利用格林公式计算积分

也表达 了他对 那个 时代 里 的众 多身处 困境 的雨 中猫 的深
切关怀 。
意义［］ 西北农 林科 技 大 学 学报 ： 会科 学版，Ｏ６ Ｊ． 社 ２Ｏ
（ ）１５ ９： ． ０
参 考文献 ：
［ ］ Ｇ ｒ ｄＢ ｅ ｏ ｎ ｌｙＪｎｓ ｅ ｉ ｗ ｙＬｆ ａｄ １ ｅａ ．Ｎ ｌ ｎ ａｄＧｏ ｏｅ ，Ｈ ｍｎ ａ ｉ ｎ ｌ ｓ ｒ ｇ ｅ Ｗｏｋ Ｍ］ ｅ ｏ ： ａｔ ｏ ｉ ｕｌａ ｏｓ １８ ． ｒｓ［ ，Ｎ ｗＹ ｒ Ｆ ｃ ｎＦｌ Ｐ ｂ ｃｔｎ ， ９４ ｋ ｓ ｅ ｉ ｉ ［ ］ Ｃｒ ｓＢ ｅ ｉｇ ａ ｈ ｉ ｒａ Ａ ｔｔ Ｍ］ ｒ ｃ— ２ ａ ｏ ．Ｈ ｍｎｗｙＴ ｅＷｒｅ ｓ ｒｓ ［ ．Ｐｉ ｅ ｌ ｔ ｉ ｎ
｛ ，）Ｙ Ｏｏ ，， （ ｌ ＝ ，≤ ≤。 其中， 常数 ｎ＞ ， ０试求 Ｌ ， ，， ，Ｌ Ｌ 围成的平面图形 的面积与质心， ２ 其中， 的边界闭曲线 Ｌ 为正
向， 面密度 ＝１ 。
解： 显然 ， 曲线 由 三 ， ， 构成 ， 一 对平 面图形 的面积 ＝ ｄｄ ， ｙ 应用格林公式 把二 重积分化为第 二类 曲线积分 ，
一
月 ， １ （） １６ ２ ０６ ： ． ０ ０
［ ］ 陶风． ５ 简洁的叙事 ， 含蓄的象征 ： 雨中猫》 谈《 作品 中的深 入浅出［ ］文学评论 ， ００７ ： ． Ｊ． ２ １（ ）３ ９ ［ ］ 贾艳萍． ６ 女人和猫 ： 析海 明威短篇小说《 雨中猫》 的象征
代文豪海 明威对 小说 《 中猫》中猫 的困境 的描写 ， 雨 最终
二、 构造封 闭曲线再计算
如果空间有向曲线 Ｌ不是封闭的 ， 么需 添加辅助的有 向曲线 ， ， Ｌ与 构成 定向的封闭曲线 ， 那 Ｊ使 。 再运用格林公 式进
行计 算
注： 添补的辅助 曲线 Ｌ 的方 向应选为与 Ｌ的方 向相一 致。方向或者都是正方 向， ｎ 或者都是负方向 。
例２计 （ ｓｙ ８） ＋ ｅ。，７） ， ，算ｆｅｉ ＋ｙ （ ｃ， ｄ 其中Ｌ 从００ ） （，的 半圆 Ｘｎ ｓ一 ｙ 是 （，到Ａ６ ） 上 弧。 ０ ０
运 片 格 林 公 式 计 算 曲线 积分 时 ， ｊ 曲线 的有 向性 是 至 关 重 要 的 ， 往 往 封 闭 曲 线 方 向 的 判 断 正 误 与 否 也 决 定 解 题 过 而
程是否正确 。 注 ： １ 封闭的有 向曲线取正方 向为“＋”、 （） 取负方 向为“一” 。注意只有 对单连通 区域而 言 ， 时针才 为“＋” 顺 时针 逆 、
如果封闭平 面曲线 ￡的方程代 入某 曲线 积分后 。仍然 在 Ｌ所 围的 区域 上存 在某些 点或子 区域 Ｐ（ ） 、 ，） ，） Ｑ（ ） 、 ， ， 不连续 ， 而在 的其他地 方都连续 ， 且 ＝ ， 则构造一条 有规则 的封闭 曲线 ｆｃ ， ０ 使其偏 导数不 连续 的那 些点
， ，
在曲线 Ｌ所 包围的有 界
０ｖ Ｏ Ｘ
平面闭区域 ｏ上 连续 的条 件 ， ｒ 那么 ， 可以先把 曲线 Ｌ的方程代入 该 曲线积 分 ， 后者 曲线积分 已满足 格林公 式条件 ， 若 则用 格林 公式把它化为二重积分计算 。
例，算线分 ＝芝 ４ 曲积 ，』｝ 计
， 曲 三以 （ ） 心 为径 圆 ， 时方。 其 线是点 ， 圆， 半 的周 逆针向 中 。为 ｌ １ 取
ｄ ： 一
