利用格林公式计算积分
格林公式及其应用
∫
( 3,4 )
( 1, 2 )
(6 xy 2 − y 3 )dx + (6 x 2 y − 3 xy 2 )dy 在整个 xoy 面
内与路径无关, 内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 利用格林公式,计算下列曲线积分: 1、 ∫ ( x 2 − y )dx − ( x + sin 2 y )dy 其中L 是在圆周
二、计算 ∫ ( 2 xy − x 2 )dx + ( x + y 2 )dy 其中L 是由抛物线 所围成的区域的正向边界曲线, y = x 和 y 2 = x 所围成的区域的正向边界曲线, 并 验证格林公式的正确性 . 利用曲线积分, 三、利用曲线积分, 求星形线 x = a cos 3 t , y = a sin 3 t 所 围成的图形的面积 . 四、证明曲线积分
∂P ∂Q 若 ≡ ∂y ∂x
可用积分法求 du = Pdx + Qdy 在D内的原函数 :
u( x , y ) = ∫
x x0
y
( x0 , y )
• B( x , y )
• A( x0 , y0 )
• C ( x , y0 )
o
Pdx + Qdy
y y0
x
B( x , y )
A ( x 0 , y0 )
∂P ∂Q (4) 在D内 , = 题 ∂y ∂x
∫C Pdx + Qdy = 0,闭曲线C ⊂ D 在D内∫ Pdx + Qdy与路径无关 L
证明 (1) (2) 内任意两条由A 设 L , L 为D 内任意两条由 到B 的有向分段光滑曲 1 2 线, 则
∫L Pdx + Qdy − ∫L Pdx + Qdy
格林(Green)公式曲线积分与路径无关的条
格林公式在数学物理方程、电动力学、流体力学等领域有 广泛的应用，是连接数学与物理世界的重要桥梁。
格林公式的历史背景
发展历程
格林公式是微积分学中的重要内 容，它的起源可以追溯到19世纪 上半叶，当时数学家开始研究如 何将线积分转化为面积分的问题。
贡献人物
乔治·格林（George Green）在 1830年代对这一领域做出了重大 贡献，他通过引入所谓的“格林 函数”来研究平面上向量场的性 质。
格林公式在解决曲线积分问题中的优势
简化计算过程
通过格林公式，可以将复杂的曲线积分问题 转化为面积分问题，从而简化计算过程。
提供解决问题的新思路
格林公式为解决曲线积分问题提供了新的思 路和方法，有助于拓展解题思路。
04
曲线积分与路径无关的应用实例
物理学中的磁场问题
磁场线闭合
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么磁场线必然是闭合的。这意味着磁场没有源点或漏点，即不存在磁单 极。
磁通量不变
在磁场中，如果曲线积分的路径无关，那么通过某一区域的磁通量将保持不变。这意味着磁场不会因为路径的改 变而发生改变。
电学中的电场问题
电势差恒定
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电势差将保持恒定。这意味着电场不会因为路径的改变而 发生改变。
电场线闭合
在电场中，如果曲线积分的路径无关，那么电场线必然是闭合的。这意味着电场没有源点或漏点，即 不存在电荷聚集点。
通过格林公式，可以判断一个曲线积分是否 与路径无关，为解决相关问题提供依据。
格林公式与曲线积分的关系证明
利用向量场的散度性质
通过向量场的散度性质，可以推导出格林公 式，从而证明其与曲线积分的关系。
格林公式及其应用
u ( x, y)
P(x, y)dx Q(x, y)dy y
( x0 , y0 )
x
y
x0 P(x, y0 )dx
Q(x, y)dy
y0
或
u (x, y)
y
y0 Q(x0 , y)dy
x
P(x, y)dx
x0
y0
x0
x
©
格林公式及其应用
例 计算 ( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy.其中L为
y)dy
©
例4续
1 0
1 1＋y
y
2
dy
1 1 x 1 1＋x 2
dx
0 1 y 11＋y2 dy
2
01 1 1＋y 2
dy
1 xdx 1 1＋x 2
11 11＋x2 dx
4
01 11＋y 2
dy
0
4(arc tan y)
0 －1
P Q y x
©
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线,所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)dxd
y
0
证毕
©
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
所以
P ( x2 y2 ) 2 y( x－y)
曲线积分格林公式
曲线积分格林公式
曲线积分格林公式是一种计算曲线积分的公式，其中，曲线积分是指对某个函数在某一区间内的积分。
格林公式的具体形式如下：
∫f(x)dx = F(b) - F(a)
其中，∫f(x)dx表示某个函数f(x)在区间[a,b]内的积分，F(x)表示函数f(x)的反函数。
格林公式可以帮助我们快速计算某个函数在某一区间内的积分，因此在数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
下面是一个使用曲线积分格林公式计算函数积分的例子：
假设有一个函数f(x) = x^2 + 1，我们要计算这个函数在区间[1,3]内的积分。
我们可以找到函数f(x)的反函数F(x) = √(x-1)。
根据格林公式，我们可以得到：
∫f(x)dx = F(3) - F(1) = √(3-1) -√(1-1) = √2 - 0 = √2。
因此，函数f(x)在区间[1,3]内的积分为√2。
这就是使用曲线积分格林公式计算函数积分的一个例子。
高等数学曲面积分与曲线积分之格林公式
4 1 cos 4 a 2 2 a 4 sin 2 2d 2 2 a 4 d 0 0 2 2
高 等 解法二: 利用圆的参数方程转化为定积分计算 数 学 x a cos ,dx a sin d 电 y a sin ,dy a cosd 2 2 y xdy x ydx 子 L 案
其中C是一条不经过原点的分段
光滑的不自相交的简单闭曲线，方向取逆时针方向.
