热统

采用球极坐标，用 p, ,
代替 px , py , pz
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos
令 : 0 , : 0 2积分：
4V 2 dn x dn y dn z p dp h
p2 将 代入上式，得： 2m 1 4V 2 4V 2 p dp 2 m d ( 2 m ) h3 h3 3 1 2V 3 (2m) 2 2 d h
确定系统微观状态必须确定每个粒子的运动状态。
量子全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子，不改变系统 的微观运动状态。——全同性原理 确定系统微观状态就是确定每个单体量子态上的粒子数。 量子粒子占据单体量子态的规律：
玻色子
费米子
s 为整数 单体量子态上的粒子数不受限制。 s 为半整数 单体量子态上的粒子数最多为1。
(x) 2 ( xi X ) 2 x 2 ( X ) 2
( x, y) ( x) ( y)
XY X Y
(X Y )2 (X )2 (Y )2
7.统计独立随机变量的联合分布
8.非统计独立随机变量的相关矩
( X X ) (Y Y ) XY X Y
nx
nx 0,1,2,
b.三维
2 px nx L 2 py ny L 2 pz nz L
nx 0,1,2,
量子数：3个
nx , ny , nz
2 2 2 px py pz
p n 2m
简并度：6
2
2m
2 m
2 2
2 2 2 nx ny nz
泡利不相容原理
玻色子：光子、介子及由玻色子或偶数个费米子组成的复 合粒子。 费米子：电子、质子、中子及由奇数个费米子组成的复合 粒子。
定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作 微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。
例4 2个粒子占据3个单体量子态的微观状态数 定域子 32 9
量子态1
P 1 P2 Pn
P 1
i i
b.连续变量
dP( x) ( x)dx
p

a x b


( x)dx 1
( x) :
概率密度！
5.统计平均值
a.离散型:
X lim
x N
i i
i
N
N
xi Pi
i
b.连续型： 6.涨落
X x ( x)dx
一.概率理论初步 1.事件与随机事件
m N
2.概率：
P( A) lim m N M (0 m N )
3.概率的性质 a.不相容（互斥）事件： p( A) p( A1 ) p( A2 ) p( A3 ) b.独立事件：
PA,B PA PB
4.概率分布 a.离散变量： x1 x2 xn
3）.定域子、玻色子与费米子
a)定域子：固体中的原子、离子，在各自平衡位置附近作 微振动，波函数几乎不交叠，可用位置加以分辨。
b)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。 如：电子、质子、中子等。 c）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。 如：光子、Л介子等。
d）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子 的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。 4)玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统
L3
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
在能级密集的假设下，令n连续
L dpx 2 L dny dpy 2 L dnz dpz 2 dnx
在V=L3内，符合上式的量子态数：
L 3 dn x dn y dn z ( ) dp x dp y dp z 2
一. 分布
{al }
对于确定的宏观状态下，粒子数按能级的排列方式 能级： 简并度： 粒子数：
1 , 2 ,, l ,
1 , 2 ,, l ,
a1, a2 ,, al ,
{al }
确定的宏观状态： 二. 微观状态
a
l l
l
N E
a

l l
系统的微观运动状态就是它的力学运动状态 经典全同粒子可以通过跟踪轨道运动加以分辨。
黑体辐射的能量密度的短波长部分趋于零，而经典理论指出辐射的能量密 度随频率单调增加 光电子能量只与频率有关，
光谱线分立，玻尔轨道量子化，与经典粒子圆周运动矛盾
固体低温比热在零温时趋于零，与杜隆-泊替定律矛盾
1924年，德布罗意（de Broglie）提出波粒二象性
德布罗意关系：

p k
1 2
Ms e S
( SI )
自旋磁矩在空间任意方向上的投影只能取两个值
1 S z mS 2
在外场B中的势能为
e e U M S B B mS B 2
1 mS 2
例二、线性谐振子
1 n (n ) 2
玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在 一个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。
玻耳兹曼系统 由大量可分辨的全同近独立粒子组 成的系统
玻色系统：由玻色子组成的系统称为玻色系统，它不遵 从泡利不相容原理。
费米系统：由费米子组成的系统称为费米系统，它遵从 泡利不相容原理。
§6.4 等概率原理
q
2 m 2
例三、转子
自由度：2 空间维数：4 位置： ,
2 p r 动量：
z
p r 2 sin 2

o
A
1 1 2 2 ( p p ) 2 能量： 2I sin M2 2I

x
y
§6.2 粒子运动的量子描述
一、粒子性与波动性(波粒二象性 Duality of wave—particle) 粒子有确定的坐标、动量，取值连续，有运动轨迹，波场分 布弥散，干涉、衍射，振幅决定能量大小，而且连续 20世纪初，解决经典力学问题遇到了以下困难： 黑体辐射，光电效应，原子结构，固体低温比热
L nx , 又：k x 2 nx 0,1,2,
2 kx nx , nx 0,1,2, L 代入德布罗意关系式： p x k x 2 px nx L

