课件3数学归纳法
合集下载
数学归纳法PPT优秀课件
(2)1 假2 设 当2 n2 = k时3 2 ,等 式成 立,k 就2是k(k 6 1 )(2 k 1 ).
当n=k+1时, 1 2 2 2 3 2 k2 6 (k 1 )2
k(k1)(2k1)(k1)2.故当n=k+1时,等式成立.
k(k1)6(2k1)6(k1)2
综合(1),(2)知等式对于任何 n∈N*都成立.
例4 用数学归纳法证明: x2ny2n能 被 xy整 除 . 证明: 综 合 ( 1 ) ,( 2 ) 得 ,x 2 n y 2 n 能 被 x y 整 除 .
( 1 ) 当 n = 1 时 , 显 然 x 2 y 2 = ( x y ) ( x y ) 能 被 ( x y ) 整 除 .
例7、求证:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n• 1• 3•… •(2n-1)
证明：① n=1时：左边=1+1=2，右边=21•1=2， 左边=右边，∴ 等式成立。
② 假设当n=k (k ∈N ）时有： (k+1)(k+2)…(k +k)=2K• 1• 3•…• (2k-1),
当n=k+1时 左边=(k+2)(k+3)…(k+k)(k+k+1)(k+k+2)
=(k+1)(k+2)(k+3)…(k +k)•[(2K+1) •2] = 2K • 1• 3•…•(2k-1)[(2k+1)•2] = 2K+1 •1• 3•…• (2k-1) •[2(k+1)-1]=右边 ∴当n=k+1时等式也成立。
由 ①、②可知，对一切n ∈N* ,原等式均成立。
数学归纳法课件
用数学归纳法证明几何命题 平面上有 n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，并且 每三个圆都不相交于同一点，求证：这 n 个圆把平面分成了 f(n) ＝n2－n＋2 部分．
【证明】 ①当 n＝1 时，一个圆把平面分成两部分，且 f(1) ＝1－1＋2＝2，因此，n＝1 时命题成立． ②假设 n＝k(k≥1，k∈N＋)时，命题成立，即 k 个圆把平面分 成 f(k)＝k2－k＋2 部分．如果增加一个满足条件的任一个圆， 则这个圆必与前 k 个圆交于 2k 个点．这 2k 个点把这个圆分成 2k 段弧，每段弧把它所在的原有平面分成为两部分．因此，这 时平面被分割的总数在原来的基础上又增加了 2k 部分，即有 f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2， 即当 n＝k＋1 时，f(n)＝n2－n＋2 也成立． 根据①②可知 n 个圆把平面分成了 f(n)＝n2－n＋2 部分．
因为(x＋1)k＋1＋(x＋2)2k－1 和 x2＋3x＋3 都能被 x2＋3x＋3 整除， 所以上面的式子也能被 x2＋3x＋3 整除． 这就是说，当 n＝k＋1 时， (x＋1)(k＋1)＋1＋(x＋2)2(k＋1)－1 也能被 x2＋3x＋3 整除． 根据①②可知，命题对任何 n∈N＋都成立．
利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表 达 n＝n0 时命题的形式，二是要准确把握由 n＝k 到 n＝k＋1 时，命题结构的变化特点，并且一定要记住：在证明 n＝k＋1 成立时，必须使用，1×1 3＋3×1 5＋… ＋（2n－1）1（2n＋1）＝2nn＋1.