解:
y x P 2 ,Q 2 2 x y x y2
y
C
2 2 Q y x P x 2 y 2 0时，有 2 x ( x y 2 ) 2 y
D
x
下面分两种情况计算.
ydx xdy Q P ( )dxdy (1)当(0,0) D时, 则C 2 2 D x x y y
顺时针
y 2 xdy x 2 ydx
逆时针
y 2 xdy x 2 ydx
Q p ( )dxdy ( x 2 y 2 )dxdy D x D y
2
0
d 2 d
0
a
a 4
2
高 等 数 学 电 子 案
ydx xdy , 例5 计算 C 2 2 x y
高 等 数 学 电 子 案
例1 求椭圆 x a cos , y b sin 的面积S.
解： S
1 xdy ydx 2 C
1 1 2 S (a cos b cos b sin a sin )d abd ab 2 C 2 0
高 等 数 学 电 子 案
二
平面上曲线积分与路径无关的条件
格林公式积分与路径无关的条件
例1 计算
L
(3 x y )dy ( x y )dx , 其中
2 2
L为圆周( x 1) ( y 4) 9, 逆时针方向
解一 L的参数方程为
x 1 3 cost , y 4 3 sint , 0 t 2
( 3 x y)dy ( x y)dx ( 21cost 27cos t 18cost sint
0
2
I
L
( x y )dx ( x y )dy x2 y2
③包围原点的任意正向闭曲线
③
在所为区域D内作小圆 l : x 2 y 2 r 2 , 取逆时针方向, 记 l 所围的区域为 D1 , 对区域 D \ D1 应用格林公式 , 得
L
Pdx Qdy Pdx Qdy
I
r
l
D \ D1
(
Q P )dxdy =0 x y
Pdx Qdy
y
L
l 1 2
( x y )dx ( x y )dy
l
[ ( y x ) ( x y )]dxdy r D1 x y
1 2
o
D1
l
r
x
2 2 r
dxdy 2
( x x , y ) ( x, y )
Pd x Qd y
Pd x
P( x x, y )x xu u lim P ( x x, y ) P( x , y ) lim x x 0 x x 0 u 同理可证 Q( x , y ), 因此有 d u P d x Q d y y
格林公式及其应用
o
Dn x
n
Pd界)
L Pdx Qdy
证毕
格林公式
D
Q x
P y
dxd
y
L
P
dx
Q
d
y
推论: 正向闭曲线 L 所围区域 D 的面积
A
1 2
L
xd y
y
dx
例如, 椭圆
L
:
x
y
a cos b sin
,
0 2
所围面积
1 2 (abcos2 absin2 ) d ab 20
例1. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明
2xy dx x2 dy 0 L
证: 令 P 2xy, Q x2, 则
利用格林公式 , 得
针方向, 记 L 和 lˉ 所围的区域为 D1 , 对区域 D1 应用格
林公式 , 得
y
xdy ydx l x2 y2
xdy ydx Ll x2 y2
0d xdy 0
D1
lL
o
x
D1
2
0
r2
cos2 r 2
r2
sin2
d
2
二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件
即 d u(x, y) P dx Q dy (4) 在 D 内每一点都有 P Q .
y x
证明 (1)
(2)
设 L1, L2 为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲
数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。
格林公式积分方向
格林公式积分方向
格林公式是对一个闭合曲面S（也可以是一个曲线）上的散度和旋度进行积分，公式分别为：
∬S ∇·F dS = ∫L F · dr
其中，∇·F是F的散度（divergence），F是一个向量场，dS 是曲面元素面积，L是曲线路径，F · dr是向量场F在曲线路径上的微分。
在格林公式中，曲面和曲线都有一个方向，这个方向一般是由右手法则确定的。
对于曲面S来说，曲面元素面积dS的方向垂直于曲面且向外指，根据右手法则，曲线L的方向应该是沿着曲面的边界，也就是沿着曲面S的边缘的方向。
所以，在使用格林公式时，需要注意曲面和曲线的方向。
如果方向选取不当，会导致计算结果的正负错误。
一般来说，在确定曲面和曲线的方向时，可以根据实际问题的几何特点和物理规律进行选择，以保证计算结果的正确性。
二重积分的格林公式和斯托克斯定理
二重积分的格林公式和斯托克斯定理在向量微积分中，格林公式和斯托克斯定理是两个非常重要的定理。
它们可以帮助我们更好地处理向量场和曲面。
在这篇文章中，我们将讨论二重积分的格林公式和斯托克斯定理。
1. 二重积分的格林公式格林公式是一个非常基础的定理，它描述了一个边界内函数的积分与边界上的一些特定性质之间的关系。
在二维平面上，格林公式是这样表述的：$$\oint_{\partial D}P(x,y)dx+Q(x,y)dy=\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$其中，$D$代表一个二维区域，$\partial D$代表该区域的边界，$P(x,y)$和$Q(x,y)$是$D$内的连续偏导数函数。
该公式的意义在于，对于一个有连续偏导数的函数$P$和$Q$，如果我们知道它们在某个区域$D$内的值，那么我们可以通过计算该区域的边界$\partial D$上的积分来得到它们的一些属性，比如说它们的旋转量或者它们逐渐变化的速率等。
这里有一些关于格林公式的示例：- 如果$P$和$Q$分别代表了相同的向量场中的$x$分量和$y$分量，那么格林公式表示该向量场在区域$D$内的旋转量等于该场在边界$\partial D$上的通量。
