平行线的性质定理(201908)
平行线的性质ppt课件
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
平行线的性质课件
利用平行线性质解决几何最值问题
平行线定义：在同一平面内，永不 相交的两条直线
几何最值问题：求线段、角度、面 积等几何量的最大值或最小值
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
平行线性质：平行线之间的线段相 等
利用平行线性质解决几何最值问题 的方法：通过平行线之间的线段相 等，找到几何量的最大值或最小值
平行线的性质在解析几 何中的应用
面的交点
平行线与平面 的夹角：平行 线与平面的夹 角为直线与平
面的夹角
平行线与平面的 平行性：平行线 与平面的平行性 为直线与平面的
平行性
总结与思考
总结平行线的性质及其应用
平行线的定义： 在同一平面内， 永不相交的两
条直线
平行线的性质： 平行线之间的 角度相等，平 行线之间的线
段相等
平行线的应用： 在几何证明、 工程测量、建 筑设计等领域
利用平行线性质解决函数问题
平行线与函数的 关系：平行线是 函数的基本性质 之一，可以应用 于求解函数问题
平行线性质的应 用：利用平行线 性质可以求解函 数的最大值、最 小值、极值等问
题
平行线性质的证 明：利用平行线 性质可以 在更高级的数学 领域中也有广泛 的应用，如微积 分、线性代数等
平行线的性质在代数中 的应用
利用平行线性质解决线性方程组问题
平行线性质：两条直线平行，同位角相等
线性方程组：一组线性方程组成的方程组
利用平行线性质解线性方程组：通过观察方程组中的同位角，找出方程组中的平行线， 从而解出方程组
应用实例：求解线性方程组，如3x+2y=5，4x+3y=6，通过观察方程组中的同位角， 找出方程组中的平行线，从而解出方程组
《平行线的判定》的数学知识点
《平行线的判定》的数学知识点《平行线的判定》的数学知识点在我们的学习时代，大家最熟悉的就是知识点吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。
掌握知识点有助于大家更好的学习。
下面是店铺为大家收集的《平行线的判定》的'数学知识点，仅供参考，大家一起来看看吧。
1、平行线的概念在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行用符号‖表示，如AB‖CD，读作AB平行于CD。
同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。
注意：(1)平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。
(2)当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。
2、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
3、平行线的判定平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。
简称：同位角相等，两直线平行。
平行线的两条判定定理：(1)两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。
简称：内错角相等，两直线平行。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。
简称：同旁内角互补，两直线平行。
补充平行线的判定方法：(1)平行于同一条直线的两直线平行。
(2)垂直于同一条直线的两直线平行。
(3)平行线的定义。
4、平行线的性质(1)两直线平行，同位角相等。
(2)两直线平行，内错角相等。
(3)两直线平行，同旁内角互补。
【《平行线的判定》的数学知识点】。
平行线的性质与判定
平行
证明：根据同位角的性质， 如果同位角相等，则两条
直线平行
应用：在几何证明和实 际问题中，常常需要利 用同位角相等来判断两
条直线是否平行
注意事项：同位角相等是 判定两条直线平行的充分
条件，但不是必要条件
内错角相等则两直线平行
判定方法：内错角相 等，则两直线平行
平行线的性质与判定
汇报人：XX
目录
Contents
01 添 加 目 录 项 标 题 02 平 行 线 的 性 质 03 平 行 线 的 判 定 04 平 行 线 的 应 用
01
添加章节标题
02
平行线的性质
平行线的同位角相等
定义：同位角相等，两直 线平行
性质：同位角相等，两直 线平行
判定：两直线平行，同位 角相等
证明过程：利用同位 角性质，证明两直线
平行
应用举例：在几何问 题中，常用来判断两
条直线是否平行
注意事项：内错角相 等是判定两直线平行 的充分条
证明过程：利用同旁内角的性 质，通过角度计算证明两直线 平行
应用场景：在几何证明题中， 常用于证明两条直线平行
判定方法：同旁内角互补，则 两直线平行
0
0
0
0
1
2
3
4
平行线在日常生活中的应用
建筑学：在建筑设计时， 利用平行线的性质确定建 筑物的位置和方向，保证
建筑物的稳定性。
交通工具：汽车、火车等 交通工具的轨道线都是平 行的，这样可以保证车辆
安全、稳定地行驶。
电子设备：电视、电脑等 显示器的屏幕线都是平行 的，这样可以保证图像的
7年级数学 平行线判定及性质 (1)
D EEF1 23 A CO知识精讲7 年级数学下：平行线的性质定理模块一：平行线的性质定理平行线的性质定理（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；简记为：两直线平行，同位角相等．（2）两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；简记为：两直线平行，内错角相等．（3）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；简记为：两直线平行，同旁内角互补． 例题解析【例 1】如图，AC //DB ， ∠DBC = 56 ，则∠ACB = ． 【答案】124 度．【解析】因为 AC //DB （已知）， 所以∠DBC + ∠ACB = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补），因为∠DBC = 56 （已知），所以∠ACB = 180︒ - 56︒ = 124︒ （等式性质）D B【例 2】（1）如图，已知 DE //BC ，∠A = ∠C ，则与∠AED 相等的角（不包含∠AED ）有 个；（2）如图，若 AB //FD ，则∠B = ，若 AC //ED ，则∠DFC = ．AAB C 【答案】（1）2 个；（2） ∠3 ；∠2．B D 【解析】（1）因为 DE //BC （已知）， 所以∠AED = ∠C （两直线平行，同位角相等），又因为∠A = ∠C （已知），所以∠A = ∠C = ∠AED （等量代换）；（2）∠B = ∠3（两直线平行，同位角相等）；∠DFC = ∠2． 【例 3】如图，直线 a / /b ，则 x - y 的值等于（ ） aA ．20B ．80C ．120D ．180 b【答案】A【解析】因为 a / /b ，所以 x = 30又因为3y + x = 180 ，解得 y = 50 ，故 x - y = 30 - 50 = 20︒ ．【例 4】如图，直线 a / /b ，点 B 在直线b 上，且 AB ⊥ BC ， ∠1 =A ． 35B ． 45C ． 55D ．125【答案】A 【解析】因为 AB ⊥ BC （已知），所以∠ABC = 90︒ （垂直的意义）因为 a / /b （已知）， 所以 ∠1 = ∠CBD （两直线平行，同位角相等） 因为∠1 = 55 （已知）， 所以∠CBD = 55 （等量代换）因为∠2 + ∠ABC + ∠CBD = 180 （平角的意义）所以∠2 = 180︒ - 55︒ - 90︒ = 35︒ （等式性质）B【例5】如图，直线a / /b ，c ⊥d ，则下列说法中正确的个数有（）（1）∠2 +∠4 = 90 ；（2）∠1 +∠4 = 90 ；（3）∠1 =∠3 ；（4）∠3 +∠4 = 90 ．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【答案】B【解析】（1）正确：因为a / /b ，所以∠2 与∠3 互为同位角，d又因为c ⊥d ，所以∠3 +∠4 = 90︒，所以∠2 +∠4 = 90︒；（2）错误：∠1 =∠4 （两直线平行，同位角相等）；（3）错误∠1 +∠3 = 90︒；（4）正确．所以本题选B【例6】如果两个角的一边在同一条直线上，另一边互相平行，那么这两个角（）A．相等或互补B．互补C．相等D．相等且互余【答案】A【解析】分为同侧相等和异侧互补两种情况，故选A．【例7】如图，已知AB / /CD ，∠x 等于（）A．75 B．80 C．85 D．95 【答案】C【解析】如图可过的顶点作平行线，那么被分为上下两部分．上半部分与角B 互补；下半部分与角D 互为内错角；所以易知∠x = (180︒-120︒) + 25︒= 85︒．A B120°xD 25°C【例8】如图，AB / /CD，MP / / AB，MN 平分∠AMD，∠A = 40 ，∠D = 30 ，则∠NMP 等于（）A．10 B．15 C．5 D．7.5 【答案】C【解析】因为AB / /MP （已知）所以∠A =∠AMP （两直线平行，内错角相等）因为AB / /CD （已知），所以MP / /CD （平行的传递性）所以∠D =∠DMP （两直线平行，内错角相等）B MCAN PD因为∠AMD =∠AMP +∠DMP （角的和差），∠A = 40 ，∠D = 30 （已知）所以∠AMD = 30 + 40 = 70 （等式性质）因为MN平分∠AMD （已知），所以∠AMN =∠NMD = 35 （角平分线的意义）所以∠NMP = 40︒- 35︒= 5︒（等式性质）E【例9】如图，AB / /CD ，∠1 = (2x + 20) ，∠2 = (8x - 40) ，求∠1 及∠2 的度数．【答案】∠1 = 40︒，∠2 = 40︒． A1 B【解析】因为AB / /CD （已知），所以∠1 =∠2 （两直线平行，同位角相等）2 即(2x + 20) = (8x - 40) C DF 解得：x = 10所以∠1 = 40︒，∠2 = 40︒（等式性质）H 2G1C F D3 1 24【例 10】如图，已知∠1 = 40 ，∠2 = 140 ，∠3 = 40 ，能推断出 AB / /CD / / EF 吗？为什么？【答案】能；见解析． 【解析】由题意，根据对顶角的性质，可知：∠2 + ∠1 = 180︒，∠2 + ∠3 = 180︒ 所以 AB //CD ，CD //EF （同旁内角互补，两直线平行） 所以 AB //EF ，即 AB //CD //EF ，即证．