加乘原理综合运用教学内容

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四年级奥数第六讲——乘法原理与加法原理(学生用)教学提纲

远辉教育奥数班第六讲——乘法原理与加法原理主讲人：杨老师学生：四年级电话：62379828一、学习要点：Ⅰ乘法原理在日常生活中常常会遇到这样一些问题，就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法，要知道完成这件事一共有多少种方法，就用我们将讨论的乘法原理来解决．例如某人要从北京到大连拿一份资料，之后再到天津开会．其中，他从北京到大连可以乘长途汽车、火车或飞机，而他从大连到天津却只想乘船．那么，他从北京经大连到天津共有多少种不同的走法？分析这个问题发现，某人从北京到天津要分两步走．第一步是从北京到大连，可以有三种走法，即：第二步是从大连到天津，只选择乘船这一种走法，所以他从北京到天津共有下面的三种走法：注意到3×1=3．如果此人到大连后，可以乘船或飞机到天津，那么他从北京到天津则有以下的走法：共有六种走法，注意到3×2=6．在上面讨论问题的过程中，我们把所有可能的办法一一列举出来．这种方法叫穷举法．穷举法对于讨论方法数不太多的问题是很有效的．在上面的例子中，完成一件事要分两个步骤．由穷举法得到的结论看到，用第一步所有的可能方法数乘以第二步所有的可能方法数，就是完成这件事所有的方法数．一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么，完成这件事一共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法．这就是乘法原理．Ⅱ加法原理生活中常有这样的情况，就是在做一件事时，有几类不同的方法，而每一类方法中，又有几种可能的做法．那么，考虑完成这件事所有可能的做法，就要用我们将讨论的加法原理来解决．例如某人从北京到天津，他可以乘火车也可以乘长途汽车，现在知道每天有五次火车从北京到天津，有4趟长途汽车从北京到天津．那么他在一天中去天津能有多少种不同的走法？分析这个问题发现，此人去天津要么乘火车，要么乘长途汽车，有这两大类走法，如果乘火车，有5在上面的问题中，完成一件事有两大类不同的方法．在具体做的时候，只要采用一类中的一种方法就可以完成．并且两大类方法是互无影响的，那么完成这件事的全部做法数就是用第一类的方法数加上第二类的方法数．一般地，如果完成一件事有k类方法，第一类方法中有m1种不同做法，第二类方法中有m2种不同做法，…，第k类方法中有mk种不同的做法，则完成这件事共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法．这就是加法原理．二、典例剖析：Ⅰ乘法原理例1 某人到食堂去买饭，主食有三种，副食有五种，他主食和副食各买一种，共有多少种不同的买法？例2 右图中有7个点和十条线段，一只甲虫要从A点沿着线段爬到B点，要求任何线段和点不得重复经过．问：这只甲虫最多有几种不同的走法？例3 书架上有6本不同的外语书，4本不同的语文书，从中任取外语、语文书各一本，有多少种不同的取法？例4 王英、赵明、李刚三人约好每人报名参加学校运动会的跳远、跳高、100米跑、200米跑四项中的一项比赛，问：报名的结果会出现多少种不同的情形？例5由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？②可组成多少个没有重复数字的三位数？例6 由数字1、2、3、4、5、6共可组成多少个没有重复数字的四位奇数？例7 右图中共有16个方格，要把A、B、C、D四个不同的棋子放在方格里，并使每行每列只能出现一个棋子．问：共有多少种不同的放法？例8 现有一角的人民币4张，贰角的人民币2张，壹元的人民币3张，如果从中至少取一张，至多取9张，那么，共可以配成多少种不同的钱数？Ⅱ加法原理例1 学校组织读书活动，要求每个同学读一本书．小明到图书馆借书时，图书馆有不同的外语书150本，不同的科技书200本，不同的小说100本．那么，小明借一本书可以有多少种不同的选法？例2一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？例3 如右图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走．那么，从甲地到丙地共有多少种走法？例4 如下页图，一只小甲虫要从A点出发沿着线段爬到B点，要求任何点和线段不可重复经过．问：这只甲虫有多少种不同的走法？例5 有两个相同的正方体，每个正方体的六个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6．将两个正方体放到桌面上，向上的一面数字之和为偶数的有多少种情形？例6 从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？例7如下页左图，要从A点沿线段走到B，要求每一步都是向右、向上或者向斜上方．问有多少种不同的走法？模拟测试1．某罪犯要从甲地途经乙地和丙地逃到丁地，现在知道从甲地到乙地有3条路可以走，从乙地到丙地有2条路可以走，从丙地到丁地有4条路可以走．问，罪犯共有多少种逃走的方法？2．如右图，在三条平行线上分别有一个点，四个点，三个点（且不在同一条直线上的三个点不共线）．在每条直线上各取一个点，可以画出一个三角形．问：一共可以画出多少个这样的三角形？2．在自然数中，用两位数做被减数，用一位数做减数．共可以组成多少个不同的减法算式？3．一个篮球队，五名队员A、B、C、D、E，由于某种原因，C不能做中锋，而其余四人可以分配到五个位置的任何一个上．问：共有多少种不同的站位方法？5．由数字1、2、3、4、5、6、7、8可组成多少个①三位数？②三位偶数？③没有重复数字的三位偶数？6．某市的电话号码是六位数的，首位不能是0，其余各位数上可以是0～9中的任何一个，并且不同位上的数字可以重复．那么，这个城市最多可容纳多少部电话机？7．如右图，从甲地到乙地有三条路，从乙地到丙地有三条路，从甲地到丁地有两条路，从丁地到丙地有四条路，问：从甲地到丙地共有多少种走法？8．书架上有6本不同的画报和7本不同的书，从中最多拿两本（不能不拿），有多少种不同的拿法？9．如下图中，沿线段从点A走最短的路线到B，各有多少种走法？10．在1～1000的自然数中，一共有多少个数字0？11．在1～500的自然数中，不含数字0和1的数有多少个？12．十把钥匙开十把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁，问：最多试开多少次，就能把锁和钥匙配起来？。

(完整)加法原理教案

加法原理教案【教学目的】1.使学生理解和掌握加法原理和乘法原理并能准确、熟练地运用两个基本原理。

2。

加强对学生思维条理性的训练，培养学生分析问题、解决问题的能力.【教学重点和难点】重点是两个基本原理的应用，难点是对两个基本原理的准确理解.【教学过程】一、讲授新课加法原理和乘法原理是有关排列、组合问题所遵循的两条基本原理，深入理解和准确运用这两个原理是学好排列、组合这一单元的重要一环.请同学们考虑下面两个问题：问题1从甲地到乙地，旱路有3条，水路有2条，间从甲地到乙地共有多少种不同的走法？从图中很容易找到答案:从甲地到乙地共有5种不同的走法.问题2由A村到B村的路有3条,由B村到C村的路有2条，问从A村经过B村到达C村共有多少种不同的走法？从图中不难看出此题的答案是：共有6种不同的走法。

我们从上面两个问题中可以抽象出一般性的规律，得出以下的结论:（一）完成一件工作的两种不同的方式.问题1和问题2的共同之处在于:它们都是在研究做一件事（或工作)完成它共有多少种不同的方法？这两个问题的不同点是完成工作的方式不同。

问题1中的每条旱路或水路都可以从甲地直接到达乙地，其中旱路和水路只不过是完成从甲地到乙地这件工作的两类不同的办法。

问题2中的从A村到B村的3条路和从B村到C村的2条路的任意一条路都不能把从A村经过B村到达C村这件工作做完，只能完成这件工作的一部分。

问题2中的工作是分两个步骤完成的：第一步从A村到达B村,第二步从B村到达C村。

我们不难总结出：完成一件工作有以下两种不同的方式：第一种方式：用不同类的办法去完成一件工作，每类办法中的任意一种方法都可以从头至尾把这件工作做完。

第二种方式：分成几个步骤去完成一件工作，每个步骤中的任意一种方法只能完成这件工作的一部分，这几个步骤都完成了，这件工作才能做完。

（二）加法原理和乘法原理。

下面我们来研究：完成一件工作的不同方法的总数怎样计算:问题1的答案是共有5种不同的走法，已知旱路3条，水路2条，显然5=3+2。

《加法原理与乘法原理》知识清单

《加法原理与乘法原理》知识清单一、加法原理加法原理是指，如果完成一件事情有 n 类办法，在第一类办法中有m1 种不同的方法，在第二类办法中有 m2 种不同的方法，……，在第n 类办法中有 mn 种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝ m1 ＋ m2 ＋… ＋ mn 种不同的方法。