- 对于一个平面区域$D$内的单连通区域，其边界$\partial D$可以被看做是一段曲线。
如果$P$和$Q$在该区域内有连续偏导数，那么格林公式的左侧就等于这段曲线的线积分，而右侧表示该区域内的闭合曲面的曲率。
2. 斯托克斯定理斯托克斯定理是格林公式的推广，它允许我们在三维空间中处理类似的问题，在该空间中，定理的表述如下：$$\oint_S\vec F\cdot\vec ds=\iint_{\partial S}(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n\ dS$$其中，$\vec F$代表一个连续可微的三维向量场，在$S$上取正方向的外法向量为$\vec n$，$\partial S$代表该曲面的边界，$\nabla\times\vec F$代表向量场$\vec F$的旋度。
格林公式及其应用
平面单连通区域的概念：
设D为平面区域，如果D内任一闭曲线所围的部分都
属D则称D为平面单连通区域，否则称为复连通区域 。通
俗的说，平面单连通区域就是不含“洞”（包括点“洞”） 的
区域，复连通区域是含有“洞”（包含“洞”的区域）。
例如，平面上的圆形区域{（x,y） |1< x2 y2 <4 } 或
2 xy Q d (x ,x y )d y 2 xy Q d (x ,x y )dy
(0 ,
解： 由题意知曲线积分与路径无关，因而有 Q (2xy)
x y
-
即 Q 2x. 于是 Q(x,y)x2(y)其中 ( y)
x
为任意可导函数。 如图所示，取点 A (t,0) , B (t,1) , C (1,0) , D (1,t) . 对所给等式
-
定理1：设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成， 函数P(x,y)及Q(x,y)在上具有一阶连续偏导数，则有
DQ xP ydxdyPdxQdy (1)
其中L是D的取正向的边界曲线。 公式（1）叫做格林公式。
注意哦
对于复连通区域D,格林公式（1）右端应包括沿区 域D的全部边界的曲线积分，且边界的方向对区域D来 说都是正向。
(3) 若函数 P (x,y), Q(x,y) 满足定理2条件
(x,y)
u(x,y)
PdxQd满y 足
x y ( , ) 00
-
duPdxQdy
例 4 设函数 Q(x,y) 在xoy面上具有一阶连续偏导数，曲线积分
L2xydQ y(x,y)dy
与路径无关，且对任意实数 t ，恒有
(t,1 )
(1 ,t)
{（x,y）| 0< x2 y2 <2}都是复连通区域。
格林公式及其应用(整理).ppt
用二重积分计算： P(x, y) 2xy x2 ,Q(x, y) x y2 , 故
D
(
Q x
P y
)dxdy
D
(1
2
x)dxdy
y 1
x
1
2x
dx
0
x2 (1 2 y)dy
[y
0
] dx x2
0.0
29
x x x 1
(
1
2x
2
4)dx
0
2111 1 3 2 3 5 30
所以格林公式：
2
)dy]
L1 L2
0.0
28
x x x y y y y 1
[(2
3
2) (x
4)2x]dx
0
[(2
3
4
)2y (
2
2
)]dy
0
1
x x x y y y 1
(2
52
3
2)dx
0
(2
5
4
4
2
2
)dy
0
1
(1 1 1) ( 1 4 2) 1 3 2 3 3 3 3 30
D
(
Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
正确。
2. 利用曲线积分，求下面曲线所围成的图形面积： 圆 ：
x2 y2 2ax
解：
y a 圆 ： (x a)2
2
2
的参数方程为：
x a a cos, y a sin,0 2 ,
0.0
30
A
1 2
L
xdy
ydx
1
2
高数格林公式
2
通过格林公式，可以将二重积分转化为曲线积分 来计算，这在某些情况下可以大大简化计算过程。
3
此外，格林公式还揭示了平面区域内向量场与标 量场之间的关系，为多元函数微积分中的场论问 题提供了有力工具。
与场论初步知识联系
01
场论是研究向量场和标量场的数学分支，而格林公式正是场论 中的一个基本定理。
02
04
培养抽象思维能力和逻辑推理能力，为进一步学习高等数学打下坚实 的基础。
02 格林公式基本概念
曲线积分与路径无关条件
曲线积分与路径无关的定义
若在所有以A、B为端点的光滑曲线族上，曲线积分∫L P(x,y)dx+Q(x,y)dy 的值都是相同的，则称此曲线积分与 路径无关。
曲线积分与路径无关的条件
径为平面区域D的边界曲线。
格林公式的证明需要运用到微积分基本定理和斯托克 斯定理等相关知识。
学习目标与要求
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
01
掌握格林公式的基本形式和证明方法，理解其几何意义和物理应用。
02
能够熟练运用格林公式解决平面区域上的二重积分和曲线积分问题。
03
了解格林公式在电磁学、流体力学、热力学等领域的应用实例，提高 解决实际问题的能力。
高数格林公式
目 录
• 引言 • 格林公式基本概念 • 格林公式证明方法 • 格林公式应用举例 • 格林公式与相关知识点联系 • 拓展与延伸
01 引言
背景与意义
格林公式是高等数学中的一个 重要概念，它揭示了平面区域 上二元函数与其偏导数之间的
关系。
在实际应用中，格林公式被 广泛应用于电磁学、流体力 学、热力学等领域，是解决 复杂物理问题的有力工具。
格林公式曲线积分
x 型又是 y 型区域的并集, 例如由
前页 后页 返回
y x3 sin 1 , x (0,1]; y 1; x 0; x 1 x
所围成的区域便是如此. 注2 为便于记忆, 格林公式 (1) 也可写成下述形式:
x
y d Pdx Qdy . L
DP Q
注3 应用格林公式可以简化某些曲线积分的计算.
x 0.52 y2
.