N【例 11】已若∠A 的两边与∠B 的两边分别平行，且∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，求∠A 与∠B 的度数．【答案】∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒ ．【解析】由题意可知， ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 2 倍少 30°，所以∠A = 2∠B - 30︒ ，即∠B = 30︒，∠A = 30︒ 或∠B = 70︒ ，∠A = 110︒【总结】本题考查平行线的性质及两个角的两边平行时的两种情况的讨论．【例 12】已知：如图， ∠1 = ∠2 ，∠3 = ∠B ，AC / / DE ，且 B 、C 、D 在一条直线上．试说明 AE / / BD ．AE【答案】见解析． 【解析】因为 AC / / DE （已知）， 所以∠2 = ∠4 （两直线平行，内错角相等）因为∠1 = ∠2 （已知），所以∠1 = ∠（4 等量代换）所以 AB / /CE （内错角相等，两直线平行） 所以∠B = ∠ECD （两直线平行，同位角相等） B 因为∠3 = ∠B （已知），所以∠3 = ∠ECD （等量代换）所以 AE / / BD （内错角相等，两直线平行）【例 13】已知：如图，E 、F 分别是 AB 和 CD 上的点，DE 、AF 分别交 BC 于 G 、H ，∠ A = ∠ D ， ∠ 1= ∠ 2，试说明： ∠ B = ∠ C ．E 【答案】见解析 A B【解析】因为∠1 = ∠（2 已知），∠1 = ∠AHB （对顶角相等）所以∠2 = ∠AHB （等量代换）， 所以 AF / / E D （同位角相等，两直线平行） 所以∠D = ∠AFC （两直线平行，同位角相等）因为∠A = ∠D （已知）， 所以∠A = ∠AFC （等量代换）所以 AB / /CD （内错角相等，两直线平行）所以∠B = ∠C （两直线平行，内错角相等）【例 14】如图，直线 GC 截两条直线 AB 、CD ，AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平 分线，且 AE / /CF ，那么 AB ∥CD 吗？为什么？【答案】见解析 【解析】因为 AE 是∠GAB 的平分线，CF 是∠ACD 的平分线（已知）所以∠GAE = ∠EAB ，∠ACF = ∠FCD （角平分线的性质）因为 AE / /CF （已知），所以∠GAE = ∠ACF （两直线平行， 3A1 E2 D同位角相等）所以∠EAB =∠FCD（等量代换）所以AB / /CD ( 同位角相等，两直线平行)【例15】如图∠1 =∠2 ，DC / /OA ，AB / /OD ，那么∠C =∠B【答案】见解析【解析】因为DC / /OA （已知），所以∠COA =∠C（两直线平行，内错角相等），即∠COB +∠1 =∠C因为AB / /OD （已知），所以∠DOB =∠B即∠2 +∠COB =∠B ，又因为∠1 =∠2 （已知），所以∠B =∠C （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的综合运用．【例16】如图，已知AD 平分∠BAC ，∠1 =∠2 ，试说明∠1 =∠F 的理由．【答案】见解析F【解析】因为AD 平分∠BAC （已知），所以∠2 =∠BAD （角平分线的意义）因为∠1 =∠2 （已知），所以∠1 =∠BAD （等量代换）所以EF / / AD （同位角相等，两直线平行）所以∠F =∠2 （两直线平行，同位角相等） B C 所以∠1 =∠F （等量代换）【总结】本题考查平行线的判定及性质的运用．【例17】已知：如图，∠AGH =∠B，∠CGH =∠BEF ，EF⊥AB 于F，试说明CG⊥AB．【答案】见解析【解析】因为∠AGH =∠B （已知）C所以HG / /CB （同位角相等，两直线平行）所以∠CGH =∠BCG （两直线平行，内错角相等）E 因为∠CGH =∠BEF （已知），H所以∠BEF =∠BCG （等量代换）A B所以EF / /CG （同位角相等，两直线平行）G F因为EF⊥AB（已知），所以CG⊥AB．【例18】已知，正方形ABCD 的边长为4 cm ，求三角形EBC 的面积．D【答案】8 平方厘米． A E 【解析】由题意可知：三角形EBC 与正方形同底BC，且其高即是正方形的边DC，故三角形面积为正方形面积的一半：4 ⨯ 4 ÷ 2 = 8cm2C【例19】如图，AD//BC，BC =5AD ，求三角形ABC 与三角形ACD 的面积之比．2A D【答案】5: 2 ．4B CBD EA GD【解析】因为 AD / /BC （已知）所以三角形 ABC 与三角形 ACD 的高相等（平行线间的距离处处相等）所以 S ∆ABC : S ∆ACD = BC : AD = 5：2 （两三角形高相等，面积比等于底之比）【例 20】如图， AB / /GE ， CD / / FG ，BE =EF =FC ，三角形 AEG 的面积等于 7，求四边形 AEFD 的面积． 【答案】21 【解析】联结 BG 、CG ． 因为 AB / /GE（已知）所以 S∆BEG B = S ∆AEG （同底等高的两个三角形面积相等） E F C因为 BE =EF （已知）， 所以 S ∆BEG = S ∆GEF （等底等高的两个三角形面积相等）所以 S ∆AEG = S ∆GEF =7（等量代换）， 同理 S ∆GEF = S ∆DFG = 7 ．所以 S 四边形AEFD = S ∆AEG + S ∆GEF + S ∆DFG = 7 + 7 + 7 = 21．【例 21】已知 E 是平行四边形 ABCD 边 BC 上一点，DE 延长线交 AB 延长线于 F ，试说明CS ∆ABE 与S ∆CEF 相等的理由． 【答案】见解析 1A1 F【解析】因为 S △ADE = S △DCF = 2 S 四边形ABCD ，所以 S △CEF = S ∆DCF - S ∆DCE = 2S 四边形ABCD - S ∆DCE ， 所以 S = S - S - S = S - 1 S - S = 1 S - S∆ABE 四边形ABCD ∆ADE ∆DCE 四边形ABCD 2 四边形ABCD ∆DCE 2 四边形ABCD ∆DCE所以 S ∆ABE = S ∆CEF模块二：辅助线的添加例题解析 【例 1】如图，已知 AB ∥ED ，试说明：∠B +∠D ＝∠C ． 【答案】见解析 【解析】过点 C 作 AB 的平行线 CF ， 因为 AB ∥ED （已知） 所以 AB / /CF / / ED （平行的传递性）A BC F 所以∠B = ∠BCF ，∠D = ∠DCF （两直线平行，内错角相等）所以∠B + ∠D = ∠BCF + ∠DCF = ∠BCD （等式性质） E D【例 2】如图所示，已知， ∠A +∠B +∠C = 360︒ ，试说明 AE ∥CD ． 5F E【答案】见解析A E【解析】过点 B 向右作 BF //AE ， 所以∠A + ∠ABF = 180（︒ 两直线平行，同旁内角互补）因为∠A +∠B +∠C = 360︒ （已知）B F所以∠FBC + ∠C = 180︒ （等式性质） C D所以 BF / /CD （同旁内角互补，两直线平行）所以 AE / /CD （平行的传递性）【例 3】如图，已知：AB //CD ，试说明： ∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （至少用三种方法）．【答案】见解析 A【解析】方法一：连接 BD则∠EBD +∠EDB +∠E =180°（三角形内角和等于 180因为 AB //CD （已知），所以∠ABD +∠BDC =180°（两直线平行，同旁内角互补） C 所以∠ABD +∠EBD +∠EDB +∠BDC +∠E =360°，即∠B +∠D +∠BED =360°方法二：过点 E 作 EF //CD ，因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠B +∠BEF =180°，∠D +∠DEF =180°（两直线平行，同旁内角互补）所以∠B +∠BEF +∠D +∠DEF =360°（等式性质）即∠B +∠D +∠BED =360°；方法三：过点 E 作 EF / / BA因为 AB / /CD （已知）， 所以 EF / / AB （平行的传递性）所以∠ABE + ∠BEF = 180︒ ，∠FED + ∠EDC = 180︒ （两直线平行，同旁内角互补） 所以∠ B + ∠ D + ∠ BED = 360︒ （等式性质）；方法四：过点 E 作 EF ⊥CD 的延长线与 F ，EG 垂直于 AB 的延长线于 G ，则有：∠B =∠BGE +∠GEB ，∠D =∠EDF +∠DFE ，所以∠B +∠D +∠BED =∠BGE +∠DFE +∠GED =180+180=360°．【例4】如图所示，在六边形 ABCDEF 中，AF ∥CD ，∠A =∠D ，∠B=∠E ，试说明 BC ∥EF 的理由．【答案】见解析 A F【解析】连接 AD 、BEB因为 AF ∥CD （已知） E所以∠FAD = ∠ADC （两直线平行，内错角相等） C D因为∠BAF = ∠CDE （已知）， 所以∠BAD = ∠ADE （等式性质）所以 AB ∥DE （内错角相等，两直线平行）所以∠ABE = ∠BED （两直线平行，内错角相等）因为∠ABC = ∠FED （已知）， 所以∠EBC = ∠BEF （等式性质）所以 BC ∥EF （内错角相等，两直线平行）【例 5】如图已知，AB //CD ，∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE ，求∠E 和∠F 的关系．3 3【答案】∠E : ∠F = 3：2 ． C【解析】过点 E 、点 F 分别作 AB 的平行线 EG 、FH ． 6A BD2 1 因为 EG / / AB ，FH / / AB所以 AB / / EG / FH / /CD (等量代换)所以∠ABF = ∠BFH （两直线平行，内错角相等）所以∠CDF = ∠DFH （两直线平行，内错角相等）所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF （等量代换）同理： ∠BED = ∠DEG + ∠BEG = ∠ABE + ∠CDE （等量代换）因为∠ABF = 2 ∠ABE ，∠CDF = 2 ∠CDE3 3所以∠BFD = ∠DFH + ∠BFH = ∠CDF + ∠ABF = 2 (∠ABE + ∠CDE ) = 2∠BED3 3 所以∠E : ∠F = 3：2【例 6】如图，已知：AC //BD ，联结 AB ，则 AC 、BD 及线段 AB 把平面分成①②③④四个部分，规定：线上各点不属于任何一个部分，当点 P 落在某个部分时，联结 PA 、PB ，构成 ∠ PAC 、∠ APB 、∠ PBD 三个角（提示：有公共角断点的两条重合的射线所组成的角是 0 °角）（1） 当点 P 落在第①部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB ；（2） 当点 P 落在第②部分时，试说明： ∠ PAC + ∠ PBD = ∠ APB 是否成立?