正交多项式的性质
正交多项式
正交多项式在数学中，正交多项式是一类特殊的多项式，其在一定的权重函数或内积定义下具有正交性质。
正交多项式在数学分析、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及常见的几种正交多项式。
定义给定定义在区间[a, b]上的一个非负的实数函数w(x)（权重函数），称一个多项式序列{φn(x)}n=0∞ 为正交多项式序列，如果满足以下条件：1.正交性：对于不同的i和j，若i≠j，则两个多项式的内积为0，即∫abφi(x)φj(x)w(x)dx = 0；2.单位性：多项式的平方在区间上的加权累积为1，即∫abφn2(x)w(x)dx = 1。
性质正交多项式具有许多重要的性质，如：1.正交性：正交多项式之间的内积为0，这个性质在数值计算和函数逼近中非常有用；2.生成公式：许多正交多项式都可以通过递推关系生成。
例如，勒让德多项式可通过勒让德微分方程的解得到，切比雪夫多项式可通过递推公式生成；3.逼近性：正交多项式在一定条件下能够将任意函数逼近为一个多项式级数，这在函数逼近和插值中是非常重要的性质；4.最小二乘逼近：利用正交多项式进行最小二乘逼近，可以得到最优逼近解。
常见的正交多项式勒让德多项式 (Legendre Polynomials)勒让德多项式是最常见的正交多项式之一，通常用Pn(x)表示，定义在区间[-1, 1]上，权重函数为w(x) = 1。
勒让德多项式可以通过勒让德微分方程生成，其前几个多项式表达式如下：•P0(x) = 1•P1(x) = x•P2(x) = (3x^2 - 1)/2•P3(x) = (5x^3 - 3x)/2•…切比雪夫多项式 (Chebyshev Polynomials)切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用Tn(x)表示。
切比雪夫多项式的权重函数为w(x) = (1 - x2)(-1/2)。
前几个切比雪夫多项式表达式如下：•T0(x) = 1•T1(x) = x•T2(x) = 2x^2 - 1•T3(x) = 4x^3 - 3x•…雅各比多项式 (Jacobi Polynomials)雅各比多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，通常用P(α,β)n(x)表示，其中α和β是正实数，称为雅各比指数。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用【范本模板】
正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族.正交多项式是数学研究领域热点之一.许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。
现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。
因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值.本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫(Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明，最后对正交多项式在数据拟合,最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。
关键词：正交多项式勒让德（Legendre）多项式切比雪夫（Chebyshev）多项式拉盖尔（Laguerre）多项式艾尔米特（Hermite）多项式数据拟合最佳平方逼近概率分析The Character of Orthogonal Plynomial and its Applicationin Scientific ComputationAbstractOrthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orthogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory，such as proof of the conjecture of Bieberbach，data fitting，mathematical physics，theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the field or the application of orthogonal polynomials。
正交多项式(1)
正交多项式什么是正交多项式？在数学中，正交多项式是一类具有特定正交性质的多项式函数。
这些函数相对于特定的权重函数进行内积运算后，得到的结果为0，即满足正交性的条件。
正交多项式在数学和物理学中有广泛的应用。
它们的正交性质使它们在许多计算问题中具有重要的作用，例如数值计算、信号处理和量子力学等领域。
正交多项式的性质正交多项式具有以下主要性质：1.正交性：正交多项式相对于权重函数进行内积运算后，得到的结果为0。
这个性质使得正交多项式在积分运算和线性代数中非常有用。
2.归一性：正交多项式在一定的区间上归一化为1，即它们的平方在该区间上的积分等于1。
这个性质使得正交多项式在函数逼近和插值等问题中得到广泛应用。
3.递推关系：正交多项式之间存在特定的递推关系，即通过对前一项和前两项的线性组合可以得到后一项。
这个递推关系可以用于计算正交多项式的系数和求解相关的数学问题。
4.正交性条件的等价性：正交多项式的正交性条件可以等价地表示为矩阵的特征值问题或积分方程的本征值问题。
这种等价性对于研究正交多项式的特性和性质非常有帮助。
常见的正交多项式常见的正交多项式包括：1.勒让德多项式（Legendre Polynomials）：勒让德多项式是最为常见和广泛应用的一类正交多项式。
它们的定义可以通过勒让德微分方程来推导，是球坐标系下的角度函数，并在物理学中有广泛应用。
2.拉盖尔多项式（Laguerre Polynomials）：拉盖尔多项式是定义在无穷区间上的正交多项式。
它们的定义可以通过拉盖尔微分方程来推导，主要用于描述一维量子力学系统中的束缚态。
3.埃尔米特多项式（Hermite Polynomials）：埃尔米特多项式是定义在整个实数轴上的正交多项式。