A( 0, 1) B(1, 1)
图 21-21
易知除去点 E(0.5, 0) 外, 处处满足
Q x
P y
( x
0.5)2 y2 2 y( x [ ( x 0.5)2 y2 ]2
0.5)
.
设 L1 为由点 A(0, 1) 到点 B(1, 1), 再到点 C(1,1), 最
前页 后页 返回
后到点 D(0,1) 的折线段. 因为 L 与 L1 可被包含在某
一不含奇点 E 的单连通区域内, 所以有
x 0.5 ydx x 0.5 ydy
L
x 0.52 y2
P( x, y)dx Q( x, y)dy L1
P( x, y)dx Q( x, y)dy AB BC CD
L
一条或几条光滑曲线所
组成.边界曲线的正方向
D
规定为:当人沿边界行走
时,区域 D 总在它的左边,
图 21 12
如图 21-12 所示. 与上述规定的方向相反的方向称
为负方向,记为 L .
前页 后页 返回
定理21.11 若函数 P( x , y), Q( x , y) 在闭区域 D上
有连续的一阶偏导数, 则有
y),
以及 P, Q 具有一阶连续偏导数, 便可知道在 D 内每
格林公式
§3 格林公式1．应用格林公式计算下列曲线积分；（1）dy y x dx y x L)()(222+−+∫，其中L 是以)5,2(),2,3(),1,1(C B A 为顶点的三角形，方向取正向；（2）∫−+−ABx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由)0,(a 到)0,0(经过圆ax y x =+22上半部的路线.解：(1) AB 的方程为)31)(1(21≤≤+=x x y , BC 的方程为)32(113≤≤+−=x x y ， CA 的方程为)21(34≤≤−=x x y ，设)(,)(222y x Q y x P +−=+=，则.24)(22y x y x x yPx Q −−=+−−=∂∂−∂∂ 把三角形域分成两部分1S 和2S ,于是 原式=∫∫∫∫∫∫−−+=−−SS S d y x d y x 12)24)(()24(σσ=∫∫∫∫+−+−+−−+−−32113)1(212134)1(21)24()24(x x x x dy y x dx dy y x dx=.3246)4483249421()2352774119(232221−=−++−+−∫∫dx x x dx x x(2)在Ox 轴上连接点)0,0(O 与点)0,(a A 这样就构成封闭的半圆形A AO,且在线段OA上,0,0==dy y 于是.0)cos ()sin (=−+−∫dy m y e dx my y e OAx x而∫∫∫∫=+=OA AAO OA AO.由格林公式得:8)2(21)cos ()sin (22:22a m a m mdxdy dy m y e dx my y e axy x D xA AO xππ=⋅==−+−∫∫∫≤+因此,原式=28a m π. 2．应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:(1) 星形线:;sin ,cos 33t a y t a x == (2) 双纽线:).()(222222y x a y x −=+ 解：(1)∫∫∫−==LS D ydx xdy d S D21σ=dt t t a t a t t a t a )sin cos 3sin cos sin 3cos (21220323⋅+⋅∫π =tdt a ∫π20222sin 83=dt t a ∫−π20224cos 183=ππ83|)4sin 8121(832202a t t a =−. (2) 化双纽线的极坐标方程为参数方程,2cos cos cos )(θθθθa r x == ,2cos sin θθa y =应用面积公式并利用图形的对称性可得.2cos 2142402a d a ydx xdy S L==−⋅=∫∫θθπ3．证明:若L 为平面上封闭曲线,l 为任意方向向量,则∫=Lds n l ,0),cos(其中n 为曲线L的外法线方向.证：设l 与n 的方向余弦分别为βαcos ,cos 与),,cos(),,cos(y n x n 则∫∫+=ds y n x n ds n l L L)],cos(cos ),cos([cos ),cos(βα∫+=.)],cos(cos ),cos([cos ds x t y t L βα其中t 为L 上点的切线方向。
高等数学 曲线积分和曲面积分 (10.3.2)--格林公式及其应用
0,
其中 C
为平面区域
x
内的
任一封闭曲线.
6. 设函数 Q(x, y) 在 xOy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分 2xydx Q(x, y)dy 与 C 路径无关，并且对任意 t 恒有
(2xydx Q(x, y)dy 2xydx Q(x, y)dy ,
(0, 0)
(0, 0)
求 Q(x, y) .
7. 确定常数 p , 使得在任何不含 y 的点的区域上, 曲线积分
C
x y2
(x2
y2)p
ydx
xdy
与路径无关，并求当 C 从点 (1, 1) 到点 (0, 2) 时的积分值.
8. 求下列微分方程的通解：
(1) [ y ln(1 x)]dx (x 1 ey )dy 0 ；
C
a b
(3)
C
(x2
y
2 y)dx
x3 3
x
dy
，其中 C
是直线
x
1,
y
x,
y
2x
所围三角形区
域的正向边界.