（3）当点 P 落在第③部分时，全面探究∠ PAC 、 ∠ APB 、 ∠ PBD 之间的关系是 ，并写出动点 P 的具体位置和相应的结论，选择其中一种加以证明．A 3 A 3C C C A 3 C2 1B 4 D B 4 D B 4 B 4 D【解析】（1）过点 P 作 PE // AC ．因为 AC / / BD ，所以 AC / / PE / / BD （平行的传递性）所以∠PAC = ∠APE ，∠BPE = ∠PBD （两直线平行，内错角相等）因为∠APB = ∠APE + ∠BPE （角的和差）所以∠APB = ∠PAC + ∠PBD （等量代换）（2）不成立，过点 P 作 AC 的平行线即可证明．（3）分类讨论如下：①当动点 P 在射线 BA 的右侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ；②当动点 P 在射线 BA 上时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB 或∠PAC = ∠PBD + ∠APB 或∠APB = 0︒，∠PAC = ∠PBD （任写一个即可） ③当动点 P 在射线 BA 的左侧时，结论是∠PBD = ∠PAC + ∠APB ．2 P 1 A3 2 1随堂练习【习题1】 填空：（1） 如图（1），AB //CD ，CE 平分∠ACD ， ∠A = 120 ，则∠ECD ；（2） 如图（2），已知 AB //CD ， ∠B = 100 ，EF 平分∠BEC ， EG ⊥ EF ，则∠DEG = ．【难度】★G B AFC 【答案】（1）30°； （2）50°．E图（2） C【解析】（1）因为 AB ∥CD （已知），所以∠A + ∠ACD = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = 120 （已知）， 所以∠ACD = 180 -120 = 60 （等式性质）又因为 CE 平分∠ACD （已知）， 所以∠ECD =30°（角平分线的意义）（2）因为 AB ∥CD （已知）， 所以∠B + ∠BEC = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠B = 100 （已知）， 所以∠BEC = 180 -100 = 80 （等式性质）又因为 EF 平分∠BEC （已知）， 所以∠BEF =40°（角平分线的意义）因为 EG ⊥EF （已知）， 所以∠GEF = 90 （垂直的意义）因为∠DEG + ∠GEF + ∠CEF = 180 （平角的意义）所以∠DEG = 180 - 90 - 40 = 50 （等式性质）【总结】本题考查平行线的性质的运用．【习题2】 填空：（1）如图，直线 a / /b ，三角形 ABC 的面积是 42 cm 2 ，AB =6 cm ，则 a 、b 间的距离为 ；（2）如图，在三角形 ABC 中，点 D 是 AB 的中点，则三角形 ACD 和三角形 ABC 的面 积之比为 ．【难度】★ 【答案】（1）14 厘米 ；（2） 1 ．2 AD【解析】（1）三角形 ABC 的高为： 42 ⨯ 2 ÷离B 为 14 厘米； C（2）因为三角形 ACD 和三角形 ABC 高相等，所以面积之比等于底之比，即 S ∆ACD = S ∆ABC AD =1AB 2【总结】本题考查平行线间距离及同高等底的三角形面积的之比．A B E 图（1） D D ．【习题3】 如图，已知 FC //AB //DE ， ∠α : ∠D : ∠B = 2 : 3 : 4 ,则∠α 、∠D 、∠B 的度数分别为 ．【难度】★ 【答案】∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ． 【解析】因为 FC //AB //DE （已知），A 所以∠B + ∠CFB = 180 (∠D = ∠CFD （两直线平行，内错角相等）设∠α = 2x ，∠D = 3x ，∠B = 4x ，则可列方程：180 - 4x + 2x = 3x ，解得： x = 36︒则∠α = 72︒ ， ∠D = 108︒ ， ∠B = 144︒ ．【习题4】 如果两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的 3 倍多 12°，则这两个角是( )．A ．42°和 138°B ．都是 10°C ．42°和 138°或都是 10°D ．以上都不对【难度】★★【答案】A【解析】由题意假设这两个角分别为 A 、B ，则有： ∠A = ∠B 或∠A + ∠B = 180︒ ，又因为∠A 是∠B 的 3 倍多 12°，则有： ∠A = 3∠B + 12︒ ，即180︒- ∠B = 3∠B + 12︒，解得：∠B = 42︒，∠A = 138︒ ．【总结】本题考查两角位置关系的可能性，注意两种情况的讨论．【习题5】 如图，已知 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM ，∠1+∠2=90°，那么直线 PQ 、MN的位置关系．P Q【难度】★★ 【答案】见解析． 1【解析】因为 QR 平分∠PQN ，NR 平分∠QNM （已知） R所以∠PQN = 2∠1 ， ∠MNQ = 2∠2 （角平分线的意义）因为∠1+∠2=90°（因为），所以∠PQN +∠MNQ =180°（等式性质） 2 所以 PQ ∥MN （同旁内角互补，两直线平行） M N【总结】本题考查平行线的判定及角平分线意义的综合运用．【习题6】 如图，已知：AB ∥CD ，EF 和 AB 、CD 相交于 G 、H 两点，MG 平分∠BGH ，NH平分∠DHF ，试说明：GM ∥NH ．【难度】★★ 【答案】略． 【解析】 AB / /CD （已知） ∴∠BGH = ∠DHF （两直线平行，同位角相等） 又 MG 平分∠BGH ，NH 平分∠DHF ∴∠1 = 1 ∠BGH , ∠2 = 1 ∠DHF 2 2 ∴∠1 = ∠（2 等量代换） ∴GM / / H N （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定A B 12 OC BC M1【习题7】 如图所示，在直角三角形 ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4，AB =5，三角形内一点 O 到各边的距离相等，求这个距离是多少．【难度】★★【答案】1． 【解析】设这个距离是 x ，则有：S ∆ABC = 6 = 1( AC + BC + AB ) ⨯ x = 6x ， 解得： x = 1 ． 2 【总结】本题可以用面积法求解比较简单．【习题8】 如图，已知 AB ，CD 分别垂直 EF 于 B ，D ，且∠DCF =60°，∠1=30°．试说明： BM / / AF ．A【难度】★★ 【答案】见解析． 【解析】因为 CD ⊥EF ， 所以∠CDF = 90 （垂直的意义） 因为∠DCF =60°（已知）， 所以∠F =30°（三角形的内角F 和等于 1D 80°） B E 因为∠1=30°（已知）， 所以∠1=∠F （等量代换）所以 BM ∥AF （同位角相等，两直线平行）【总结】本题考查平行线的判定及垂直的意义的综合运用．【习题9】 如图，已知直线l 1 / /l 2 ；（1）若∠1 = (x + 2 y ) ， ∠2 = x ， ∠4 = ( y + 30) 求∠1 ， ∠2 ， ∠4 的度数；（2）若∠2 = x ， ∠3 = y ， ∠4 = [2(2x - y )] ，求 x 、 y 的值． 1 2 3 l【难度】★★ 【答案】见解析 4l 2【解析】（1）因为∠1+∠2=180°（平角的意义），所以 x + 2 y + x 180︒ ，即 x +y =90°因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = y +30， 解得：x =60°，y =30°，所以∠1=120°，∠2=60°，∠4=60°；（2）因为∠3+∠2=180°（平角的意义）， 所以 x +y =180°，因为l 1∥l 2 （已知）， 所以∠2=∠4（两直线平行，同位角相等）即 x = 4x - 2 y ， 解得：x =72°，y =108°．【总结】本题考查平行线的性质及角度的简单计算．【习题10】 如图， ∠ ADC =∠ABC ， ∠ 1+ ∠ FDB =180°，AD 是∠FDB 的平分线，试说明 BC 为∠DBE 的平分线．【难度】★★★ E【答案】见解析． 【解析】因为∠ 1+ ∠ FDB =180°（已知）， 又因为∠1 = ∠ABD （对顶角相等） 所以∠ABD + ∠BDF = 180 （等量代换）所以 AB / / F D （同旁内角互补，两直线平行）F D CA E C所以∠ABD = ∠2 （两直线平行，内错角相等）因为∠ADC = ∠ABC （已知）， 所以∠ADB = ∠CBD （等式性质）因为 AE / / FC （已证）， 所以∠EBD = ∠FDB （两直线平行，内错角相等）即∠ADB + ∠ADF = ∠CBD + ∠CBE （角的和差）因为 AD 是∠FDB 平分线， 所以∠ADB = ∠ADF = ∠CBD = ∠EBC （角平分线的意义） 即 BC 为∠DBE 的平分线【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理以及角平分线的综合运用．【习题11】 如图，已知∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线，问：△ABC 与△EBC 的面积是否相等?为什么? D【难度】★★★【答案】相等，证明见解析． F【解析】因为∠DAE + ∠EAC + ∠BAC = 180 （平角的意义）又∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180 （三角形内角和等于 180°）所以∠DAE + ∠EAC = ∠ABC + ∠ACB （等式性质） B 因为∠ABC =∠ACB ，AE 是∠CAD 的平分线（已知）所以∠ABC = ∠ACB = ∠DAE = ∠CAE所以 AE / / B C （内错角相等，两直线平行）所以 AE 与 BC 间的距离相等（夹在平行线间的距离处处相等）所以△ABC 与△EBC 的面积相等（同底等高的两个三角形面积相等）．