为了更好地理解加法原理，我们来看几个例子。

例1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船。

已知每天火车有 4 趟，汽车有 6 趟，轮船有 2 趟。

那么从甲地到乙地一共有多少种不同的走法？这道题中，从甲地到乙地有三类方式，乘火车有 4 种方法，乘汽车有 6 种方法，乘轮船有 2 种方法。

根据加法原理，总的走法为 4 ＋ 6＋ 2 ＝ 12 种。

例 2：书架上有不同的语文书 5 本，不同的数学书 8 本，不同的英语书 3 本。

从中任取一本，有多少种不同的取法？这里取一本书有三类，取语文书有 5 种取法，取数学书有 8 种取法，取英语书有 3 种取法，所以不同的取法一共有 5 ＋ 8 ＋ 3 ＝ 16 种。

加法原理的特点是各类方法相互独立，每一类方法中的每一种方法都能独立完成这件事。

二、乘法原理乘法原理是指，如果完成一件事情需要 n 个步骤，做第一步有 m1种不同的方法，做第二步有 m2 种不同的方法，……，做第 n 步有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有 N ＝m1 × m2 × … × mn 种不同的方法。

同样通过例子来加深对乘法原理的理解。

例 3：从 A 地到 B 地有 3 条路，从 B 地到 C 地有 2 条路。

那么从A 地经B 地到C 地一共有多少种不同的走法？从 A 地到 C 地需要分两步，第一步从 A 地到 B 地有 3 种走法，第二步从 B 地到 C 地有 2 种走法。

根据乘法原理，总的走法为 3 × 2 ＝ 6 种。

例 4：用 0、1、2 可以组成多少个没有重复数字的三位数？要组成三位数，需要分三步。

加乘原理ppt课件

6. 所以，加乘原理公式得证。
04
加乘原理实例分析
自然数幂运算的加乘原理体现
总结词
幂运算的加乘原理是自然数幂运算中的重要规律。
详细描述
在自然数幂运算中，对于任意正整数n，都有(a^n) * (b^n) = (a * b)^n，这就是幂运算的加乘原理。它表明当两个数相乘时，可以将它们的幂次相加，从而得到它们乘积的幂次。
加乘原理的数学证明
数学证明过程
1. 定义加乘原理公式为P。
2. 根据加乘原理公式的定义，有P = (a+b)(c+d) 。
加乘原理的数学证明
01
02
03
04
3. 根据乘法分配律，有P = ac+ad+bc+bd。
4. 根据加法的结合律和乘法的交换律，有P = a(c+d) +
b(c+d)。
5. 根据乘法的分配律，有P = (a+b)(c+d)。
02
对数的性质
对数的性质包括换底公式和log(a*b)=log(a)+log(b)等。换底公式是指
log_b(a)=log_c(a)/log_c(b)，其中c可以是任意正实数。
03
对数的应用
对数在金融、统计学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。例如，在
金融学中，经常使用对数来描述股票价格的变化；在统计学中，对数可
加乘原理课件
目录
• 加乘原理概述 • 加乘原理基础 • 加乘原理公式及推导 • 加乘原理实例分析 • 加乘原理在生活中的应用 • 加乘原理的深入研究和探讨
01
加乘原理概述
加乘原理定义
01
加乘原理是指在进行数据分析时，将多个维度的数据按照不同的权重进行相乘，以得到一个新的数据表示。

加法与乘法原理的区分及综合运用

加法与乘法原理的区分及综合运用本讲知识要点：1、加法原理：如果做完一件事情有几类方式，在每一类方式中又有不同的方法，那么把每类的方法数相加就得到所有的方法数。

2、乘法原理：如果完成一件事分为几个步骤，在每一个步骤中又有不同的方法，那么把每步的方法数相乘就得到所有方法数。

3、分类与分步的区别：分类是指完成事情的不同方法，从中任意选取一类即可，它们之间可以相互替代，任意选取一类都可以完成这件事。

这些时候一般用加法原理；分步是指完成事情的不同步骤，每一步都必须执行，它们之间不可以相互替代，少一步都不能完成这件事。

这种情况一般要用乘法原理。

4、用乘法原理解题，分步应注意的事项：1）每步必须全部完成才能满足结论；2）必须先确定以什么来分步；3）定好第一步后，再确定第二步，第三步，……。

一般是特殊优先原则，即谁的条件要求苛刻，先确定谁。

4）每一步前后相互独立，前面的步骤不能影响后面的步骤，否则就不能用乘法原理解决。

例1、六年级有4名大队委员，五年级有3名大队委员，四年级有2名大队委员。

（1）从三个年级的大队委员中任选1人为大队长，共有多少种不同的选法？（2）从三个年级的大队委员中各选出一名组成值日小组，共有多少种不同的选法？（3）从其中两个年级各选一名组成检查小组，共有多少种不同的选法？例2、下图是某一地区的道路分布图，A,B,C,D分别代表4个城镇。

如果从A镇去C镇一共有多少种不同的走法？（每个点不重复经过）巩固练习：1、一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有小球的颜色各不相同。

（1）从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？（2）从两个口袋哪各取一个小球，有多少种不同的选法？2、书架上有三层书，第一层放了15本小说，第二层放了10本漫画，第三层放了5本科普书，并且这些书都各不相同。

请问：1）如果从所有的书中任取1本，共有多少种不同的取法？2）如果从每一层中各取1本，共有多少种不同的取法？3）如果从中取出2本不同类别的书，共有多少种不同的取法？3、如图，从甲地到乙地有4条路可走，从乙地到丙地有2条路可走，从甲地到丙地有3条路可走。