(4) (ex sin y my)dx (ex cos y m)dy ，其中 C 为由点 A(a,) 到点 O(,) 的上 C 半圆周 x y ax ；
t
2π
)与
x
轴.
2. 利用 Green 公式, 计算下列第二类曲线积分：
(1) (2x sin y 4y)dx (x2 cos y x)dy ，其中 C 为圆周 x2 y2 3 , 并取逆时针 C 方向；
格林公式及其应用
∫L Pdx + Qdy = ∫L Pdx + Qdy
1 2
与路径无关, 则称曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关,
L
y
否则与路径有关. 否则与路径有关.
o
机动
L1
⋅B
L2
G
⋅ A
x
目录
上页
下页
返回
【定理2】 设D 是单连通域 , 函数 定理 】 具有一阶连续偏导数, 则以下四个条件等价: 具有一阶连续偏导数 则以下四个条件等价
第三节 格林公式及其应用
一、格林公式 二、格林公式简单应用 三、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 四、小结
机动 目录 上页 下页 返回
引言
莱公式： 牛——莱公式：∫a F ′( x )dx = F (b ) − F (a ) 莱公式 特点： 特点： F ′( x )在区间[a , b ]上的定积分可通过它的 原函数
+ ∫ ( x 2 + 3 y) d x + ( y 2 − x) d y
OA
= 4 ∫∫ d xd y + ∫ x 2 dx
0
D
4
y
L D
64 = 8π + 3
o
Ax
机动
目录
上页
下页
返回
2. 简化二重积分 【例4】 计算 】
− y2
其中D 其中 是以 O(0,0) , A(1,1) ,
有多种取法, 有多种取法, 则选最简单的
【例8】验证 】
是某个函数的全微分, 是某个函数的全微分 并求
出这个函数. 出这个函数 ［利用曲线积分与路径无关］ 【解Ⅰ】 利用曲线积分与路径无关］ ∂P ∂Q 2 2 = 2x y = 设 P = x y , Q = x y, 则 ∂y ∂x 由定理2 可知, 由定理 可知 存在函数 u (x , y) 使
第二型曲线积分格林公式
i 1
i 1
取极限：令 d m1ianx{si } ，则力场 F 所作的功为
n
W
lim d 0
i 1
F (i ,i , i ) [siTi (i ,i , i )]
n
lim
d 0
i 1
F (i
,i
,
i
) Ti
( i
,i
,
i
)si
。
2、第二型曲线积分的定义
设 C 是向量场 A( x, y, z) 所在空间中一条以 A 为起点，B 为
终点的有向光滑曲线弧。用分点 A Ao , A1, A2 , An-1, An B ，
⌒
⌒
把 C 任意分成 n 个有向小弧段 Ai-1 Ai (i 1,2,, n), Ai-1 Ai
⌒
的长度记为 si，令d m1ianx{si } ， Mi (i ,i , i ) Ai-1 Ai ，
n
作和式 A(i ,i , i ) Ti (i ,i , i )si ，其中Ti T(i ,i , i )
C
C1
C2
其C 中 C1C2,C1与 C2首 尾（对相 积分弧段接 的可加性. ）
（3） A ds - A ds 。
C-
C
（方向性）
其中C-是与C反方向的有向曲线弧。
4、第二型曲线积分的计算
定理 1.1 设有向光滑曲线弧 C 的参数方程为 x x(t) , y y(t) ，
z z(t) ，曲线 C 的起点 A 对应 t ，终点 B 对应 t ，当 t 单调地由 变到 时，动点 M( x, y, z) 描出由点 A 到点 B 的
第二型曲线积分格林公式
一、第二型曲线积分
应用格林公式计算下列曲线积分;