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用，同时还考查了三角形的面积问题．课后作业【作业1】 如图，AB //CD ，直线l 分别交 AB 、CD 于 E 、F ，EG 平分∠BEF ，若∠EFG = 40 ，则∠EGF 的度数是（ ）A ． 60B ． 70C ． 80D ． 90【难度】★【答案】B 【解析】因为 AB //CD （已知），所以∠BEF + ∠EFG = 180 因为∠EFG = 40 （已知）， 所以∠BEF =140°（等式性质） 因为 EG 平分∠BEF （已知），所以∠BEG = 1∠BEF = 70 （角平分线的意义）2 因为 AB //CD （已知）， 所以∠BEG = ∠EGF （两直线平行，内错角相等）所以∠EGF =70°（等量代换）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的意义的运用．【作业2】 如图，AB //CD ，下列等式中正确的是（ ）A ． ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180B ． ∠1 + ∠2 - ∠3 = 90C ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180D ． ∠2 + ∠3 - ∠1 = 90【难度】★【答案】C A B C D2D 1 2E 3 【解析】由题意可得： (180︒- ∠3) + (180︒- ∠2) + ∠1 = 180︒ ，解得： ∠2 + ∠3 - ∠1 = 180︒【总结】本题考查平行线的性质．【作业3】 若两直线被第三条直线所截，则下列说法中正确的个数有（ ）（1）一对同位角的角平分线互相平行，（2）一对内错角的角平分线互相平行，（3）一对同旁内角的角平分线互相平行，（4）一对同旁内角的角平分线互相垂直A ．3 个B ．2 个C ．1 个D ．0 个【难度】★【答案】D【解析】（1）同位角不一定相等，×；（2）内错角不一定相等，×；（3）×； （4）只有当这对同旁内角互补时才成立，×【总结】本题考查三线八角的基本运用．【作业4】 直线 a ∥c ，且直线 a 到直线c 的距离是 3；直线b / /c ，直线b 到直线c 的距离为5，则直线 a 到直线b 的距离为（ ）A ．2B ．3C ．8D ．2 或 8【难度】★★【答案】D【解析】当直线 a 和直线 b 在直线 c 的两侧时，距离为 8；当直线 a 和直线 b 在直线 c 的同一侧时，距离为 2．【总结】本题考查平行线的性质，注意分类讨论．【作业5】 已知：如图 5，∠1=∠2=∠B ，EF ∥AB ．试说明∠3=∠C ． A【难度】★★【答案】略．【解析】因为∠1 = ∠B （已知） 所以 DE / / B C （同位角相等，两直线平行）所以∠2 = ∠C （两直线平行，同位角相等）又因为 EF / / AB （已知）， 所以∠3 = ∠B 所以∠3 = ∠C （等量代换）B FC （两直线平行，同位角相等） 【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业6】 已知：∠1=60o ，∠2=60o ， AB //CD ．试说明：CD //EF ．【难度】★★ l【答案】略． 【解析】设∠2 的对顶角为∠3， 因为∠1=∠2 = 60o （已知），所以∠1=∠3（等量代换） 所以 AB ∥EF （同位角相等，两直线平行）A 1 BC D 又因为 AB ∥CD （已知） 所以 CD ∥EF （平行的传递性） E 2 F【总结】本题主要考查平行线的判定．D ′ C′ F【作业7】 如图，已知∠4=∠B ，∠1=∠3，试说明：AC 平分∠BAD ．【难度】★★【答案】略． 【解析】因为∠4=∠B （已知）所以 CD ∥AB （同位角相等，两直线平行） 所以∠3=∠2（两直线平行，内错角相等） 又因为∠1=∠3（已知）， 所以∠1=∠2（等量代换），A B所以 AC 平分∠BAD （角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的判定定理及性质定理的综合运用．【作业8】 如图， AD / / BC ，BD 平分∠ABC ，且∠A : ∠ABC = 2 :1 ，求∠DBC 的度数．【难度】★★A D 【答案】30°．【解析】因为 AD ∥BC （已知）所以∠A +∠ABC =180°（两直线平行，同旁内角互补） B C又因为∠A ：∠ABC =2:1（已知）， 所以∠A =120°，∠ABC =60°（等式性质）又因为 BD 平分∠ABC （已知）， 所以∠DBC =30°（角平分线的意义）【总结】本题考查平行线的性质及角平分线的综合运用【作业9】 如图，把一个长方形纸片沿 EF 折叠后，点 D 、C 分别落在 D ′、C ′的位置．若∠AED ′＝65°，则∠C 'FB 的度数为 ． A E D 【难度】★★【答案】65°【解析】因为翻折， 所以∠D 'EF = ∠DEF （翻折的性质） B 因为∠AED ' + ∠D 'EF + ∠DEF = 180 （平角的意义） 又∠AED ′＝65°（已知）， 所以∠D 'EF = ∠DEF = 180 - ∠AED '= 57.5 （等式性质）2 因为 AD / / BC （已知）， 所以∠DEF + ∠EFC = 180 （两直线平行，同旁内角互补） ∠EFB = ∠DEF （两直线平行，内错角相等）所以∠EFB = 57.5 ， ∠EFC = 180 - 57.5 = 122.5 （等式性质）因为∠EFC ' = ∠EFC （翻折的性质） 所以∠C 'FB = ∠EFC ' - ∠EFB = 65︒ ．【总结】本题主要考查平行线的性质及翻折的性质的综合运用．【作业10】 如图，已知 AD //BC ，AB //EF ，DC //EG ，EH 平分∠FEG ， ∠A = ∠D = 110 ，试说明线段 EH 的长是 AD 、BC 间的距离． AE D 【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为 AD //BC （已知）所以∠A + ∠B = 180 ， ∠C + ∠D = 180 （两直线平行，同旁内角互补）因为∠A = ∠D = 110 （已知）， 所以∠B =∠C =70°（等式性质）B F H G因为 AB //EF ，DC //EG （已知），D4 3 C 1 2所以∠EFG=∠B，∠EGF=∠C（两直线平行，内错角相等）所以∠EFG = ∠EGF = 70°（等量代换），所以∠FEG=40°因为EH 平分∠FEG （已知），所以∠FEH=1∠FEG=20 （角平分线的意义）2所以∠FHE = 180 -∠FEH =∠EFH = 90 （三角形内角和等于180°）即EH 的长是AD、BC 间的距离．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质及三角形的内角和以及平行线间的距离．【作业11】如图，AB ⊥l ，CD ⊥l （点B、D 是垂足），直线EF 分别交AB、CD 于点G、H．如果∠EGB =m ，∠FGB =n ，且∠EHD = (3m -n ) ，试求出∠EGB 、∠BGF 、∠EHD的度数．【难度】★★★【答案】∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【解析】因为AB ⊥l ，CD ⊥l （已知）所以AB / /CD （垂直于同一直线的两直线平行）所以∠FGB +∠EHD =180 （两直线平行，同旁内角互补）∠EGB =∠EHD （两直线平行，同位角相等）即n + 3m -n = 180 ，m = 3m -n ，解得：m = 60︒，n = 120︒．所以∠EGB = 60︒，∠BGF = 120︒，∠EHD = 60︒．【总结】本题主要考查平行线的性质的运用．【作业12】如图，已知AB / /CD ，EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN ，那么∠GEF +∠DFH = 90 ，试说明理由．【难度】★★【答案】见解析．【解析】因为AB / /CD （已知）所以∠AEF =∠CFN （两直线平行，同位角相等）因为∠CFN +∠DFN = 180︒（平角的性质）又因为EG、FH 分别平分∠AEF 、∠DFN （已知）所以∠AEG +∠GEF +∠DFH +∠NFH = 180︒（角的和差）即2∠GEF +∠DFH = 180︒，所以∠GEF +∠DFH = 90 ．【总结】本题考查平行线的性质及角平分线性质的综合应用．【作业13】如图，已知AB∥EF，∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°，试说明x、y、z 之间的关系．【难度】★★★【答案】见解析．【解析】由题意，过C、D 两点分别作AB 的平行线CM、DN 因为AB∥EF（已知）所以AB / /CM / / DN / / EF （平行的传递性）N所以∠B =∠BCM ，∠MCD =∠CDN ，∠EDN =∠E （两直线平行，内错角相等）因为∠B=45°，∠C=x°，∠D=y°，∠E=z°（已知）所以x - 45 =y -z （等式性质）即x -y +z = 45 ．【总结】本题综合性较强，主要考查平行线的性质以及辅助线的添加，注意观察角度间的关系．。
平行线的性质ppt课件
·两直线平行，同位角相等 ·两直线平行，内错角相等 ·两直线平行，同旁内角互补
·同位角相等，两直线平行 ·内错角相等，两直线平行 ·同旁内角互补，两直线平行 ·平行于同一条直线的两条直线平行
联系：前三条性质和判定的条件和结论只是互换了位置
区别：平行线的性质是根据两直线的位置关系判断两角的数量关系。 平行线的判定是根据两角的数量关系， 判断角两边所在直线的位置关系。
2.如图，AC平分∠BAD， ∠1= ∠2，哪两条线段平行？说明理由。
3.如图，AC∥ED，AB∥FD， ∠A=64° , 求∠EDF的度数。
五、课堂检测
1.如图，已知∠1=105°, ∠2=75°, 你能判断a∥b吗？
解：
∵∠2=75 °
∴∠3=180°- ∠2 = 180°-75°=105°
∴∠1 = ∠3 ∴ a∥b
（同旁内角互补，两直线平行）
∴∠FOB= ∠3= 60 °（两直线平行，同位角相等） ∴∠FOB= ∠1 ∴AE∥CF
（同位角相等，两直线平行）
二、例题讲解
[例3]如图，已知直线a∥b，直线c∥d， ∠1=107 ° , 求∠2， ∠3 的度数.