2．数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)验证当__n__＝__n_0(_n_0_为__命__题__成__立__的__起__始__自__然__数__)___ 时命题成立； (2)(归纳递推)假设当__n_＝__k_(k_∈__N__＋_，__且__k_≥__n_0_)_时命题成立，推 导__n_＝__k_＋__1____时命题也成立． (3)结论：由(1)(2)可知，命题对一切 n≥n0 的自然数都成立．
数学归纳法课件
3
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
=
1 1 3+k+6k2+6k+3)= [(2k3+2)+6(k2+k)+(k+1)] 3 (2k 3 1 1 2+4k+2+1)= 3 (k+1)(2k 3
= (k+1)[2(k+1)2+1], ∴ 当n=k+1时公式仍成立。 n( 2n 2 1) 由1）、 2）可知，对一切n∈N ，均有 S n 3
数学归纳法
（一）
问题1：今天，据观察第一个到学校的是男同学，第二个到学校
的也是男同学，第三个到学校的还是男同学，于是得出：这所 学校里的学生都是男同学。 问题 2：数列{an}的通项公式为an＝(n2-5n+5)2,计算得 a1＝1,a2＝1, a3 ＝1, 于是猜出数列{an}的通项公式为：an＝1。
2
B、假设n=k(k∈N )时，等式 成立，那么 当 n=k+1时是否成立？能否由此得出对一切n∈N ，等式都成立？
1 1 1 1 n 2 1 2 2 3 3 4 n(n 1) n 1
由以上可知，用数学归纳法需注意：
1、三个步骤却一不可:第一步是是奠基步骤，是命题论证的基础，称之为 归纳基础；第二步是归纳步骤，是推理的依据，是判断命题的正确性能 否由特殊推广到一般，它反映了无限递推关系，其中 “假设n=k时成立” 称为归纳假设(注意是“假设”，而不是确认命题成立)。如果没有第一步， 第二步就没有了意义；如果没有第二步，就成了不完全归纳，结论就没 有可靠性；第三步是总体结论，也不可少。 2、在第二步的证明中必须用到前面的归纳假设，否则就不是数学归纳法了。 3、数学归纳法只适用于和正整数有关的命题。
《数学归纳法》课件
《数学归纳法》课件一、教学内容本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。
本节课主要介绍了数学归纳法的概念、步骤以及应用。
具体内容包括：1. 数学归纳法的定义：给出一个关于自然数的命题，然后证明当n取任意一个自然数时，这个命题都成立。
2. 数学归纳法的步骤：(1) 验证当n=1时，命题是否成立；(2) 假设当n=k时，命题成立；(3) 证明当n=k+1时，命题也成立。
3. 数学归纳法的应用：通过具体例题，让学生学会如何运用数学归纳法证明命题。
二、教学目标1. 让学生理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的步骤。
2. 培养学生运用数学归纳法证明命题的能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
三、教学难点与重点重点：数学归纳法的概念、步骤及应用。
难点：如何运用数学归纳法证明命题。
四、教具与学具准备教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
学具：笔记本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：让学生举例说明生活中遇到的可以运用数学归纳法解决的问题。
2. 讲解数学归纳法的概念和步骤：通过PPT展示数学归纳法的定义和步骤，并进行解释。
3. 例题讲解：选取一道具有代表性的例题，引导学生运用数学归纳法进行证明。
4. 随堂练习：让学生尝试运用数学归纳法证明一些简单的命题。
5. 板书设计：将数学归纳法的步骤和关键点进行板书，以便学生理解和记忆。
6. 作业设计：题目1：用数学归纳法证明：1+3+5++(2n1)=n^2。
答案：略。
题目2：用数学归纳法证明：对于任意自然数n，n^2+n+41是一个质数。
答案：略。
七、课后反思及拓展延伸1. 课后反思：本节课学生对数学归纳法的理解和运用情况，以及教学过程中的不足之处。
2. 拓展延伸：引导学生思考如何将数学归纳法应用于解决更复杂的问题，以及数学归纳法在数学发展史上的应用。
重点和难点解析一、教学内容重点和难点解析：本节课的教学内容选自人教版小学数学五年级下册第五单元《数学归纳法》。
课件3-数学归纳法
an ,先计算a2,,a3,a4的值， 1 an
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础） （递推关系） 再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”
条件 结论
1 证明：（1）当n=1时,左= a1=1,右= 1 =1，所以公式成立。 1 （2）假设当n=k(k∈N)时,公式成立,即 ak= k
课 题： 数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 n ,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通 1 an 项an 的公式. 解：
a2 1 1 1 1 , a3 , a4 , an 2 3 4 n
2 2 +1=4 294 967 297=6 700 417×641
n
从而否定了费马的推测。
资料2：
f(n)=n2+n+41,当 n∈N时,f(n)是否都为质数？ f(0)=41 , f(1)=43 , f(2)=47 , f(3)=53 , f(4)=61 , f(5)=71 , f(6)=83 f(7)=97 , f(8)=113 , f(9)=131 , f(10)=151 , …… f(39)=1601 但 f(40)=1681=412 是合数。
那么： ak+1=
ak 1 1 ak 1
k
1 k
1 k 1
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 成立. n
3.数学归纳法：
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法. 证题步骤：
数学归纳法课件
关系式的正确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明
就不再是数学归纳法.
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n1=2n(2n-3)+3(n∈N ).
+
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成
=
1
1 +1
1- 2
2
1
1-2
=1-
1 +1
,
2
1
1 1
正解(1)当 n=1 时,左边= ,右边=12
2
=
1
,命题成立.