1． 应用格林公式计算下列曲线积分； （1）dy y x dx y x L)()(222+-+⎰，其中L 是以)5,2(),2,3(),1,1(C B A 为顶点的三角形，方向取正向； （2）⎰-+-ABx x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由)0,(a 到)0,0(经过圆ax y x =+22上半部的路线.分析：（1）首先应画出曲线L 的图形，并求出AB ，BC ，CA 的方程；（2）应用格林公式时，首先应是封闭曲线，因此（2）题应补上直线段OA 解：（1） AB 的方程为:)31)(1(21≤≤+=x x y , BC 的方程为: )32(113≤≤+-=x x y CA 的方程为: )21(34≤≤-=x x y , 设)(,)(222y x Q y x P +-=+=,则.24)(22y x y x x yPx Q --=+--=∂∂-∂∂ 把三角形域分成两部分1S 和2S ,于是 原式=⎰⎰⎰⎰⎰⎰--+=--SS S d y x d y x 12)24)(()24(σσ=⎰⎰⎰⎰+-+-+--+--32113)1(212134)1(21)24()24(x x x x dy y x dx dy y x dx=.3246)4483249421()2352774119(232221-=-++-+-⎰⎰dx x x dx x x (2)在Ox 轴上连接点)0,0(O 与点)0,(a A 这样就构成封闭的半圆形A AO,且在线段OA上,0,0==dy y 于是.0)cos ()sin (=-+-⎰dy m y e dx my y e OAx x而⎰⎰⎰⎰=+=OA AAO OA AO .由格林公式得:8)2(21)cos ()sin (22:22a m a m mdxdy dy m y e dx my y e axy x D xA AO xππ=⋅==-+-⎰⎰⎰≤+因此,原式=28a m π. 2． 应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:(1) 星形线:;sin ,cos 33t a y t a x == (2) 双纽线:).()(222222y x a y x -=+分析：封闭曲线L ： (),()x x t y y t ==所围的面积公式是：⎰⎰⎰-==LS D ydx xdy d S D21σ 解： (1)⎰⎰⎰-==L S D ydx xdy d S D21σ =dt t t a t a t t a t a )sin cos 3sin cos sin 3cos (21220323⋅+⋅⎰π=dt t t t t a )cos sin sin (cos 232204242⎰+π=tdt t a 22022cos sin 23⎰π=tdt a ⎰π20222sin 83 =dt ta ⎰-π20224cos 183 =ππ83|)4sin 8121(832202a t t a =-. （2） 化双纽线的极坐标方程为参数方程,2cos cos cos )(θθθθa r x == ,2cos sin θθa y =应用面积公式并利用图形的对称性可得.2cos 2142402a d a ydx xdy S L==-⋅=⎰⎰θθπ3． 证明:若L 为平面上封闭曲线,l 为任意方向向量,则⎰=Lds n l ,0),cos(其中n 为曲线L 的外法线方向.分析：设l 与n 的方向余弦分别为βαcos ,cos 与),,cos(),,cos(y n x n 则cos(,)cos cos(,)cos cos(,)l n n x n y αβ=+，又cos(,),cos(,)n y ds dx n x ds dy =-=证： 设l 与n 的方向余弦分别为βαcos ,cos 与),,cos(),,cos(y n x n 则⎰⎰+=ds y n x n ds n l L L)],cos(cos ),cos([cos ),cos(βα由第一、二型曲线积分的关系，有上式=cos cos Ldx dy βα-+⎰由βαcos ,cos 均为常数，故0cos cos =∂∂=∂∂xy αβ 从而由格林公式知⎰=.0),cos(ds n l L4． 求积分值⎰+=,)],cos(),cos([ds y n y x n x I 其中L 为包围有界区域的封闭曲线，n 为L的外法线方向。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
［ ］ 辛格． 明威 传 ［ ． 国珍， 浙 江文 艺 出版 社， ９ 海 Ｍ］ 周 译．
１８ ４ ． ９ ３：３
［ ］ Ｊｈ ．Ｈ ｇｐａ．Ｓｍ ｅ ｙｉ“ ａ ｉ ｔｅＲ ｉ” Ｊ ． ３ ｏｎ Ｖ ａｏｉ ｎ ｙ ｍ ｔ ｎ Ｃｔ ｎ ｈ ａ ［ ］ ｒ ｎ
二、 构造封 闭曲线再计算
如果空间有向曲线 Ｌ不是封闭的 ， 么需 添加辅助的有 向曲线 ， ， Ｌ与 构成 定向的封闭曲线 ， 那 Ｊ使 。 再运用格林公 式进