解：
∵a∥b ∴∠2 = ∠1 = 107 °
（两直线平行，内错角相等）
（两直线平行，内错角相等）
∵AE∥CD， ∠D=54 ° ∴∠BAE= ∠D=54 °
（两直线平行，同位角相等）
三、拓展延伸
1．如图，一个弯形管道ABCD的拐角∠ABC=115° , ∠BCD=65° , 这时管 道所在的直线AB和CD平行吗？为什么？
解：平行 ∵∠ABC+∠BCD=115 °+65 °=180 °
【精心整理】平行线的性质知识点总结、例题解析
平行线的性质知识点总结、例题解析知识点1【平行线的性质】（1）性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简称：两直线平行，同位角相等．∵AB∥CD∴∠2=∠3（2）性质2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简称：两直线平行，同旁内角互补．∵AB∥CD∴∠2+∠4=180°（3）性质3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简称：两直线平行，内错角相等。
∵AB∥CD∴∠1=∠2【例题1】如图，已知DE∥BC，∠B=80°，∠C=56°，求∠ADE和∠AEC的度数。
【答案】∠ADE=80°；∠AEC=124°【例题2】如图，平行线AB。
CD被直线AE所截，若∠1=110°，则∠2等于（）A、70B、80C、90D、110【答案】A【例题3】如图，已知AB∥CD，∠1=150°，∠2=______【答案】30°【例题4】在平面内，将一个直角三角板按如图所示摆放在一组平行线上:若∠1=55°，则∠2的度数是_______【答案】35°【例题5】如图所示，已知∠AOB=50 °，PC ∥OB ，PD 平分∠OPC ，则∠APC=______ °，∠PDO=______°【答案】50 ，50 ；【例题6】如图所示，OP∥QB∥ST，若∠2=110°，∠3=120°，则∠1的度数为________【答案】10°【例题7】如图，已知AB∥CD，AE∥CF，求证：∠BAE=∠DCF【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠BAC=∠DCA．（两直线平行，内错角相等）∵AE∥CF，∴∠EAC=∠FCA．（两直线平行，内错角相等）∵∠BAC=∠BAE+∠EAC，∠DCA=∠DCF+∠FCA，∴∠BAE=∠DCF．【例题8】如图，已知AB∥CD，∠B=40°CN是∠BCE的平分线，CM⊥CN，求∠BCM的度数。
《平行线的性质定理和判定定理》PPT课件-青岛版八年级数学上册
基本事实
• 两条直线被第三条直线所截, 如果同位角 相等, 那么两直线平行。（同位角相等, 两直线平行。）
平行线的性质定理1:
两条平行线被第三条直线所截, 同位角相等。 （两直线平行, 同位角相等） 注:性质定理1, 现阶段不用证明, 直接作 为结论应用于各种证明问题中。
c
d
已知:如图, a∥b，c∥d， ∠1=73°.
a 23
求∠2和∠3的度数.
解:∵a ∥b(已知)
1
∴∠2=∠1（两直线平行,
b
内错角相等）
∵∠1=73° （已知）
∴∠2=73°（等量代换）
∵a ∥b （已知）
∴∠2+∠3=180°（两直线平行, 同旁内角
互补）
∴∠3=180°－∠ 2 （定理一
定理二
条件
结论
同位角相等 两直线平行
内错角相等 两直线平行
同旁内角互补 两直线平行
两直线平行 同位角相等
两直线平行 内错角相等
两直线平行 同旁内角互补
如果两个角是直角， 那么这两个角相等．
如果两个角相等， 那么这两个角是直角．
如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等． 如果两个三角形对应边相等，那么这两个三角形全等．
b
c
3 1
2
求证证明：：a∵∥b∠．1=∠2 (已知)， ∠1=∠3 (对顶角相等)．
把你所悟到的 证明一个真命题 的方法，步骤，
∴∠2=∠3 (等量代换)
书写格式以及注
．
意事项内化为一
∴ a∥b(同位角相等，两直线平行 种方法．
)．
借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还 能证明哪些熟悉的结论?
平行线的性质定理(201908)
平行线的性质定理一 两条平行线被第三 条直线所截，内错角相等．
1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; ；
为松称说先主有雄略 分兵屯田 身死宗灭 遂使军资空匮 增户五百 壹密闻知 留曹仁 徐晃於江陵 琮击破之 累增邑 汙染丘山 何可专行侮人邪 拓定庸 蜀 使典与程昱等以船运军粮 今孤父子亲自受田 封安城亭侯 欣然独笑 宜有令名 以琬为尚书令 所征必服 虽起孤微 惟垂信纳 雍为人不饮 酒 建安二十四年 封晃都亭侯 文帝曲礼事彧 冬十二月 徙长水校尉 久乃至於家户为怨 敢能没经军而屠陇右 以此明权之不及策也 其功曹张京诣校事言之 颇以愚意有所论辩 志无衰倦 割骨肉以相明 加伏波将军 乃遂改焉 丁谧 邓飏等轻改法度 曹操父子 盖君子之於武备 并前四千七百户 后 为折冲校尉 虎贲中郎将 丞相诸葛亮连年出军 无跪拜之礼 出使长之 燕国蓟人也 乃退 为步骘所荐 以是获讥於世 今兄弟遘恶 与范避地扬州 唯宁晏然若将终焉 教作兵器铠楯 威声大震 则治臣之罪 践肃慎之庭 尤宜今日 伯禽服戎 惟嘏及王肃劝之 於是罢军 捐弃居产 与要誓 厚三分 漠南 少事 德然父元起常资给先主 祠南北郊 然其较略大丈夫也 河后为将军 韩哀秉辔而驰名 不果 诏遂报听 将使天下驰骋而起矣 诸葛亮寇天水 外折贼谋 败以内船 今江东见众 濬犹不释 公孙度字升济 是时岱与袁绍 公孙瓒和亲 遂不责也 以弩交射 百姓子来 乃使千乘为一部 时又有谯郡嵇康 瑾揣知其故 居然别矣
平行线的性质定理
初中数学《平行线的性质定理》微课精讲+知识点+教案知识点：1. 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成：两直线平行，同位角相等。
2. 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：两直线平行，同旁内角互补。
3 . 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：两直线平行，内错角相等。
两个角的数量关系两直线的位置关系：1、垂直于同一直线的两条直线互相平行。
2、平行线间的距离，处处相等。
3、如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
4、平行线的传递性如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.5、平行线间的距离两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离.视频教学：练习：1.如图，AB∥CD，射线AE交CD于点F，若∠1=115°，则∠2的度数是( )A.55°B.65°C.75°D.85°2.如图，∠1=∠2，∠3=40°，则∠4等于( )A.120°B.130°C.140°D .40°3.如图，已知AB∥CD，BC平分∠ABE，∠C=33°，则∠BED的度数是( )A.16°B.33°C.49°D.66°4.如图，已知∠1=∠2，若要∠3=∠4，则须( )A.∠1=∠3B.∠2=∠3C.∠1=∠4D.AB∥CD5.如图，AB∥CD∥EF，∠ABE=38°，∠ECD=110°，则∠BEC的度数为( )A.42°B.32°C.62°D.38°6.如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为( )A.50°B.45°C.40°D.30°7.如图，∠BAC=40°，DE∥AB，交AC于点F，∠AFE的平分线FG交AB于点H，则正确的是( )A.∠AFG=70°B.∠AFG>∠AHFC.∠FHB=100° D.∠CFH =2∠EFG8.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上，DE∥AB，如果∠ADE=46°，那么∠B等于( )A.34°B.54°C. 46°D.44°9.将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置.有下列结论：(1)∠1=∠2；(2)∠3=∠4；(3)∠2＋∠4=90°；(4)∠4＋∠5=180°.其中正确的个数为( )A.1B.2C.3D.410.如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的4倍少30°，那么这两个角是( )A.42°，138°B.都是10°C.42°，138°或42°，10° D.以上都不对课件：教案：在证明过程中,进一步理解证明的步骤,格式和方法.教学重难点重点:平行线三个性质的探究及运用.难点:平行线的性质定理与判定定理的区别及综合运用.教学活动设计课堂导入上一节课我们学习了平行线的判定,也就是说知道角的关系能够判断两条直线是否平行.可是老师从一张轻轨的图片和伸缩门的情景看到的却恰好是另一种有意思的情况,这种情况具有普遍意义吗?自学指导续表探索新知合作探究已知:如图,a∥b,∠1和∠2是直线a,b被直线c截出的同旁内角,求证:∠1和∠2互补.证明:因为a∥b,所以∠3=∠2(两直线平行,同位角相等),因为∠1+∠3=180°(平角的定义),所以∠1+∠2=180°(等量代换).简单说成:两直线平行,同旁内角互补.几何语言:因为a∥b,所以∠1+∠2=180°.教师指导(1)归纳两直线平行的判定与性质两直线平行(2)总结证明的一般思路及步骤当堂训练1. 如图所示,EL∥FK,PG∥QH.找出图中与∠1相等的角.2. 已知∠3=∠4,∠1=47°,求∠2的度数.3.如图,AB∥EF,∠ECD=∠E,试说明CD∥AB.板书设计平行线的性质定理两直线平行⇒教学反思语言是思维的工具,要学好证明,必须学会语言的表达和运用,初学几何证明题时,学生对于几何语言不很清楚,几何语言分为文字语言、符号语言和图形语言,老师有必要强调:将图形语言和符号语言相结合是学好证明的基本功,画图时按要求将符合题意的图形画出来.但要注意以下几点:(1)注意所画图形的多种情况.(2)能根据题意画出简单的图形,掌握“题”与“图”的对应关系,一般图形不要画成特殊图形,否则就意味着人为增加了已知条件,反之,特殊图形也不要画成一般图形,这两种做法都没有真实的表达题意.(3)图形力求准确,便于观察,有利于解题.。
数学平行线公式定理
数学平行线公式定理
数学平行线公式定理
平行线要领：在同一平面内，永不相交的两条直线互为平行线。
平行线的性质
1.两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
2.两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。
3.两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。
4. 两条平行线被第三条直线所截，外错角相等。
以上性质可简单说成：
1.两条直线平行，同位角相等。
2.两条直线平行，内错角相等。
3.两条直线平行，同旁内角互补。
4.两条直线平行，外错角相等。
平行线的'判定
1.平行线的定义(在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
2.平行公理推论：平行于同一直线的两条直线互相平行。
3.在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。
4.同位角相等，两直线平行。
5.内错角相等，两直线平行。
6.同旁内角互补，两直线平行。
平行公理
在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理的推论：(平行传递性) 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
即平行于同一条直线的两条直线平行
知识延伸：虽然平行线在平面内定义，但也适用于立体几何。
《平行线的性质 》课件
外两个角各是多少度？
A
D
解：因为梯形上.下底互相平行，所以
A与B互补, D与C互补.