数学加法原理和乘法原理教学设计

加法原理和乘法原理教学目标正确理解和掌握加法原理和乘法原理，并能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题，从而发展学生的思维能力，培养学生分析问题和解决问题的能力．教学重点和难点重点：加法原理和乘法原理．难点：加法原理和乘法原理的准确应用．教学用具投影仪．教学过程设计（一）引入新课从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合、二项式定理．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般．虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关．至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它．今天我们先学习两个基本原理．（二）讲授新课1．介绍两个基本原理先考虑下面的问题：问题1：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船．一天中，火车有4个班次，汽车有个班次，轮船有3个班次．那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地，共有多少种不同的走法？因为一天中乘火车有4种走法，乘汽车有2种走法，乘轮船有3种走法，每种走法都可以完成由甲地到乙地这件事情．所以，一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有4+2+3=9种不同的走法．这个问题可以总结为下面的一个基本原理（打出片子——加法原理）：加法原理：做一件事，完成它可以有几类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N=m1+m2+…+m 种不同的方法．n请大家再来考虑下面的问题（打出片子——问题2）：问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条（见下图），从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？这里，从A村到B村，有3种不同的走法，按这3种走法中的每一种走法到达B村后，再从B村到C 村又各有2种不同的走法，因此，从A村经B村去C 村共有3×2=6种不同的走法．一般地，有如下基本原理（找出片子——乘法原理）：乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．2．浅释两个基本原理两个基本原理的用途是计算做一件事完成它的所有不同的方法种数．比较两个基本原理，想一想，它们有什么区别？两个基本原理的区别在于：一个与分类有关，一个与分步有关．看下面的分析是否正确（打出片子——题1，题2）：题1：找1～10这10个数中的所有合数．第一类办法是找含因数2的合数，共有4个；第二类办法是找含因数3的合数，共有2个；第三类办法是找含因数5的合数，共有1个．1～10中一共有N=4＋2＋1=7个合数．题2：在前面的问题2中，步行从A村到B村的北路需要8时，中路需要4时，南路需要6时，B村到C村的北路需要5时，南路需要3时，要求步行从A村到C村的总时数不超过12时，共有多少种不同的走法？第一步从A村到B村有3种走法，第二步从B 村到C村有2种走法，共有N=3×2=6种不同走法．题2中的合数是4，6，8，9，10这五个，其中6既含有因数2，也含有因数3；10既含有因数2，也含有因数5．题中的分析是错误的．从A村到C村总时数不超过12时的走法共有5种．题2中从A村走北路到B村后再到C村，只有南路这一种走法．（此时给出题1和题2的目的是为了引导学生找出应用两个基本原理的注意事项，这样安排，不但可以使学生对两个基本原理的理解更深刻，而且还可以培养学生的学习能力）进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能单独完成这件事．只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m种不同的方法，那么计算完成这件事的方法数时，就可以直接应用乘法原理．也就是说：类类互斥，步步独立．（在学生对问题的分析不是很清楚时，教师及时地归纳小结，能使学生在应用两个基本原理时，思路进一步清晰和明确，不再简单地认为什么样的分类都可以直接用加法，只要分步而不管是否相互联系就用乘法．从而深入理解两个基本原理中分类、分步的真正含义和实质）（三）应用举例现在我们已经有了两个基本原理，我们可以用它们来解决一些简单问题了．例1 书架上放有3本不同的数学书，5本不同的语文书，6本不同的英语书．（1）若从这些书中任取一本，有多少种不同的取法？（2）若从这些书中，取数学书、语文书、英语书各一本，有多少种不同的取法？（3）若从这些书中取不同的科目的书两本，有多少种不同的取法？（让学生思考，要求依据两个基本原理写出这3个问题的答案及理由，教师巡视指导，并适时口述解法）（1）从书架上任取一本书，可以有3类办法：第一类办法是从3本不同数学书中任取1本，有3种方法；第二类办法是从5本不同的语文书中任取1本，有5种方法；第三类办法是从6本不同的英语书中任取一本，有6种方法．根据加法原理，得到的取法种数是N＝m1＋m2＋m3＝3＋5＋6＝14．故从书架上任取一本书的不同取法有14种．（2）从书架上任取数学书、语文书、英语书各1本，需要分成三个步骤完成，第一步取1本数学书，有3种方法；第二步取1本语文书，有5种方法；第三步取1本英语书，有6种方法．根据乘法原理，得到不同的取法种数是N=m1×m2×m3=3×5×6=90．故，从书架上取数学书、语文书、英语书各1本，有90种不同的方法．（3）从书架上任取不同科目的书两本，可以有3类办法：第一类办法是数学书、语文书各取1本，需要分两个步骤，有3×5种方法；第二类办法是数学书、英语书各取1本，需要分两个步骤，有3×6种方法；第三类办法是语文书、英语书各取1本，有5×6种方法．一共得到不同的取法种数是N=3×5＋3×6＋5×6=63．即，从书架任取不同科目的书两本的不同取法有63种．例2 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位整数（各位上的数字允许重复）？解：要组成一个三位数，需要分成三个步骤：第一步确定百位上的数字，从1～4这4个数字中任选一个数字，有4种选法；第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，共有5种选法；第三步确定个位上的数字，仍有5种选法．根据乘法原理，得到可以组成的三位整数的个数是N =4×5×5=100．答：可以组成100个三位整数．教师的连续发问、启发、引导，帮助学生找到正确的解题思路和计算方法，使学生的分析问题能力有所提高．教师在第二个例题中给出板书示范，能帮助学生进一步加深对两个基本原理实质的理解，周密的考虑，准确的表达、规范的书写，对于学生周密思考、准确表达、规范书写良好习惯的形成有着积极的促进作用，也可以为学生后面应用两个基本原理解排列、组合综合题打下基础.（四）归纳小结归纳什么时候用加法原理、什么时候用乘法原理：分类时用加法原理，分步时用乘法原理．应用两个基本原理时需要注意分类时要求各类办法彼此之间相互排斥；分步时要求各步是相互独立的．（五）课堂练习P222：练习1～4．（对于题4，教师有必要对三个多项式乘积展开后各项的构成给以提示）（六）布置作业P222：练习5，6，7．补充题：1．在所有的两位数中，个位数字小于十位数字的共有多少个？（提示：按十位上数字的大小可以分为9类，共有9＋8＋7＋…＋2＋1=45个个位数字小于十位数字的两位数）2．某学生填报高考志愿，有m个不同的志愿可供选择，若只能按第一、二、三志愿依次填写3个不同的志愿，求该生填写志愿的方式的种数．（提示：需要按三个志愿分成三步，共有m（m-1）（m-2）种填写方式）3．在所有的三位数中，有且只有两个数字相同的三位数共有多少个？（提示：可以用下面方法来求解：（1）△△□，（2）△□△，（3）□△□，（1），（2），（3）类中每类都是9×9种，共有9×9+9×9+9×9=3×9×9=243个只有两个数字相同的三位数）4．某小组有10人，每人至少会英语和日语中的一门，其中8人会英语，5人会日语，（1）从中任选一个会外语的人，有多少种选法？（2）从中选出会英语与会日语的各1人，有多少种不同的选法？（提示：由于8＋5=13＞10，所以10人中必有3人既会英语又会日语．（1）N=5＋2＋3；（2）N=5×2＋5×3＋2×3）。

四年级数学专题讲义第十三讲加乘原理

第十四讲乘法原理与加法原理乘法原理：一般的，如果完成一件事情需要几个步骤，其中，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，做第三步有3m 种不同的方法，…，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=1m ×2m ×3m ×……×n m 种不同的方法，这就是乘法原理。

乘法原理运用的范围：这件事要分几个彼此互不影响的独立步骤来完成，这几步是完成这件任务缺一不可的，这样的问题可以使用乘法原理解决．我们可以简记为：“乘法分步，步步相关。

”加法原理：一般的，如果完成一件事情有几类方法，其中，第一类有1m 种不同的方法，第二类有2m 种不同的方法，第三类有3m 种不同的方法，……，第n 类有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有：N=1m +2m +3m +…+n m 种不同的方法。

这就是加法原理。

加法原理运用的范围：完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，这样的问题可以使用加法原理解决．我们可以简记为：“加法分类，类类独立”。

事实上，往往有许多事情是有几大类方法来做的，而每一类方法又要由几步来完成，这就要熟悉加法原理和乘法原理的内容，综合使用这两个原理．〖经典例题〗例1、一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问：①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一小球，有多少种不同的取法？分析：①中，从两个口袋中只需取一个小球，则这个小球要么从第一个口袋中取，要么从第二个口袋中取，共有两大类方法．所以是加法原理的问题．共有3+8=11种不同的取法．②中，要从两个口袋中各取一个小球，则可看成先从第一个口袋中取一个，再从第二个口袋中取一个，分两步完成，是乘法原理的问题．共有3×8=24种不同的取法．例2、①有5个人排成一排照相，有多少种排法？②5个人排成两排照相，前排2人，后排3人，共有多少种排法？③5个人排成一排照相，如果某人必须站在中间，有多少种排法？④5个人排成一排照相，某人必须站在两头，共有多少种排法分析：①5个人排成一排照相，从左到右共5个位置。