它们的定义可以通过埃尔米特微分方程来推导，用于描述量子谐振子系统中的能级和波函数。
4.切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）：切比雪夫多项式是定义在[-1, 1]区间上的正交多项式。
jacobi正交多项式的一些性质
jacobi正交多项式的一些性质Jacobi正交多项式是一类重要的正交多项式，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用。
Jacobi正交多项式的一些性质如下：1、Jacobi正交多项式是一类完全正交的多项式，它们满足Jacobi正交性质：$$\int_{-1}^{1}P_n^{(\alpha,\beta)}(x)P_m^{(\alpha,\beta)}(x)w(x)dx=0,\quad n\neq m$$其中$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$是Jacobi正交多项式，$w(x)$是Jacobi权函数。
2、Jacobi正交多项式的系数可以用递推公式求得：$$a_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}a_{n-1}$$其中$a_n$是Jacobi正交多项式的系数，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
3、Jacobi正交多项式的零点可以用递推公式求得：$$x_n=\frac{-b_n+\sqrt{b_n^2-4a_nc_n}}{2a_n}$$其中$x_n$是Jacobi正交多项式的零点，$a_n$、$b_n$和$c_n$是Jacobi正交多项式的系数。
4、Jacobi正交多项式的最大值可以用递推公式求得：$$M_n=\frac{2n+\alpha+\beta+1}{2(n+\alpha+\beta+1)}M_{n-1}$$其中$M_n$是Jacobi正交多项式的最大值，$\alpha$和$\beta$是Jacobi权函数的参数。
以上就是Jacobi正交多项式的一些性质，它们在数值分析、积分计算、物理学、金融学等领域有着广泛的应用，为科学研究和工程应用提供了重要的理论支持。
正交多项式的性质及在科学计算中的应用
正交多项式的性质及在科学计算中的应用1.正交性：正交多项式之间的内积为0，即不同正交多项式之间有正交关系。
2.归一性：每个正交多项式的范数等于1，即所有正交多项式的平方和为13.递推关系：正交多项式之间具有简洁的递推关系，可以通过递推公式生成后续的正交多项式。
4.零点分布：正交多项式的零点在实数轴上严格交替分布，即相邻的正交多项式在零点处的值交替改变符号。
1.函数逼近与插值：正交多项式可以作为基函数用于函数逼近和插值，通过调整正交多项式的系数来逼近或插值给定的函数。
由于正交多项式的特殊性质，可以在相对较少的基函数数量下获得高精度的逼近效果。
2.数值积分：正交多项式在数值积分中起到关键作用。
以高斯积分为例，通过选择一组与被积函数正交的多项式作为基函数，可以将积分问题转化为求解线性方程组的问题，从而得到精确的数值积分结果。
3.求解微分方程：正交多项式可以用于求解各类微分方程，包括线性常微分方程、偏微分方程以及边值问题等。
通常，通过选择一组适当的正交多项式作为试探函数，可以将微分方程转化为求解线性代数方程组的形式，从而得到微分方程的解析解或数值解。
4.物理建模：正交多项式在物理建模中扮演重要角色。
例如，在量子力学中，氢原子的波函数可以用于描述电子在氢原子中的运动，而这些波函数正是利用正交多项式（如勒让德多项式和拉盖尔多项式）构造得到的。
总结起来，正交多项式不仅具有特殊的性质，还在科学计算中有广泛的应用。
它们适用于函数逼近、数值积分、求解微分方程以及物理建模等领域，通过选择适当的正交多项式作为基函数或试探函数，可以显著提高计算精度和效率。
因此，正交多项式在科学计算中是一种非常有用的工具。
线性代数中的正交多项式
线性代数中的正交多项式正交多项式是线性代数中的一种重要概念，具有广泛的应用和深远的影响。
本文将介绍正交多项式的定义、性质以及它们在数学和工程领域中的应用。
一、正交多项式的定义在数学中，正交多项式是指在某个带权内积定义下的多项式函数族，满足互不相同、次数递增且两两正交的性质。
具体而言，设Pn(x)为n次多项式，那么它是正交多项式需要满足以下条件：1. Pn(x)是n次多项式；2. Pn(x)的系数可以通过递推关系计算，即Pn(x)可以表示为Pn(x)=an(x)P(n-1)(x)+bn(x)P(n-2)(x)，其中an(x)和bn(x)是与P(n-1)(x)和P(n-2)(x)正交的多项式；3. 符合正交性条件，即∫W(x)Pm(x)Pn(x)dx=0，其中W(x)是非负权函数，m≠n。
二、正交多项式的性质1. 正交多项式族的线性无关性：正交多项式族中的任意两个多项式都是线性无关的，即不可能以一个正交多项式来表示另一个正交多项式。
2. 正交多项式的正交性：正交多项式族中的任意两个多项式在权函数的内积下是正交的，即它们的内积等于0。
3. 正交多项式的级数展开：任意函数f(x)可以展开为正交多项式族的级数形式，即f(x)=∑(n=0)~∞[anPn(x)]，其中an=∫W(x)f(x)Pn(x)dx，Pn(x)是正交多项式族中的第n个多项式。
三、正交多项式的应用正交多项式在数学和工程领域中具有广泛的应用，以下是其中的几个方面：1. 函数逼近：正交多项式可以用于近似计算给定函数的级数展开形式。
通过选取合适的正交多项式族，可以提高逼近的精度和效果。
2. 微分方程求解：正交多项式在求解微分方程时具有良好的性质。
可以通过将微分方程转化为正交多项式的形式，进而求解相关的系数和解析解。
3. 数值计算：正交多项式的级数展开形式可以用于数值计算中的积分、傅里叶变换等问题。
它们具有计算效率高、精度较高的特点。
4. 概率统计：正交多项式在概率统计中扮演重要的角色。
18_数值分析5_5正交多项式
L2
L1
L3
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
引理：若 g(x) ( x2 1)n , 则 g(k)(1) 0, k 0,1, 2,…, n 1. 即, g(x) 的 k 阶导数必有因式 (x2 1), k n.