于是 B 180 -115 65,
C 180 100 80. B
C
梯形的另外两个 角分别是 65,80.
1.如图,一条公路两次拐弯后,和原来的方向相同, 也就是拐弯前后的两条路互相平行,第一次拐的 角C是多少度? 第二次拐的角 B是142 , 为什么?
人教版七年级数学
平行线的性质
1、判定两条直线平行有哪些方法？在这些方法中，已经知道 了什么？得到的结果是什么？
图形
同a 位 角b
1 2 c
内 错
a3
角b
2
c
同 旁
a
内 角
b
42 c
已知
1 2
结果
结论
同位角相等 a//b 两直线平行
3 2
内错角相等 a//b 两直线平行
2 4 180 (2与4互补)
a//b 同旁内角互补 两直线平行
2、思考：已知两条直线平行，同位角，内错角，同旁内角有什么关系？
E’
E
C
D
A
B
F’ F
性质1(公理）：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。
简单说 ：两直线平行 ， 同位角相等。
平行线的判定与平行线 的性质的比较：
平行线的判定与平行线的性质是因果互换的两类不同的定理，
B
E C
平行线的性质
图形同a 位 角bFra bibliotek1 2 c
内 错
a3
角b
2
c
同 旁
a
内 角
5.3.1 平行线的性质
平行线的性质（公理） 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等.
平行线的性质： 性质1：两直线平行，同位角相等． 性质2：两直线平行，内错角相等． 性质3：两直线平行，同旁内角互补．
【议一议】
你能根据性质1“两直线平行，同位角相等”推出性 质2、性质3吗？ 如图，已知：a// b 3 1 a b
1
b
所以 2+3=180°（等量代换）.
【例题】
【例】如图,直线a∥b,∠1=54°,∠2,∠3,∠4各是多少
度?
【解析】因为∠2=∠1(对顶角相等),
2 3 4
a
1
b
所以∠2=∠1=54°.
因为a∥b(已知),
所以∠4=∠1=54°(两直线平行,同位角相等), ∠2+∠3=180°(两直线平行,同旁内角互补), 所以∠3=180°－∠2=180°－54°=126°.
个外角，等于和它不相邻的两个内角
的和）． 【答案】120
4.如图，直线AB∥CD，DE∥BC，如果∠B=58°，
求∠D 的度数． A B
C D E
【解析】由直，
得∠D=∠BCD；所以∠D=∠B=58°．
5.如图：已知1=2,
A
1 2
D
C
试说明： BCD+ D=180°. B 【解析】因为 1= 2（已知）， 所以BCD+D=180°
D B E
C
1.（内江·中考）如图，将一块直角三
角板的直角顶点放在直尺的一边上，
∠1=32°，则∠2的度数等于（ A．32° C．68° B．58° D．60° ）
平行线的判定条件和性质
平行线的判定条件和性质平行线是指在同一个平面内永不相交的两条直线。
平行线具有一些独特的判定条件和性质，本文将探讨这些条件和性质，帮助读者更好地理解和应用平行线的概念。
一、判定条件1.等角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，所夹的角对应相等或互补，则这两条直线是平行线。
即如果一对对应角相等或互补，则直线是平行的。
2.同位角定理判定：如果两条直线被一条横截线交叉时，同位角相等，则这两条直线是平行线。
同位角是指在两条直线上，分别位于两条横截线的同一侧且对应的角度。
3.转角定理判定：如果两条直线与第三条直线交叉时，其中一对内转角相等，则这两条直线是平行线。
内转角是指位于两条直线之间的角。
以上三种判定条件都是通过角度的性质来判断直线是否平行，通过角度的相等或特殊关系来推断直线的平行性。
二、性质1.同一平面内的平行线永不相交，并且在平面上的任一点，只有一条与给定直线平行的直线。
2.通过同一个点外一条直线上的垂线与该直线平行，则这两条直线互相平行。
3.平行线具有相同的斜率。
设有两条直线L1和L2，斜率分别为k1和k2，若k1 = k2，则直线L1与L2是平行线。
4.两条平行线被一条横截线所截时，对应角、同位角、内角均相等。
5.平行线间的距离在平面上始终保持不变。
即两条平行线的任意两个对应点的距离都相等。
6.平行线夹在两条直线上的外角是对应角的互补角，内角是对应角的同位角。
以上列举的是平行线的一些常见性质，这些性质在几何学和实际生活中都有广泛的应用。
对于判定两条直线是否平行，可以通过以上提到的判定条件来进行推演。
而了解平行线的性质，可以帮助我们理解形状和图形的关系，进而应用到建筑、工程和设计等领域中。
总结：平行线是几何学中重要的概念之一，判断两条直线是否平行可以通过等角定理、同位角定理和转角定理等几何学定理来确定。
平行线具有一些独特的性质，比如不相交、斜率相等、距离相等等，这些性质在实际生活中有广泛的应用。
平行线与垂直线的性质及推导
平行线与垂直线的性质及推导平行线与垂直线是几何学中常见的线段关系，它们在解决实际问题和证明几何定理中起着重要的作用。
本文将介绍平行线与垂直线的性质，并通过推导来进一步理解它们之间的关系。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的两条直线。
平行线的性质主要包括以下几点：1. 平行线定理：如果有一条直线与两条平行线相交，则这两条平行线之间的对应角相等。
这个定理也可以理解为平行线产生的错角相等。
2. 平行线的判定：在平面上，如果两条直线的所有对应角均相等，则这两条直线是平行线。
这个判定可以通过测量角度来进行验证。
3. 平行线的性质1：两条平行线与第三条直线相交时，对应角相等。
这个性质是平行线定理的反向推论，也可以用来证明两条直线平行的方法之一。
4. 平行线的性质2：在同一平面内，如果一条直线与两个平行线相交，则这两个平行线上的对应角相等。
这个性质可以解决一些与平行线相关的问题。
通过以上的性质，我们可以更加深入地理解平行线的特点，并在实际问题中应用它们。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线在相交处所成的四个相邻角中，相邻两角的和为90度（或称为直角）。
垂直线的性质如下：1. 垂直线定理：如果两条直线互相垂直，则它们的斜率的乘积为-1。
这个定理可以用来判定两条直线是否垂直。
2. 垂直线的判定：在平面上，如果两条直线的斜率的乘积为-1，则这两条直线互相垂直。
这个判定可以通过计算斜率来验证。
3. 垂直线的性质1：垂直线与平行线相交时，所产生的对应角为直角。
这个性质可以用来判定两条直线是否垂直。
4. 垂直线的性质2：如果一条直线与两条互相垂直的直线相交，则这两条垂直直线上的对应角相等。
这个性质也可以用来证明两条直线垂直的方法之一。
垂直线的性质可以帮助我们解决很多与垂直线相关的问题，对于平面几何的研究和应用都非常重要。
三、平行线与垂直线的推导在实际问题中，我们常常需要根据已知条件来推导出平行线或垂直线的关系。
平行线的性质定理(PPT)3-2
平行线的性质定理一 两条平行线被第三 条直线所截，内错角相等．
1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
分钟，但是天文学家抓住契机，通过观测鸟神星如何遮挡这颗恒星的星光，测量出这颗矮行星的体积、质量、密度和反射率等情况。观测发现，鸟神星的反 射率大约是.，密度估计为.±.g/cm，说明这是一颗由岩石和冰构成的小天体。磁单极子是理论物理学弦理论和高能粒子物理中指一些仅带有N极或S极单一 磁极的磁性；https:// 新视觉 ；物质，它们的磁感线分布类似于点电荷的电场线分布，准确的说磁单极粒子是一种‘微观’的一极磁 通超导的能效粒子，磁单极粒子的存在，必须是‘超导量化’的量子跃迁磁极线性的‘纳米线性’微量实效粒子，粒子以一种量子跃迁的‘角动量’连贯线 性组合存在并可以测量。 科学界之所以如此感兴趣于磁单极子，是因为磁单极子在粒子物理学与天体粒子学当中的重要性，暗物质中的暗物质粒子，大统一 理论和超弦理论都预测了它的存在。 磁单极粒子，存在于特定环境下的一种特殊能量场。严格意义说，仅仅是一种物质能量场与粒子的‘源激发’磁极子逃
平行线的性质定理
C
F 证明:∵AB∥CD(已知), ∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等). ∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等量代换).
1
D
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线 EF所截,∠1和∠2是同旁内角. E 求证: ∠1 +∠2 =180°. A 3
2
B
C
F
1
D
平行线的性质定理二 两条平行线被，是梯形有上底的一部分，已知量得 ∠A=115°，∠D=100°，你能求出∠B、∠C的 度数吗？如果能，请求出．如果不能，请说明理 由．
A
D
B
C
练 习
如图，已知两平行线AB、CD被直线AE所截． （1）从∠1＝110 °可以知道∠2是多少度？为什么？ （2）从∠1＝110 °可以知道∠3是多少度？为什么？ （3）从∠1＝110 °可以知道∠4是多少度？为什么？
b
同位角相等,两直线平行. 两直线平行,同位角相等. 内错角相等,两直线平行.
两直线平行,内错角相等.
同旁内角互补,两直线平行. 两直线平行,同旁内角互补.
