（x-x■）■+ (3)其中a■，a■，…，a■，…为待定系数，将（3）代入（2）中，恒等式两端x-x■同次幂的系数相等，就可得到常数a■，a■，…，a■，…的值，以这些常数为系数的级数（3）在收敛区间内就是方程（2）的解.例8：试用幂级数求微分方程y′=xy+x+1的通解.解：记f（x，y）=xy+x+1，则（0，0）在其定义域内，且f （x，y）是x，y的多项式，故而微分方程存在幂级数形式的通解，记为y=∑■■a■x■，代入原方程，得到：∑■■na■x■=∑■■a■x■+x+1，比较等式两端x的同次幂的系数，得到：a■=12a■=a■+1（n+1）a■=a■，从而得到a■=1 a■=■a■=■ a■=■，由于∑■■a■x■与∑■■a■x■的收敛域都为（-∞，+∞），故y=∑■■a■x■+∑■■a■x■=∑■■■x■+（a■+1）∑■■■-1 x∈（-∞，+∞）为微分方程的通解.5.建议在解一阶常微分方程时，要将所求方程与相应的方法对应起来，从而正确地解决问题.具体地说，常常是根据所给方程的特点，设法做适当变换，将其化为易于求解的方程类型.对于同一个方程，可能有不同的解法，我们要注意比较哪种解法更简单，当然，这需要仔细观察及大量练习.因此我们在教学时，要求学生要注意认真审题，认清方程的类型，还要掌握各种类型方程的具体解法.只有这样，才能使学生熟练掌握解题技巧，提高应变能力，开阔解题思路，为后续课程的学习打好基础.。
一阶常微分方程解法总结
一阶常微分方程解法总结1.可分离变量法：可分离变量法适用于能够将微分方程分离成自变量和因变量的乘积形式的情况。
具体步骤如下：（1）将方程两边分离变量；（2）对分离后的变量进行积分，得到两边的原函数；（3）解得的原函数通常包含一个未知常数c；（4）如果已知初始条件，代入原函数求解常数c。
2.齐次方程法：齐次方程法适用于能够将微分方程转化成齐次方程的情况。
具体步骤如下：（1）将方程化为齐次形式，即将自变量和因变量分别除以一些函数；（2）引入新的未知函数y/x=u，并对其求导；（3）将方程转化为u的微分方程，通常是可分离变量方程；（4）解出u的方程后，再回代u，得到原方程的解。
3.线性方程法：线性方程法适用于形如y'+p(x)y=q(x)的一阶常微分方程，其中p(x)和q(x)是已知函数。
具体步骤如下：（1）确定常系数线性微分方程形式，即观察到y'+p(x)y=q(x)形式的方程；（2）找到方程的积分因子，通常是乘以一个指数函数，使得方程变得可积分；（3）将方程两边乘以积分因子，并利用乘积法则进行变换；（4）对两边进行积分，并解出原方程的解。
4.变量代换法：变量代换法是通过引入新的未知函数来将微分方程转化为更简单的形式。
具体步骤如下：（1）通过变量代换，将微分方程转化为新的未知函数和新的自变量；（2）求出新的微分方程的解；（3）将新的解代回原来的未知函数和自变量，得到原方程的解。
5.恰当微分方程法：恰当微分方程法适用于能够通过乘以适当的积分因子使得微分方程成为恰当微分方程的情况。
具体步骤如下：（1）判断初始微分方程是否是恰当微分方程；（2）计算方程的积分因子；（3）乘方程的积分因子，并判断是否为恰当微分方程；（4）解恰当微分方程。
以上是一阶常微分方程解法的五种常用方法的总结。
对于不同类型的微分方程，选择合适的解法可以更好地求解方程，但也需要多加练习和实践，熟练掌握方程的转化和求解技巧。
一阶常微分方程解法总结doc
一阶常微分方程解法总结.doc 一阶常微分方程是微分学的基础，也是实际问题中经常遇到的一类方程。
理解并掌握一阶常微分方程的解法对于学习微分学和解决实际问题都具有重要的意义。
本文将总结一阶常微分方程的解法，并举例说明。
一、一阶常微分方程的解法1.变量可分离的微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为可分离变量的微分方程。
这类方程的特点是变量可以分离，通过将方程两边积分，得到y的解。
例：dy/dt=e^(t^2)解：分离变量得：ydt=e^(t^2)dt，积分得：y=0.5e^(t^2)+C。
2.齐次微分方程形如dy/dx=f(y/x)的微分方程称为齐次微分方程。
这类方程的特点是可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程，从而求解。
例：dy/dx=(y/x)+1解：令y/x=u，则原方程化为：du/dx=u+1，分离变量得：u dx=dx，积分得：u=x+C，即y=x^2+Cx。
3.一阶线性微分方程形如dy/dt=f(t)g(y)的微分方程称为一阶线性微分方程。
这类方程的特点是可以化为标准形式，通过求解标准形式的解，得到原方程的解。
例：dy/dt=te^(t)解：化为标准形式得：y/dt=te^(t)，令z=y/t，则z’=(y’)t−y/t^2=e^t，积分得：z=e^t+C，即y=t(e^t+C)。
二、总结一阶常微分方程根据其形式和特点，有多种解法。
其中，变量可分离的微分方程可以直接通过分离变量进行求解；齐次微分方程可以通过变量替换化为可分离变量的微分方程进行求解；一阶线性微分方程可以化为标准形式，通过求解标准形式的解得到原方程的解。
这些方法在解决实际问题中具有广泛的应用价值。
在实际应用中，我们需要根据具体的问题和数据选择合适的解法，并对求解结果进行合理的分析和解释。
同时，还需要掌握各种解法的适用范围和局限性，以便在实际应用中做出正确的选择。
一阶常微分方程的解法是微分学的基础知识之一，也是解决实际问题中经常遇到的一类问题。
一阶常微分方程解法总结
章一阶微分方程的解法的小结⑴、可分离变量的方程： ①、形如d^ = f (x)g(y) dx当g(y) =o 时，得到 型f(x)dx ，两边积分即可得到结果;g(y)当g( °) = °时，则y(x)二o 也是方程的解。
例 1.1、巴=xydxdy解：当y = 0时，有xdx ，两边积分得到 yy =0显然是原方程的解；综上所述，原方程的解为y 二Ge^ (G 为常数)②、形如 M (x)N(y)dx P(x)Q(y)dy =0当 P(x)N(y)= 0 dy ，两边积分可得结果；P(x) N(y)当N(y °) = 0时，y 二y °为原方程的解，当 P(x °) = 0时，x = x °为原方程的解。
2 2例「2、x(y -1)dx y(x -1)dy=0解：当 (x 2 -1)(y 2-1) =0时，有Jdy =¥ dx 两边积分得到 1 - y x -1o222Inx —1+1 ny —1=1 nC (C^O)，所以有(x -1)(y -1) =C (C^0)；当(x - 1)(y -0 =0时，也是原方程的解；综上所述，原方程的解为(x 2-1)( y 2-1) =C (C 为常数)。
⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如dy = g (―)dx x(C 为常数)所以y ^C j e 2(C i 为非零常数且G = _e C)解法：令u=‘ ，则dy=xduudx，代入得到为变量可分离方程，得到x dx解：令u = x - y -2，贝U dy = dx -du ，代入得到1一 史二口，有 udu=-7dx dx u所以齐—7x ・C (C 为常数)，把 u代入得到2"x 一 y -2) Tx=C (C 为常例 2.2、dydx 2x - y 1 x _2y 1解：由丿 2x—y+"0得到、x_2y +1 =01 x =3 1 y =- -3，令 u = x +1 3，有」1v = y 一一dy = dv y ，代入得到 dx =du dv 2u-vdu u-2v 1 _2 v u dt dv 二t d u u d t ，代入得到 t u一 du口，化简得到，1 -2tduu 2 - 2t 2t2d(1 -t t )22(1 -t t )2有 lnu= — I +t)+c (C 为常数)，所 以有f(u,x,C) =0 (C 为常数)再把u 代入得到fd,x,C)=0 (C 为常数)。
一阶常微分方程公式大全
一阶常微分方程公式大全一、一阶线性常微分方程。
1. 标准形式。
- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。
2. 通解公式。
- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
- 推导过程：- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。
- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。
- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫p(x)dx（C = e^C_1）。
- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。
- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。
- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。
- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。
- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。
二、可分离变量的一阶常微分方程。
1. 标准形式。
- 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。
2. 通解求法。
- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。
- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。
- 两边积分∫ ydy=∫ xdx，即frac{y^2}{2}=frac{x^2}{2}+C，整理得y^2-x^2=C_1（C_1 = 2C）。
一阶常微分方程的解法
一阶常微分方程的解法微积分理论中，微分方程是一个非常重要的分支，它们通常用来描述一些变化或进化过程中的物理现象、生物现象或经济现象等等。
其中，一阶常微分方程是微分方程中最简单的一类。
在这篇文章中，我们将介绍一阶常微分方程的求解方法。
一、分离变量法分离变量法是求解一阶常微分方程最简单也是最常用的方法。
这个方法的基本思想是将微分方程中的变量分开，并将每个变量移到不同的方程两侧，最终得到可以分别积分的两个方程。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(x,y)$$我们可以将它改写为$$dy=f(x,y)dx$$然后对两边同时积分，得到$$\int dy=\int f(x,y)dx+C$$其中C为常数。
这个方法的局限性在于只适用于一些特定的微分方程，例如y'=ky这类的方程就可以很容易地用这个方法求解。
举个例子，考虑方程$$\frac{dy}{dx}=x^2y$$我们将它改写为$$\frac{dy}{y}=x^2dx$$然后对两边同时积分，得到$$\ln|y|=\frac{1}{3}x^3+C$$最终解为$$y=Ce^{\frac{1}{3}x^3}$$其中C为常数。
二、齐次方程如果方程中的所有项均能够写成y和x的某个函数的乘积，那么这个方程就是齐次方程。
对于这类方程，我们可以利用变量替换来把它转化为分离变量的形式。
具体来说，如果给定一个一阶常微分方程$$\frac{dy}{dx}=f(\frac{y}{x})$$我们可以进行变量替换，令y=ux，其中u是关于x的未知函数。
因此，$$\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}$$将其带入原方程，得到$$u+x\frac{du}{dx}=f(u)$$将u视为自变量，x视为函数，可转化为$$\frac{dx}{du}=\frac{1}{f(u)-u}$$然后对两边同时积分，得到$$x=\int \frac{1}{f(u)-u}du+C$$最后将u替换成y/x即可。
一阶微分方程的奇解及其逆问题