证明 因为, 用牛顿-莱布尼兹公式后，有
b
a
x ( x )d x
n
存在；
b
(2)对(a, b)上的非负连续函数 fx, 若 ( x ) f ( x ) d x a 则在区间(a, b)上 f x 0.
那么,称 x为(a, b)上的权函数. 常见的权函数： ( x ) 1, a
x b;
0,
k 1 k 1 ( x ) x
j0
k
x
k 1
,
j
j
j
,
j
(x)
( k 0 ,1,...)
这样得到的正交多项式系 {kx} 有以下性质: (1) kx是最高项系数为1的 k 次多项式； (2) 当 k j 时, (k , j ) 0, 且 k 与任意次数小于 k 的多 项式正交.
a
k
( x )dx 0.
证明方法: (1) 表 q x为次数不超过k 1的 jx的线性组合. (2) 说明{kx}为正交系 满足条件的积分为0.
证明:
(1) 把q x表示为次数不超过 k 1的 jx的线性组合.
q(x)
k 1 j0
c j j ( x ).
k 1
第二章 第一节 正交多项式
性质2 对于最高次项系数为1的正交多项式 gk ( x)存 在着递推关系
gn1 (x) (x-n )gn (x)- n gn -1 (x)
(1.10)
其中
* * * * n ( xg n , g n ) /( g n , g n ), * * * * n ( g n , g n ) /( g n1 , g n1 ).
2
k m
k !m! Pk ( x) Pm ( x)dx
1
1
m dk 2 k d [( x 1) ] m [( x 2 1) m ]dx 1 dx k dx 1
d m1 d k 1 [( x 2 1) m ] k 1 [( x 2 1) k 1 dx m 1 dx
q ( x ) Ck g k ( x )
k 0 n
1.9
推论2 任何次数不超过 n的多项式 qk ( x)必定同 gn1 ( x) 带权 正交,即
(qk ( x), gn1 ( x)) 0,(k 0,1,n)
特别地有
( xk , gn1 ( x)) 0.(k 0,1,n).
* 比较 x n1 两边的系数，可见Cn1 1。两边乘以 gk ( x) (x)并积分
有 xg n , g k Ck g k , g k 从而
Ck (g ,xg ) /(g ,g ) n k k k
* ( * * 当 k n 1 时，因为 xg 是 k 1 n次多项式，gn , xgk ) 0 ，所以
b
b
a
* * * ( x) g n ( x)dx ( x) g n ( x) g 0 ( x)dx 0 a
5.5正交多项式(2学时)
(n) j
cos
j
x cos
j0
n1
Tn (x) 2n1 xn
a
(n) j
x
j
j0
2、Chebyshev多项式 Chebyshev多项式的性质：
（1）Tn (x)是x的n次多项式，并且当 n 1 时，
Tn (x) 的最高次项系数为
n1
an
2n1
Tn (x) 2n1 xn
证明思路： （1）说明 k (x)有奇数重根； （2）说明奇数重根有k个。
（2）正交多项式的性质
5、Gram-Schmidt正交化方法
0 (x) 1 1(x) x a0(x)
(1,0) (x a0(x),0(x))
(1,0) (x,0(x)) a(0(x),0(x))
Tn (x) 在开区间（-1，1）内有n个互异实零点，
xk
cos
2k 1 , k
2n
1,2,, n
xk
cos
2(n k) 1 , k
2n
1,2,, n
（3）递推关系
T0 (x) 1 T1(x) x Tn1(x) 2xTn (x) Tn1(x), n 1,2,
5.5 正交多项式
一、正交多项式的概念与性质 二、几种常用的正交多项式
5.5 正交多项式 一、正交多项式的概念与性质
1、权函数的定义 2、两个函数的内积 3、函数的正交 （1）两个函数的正交 （2）正交函数系 （3）正交函数系一定线性无关。 4、正交多项式 （1）正交多项式的充要条件 （2）正交多项式的性质 5、Gram-Schmidt正交化方法
( x) ex2 , x
正交多项式在数学中的应用
正交多项式在数学中的应用正交多项式是数学中一个重要的概念。
正交多项式可以用于许多领域，如物理学、统计学、工程学、经济学等，它们的应用非常广泛。
在本文中，我们将介绍正交多项式的定义、性质和应用。
一、正交多项式的定义正交多项式通常是指某一族多项式，它们彼此正交，并且在某一区间上具有完全正交性。
这里“正交”指的是在某一区间上两两相乘之后的积分为0。
具体的定义可以表示为：在某一区间[a,b]上，存在一族多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…,满足下列条件：1.φn(x)是n次多项式；2.φn(x)的首项系数为1；3.对于任意不相等的n和m，有以下正交关系：∫a^b φn(x)φm(x)dx=0 （n≠m）4.对于任意n，有以下归一化公式：∫a^b φn(x)^2 dx=1这里的正交关系也可以表述为φn(x)在[a,b]上关于权函数w(x)正交。
另外，需要注意的是，具有正交性的多项式不只一个。
例如，在[a,b]上，有许多不同的正交多项式，如勒让德多项式、拉盖尔多项式、埃尔米特多项式、切比雪夫多项式等等。
每种不同的正交多项式，都有其独特的性质和应用。
二、正交多项式的性质正交多项式具有许多重要的性质，这里只讨论其中的一些。
1.正交多项式是线性无关的。