加乘的原理和应用

加乘的原理和应用1. 什么是加乘加乘是指将两个或多个数字进行相乘的操作，得到一个结果的过程。

加乘是数学中最基本的运算之一，广泛应用于各个领域，例如物理学、工程学、计算机科学等。

2. 加乘的原理加乘的原理可以通过简单的例子来解释。

假设有两个数字a和b，要求将它们相乘得到结果c。

首先，将a复制b次，然后将这些复制的a相加起来，即得到了结果c。

具体的步骤如下：•将a复制b次得到a1, a2, …, ab。

•将a1, a2, …, ab相加得到结果c。

例如，假设a=5，b=3，我们可以将5复制3次得到5, 5, 5，然后将这三个5相加得到15，即5 * 3 = 15。

3. 加乘的应用3.1 数学领域在数学中，加乘被广泛应用于各种数学运算中。

例如，在代数学中，加乘被用于解方程、求解多项式等。

在概率论和统计学中，加乘用于计算概率、期望值等。

在几何学中，加乘用于计算面积、体积等。

3.2 物理学领域在物理学中，加乘被用于计算物体的质量、力、速度等。

例如，质量可以表示为密度乘以体积，力可以表示为质量乘以加速度，速度可以表示为位移除以时间等。

3.3 工程学领域在工程学中，加乘被广泛应用于各种工程计算中。

例如，在电路设计中，加乘用于计算电流、电压等。

在结构分析中，加乘用于计算应力、应变等。

在材料科学中，加乘用于计算材料的强度、硬度等。

3.4 计算机科学领域在计算机科学中，加乘被广泛应用于各种算法和数据结构中。

例如，在排序算法中，加乘用于计算数组元素的位置。

在图形学中，加乘用于计算像素的颜色值。

在机器学习中，加乘用于计算权重和偏差等。

3.5 其他领域除了上述领域，加乘还被应用于经济学、生物学、心理学等各个领域。

例如，在经济学中，加乘被用于计算 GDP、收入等。

在生物学中，加乘被用于计算基因和蛋白质的相互作用。

在心理学中，加乘被用于计算认知能力和学习能力等。

4. 总结加乘是数学中最基本的运算之一，通过将两个或多个数字相乘得到一个结果。

奥数第10讲加法原理和乘法原理综合运用例题和详解

10 加、乘原理综合应用趣味故事加乘原理与干支纪年大家都知道20XX年是乙丑年，就是我们的“干支纪年”法．那同学们知道它是怎么算出来的吗？我们把天干分成十个，即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸．地支共十二个：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥．那年份是通过怎样的排列得到的呢？下面就是排列的方法：甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉；甲戌、乙亥……从“甲子”重新开始，直到“癸亥”结束．以此纪年，一个循环60年．称为“六十甲子”，或者“六十花甲”．根据这种推算，我们可以算出任意一年是什么组合喽，读完这个故事，讲给你的父母听，告诉他们我们祖辈的纪年其实是利用了奥数知识啊．能力培养思维/能力例1 例2 例3 例4 例5 例6 例7 例8 例9 思维☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ 能力☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺ ☺教学目标本讲的两个教学要点：1．复习乘法原理和加法原理；2．培养学生综合运用加法原理和乘法原理的能力；在分类讨论中结合分步分析，在分步分析中结合分类讨论；教师应该明确并强调哪些是分类，哪些是分步．并了解与加、乘原理的常见题型：数论类问题、染色问题、图形组合．经典精讲生活中常有这样的情况：在做一件事时，有几类不同的方法，在具体做的时候，只要采用其中某一类中的一种方法就可以完成，并且这几类方法是互不影响的．那么考虑完成这件事所有可能的做法，就要用到加法原理来解决．还有这样的一种情况：就是在做一件事时，要分几步才能完成，而在完成每一步时，又有几种不同的方法．要知道完成这件事情共有多少种方法，就要用到乘法原理来解决．应用加法原理和乘法原理时要注意下面几点：⑴加法原理是把完成一件事的方法分成几类，每一类中的任何一种方法都能完成任务，所以完成任务的不同方法数等于各类方法数之和．⑵乘法原理是把一件事分几步完成，这几步缺一不可，所以完成任务的不同方法数等于各步方法数的乘积．⑶在很多题目中，加法原理和乘法原理都不是单独出现的，这就需要我们能够熟练的运用好这两大原理，综合分析，正确作出分类和分步．【分析】 (一)取出的3面旗子，可以是一种颜色、两种颜色、三种颜色，应按此进行分类第一类，一种颜色：都是蓝色的或者都是白色的，2种可能；第二类，两种颜色：(43)336⨯⨯=第三类，三种颜色：43224⨯⨯=所以，根据加法原理，一共可以表示2362462++=种不同的信号．(二)白棋打头的信号，后两面旗有4416⨯=种情况．所以白棋不打头的信号有621646-=种．［铺垫］某信号兵用红，黄，蓝，绿四面旗中的三面从上到下挂在旗杆上的三个位置表示信号．每次可挂一面，二面或三面，并且不同的顺序，不同的位置表示不同的信号．一共可以表示出多少种不同的信号？［分析］由于每次可挂一面、二面或三面旗子，我们可以根据旗杆上旗子的面数分三类考虑：第三类第二类第一类第一类，可以从四种颜色中任选一种，有4种表示法；第二类，要分两步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法．根据乘法原理，共有4312⨯=种表示法；第三类，要分三步完成：第一步，第一面旗子可以从四种颜色中选一种，有4种选法；第二步，第二面旗子可从剩下的三种中选一种，有3种选法；第三步，第三面旗子可从剩下的两种颜色中选一种，有2种选法．根据乘法原理，共有43224⨯⨯=种表示法．根据加法原理，一共可以表示出4122440++=种不同的信号．红、黄、蓝、白四种颜色不同的小旗，各有2，2，3，3面，任意取出三面按顺序排成一行，表示一种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？如果白旗不能打头又有多少种？简单加乘原理综合运用1【分析】因为要求“填在黑格里的数比它旁边的两个数都大”，所以填入黑格中的数不能够太小，否则就不满足条件．通过枚举法可知填入黑格里的数只有两类：第一类，填在黑格里的数是5和4；第二类，填在黑格里的数是5和3．接下来就根据这两类进行计数：第一类，填在黑格里的数是5和4时，分为以下几步：第一步，第一个黑格可从5和4中任选一个，有2种选法；第二步，第二个黑格可从5和4中剩下的一个数选择，只有1种选法；第三步，第一个白格可从1，2，3中任意选一个，有3种选法．第四步，第二个白格从1，2，3剩下的两个数中任选一个，有2种选法；第五步，最后一个白格只有1种选法．根据乘法原理，一共有(21)(321)12⨯⨯⨯⨯=种．第二类，填在黑格里的数是5和3时，黑格中有两种填法，此时白格也有两种填法，根据乘法原理，不同的填法有224⨯=种．所以，根据加法原理，不同的填法共有12416+=种．(走进美妙数学花园少年数学邀请赛)如图，将1，2，3，4，5分别填入图中15⨯的格子中，要求填在黑格里的数比它旁边的两个数都大．共有种不同的填法．加乘原理与数论用0~9这十个数字可组成多少个无重复数字的四位数？ 3 2【分析】无重复数字的四位数的千位、百位、十位、个位的限制条件：千位上不能排0，或说千位上只能排1～9这九个数字中的一个．而且其他位置上数码都不相同，下面分别介绍三种解法．方法一：分两步完成：第一步：从1～9这九个数中任选一个占据千位，有9种方法．第二步：从余下的9个数(包括数字0)中任选3个占据百位、十位、个位，百位有9种．十位有8种，个位有7种方法．由乘法原理，共有满足条件的四位数99874536⨯⨯⨯=个．方法二：组成的四位数分为两类：第一类：不含0的四位数有98763024⨯⨯⨯=个．第二类：含0的四位数的组成分为两步：第一步让0占一个位有3种占法，(让0占位只能在百、十、个位上，所以有3种)第二步让其余9个数占位有987⨯⨯种占法．所以含0的四位数有⨯⨯⨯=个．39871512由加法原理，共有满足条件的四位数302415124536+=个．方法三：从0～9十个数中任取4个数的排列总数为10987⨯⨯⨯⨯⨯，其中0在千位的排列数有987个，所以共有满足条件的四位数：10987987987(101) 4536⨯⨯⨯-⨯⨯=⨯⨯⨯-=个．［拓展］用0，1，2，3四个数码可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？［分析］分为两类：个位数字为0的有326⨯=个，由加法原理，一共有：⨯=个，个位数字为2的有 224+=个没有重复数字的四位偶数．6410［拓展］用数码0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的没有重复数字的自然数？［分析］分为三类，一位数时，0和一位数共有5个；二位数时，为4416⨯=个，三位数时，为：44348⨯⨯=个，由加法原理，一共可以组成5164869++=个小于1000的没有重复数字的自然数．【分析】从1到500的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l 、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8×9=72个数不含4．