连续函数的性质1

§2连续函数的性质

Ⅰ. 教学目的与要求

1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性.

2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨

论函数的连续性.

3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题.

4.理解函数一致连续性的概念.

Ⅱ. 教学重点与难点:

重点: 闭区间上连续函数的性质.

难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念.

Ⅲ. 讲授内容

一 连续函数的局部性质

若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据

函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态．

定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界．

定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正

数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）.

注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r =

则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02

1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,⋅±(这里

()00≠x g )也都在点0x 连续．

以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得．

对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数

()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()()

x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的．

同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点

都连续．

关于复合函数的连续性，有如下定理：

定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点

0x 连续．

证 由于g 在0u 连续，对任给的0>ε，存在01>δ，使得当10δ<-u u 时有

()()ε<-0u g u g ． ()1

又由()00x f u =及()x f u =在点0x 连续，故对上述01>δ，存在0>δ，使得当

δ<-0x x 时有()()100δ<-=-x f x f u u ．联系(1)得：对任给的0>ε，存在0>δ，当δ<-0x x 时,有()()()()ε<-0x f g x f g ． 所以 f g 在点0x 连续．

注 根据连续性的定义，上述定理的结论可表为

()()()()0))(lim (lim 0

0x f g x f g x f g x x x x ==→→． ()2 例1 求()211sin lim x x -→．

解 ()21sin x -可看作函数()u u g sin =与()21x

x f -=的复合．由(2)式得 ()()()

00sin 1lim sin 1sin lim 2121==-=-→→x x x x ． 注 若复合函数f g 的内函数f 当0x x →时极限为a ，而()0x f a ≠或f 在0x 无定

义(即0x 为f 的可去间断点)，又外函数g 在a u =连续，则我们仍可用上述定理来求复合函

数的极限，即有 ))(lim ())((lim 0

0x f g x f g x x x x →→= ()3 还可证明：()3式不仅对于0x x →这种类型的极限成立，而且对于→x ∞+，

-∞→x 或±→0x x 等类型的极限也是成立的．

例2 求极限： ()x x x sin 2lim 10-→；()x

x x sin 2lim 2-∞→. 解 ()112s i n lim 2sin 2lim 100=-=-=-→→x

x x x x x ； ()202s i n lim 2sin 2lim 2=-=-=-∞→∞→x

x x x x x . 二 闭区间上连续函数的基本性质

设f 为闭区间[]b a ,上的连续函数，本段中我们讨论f 在[]b a ,上的整体性质.

定义1 设f 为定义在数集D 上的函数．若存在D x ∈0，使得对一切D x ∈有

()()()()()x f x f x f x f ≤≥00，

则称f 在D 上有最大(最小)值，并称()0x f 为f 在D 上的最大(最小)值．

例如，x sin 在[]π,0上有最大值1，最小值0．但一般而言，函数f 在其定义域D 上不一定有最大值或最小值(即使f 在D 上有界)．如()x x f =在()1,0上既无最大值也无最小值．又如

()()⎪⎩⎪⎨⎧=∈=，

与，10,21,0,1x x x x g ()4

它在闭区间[]1,0上也无最大、最小值．下述定理给出了函数能取得最大、最小值的充分条件．

定理4．6 (最大、最小值定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有最大值与最小值．

推论 (有界性定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上有界．

由()4式给出的函数g 在闭区间[]1,0上无界，什么对函数g 上述推论的结论不成立． 定理4．7 (介值性定理) 设函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()≠a f ()b f ．若μ为介于()a f 与()b f 之间的任何实数()()b f a f <<μ(或()μ>a f ()b f >)，则至少存在一点()b a x ,0∈，使得().0μ=x f

这个定理表明，若f 在[]b a ,上连续，又不妨设()()b f a f <，则f 在[]b a ,上必能取得区间()()[]b f a f ,中的一切值，即有()()[][]()b a f b f a f ,,⊂，其几何意义如图4—2所示． 推论(根的存在定理) 若函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且()a f 与()b f 异号(即()()0

这个推论的几何解释如图4—3所示：若点()()a f a A ,与()()b f b B ,分别在x 轴的两侧，则连接A 、B 的连续曲线()x f y =与x 轴至少有一个交点．