2018-2019年上海市进才中学高三上期中 数学试卷

进才中学2018学年高三第一学期期中考试

一、填空

1.已知tan 2α=-，且α为第四象限角，则sin α=

.2.已知集合101x A x x -⎧⎫=≤⎨⎬+⎩⎭

，则R C A =.3.求2222123lim n n n n n

n →∞⎛⎫=++++= ⎪⎝⎭ .4.已知函数()()2, 22,2x x f x f x x ≥⎧⎪=⎨+<⎪⎩，则32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.

5.已知()sin 2f x a x bx =++，若()20182019f -=，则()2018f =

.6.满足()()2arccos arccos 2x x >的实数x 的取值范围是.

7.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知：()2,1m = ,()cos ,cos cos n c C a B b A =+ 且

m n ⊥ ，求角C =

.8.若存在正数x 使221x

x m x <成立，则实数m 的取值范围是.

9.已知函数()()30f x x k x k k =-+->，若当34x ≤≤时，()f x 都能取到最小值，则实数k 的取值范围是.

10.已知数列{}n a 中，1112,1

n n a a a +==-

+，若k 是5的倍数，且2k a =，求所有满足条件的k 的表达式.11.已知1710,2

m m >≠，直线1:l y m =与函数4log y x =的图像从左至右相交于点A B 、，直线24:1l y m =

+与函数4log y x =的图像从左至右相交于点C D 、，记线段AC 和BD 在x 轴上的投影长度分别为,a b ，当m 变化时，b a 的最小值是.12.已知,a b R ∈且对任意x R ∈，不等式cos 2cos 21a x b x +>无解，当实数b 取得最大值时，方程

[]1cos 0,0,20182

b x x -=∈的解的个数为.

二、选择题13.等差数列{}n a 的前10项和为30，前20项和为100，则它的前100项和为（

）

A.1300

B.1700

C.2100

D.2600

14.函数()43x g x =⨯的图像可看成将函数()3x f x =的图像（）

A.向左平移3log 4个单位得到

B.各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的4倍得到

C.向右平移3log 4个单位得到

D.各点横坐标不变，纵坐标缩短到原来的14倍得到15.已知函数()()20f x x tx t t =+-<，若集合(){}0,A x f x x Z =<∈有且只有一个元素，则实数t 的取

值范围是（

）A.(],4-∞- B.[]9,4-- C.9,42⎡⎫--⎪⎢⎣⎭ D.9,42⎛⎤-- ⎥⎝⎦

16.已知数列{}n a 的通项公式为2511,n a a n n a n =-+

是数列{}n a 的最小项，则实数a 的取值范围是（）A ．[]40,25-- B.[]40,0- C.[]25,25- D.[]

25,0-三、解答题

17.若()()()()()2sin cos 102

f x wx wx wx w =-->的图像的最高点都在直线()0y m m =>上，并且任意相邻两个最高点之间的距离为π.（1）求w 和m 的值；（2）已知A ∠是ABC ∆的一个内角，若点,12A ⎛⎫ ⎪⎝⎭

是函数()f x 图像的一个对称中心，求函数()3,0,2A y f x x ⎡⎤=∈⎢⎣⎦的值域.18.已知二次函数()2

23f x mx x =--，若不等式()0f x <的解集为()1,n -（1）解关于x 的不等式：()2

2411x x n m x -+>+-；（2）已知实数()0,1a ∈，且关于x 的函数()[]()

141,2x x y f a a x +=-∈的最小值为-4，求a 的值.

19.本题满分14分

根据预测，某地第n *

()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），

其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.

（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；

（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）.设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？

20.本题满分16分

如图所示，在平面直角坐标系xOy 上放置一个边长为1的正方形PABC ，此正方形PABC 沿x 轴滚动（向左或者向右均可），滚动开始时，点P 在原点处，例如：向右滚动时，点P 的轨迹起初是以点A(1,0)为圆

心，1为半径的

14

圆弧，然后以点B 与x 轴交点为圆心，PB 长度为半径……..，设点P （x,y ）的纵坐标与横坐标的函数关系式是(),y f x x R =∈，该函数相邻两个零点之间的距离为m 。

（1）写出m 的值，并求出当[4,4]x m m ∈-时,点P 轨迹与x 轴所围成图形的面积S ，研究该函数的性质并填写下面的表格

函数性质

结论

奇偶性

单调性递增区间递减区间零点

（2）已知方程()f x a x =在区间[8,8]-上有11个根，求实数a 的取值范围

（3）写出函数(),[42,42],y f x x k k k Z =∈-+∈的表达式

21．给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意的*n N ∈，都有2n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “比较接近”