三位数中，小于500并且不含数字4的可以这样考虑：百位上，不含4的有1、2、3、这三种情况．十位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，个位上，不含4的也有九种情况．要确定一个三位数，可以先取百位数，再取十位数，最后取个位数，应用乘法原理，这时共有399243⨯⨯=个三位数．由于500也是一个不含4的三位数．所以，1～500中，不含4的三位数共有3991244⨯⨯+=个．所以一共有8893991324+⨯+⨯⨯+=个不含4的自然数．［巩固］从1到100的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个?［分析］从1到100的所有自然数可分为三大类，即一位数，两位数，三位数．一位数中，不含4的有8个，它们是1、2、3、5、6、7、8、9；两位数中，不含4的可以这样考虑：十位上，不含4的有l 、2、3、5、6、7、8、9这八种情况．个位上，不含4的有0、1、2、3、5、6、7、8、9这九种情况，要确定一个两位数，可以先取十位数，再取个位数，应用乘法原理，这时共有8972⨯=个数不含4．三位数只有100．所以一共有889181+⨯+=个不含4的自然数．从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个? 4【分析】将1～100按照除以3的余数分为3类：第一类，余数为1的有1，4，7，…100，一共有34个；第二类，余数为2的一共有33个；第三类，可以被3整除的一共有33个．取出两个不同的数其和是3的倍数只有两种情况：第一种，从第一、二类中各取一个数，有34331122⨯=种取法；第二种，从第三类中取两个数，有33322528⨯÷=种取法．根据加法原理，不同取法共有：11225281650+=种．［铺垫］在1~10这10个自然数中，每次取出两个不同的数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？［分析］两个数的和是3的倍数有两种情况，或者两个数都是3的倍数，或有1个除以3余1，另一个除以3余2．1～10中能被3整除的有3个数，取两个有3种取法；除以3余1的有4个数，除以3余2的有3个数，各取1个有3412⨯=种取法．根据加法原理，共有取法：31215+=种．［拓展］在1~10这10个自然数中，每次取出三个不同的数，使它们的和是3的倍数有多少种不同的取法？［分析］三个不同的数和为3的倍数有四种情况：三个数同余1，三个数同余2，三个数都被3整除，余1余2余0的数各有1个，四类情况分别有4种、1种、1种、43336⨯⨯=种，所以一共有4113642+++=种．【分析】方法一：要使两个骰子的点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，可以分为两步：第一有两个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这两个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？在1~100的自然数中取出两个不同的数相加，其和是3的倍数的共有多少种不同的取法？ 5 6步第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数只能是与第一个骰子的点数相同奇偶性的3种可能的点数．根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有6318⨯=（种）．方法二：要使两个骰子点数之和为偶数，只要这两个点数的奇偶性相同，所以，可以分为两类：第一类：两个数字同为奇数．有339⨯=（种）不同的情形．第二类：两个数字同为偶数．类似第一类，也有339⨯=（种）不同的情形．根据加法原理，向上一面点数之和为偶数的情形共有9918+=（种）．方法三：随意掷两个骰子，总共有6636⨯=（种）不同的情形．因为两个骰子点数之和为奇数与偶数的可能性是一样的，所以，点数之和为偶数的情形有36218÷=（种）．［拓展］有三个骰子，每个骰子的六个面分别有1、2、3、4、5、6个点．随意掷这三个骰子，向上一面点数之和为偶数的情形有多少种？［分析］方法一：要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数．可以分为三步：第一步，第一个骰子随意掷有6种可能的点数；第二步，当第一个骰子的点数确定了以后，第二个骰子的点数还是奇数偶数都有可能所有也有6种可能的点数；第三步，当前两个骰子的点数即奇偶性都确定了之后第三个骰子点数的奇偶性就确定了所以只有3种可能的点数．根据乘法原理，向上一面的点数之和为偶数的情形有663108⨯⨯=（种）．方法二：要使三个点数之和为偶数，有两种情况，三个点数都为偶数，或者一个点数为偶数另外两个点数为奇数．所以，要分两大类来考虑：第一类：三个点数同为偶数．由于掷骰子可认为是一个一个地掷．每掷一个骰子出现偶数点数都有3种可能．由乘法原理，这类共有33327⨯⨯=（种）不同的情形．第二类：一个点数为偶数另外两个点数为奇数．先选一个骰子作为偶数点数的骰子有3种选法，然后类似第一类的讨论方法，共有333381⨯⨯⨯=（）（种）不同情形．根据加法原理，三个骰子向上一面点数之和为偶数的情形共有3333333108⨯⨯+⨯⨯⨯=（种）．学奥而思数【分析】第一步给“而”上色，有4种选择；然后对“学”染色，“学”有3种颜色可选；当“奥”，“数”取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时“思”也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当“奥”，“数”取不同的颜色时，“奥”有2种颜色可选，“数”剩仅1种颜色可选，此时“思”也只有1种颜色可选(与“学”相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．所以，根据加法原理，共有43(222)72⨯⨯⨯+=种不同的涂法［铺垫］地图上有A ，B ，C ，D 四个国家(如下图)，现有红、黄、蓝三种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？D C B A加乘原理与图论用四种颜色对右图的五个字染色，要求相邻的区域的字染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：共有多少种不同的染色方法? 7［分析］A有3种颜色可选；当B，C取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时D也有2种颜色可选．根据乘法原理，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，C取不同的颜色时，B有2种颜色可选，C仅剩1种颜色可选，此时D也只有1种颜色可选(与A相同)．根据乘法原理，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=种．综上，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．［注意］给地图染色问题中有的可以直接用乘法原理解决，有的需要分类解决，前者分类做也可以解决问题．［拓展］将图中的○分别涂成红色、黄色或绿色，要求有线段相连的两个相邻○涂不同的颜色，共有多少种不同涂法？D CBA［分析］如右上图，当A，B，C，D的颜色确定后，大正方形四个角上的○的颜色就确定了，所以只需求A，B，C，D有多少种不同涂法．按先A，再B，D，后C的顺序涂色．按---A B D C的顺序涂颜色：A有3种颜色可选；当B，D取相同的颜色时，有2种颜色可选，此时C也有2种颜色可选，不同的涂法有32212⨯⨯=种；当B，D取不同的颜色时，B有2种颜色可选，D仅剩1种颜色可选，此时C也只有1种颜色可选(与A相同)，不同的涂法有32116⨯⨯⨯=(种)．所以，根据加法原理，共有12618+=种不同的涂法．F E DCBA【分析】先按A ，B ，D ，C ，E 的次序染色，可供选择的颜色依次有5，4，3，2，3种，注意E 与D 的颜色搭配有339⨯=(种)，其中有3种E 和D 同色，有6种E 和D 异色．最后染F ，当E 与D 同色时有3种颜色可选，当E 与D 异色时有 2种颜色可选，所以共有542(3362)840⨯⨯⨯⨯+⨯=种染法．【分析】由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取3个点，就可以画出一个三角形，如果这三个点其中两点构成的线段小于直径，并且第三个点在被其余两点分割的较小的圆周上，则这三个点构成钝角三角形，这样所有的钝角三角形可分为三类，第一类是长边端点之间仅相隔一个点，这样的三角形有10110⨯=个，第二类是长边端点之间相隔两个点，这样的三角形有10220⨯=个，第三类是长边端点之间相隔三个点，这样的三角形有10330⨯=个，分别用五种颜色中的某一种对下图的A ，B ，C ，D ，E ，F 六个区域染色，要求相邻的区域染不同的颜色，但不是每种颜色都必须要用．问：有多少种不同的染法？在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点为顶点，可以画出多少不同的钝角三角形？