对于给定的正交多项式φ0(x),φ1(x),…,φn(x)，任意一个次数不超过n的多项式P(x)，都可以表示为P(x)=a0φ0(x)+a1φ1(x)+...+anφn(x)其中，a0,a1,…,an都是常数。
因此，正交多项式是线性无关的。
2.正交多项式是最佳近似多项式。
对于一个次数不超过n的多项式P(x)，其在正交多项式的张成下的最佳近似多项式是Pn(x)=∑i=0^n [P(x),φi(x)]φi(x)其中[P(x),φi(x)]表示在区间[a,b]上P(x)与φi(x)的乘积之后再进行积分。
3.正交多项式满足递推关系。
对于同一族正交多项式φ0(x),φ1(x),φ2(x),…，它们满足以下递推关系：φ0(x)=1φ1(x)=x-b0φn+1(x)=(x-bn+1)φn(x)-cnφn-1(x)其中，bn和cn是常数。
研究生数值分析(19)正交多项式
性质5
xi
cos 2(n i) 2n
1 ,
i 1,2,, n
当n为奇数时， Tn (x) 当n为偶数时，Tn (x)
是奇函数， 是偶函数。证明见P125
3、Laguerre（拉盖尔）多项式
定义：称
Un (x)
ex
d n(xnex ) dxn
,
n 0,1,
为Laguerre多项式。
不为零的k次多项式，故 k (x) 0, (x [a,b])
因而有 (k ,k ) 0, k 0,1,
根据定义，{k (x)} 是[a，b]上带权ρ(x)的正交多项式系。
正交多项式的性质：
证毕。
性质1 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权的正交多项式系， 则 {ckk (x)} 也是[a ,b]上带权的正交多项式系，
b
a (x)q(x)k (x)dx 0,
k 1,2,
所以，对于 j (x) , ( j 0,1,k 1)
b
a (x) j (x)k (x)dx 0,
k 1,2,
即 ( j ,k ) 0,
jk
又因 k (x) , (k 0,1,) 是最高次项系数
④ 若在[a ,b]上 f(x)≠0，则（f，f）>0
定义 若内积
b
( f , g) a (x) f (x)g(x)dx 0
则称f (x)与g (x)在区间[a ,b]上带权ρ(x)正交。
若函数系 {0 (x),1(x),,n (x),}
满足
(i , j )
b a
性质4 设 {k (x)} 是[a ,b]上带权ρ (x)的
正交多项式系，则对于 k≥1 时，相邻三项有 如下递推关系
正交多项式
正交多项式
若首项系数 an ≠ 0 的 n 次多项式 ϕ n ( x) ，满足
b 0, (ϕ j , ϕ k ) = ∫ ρ ( x)ϕ j ( x)ϕ k ( x) d x = a Ak > 0
j ≠ k, j = k;
( j , k = 0,1,L)
就称多项式序列 ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n ，在 [a, b] 上带权 ρ ( x) 正交， 并称 ϕ n ( x) 是 [a, b] 上带权 ρ ( x) 的 n 次正交多项式。 构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法 定理：按以下方式定义的多项式集合 {ϕ 0 , ϕ1 ,L , ϕ n } 是区间 [a, b] 上关于权函数 ρ ( x) ≥ 0 的 正交函数族。
ϕ ( x) =
( f , ϕ0 ) ( f , ϕ1 ) ( f ,ϕ2 ) ϕ 0 ( x) + ϕ1 ( x) + ϕ 2 ( x) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ1 , ϕ1 ) (ϕ 2 , ϕ 2 )
≈ −4.1225 x 2 + 4.1225 x − 0.05047
4－1 勒让德多项式 当区间为［－1，1］ ，权函数 ρ ( x) ≡ 1 时，由 {1, x,L , x ,L} 正交化得到的多项式就称
( xϕ1 , ϕ1 ) α2 = = (ϕ1 , ϕ1 )
1 2
∫
1 x( x − ) 2 dx 1 2 = 1 1 2 2 ∫0 ( x − 2 ) dx
1 0
(ϕ , ϕ ) β2 = 1 1 = (ϕ 0 , ϕ 0 )
∫ (x − 2) ∫ 1dx
0 1 0
1
1
2
dx
正交多项式
正交多项式 若首项系数0n a ≠的n 次多项式()n x ϕ，满足⎩⎨⎧=>≠==⎰;0,,0d )()()(),(k j A k j x x x x k k j b ak j ϕϕρϕϕ(,0,1,)j k =就称多项式序列01,,,n ϕϕϕ ，在[,]a b 上带权()x ρ正交，并称()n x ϕ是[,]a b 上带权()x ρ的n 次正交多项式。
构造正交多项式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt ）方法定理：按以下方式定义的多项式集合01{,,,}n ϕϕϕ 是区间[,]a b 上关于权函数()0x ρ≥的正交函数族。
0()1x ϕ=11()x x ϕα=-12()()()()k k k k k x x x x ϕαϕβϕ--=-- (2,3,k n =其中21112111()()(,)(,)()()bk k k ak bk k k ax x x dx x x x dxρϕϕϕαϕϕρϕ------==⎰⎰(1,2,3,,k n=21112222()()(,)(,)()()bk k k a k bk k k ax x dx x x dxρϕϕϕβϕϕρϕ------==⎰⎰(2,3,,)k n =证明可用归纳法，略。