一阶微分方程的奇解及其逆问题摘要介绍了导数已解出的一阶微分方程和导数未解出的一阶微分方程的奇解问题，通过相关实例进行了说明.同时.考虑了常微分方程奇解的逆问题.关键词奇解;包络;通解;P-判别曲线;C-判别曲线;逆问题The singular solution of first oder ordinary differential equationand its inverse problemAbstract In this paper, we introduce the singular solution of the first oder ordinary differential equation by giving corresponding examples. Meanwhile, we also consider the inverse problem of the singular solution of ordinary differential equation.Keywords Singular solution; envelope; general solution; P-judging curve; inverse problem一阶微分方程的奇解及其逆问题1 概念例1.1.1 求微分方程 2-)(22xdxdy xdxdy y += 的解.解 令 dxdy p =代入方程得2-22xxp p y +=. （1）两边对x 求导 0)-2)(1-(--2=→+=x p dxdp x p dxdp x dxdp pp .由c x p x p +=→=0-2 代入（1）得方程的通解 222c cx xy ++=. （2）由20-2x p x p =→=代入（1）得42xy =，经验证此为原方程的解. 从图1中我们可以看到，此解与方程通解（2）中的每一条积分曲线均相切.对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族中，但是，在这条特殊的积分曲线上的每个点处，都有积分曲线族的一条曲线和它在此点相切，在几何中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为微分方程的奇解.下面我们分别给出曲线族包络和微分方程奇解的定义.定义1 设给定单参数曲线族 Φ（x,y,c ）=0其中c 是参数，Φ（x,y,c ）是x,y,c 的连续可微函数，曲线族Φ（x,y,c ）=0 的包络是指这样的曲线，它本身并不包含在这曲线族Φ（x,y,c ）=0 中但这曲线的每一点，都有曲线族Φ（x,y,c ）=0 中的一条曲线和它在这点相切.定义2 设有微分方程的一条积分曲线，若在它上面的每一点处方程的解的唯一性都被破坏，则称这条积分曲线所对应的解是微分方程的奇解.根据定义我们可以得出：对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这方程的积分曲线族.但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切.在几何学中，这条特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络.在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解. 2 对于导数已解出的一阶微分方程的奇解本节给出寻找导数已解出的一阶微分方程（3）的奇解的方法和步骤.按定义，奇解就是破坏了微分方程解的唯一性的解，我们知道，导数已解出的一阶微分方程的解的存在唯一性定理为.定理 2.1 给定微分方程，若函数满足如下条件：1）函数在闭区域≤，≤b(a 、b>0)上是连续的.2）函数在R 上满足利普希茨条件，即存在常数L>0，对于所有的点∈R 都有≤，则方程（3）存在唯一的解上，连续且满足初始条件，这里,.由于利普希茨条件难于检验，常用在R 上有对y 的连续偏导数来代替，因为若在R 上,存在且连续，则yf ∂∂在R 上有界，设在R 上Lyf ≤∂∂，则yy y y x f y x f y x f ∂+∂=))-(,(),(-),(12221θ,,其中R y x y x ∈),(),,(2110<<θ, 即若),(y x f 在R 上有连续偏导数，则在R 上),(y x f 一定满足利普希茨条件，但反之不成立.(,)dy f x y dx=(,)dy f x y dx=(,)f x y (,)f x y 0:R x x -a 0y y -(,)f x y 12(,),(,)x y x y 12(,)(,)f x y f x y -12L y y -y =φ(x)0x x h -≤00 φ()y x =m in(,),m ax{(,)}b h a M f x y M==(,)x y R ∈(,)f x y 1212y y L y y --≤通过上面的分析知，当yf ∂∂的有界性被破坏时，方程（3）的解的唯一性将有可能被破坏.因此若要寻求导数已解出的方程（3）的奇解，只能在使得yf ∂∂的有界性被破坏的函数)(x y φ=中去寻找，这样我们就得到寻求方程（3）奇解的步骤：A 求使yf ∂∂为正无穷的函数)(x y φ=)),((连续y x fB 验证函数)(x y φ=是否为方程（3）的解C 若)(x y φ=是方程（3）的解，再验证唯一性，若)(x y φ=中的每一点的唯一性都不成立，则此)(x y φ=为方程的解.例2.1.1 求微分方程2y -1=∂∂yf 的奇解.解 方程右端2-1),(y y x f =在11-≤≤y 内连续，2y-1y -=∂∂yf 在直线1±=y 上，yf ∂∂为无穷大，显然1±=y 为方程的解，可以看出在直线1±=y 上的每一点，都有原方程通解)sin(c x y +=中的一条曲线与它们相切，所以1±=y 为方程的奇解.3 对于导数未解出的一阶微分方程的奇解3.1利用c-判别曲线求奇解我们知道，微分方程积分曲线族的包络所对应的解一定是奇解，现在我们讨论曲线族的包络应满足的条件.设0),,(=c y x φ （4） 为一曲线族，由微分几何学可知，曲线族（4）的包络包含在由下列方程组),,(,0),,({'==c y x c y x φφ 消去C 而得到的曲线之中，此曲线称为曲线族（4）的C-判别曲线.我们注意到，在C-判别曲线中有时除去包络外，还有其它曲线.C-判别曲线中究竟哪一条是包络尚需实验检验.例3.1.1 求曲线族 2c cx y +=的包络，在这里C 是参数.解 将2c cx y +=对C 求导数，得到02=+c x . 从02{2=++=c x ccx y 中消去C ，得到042=+y x .所以，曲线族2c cx y +=的包络为042=+y x .例3.1.2 求曲线族01-22=+cx y c 的包络，在这里C 是参数.解 将01-22=+cx y c 对C 求导，得到022=+x cy ，从⎩⎨⎧=+=+，01-,02222cx y c x cy 中消去C ，得到044=+y x .所以，曲线族01-22=+cx y c 的包络为044=+y x .3.2 利用p-判别曲线求奇解 首先我们引入一个定理.定理 3.2 如果在点),,('000y y x 的某一邻域中，a) ),,('y y x F 对所有变元),,('y y x 连续，且存在连续偏导数； b) ),,('000y y x F =0； c)0),,(''000≠∂∂yy y x F ，则方程),,('y y x F =0存在唯一解h x x x y y ≤=0-),(（h 为足够小的正数）满足初值条件'00'00)(,)(y x y y x y ==.