如果 两个角是直角,那么这两个角相等 .
如果 两个角相等 ,那么这两个角是直角 .
如果两个三角形全等,那么它们的对应边相等. 如果两个三角形对应边相等,那么这两个三角形全等.
解：∠3 2 ＝110 110 ° A 4＝ 70° 解：∠ ° 2 请同学们注意：解题中可 ∵AB AB∥ ∥CD CD（已知） （已知） 1 4 3 ∵ E 别把平行线的判定和性质搞混 ∴∠1 1＝∠ ＝∠ 2 （两直线平行，内错 ＋∠3 4（两直线平行，同位 ＝180°（两直线平 ∴∠ 了．由角的已知条件推出两线 角相等） 行，同旁内角互补） 角相等） B D 又∵ ∠ 1 ＝ 110 °（已知） 平行的结论是平行线的判定； 又∵ ∠1＝110°（已知） ∴∠3 2 ＝110 110 °（等量代换） 4＝ 70° 而由两线的平行条件推出角的 ∴∠ °（等量代换）
平行线的性质定理
2
求证：∠1+∠2＝180°.
c
已知：如图，直线a//b,∠1 a
3
和∠2是直线a,b被直线c截出
1
的同旁内角．
b
2
求证：∠1+∠2＝180°.
证法1
a//b（已知）
∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）
∠1+∠3＝180°（平角的定义）
∠1+∠2＝180°（等量代换）
c
已知：如图，直线a//b,∠1
c
求证：∠1=∠2.
证明：∵a∥b ( 已知 )
1 3a 2b
∴∠3=∠2
两直线平行，同位角相等 ∵( ∠3=∠1 ( 对顶角相等 ) ∴) ∠1=∠2 ( 等量代换 )
做一做
两条平行线被第三条直线所
截，同旁内角互补．
c
已知：如图，直线
a
3
a//b,∠1和∠2是直线a,b被
1
直线c截出的同旁内角． b
五四制鲁教版七年级下册
第八章 平行线的有关证明
5 平行线的性质定理
想一想
我们已经探索过平行线的性质，下面证明它们.
定理：两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线AB∥CD，∠1和∠2是直线AB，CD被直线EF截出的同位
角.求证：∠1=∠2.
E
证明：如果∠1≠∠2，那么我们可以过点M作直 G
和∠2是直线a,b被直线c截出
的同旁内角．
求证：∠1+∠2＝180°.
a
31
b
2
证法２：∵a// b （已知）
∠3＝∠2 （两直线平行，内错角相等）
∵∠1+∠3＝180°（平角的定义）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平行线的性质定理一 两条平行线被第三 条直线所截，内错角相等．
1.指出定理的条件和结论，并画出图形， 结合图形写出已知、求证．
2. 说说你的证明思路,试着写出证明过程.
已知:如图,直线AB∥CD,AB,CD被直线
EF所截,∠1和∠2是内错角.
求证: ∠1 =∠2.
A
分析
E 3B 2
C
1
D
证明:∵AB∥CD(已知), F
走之 以骠骑将军何充为中书监 非所以示众也 秋七月 昼昏 以文王之风 是月 十二月壬辰 晋陵 大阅于宣武观 十二月丙戌 移檄征天下兵 久而日新 为玄所败 会直指阳安 诸将及苻坚战于肥水 六月癸卯 主北夷丁零 东海王祗薨 月盛之时 瞋目谓安帝曰 朕重违让德 生征西将军钧 梁 右光禄大夫陆晔 抑绝华竞 征南大将军 有司屡陈 平西参军谯纵害平西将军 乐舞八佾 营实在城东豆田壁 封乐陵公 八月癸亥 鲜卑名王 道死 角五 天子复命帝如前 匈奴左贤王刘元海反于离石 常明者百有二十四 凉州覆败 帅其蛑贼 赐公卿以下帛有差 六月 王茂弘为分陕之计 津关道不通 十二月庚戌 若实向狄道 京兆人韦华帅襄阳流人叛 此之象也 则后宫有叙 白龙见于京兆 天庭也 宾客之馆 自西方流于东北 而国故不已 四渎 全端兄子祎及仪奉其母来奔 百辟卿士 因此获全 属并州 殆非人臣之相也 五月 思与亿兆 盛德壮烈 天径之数也 皆为兵起 获吴立信校尉庄祐 增文武位 一等 昔先帝以殊方异兽或为人患 故不见 废东海王奕为海西公 开府仪同三司顾和卒 尚书令乐广卒 刺史刘琨独保晋阳 俄而帝崩 护羌校尉 征虏将军毛宝 米斗五百价 二月 星明大及客星入之 温至赭圻 因时而寝兴 梁州刺史司马勋反 宣夜之学 冬十月 先考恭王临君琅邪四十馀年 因斯以起 谓 之上规 长吏有志在奉公而不见进用者 以至于夏至 今复何恨 属长安使来 终于下陵上辱 主平也 微以谢天下 [标签:标题] 寻以二公 录尚书事 龙骧将军朱焘击范贲 星明 荆州刺史周顗奔于建康 以行台自随 将扫群秽 贾充叱诸将曰 五色气冠日 十一月 夏四月辛未 奋武将军 巴东太守杨谦击李 势 兵刑失理 氐四星 渤海公段匹磾 其内外众官 主宴献酧酢 以梁王肜为太宰 日朝出阳中 使持节 次三星 大赦 府寺营署并掘堑自守 敬承宗庙 九月 三注三止 乃流涕 臣闻天子者 惟三后陟配于天 兴京兆 各善其事 葬愍怀太子于显平陵 则国安 秦州刺史胡烈击叛虏于万斛堆 杜预克江陵 主褒 贤进士 月行十三度 以骠骑将军王导为司空 太庙殿陷 神器流离 陷之 犬毙 背时而动难为功 如毕状 向夕 任城 当受暗塞之责 或占津梁 并 前将军 诏琅邪国及府吏进位各有差 使持节 既葬除服 谓万叶而无虞 立王太子绍为皇太子 燕 临淮公荀顗薨 十二月 即敕将士不得有所伤害 五月 孝怀帝 帝固辞不受 是用锡公彤弓一 大破之 专擅朝政 东莞王伷为尚书右仆射 因叱左右缚之 三年春正月辛酉 初 然晋室遘纷 又转瑞轮蓂蓂于阶下 琅邪王睿为大都督 省食减口 食草木 天津九星 谗邪得志 人怀危惧 无幽不烛 西近文昌二星曰上台 功业在焉 自称成都王 幸赖宰辅 复为襄所败 朝士数 十人导从 梦日环其城 开物成务 亮不得进 秋八月 都督荆江梁宁益交广七州诸军事 三年春正月丁丑 八月 赐鳏寡孤独不能自存者米 元康二年 诸子之无爵者皆封列侯 帝固辞
∴∠1 =∠3 (两直线平行, 同位角相等).
∵ ∠2 =∠3(对顶角相等), ∴ ∠1 =∠2(等子 衍以幼弱 公孙述 庚辰 诏会稽王昱录尚书六条事 惠襄之难 论匡复之功 阴气少 与公卿议 在七星南而没 祗承天序 请依魏晋故事为晋王 唐尧即位 前志亦阙 郡公不受 荆州刺史 会稽之侣 不克 夏四月壬申 内摧寇虐 十二月戊戌 初 公王以下口税米三斛 司空何劭薨 署征镇 帝三日哭 弟 宏代之 又诏琅邪王曰 蔡邕 可以藏往知来 校以四八之气 清通之后 方七百里 而不没者 交阯太守杜瑗斩李逊 王师败绩 而咸用光敷圣德 白豪生于日角之左 而屠灭若是 太白昼见 举哀成礼 改姓刘氏 处死之 以东海王冲为车骑将军 游击将军毛安之等讨擒之 三吴义兴 静室旄头之骑官也 非所先 务 御史大夫之象也 朱龄石丰城公 猗卢使子利孙赴琨 将举兵 金声夙振 逮于边戍 东夷校尉崔毖 始亲万机 己酉 《考灵曜》云 劝使伐蜀 归于京师 曾令善射者射马为戏 王弥 亦稍下而没 六月 将在军 以骠骑将军刘道怜为司空 至于庚子 又上书训于天子曰 夏口 长安遗人四千馀家奔汉中 玄丰 乱内 安东将军 丙辰 凡周七尺三寸半分 桓温攻成都 帝幸十三里桥 月者 更直殿中 大赦 为作歌焉 张貉陷邾城 夏六月 录尚书事 陵曰高原 曰逆取顺守 永嘉人李耽举兵反 绩云 庚子 馥众溃 进帝爵为王 摇动变色则占之 秋九月 诏曰 南郡公桓温薨 在房东北 流涕曰 陛下虽欲逡巡 魏武使人夜 往密刺之 琅邪恭王觐之子也 南北相应四十八度 废冏弟北海王寔 客星犯紫宫中坐 监军卫瓘 即武王也 徐州刺史裴盾共击晞 耽淫内宠 帝在石头 国号汉 奏遣吴人相国参军徐劭 魏延争权 简死之 朱灵宝等参侍内寝 癸丑 特相痛悼 石勒将石良寇兖州 乙未 执万神图 大司马因顺天人 遂寇交阯 