Ｌ
ｄ 一 ｄ＋ ｄ＋ｘｙ １ ｙ （ ｙ ｙ ￣） 。 ｄ
＝
÷ ｃ ｎ ÷。ｃ －ｎｄ 而 。 。 。 ｓｔ ： 。 ｓ 础＝ ｉ） ８ ｇｔ
所以， 平面 图形 的质心 ： ５ ＝ ２ ６。
。
三、 封闭 曲线存在的特殊情形
如果所 给的有 向曲线 是封闭的 ， 但是不 满足 格林 公式所要求的函数 Ｐ（ 、 （ 、 ，） Ｑ ，） ａ ｅ
摘要 ： 林公式表达 了平 面上 沿闭曲线对坐标的曲线积分与 区域 Ｄ上二 重积分之 间的关 系。介 绍格林公 式计算 格 积分 的常用方法 ， 深对格 林公式运用的思考与理解 。 加
中分号 闭 向耄标 图类： 洧曲献识 Ａ
０１ ２ ２ ７
．
公式
文 献 标 识码 ： Ａ
文编＿ ７（ ０ 章号 …２ ７ １ ０ ＿ … 邶
ｔｎ： ｒ ｃ ｔｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｒｓ ，１ ７ ． ｏ Ｐ ｉ ｅｏ ｉｅ ｓ ｙ Ｐ ｅ ｓ ９ ３ ｎ ｔ
［ ］ 林六辰． 美小说要素解析 ［ ． ７ 英 Ｍ］ 上海： 上海外语教育 出
版 社 ，Ｏ ４：８ ２０ １６—１９ ８．
［ ］ 邵锦娣 ， ８ 白劲鹏． 学导论［ ． 文 Ｍ］上海 ： 上海 外语教 育 出
又 草 捅 亏 ：ｕ 卜 ¨儿 ｕ “ … ～ ～
格林公式 ： 闭区域 Ｄ由光滑 （ 设 或分段光滑 ） 的曲线 Ｌ围成 ， 函数 Ｐ ，） Ｑ（ ， 在 口上具有一阶连续偏导数 ， （ ｙ 及 ，） ， 则有
公式
） ，
（一 馨
其 Ｌ。界向 中是 边 正
一
、
封闭 曲线存在直接计算
Ｃ ｌｇ ｎｌｈ １６ （２ ：． ｏ ｅｅＥ ｇｓ ， ９２ １）３ ｌ ｉ
（ 责任 编辑
魏艳君 ）
［ ］ 胡玲玲． ４ 解读《 雨中猫》 中猫的隐喻 ［ ］安徽 文学： Ｊ． 下半
ｅ ｒ一２ ， ｏ
融＿
： ｘ ， ＝
ｙ ３
，Ｐ≠＿ ｏ ｏ Ｑ
利用格林公式 把曲线积分化为二重积分 ， 再利用二重积分 的对称性计算 其值 。得
＝ 一
Ⅱ 筹 （ ） Ｊ３ｘｘ ｙｄ 。ｘ。 一 ｆ －）ｙ ３ｙ ｙｄ 。 ＇ ｄ 。ｘ ｄ ３ｄ ｄ 一３ｙ （ ｙ
而在 上 ， ｙ＝０ ｄ ，ｙ＝ｏ 则 ： ｏ ＝０ 所 以 ＝ １５ｒ ， ， ３叮
例， ｘ 面 第 象 内 形 为 ａｓ ０ｔ— 直 段 ｛ ，ｌ０≤≤） ＝ ３ 上 一 限 星 线 ： ａｃｔ， ≤ ；线 ＝（Ｙ ，Ｙ。， Ｏ平 记ｙ Ｌｆ ｓｏ’ ｛ ｉ ｔ Ｘ ｎ ＝ Ｊ Ｌ ）：０ ： ＝ ≤≤ ： 厶 ｌ ｖ ‘
＝ ｃｅ ÷一
（ 责任 编辑 魏艳君 ）
而 上 ＝０ ０ 以 ＝ 一 ÷ ｅ。 在 ， ｆ 。 ＋ ＝ ｃ ＝ 所 １ ， 一
（ 上接 第 ８ ８页 ）０世纪 ２ ２ ０年代 的美 国迷惘 的一代 ， 以及 他 们在战争 中破 碎 的价 值理 想 。在 战争 中饱 受创 伤 之苦 的
解： 经分析本题 中 Ｐ ， ： ｉ ＋ ｙＱ ，） ｅ 。 一 都较繁 ， （ ｅ ｎ ８ ，（ ， ＝ ｓ ７ ， ） ｓｙ ， ｃｙ 故构造辅 助线 ： 连接Ａ ， 向从点 Ａ到点 Ｄ 因 ０方 ，
：ｅ ｃ ｓ ￣ ｏ ｙ＋８．
ｖ
：ｅ Ｃ Ｓ ｘ Ｏ ｙ一７
Ｏ ｘ
如果平 面有 向曲线 Ｌ是封闭的 ， 么 ， 那 直接运 用格林公 式计 舁。