由上述定理知道，如果),,('y y x F 关于',,y y x 连续可微，则只要0≠∂∂yF 就能保证解的唯一性，因此，奇解（如果存在的话）必须同时满足下列方程),,('y y x F =0，0),,(''=∂∂yy y x F .于是我们有以下结论：方程0),,(=dxdy y x F （5）的奇解包含在由方程组)(0),,(0),,({'dxdy p p y x F p y x F p ===消去P 而得到的曲线中，这里),,(p y x F 是p y x ,,的连续可微函数.此曲线称为方程（5）的P-判别曲线.P-判别曲线是否是方程的奇解，尚需进一步检验.例3.2.1 求方程01-)(22=+y dxdy 的奇解.解 从⎩⎨⎧==+0201-22p y p 中消p 得到p-判别曲线1±=y .经验证，此两直线都是方程的奇解.因为容易求得原方程的通解为)sin(c x y +=，而1±=y 是微分方程的解，且正好是通解的包络.3.2.1应用p-判别曲线一般性的求解微分方程的奇解用这个定理来求解以下两类一阶微分方程的奇解 （A ） 0)()(-))((1-=+x b dxdy y dx dy x a n n.（B ）)())(())((1-x c dxdy x b dxdy x a y n n++=.首先来讨论微分方程（A ），其中a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0)(-)(),,(1-=+=x b yp p x a p y x F n n 0]1)-(-)([)1-(-)(),,(2-2-1-'===y n p x na pyp n px na p y x F n n n消去p 得到的函数),()(1-_x d x a n n y •=其中.0)()()1-()(≠=x na x b n x d n)()(-))((),,(1-_'__'_'_x b y y y x a y y x F n +=)]()(1-)()(-[))(()(1--))((1-_'_'x d x a n n x d x a y x d x a n n y x a nnn n++=))]()()((1--)()()][()[(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'x d y x d n n x d y x d y x a in i in in i in ===因此，0(x)-_'=d y 时，_y 是微分方程（A ）的解，而且又有)](-[))(()())((-))((),,(_'2-_'2-_'1-_'_'_'_'x d y y x na x d y x na y x na y y x Fn n n y==.0)(-),,(1-_'_'_'_≠=n y y y y x F 由于)(_'x d y =则)())(())(()()2-(-))(()1-(),,(3-_'3-_'2-_'_'_''_'_'≠•==x d y x na y x d x a n n y x a n n y y x Fn n n yy由此可知，对于微分方程（A ），假设a(x),b(x)在区间I 上是连续可导的，且.0)(,0)(≠≠x b x a 若满足.0)(-_'=x d y 即.0)(-)]()(1-['=x d x d x a n n其中.)()()1-()(x na x b n x d n=则微分方程有奇解：).()(1-_x d x a n n y •=再来讨论微分方程（B ），对于微分方程（B ）其中a(x),b(x),c(x)在区间I 上是连续可导的，且.0≠)(,0≠)(x b x a 这时0-)()()(),,(1-=++=y x c p x b p x a p y x F n n)]()1-()([)()1-()(),,(2-2-1-'=+=+=x b n p x na ppx b n px na p y x Fn n n p消去p 得到函数：)()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n+•+=，其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d))]()()(())()()(()][(-[)()(-)()(-))(())((-)())(())((),,(∑∑2-0-2-_'1-0-1-_'_'1-1-_'_'_1-_'_'_'_x d y x b x d y x a x d y x dx b x d x a y x b y x a yx c y x b y x a y y x F in i in in i in n nn nn n==+=+=++=因此，当.0)(-_'=x d y 时，_y 是微分方程（B ）的解.又.0))(()1-(-),,(01-),,(0)](-[))((),,(2-_'_'_''_'_'_'2-_'_'_'_'_'__'≠=≠===n yy y n yy x b n y y x Fy y x F x d y y x na y y x F从而，对于微分方程（B ），假设a(x),b(x),c(x)在I 上连续可导，且.0)(,0)(≠≠x b x a 又满足条件.0)(-_'=x d y 即0)(-)]()()()()(['1-=++x d x d x b x d x a x c n n其中.0)()(1)-(-)(≠=x na x b n x d 则（B ）有奇解：).()()()()(1-_x dx b x d x a x c y n n +∙+=3 .3克莱罗方程的奇解 我们把形如)(p f xp y += （6）的方程，称为克莱罗方程，其中)(,p f dxdy p =是p 的连续可微函数.-下面讨论克莱罗方程的奇解.将)(p f xp y +=两边对x 求导，并以dxdy p =代入得dxdp p f p dxdp xp )('++= 即0))(('=+p f x dxdp1、若=dxdp cp =⇒，所以原方程的通解为)(c f cx y +=；2、若0)('=+p f x 将此与原方程合起来有 ⎩⎨⎧+==+)(0)('p f xp y p f x .消去P 也得到方程的一个解.分析 1）从1知克莱罗方程的通解是一族直线. 2）通解的形式就是在原方程中用C 代P 而得到的.3）从2知，求此解的过程正好与从通解)(c f cx y +=中求包络的步骤一样（也和求（6）的P-判别曲线的过程一样），并且此解为积分曲线族)(c f cx y +=的包络)01),,(('≠=c y x y φ，因此克莱罗方程总有解.4）从（3）知，对克莱罗方程而言，P-判别曲线和方程通解的C-判别曲线都是方程通解的包络，从而为方程的奇解.