例：求()sin f x x π=在［0，1］上的二次最佳平方逼近多项式。
解： 构造正交多项式0()1x ϕ=100011000(,)1(,)21xdx x dx ϕϕαϕϕ===⎰⎰111()2x x x ϕα=-=-120112121101()(,)12(,)2()2x x dx x x dx ϕϕαϕϕ-===-⎰⎰12011210001()(,)12(,)121x dx dx ϕϕβϕϕ-===⎰⎰222212011()()()()()212x x x x x x xϕαϕβϕ=--=--=-于是1000(,)11dx ϕϕ==⎰1211011(,)()212x dx ϕϕ=-=⎰12222011(,)()6180x x dx ϕϕ=-+=⎰1002(,)s i n f x d xϕππ==⎰1101(,)()sin 02f x xdx ϕπ=-=⎰212230112(,)()s i n 63f x x xdx πϕππ-=-+=⎰故()sin f x x π=在［0,1］上的二次最佳平方逼近多项式为012012001122(,)(,)(,)()()()() 4.12(,)(,)(,)f f f x x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ=++≈-勒让德多项式当区间为［－1,1］，权函数()1x ρ≡时，由{1,,,,}nx x 正交化得到的多项式就称为勒让德(Legendre)多项式，并用01(),(),,(),n P x P x P x 表示。
2_正交多项式
k 2
◆ 确定系数 {d i }i 0
k -2
( f k 1 a k xf k , f m ) ( f k 1 , f m ) a k ( f k , xf m ) 0
k 2 i0
另一方面
( f k 1 a k xf k , f m ) ( d i f i d k 1 f k 1 d k f k , f m )
(反证)假设 f n (x ) 在 (a , b ) 内无实根 (反 证 )假 设 为 重 根 , 则至少是二重的 f n (x ) 在 (a , b ) 内恒正或恒负
2
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
f n ( x) ( x ) qn2 ( x)
而
b a
f n ( x ) ( x ) dx 0
k 2 i0
下面逐步确定组合系数
d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012
yfnie@
6
(续1)
for m k 2 :
f k 1 ( x ) a k xf k ( x ) d i f i ( x ) d k 1 f k 1 ( x ) d k f k ( x )
August 6, 2012 yfnie@ 1
3.1 线性无关性
正 交 多项 式系 f i i 0 中 任 意 m 个 函数 f i1 ( x ), f i 2 ( x ), , f im ( x )
线 性 无关 (非负 整数 i 1 , i 2 , , i m 互 不 相 同 ).
P0 (x ) 1 ;
多项式正交对比
多项式正交对比1. 引言多项式正交是数学中的一个重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍多项式正交的基本概念和性质，并对几种常见的多项式正交进行对比分析。
2. 多项式正交的定义多项式正交是指一组多项式满足特定的正交条件。
设P(x)为次数不超过n的多项式，若存在一组不全为零的常数{a0, a1, …, an}，使得对于任意不同的i和j，有以下等式成立：∫P(x)P(x)dx = a0^2 + a1^2 + … + an^2 = 1则称P(x)为关于权函数w(x)在区间[a, b]上的一组正交多项式。
3. 多项式正交的性质多项式正交具有以下重要性质： - 正交性：任意两个不同次数的正交多项式在权函数w(x)下内积为零。
- 归一性：每个正交多项式都可以通过乘以适当系数使其范数等于1。
- 正规性：每个次数不超过n的正交多项式都可以通过线性组合生成整个次数不超过n的多项式空间。
4. 常见的多项式正交4.1. 勒让德多项式（Legendre Polynomials）勒让德多项式是最常见的一种多项式正交。
它们是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，对应于权函数w(x) = 1。
勒让德多项式具有简单的递推关系和闭合形式表达式，因此在各个领域都有广泛应用。
4.2. 切比雪夫多项式（Chebyshev Polynomials）切比雪夫多项式是定义在区间[-1, 1]上的正交多项式，对应于权函数w(x) = (1 - x2)(-0.5)。
切比雪夫多项式具有良好的逼近性能，在数值计算和信号处理中经常使用。
4.3. 贝塞尔多项式（Bessel Polynomials）贝塞尔多项式是定义在区间[0, ∞)上的正交多项式，对应于权函数w(x) = x^(-0.5)。
贝塞尔多项式在物理学和工程学中有广泛应用，特别是与圆柱坐标系相关的问题。
5. 多项式正交的应用由于其良好的性质，多项式正交在各个领域都有广泛的应用。
正交多项式
三、Legendre多项式Pn(x) (1)多项式定义
定义3 [-1,1]上由{1,x,…,xn,…}带权ρ(x)≡1正交化 得到的多项式序列.