例ｌ 算 线 分 （３ｅ （３ 一ｙｙ其 ￡ 圆 ＋ Ⅱ 顺 针 向 ， 曲 积 虫ｙ＋） ＋ ２ｄ 中 是 周 ＝ 时 方 。 计 ｘ ｒ ＋ ｙ ）， 的
解： 经分析易知该 曲线积分 中有
： ， ， ｙ）：
解： 经分析 ， 向曲线 Ｌ 有 所围的平 面区域 ｏ： （ ｌ ＋（ 一 ）≤１ ｒ｛ ，） Ｙ １ ）内含 有不 连续 的点 （ ，）但 注意 到把 曲线 ０１，
的方程代入积分 ， 后即 消去 了该不连续 的奇点 ， 再用格林公式得
，ｆ ＝： 亏
Ｏ Ｐ
，
＝ ，＋ｙ ｃ ・，２ 一ｄ ＝ ＝ ｃ ｄ ＋ｄ 百 ｒ
论文集粹
Ｔｈ ｏ ｉ ＆ Ｃｈ ｎｇ ｉ ｇ ｅ Ｗ ｒｄ ｏ ｑ ｎ Ｖｏ． ８ Ｎｏ． ０１ １２ ７２ １
重 庆与世界 ２１年第２ 卷第７ ０１ ８ 期
利 用格 林公 式 计 算 积分
李 波
（ 西南交通大学 峨眉校区 ， 四川 峨 眉山 ６ ４０ ） １２ ２
则 ＿『：＋ 一（ ）ｄ＝ ｆ 而 ｆ 一 ｙ ｓ ＋ ＝
盯
作暑 ： （８ ，研方： 方 、 者介 一 ， 万 微刀 积。 薯 波０２男 究向 分程 面分 简 １－ 冗同 曲 刀 李 ９ ５） ８ 假 叫
李
波 ： 用格 林公 式计 算积 分 利
９ ３
或子 区域 包含在 ｌ 所围 的区域 内， 曲线 ｌ Ｌ的方 向一致 ， 且 与 于是在 三上 的曲线积分等 于在 ｌ 的曲线积分 ， 上 即有
（ ｙｄ ，） ＋Ｑ（ ｙ ｄ ＝ （ ｙ ｄ ，）ｙ ，）ｘ＋Ｑ（ ）ｙ ｄ
９ ４
重
庆
与Biblioteka Baidu
世
界
四、 用格 林公 式时有关 曲线方 向的问题 运
一
ｄ
ｄＶ
￡ 卜 Ｌ 一 ＝ ＝ ＝（ ） ｄ
ＯＡ Ｌ ＯＡ Ｄ 。 ／
＋ｃ
一
＝ ｄ ｄ 一 ｉ ～ ｙ ＝÷ ｎ ｙ ２ ｘ
（ ： 注 此封闭 曲线沿逆 时针 方向 ， 运用格林公 式时添加“ ”号 ） ＋
÷ｆ Ｉｃ ）一ｃ： 垒 （ 一ｅｚ ＝ １ 一 ｅ ｓ 『 ｛ ｒ ｏ ｅ
得
＝
肛ｄ （ ＝ （ ｙ＋ ｙ＋ ｙ ＝ ｙ ： １ ｙ ÷＿ ｄ 』 ｄ ＿ ｄ 『 － ｆ － － ）
÷ … ｓｃ
其 中， 然有 显 ｘｙ—ｙ ＝ ０ ｄ ｄ ｄ ， ｙ—ｙ ＝０ ｄ 。
（ｏ） ＋： ａ３ ０。 ｃｔ ｓ＋
丢 ｓ ｓ 素 ｃ 。 ： 丌 。 ｉ 。 。 砉。 ｎ 础： ２ 一ｓ ４ ｚ 由匀 平 图 于 线，对 ， 的心ｘ）互吉 ｄ＝ ÷ 曲 同 ， 林 式 于 质 面 形 关 直 ） 称故 质 （ 有 ： 盯 ＝ 。理由 公 得 ＝ ， 格
版 社 ，０ １２ ９—３ １ ２ ０ ：９ ０．
［ ］ 辛格． 明威 传 ［ ． 国珍， 浙 江文 艺 出版 社， ９ 海 Ｍ］ 周 译．
１８ ４ ． ９ ３：３
［ ］ Ｊｈ ．Ｈ ｇｐａ．Ｓｍ ｅ ｙｉ“ ａ ｉ ｔｅＲ ｉ” Ｊ ． ３ ｏｎ Ｖ ａｏｉ ｎ ｙ ｍ ｔ ｎ Ｃｔ ｎ ｈ ａ ［ ］ ｒ ｎ
才 为 “一” （ ） 林 公 式 中 ， 边 Ｌ的方 向为 正方 向 。 。 ２格 左
例 ５ 计算 ［ １一ｃ ） 一（ ， （ 。ｙ ｙ—ｓ ｙ ］ ｉ ） ， ｎ 为 ， ＝ｓ 从 （ ， ） ， ｉ ｎ ０ ０ 到 （ｒｏ 的一段 弧。 １，）
解： 添加线 ， 则 与 构成 封闭曲线 ， 又 一Ｏ ｉ Ｐ：ｅ ．（ ｉ ｙ ＿ ｘ． ： 一 ， 以 ｓ ） ｅ ｉ 所