2
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,
1
1
即 + 2
2 2
当
+
1
1
2
2
3 +…+ =1-
1
1
n=k+1 时, + 2
2 2
1
1
1
=1-
2
+
+
1
,
2
1
1
2
2
3 +…+
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼
凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其
中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分
析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明
就不再是数学归纳法.
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n1=2n(2n-3)+3(n∈N ).
+
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成
=
1
1 +1
1- 2
2
1
1-2
=1-
1 +1
,
2
1
1 1
正解(1)当 n=1 时,左边= ,右边=12
2
=
1
,命题成立.
2
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,
1
1
即 + 2
2 2
当
+
1
1
2
2
3 +…+ =1-
1
1
n=k+1 时, + 2
2 2
1
1
1
=1-
2
+
+
1
,
2
1
1
2
2
3 +…+
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼
凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其
中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分
析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,
课件3：2.3.2 数学归纳法应用举例
立，那么可推得当 n＝k＋1 时该命题也成立，现已知 n
＝5 时，该命题不成立，那么可以推得
(C )
A．n＝6 时该命题不成立 B．n＝6 时该命题成立
C．n＝4 时该命题不成立 D．n＝4 时该命题成立
【解析】∵n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得 当 n＝k＋1 时该命题成立．∴若 n＝5 时，该命题 不成立，则 n＝4 时该命题不成立．
2.3.2 数学归纳法应用举例
学习要求 1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学 归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数 学命题． 2．掌握证明 n＝k＋1 成立的常见变形技巧：提公因式、 添项、拆项、合并项、配方等．
试一试
1．某个命题与正整数 n 有关，若 n＝k (k∈N*)时命题成
小结 证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增 项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成 n＝k 时 的情形，再利用归纳假设使问题获证．
跟踪训练 2 证明：x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被 x＋y 整除． 证明：(1)当 n＝1 时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被 x＋y 整除．
(2)假设当 n＝k(k∈N*)时，命题成立，
即 x2k－1＋y2k－1 能被 x＋y 整除． 那么当 n＝k＋1 时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1 ＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2
＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1
＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)． ∵x2k－1＋y2k－1 能被 x＋y 整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被 x＋y 整除， ∴当 n＝k＋1 时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1 能被 x＋y 整除． 由(1)，(2)可知原命题成立．
数学归纳法课件人教新课标
接着看看，如果第一台 推倒，第二台会不会跟 着倒。
如果第二台推倒，第三 台会不会跟着倒。
5
引入：怎样推倒一排并排的单车？
பைடு நூலகம்
第一，如果我们推倒 了第一台单车。
要是能证明 后面的单 车会一台一台接着倒那 不管有几台单车，总会 全被推倒。
即证明 “对于任一正
整数k，如果第k台倒
了，第k+1台也会跟着
倒”，那不管有几台单
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的 所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳
法。 验证n=n0时 若当n=k(kn0 )时命题成立,
命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所
有正整数n都成立。
8
例1 在数列{ }中, ＝1, (n∈ ), （1）计算 , , 的值； （2）猜想 通项的公式； （3）试用数学归纳法证明你的结论．
17
B D
18
B
10、证明：12 22
n2
n(n 1)
13 35
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1) 19
车，总会全被推倒。
6
这种方法思想正是数学归纳法的精髓！
7
二、发掘内涵、形成概念：
证明某些与正整数n有关的命题,可用按下列步骤来