P0 ( x ) 1 1 d n ( x 2 1) n Pn ( x ) n , n 1,2, n 2 n! dx
x
2
x 1dx x xdx 1 2 1 x x 3 11dx x xdx
2 2 1 1 1 1 1 1
1
1
…
(2)多项式的主要性质
(2n)! ① n次Legendre多项式 Pn(x)的首项系数 d n ( x) n 2 (n!) 2 1 ② Pn (1) (1) n 当x=1, 当x=-1
请将其降为2阶多项式。
解
1 1 1 4 1 2 4 2 T ( x ) ( x x ) T 8 x 8 x 1） （查表知 取 4 3 4 24 2 24 8 x2 x3 1 1 191 13 2 1 3 2 P4 P4 1 x ( x ) x x x 2 6 24 8 192 24 6 P4
证明 对任意的x[a,b] 若
c g
k 0 k
n
k
( x) 0
两边同乘 ( x ) g l ( x )( l =0,1,.. n ), 并从 a 到 b 积分 , 由
{g k ( x )}n k 0 的正交性定义中的(3)可知必有cl=0
n { g ( x )} 故正交多项式序列 k k 0 线性无关.
取到极大值 1 和极小值1，即
Tn (tk ) (1)k || Tn ( x) ||
记
Tn ( x ) T ( x ) n1 2
3.2 正交多项式
k
x n , k n , x k ; k , k k , k
n 1 k 当 时, 即n 1 k n 1时, k可能不等于零 , k 1 n 当k n - 1时，k 0.
x n x n1 n1 x n n x n1 n1 x ;
4、 零点分布 1， Pn x 在区间 1 内有n个不同的实零点 .
三、切比雪夫多项式
区间为 [1,1], 权函数为 ( x ) 1 1 x2 正交化所得正交多项式 称为切比雪夫多项式. ，由序列示 Tn ( x) cos(n arccosx),
由以上定理可知 ,
f x P2 x 2
2
1 2 T3 x ; 2
1 3 3 即f x P x T3 x 2 x x 2 2
就是f x 在 1， 1上的2次最佳一致逼近多项式 .
1 7 故P2 x f x T3 x x 2 x 1, 2 2
例、 求f x 2 x 3 x 2 2 x 1在 1,1上的
2次最佳一致逼近多项式 .
解： 由题意, 所求最佳逼近多项式P x 应满足 2
f x P2 x
=
( x) P2 x H 2
min
f x P2 x
这由三角恒等式 cos(n 1) 2 cos cosn cos(n 1) 推出。
由递推关系式（ 2.11 ），得
T2 ( x ) 2 x 2 1, T3 ( x ) 4 x 3 3 x , T4 ( x ) 8 x 4 8 x 2 1, T5 ( x ) 16x 5 20x 3 5 x ,
正交多项式相关
上的正交多项式由最佳平方逼近的一般理论知，上的最佳平方逼近完全可以转化为正交系的讨论。
因为若是f的最佳平方逼近元，则系数向量满足方程组：，而当{φi}为规范正交时，该方程组的解立即可以写为：。
正交多项式的性质假设ω0(x),ω1(x),…是空间上的幂函数系1,x,x2,…经正交化手续得到的正交多项式系，则它有如下性质（1）ωn(x)是n次代数多项式；（2）任一不高于n次的多项式都可以表示成;（3）ωn(x)在中与所有次数低于n的多项式正交，也即以下假设是ωn的首一化多项式，也即，且的最高次项系数为1，则仍然是一正交系，且有如下递推关系。
定理1，其中：，。
证明由于是k+1次多项式，因此可由线性表出，即（1）其中cj是适当常数，将（1）式两边同乘以并积分，有上式左端当s=0,1,…,k-2时，的次数小于k，从而积分值为0，同样右端第一个积分也为0。
于是，当s=0,1,…,k-2时，上式变为令s=0，上式变为从而c0=0。
同理，当s依次为1,…,k-2时，可推出cs=0。
于是（1）式可简化为（2）下面我们来确定ck ,ck-1，在（2）式两边乘以并积分，得（3）由于，代入（3）式两端得同理，用乘（2）式两端并积分，可得将ck ,ck-1代入（2）式两端并加以整理即得定理结论。
如果设ωk (x)的首项系数为αk，则对规范正交系ω(x),ω1(x),…可以得到如下递推关系（4）注：（4）式可通过令代入定理1得到。
定理2n次正交多项式ωn(x)有n个互异零点，并且都包含在(a,b)中。
证明令n≥1,假定ωn(x)在(a,b)不变号，则这与正交性相矛盾。
于是至少有一个点x1∈(a,b)使ωn(x1)=0，若x1是重根，则ωn (x)/( x - x1)2是一n-2次多项式，由正交性知但另一方面有从而推出x1只能是单根。
今假设ωn (x)在(a,b)内只有j个单根x1,x2,…,xj(j<n)，则ωn(x)( x- x1) ( x- x2) …( x- x j)=q(x)( x- x1)2 ( x- x2) 2…( x- x j) 2现将上式两端乘以ρ(x)并积分，则对于左端来说，由于(x-x1)(x- x2)…(x- xj)的次数小于n，因此积分值等于零；但对右端来说，由于q(x)在(a,b)不变号，所以积分值不为零。
