课件3数学归纳法

由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求 数学证明
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？
第一个正式研究此课题的是意大利科学家莫罗利科
以问题1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, 再推测通项an的公式.
an1
an 1 an
,先计算a2,,a3,a4的值，
1
a2= 2
课 题： 数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 项an 的公式.
an 1 an
,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通
解：
a21 2,a31 3,a41 4,ann 1
（不完全归纳法）
问题2：对小于6的自然数n，不等式7n36(7n9)成立吗 ？
138
n=3
1
<
180
n=4
7
<
222
n=5
49
<
264
n=6
343
＞
348
n=7
2401
＞
348
结论：当n是小于6的自然数，不等式成立 当n是大于等于6的自然数，7 n3 ＞ 6(7n+9)
说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。
（2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。
1
, a3= 3
1
, a4= 4
,
推测
an=
1 n
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础）
再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”（递推关系）
条件
结论
1
证明：（（21））假当设n=当1时n=,左k(=k∈a1=N1)时,右,公= 1式=成1，立所,即以a公k=式k1 成立。
那么：
1
解：
7 n3
大小关系 6(7n+9)
n=1
1
49
<
n=2
1
7Байду номын сангаас
<
n=3
1
<
96
138
（完全归纳法）
180
n=4
7
<
222
n=5
49
<
264
∴对小于6的自然数n,不等式成立.
问题3：对任意自然数n, 不等式 7n36(7n9) 成立吗？
解：
7 n3
大小关系 6(7n+9)
n=1
1
7
n=2
1
49
<
96
<
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老郎中再一次来给老妇人做针灸时，老人家已经能睁开双眼了。虽然语言含含混混的听不清楚她在说些什么，但很显然她的神 志是清楚的。看着围在自己身边的兄妹三人，可怜的老人张开嘴巴不断地对老郎中嘀哩咕噜说话，慈眉善目的老郎中善解人意 地不断点着头，老人的眼泪流下来了。张老郎中欣慰地笑了，对耿正兄妹三人说：“想不到啊，居然恢复得这么快！看来除了 这药丸儿的效果特别好之外，你们周到的照顾和辅助性按摩刺激也发挥了很大的作用呢！下一步的，针灸还是继续做，按摩刺 激可以再增强一些，但药丸儿可以减半了！”送张老郎中回去之后，耿正又买回来两个药丸儿。临走时老先生嘱咐，还是一丸 儿分三次服用，只是间隔时间加倍了。如果老妇人还不能自己喝汤，就在两次灌药的中间，给她灌两次稀的面糊糊！次日清晨， 老妇人终于能自己喝汤喝药了。兄妹三人高兴得直掉眼泪。那日送张老郎中回去时，耿正把老先生借给的那把非常好用的长嘴 灌药壶也带去了。忠诚地谢过老先生之后，耿正又买回来一粒药丸儿。临走时，善良的张老郎中吩咐说：“这一丸儿，一日分 三次服用就行了！”以后，再巩固服用两日“安宫神丸”之后，看到老妇人吃饭说话都已经没有问题了，张老郎中就让她彻底 停了药，并且吩咐耿正：“以后你还是按照老时间接我过来。这药可以不再服用了，但继续做一些针灸还是很需要呢！”80第 六十二回 药贵吓傻两邻居|（药贵吓傻两邻居，言来语去不中听；耿家兄妹诚恳帮，深深感动老郎中。）听张老郎中说，可以 医治梁老妇人的那种药弥足珍贵，一般人吃不起，耿英轻轻地说：“弥足珍贵！什么药啊？”张老郎中再次将目光投向耿英， 轻轻地吐出来四个字：“安宫神丸！”耿英赶快说：“我们以前也听说过这种神药的！它果真能够医治得了像梁奶奶这样的跌 打致昏症？”张老郎中微微点头，不太肯定地说：“因人而异嘞，任何药物也没有十二分的把握啊！不过，试一试还是可以的。 据医药史料记载，用这种神药唤醒类似昏症的例子还是很多的，只是这种药丸儿的价格奇贵！可这老梁头家本来就并不富有， 又是现在这样的情况，只能是，唉，恐怕只能是听天由命了啊！”张老大夫妇和隔壁的年轻男人都面面相觑不再说话。耿英看 在眼里，转头望望哥哥。躺在一旁的老梁头大致听明白了，哭着说：“张郎中啊，多谢你大老远的跑这一躺来！我听明白了， 这老婆子是不想醒过来了啊，那就让她睡着吧，这样就没有痛苦了。我也从此不再吃饭了，我们一起受了一辈子的苦，就一起 走……老大啊，你去把抽屉里那仅留的一点儿银子给张郎中带一些，送他回去吧！”听这可怜的受伤老人如此一番话，白胡飘
证题步骤： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2）时结论正确；
（2）假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1 结论正确；
注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1; 第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时 结论正确;
例1：用数学归纳法证明：如果{an }是一个等差数列，那么 ： an=a1+(n-1)d 对一切n∈N都成立.
资料1：
费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发 明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论 的创始者之一，他对数论也有许多贡献。
但是，费马认为，当n∈N时， 2 2n +1 一定都是质数，这是他 对 n=0,1,2,3,4,作了验证后得到的。
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了
证明： （1）当n=1时，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立 (2) 假设当n=k(k∈N)时等式成立，就是ak=a1+(k-1)d
那么
ak+1= ak+d= a1+(k-1)d+d =a1+[(k+1)-1]d
∴当n=k+1时，等式成立
由(1)(2)知对任何n∈N等式成立
练习：用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的 通项公式是an=a1qn-1
小结：
(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归
纳法和不完全归纳法二种; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必
须作出证明，证明可用数学归纳法进行; (4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推
思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。
ak+1=
1
ak ak
k 1 1
1 k 1
k
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 n
成立.
3.数学归纳法：
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.
胸的张老郎中也忍不住动容了。但他也只能是无奈地
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2 2n +1=4 294 967 297=6 700 417×641 从而否定了费马的推测。
资料2：
f(n)=n2+n+41,当 n∈N时,f(n)是否都为质数？ f(0)=41 , f(1)=43 , f(2)=47 , f(3)=53 , f(4)=61 , f(5)=71 , f(6)=83 f(7)=97 , f(8)=113 , f(9)=131 , f(10)=151 , …… f(39)=1601 但 f(40)=1681=412 是合数。