行计 算
注： 添补的辅助 曲线 Ｌ 的方 向应选为与 Ｌ的方 向相一 致。方向或者都是正方 向， ｎ 或者都是负方向 。
例２计 （ ｓｙ ８） ＋ ｅ。，７） ， ，算ｆｅｉ ＋ｙ （ ｃ， ｄ 其中Ｌ 从００ ） （，的 半圆 Ｘｎ ｓ一 ｙ 是 （，到Ａ６ ） 上 弧。 ０ ０
Ｃ ｌｇ ｎｌｈ １６ （２ ：． ｏ ｅｅＥ ｇｓ ， ９２ １）３ ｌ ｉ
（ 责任 编辑
魏艳君 ）
［ ］ 胡玲玲． ４ 解读《 雨中猫》 中猫的隐喻 ［ ］安徽 文学： Ｊ． 下半
而在 上 ， ｙ＝０ ｄ ，ｙ＝ｏ 则 ： ｏ ＝０ 所 以 ＝ １５ｒ ， ， ３叮
例， ｘ 面 第 象 内 形 为 ａｓ ０ｔ— 直 段 ｛ ，ｌ０≤≤） ＝ ３ 上 一 限 星 线 ： ａｃｔ， ≤ ；线 ＝（Ｙ ，Ｙ。， Ｏ平 记ｙ Ｌｆ ｓｏ’ ｛ ｉ ｔ Ｘ ｎ ＝ Ｊ Ｌ ）：０ ： ＝ ≤≤ ： 厶 ｌ ｖ ‘
ｄ ： 一
Ｌ
ｄ 一 ｄ＋ ｄ＋ｘｙ １ ｙ （ ｙ ｙ ￣） 。 ｄ
＝
÷ ｃ ｎ ÷。ｃ －ｎｄ 而 。 。 。 ｓｔ ： 。 ｓ 础＝ ｉ） ８ ｇｔ
所以， 平面 图形 的质心 ： ５ ＝ ２ ６。
。
三、 封闭 曲线存在的特殊情形
如果所 给的有 向曲线 是封闭的 ， 但是不 满足 格林 公式所要求的函数 Ｐ（ 、 （ 、 ，） Ｑ ，） ａ ｅ
摘要 ： 林公式表达 了平 面上 沿闭曲线对坐标的曲线积分与 区域 Ｄ上二 重积分之 间的关 系。介 绍格林公 式计算 格 积分 的常用方法 ， 深对格 林公式运用的思考与理解 。 加
中分号 闭 向耄标 图类： 洧曲献识 Ａ
０１ ２ ２ ７
．
公式
文 献 标 识码 ： Ａ
文编＿ ７（ ０ 章号 …２ ７ １ ０ ＿ … 邶
ｅ ｒ一２ ， ｏ
融＿
： ｘ ， ＝
ｙ ３
，Ｐ≠＿ ｏ ｏ Ｑ
利用格林公式 把曲线积分化为二重积分 ， 再利用二重积分 的对称性计算 其值 。得
＝ 一
Ⅱ 筹 （ ） Ｊ３ｘｘ ｙｄ 。ｘ。 一 ｆ －）ｙ ３ｙ ｙｄ 。 ＇ ｄ 。ｘ ｄ ３ｄ ｄ 一３ｙ （ ｙ
解： 经分析本题 中 Ｐ ， ： ｉ ＋ ｙＱ ，） ｅ 。 一 都较繁 ， （ ｅ ｎ ８ ，（ ， ＝ ｓ ７ ， ） ｓｙ ， ｃｙ 故构造辅 助线 ： 连接Ａ ， 向从点 Ａ到点 Ｄ 因 ０方 ，
：ｅ ｃ ｓ ￣ ｏ ｙ＋８．
ｖ
：ｅ Ｃ Ｓ ｘ Ｏ ｙ一７
Ｏ ｘ
ｔｎ： ｒ ｃ ｔｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｒｓ ，１ ７ ． ｏ Ｐ ｉ ｅｏ ｉｅ ｓ ｙ Ｐ ｅ ｓ ９ ３ ｎ ｔ
［ ］ 林六辰． 美小说要素解析 ［ ． ７ 英 Ｍ］ 上海： 上海外语教育 出
版 社 ，Ｏ ４：８ ２０ １６—１９ ８．
［ ］ 邵锦娣 ， ８ 白劲鹏． 学导论［ ． 文 Ｍ］上海 ： 上海 外语教 育 出
一
月 ， １ （） １６ ２ ０６ ： ． ０ ０
［ ］ 陶风． ５ 简洁的叙事 ， 含蓄的象征 ： 雨中猫》 谈《 作品 中的深 入浅出［ ］文学评论 ， ００７ ： ． Ｊ． ２ １（ ）３ ９ ［ ］ 贾艳萍． ６ 女人和猫 ： 析海 明威短篇小说《 雨中猫》 的象征
代文豪海 明威对 小说 《 中猫》中猫 的困境 的描写 ， 雨 最终
论文集粹
Ｔｈ ｏ ｉ ＆ Ｃｈ ｎｇ ｉ ｇ ｅ Ｗ ｒｄ ｏ ｑ ｎ Ｖｏ． ８ Ｎｏ． ０１ １２ ７２ １
重 庆与世界 ２１年第２ 卷第７ ０１ ８ 期
利 用格 林公 式 计 算 积分
李 波
（ 西南交通大学 峨眉校区 ， 四川 峨 眉山 ６ ４０ ） １２ ２
解： 经分析 ， 向曲线 Ｌ 有 所围的平 面区域 ｏ： （ ｌ ＋（ 一 ）≤１ ｒ｛ ，） Ｙ １ ）内含 有不 连续 的点 （ ，）但 注意 到把 曲线 ０１，
的方程代入积分 ， 后即 消去 了该不连续 的奇点 ， 再用格林公式得
，ｆ ＝，２ 一ｄ ＝ ＝ ｃ ｄ ＋ｄ 百 ｒ
得
＝
肛ｄ （ ＝ （ ｙ＋ ｙ＋ ｙ ＝ ｙ ： １ ｙ ÷＿ ｄ 』 ｄ ＿ ｄ 『 － ｆ － － ）
÷ … ｓｃ
其 中， 然有 显 ｘｙ—ｙ ＝ ０ ｄ ｄ ｄ ， ｙ—ｙ ＝０ ｄ 。
（ｏ） ＋： ａ３ ０。 ｃｔ ｓ＋
丢 ｓ ｓ 素 ｃ 。 ： 丌 。 ｉ 。 。 砉。 ｎ 础： ２ 一ｓ ４ ｚ 由匀 平 图 于 线，对 ， 的心ｘ）互吉 ｄ＝ ÷ 曲 同 ， 林 式 于 质 面 形 关 直 ） 称故 质 （ 有 ： 盯 ＝ 。理由 公 得 ＝ ， 格