进行:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1，有时可能需
要前几个值)时命题成立；
【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
一定
都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验
证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家
如果第二台推倒，第三 台会不会跟着倒。
5
引入：怎样推倒一排并排的单车？
பைடு நூலகம்
第一，如果我们推倒 了第一台单车。
要是能证明 后面的单 车会一台一台接着倒那 不管有几台单车，总会 全被推倒。
即证明 “对于任一正
整数k，如果第k台倒
了，第k+1台也会跟着
倒”，那不管有几台单
完成这两步，就可以断定这个命题对从n0开始的 所有正整数n都成立。这种证明方法叫做数学归纳
法。 验证n=n0时 若当n=k(kn0 )时命题成立,
命题成立
证明当n=k+1时命题也成立
命题对从n0开始的所
有正整数n都成立。
8
例1 在数列{ }中, ＝1, (n∈ ), （1）计算 , , 的值； （2）猜想 通项的公式； （3）试用数学归纳法证明你的结论．
17
B D
18
B
10、证明：12 22
n2
n(n 1)
13 35
(2n 1)(2n 1) 2(2n 1) 19
车，总会全被推倒。
6
这种方法思想正是数学归纳法的精髓！
7
二、发掘内涵、形成概念：
证明某些与正整数n有关的命题,可用按下列步骤来
进行:
(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1，有时可能需
要前几个值)时命题成立；
【归纳奠基】
(2)假设当n=k(kN* ，kn0 )时命题成立,
证明当n=k+1时命题也成立 【归纳递推】
一定
都是质数，这是他对n＝0，1，2，3，4作了验
证后得到的．后来，18世纪伟大的瑞士科学家
完整版《数学归纳法》课件
完整版《数学归纳法》课件一、教学内容二、教学目标1. 理解数学归纳法的概念，掌握其基本步骤。
2. 能够运用数学归纳法解决简单的数学问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和归纳推理能力。
三、教学难点与重点教学难点：数学归纳法在实际问题中的应用。
教学重点：数学归纳法的概念、证明步骤及注意事项。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2. 学具：练习本、笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：以“楼梯问题”为例，引导学生发现规律，引出数学归纳法的概念。
2. 知识讲解：a. 介绍数学归纳法的概念。
b. 详细讲解数学归纳法的证明步骤。
c. 分析数学归纳法在实际问题中的应用。
3. 例题讲解：讲解数学归纳法在数列求和、不等式证明等方面的应用。
4. 随堂练习：布置23道数学归纳法相关的练习题，让学生独立完成。
5. 课堂小结：回顾本节课所学内容，强调数学归纳法的重点和注意事项。
六、板书设计1. 数学归纳法2. 内容：a. 数学归纳法的概念b. 数学归纳法的证明步骤c. 数学归纳法在实际问题中的应用d. 注意事项七、作业设计1. 作业题目：a. 证明：1+2+3++n = n(n+1)/2b. 证明：对于任意正整数n，有2^n > n。
c. 应用数学归纳法解决实际问题。
2. 答案：八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对数学归纳法的理解和掌握程度，以及课堂互动情况。
2. 拓展延伸：a. 探讨数学归纳法在更广泛领域中的应用。
b. 引导学生了解数学归纳法的局限性。
c. 介绍数学归纳法的其他变体，如强数学归纳法、反向数学归纳法等。
重点和难点解析一、教学难点与重点的关注细节1. 数学归纳法在实际问题中的应用2. 数学归纳法的证明步骤及注意事项3. 实践情景引入的设计与例题讲解的深度二、重点和难点解析1. 数学归纳法在实际问题中的应用a. 选择合适的实际问题作为例子，让学生感受数学归纳法的实用价值。
b. 通过分析问题，引导学生发现数学归纳法的应用场景，从而理解其内涵。
数学归纳法【公开课教学PPT课件】
因为(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即当n=k+1时,命题也成立,综合(1)(2)可 知,(3n+1)·7n-1(n∈N+)能被9整除.
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
反思感悟 用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中 拼凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除. 其中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法 分析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
点拨 数学归纳法一般被用来证明某些涉及正整数n的命题,n可 取无限多个值,但不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用 数学归纳法证明。一般来说,从n=k到n=k+1时,如果问题中存在可 利用的递推关系,则可以用数学归纳法,否则使用数学归纳法就有 困难.
在运用数学归纳法时,要注意起点n0并非一定取1,也可能取0,2等
(2)数学归纳法:
数学归纳法可以用于证明与正整数 n 有关的命题.证明需要经
过三个步骤:
①验证当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时命题成立. ②假设当n=k时(k∈N+,k≥n0)命题成立,
证明当n=k+1 时命题也成立.在完成了上述两个步骤之后,
就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数都成立.
正解当 n=1 时,a1=3,当 n≥2
时,an=Sn-Sn-1=6-2an+1-(6-2an)=2an-2an+1,即 an+1=12an.
∵a1=3,
∴a2=12a1=32,a3=34,a4=38.