(补充知识：由直径和圆周上的一点构成的三角形一定是直角三角形，其中直径的边所对的角是直角，所以如果圆周上三点在同一段半圆周上，则这三点构成钝角三角形)．98所以一共可以画出10203060++=个钝角三角形．［铺垫］在一个圆周上均匀分布10个点，以这些点再加上圆心一共11个点为端点，可以画出多少长度小于直径的线段．［分析］由于10个点全在圆周上，所以这10个点没有三点共线，故只要在10个点中取2个点，就可以画出一条线段一共有45种方法，其中包括5条直径，应当舍去，其余线段的长都小于直径，一共有40种方法．以圆心为端点的线段一共有10条，所以一共可以画出401050+=条线段．［铺垫］一个半圆周上共有12个点，直径上5个，圆周上7个，以这些点为顶点，可以画出多少个三角形？［分析］第一类：三角形三个顶点都在圆周上，这样的三角形一共有76532135⨯⨯÷⨯⨯=（）种；第二类：三角形两个顶点在圆周上，这样的三角形一共有76215105⨯÷⨯⨯=（）种；第三类：三角形一个顶点在圆周上，这样的三角形一共有7542170⨯⨯÷⨯=（）种；根据加法原理，一共可以画出3510570210++=种．附加题【分析】 ⑴容易验证在1、2、10、11、12月内没有“十全时”． ⑵3月里只有形式032 1 □ □ 符合条件．其中两个方格中可以填4或5，四条横线上可以填6或7或8或9，于是共有2(4321)48⨯⨯⨯⨯=个“十全时”．同理4、5月内也分别各有48个“十全时”．⑶6月里有两种形式：061 23□ □ ①或062 1□ □ ②符合条件．对于形式①两个方格中可以填4或5；三条横线上可以填7或8或9，于是共有2(321)12⨯⨯⨯=个“十全时”．②两个方格中可以填3或4，或5中的任意两个数，三条横线上可以填7或8或9及3、4、5中余下的某一个数．于是共有(32)(4321)144⨯⨯⨯⨯⨯=个“十全时”．所以6月里共有“十全时”12144156+=个．同理7、8、9月内也分别各有156个“十全时”．综上所述，20XX 年一共有4831564768⨯+⨯=个“十全时”．【分析】我们来看正四面体四个面的相关位置，当底面确定后，（从上面俯视）三个侧面的顺序有顺时针和逆时针两种（当三个侧面的颜色只有一种或两种时，顺时针和逆时针的颜色分布是相同的）．用红、橙、黄、绿、蓝5种颜色中的1种，或2种，或3种，或4种，分别涂在正四面体各个面上，一个面不能用两色，也无一个面不涂色的，问共有几种不同涂色方式？假如电子计时器所显示的十个数字是“0126093028”这样一串数，它表示的是1月26日9时30分28秒．在这串数里，“0”出现了3次，“2”出现了2次，“1”、“3”、“6”、“8”、“9”各出现1次，而“4”、“5”、“7”没有出现．如果在电子计时器所显示的这串数里，“0”、“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”、“7”、“8”、“9”这十个数字都只能出现一次，称它所表示的时刻为“十全时”，那么20XX 年一共有多少个这样的“十全时”？12按使用了的颜色种数分类：第一类：用了4种颜色．第一步，选4种颜色，相当于选1种不用，有5种选法．第二步，如果取定4种颜色涂于4个面上，有2种方法．这一类有5210⨯=（种）涂法；第二类：用了3种颜色．第一步，选3种颜色，相当于选2种不用，有54210⨯÷=（种）选法；第二步，取定3种颜色如红、橙、黄3色，涂于4个面上，有6种方法，如下图①②③（图中用数字1，2，3分别表示红、橙、黄3色）．这一类有10660⨯=（种）涂法；第三类：用了2种颜色．第一步，选2种颜色，有54210⨯÷=（种）选法；第二步，取定2种颜色如红、橙2色，涂于4个面上，有3种方法，如下图④⑤⑥．这一类有10330⨯=（种）涂法；第四类：用了一种颜色．第一步选1种颜色有5种方法；第二步，取定1种颜色涂于4个面上，只有1种方法．这一类有515⨯=（种）涂法．根据加法原理，共有1060305105+++=（种）不同的涂色方式．三条平行线上分别有2，4，3个点(下图)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线．问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？3【分析】(方法一)本题分三角形的三个顶点在两条直线上和三条直线上两种情况⑴三个顶点在两条直线上，一共有43223222322443234355⨯÷⨯+⨯÷⨯+⨯÷⨯+⨯÷⨯++=个⑵三个顶点在三条直线上，由于不同直线上的任意三个点都不共线，所以一共有：24324⨯⨯=个根据加法原理，一共可以画出552479+=个三角形．(方法二)9个点任取三个点有987(321 )84⨯⨯÷⨯⨯=种取法，其中三个点都在第二条直线上有4种，都在第三条直线上有1种，所以一共可以画出844179--=个三角形．魔幻数学——页码中的数学小空最近迷上了小说，每天除了护送师傅，空闲时都要捧着一本挺厚的书读．一天，猪坚强看到正在看书的小空就走过去问道：“你看的这本书好像很长啊，有多少页？”“一共是186页呢！”小空的回答里都带着自豪，“是很长，不过我每天都读，肯定能读完的！”“就怕你这只猴子没耐心啊……”猪坚强想着．“对了，最近怎么没见你和师傅讨论奥数题呢？”“说到奥数题，我今天就给你出一道，就以你看的这本书出题．”猪坚强回应道，“你刚才说这本书一共有186页，那么我的问题是，所有这些页码的各位数字里面，一共有多少个1、3、5、7、9呢？”那么，同学们也一起来帮小空算算吧！这也是对我们刚学会的加乘原理的综合应用哦．答案：把页码看成000到186，也就是说在不足三位的页码前面补上0，直到补足三位．在000到199中，偶数和奇数出现的次数是一样的，所以1、3、5、7、9出现的次数总共是20032300⨯÷=（次）．而1、3、5、7、9在187到189中出现5次，从190到199出现25次．因此，1、3、5、7、9在所有页码中一共出现300525270--=（次）．我与竞赛零距离家庭作业丁丙乙甲【分析】从甲地到丙地有两种方法：第一类，从甲地经过乙地到丙地，根据乘法原理，走法一共有428⨯=* 练习1 *如右图，从甲地到乙地有2条路，从乙地到丙地有4条路，从甲地到丁地有3条路可走，从丁地到丙地也有3条路，请问从甲地到丙地共有多少种不同走法？（20XX 年第二届两岸四地“华罗庚金杯”少年数学精英邀请赛）由数字0、2、8（既可全用也可不全用）组成的非零自然数，按照从小到大排列．2008排在第个．【分析】比2008小的4位数有2000和2002，比2008小的3位数有23318⨯⨯=（种），比2008小的2位数有236⨯=（种），比2008小的1位数有2（种），所以2008排在第 21862129++++=（个）．种方法，；第二类，从甲地经过丁地到丙地，一共有339⨯=种方法．根据加法原理，一共有8917+=种走法．【分析】 ⑴小明只买一种糖，完成这件事一步即可完成，有两类办法：第一类是从2种巧克力糖中选一种有2种办法；第二类是从3种水果糖中选一种，有3种办法．因此，小明有235+=种选糖的方法． ⑵小明完成这件事要分两步，每步分别有2种、3种方法，因此有326⨯=种方法．【分析】小于1000的自然数有三类．第一类是0和一位数，有5个；第二类是两位数，十位数有4种选法，个位数有5种选法，根据乘法原理，可组成有4520⨯=个；第三类是三位数，百位数有4种选法，十位数有5种选法，个位数有5种选法，根据乘法原理，可组成455100⨯⨯=个自然数．根据加法原理，共可以组成520100125++=个满足条件的自然数．* 练习3 *用数字0，1，2，3，4，可以组成多少个小于1000的自然数？* 练习2 *商店里有2种巧克力糖：牛奶味、榛仁味；有3种水果糖：苹果味、梨味、橙味．小明想买一些糖送给他的小朋友．⑴如果小明只买一种糖，他有几种选法？⑵如果小明想买水果糖、巧克力糖各1种，他有几种选法？【分析】分3种情况：⑴取出一面，有5种信号；⑵取出两面：可以表示5420⨯=种信号； ⑶取出三面：可以表示：54360⨯⨯=种信号；由加法原理，一共可以表示：5206085++=种信号．DCB A【分析】第一步，首先对A 进行染色一共有4种方法，然后对B 、C 进行染色，如果B 、C 取相同的颜色，有三种方式，D 剩下3种方式，如果B 、C 取不同颜色，有326⨯=种方法，D 剩下2种方法，对该图的染色方法一共有43332284⨯⨯+⨯⨯=（）种方法．* 练习6 *直线a ，b 上分别有4个点和2个点，以这些点为顶点可以画出多少个三角形？* 练习5 *如果有红、黄、蓝、绿四种颜色给地图染色，使相邻国家的颜色不同，但不是每种颜色都必须要用，问有多少种染色方法？* 练习4 *五面五种颜色的小旗，任意取出一面、两面或三面排成一行表示各种信号，问：共可以表示多少种不同的信号？ab【分析】画三角形需要在一条线上找1个点，另一条线上找2个点，本题分为两种情况：⑴在a线上找一个点，有4种选取法，在b线上找两个点，有1种，根据乘法原理，一共有：414⨯=个三角形；⑵在b线上找一个点，有2种选取法，在a线上找两个点，有4326⨯÷=种，根据乘法原理，一共有：2612⨯=个三角形；根据加法原理，一共可以画出：41216+=个三角形．轻松一刻记性真差巴尔扎克喜欢根据一个人的字迹来断定他的性格．他常常获得成功,对这件事他一直得意洋洋．有一天,来了一个老太太,将一本学生的作业本交给他,请他讲讲这个男孩的性格．巴尔扎克拿起作业本一看,说:“这个孩子既懒惰,又任性,他一辈子也不会有出息．”。

