必修3第三章知识点总结与典型例题解析

新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件

确定性事件: 必然事件和不可能事件

❖随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，

当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈

说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ♦概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P

②()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和

⌧古典概率：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型

如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n

1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n

m A P = ⍓几何概型：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点，记事件“改点落在其内部的一个

区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为

()的侧度

的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ）

几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多

颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。

互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件

对立事件（complementary events ）：两个互斥事件中必有一个发生,则称两个事件为对立事

件 ，事件A 的对立事件 记为：A

独立事件的概率：()()()B P A P A =AB P , B , 则为相互独立的事件事件若，

若()()()()n 21n 2121A ...A A ...A A A P , , ... , , P P P A A A n =则为两两独立的事件 说明：

① 若, B , , B , 中最多有一个发生则为互斥事件A A 可能都不发生，但不可能同时发生 ，从集合的关来看两个事件互斥，即指两个事件的集合的交集是空集

② 对立事件是指的两个事件，而且必须有一个发生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一个发生，可能都不发生

③ 对立事件一定是互斥事件

④ 从集合论来看：表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集，但两个对立事件的并集是全集 ，而两个互斥事件的并集不一定是全集

⑤两个对立事件的概率之和一定是1 ，而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥若事件B A ,是互斥事件，则有()()()B P A P B A P +=+⑦ 一般地，如果n A A A ,...,,21 两两互斥，则有()()()()n n A P A P A P A A A P +++=+++......2121⑧()()A P A P -=1⑨ 在本教材中n A A A +++...21 指的是n A A A ,...,,21 中至少发生一个 ⑩★ 在具体做题中，一定要注意书写过程，设出事件来，利用哪种概型解题，就按照那种概型的书写格式，最重要的是要设出所求的事件来 ，具体的格式请参照我们课本上（新课标试验教科书-苏教版）的例题

例题选讲：

例1. 在大小相同的6个球中，4个是红球，若从中任意选2个，求所选的2个球至少有一个是红球的概率？

【分析】题目所给的6个球中有4个红球，2个其它颜色的球，我们可以根据不同的思路有不同的解法

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，则其互斥事件为A

意义为“选取2个球都是其它颜色球”

()()()

1514 151 - 1A P - 1 A P 151 2

)56(1A P ===∴=⨯=

Θ 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有152

56=⨯种情况，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有1423424=⨯+⨯

所以()15

14=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为

1514 . 解法3：（独立事件概率）不妨把其它颜色的球设为白色求，设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ，事件A 有三种可能的情况：1红1白；1白1红；2红，对应的概率分别为：5364 , 5462 , 5264⨯⨯⨯， 则有 ()15

145364 5462 5264=⨯+⨯+⨯=A P 答：所选的2个球至少有一个是红球的概率为 15

14 . 评价：本题重点考察我们对于概率基本知识的理解，综合所学的方法，根据自己的理解用不同的方法，但是基本的解题步骤不能少!

变式训练1： 在大小相同的6个球中，2个是红球，4 个是白球，若从中任意选取3个，求至少有1个是红球的概率？

解法1：（互斥事件）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”，则其互斥事件为A ，

意义为“选取3个球都是白球”

()()()

54 51 - 1A P - 1 A P 51425364 123)456(123234A P 3634===∴=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯==C C Θ 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 5

4 . 解法2：（古典概型）由题意知，所有的基本事件有201

2345636=⨯⨯⨯⨯=C 种情况，设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，而事件A 所含有的基本事件数有

16234241224=⨯⨯=⨯+⨯C ， 所以 ()5

42016==A P 答：所选的3个球至少有一个是红球的概率为 5

4 . 解法3：（独立事件概率）设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ，则事件A 的情况如下：

红 白 白 5

1435462=⨯⨯ 1红2白 白 白 红 5

1425364=⨯⨯ 白 红 白 5

1435264=⨯⨯ 红 红 白 15

1445162=⨯⨯ 2红1白 红 白 红 15

1415462=⨯⨯ 白 红 红 15

1415264=⨯⨯