3,������ = 1,
猜想
an=
3 2������-1
数学归纳法课件
直线l1与这k条直线恰有k个交点，则直线l1被这k个交点分成k＋1条射线或线 段．k条直线l2，l3，…，lk－1中的每一条都与l1恰有一个交点，因此每条直线又 被这一个交点多分割出一条射线或线段，共有k条．
故f(k＋1)＝f(k)＋k＋1＋k＝k2＋2k＋1＝(k＋1)2， ∴当n＝k＋1时，结论正确． 由(1)(2)可知，上述结论对一切n≥2且n∈N＋均成立．
＝－k(2k＋1)－(4k＋3) ＝－(2k2＋5k＋3) ＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]， 所以n＝k＋1时等式也成立， 根据(1)和(2)可知，等式对任何n∈N＋都成立．
用数学归纳法证明整除问题
用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)． 【精彩点拨】 先验证n＝1时命题成立，然后再利用归纳假设证明，关键 是找清f(k＋1)与f(k)的关系并设法配凑．
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝12－22＝－3， 右边＝－1×(2×1＋1)＝－3，等式成立． (2)假设当n＝k(k≥1)时，等式成立，就是 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)． 当n＝k＋1时， 12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2 ＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－[2(k＋1)]2
用数学归纳法证明：1＋a＋a2＋…＋an＋1＝
1－an＋2 1－a
(a≠1，n∈N
＋)，在验证n＝1成立时，左边计算的结果是( )
A．1
B．1＋a
C．1＋a＋a2
D．1＋a＋a2＋a3
【精彩点拨】 注意左端特征，共有n＋2项，首项为1，最后一项为an＋1.
【自主解答】 实际是由1(即a0)起，每项指数增加1，到最后一项为an＋1， 所以n＝1时，左边的最后一项应为a2，因此左边计算的结果应为1＋a＋a2.
数学归纳法课件.ppt
材
生
学 法 学 书 趣和课堂效率．让学生经历知识的构建过 程, 体会类比的数学思想．
分学
目
手 程 设 让学生领悟数学思想和辩证唯物
析
情情感态度标价值观段主一义种观方点法；,序体激会发研学究生数的学学计问习题热的情，
使学生初步形成做数学的意识和
科学精神．
数学归纳法及其应用举例
教学方法 类比启发探究式教学方法进行教学
在教学过程中，我不仅要传授学生课
教
学学法指导教
本知识，还要培养学生主动观察、主
方 教 板 动思考、亲自动手、自我发现等学习
能力，增强学生的综合素质，从而达
材
生
学 到较为法理想的教学学终极目标．书
分学 目 手 程 设
析
教情学手段标
借助多段媒体呈现多序米诺骨牌等计生活素
材,真正辅助课堂教学.
数学归纳法及其应用举例
数学归纳法及其应用举例
教学 教 方 教 板 材生 学 法 学 书 分学 目 手 程 设 析情 标 段 序 计
数学归纳法及其应用举例
教学内容
数学归纳法及其应用举例是人民教育 出版社全日制普通高级中学教科书数 学第三册(选修II)第二章第一节的内 容，根据教学大纲，本节共3课时，这 是第1课时, 主要内容是数学归纳法理 解与简单应用．
第一阶段:输入阶段
创设问题情境，启动学生思维; 回顾数学旧知，追溯归纳意识; 借助数学史料, 促使学生思辨.
第二阶段:新旧知识相互作用阶段
教
学 教 方 搜索生活实例，激发学习兴趣;
教
板
材 分 析
生 学 法 类比数学
第学情三阶段目 标:操作阶手 段段
学书 教 12..程序知思学识想设线方计法;三线条;设计线:
数学3课件：第二章 2.3 数学归纳法
探究一 用数学归纳法证明等式 [典例 1] 用数学归纳法证明：1＋3＋5＋…＋(2n－3)＋(2n－1)＋(2n－3)＋…＋5 ＋3＋1＝2n2－2n＋1(n∈N*)．
[证明] (1)当n＝1时，左边＝1， 右边＝2×12－2×1＋1＝1， 等式成立． (2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即 1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k－3)＋…＋5＋3＋1＝2k2－2k＋1. 则n＝k＋1时，左边＝1＋3＋5＋…＋(2k－3)＋(2k－1)＋(2k＋1)＋(2k－1)＋(2k－3) ＋…＋5＋3＋1 ＝2k2－2k＋1＋(2k＋1)＋(2k－1) ＝2k2＋2k＋1
k2＋k＋k＋1－1 k＋1＝
k2＋k－k k＋1
＝ k＋1 kk2＋k＋k>0，
所以 k＋ k1＋1> k＋1，
即
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
1 k＋1>
k＋1.
解法二：由于
k＋
k1＋1＝
k2＋k＋1 k＋1 >
kk2＋＋11＝ kk＋＋11＝ k＋1，
所以
1＋
1＋ 2
1 ＋…＋ 3
1＋ k
Sk＋1＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1， ∴ak＋1＝Sk＋1－Sk＝(k＋1)(2k＋1)ak＋1－2kk＋1， ∴k(2k＋3)ak＋1＝2kk＋1， ∴ak＋1＝2k＋112k＋3 ＝[2k＋1－1]1[2k＋1＋1]. ∴当 n＝k＋1 时猜想也成立．
由①②可知，猜想对任何 n∈N*都成立． ∴{an}的通项公式为 an＝2n－112n＋1.
