正交多项式的性质

正交多项式的性质

（李锋，1080209030）

摘要：本文主要阐述了由基},,,,,1{2

n

x x x 按G-S 正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质

及其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。

正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram 矩阵

的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。因而，有必要分析正交多项式有用的性质。

在区间],[b a 上，给定权函数)(x ρ，可以由线性无关的一组基},,,,,1{2 n

x x x ，利

用施密特正交化方法构造出正交多项式族{∞

0)}(x n ϕ，由)(x n ϕ生成的线性空间记为Φ。对于],[)(b a C x f ∈，根据次数k 的具体要求，总可以在Φ在找到最佳平方逼近多项式)(*

x k ϕ。

)(x n ϕ的具体形式为：

2,1,)()

,()

,()(;1)(1

00=-==∑-=n x x x x x n k k k k k n n

n ϕϕϕϕϕϕ

这样构造的正交多项式)(x n ϕ具有以下一些有用的性质： 1.

)(x n ϕ为最高次数项系数为1的n 次多项式；

2. 任一不高于n 次的多项式都可以表示成

∑=n

k k

k

x 0

)(ϕ

α；

3. 当m n ≠时，0),(=m n ϕϕ；且)(x n ϕ与所有次数小于n 的多项式)(1x p n -正交，

即

0)()()(1=-⎰dx x p x x n n

b

a

ϕ

ρ，其中)(x ρ为权函数；

4. 存在递推关系： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，

其中：

,2,1,)

,(),(,)()(),(,,1,0,)

,(),(0

)(,1)(112

10=======---⎰n dx x x x x n x x x n n n n n b a n n n n n n n n ϕϕϕϕβρϕϕϕϕϕϕϕαϕϕ这里

推论：（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根； （2）设0x 为正交多项式1+n ϕ的一个根，则)(02x n +ϕ和)(0x n ϕ异号；

5.

n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中；

6. 假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区

),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。

下面来对以上的性质加以证明。首先对于前3条性质，由)(x n ϕ的生成方式，线性空间与基的性质，函数正交的概念，显而易见它们是成立的。

性质（4），递推关系的证明： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，

证明：由于)(x x n ϕ是1+n 次多项式，因此可以由110,,,+n ϕϕϕ 线性表出，即

,)()()(0

1∑=++=n

j j j n n x c x x x ϕϕϕ （1）

其中j c 为常系数。将上式两边同乘以2,,1,0),()(-=n s x x s ϕρ，并积分有：

⎰⎰

∑⎰

=++=b

a

b a

n

j s j j

s n b

a

s n dx x x x c

dx x x x dx x x x x 0

1)()()()()()()()()(ϕϕρϕϕρϕϕρ

上式左端当2,,1,0-=n s 时，)(x x s ϕ的次数小于n ，从而由正交性质得出积分

值等于零。同样右端第一个积分也为零。于是，当2,,1,0-=n s 时，上式就变为

∑⎰

==n

j b

a

s j j dx x x x c 0

0)()()(ϕϕρ

令0=s ，由正交性可知上式变为：

⎰=b

a o dx x x c 0)()(2

0ϕρ，

从而00=c 。同理，当s 依次为2,,2,1-n 时，可以推出0=s c ，于是（1）式就可以简化为：

),()()()(111x c x c x x x n n n n n n ϕϕϕϕ++=--+ （2）

下面来确定1,-n n c c 。在（2）式两边同乘以)()(1x x n -ϕρ并积分，得：

⎰

⎰---=b

a

b

a

n n n n dx x x c dx x x x x )()()()()(2

111ϕρϕϕρ

由（1）式，可以得到下面的关系：

∑-=-+=1

1),()()(n j j j n n x b x x x ϕϕϕ 其中j b 为常系数.

将上式代入（2）式中可以得到

()),/(,)()(/)()(112

121----=⎰=⎰n n n n b

a n b

a n n dx x x dx x x c ϕϕϕϕϕρϕρ；

同理用)()(x x n ϕρ同乘以（2）式两端并积分，可得

()),/(,)()(/)()(22n n n n b

a n b

a n n x dx x x dx x x x c ϕϕϕϕϕρϕρ=⎰=⎰；

将1,-n n c c 代入（2）式并整理可以得到结论。 推论（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根；

证明：反证法。假设2+n ϕ和1+n ϕ有公共根，任取一个记*

x 。则由性质（4）可知也为*

x n ϕ的一个根。如此类推下去，必有所构造的所有正交多项式组均有一个公共的根

*x 。显然这是不对的，故假设不成立。所以没有公共根。

推论（2）由性质（4）可以直接推出。 性质（5），n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中。 证明：令1≥n ，假定)(x n ϕ在),(b a 上不变号，则

⎰

⎰≠=b

a

b

a

n n dx x x x dx x x 0)()()()()(0ϕϕρϕρ.

这与正交性相矛盾。故至少存在一点),(1b a x ∈使得0)(1=x n ϕ。若1x 是重根，则2

1)/()(x x x n -ϕ为2-n 次的多项式。由正交性可知：