则 ＿『：＋ 一（ ）ｄ＝ ｆ 而 ｆ 一 ｙ ｓ ＋ ＝
盯
作暑 ： （８ ，研方： 方 、 者介 一 ， 万 微刀 积。 薯 波０２男 究向 分程 面分 简 １－ 冗同 曲 刀 李 ９ ５） ８ 假 叫
李
波 ： 用格 林公 式计 算积 分 利
９ ３
一
ｄ
ｄＶ
￡ 卜 Ｌ 一 ＝ ＝ ＝（ ） ｄ
ＯＡ Ｌ ＯＡ Ｄ 。 ／
＋ｃ
一
＝ ｄ ｄ 一 ｉ ～ ｙ ＝÷ ｎ ｙ ２ ｘ
（ ： 注 此封闭 曲线沿逆 时针 方向 ， 运用格林公 式时添加“ ”号 ） ＋
÷ｆ Ｉｃ ）一ｃ： 垒 （ 一ｅｚ ＝ １ 一 ｅ ｓ 『 ｛ ｒ ｏ ｅ
又 草 捅 亏 ：ｕ 卜 ¨儿 ｕ “ … ～ ～
格林公式 ： 闭区域 Ｄ由光滑 （ 设 或分段光滑 ） 的曲线 Ｌ围成 ， 函数 Ｐ ，） Ｑ（ ， 在 口上具有一阶连续偏导数 ， （ ｙ 及 ，） ， 则有
公式
） ，
（一 馨
其 Ｌ。界向 中是 边 正
一
、
封闭 曲线存在直接计算
＝ ｃｅ ÷一
（ 责任 编辑 魏艳君 ）
而 上 ＝０ ０ 以 ＝ 一 ÷ ｅ。 在 ， ｆ 。 ＋ ＝ ｃ ＝ 所 １ ， 一
（ 上接 第 ８ ８页 ）０世纪 ２ ２ ０年代 的美 国迷惘 的一代 ， 以及 他 们在战争 中破 碎 的价 值理 想 。在 战争 中饱 受创 伤 之苦 的
也表达 了他对 那个 时代 里 的众 多身处 困境 的雨 中猫 的深
切关怀 。
意义［］ 西北农 林科 技 大 学 学报 ： 会科 学版，Ｏ６ Ｊ． 社 ２Ｏ
（ ）１５ ９： ． ０
参 考文献 ：
［ ］ Ｇ ｒ ｄＢ ｅ ｏ ｎ ｌｙＪｎｓ ｅ ｉ ｗ ｙＬｆ ａｄ １ ｅａ ．Ｎ ｌ ｎ ａｄＧｏ ｏｅ ，Ｈ ｍｎ ａ ｉ ｎ ｌ ｓ ｒ ｇ ｅ Ｗｏｋ Ｍ］ ｅ ｏ ： ａｔ ｏ ｉ ｕｌａ ｏｓ １８ ． ｒｓ［ ，Ｎ ｗＹ ｒ Ｆ ｃ ｎＦｌ Ｐ ｂ ｃｔｎ ， ９４ ｋ ｓ ｅ ｉ ｉ ［ ］ Ｃｒ ｓＢ ｅ ｉｇ ａ ｈ ｉ ｒａ Ａ ｔｔ Ｍ］ ｒ ｃ— ２ ａ ｏ ．Ｈ ｍｎｗｙＴ ｅＷｒｅ ｓ ｒｓ ［ ．Ｐｉ ｅ ｌ ｔ ｉ ｎ
才 为 “一” （ ） 林 公 式 中 ， 边 Ｌ的方 向为 正方 向 。 。 ２格 左
例 ５ 计算 ［ １一ｃ ） 一（ ， （ 。ｙ ｙ—ｓ ｙ ］ ｉ ） ， ｎ 为 ， ＝ｓ 从 （ ， ） ， ｉ ｎ ０ ０ 到 （ｒｏ 的一段 弧。 １，）
解： 添加线 ， 则 与 构成 封闭曲线 ， 又 一Ｏ ｉ Ｐ：ｅ ．（ ｉ ｙ ＿ ｘ． ： 一 ， 以 ｓ ） ｅ ｉ 所
或子 区域 包含在 ｌ 所围 的区域 内， 曲线 ｌ Ｌ的方 向一致 ， 且 与 于是在 三上 的曲线积分等 于在 ｌ 的曲线积分 ， 上 即有
（ ｙｄ ，） ＋Ｑ（ ｙ ｄ ＝ （ ｙ ｄ ，）ｙ ，）ｘ＋Ｑ（ ）ｙ ｄ
９ ４
重
庆
与
世
界
四、 用格 林公 式时有关 曲线方 向的问题 运
如果平 面有 向曲线 Ｌ是封闭的 ， 么 ， 那 直接运 用格林公 式计 舁。
例ｌ 算 线 分 （３ｅ （３ 一ｙｙ其 ￡ 圆 ＋ Ⅱ 顺 针 向 ， 曲 积 虫ｙ＋） ＋ ２ｄ 中 是 周 ＝ 时 方 。 计 ｘ ｒ ＋ ｙ ）， 的
解： 经分析易知该 曲线积分 中有
： ， ， ｙ）：
如果封闭平 面曲线 ￡的方程代 入某 曲线 积分后 。仍然 在 Ｌ所 围的 区域 上存 在某些 点或子 区域 Ｐ（ ） 、 ，） ，） Ｑ（ ） 、 ， ， 不连续 ， 而在 的其他地 方都连续 ， 且 ＝ ， 则构造一条 有规则 的封闭 曲线 ｆｃ ， ０ 使其偏 导数不 连续 的那 些点
运 片 格 林 公 式 计 算 曲线 积分 时 ， ｊ 曲线 的有 向性 是 至 关 重 要 的 ， 往 往 封 闭 曲 线 方 向 的 判 断 正 误 与 否 也 决 定 解 题 过 而
程是否正确 。 注 ： １ 封闭的有 向曲线取正方 向为“＋”、 （） 取负方 向为“一” 。注意只有 对单连通 区域而 言 ， 时针才 为“＋” 顺 时针 逆 、
， ，
在曲线 Ｌ所 包围的有 界
０ｖ Ｏ Ｘ
平面闭区域 ｏ上 连续 的条 件 ， ｒ 那么 ， 可以先把 曲线 Ｌ的方程代入 该 曲线积 分 ， 后者 曲线积分 已满足 格林公 式条件 ， 若 则用 格林 公式把它化为二重积分计算 。