[随堂训练] 1．用数学归纳法证明 1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－1－ana＋2(n∈N*，a≠1)，在验证 n＝1
《数学归纳法》课件
数学归纳法
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
REPORTING
• 数学归纳法简介 • 数学归纳法的原理 • 数学归纳法的应用实例 • 数学归纳法的注意事项 • 数学归纳法的扩展与深化
目录
PART 01
数学归纳法简介
REPORTING
数学归纳法的定义
数学归纳法是一种证明数列、组合数学等数学问题的方法，通过递推的方式，将 问题从n-1的情形推广到n的情形，从而完成对所有情形的证明。
详细描述
在应用数学归纳法时，首先需要验证初始条 件是否满足。初始条件通常是数学表达式在 某个特定值或某些特定值下的结果。验证初 始条件是为了确保递推的基础是正确的，从 而保证整个证明的正确性。
归纳递推步骤的正确性
总结词
确保归纳递推步骤的正确性是数学归纳法的 核心。
详细描述
归纳递推步骤是将问题从n个情况简化为n1个情况的推理过程。这个步骤必须正确无 误，否则整个证明就会失败。在验证归纳递 推步骤的正确性时，需要仔细检查每个步骤 的逻辑推理和数学运算，确保它们是正确的
归纳步骤
使用归纳假设来证明下一个 整数的结论，并逐步推导到 所有正整数。
PART 03
数学归纳法的应用实例
REPORTING
等差数列求和公式的证明
总结词
通过数学归纳法证明等差数列求和公式
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式成立。然后，假设当$n=k$时公式成立，推导当$n=k+1$时公式的成 立。最后，根据归纳法原理，得出结论：等差数列求和公式对所有正整数$n$都成立。
VS
详细描述
首先，验证基础步骤，当$n=1$时，公式 成立。然后，假设当$n=k$时公式成立， 推导当$n=k+1$时公式的成立。最后， 根据归纳法原理，得出结论：几何级数求 和公式对所有正整数$n$都成立。
数学归纳法 课件
1 1 3
1 3
5
1 5
7
2n
1
12n
1
n n
2n 1
N
.
2.用数学归纳法证明：
12
22
32
n2
nn
12n
6
1
n
N
.
【证明】1.解题流程：
奠基 递推 结论
①n=1时，左边=1 = 1，右边= 1 ，= 1
13 3
2+1 3
左边=右边，等式成立.
②假设n=k(k
N+,且k
1)时，等式成立，即： 1
1 3
+
3
1
5
+
5
1
7
+
+
(2k
1)1(2k.那1么) 当2nkk=1k+1时，有：
111
1
1
13 35 5 7 (2k 1)(2k 1) (2k 1)(2k 3)
k
1
2k2 3k 1 (2k 1)(k 1)
2k 1 (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3) (2k 1)(2k 3)
用数学归纳法证明等式
应用数学归纳法时应注意的问题 (1)第一步的验证，对于有些问题验证的并不是n=1,有时需验 证n=2,n=3，甚至需要验证n=10，如证明：对足够大的正整数n， 有2n>n3，就需要验证n=10时不等式成立.
(2)n=k+1时式子的项数，特别是寻找n=k与n=k+1的关系时，项 数发生什么变化容易被弄错.因此对n=k与n=k+1时关系式的正 确分析是应用数学归纳法成功证明问题的保障.
2.数学归纳法的步骤
人教版-数学归纳法ppt完美课件
要 证 明 这 个 ,必问须题寻 找 一 种 有 骤,就 限 个 能 够 处 理 完 无 限 象多 的个 方. 对 法
我们先从 多米诺骨牌游 戏说起 .这是一 种码 放骨牌的游戏,码放时保证任意相邻的两块 骨 牌, 若 前 一 块 骨 牌 倒 下, 则 一 定 导 致 后 一 块 骨牌倒下.这样, 只要推倒第1块骨 牌,由于第1 块骨牌倒下,就可导致第2块骨牌倒下;而第 2 块骨牌倒下, 就可 导致第3块骨牌 倒下 最 后, 不 论 有 多 少 块 骨 牌 , 都 能 全 部 倒 下.
1 k 1 2 k 1 1 1 kk 1 k 1 2 k 1 1 . 1 k 1 k 2 k 1 1 1k1k1 右边. 所n 以 k 1 时 当 等 成 .由 式 1立 ,2可知
1 3 5 1 n 2 n 1 1 n n n N .