加乘原理学而思教案

加乘原理学而思教案教案标题：加乘原理学而思教案教案目标：1. 了解加乘原理的概念和应用；2. 学习如何应用加乘原理解决实际问题；3. 培养学生逻辑思维和问题解决能力。

教材参考：1. 加乘原理的定义和说明；2. 相关实例和案例；3. 学而思提供的学习资源。

教案步骤：1. 导入（5分钟）- 引发学生对加乘原理的思考，例如：你知道什么是加乘原理吗？它在哪些方面可以应用？为什么它重要？- 提示学生回顾学过的相关知识，如数学中的加乘法运算，以及其中存在的关系和应用。

2. 知识讲解与学习（15分钟）- 提供简明扼要的加乘原理定义和解释，确保学生理解其基本概念和含义；- 使用图表、实例等形式，帮助学生理解加乘原理在不同领域的应用；- 引导学生阅读相关实例和案例，深入了解加乘原理的实际应用。

3. 讨论与思考（15分钟）- 小组或全班讨论：请学生结合实例和案例，思考如何利用加乘原理解决问题；- 引导学生提出自己的观点和解决思路，并鼓励他们进行思想交流与合作。

4. 拓展与应用（15分钟）- 提供更复杂的问题或情境，让学生应用加乘原理进行解决；- 引导学生思考其他可以应用加乘原理的领域，并提出相关问题。

5. 总结与评价（10分钟）- 请学生总结他们对加乘原理的理解和应用，并与同伴分享；- 引导学生评价自己在解决问题和思考方面的能力改进；- 鼓励学生提出问题和困惑，并提供反馈和解答。

6. 作业布置（5分钟）- 要求学生完成相关练习和作业，巩固加乘原理的理解和应用；- 鼓励学生积极寻找和应用加乘原理解决身边的问题，并记录下来。

7. 教案总结（2分钟）- 结束时，简要总结本节课的重点和收获，鼓励学生继续探索加乘原理的应用。

备注：- 教案中的时间分配仅供参考，可以根据实际情况进行调整；- 教案中的教学活动可以根据学生的实际情况进行增删和调整；- 鼓励师生互动、学生间合作，培养学生的交流与合作能力。

加法原理和乘法原理的综合运用

加法原理和乘法原理的综合运用加法原理：加法原理用于计算两个事件的总数。

当两个事件不能同时发生时，可以使用加法原理求出这两个事件发生的总数。

乘法原理：乘法原理用于计算两个事件发生的组合结果。

当两个事件的进行过程是由不同的阶段组成时，可以使用乘法原理求出这两个事件发生的组合数。

综合运用：问题1：餐厅有4个主菜和3种甜点，请问在这家餐厅可以有多少种不同的点菜方式？解答：根据加法原理，我们可以将这个问题拆分为两个阶段来考虑：选择主菜和选择甜点。

根据乘法原理，两个阶段的组合数相乘就是总的组合数。

选择主菜的方式有4种，选择甜点的方式有3种，所以总的点菜方式就是4*3=12种。

问题2：班级有5个男生和6个女生，要从中选出3个代表参加学校的一项活动，请问有多少种不同的选取方式？解答：根据加法原理，我们可以将这个问题拆分为两个阶段来考虑：选择男生和选择女生。

根据乘法原理，两个阶段的组合数相乘就是总的组合数。

选择男生的方式有C(5,3)=10种，选择女生的方式有C(6,3)=20种，所以总的选取方式就是10*20=200种。

问题3：书店有4本英语书和3本数学书，计划在一周内每天选取一本书进行促销，请问一周内书店可以有多少种不同的促销方式？解答：根据加法原理，我们可以将这个问题拆分为7个阶段来考虑：每天选择一本书进行促销。

根据乘法原理，七个阶段的组合数相乘就是总的组合数。

每天选择的方式有4+3=7种，所以总的促销方式就是7*7*7*7*7*7*7=7^7=823,543种。

问题4：一个密码由3个数字组成，每个数字都是1-5中的一个，请问一共可以生成多少种不同的密码？解答：根据加法原理，我们可以将这个问题拆分为3个阶段来考虑：每个位置选择一个数字。

