大学数学平面及其方程

向量共面

M ( x, y, z )



M3
Fra Baidu bibliotekM2
M1

定理 1
设 R3 空间中不在同一直线上 的三点
M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z 2 ), M 3 ( x3 , y3 , z3 ) 确定一个平面 , 则空间中点 M ( x, y, z ) 位于平面 上
x
O
故 D 0 时, 平面 过坐标原点。
平面在坐标系中的特殊 位置
设平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0, 则 (2) 若 C 0, 则平面方程为
z
y
Ax By D 0, 平面的法向量 n ( A, B, 0 )。 n k ( A, B， 0)（ 0， 0， 1 ） 0, n k n z 轴。
(三点式方程)
x y z 1 a b c
(截距式方程)
例
求过点 M 1 (2, 1, 4), M 2 (1, 3, 2), M 3 (0, 2, 3) 的
平面的方程。
解
由平面的三点式方程 , 得所求平面方程为
x0 y2 z 3 x y 2 z 3 3 5 1 0, 5
所确定的平面的方程为
( M1M 2 M1M 3 ) M 1M 0,
其中 M ( x, y, z ) R 3 , 即
— — —
x x1 x2 x1 x3 x1
y y1 y2 y1 y3 y1
z z1 z2 z1 0。 (三点式方程) z3 z1
若 n 为平面 的法向量 , 则 n ( 0 为实数 ) 均为 的法向量。 若 n 为平面 的法向量 , 平面 1 // , 则 n 也是平面 1 的法向量。
二. 平面的方程 1. 平面的点法式方程 2. 平面的一般方程
3. 平面的三点式方程
4. 平面的截距式方程 5. 小结
第三节 平面及其方程
一. 平面的法向量 二. 平面的方程 三. 与平面有关的几个问题
一. 平面的法向量
n n
n
与已知平面 垂直的任何非零 向量均称为该平面的法 向量。 法向量通常记为 n ( A, B, C ) 。

1
模等于 1 的法向量称为单位法 向量, 称为单位法向量 , 记为 n 0。
例
求由下列条件所确定的 平面 的方程:
( 1 ) 通过点 M (4, 3, 1) 和 x 轴; ( 2 ) 通过点 M 1 (4, 0, 2) 和 M 2 (5, 11, 7) 且平行于 x 轴; ( 3 ) 通过点 A(1, 1, 1) 和 B(0, 2, 1) 且平行于 a (0, 3, 1)。
解 (3) 平面 // a, 故 n a。 i j k 平面的法向量 n AB a＝ 0 (1) 2 1 1 1 (5,1,3) , 0 3 1
由点法式方程 , 得所求平面方程为 (点 B , n (5, 1, 3) ) 或 n ( － 5, － 1, － 3) 5x y 3 z 1 0 。
即 bcx acy abz abc 0。
由于 abc 0, 故该平面方程为
x y z 1。 a b c
z
R(0,0, c)
R3 空间中的三点
P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)
y
O
所确定的平面的方程为
x y z 1。(截距式方程) a b c 1 1 1 此时, n ( , , )。 a b c
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0。 (点法式)
2. 平面的一般方程
由平面的点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0, 得
Ax By Cz Ax 0 By0 Cz0 0 。
一般方程与点法式方程 的转化
点法式方程 A( x x0 ) B( y y0 ) C ( z z0 ) 0
假设 A 0, 则 n ( A, B, C ),
过点 M 0 ( D , 0, 0)。
A
x y z M ( x, 1y 。 (截距式方程 ) 过点 , z ) 0 0 0 0 a b c n ( A, B, C ),
令 D＝ ( Ax 0 By0 Cz0 ), 则有
Ax By Cz D 0 。
反过来, 如果点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 满足上面的方程 , 则有
Ax 0 By0 Cz 0 D 0, 故 D Ax 0 By0 Cz 0 , 从而 A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0,
解 ( 1 ) 平面 通过 x 轴, 故 i 及坐标原点均在平面 上。 i j k — 平面的法向量 n i OM＝ 1 0 0 (0, 1, 3),
4 3 1
由点法式方程 , 得所求平面方程为 (点 O(0, 0, 0) )
y 3 z 0。
Q(0, b,0)
x
P(a,0,0)
方程中的 a, b, c 称为
平面在相应坐标轴上的 截距。
R 3 空间中, 平面 的方程有
A( x x0 ) B ( y y0 ) C ( z z0 ) 0
(点法式)
(一般方程 )
Ax By Cz D 0
x x1 x2 x1 x3 x1 y y1 y2 y1 y3 y1 z z1 z2 z1 0 z3 z1
CC 0 0
x
O
DD 0 // z , 0则平面 , 则平面 //轴。 z 轴。 DD 0 z 轴。 , 0则平面通过 , 则平面通过 z 轴。
平面在坐标系中的特殊 位置
设平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0, 则
C 0
D 0, 则平面 // z 轴。 D 0, 则平面通过 z 轴。
A 0, B 0
D 0, 则平面 // xy 平面(垂直于 z 轴)。 D 0, 则平面 与 xy 平面重合。 D 0, 则平面 // xz 平面(垂直于 y 轴)。
A 0, C 0
D 0, 则平面 与 xz 平面重合。
D 0, 则平面 // yz 平面(垂直于 x 轴)。 D 0, 则平面 与 yz 平面重合。
D 0, 则平面 // y 轴。 D 0, 则平面通过 y 轴。
B0
A0
D 0, 则平面 // x 轴。 D 0, 则平面通过 x 轴。
平面在坐标系中的特殊 位置
设平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0, 则 (3) 若 A 0, B 0, 则平面方程为
解 (2) 平面 // x 轴 , 即平面 // i , 故 n i 。 i j k — 平面的法向量 n M 1M 2 i ＝ 5 4 11 0 7 (2) (0, 9, 11) ,
1
0
0
由点法式方程 , 得所求平面方程为 (点 M 1 , n (0, 9, 11) )
即点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ) 在平面 上。
定理 1
在 R 3 空间中 , 任何一个关于x, y, z 的一次方程
Ax By Cz D 0
都是平面方程。 该方程所表示的平面 的法向量为
n ( A, B, C ) 。
( 其中, A, B, C 不全为零。 )
2 0 1 2 4 3 2 1 0 3 2 2 3 1
即
20 x 9 y 13 z 21 0 。
n (20, 9, 13)
例
求由下列条件所确定的 平面方程:
( 1 ) 通过点 M (4, 3, 1) 和 x 轴; ( 2 ) 通过点 M 1 (4, 0, 2) 和 M 2 (5, 11, 7) 且平行于 x 轴; ( 3 ) 通过点 A(1, 1, 1) 和 B(0, 2, 1) 且平行于 a (0, 3, 1)。
令 D Ax0 By0 Cz 0
一般方程 Ax By Cz D 0
平面在坐标系中的特殊 位置
设平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0, 则 (1) 若 D 0 , 则平面方程为
z
y
Ax By Cz 0,
此时, x 0, y 0, z 0 满足方程 ,
B 0, C 0
3. 平面的三点式方程
不在同一直线上的 三点确定一个平面。
已知 R3 空间中不在同一直线上 的三点
M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z 2 ), M 3 ( x3 , y3 , z3 ),
求由此三点所确定的平 面的方程。 — — n M 1M 2 M 1M 3 点法式方程
1. 平面的点法式方程
z
n
在空间 R 3 中,