2若 从 "nk时 等式 成 立 "能 推"n出 k1时 等 式也 成",立 则 可 以 建 立 一诺 种骨 像牌 多那 米样
的"由 前 到 "的后自 动 递 .推 关 系
人教版-数学归纳法ppt完美课件
人教版-数学归纳法ppt完美课件
综合 12,就自然地想 这到 个一 等种 式 : 证 的 首先 1 n 1 证 时明 等 成 ;式 立 然后证 2中 明的递.推关系 完 成 以 上 两 ,就步 可n后 由 1时 等式 成 立 为,起 点 递 推n出 2时 等式 成 立 ;再 由 n2时 等式 成 立 , 递 推n出 3时 等式 成 立 如 此 继 续 自 动 递 下 去 ,就 可 以:对 说于 任 意 正 n,等整式 数 成 立 .
在 高 考 中 ,这 类 问 题 也 是 经 常 出 现 ， 同 时 这 也 是 一 种 重 要 的 数 学 推 理 方 法 — — 数 学 归 纳 法 .
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
让更多的孩子得到更好的教育
； sub27rvs
老郎中再一次来给老妇人做针灸时，老人家已经能睁开双眼了。虽然语言含含混混的听不清楚她在说些什么，但很显然她的神 志是清楚的。看着围在自己身边的兄妹三人，可怜的老人张开嘴巴不断地对老郎中嘀哩咕噜说话，慈眉善目的老郎中善解人意 地不断点着头，老人的眼泪流下来了。张老郎中欣慰地笑了，对耿正兄妹三人说：“想不到啊，居然恢复得这么快！看来除了 这药丸儿的效果特别好之外，你们周到的照顾和辅助性按摩刺激也发挥了很大的作用呢！下一步的，针灸还是继续做，按摩刺 激可以再增强一些，但药丸儿可以减半了！”送张老郎中回去之后，耿正又买回来两个药丸儿。临走时老先生嘱咐，还是一丸 儿分三次服用，只是间隔时间加倍了。如果老妇人还不能自己喝汤，就在两次灌药的中间，给她灌两次稀的面糊糊！次日清晨， 老妇人终于能自己喝汤喝药了。兄妹三人高兴得直掉眼泪。那日送张老郎中回去时，耿正把老先生借给的那把非常好用的长嘴 灌药壶也带去了。忠诚地谢过老先生之后，耿正又买回来一粒药丸儿。临走时，善良的张老郎中吩咐说：“这一丸儿，一日分 三次服用就行了！”以后，再巩固服用两日“安宫神丸”之后，看到老妇人吃饭说话都已经没有问题了，张老郎中就让她彻底 停了药，并且吩咐耿正：“以后你还是按照老时间接我过来。这药可以不再服用了，但继续做一些针灸还是很需要呢！”80第 六十二回 药贵吓傻两邻居|（药贵吓傻两邻居，言来语去不中听；耿家兄妹诚恳帮，深深感动老郎中。）听张老郎中说，可以 医治梁老妇人的那种药弥足珍贵，一般人吃不起，耿英轻轻地说：“弥足珍贵！什么药啊？”张老郎中再次将目光投向耿英， 轻轻地吐出来四个字：“安宫神丸！”耿英赶快说：“我们以前也听说过这种神药的！它果真能够医治得了像梁奶奶这样的跌 打致昏症？”张老郎中微微点头，不太肯定地说：“因人而异嘞，任何药物也没有十二分的把握啊！不过，试一试还是可以的。 据医药史料记载，用这种神药唤醒类似昏症的例子还是很多的，只是这种药丸儿的价格奇贵！可这老梁头家本来就并不富有， 又是现在这样的情况，只能是，唉，恐怕只能是听天由命了啊！”张老大夫妇和隔壁的年轻男人都面面相觑不再说话。耿英看 在眼里，转头望望哥哥。躺在一旁的老梁头大致听明白了，哭着说：“张郎中啊，多谢你大老远的跑这一躺来！我听明白了， 这老婆子是不想醒过来了啊，那就让她睡着吧，这样就没有痛苦了。我也从此不再吃饭了，我们一起受了一辈子的苦，就一起 走……老大啊，你去把抽屉里那仅留的一点儿银子给张郎中带一些，送他回去吧！”听这可怜的受伤老人如此一番话，白胡飘
由不完全归纳法得到的一般结论带有猜测的成份，须寻求 数学证明
2.归纳与证明： 如何证明由不完全归纳法得到的一般结论？
1为例：
问题1：在数列{an }中，a1=1, 再推测通项an的公式.
