正方体截面的探究

正方体截面的探究

教学设计

无为县襄安中学李向林背景介绍

为了使课改工作开展的更有成效，很重要的方面，就是要重构课堂，在现代课堂的教学中，我们应该清楚地认识到：1.课堂不是教师表演的舞台，而是师生之间交流、互动的舞台。2.课堂不是对学生进行训练的场所，而是引导学生发展的场所。3.课堂不只是传授知识的场所，而更应该是探究知识的基地。4.课堂不是教师教学行为模式化运作的天堂，而是教师教育智慧充分展现的竞技场。

在进行立体几何中“如何求作平面与平面的交线”这部分内容的教学时，为了提高学生学习立体几何的兴趣，帮助一些学生克服对立体几何的畏惧心理，我适时补充了“正方体的截面”这个内容。考虑到要通过会“求作平面与平面的交线”从而学会“过已知点求作正方体的截面”对学生而言是有一定难度的。

因此，能否通过这节课的学习让学生体会到数学知识就在我们身边、感悟到数学的美，激发出学生学习数学的兴趣和强烈的求知欲望，初步培养学生动手实验、观察比较、归纳总结的能力和探究意识、创新意识，就成为这节课首要解决的问题。为了更好地突破以上难点，落实新课标的精神，我运用"学生为主体，教师为引导，问题为核心，体验为红线"的探究性学习方式，逐步培养学生的创造性思维；在教学策略上我通过实物操作与电脑演示相结合的方法帮助学生了解正方体截面的各种可能的形状以及有否特殊的形状。

教材分析

《正方体截面的探究》是人民教育出版社《普通高中课程标准实验教科书·数学·必修2》关于正方体的“截面”问题的教学设计。本课是在学生已经学习了平面的三个基本性质的基础上，为了更深刻地理解平面图形与立体图形之间的关系及求作平面与平面的交线，帮助学生初步建立空间观念，发展几何直觉，而安排的一节以实验操作为主的探究课。新课程标准强调课程实施应从学生的学习兴趣，生活经验和认知水平出发，倡导体验、实践、参与、交流的学习方式和任务型的教学途径，发展学生的主动思维能力和大胆实践的创新精神。基于此，本节课设计如下：

教学目标

(一)知识与技能：

1.了解正方体的截面的形状，能熟练运用正方体截面的有关知识解决相应的问题。

2. 经历切截几何体的活动过程，体会几何体在切截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验。

(二)过程与方法：

在对实物模型“截”活动过程中，学生经历观察、猜想、实际操作验证、推理等数学活动过程，发展学生的动手操作、实验验证、合作交流与分析归纳能力及空间思维能力。

(三)情感、态度与价值观：

通过学生亲身经历动手实践操作过程，鼓励学生自主探索与合作交流，发展学生的空间观念，使学生在合作学习中体验到数学活动充满探索和创造，获得成功的体验，增强自信心，提高学习数学的兴趣。

教学重点、难点：

重点：正方体截面的结构特点。

难点：正方体截面结构的多重性。

教学用具：

大块橡皮泥、小刀、一张CT片，透明正方体盒子(可用鱼缸)、水，正方体模型等。

教学方法：

1.采取直观教具与多媒体相结合，通过师生互动进行教学。

2.采取小组合作交流，动手操作实验的学习方法。

教学过程：

活动一：情境导入，引发思考

师：（拿出西瓜）大家都知道西瓜是我们常吃的一种水果，那么他像我们已经学过的那种几何体？（生：球体）

师：按习惯我们是不吃西瓜皮，只吃西瓜瓤的。现在有一个外皮已经洗净的西瓜，设想一下，你一般是如何吃到里面的瓤呢？第一步怎么办？（生：用刀切）

师：那么刀经过的面是一个什么形状的图形？（生：圆）

师：（演示用刀切西瓜的过程）用刀切西瓜的过程就好像用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。（动画演示）

活动二：试验演示，截面探究

问题1：什么叫几何板的截面？

答：一个几何和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。

问题2：截面的边是如何得到的？

答：截面的边是平面和几何体各面的交线。

问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体。那么会得到什么形状的截面图呢？

师：同学们手中都有橡皮泥及其小刀，以同桌为单位，先用橡皮泥捏一个正方体，小刀的刀面我们就可以将它当成截这个正方体的面，当我们用小刀截你手中的正方体时，便可得到一个截面.下面看我手中的这块正方体的橡皮泥，我用小刀去截这个正方体，截面可能是什么形状呢？

探究1：截面多边形的边数最多有几条？

小结：因为正方体只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截得截面图最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。（学生上黑板用正方体玻璃模型演示）

探究2：截面图为三角形时，有几种情况？

1.是否可以截出等腰三角形？

2.是否可以截出等边三角形？

3.是否可以截出直角三角形？

小结：用一平面去截正方体能截出的三角形：

(1)等腰三角形；(2)等边三角形；(3)锐角三角形；（为什么？）(4)不能截出直角三角形。（为什么？）

首先，用一个平面截一个正方体，要得到三角形，必然是要和三个两两相邻的面相交

才可以（如图所示）。下面只要说明这个截面△PMN不是直角三角形或钝角三角形就可以啦。

图中有三个直角三角形，△BMN、△PMB

和△PBN。如果MN是最长边，那么只需要说明

PM2 +PN2和MN2不相等就可以了。

在Rt△BMN中，根据勾股定理可得BM2

+BN2=MN2；

同样，BM2 +BP2=MP2、BN2 +BP2=NP2。也就是，

PM>BM、PN>BN。

因此，PM2 +PN2>MN2。由余弦定理可得，△

PMN是锐角三角形。

同样，也可以说明PM2 +MN2>PN2

探究3：如果截面为四边形，那么可以截出哪几类呢?

1.是否可以截出长方形？

2.是否可以截出正方形？

3.是否可以截出梯形？

小结：用一平面去截正方体能截出的四边形：

(1)长方形；(2)正方形；(3) 平行四边形；（4）菱形；（5）梯形；（6）等腰与不等腰梯形

探究4:截面可能是正多边形吗？可能有几种？

小结：截面是正多边形有可能。可能有正三角形，正方形和正六边形。不可能是正五边形。（为什么？）探究5:如果截面是三角形，其面积最大是多少?四边形呢？

探究6：正方体中能用几个平面截出正四面体、正八面体吗？

小结：

以正方体的面对角线为棱长的三棱锥即为正四面体，以正方体的六个面的中心的连线即为正八面体。

最后，几何画板演示正方体的截面图。

活动三：合作交流，巩固提高

例1、如图1-1所示，已知正方体A1B1C1D1—ABCD，E、F、H分别是A1B1、B1C1、AD的中点，过三点E、F、H作截面．