例3.3.1 求方程pxp y 1+=（其中dxdy p =）的奇解解 此方程为克莱罗方程，因此其通解为ccx y 1+=从⎪⎩⎪⎨⎧+==c cx y c x 101-2 中消去C 得到x y 42=.由前后讨论知x y 42=为方程的奇解.4 微分方程奇解的逆问题我们考虑微分方程奇解的逆问题：求一微分方程已一个已知函数)(x y φ=为奇解.下面，用上述方法和结论来解决微分方程奇解的逆问题.4.1 求以x y sin =为奇解的常微分方程满足以x y sin =为奇解的常微分方程非常多，下面给出三种类型的常微分方程. 4.1.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x y sin =， 即⎩⎨⎧+==)()(sin )(-''p f p p f p f x 因此，)(sin p f xp x +=.下面求出)(p f 的表达式.求导得)(cos '''p f x p x x x ++=•. 令p x =cos 则p p p xp x xp x p f •===arccos --1-cos -1-sin )(2'故以x y sin =为奇解的克莱罗常微分方程为dxdy dxdy dxdy dxdy xy arccos-)(-12+=2．求)(A 型方程为简单起见，取n=2.已知x y sin _=，由条件0)(-'y _=x d 得x x d cos )(=. 由)()(2,)()()(_2x d x a y x a x b x d ==得 x x a x x a x b x cos )(2sin ,)()(cos2==解之得x x x b x x a sin cos 2)(,tan 2)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(A 型常微分方程为0sin cos 2)(-)(tan 22=+x x dxdy y dx dy x3．求)(B 型方程取n=3.已知xy sin _=.由条件0)(-'_=x d y 得x x d cos )(=.又)(27)(4)(,)(3)(2-)(23_x ax b x c x a x b x d y +==则)(27)(4)(sin ,)(3)(2-cos 23x a x b x c x x a x b x +==.特别取c(x)=0,解之得 xx x b xx x a 23cos sin 3)(,cos sin 2-)(==.因此，以x y sin =为奇解的)(B 型常微分方程为 2233)(cos sin 3)(cos sin 2-dxdy x x dx dy x x y +=. 4.2 求以xe y =为奇解的常微分方程 4.2.1求克莱罗型方程设克莱罗方程有奇解x e y =，即⎩⎨⎧+==)()()(-''p f p p f e p f x x 因此)(p f xp e x+=.求导化简得xe p =，则p p p pf ln -)(=.故以xe y =为奇解的克莱罗型常微分方程为)ln()(-dx dy dx dy dx dy dx dy xy +=4.2.2 求)(A 型方程取n=2.已知奇解xey =_，由条件0)(-'_=x d y 得xe x d =)(.由xe x a x a x b x d y)(2,)()()(_==得 xxxe x a e x a x b e)(2,)()(2==，进而21)(=x a ，xe x b 221)(=.故以xe y =为奇解的)(A 型常微分方程为021)(-)(2122=+xedxdy y dxdy .4.2.3 求)(B 型方程取n=2.已知xe y=_，由条件0)(-'_=x d y得x e x d =)(. 由)(4)(-)(,)(2)(-)(2_x a x b x c x a x b x d y ==，得)(2)(-,)(4)(-2x a x b e x a x b e xx==，解之得2)(,-)(-==x b e x a x.因此，以xey =为奇解的)(B 型常微分方程为)(2)(-2-dxdy dxdy e y x+=.同理，可以求出其他类型函数或者复合函数作为常微分方程的奇解.因此有奇解的常微分方程是非常多的.此外，在上述求解过程中，由于n 与c(x)有许多不同的取法，因此，以同一奇解的常微分方程也是非常多的.5 总结本文对一阶微分方程通过分为导数已解出的、导数未解出的、克莱罗方程，以及利用P-判别曲线对一般的类似于（A ）、（B ）的微分方程的奇解的求法做出了讨论，应用各种方式算出它们的奇解，对解法进行了较全面的分析，并给出了相应的求解方法和求解步骤.最后讨论了微分方程奇解的逆问题，带入一般的微分方程（A）、（B）讨论微分方程的逆问题.参考文献[1] 丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].2版.北京：高等教育出版社，2004:94-110.[2] 王五生，付美玲，侯宗毅.一阶非线性常微分方程奇解的求法[J].高等数学研究，2010（7）：65-67 .[3] 何永葱.关于常微分方程奇解的逆问题[J].重庆教育学院学报，2008（5）：5-10.[4] 何永葱.关于常微分方程奇解判别的注记[J].内江师范高等专科学校学报，2000（2）.[5] 何永葱.两类一阶常微分方程有奇解的条件[J].重庆教育学院学报，2007（6）[6] 王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].3版.北京.高等教育出版社.[7] 李育俭.一阶微分方程的奇解[J].武汉工程专业技术学院学报，2005（9）：83-87.[8] 艾利斯哥尔兹著.微分方程[M].北京.高等教育出版社.1959年.- 12 -。
一阶微分方程的解法
解：因为 a1
b1
1
1 20
a2 b2 1 1
线性方程组
y y
x x
1 5
0 的解 0
为
x0 y0
2的解 3
因此令
x y
2 代入原方程得：d
3
d
解此齐次微分方程得通解为：
ln( 2 2 ) 2 arctan C
例9 求解微分方程
( x y cos y)dx x cos y dy 0.
x
x
解 令u y， 则 dy xdu udx， x
( x ux cos u)dx xcos u(udx xdu) 0,
cos udu dx , sin u ln x C, x
,
ln y 1 ln(1 x2 ) lnC 2
y c 1 x2为所求通解.