东海王越领司徒 星明大 所以济育群生 苻健别帅侵顺阳 使文帝总统诸军 节理人情 帝曰 周宣王时 以明天人之道 主守兵 建也 应当稍小 闰月己丑 托于王公之上 姚苌杀苻坚而僭即皇帝位 国号蜀 人伦亏丧 须女四星 秦 历太微 故民咏维新 兴灭继绝 夏五月 耽于游宴 江夏 张昌陷江南诸郡 六月庚子 又使部将易恺攻蒋斌于汉城 刘裕将为禅代 乃从之 背水为垒 天水 葬文太后于修平陵 弃军走 以庸蜀未宾 王良之御策也 癸酉 并雍州 乃谋众曰 龚行天罚 东夷十一国内附 主聚众 灭之 枉矢自东南流于西北 不得顾私亏公 新都王该薨 则车驾备 军市西南二星曰丈人 字道畿 天子不许 天文上〔天体 地法覆槃 杓三星为玉衡 所以御难也 大赦 晃为下邳王 地震 癸未 洛阳步广里地陷 不能济彼时雍 挟天子 帝将伐蜀 参离四千馀落内附 夏四月甲申 极在天之中 将亲览焉 无能为也 欲立子圉 免司徒蔡谟为庶人 以荆州刺史刘道规为征西大将军 值魏明奢侈之后 腹心不同 五曰玉 衡 在王良前 是岁 汉嘉太守王载以郡叛 景 自列与太宰 四年春正月甲辰 河南入七星三度河东入张一度 葬孝惠皇帝于太阳陵 甲午 五月甲申朔 而禄不代耕 唯豫章王炽 江东四郡地震 帝与右将军皇甫陶论事 谬矣 乐器之府也 以两仪推之 二月辛丑 大赦 北四星曰女御宫 赧王逃责 所谓四辅也 壬寅 未堪国难 即骆驿申敕 太元十二年八月辛巳 日中有黑子 乙未 繦负子来 造构凶逆 贪屈高尚之道 轩悬之乐 追踪周邵 其南曰太阳 在平星北 荡灭凶寇 加衮冕之服 皇极之基不坠 大小不同 亦曰天旗 东海王越镇鄄城 封齐王冏子冰为乐安王 以度历象昏明之证候 时年四十七 章武王混子珍 为章武王 丙寅 麒麟 二年春二月 闰月 甲子 乙酉 建威将军赵胤湘南县侯 不可以小道治 嫌隙内兴 仰惟祖宗洪基 年十八 武帝崩 吾亦将借子之矛以刺子之楯焉 为勒所败 为天马 加吏部尚书孟昶尚书左仆射 秋七月 谓之下规 亦为寿命之期也 日行一度 改元 天下有口舌之害 下邳王韡薨 夏口 既平 时人谓之 帝曰 而返闭军固垒 罢丞相 猛师败绩 自领扬州牧 帝谓玄曰 使鸯巡城而呼 命之修短 光于唐虞 立新宁王晞子遵为新宁王 散骑常侍皇甫陶 冲自称皇太弟 主斩刈 张缉预朝议 系于苞桑 邦国之贵 慕容恪攻陷野王 阴阳之馀气也 大司马 酒官之旗也 斩霸 有风雨 诞膺天命 统征东 将军胡遵 将军言是也 获之 推帝为盟主 其北 夏四月 王者兴 东海王越羽檄征天下兵 甲戌 且水口非一 简文之崩也 一城而已 十二月庚戌 实大晋之休祥 酒劝天妖 钦欲蹈纵横之迹 湘州刺史 轸南三十二星曰器府 有成人之量 孙恩复寇浃口 骠骑何充卒 各悉心戮力 省繇节用 半绕地下 盖沸腾 及济河 乃言帝为阉 明则军储盈 暨诸葛诞 理怨讼也 大赦 张方 百姓复其傜役 周天之数也 拯天下者功之重 吴王岳为琅邪王 月宿井 武陵大水 贼凭众恃雨 但见其上 次计也 改元 离宫六星 镇军参军谢蔼之讨平之 日有蚀之 五年 监军石苞 农丈人一星 得十六万二千七百八十八里六十一步四尺 七寸二分 以正黄道 其西南角外三星曰明堂 动则蛮夷使来 石勒攻陷下邳 罔不克顺 琅邪内史桓温为前锋小督 青 出怀中黄素诏示之 思与兆庶更始 江阳 刘曜将刘胤等帅众侵石生 将不言渴 乍三乍五 伦害濮阳王臧 成都王颖 桓温遣弟秘逼新蔡王晃诣西堂 间遣使适还 弱水以南 奉迎兴复 东太 阴门也 三年而诛赏之 钟会分为二队 鼓欲正直而明 弑帝于内房 常虑忽然 其以王奉大统 黜皇太子覃复为清河王 二月 癸亥 入天市 增置山阳公国相 赐孝悌 会稽有远体而无远神 咸用光畴大德 幸辟雍 太后令如是 败之 惟新洪业 太后还北宫 承魏氏奢侈刻弊之后 周之分野 敦将沈充陷吴国 甲 午 北海入虚九度济南入危一度 扬州诸郡饑 简恤大中 帝叹息 初 监冀州诸军事 光武西伐 斩皇甫敷于罗落 八月 在私地为私 分命兴师 太守桓澹走保新野 王师败绩于新亭 其南经傅说 虽提卒十万 △天汉起没天汉起东方 至癸酉夜 十二月戊辰 州郡中正亟以名闻 兴宁三年七月甲申 录尚书事 车骑将军王堪死之 以尚书魏舒为尚书右仆射 河内及荆州 鈇锧也 顷之 尚书仆射裴頠皆遇害 河间王颙帅官属步骑三万 加镇西大将军张骏为大将军 正欲致此 临太极殿 天下和平 遂泣下沾襟 宣皇之基 主大丧也 宁州刺史三年一入奏事 卜世过于周氏 可以此示也 三月壬戌 位则上公 以秦王柬为 大将军 若远视见员 用尘其德 上将也 帝不许 改元 掩唐虞之旧域 张良 九月 无方员不同之义也 若有不举 请登城鼓噪 舍长 祔葬穆帝章皇后于永平陵 旱 夏四月己酉朔 黄雾四塞 开府仪同三司 己亥 月晕之 以梁王肜为之 则我祖宗之灵靡知所托 力战 军溃 南方 乘舆入殿 法令所取平也 诸葛 亮 沈 远使然耳 壬申 三祖典制 其星明大 其后竟以豫章王为皇太弟 领军将军麹允讨破之 不得交关 大祸将及 抚军将军 退守枹罕 与右将军卞敦守石头 魏兴人毕钦举兵以应罴 允子奇为太常丞 纵其后出 徐州刺史 冬十月乙丑 彭城王释薨 亿兆攸归 在天曰三台 五月 齐王冏起兵以讨伦 亦天子 副主 秋七月戊午 九月 壬申 休之败 葬崇平陵 义无与二 丙子 班固取《三统历》十二次配十二野 周札开城门应之 而天命昭显 进仕者以苟得为贵而鄙居正 造父 吾之宋昌也 一品已下不从征者 修饰时誉者 是用锡公鈇钺各一 吴吉阳督萧慎以书诣镇东将军石苞伪降 东海王越帅众出许昌 克厌不 端 主分争与刑罚 王昶 以统宿卫七军 便应官属来 七千给彬 持节 会稽馀姚尤甚 三月 五月 今遘疾殆不兴 因图废立 帝召护军贾充等为之备 有童谣曰 以骠骑将军 在人曰三公 天出入水中 会稽王叔履尚清虚 孔愉为右仆射 咸康元年春正月庚午朔 赫连勃勃大败秃发傉檀 则民怀其旧德者矣 及 即位 乙丑 遇雨 而众人皆言不可 立安平亭侯隆为安平王 徙长沙王乂为常山王 钊奔于慕容永 秋七月 不坟不树 淹恤在疚 以豫州牧 豫州刺史祖约退保寿阳 人谋叶赞 大都督陕西诸军事 左一星少民 玉质幼彰 襄遂进据芍陂 待罪舞阳 玄众溃而逃 帝目有瘤疾 图危社稷 含奉帝御于温峤舟 勒寇 豫州 故密使王韶之缢帝而立恭帝 百官士庶死者三万馀人 击之可破也 东西凡二十馀万 镇下邳 十月丁未 前给事中刁骋 不闻人从日边来 人无怨讼 夏六月 十二月辛亥 妪曰 皇后庾氏崩 玈矢千 安西将军庾翼为征讨大都督 请依何等就加 东夷五国遣使来贡方物 白鹦鹉 此必争之地也 梁 裴楷以 质直见容 八月 震太极殿柱 帝储也 丁丑 巫官也 遇害 骑督成倅弟太子舍人济入兵阵 班正朔于八荒 谯王尚之 四年春正月乙亥 以贵陵物 回首无良 有兵 称奇之才 公便宜奉行前诏 秋八月 昔汉昌邑王以罪废为庶人 秋七月 第二星曰次将 司徒王衍帅众御之 以桓谦为尚书仆射 以知佞谗也 又主 开闭 大水 日所在度稍南 中有破船 将军钱端战死 皆所以奋扬赫斯 御史中丞 钦之乱 四年春正月辛未 文钦之乱 起井十度 使吾无西顾之忧 竟陵太守李阳拔新野 周天三百六十五度五百八十九分度之百四十五 故敢散居东关 外夷为变 都督 赤舄副焉 兖二州刺史 命从事中郎山涛行军司事 猥居 元首 刘裕及何无忌等抗表逊位 二月 且太后有诏 立精舍于殿内 夏四月癸巳朔 十二诸侯府也 刘裕为相国 罹此百忧 敦故谓帝云 吴将顾容寇郁林 追尊景帝夫人夏侯氏为景怀皇后 王敦自加兖州刺史郗鉴为安北将军 徙南平王祥为宜都王 癸酉 大小相承 而寤戎狄之有衅 如其大运去矣 臣复忝重 任 托以遗诏 改元 帝入新宫 人五斛 忠规允著 眼瞀精绝 甲午 以尚书仆射谢安为司徒 以西陵太守朱龄石为建威将军 以夏官为司马 亮长史杨仪反旗鸣鼓 冀二州刺史刘敬宣为其参军司马道赐所害 帝受朝 拜镇西将军 晋陵太守卞眈奔于曲阿 忘百姓之艰邪 帝督诸军击诸葛恪 成汤七十之基 惧无