an1
an 1 an
,先计算a2,,a3,a4的值，
1
a2= 2
课 题： 数学归纳法（一）
1.归纳法： 由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
问题1：在数列{an }中，a1=1, an1 项an 的公式.
an 1 an
,先计算a2 , a3 , a4的值，再推测通
解：
a21 2,a31 3,a41 4,ann 1
（不完全归纳法）
问题2：对小于6的自然数n，不等式7n36(7n9)成立吗 ？
1
, a3= 3
1
, a4= 4
,
推测
an=
1 n
证明思路：先证明“第一项满足公式” （证题基础）
再证明命题“若某一项满足公式，则下一项也满足公式”（递推关系）
条件
结论
1
证明：（（21））假当设n=当1时n=,左k(=k∈a1=N1)时,右,公= 1式=成1，立所,即以a公k=式k1 成立。
那么：
1
小结：
(1) 本节的中心内容是归纳法和数学归纳法; (2) 归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分为完全归
纳法和不完全归纳法二种; (3) 由于不完全归纳法中推测所得结论可能不正确,因而必
须作出证明，证明可用数学归纳法进行; (4) 数学归纳法作为一种证明方法，它的基本思路是递推
思想，它的操作步骤必须是二步，其中第二步的证明 必须要利用假设的结论。
资料1：
费马(Fermat)是17世纪法国著名的数学家，他是解析几何的发 明者之一，是对微积分的创立作出贡献最多的人之一，是概率论 的创始者之一，他对数论也有许多贡献。
但是，费马认为，当n∈N时， 2 2n +1 一定都是质数，这是他 对 n=0,1,2,3,4,作了验证后得到的。
18世纪伟大的瑞士科学家欧拉(Euler)却证明了
证明： （1）当n=1时，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立 (2) 假设当n=k(k∈N)时等式成立，就是ak=a1+(k-1)d
那么
ak+1= ak+d= a1+(k-1)d+d =a1+[(k+1)-1]d
∴当n=k+1时，等式成立
由(1)(2)知对任何n∈N等式成立
练习：用数学归纳法证明：首项是a1，公比是q的等比数列的 通项公式是an=a1qn-1
ak+1=
1
ak ak
k 1 1
1 k 1
k
∴当n=k+1时,公式成立
由(1) (2)知对任意自然数n, an=
1 n
成立.
3.数学归纳法：
对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我 们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值 n0(例如n0=1) 时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.
胸的张老郎中也忍不住动容了。但他也只能是无奈地
北京四中龙门网络教育技术有限公司 Beijing Etiantian Net Educational Technology Co.,Ltd
138
n=3
1
<
180
n=4
7
<
222
n=5
49
<
264
n=6
343
＞
348
n=7
2401
＞
348
结论：当n是小于6的自然数，不等式成立 当n是大于等于6的自然数，7 n3 ＞ 6(7n+9)
说明：（1）依数据作推测，决不是乱猜，要注意对数据作出谨慎 地分析。
（2）用不完全归纳法得到的结论可能会不正确。
解：
7 n3
大小关系 6(7n+9)
n=1
1
49
<
n=2
1
7
<
n=3
1
<
96
138
（完全归纳法）
180
n=4
7
<
222
n=5
49
<
264
∴对小于6的自然数n,不等式成立.
问题3：对任意自然数n, 不等式 7n36(7n9) 成立吗？
解：
7 n3
大小关系 6(7n+9)
n=1
1
7
n=2
1
49
<
96
<
证题步骤： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1或2）时结论正确；
（2）假设n=k(k∈N,k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1 结论正确；
注意：第一步中n可取的第一个值不一定是1; 第二步是证明一个命题,必须要利用假设的结论证明n=k+1时 结论正确;
例1：用数学归纳法证明：如果{an }是一个等差数列，那么 ： an=a1+(n-1)d 对一切n∈N都成立.
2 2n +1=4 294 967 297=6 700 417×641 从而否定了费马的推测。
资料2：
f(n)=n2+n+41,当 n∈N时,f(n)是否都为质数？ f(0)=41 , f(1)=43 , f(2)=47 , f(3)=53 , f(4)=61 , f(5)=71 , f(6)=83 f(7)=97 , f(8)=113 , f(9)=131 , f(10)=151 , …… f(39)=1601 但 f(40)=1681=412 是合数。