例3 求解微分方程dy e x 1 y2 . dx
解 当 1 y2 0时,可分离变量得
dy e xdx 1 y2
两边同时积分得
dy e xdx
1 y2
通解为 arcsin y e x C C为任意常数
1 ( dz a) f ( z c)
b dx
c1
可分离变量的微分方程.
当b1 0时,
令 a1 b1 ,
ab
方程可化为 dy f ( ax by c ), dx (ax by) c1
令 z ax by,
则 dz a b dy， 1 ( dz a) f ( z c ).
一阶常微分方程
于是， 所求特解为 (1 x2 )(1 y 2 ) 10 x2
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例题
例 衰变问题:衰变速度与未衰变原子含量 M 成
正 比 , 已 知 M t0 M0 , 求 衰 变 过 程 中 铀 含 量 M (t )随时间t 变化的规律.
解
衰变速度 dM , dt
由题设条件
dM M ( 0衰变系数)
dy
dy
du 1 5u 2 y
dy 2u
2u
1
1
5u 2
du
dy y
1 ln(1 5u 2 ) ln y 1 ln C
5
5
微分方程的通解为 y5 5x2 y3 C
将初始条件 y x0 1 代入通解中， 得到 C 1
所求特解为 y5 5x2 y3 1
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例 求解微分方程
dt
dM M
dt,
ln M t ln c,
dM dt M 即M cet ,
代入M t0 M0 得 M0 ce0 C ,
M M0et
衰变规律 回主视图
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解题步骤
利用微分方程解决实际问题的步骤：
一、利用问题的性质建立微分方程， 并写出初始条件；
二、利用数学方法求出方程的通解；
故所求通解为 y (x2 C) sin x
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公式法例题
P(x) cot x, Q(x) 2x sin x.
根据公式有:
y e cot xdx (
2x
sin
xe
cot
xdx
dx
C
)
eln sin x ( 2x sin x eln sin x dx C)
一阶常微分方程及解法
解法：
对于变量分离方程：
dy f (x)( y)
分离变量得： dx
dy f (x)dx
( y)
再积分，得：
dy
( y)
f
(x)dx
ห้องสมุดไป่ตู้
C
注：在变量分离的过程中，必须保证 ( y) 0 。但如果( y) 0 有根为 y y0 ，
则不难验证 y y0 也是微分方程的解，有时无论怎样扩充通解的表达式中的 任意常数，此解不包含在其中，解题时要另外补充上，不能遗漏。
常微分方程：自变量的个数只有一个的微 分方程。
微分方程的阶数：微分方程中出现的未知 函数最高阶导数的阶数。
微分方程的解：若把某函数带入微分方程 能使该方程成为恒等式，则称这个函数为 该微分方程的解。
通解：含有与微分方程的阶数同样个数的 独立任意常数的解。
特解：不含任意常数的解。
初始条件：给定微分方程中未知函数及其 导数在指定点的函数值的条件。
二、变量分离的微分方程
形如
dy f (x)( y)
dx
的方程，称为变量可分离
方程，其中 f (x) 和 (y) 分别是 x, y 的连续
函数。
以微分形式出现的变量分离方程，形如
M (x)N( y)dx P(x)Q( y)dy 0
一阶常微分方程及解法
——于海珠
微分方程的基本概念 几种特殊类型的一阶常微分方程及其解法 应用举例
例1.已知曲线y=y(x)在任意一点(x,y)处的切 线斜率等于4x，且曲线过点(1,3)，求曲线 方程。
一、基本概念
微分方程：联系着自变量、未知函数及其 导数（或微分）的关系式。
一阶常微分方程的奇解
摘要 (4)1.何谓奇解 (5)2.奇解的产生 (5)3.包络跟奇解的关系 (6)4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (7)4.1 克莱罗微分方程 (11)5.奇解的基本性质 (14)5.1 定理１ (14)5.2 定理２ (16)5.3 定理３ (16)6.小结 (17)参考文献： (17)一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程)xF=0有一特解y,,(,y)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
一阶常微分方程解法
一阶常微分方程解法常微分方程（Ordinary Differential Equation），简称ODE，是描述变量之间关系的数学方程。
一阶常微分方程是只含有一阶导数的方程。
解一阶常微分方程的方法有很多种，本文将介绍几种常用的解法。
一、分离变量法分离变量法是解一阶常微分方程常用的方法之一。
对于形如 dy/dx= f(x)g(y) 的方程，可以将 x 和 y 分离到方程两边，并对等式两边同时积分，得到解的形式。
例如，对于方程 dy/dx = x^2y，我们可以将 x 和 y 分离：dy/y = x^2 dx对两边同时积分：∫(1/y) dy = ∫x^2 dx得到：ln|y| = (1/3)x^3 + C解出 y 之后，我们可以得到原方程的解。
二、变量代换法变量代换法是解一阶常微分方程的另一种常用方法。
通过引入新的自变量，将原方程转化为一阶可分离变量的形式，从而求解方程。
例如，对于方程 dy/dx = 2xy，我们可以进行变量代换 y = v/x，其中v 是关于 x 的函数。
将这个代换带入原方程中：v/x + x dv/dx = 2x(v/x)整理得：v dv = 2xdx对两边同时积分：∫v dv = 2∫xdx得到：v^2/2 = x^2 + C将代换关系 y = v/x 带回，我们可以得到原方程的解。
