1.4.2正弦函数余弦函数的性质1(教学设计)

教学目的：

知识目标：要求学生能理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义； 能力目标：掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并能求出正、余弦函数的最小正周期。

德育目标：让学生自己根据函数图像而导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思

想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣。

教学重点：正、余弦函数的周期性

教学难点：正、余弦函数周期性的理解与应用 授课类型：新授课

教学模式：启发、诱导发现教学. 教学过程：

一、创设情境,导入新课：

1．现实生活中的“周而复始”现象：

（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……

（2）现在下午2点30，那么每过24小时候是几点？ （3）路口的红绿灯（贯穿法律意识）

2．数学中是否存在“周而复始”现象，观察正（余）弦函数的图象总结规律

正弦函数()sin f x x =性质如下： （观察图象） 1︒正弦函数的图象是有规律不断重复出现的；

2︒规律是：每隔2π重复出现一次（或者说每隔2k π,k ∈Z 重复出现） 3︒这个规律由诱导公式sin(2k π+x)=sinx 可以说明

结论：象这样一种函数叫做周期函数。

文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；

符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。

– –

余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 二、师生互动，新课讲解：

1．周期函数定义：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有：f (x +T)=f (x )那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。

问题： （1）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且0k ≠）余弦函数呢？

（2）观察等式 4

sin )2

4

sin(π

ππ=+是否成立？如果成立，能不能说2

π

是y=sinx 的周期？

（3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，*k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？

（是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+）

2.最小正周期：T 往往是多值的（如y=sinx 2π,4π,…,-2π,-4π,…都是周期）周期T 中最小的正数叫做f (x )的最小正周期（有些周期函数没有最小正周期）

y=sinx, y=cosx 的最小正周期为2π （一般称为周期）

从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； 3、例题讲解

例1（课本P35例2） 求下列三角函数的周期： ①x y cos 3= ②x y 2sin =（3）12sin()2

6y x π

=-，x R ∈．

解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=，

∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．

（3）∵),6

2

1sin(]6

)4(2

1sin[2]2)6

2

1sin[(2π

ππππ-=-+=+-x x x ，

∴自变量x 只要并且至少要增加到π4+x ，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数)62

1sin(2π

-=x y ，x R ∈的周期是π4．

变式训练1：求下列三角函数的周期：

（1）y=sin3x （2）y=cos 3x （3）y=3sin 4

x

(4) y=sin(x+

10π) (5) y=cos(2x+3

π) 解：1︒ sin(3x+2π)=sin3x 又sin(3x+2π)=sin3(x+3

2π

) 即：f (x +

32π)=f (x) ∴周期T=3

2π 2︒ cos 3x =cos(π23+x )=cos )6(3

1

π+x

即：f (x +6π)=f (x ) ∴T=6π

3︒ 3sin 4x =3sin(4x +2π)=3sin(）（π84

1+x )=f (x +8π) 即：f(x+8π)=f(x) ∴T=8π 4︒ sin(x+10π)=sin(x+10

π

+2π) 即f(x)=f(x+2π) ∴T=2π

5︒ cos(2x+3π)=cos[(2x+3π)+2π]=cos[2(x+π)+3

π] 即：f(x+π)=f(x) ∴T=π

由以上练习，请同学们自主探究T 与x 的系数之间的关系。

小结：形如y=Asin(ωx+φ) (A,ω,φ为常数,A ≠0, x ∈R) 周期2||

T πω=

y=Acos(ωx+φ)也可同法求之

一般结论：函数sin()y A x b ωϕ=++及函数cos()y A x b ωϕ=++，x R ∈的周期2||T πω= 课堂巩固练习2 快速求出下列三角函数的周期

(1)y=sin x 43 （2） y=cos4x+1 (3) y=)5cos(21x -- (4)y=sin(4

3

1π

+-x )

(5)y=3cos(-35

2π

-x )-1

三、课堂小结：1.周期函数定义：对定义域内任意x,都有f(x+T)=f(x). 2.y=sin x 与y=cos x 的周期都是2k π,最小正周期是2π. 3.sin()y A x b ωϕ=++及cos()y A x b ωϕ=++的周期2||T πω=