因此，一维自由粒子的量子数：1
2 2 px 2 2 2 nx nx 2m m L
令上式＝D( )d D( ) : 态密度 — —单位能量间隔内的可 能状态数
§6.3 系统微观运动状态的描述 一.全同粒子与近独立粒子 1）全同粒子 经典全同粒子可以通过跟踪轨道运动加以分辨。 量子全同粒子不可分辨，任意交换一对粒子，不改变系统 的微观运动状态。——全同性原理 2）近独立粒子
二.宏观状态与微观状态的区别： 微观状态是由描述微观粒子运动状态的量子数确定的， 其量子数数目等于自由度数。
宏观状态由宏观参量表征。
宏观状态确定，但微观状态多种多样，瞬息万变。
三.宏观状态与微观状态的联系：
宏观状态量是相应微观物理量的统计平均值， 统计物理的根本问题：确定各微观状态出现的概率。
多个微观态 确定微观力学量 统计平均
1927年，海森堡提出测不准关系（Uncertainty principle)
p x x ~ h
测不准关系
2 (q) (p) 4
2 2
微观粒子不可能有确定的动量和坐标 量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数来描述，由一组 量子数来表征，量子数的数目即粒子的自由度数。
例一、自旋（Uhlenbeck-Goudsmit) 电子、质子、中子等粒子具有内禀角动量（自旋角动量） 或内禀磁矩。其量子数为
宏观态 确定宏观量
核心问题：给定宏观态下，各可能微观态出现的概率有多大？
四、等概率原理（玻耳兹曼，1870s）
大数粒子经过频繁碰撞和其他扰动后，满足宏观条件的各 种微观态都会出现。 对于处于平衡态的孤立系统，各可能微观态出现概率相等。 ——统计物理基本假设 正确性由其推论与实验相符而得到证实。
§6.5 分布与微观状态数
量子态2 量子态3








玻色子 C2 2 31 6 量子态1 量子态2 量子态3
2 3 费米子 C3



量子态1
量子态2 量子态3




1、玻耳兹曼系统的微观状态数 例5 2个粒子占据2个能级（3个单体量子态）的分布 和微观状态
4. 分布和微观状态 5. 玻耳兹曼分布 6. 玻色分布和费米分布 7. 三种分布的关系
近独立粒子系统
除碰撞瞬间，相互作用微弱到势能与单粒子平均能量相比 可忽略的系统， 如理想气体模型。
E i
i 1
N
孤立系统
a
l
l
N
a
l
l l
E （xl , yl , zl ) V
§6.1 粒子运动的经典描述 粒子 组成宏观物质系统的基本单元 一般是复合粒子——质点系。
n 0,1,2,
例三、转子
M 2 l (l 1) 2 l 0,1,2,
M Z m, m l ,l 1,, l
所以：
l (l 1) 2 l 2I
l 0,1,2,
简并度：
2l 1
例四、自由粒子 a.一维
因为 p (r )归一化为 函数，故采用周期性边 界条件：
C
0 0 11
C
2 2 11
C
0 0 2 1
2! 1! 1 2!0! 0!1! 1! 2! 2 1!0!1!1!
1 C1 C 111 1 2 1
C
2 2 2 1
0! 3! 3 0!0! 2!1!
与分布 {al }对应的系统微观状态数
1. 粒子运动状态的经典描述
粒子自由度 力学运动状态
哈密顿量
q , p
1, 2, , r
H H q1 , q2 ,, qr ; p1 , p2 ,, pr
μ空间 粒子的自由度为r，相应有r个广义坐标和r个广义动量，由r个 广义坐标和r个广义动量张成的2r维空间称为μ空间。
除碰撞瞬间，相互作用微弱到势能与单粒子平均 N 能量相比可忽略， E i
i 1
二.经典物理中微观运动状态的描述 1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
2）描述方式： 相空间中N个点。
三.量子物理中微观运动状态的描述 1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动） 2）描述方式： a.对于某一个粒子的各个量子态 b.对应于每一个量子态的粒子数
定域子 32 9
2, 0 2, 0, 0
2! 2 0 1 2 1 2!0! 2! 1 1 1 2 4 1!1!
1, 1
1, 1, 0 0, 2 0, 2, 0 1, 0, 1
2! 0 2 1 2 4 0!2!
0, 1, 1
0, 0, 2
与分布 {al } 对应的系统微观状态数
定域子组成的玻耳兹曼系统：
N! al M.B. ({al }) l al ! l
l
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N ! lal 1 l al !
2、玻色系统的微观状态数 例5 2个玻色子占据2个能级（3个单体量子态）的分 布和微观状态 玻色子 C2 2 31 6 2，0 2, 0, 0 1，1 1, 1, 0 0，2 0, 2, 0 0, 1, 1 0, 0, 2 1, 0, 1
热力学定律
热 力 学 定 律
热 学
热 力 学
均匀物质热力学
复相平衡
近独立子系 玻尔兹曼分布
麦分 子 玻运 分动 布论 输运
统 计 物 理
高 等 统 计
—
玻色统计 和费米统计
系综理论 输运、涨落等
第六章 近独立粒子的最概然分布
1. 粒子运动状态的经典描述和量子描述 2. 系统的微观运动状态的描述
3. 等概率原理
空间 单粒子的相空间， 2r 维 单粒子状态及其演变过程对应空间中的点和曲线 。
例1 自由粒子
r 3
px
x, y , z ; p x , p y , p z
1 2 2 2 p p p x y z 2m
p
2m
Lx
x
例2 一维谐振子
r 1 q, p
p2 1 m 2 q 2 2m 2