三、齐次方程法对于形如 dy/dx = f(x, y)/g(x, y) 的一阶常微分方程，如果 f(x, y) 和g(x, y) 是齐次函数（即具有相同的次数），则可以使用齐次方程法解决。
例如，对于方程 dy/dx = (x^2+y^2)/(xy)，我们将 x 和 y 同时除以 x，得到：dy/(xdx) = (1+(y/x)^2) / (y/x)令 u = y/x，求导有 dy/(xdx) = du - u/x dx。
代入到方程中得到：du - u/x dx = (1+u^2)/u整理化简后可得：(1+u^2) du = dx/x对两边同时积分：∫(1+u^2) du = ∫dx/x得到：u + (1/3)u^3 = ln|x| + C将代换关系 u = y/x 带入，我们可以求得原方程的解。
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摘要 (2)1.何谓奇解 (2)2.奇解的产生 (3)3.包络跟奇解的关系 (4)4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法 (5)4.1 克莱罗微分方程 (9)5.奇解的基本性质 (12)5.1 定理１ (12)5.2 定理２ (14)5.3 定理３ (14)6.小结 (14)参考文献： (15)一阶常微分方程的奇解摘要在常微分方程中，我们知道方程的解可以有多种，现在我们来讨论求奇解的方法。
我们看到某些微分方程，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
从而我们引出了积分曲线族的包络，而为了求微分方程的奇解，，我们应先求出他的通解，然后求通解的包络。
关键词：奇解，包络，C-判别式，P-判别式1.何谓奇解设一阶隐式方程),,(,y y x F =0有一特解)(:x y ψ=Γ，j x ∈如果对每一点Γ∈P ，在P 点的任何一个领域内，方程),,(,y y x F =0都有一个不同于Γ的解在P 点与Γ相切，则称Γ是微分方程的),,(,y y x F =0的奇解定义：如果一个一阶微分方程的一个特解的积分曲线上的每一点都至少和这个微分方程的不同的积分曲线相切，并且这相切的积分曲线在切点的任何邻域内都不重合，则称这个特解为这个微分方程的奇解2.奇解的产生先看一个例子，求方程033=-⎪⎭⎫ ⎝⎛y dx dy （1） 或与它等价的方程 3y dxdy = 的解。
经分离变量后，可得（1）的通解3)(271c x y += 容易看出，y=0也是原方程的一个解。
现在来研究这个解y=0有什么特殊的地方。
由图我们看到，在解y=0上的每一点)0,(0x 处相切，这种特殊的积分曲线y=0称为奇积分曲线，他所对应的解就是奇解，这就是奇解的产生。
我们现在给出曲线族包络的定义某些微分方程，存在一些特殊的积分曲线，会存在一些特殊的积分曲线，他并不属于这方程的积分曲线族，但是，在这些特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和他在此处相切。
在几何学里，这些特殊的积分曲线称为上述积分曲线族的包络，在微分方程里，这些特殊的积分曲线所对应的解酒称为方程的奇解。
设给定单参数曲线族0),,(=Φc y x （1）其中C 是参数，),,(c y x Φ是x,y,c 连续可微函数。
曲线族（1）的包络是指这样的曲线，他本身并不包含在曲线族（1）中，但过这曲线的每一点，有曲线族（1）中的一条曲线和他在这点相切。
例如，单参数曲线族222)(R y c x =+-（这里的R 是常数，C 是参数）表示圆心为（C ，0）而半径为R 的一族圆，此曲线族显然有包络y=R 和 y=-R（见图1）3.包络跟奇解的关系由奇解和包络的定义显然可知，若方程0),,(,=y y x F 的积分曲线族（即通解所对应的曲线族）的包络如果存在，则必定是方程0),,(,=y y x F 的奇解。
事实上，在积分曲线族包络上的点（x,y ）处的x,y 和,y （斜率）的值和在该点与包络相切的积分曲线上的x,y 和,y 满足方程0),,(,=y y x F 。
这就是说，包络是积分曲线。
其次，在包络的每一点，积分曲线族中都至少有一条曲线与包络相切。
因此，包络是奇解，由此可知，如果知道了微分方程0),,(,=y y x F 的通积分，那么该通积分的包络就是奇解。
4.理论上证明C-判别曲线与P-判别曲线方法但是，一般的曲线族并不一定有包络，例如同心圆族、平行直线族都是没有包络的，从而我们引出了C-判别曲线与P-判别曲线。
从奇解的定义可知，奇解是一种具有特殊几何意义的特解。
正如我们已见到的例子，在求解微分方程时只要注意一些例外情况就会得到这种特解. 这些奇解都是由定义来判定的. 但是由定义来判定奇解比较麻烦，下面介绍两种判别同时也是求奇解的方法：由微分几何学可知，曲线族（1）的包络包含在由下列方程组⎩⎨⎧=Φ=Φ0),,(0),,(,c y x c y x c 消去 c 得到所谓 c -判别曲线．必须注意，在C-判别式曲线中有时出去包络外，还有其他曲线。
例1 求直线族0sin cos =-+p y x αα (1)的包络，这里的α是参数，P 是常数。
解：将（1）对α求导，得到0cos sin =+-ααy x （2）为了从（1），（2）中消去α，将（2）移项，然后平方，有22222sin cos 2sin cos P =++ααααxy y x （3）将（2）平方，又得0sin cos 2cos sin 2222=-+ααααxy y x（4） 将（3），（4）相加，得到222P y x =+（5） 容易检验，（5）是直线（1）的包络（见图2）例2 求曲线族0)(32)(22=---c x c y （6）的包络。
解：将（6）对C 求导数。