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正交多项式的性质（李锋，1080209030）摘要：本文主要阐述了由基},,,,,1{2nx x x 按G-S 正交化方法得到的正交多项式的一些有用性质及其证明过程，包括正交性，递推关系，根的分布规律等。
正如在最佳平方逼近的讨论中看到的那样，正交多项式能够使得由其生成的Gram 矩阵的形式极其简单，为非奇异对角矩阵，从而大大降低了求解最佳平方逼近多项式的系数的计算，也避免了计算病态的矩阵方程。
同时在数值积分方面，它也有着非常重要的应用。
因而，有必要分析正交多项式有用的性质。
在区间],[b a 上，给定权函数)(x ρ，可以由线性无关的一组基},,,,,1{2 nx x x ，利用施密特正交化方法构造出正交多项式族{∞0)}(x n ϕ，由)(x n ϕ生成的线性空间记为Φ。
对于],[)(b a C x f ∈，根据次数k 的具体要求，总可以在Φ在找到最佳平方逼近多项式)(*x k ϕ。
)(x n ϕ的具体形式为：2,1,)(),(),()(;1)(100=-==∑-=n x x x x x n k k k k k n nn ϕϕϕϕϕϕ这样构造的正交多项式)(x n ϕ具有以下一些有用的性质： 1.)(x n ϕ为最高次数项系数为1的n 次多项式；2. 任一不高于n 次的多项式都可以表示成∑=nk kkx 0)(ϕα；3. 当m n ≠时，0),(=m n ϕϕ；且)(x n ϕ与所有次数小于n 的多项式)(1x p n -正交，即0)()()(1=-⎰dx x p x x n nbaϕρ，其中)(x ρ为权函数；4. 存在递推关系： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，其中：,2,1,),(),(,)()(),(,,1,0,),(),(0)(,1)(11210=======---⎰n dx x x x x n x x x n n n n n b a n n n n n n n n ϕϕϕϕβρϕϕϕϕϕϕϕαϕϕ这里推论：（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根； （2）设0x 为正交多项式1+n ϕ的一个根，则)(02x n +ϕ和)(0x n ϕ异号；5.n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中；6. 假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。
下面来对以上的性质加以证明。
首先对于前3条性质，由)(x n ϕ的生成方式，线性空间与基的性质，函数正交的概念，显而易见它们是成立的。
性质（4），递推关系的证明： ,2,1,0),()()()(11=--=-+n x x x x n n n n n ϕβϕαϕ，证明：由于)(x x n ϕ是1+n 次多项式，因此可以由110,,,+n ϕϕϕ 线性表出，即,)()()(01∑=++=nj j j n n x c x x x ϕϕϕ （1）其中j c 为常系数。
将上式两边同乘以2,,1,0),()(-=n s x x s ϕρ，并积分有：⎰⎰∑⎰=++=bab anj s j js n bas n dx x x x cdx x x x dx x x x x 01)()()()()()()()()(ϕϕρϕϕρϕϕρ上式左端当2,,1,0-=n s 时，)(x x s ϕ的次数小于n ，从而由正交性质得出积分值等于零。
同样右端第一个积分也为零。
于是，当2,,1,0-=n s 时，上式就变为∑⎰==nj bas j j dx x x x c 00)()()(ϕϕρ令0=s ，由正交性可知上式变为：⎰=ba o dx x x c 0)()(20ϕρ，从而00=c 。
同理，当s 依次为2,,2,1-n 时，可以推出0=s c ，于是（1）式就可以简化为：),()()()(111x c x c x x x n n n n n n ϕϕϕϕ++=--+ （2）下面来确定1,-n n c c 。
在（2）式两边同乘以)()(1x x n -ϕρ并积分，得：⎰⎰---=baban n n n dx x x c dx x x x x )()()()()(2111ϕρϕϕρ由（1）式，可以得到下面的关系：∑-=-+=11),()()(n j j j n n x b x x x ϕϕϕ 其中j b 为常系数.将上式代入（2）式中可以得到()),/(,)()(/)()(112121----=⎰=⎰n n n n ba n ba n n dx x x dx x x c ϕϕϕϕϕρϕρ；同理用)()(x x n ϕρ同乘以（2）式两端并积分，可得()),/(,)()(/)()(22n n n n ba n ba n n x dx x x dx x x x c ϕϕϕϕϕρϕρ=⎰=⎰；将1,-n n c c 代入（2）式并整理可以得到结论。
