线性方程组有解的判别定理

量方程
x1 1 x 2 2 x n n ,
则线性方程组有解的充
分必要条件是
向量 可以表示成向量组 线性组合。

，
1

2

，

的
n
记系数矩阵 为
a11 a12 a1n
A

a 21

a

s1
a 22 a 2n
a s 2 a sn
2 1 0 1
0 0
0 6 1 1 ; 0 1
性方程组没有解
.
R (A) 2,R (A ) 3
思考题
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
1.线
性
方程组a
21 x1

a22 x2
a2n xn
§3－5 线性方程组有解的判别定理
用向量和矩阵的理论分析讨论线性方程 组是否有解的问题
设非齐次线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1
a2
1x1
a2
2x2
a2n xn

b2
(2)
as1x1 as2x2 asnxn bs
• 用此定理进行线性方程组有没有解的讨 论时，一般用矩阵的初等行变换把线性 方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵
c11 c12 c1r c1n d1
0 c22 c2r c2n d2
A 初 等行变换




0 0 crr crn dr

0
0

0

，
1

2 ，
，

与
n

，
1

2 ，
，

，
n

的秩相同，令
R(A) R(A ) r,
不妨设

，
1

百度文库
2 ，
，

r
是向量组

，
1

2 ，
，

的一个极大线性无关组
n
，
则它也是向量组

，
1

2 ，
,
，
n
的
极大线性无关组，
可由它线性表示
从而
可由

，
1

2 ，
，

线性表示
n
线性方程组有解。
2 － 2 1 0 0 0 0 0 0
R ( A ) R ( A ) 1 , 线性方程组有无穷多组
解，
当 ＝ 10 时，
8 2 2 1 2 5 4 2 A 2 5 4 2 0 1 1 1
2 4 5 11 0 2 2 1

b2
as1 x1 as2 x2 asn xn bs
中, 如果方程式的个数大于未知元的个数
方程组是否无解？
2.对齐次线性方程组你能得到什么结论？
思考题答案
• 1.方程式的个数不能决定系数矩阵和增 广矩阵的秩，不能由此得到有关解的结 论.
• 2.齐次线性方程组恒有解,当系数矩阵的 秩小于未知元的个数时,线性方程组有无 穷多组解(非零解).
0
dr1

0 0 0 0
当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组有解； 当dr1 0 时 R(A) R(A)线性方程组没有解。 当R(A) R(A)＝r 时，线性方程组1（ ）独立 方程式的个数为 r，不妨设线性方程组1）（ 同解与线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1

增广矩阵为
a11 a12 a1n b1
A

a 21

a

s1
a 22 a 2n b2
a s 2 a sn bs

用矩阵秩 可以得到
线性方程组有解判断定理：线性方程组有解的充分 必要条件是系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同，即
R(A)R(A)
1.
设

2
x
1

(5

)x2

4 x3

2,


2 x1

4x2

(5

)x3


1
问 为何值时线性方程组有
解？
2－ 2 － 2
2－ 0 － 2
解： 2 5－ － 4 ＝ 2 1－ － 4
－ 2 － 4 5－ － 2 1－ 5－
2－ 0 ＝ 2 1－
作为 x1,x2,,xr的方程组，xr＋ 任 1， 取xn 方程组1）（都有唯一解，性从方而程线 组的通解n中 r有 个自由未知量。
齐次线性方程组中系数矩阵的秩等于增广 矩阵的秩,所以齐次线性方程组总是有解.
EXAMPLE
（ 2 － ） x 1 2 x 2 2 x 3 1 ,
证明：必要性
设线性方程组有解，就 有 c1 , c 2 , , c n
使得 c1 1 c 2 2 c n n
所以，向量组

，
1

2
,，
n
与
向量组

，

，
1

2，，
n
等价，
从而其向量组构成的矩 阵有相同的秩，
即 R （ A）＝ R （ A）；
充分性：
如果 R ( A ) R ( A )，它们的列向量组
引入向量
a 11
a 12
a 1 n
b1
1


a 21
a s1

,


2


a a
22

s2

,


,
n


a 2n
a sn

,



b2

b

s

则线性方程组可写成向
－4 0
－2 －4 9－
＝（
1－

）2 － －
4
－2 9－
＝（ 1－ ）（ － 1）（ － 10 ）
10 1时，线性方程组有唯一
解;
当 ＝ 1时
A
＝

1 2
2 4
－ 2 － 4
－2 －4
1 1 2 0
4 － 2 0
a21x1 a22x2 a2n xn b2




ar1x1 ar2x2 arn xn br
a11 a1r 其中 0根据Crame法r 则，
ar1 arr 当r n时，线性方程组有解 唯； 一 当r n时，线性方程组可成 改写
a11x1a12x2a1rxr b1a1r1xr1a1nxn a21 x1a22x 2a2r xr b2a2r1xr1a2nxn ar1x1ar2x2arnxr br arr1xr1arnxn