已知平面 通过点 M 0 ( x0 , y0 , z0 ),
及 的法向量 n ( A, B, C )
y
M
M0
( A, B, C 不同时为零 )。
O
x
在平面 上任取一点M ( x, y, z ), 构成向量 M 0 M : M 0 M ( x x0 , y y0 , z z0 ) , 则 M 0 M n, 故 M 0 M n＝ 0。 即有
4. 平面的截距式方程
R3 空间中分别位于三个坐 标轴上的三点
P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 所确定的平面的方程为
xa y 0 z 0 xa y z 0a b0 00 a 0a 00 c0 a b 0 0, 0 c
a, b, c 分别为 平面在 x, y, z 轴上的截距。
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学 （一 ）
—— 一元微积分学
第一章 向量代数与空间解析几何
第三节 平面及其方程 本节教学要求： ▲ 理解平面的法向量的概念。 ▲ 熟悉平面的点法式方程、三点式方程、截距式方程
和一般方程以及它们间的转化。
▲ 熟悉平面间的夹角、点到平面的距离的计算。 ▲ 掌握平面间垂直、平行与它们的法向量间的关系。
z
y
C z D 0, n (0, 0, C ), 且 n // k 。
x
O
A 0, B 0
D 0, 则平面 // xy 平面(垂直于 z 轴)。 D 0, 则平面 与 xy 平面重合。
平面在坐标系中的特殊 位置
设平面 的一般方程为 Ax By Cz D 0, 则
例
求平行于向量a ( 1, 0, 1) 和 b (2, 1, 3) 且过点
的充要条件是
( M 1M 2 M 1M 3 ) M 1M 0。
M ( x, y, z )


—
—
—
M3

M2
M1

R3 空间中不在同一直线上 的三点
M 1 ( x1 , y1 , z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z 2 ), M 3 ( x3 , y3 , z3 ),
9 y 11 z 22 0 。
例
求由下列条件所确定的 平面 的方程:
( 1 ) 通过点 M (4, 3, 1) 和 x 轴; ( 2 ) 通过点 M 1 (4, 0, 2) 和 M 2 (5, 11, 7) 且平行于 x 轴; ( 3 ) 通过点 A(1, 1, 1) 和 B(0, 2, 1) 且平行于 a (0, 3, 1)。