推论（1）两个相邻正交多项式2+n ϕ和1+n ϕ无公共根；证明：反证法。
假设2+n ϕ和1+n ϕ有公共根，任取一个记*x 。
则由性质（4）可知也为*x n ϕ的一个根。
如此类推下去，必有所构造的所有正交多项式组均有一个公共的根*x 。
显然这是不对的，故假设不成立。
所以没有公共根。
推论（2）由性质（4）可以直接推出。
性质（5），n 次正交多项式)(x n ϕ有n 个互异实零点，并且都包含在),(b a 中。
证明：令1≥n ，假定)(x n ϕ在),(b a 上不变号，则⎰⎰≠=baban n dx x x x dx x x 0)()()()()(0ϕϕρϕρ.这与正交性相矛盾。
故至少存在一点),(1b a x ∈使得0)(1=x n ϕ。
若1x 是重根，则21)/()(x x x n -ϕ为2-n 次的多项式。
由正交性可知：⎰=-ban n dx x x x x x ;0])/()()[()(21ϕϕρ但上式另一方面却有：⎰⎰>-=-baban n n dx x x x x dx x x x x x ;0)]/()()[(])/()()[()(2121ϕρϕϕρ从而可知1x 只能为单根。
假设)(x n ϕ在),(b a 内只有j 个单根)(,,,21n j x x x j < ，则有2222121)()())(()())()((j j n x x x x x x x q x x x x x x x ---=--- ϕ，对上式两端乘以)(x p 并积分，则左端由于)())((21j x x x x x x --- 的次数小于n ，因此积分值为零；但对于右端来说，由于)(x q 在),(b a 上不变号，所以积分值不为零。
从而由这个矛盾推出n j =。
性质（6）假设b x x x a n <<<<< 21是正交多项式)(x n ϕ的n 个根，那么在每个区),,(1x a ),(,),,(21b x x x n 内都有)(1x n +ϕ的一个零点。
证明：采用归纳法。
设1=n ,)1(1x 表示多项式)(1x ϕ的根，很明显为唯一，由性质（5）可知b x a <<)1(1； 多项式)(0x ϕ为1（对于首项不为1的正交多项式组也必是正常数）。
由上述的推论（2）可知，)()1(12x ϕ为负数；另一方面，)(2a ϕ和)(2b ϕ都是正的，因为)(2x ϕ必可表示为b x x a x x x x <<<--)2(2)2(1)2(2)2(1),)((。
于是在闭区间],[],,[)1(1)1(1b x x a 上)(2x ϕ在端点上均异号，从而它的2个根分布必为b x x x x a <<<<)2(2)1(1)1(1)2(1,，从而1=n 时命题成立。
在归纳之前先考虑这样的关系成立：⎪⎩⎪⎨⎧<>>为奇数；为偶数；为任意值；n a n a n b nnn ,0)(,0)(,0)(ϕϕϕ假设1,≥=k k n 时命题成立，当1+=n k 时记点b x x x a k k k k ,,,,,)1(1)1(2)1(1++++ ；在a 点，)(2a k +ϕ和)(a k ϕ符号相同，在)1(1+k x 处异号，但)(x k ϕ在),()1(1+k x a 上没有根（由假设成立），即)(a k ϕ与)()1(1+k k x ϕ同号。
又由于)(a k ϕ与)(2a k +ϕ同号，)()1(1+k k x ϕ与)()1(12++k k x ϕ异号，所以有)(2a k +ϕ和)()1(12++k k x ϕ异号，故)(2x k +ϕ在),()1(1+k x a 上必有一个根。
在)1(2+n x 点，)(2x k +ϕ和)(x k ϕ符号相异，而)(x k ϕ在)1(1+k x 和)1(2+n x 之间有一个根，记为)(1k x ，所以)(x k ϕ在)1(1+k x ，)1(2+n x 点变号。
在)1(1+n x 点，)(2x k +ϕ和)(x k ϕ符号相异，从而有)(2x k +ϕ在点)1(1+k x ，)1(2+n x 变号，即)(2x k +ϕ在),()1(2)1(1++k k x x 上有一个根。
如此类推下去，可知在区间),(),,(,),,(),,()1(1)1(1)1()1(2)1(1)1(1b x x x x x x a k k k k k k k k k ++++++++ 上)(2x k +ϕ均有一个根，共k+2个。
而)(2x k +ϕ也只能有k+2个根，所以它的根的分布满足命题的规定。
从而命题得证。
参考资料：1. 蒋尔雄，赵风光．数值逼近．上海 ：复旦大学出版社， 1996；2. 李庆扬，关治，白峰杉．数值计算原理．北京：清华大学出版社，2000；3. 周国标，宋宝瑞，谢建立．数值计算．北京：高等教育出版社，2008；4.莫国端, 刘开第．函数逼近论方法．北京：科学出版社，2003。