得到0)(3.32)(22=-•+--c x c y即0)(2=---c x c y （7）为了从（6）和（7）消去C ，将（7）代进（6），得0)(32)(34=---c x c x即032)()(3=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c x c x ， 从x-c=0得到y=x （8）从032=--c x 得到 92-=x y （9） 因此，C-判别曲线包括两条曲线（8）和（9），容易检验直线y=x 不是包络，而直线92-=x y 是包络（见图3）值得注意的是，在 c 判别曲线中除了可能有的包络(即奇解)外，还可能是曲线族中奇点的集合, 在奇点,曲线没有确定的切线. 因此这种 c 判别曲线不是解；还可能是不与积分曲线族相切的曲线.这里介绍另外一种求奇解的方法。
由存在唯一定理知道，如果),,(,y y x F 关于x,y,,y 连续可微，则只要0,≠∂∂y F 就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程),,(,y y x F =0 0),,(,,=∂∂y y y x F （10） 于是我们有下面结论：方程0),,(=dxdy y x F 的奇解包含在由方程组⎪⎩⎪⎨⎧==0),,(0),,(,p y x F p y x F p （11） 消去P 而得到的曲线中，这里F （x,y,p ）是x,y,p 的连续可微函数，此曲线称为方程（10）的P-判别曲线。
P-判别曲线是否是方程的奇解，需要进一步的检验例3 求方程01)(22=-+y dxdy 的奇解。
解：从 ⎩⎨⎧==-+020122p y p 消去P 得到P-判别曲线1±=y容易验证，此两直线都是方程的奇解。
因为容易求得原方程的通解为：y=sin(x+c)而1±=y 是微分方程的解，且正好通解的包络。
例4 求方程22⎪⎭⎫ ⎝⎛-=dx dy dx dy x y 的奇解解：从 ⎩⎨⎧=--=02222p x p xp y消去P 得到P_判别曲线2x y =但2x y =不是方程的解，故此方程没有奇解强调指出：上面介绍的两种方法，只是提供求奇解的途径，所以C-判别曲线与P-判别曲线是不是奇解，必须进行检验补充：4.1 克莱罗微分方程形如 )(p f xp y += （12） 的方程，称为克莱罗微分方程，这里dx dy p =，)(p f 是P 的连续可微函数，现在我们进一步讨论：将（12）两边对x 求导，并以p dxdy =代入，即得 dx dp p f p dx dy xp )(,++=， 即0))((,=+p f x dx dp 如果0=dx dp ，则得到 P=C将它代入（12），得到)(c f cx y += （13）这里的C 是任意常数，这就是（12）的通解。
如果0)(,=+p f x ，将它和（12）合并起来⎩⎨⎧+==+)(0)(,p f xp y p f x （14） 消去P 也得到方程的一个解。
注意，求得此解的过程真好与从通解（13）中的求包络的手续一样。
可以验证，此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方程的通解就是一直线族（在原方程以C 代P 即得），此直线族的包络就是方程的奇解。
例5：求解方程p xp y 1+= 解：这就是克莱罗微分方程，因而它的通解就是cxc y 1+= 从 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==-c cx y c x 1012 中消去C ，得到奇解x y 42=这方程的通解就是直线族，而奇解就是通解的包络例6 求一曲线，使其在其上的每一点的切线截割坐标轴而成的直角三角形（见（图例6）中的三角形OAB ）的面积都等于2解：设所要求的曲线切线方程为 1=+by a x 依题意有 ab=4而 dx dy a b -= 由上述三式消去a,b 得dx dy dx dy x y 42-=⎪⎭⎫ ⎝⎛- 或 dx dy dx dy xy -±=2 这是克莱罗微分方程，其通解为x c c c x c y 21122-=-±= )0(1<c ，这里1c c -±=为任意常数，易见此直线族的每一条直线都是满足题意的解。
现在求曲线族的包络，亦即微分方程的奇解，为此，从⎩⎨⎧=--=0122cx x c c y 中消去C 得到微分方程的奇解1=xy ，这是等腰双曲线，显然他就是满足要求的解。
现在，可以引进奇解的概念：微分方程的某一个解称为奇解，如果在这个解的每一点上至少还有方程的另外一个解的存在，也就是说奇解就是这样的一个解，在他上面的每一点至少有方程的两条积分曲线通过。
5.奇解的基本性质5.1 定理１ 设),,(p y x F 及其各一阶偏导数是),,(p y x 的连续函数，若方程),,(dxdy y x F 有奇积分曲线，则它必包含在P-判别曲线0),,(=y x ϕ之中 定理1 的性质是，在满足定理中连续可微的条件下，奇积分曲线必须从P-曲线中寻找，但是从P-判别曲线0),,(=y x ϕ中分解出来的一支或数支连续曲线是否就是),,(dxdy y x F 的奇积分曲线，尚需要进一步的依次验证：（1）该支曲线是),,(dx dy y x F 的积分曲线 ；（2）该支曲线上每一点处至少还有),,(dxdy y x F 的另外一条积分曲线经过，且两者在该点相切。
如果（1）不成立，则该支曲线仅是一般的积分曲线，不是奇积分曲线，只有当（1）和（2）都成立时，该支曲线才是奇积分曲线，而他所对应的解才是奇解 例 1 重新考虑：0)(23=-y dxdy 解 记p dxdy =，则 0),,(23=-≡y p p y x F032=-∂∂p pF 消去P ，即得到P-判别曲线y=0，由本节开始时的讨论可知，他是奇解如果把例1的0)(23=-y dx dy 改成032=-y dx dy ，仍记p dxdy =，可得 0),,(32=-≡y p p y x F01≠=∂∂pF 即从P-判别式得不到曲线。