导数与函数性质教案

§ 1.3.1函数的单调性与导数(2课时)

教学目标：

知识与能力：了解可导函数的单调性与其导数的关系；

过程与方法：能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函

数一般不超过三次；

情感态度价值观：运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学过程：

一.创设情景

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快

与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的. 通过研究函数的这些性质，我们可以

对数量的变化规律有一个基本的了解. 下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数

在研究函数中的作用.

二•新课讲授

1 •问题：课本22页图1.3-1 ( 1 ),它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数

h(t) 4.9t2• 6.5t 10的图像，图1.3-1 (2)表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化

的函数v(t) =h'(t) =「9.8t 6.5 的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？通过观察图像，我们可以发现：

(1)运动员从起点到最高点，离水面的高度h

随时间t的增加而增加，即h(t)是增

函数•相应地，v(t^h'(t) 0 .

(2)从最高点到入水，运动员离水面的高度h

随时间t的增加而减少，即h(t)是减

函数•相应地，v(t) =h'(t) ：：： 0 .

2 •函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图1.3-3，导数f'(X o)表示函数f(x)在点(X o, y o)处的切线的斜率.

在X=X o处，f'(X o) 0，切线是“左下右上”式的,

这时，函数f(X)在X0附近单调递增；

在X =X1处，f'(X o) ：：：0，切线是“左上右下”式的,

这时，函数f (X)在X1附近单调递减.

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,b)内，如果f'(x) 0 ,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果

f'(x) ：：：0,那么函数y二f (x)在这个区间内单调递减.

说明：(1)特别的，如果f'(x)=0，那么函数y = f (x)在这个区间内是常函数.

3•求解函数y = f (x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y二f(x)的定义域；(2)求导数y' = f'(x) ； (3)解不等式f'(x)・0,解集在定义域内的部分为增区间；(4)解不等式f'(x) ：：：0,解集在定义域内的部分为减区间.

三. 典例分析

例1 .已知导函数f '(x)的下列信息：

当1 . x :: 4 时，f (x) • 0 ；当x 4，或x : 1 时，f (x) ：：：0 ；

当x=4，或x =1时，f'(x)=0试画出函数y = f(x)图像的大致形状.

解：当1 ：.x :: 4时，f'(x) 0，可知y二f(x)在此区间内单调递增；

当x 4，或x ：1时，f'(x) <0 ；可知y二f(x)在此区间内单调递减；

当x = 4，或x =1时，f '(x) =0，这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”

综上，函数y = f (x)图像的大致形状如图 3.3-4所示.

例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

(1) f (x) = x3 3x ；(2) f (x) = x2「2x「3

3 2

(3) f(x)二sinx—xx (0,二)；(4) f(x)=2x 3x -24x 1

3 '22

解：(1)因为f (x)二x 3x，所以，f (x) =3x • 3 = 3(x 1) 0

因此，f (x^x3 3x在R上单调递增，如图3.3-5 (1)所示.

(2)因为f(x) =x2—2x—3，所以，f'(x) =2x —2=2 x — 1

当f'(x) V,即x 1时，函数f(x)=x2-2x-3单调递增；

当f'(x) ：：：0，即x 1时，函数f(x) =x2 -2x -3单调递减；

2

函数f(x)二x -2X-3的图像如图3.3-5 (2)所示.

(3)因为f(x)=sin x_xxw(O,二)，所以，f'(x) = cosx-仁：0

因此，函数f(x) =sinx-x在(0,二)单调递减，如图3.3-5 (3)所示.

(4)因为f (x) =2x3• 3x2 -24x ・1，所以 __________________ .

当f (x) 0，即_________________ 时，函数f (x)二x - 2x - 3 ____________ ；

当f'(x) ：：：0，即_________ 时，函数f (x) =x2-2x — 3 ____________ ；

函数f (x^2x3 3x2 -24x 1的图像如图3.3-5(4)所示.

注：(3 )、(4)生练

四. 课堂练习

1. 求下列函数的单调区间

3 2 1 -

1.f(x)=2x —6x +7

2. f(x)= +2x

3. f(x)=sinx , x [0,2 ]

4. y=xlnx

x

2.课本练习

五. 回顾总结

(1)函数的单调性与导数的关系

(2)求解函数y二f (x)单调区间

(3)证明可导函数f x在a , b内的单调性

六. 布置作业

教学反思：