根据乘法原理，三个阶段的组合数相乘就是总的组合数。

每个位置的选择方式有5种，所以总的密码数就是5*5*5=125种。

综上所述，加法原理和乘法原理在数学中有着广泛的应用。

通过对问题的拆分和组合，我们可以使用这两个原理解决更加复杂的计数和组合问题。

加乘原理应用的教案

加乘原理应用的教案引言在教学中，为了提高学生的学习效果，我们需要运用一些教学方法来帮助学生更好地理解和掌握知识。

加乘原理是一种常用的教学原理，通过提供多种不同的学习方式来加强学生的学习效果。

本文将介绍加乘原理在教学中的应用，并给出一个具体的教案例子。

加乘原理的概念加乘原理是指将多种有效的教学方法相互结合，形成一种综合教学策略，以达到提高学生学习效果的目的。

通过采用不同的教学方法，可以帮助学生更全面、更深入地理解和掌握知识。

加乘原理的核心思想是通过提供多样化的学习体验，激发学生的学习兴趣和积极性，提高学习效果。

加乘原理的应用在教学中，我们可以运用加乘原理来设计不同的教学活动和任务，从而提供多种不同的学习方式。

下面是一个具体的教案例子，展示了如何应用加乘原理来设计一个数学课的教学内容。

教案：解一元一次方程教学目标•学习解一元一次方程的基本方法和步骤。

•掌握运用解一元一次方程解决实际问题的能力。

•培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。

教学过程1.导入：通过一个生活实例引入解一元一次方程的概念和应用场景。

–例如，某个商店打折销售商品，学生需要通过解方程来计算打折后的价格。

2.知识点讲解：通过板书和讲解的方式介绍解一元一次方程的基本概念和解题步骤。

–包括方程的定义、等式的性质、解方程的基本原理等内容。

3.案例分析：给出一些具体的解一元一次方程的例子，让学生自己进行思考和尝试解答。

–鼓励学生积极参与，提出自己的解题思路和方法。

4.小组合作：将学生分成若干小组，让他们在小组内相互讨论、合作解决一些解一元一次方程的问题。

每个小组需要写出解题过程和答案。

–鼓励学生合作，通过讨论和交流来提高解题的效果。

5.总结归纳：让学生用自己的话总结解一元一次方程的基本方法和步骤，并将其分享给全班。

–通过学生的总结，加深对解一元一次方程的理解。

6.练习巩固：布置一些练习题，让学生在课后巩固和应用所学的知识。

–可以根据学生的不同水平设计不同难度的练习题。

高中数学第一册(上)加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理[教学目标]1．了解学习本章的意义,激发学生的兴趣；2．理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力；3．会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题．[教学重点]分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)．[教学难点]原理的准确理解及应用．[内容分析]两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的基于这一想法，在引入新课时，首先是把正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样合理地进行分类和分步教学中给出的练习均在课本例题的基础上稍加改动过的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小〞，即“分解〞的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类〞、“分步〞，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种[教学过程]一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？揭示本节课内容：等我们学了这一部分内容后，这些问题会很容易解决而这部分内容是代数中一个独立的问题，与旧知识联系很少，但它是以后学习二项式定理、概率学、统计学从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合．它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关至于在日今天我们就来学习本章的两个基本原理(这是排列、组合的第一节课，把这一章的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为本章的学)二、讲解新课：〔1－1〕从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以，共有3+2=5种不同的走法，如下图(1－2) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法 2．分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 12n N m m m =+++ 种不同的方法〔2－1〕从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有326⨯=种不同走法，如下图，所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车2──汽车1；火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2〔2－2〕如图,由A 村去B 村的道路有2条，由B 村去C 村的道路有3条从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？分析: 从A 村经 B 村去C 村有2步,第一步, 由A 村去B 村有2种方法,第二步, 由B 村去C 村有3种方法,所以从A 村经 B 村去C 村共有 2×3 = 6 种不同的方法 4.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法〞，是说每种办法“互斥〞，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，否那么不可以.分步计数原理(乘法原理)中，“完成一件事，需要分成n 个步骤〞，是说每个步骤都不足甲地乙地火车汽车轮船A村C村B村以完成这件事，这些步骤，彼此间也不能有重复和遗漏．如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立，即相对于前一步的每一种方法，下一步都有m 种不同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直接用乘法原理.可以看出“分〞是它们共同的特征，但是，分法却大不相同．两个原理的公式是:12n N m m m =+++, 12n N m m m =⨯⨯⨯这种变形还提醒人们，分类和分步，常是在一定的限制之下人为的，因此，在这里我们大有用武之地：可以根据解题需要灵活而巧妙地分类或分步．强调知识的综合是近年的一种可取的现象．两个原理，可以与物理中电路的串联、并联类比．两个基本原理的区别：一个与分类有关，一个与分步有关；加法原理是“分类完成〞，乘三、讲解X 例：例1．书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，〔1〕从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？〔2〕从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？解：〔1〕从书架上任取1本书，有3类办法：第1类办法是从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2类是从第2层取1本文艺书，有3种方法；第3类办法是从第3层取1本体育书，有2根据分类计数原理，不同取法的种数是4+3+2=9种所以，从书架上任取1本书，有9种不同的取法；〔2〕从书架的第1、2、3层各取1本书，可以分成3个步骤完成：第1步从第1层取1本计算机书，有4种方法；第2步从第2层取1本艺术书，有3种方法；第3步从第3层取1本体育书，有2种方法根据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取1本书，不同取法的种数是43224⨯⨯=种所以，从书架的第1、2、3层各取1本书，有24种不同的取法例2．一种拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数？解：每个拨号盘上的数字有10种取法，根据分步计数原理，4个拨号盘上各取1个数字组成的四位数字的个数是1010101010000N =⨯⨯⨯=，所以，可以组成10000例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？解：从3名工人中选1名上日班和1名上晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班两个步骤完成，先选1名上日班，共有3种选法；上日班的工人选定后，上晚班的工人有2根据分步技数原理，不同的选法数是326N =⨯=种，6种选法可以表示如下〔略〕．所以，从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，6种不同的选法例4．甲厂生产的收音机外壳形状有3种，颜色有4种，乙厂生产的收音机外壳形状有4种，颜色有5种，这两厂生产的收音机仅从外壳形状和颜色看，共有所少种不同的品种？解：收音机的品种可分两类：第一类：甲厂收音机的种类，分两步：形状有3种，颜色有4种，共3412⨯=种；第二类：乙厂收音机的种类，分两步：形状有4种，颜色有5种，共4520⨯=种所以，共有122032+=个品种说明：分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题区别在于：分类计数原理针对“分类〞问题，其中方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步〞问题，各个步骤中方法相互独立，只有各个步骤都完成才算完成四、课堂练习：1 . 书架上层放有6本不同的数学书，下层放有5本不同的语文书(1) 从中任取一本，有多少种不同的取法？(2)从中任取数学书与语文书各一本，有多少种不同的取法？解：(1)从书架上任取一本书，有两种方法：第一类可从6本数学书中任取一本，有6种方法；第二类可从5本语文书中任取一本，有5种方法；根据加法原理可得共有 5+6=11 种不(2) 从书架上任取数学、语文书各一本，可以分成两步完成：第一步任取一本数学书，有6种方法；第二步任取一本语文书，有5种方法根据乘法原理共有5×6=30种不同取法2. 某班级有男学生5人，女学生4人(1)从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？(2) 从中任选男、女学生各一人去参加座谈会，有多少种不同的选法？解：(1) 完成从学生中任选一人去领奖这件事，共有2类办法，第一类办法，从男学生中任选一人，共有1m = 5种不同的方法；第二类办法，从女学生中任选一人，共有2m = 4种不同的方法所以, 根据加法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种(2) 完成从学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事, 需分2步完成, 第一步，选一名男学生，有 1m = 5种方法；第二步，选一名女学生，有2m = 4种方法；所以，根据乘法原理, 得到不同选法种数共有 N = 5 × 4 = 20 种由例1可知：解题的关键是从总体上看做这件事情是“分类完成〞，还是“分步完成〞 “分类完成〞用“加法原理〞；“分步完成〞用“乘法原理〞3. 满足A ∪B =｛1,2｝的集合A 、B 共有多少组?分析一:A 、B 均是｛1,2｝的子集:φ,｛1｝,｛2｝,｛1,2｝,但不是随便两个子集搭配都行,此题尤如含A 、B 两元素的不定方程,其全部解分为四类:1)当A =φ时,只有B =｛1,2｝,得1组解;2)当A =｛1｝时,B =｛2｝或B =｛1,2｝,得2组解;3)当A =｛2｝时,B =｛1｝或B =｛1,2｝,得2组解;4)当A =｛1,2｝时,B =φ或｛1｝或｛2｝或｛1,2｝,得4组解.根据分类计数原理,共有1+2+2+4=9组解.分析二: 设A 、B 为两个“口袋〞,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中,分两步可办好此事:第1步装“1〞,可装入A 不装入B ,也可装入B 不装入A ,还可以既装入A 又装入B ×3=9种装法,即原题共有9组解.4.从甲地到乙地有2条路可通,从乙地到丙地有3条路可通;从甲地到丁地有4条路可通, 从丁地到丙地有2从甲地到丙地共有多少种不同的走法？答案：2×3＋4×五、小结：本节课主要介绍了两个基本原理，解题时应紧扣原理，弄清事情完成的前后经过，分清是分类还是分步，或分类中含分步、分步中含分类无论是分类、分步，关键是做到不重不漏六、课后作业：南师大《数学之友》T10．1七、板书设计〔略〕八、教学后记：。

加法原理和乘法原理

加法原理和乘法原理1、理解加法原理和乘法原理；2、解决具体的加乘原理的题目加法原理和乘法原理【知识导入 1】我们先来看这样一些问题：问题1：从西安到北京，每天有3 个航班的飞机，有4 个班次的火车，有两个班次的汽车.那末，乘坐以上工具从西安到北京，在一天中一共有多少种选择呢？问题2：用一个大写英文字母或者一个阿拉伯数字给教室里的坐位编号，总共能编出多少种不同的号码？问题3：一个学生从3 本不同的物理资料、4 本不同的英语资料、6 本不同的课外书中任取一本来学习，不同的选法有多少种？【提炼特点】(1)完成一件事有若干种方法，这些方法可以分成n 类；(2)每一类中的每一种方法都可以完成这件事；(3)把各类的方法数相加，就可以得到完成这件事的所有方法数。

【抽象概况】分类加法计数原理：完成一件事情，可以有n 类办法，在第1 类办法中有m 种不同的方法，在第2 类办法中有1m 种不同的方法……在第 n 类办法中有m 种不同的方法.那末完成这件事共有2 nN = m + m + . . . + m1 2 n种不同的方法.注意：○1 这个原理也称为“加法原理”；分类加法计数原理针对的是“分类”问题，各类的方法相互独立，各类中的各种方法也相对独立，用任何一类中的任何一种方法都可以单独完成这件事.例题学习【例 1】用 1 角、 2 角和 5 角的三种人民币(每种的张数没有限制)组成 1 元钱，有多少种方法？【解析】运用加法原理，把组成方法分成三大类：①只取一种人民币组成 1 元，有 3 种方法： 10 张 1 角； 5 张 2 角； 2 张 5 角。

②取两种人民币组成 1 元，有 5 种方法： 1 张 5 角和 5 张 1 角；一张 2 角和8 张 1 角； 2 张 2 角和 6 张 1 角； 3 张 2 角和 4 张 1 角； 4 张 2 角和 2 张 1 角。

③取三种人民币组成 1 元，有 2 种方法： 1 张 5 角、 1 张 2 角和 3 张 1 角的； 1 张 5 角、 2 张 2 角和 1 张 1 角的。

数学教案掌握四则运算基本原理

数学教案掌握四则运算基本原理数学，作为一门重要的学科，对于培养学生的逻辑思维、计算能力和问题解决能力具有重要的作用。

四则运算作为数学的基础，是学生掌握数学知识和解决实际问题的基石。

本文将介绍一份数学教案，帮助学生全面掌握四则运算的基本原理。

一、教案目标通过本教案的学习，学生将能够：1. 理解四则运算的基本概念和运算规则；2. 掌握加法、减法、乘法和除法的基本运算方法；3. 运用四则运算解决日常生活和数学问题。

二、教学内容1. 加法加法是最基本的运算之一，它的运算规则是“先加后减，正负相消”。

在教学中，老师可以通过贴近生活的实例，让学生感受到加法的实际应用，例如家庭开销的计算等。

2. 减法减法是加法的逆运算，它的运算规则是“正负相消”。

在教学中，老师可以通过实际例子，引导学生理解减法的运算原理，如购物消费的计算等。

3. 乘法乘法是加法的进一步延伸，它的运算规则是“相乘得正，相除得整”。

在教学中，老师可以通过自主发现的方式，引导学生理解乘法的意义和运算规则，如购买商品的计算等。

4. 除法除法是乘法的逆运算，它的运算规则是“相乘得正，相除得整”。

在教学中，老师可以通过实际问题的引入，让学生理解除法的概念和运算方法，如分配物品的计算等。

三、教学步骤1. 导入通过简单的问题导入四则运算，激发学生的兴趣和探究欲望。

例如，“小明有5本书，他又买了3本书，一共有多少本书？”2. 展示呈现加法、减法、乘法和除法的运算步骤和规则，并结合具体的例子进行讲解和示范。

例如，在黑板上展示“5+3=8”，让学生理解加法的运算过程和结果。

3. 操练组织学生进行练习，巩固四则运算的基本原理。

可以设计一些练习题，让学生逐步熟悉运算方法，并注重培养他们的思维能力和解决问题的能力。

4. 进一步拓展引导学生运用四则运算解决实际问题，培养他们的应用能力。

例如，“小明买了5个苹果，每个苹果2元，他一共花了多少钱？”四、教学评估1. 定期组织小测验，检验学生对四则运算基本原理的掌握情况；2. 观察学生在课堂练习和实际问题解决中的表现，评估他们的运算能力和思维能力；3. 鼓励学生参与小组合作探究活动，评估他们的合作能力和问题解决能力。