大物课后习题 答案

1-3 一质点在xOy 平面上运动，运动方程为

x =3t +5, y =

2

1t 2

+3t -4.

式中t 以 s 计，x ,y 以m 计．(1)以时间t 为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t =1 s 时刻和t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t ＝0 s 时刻到t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算t ＝0s 到t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t ＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)．

解：（1） j t t i t r

)432

1

()53(2-+++=m (4) 1s m )3(3d d -⋅++==

j t i t

r v

则 j i v

734+= 1s m -⋅

(6) 2

s m 1d d -⋅==j t

v a

这说明该点只有y 方向的加速度，且为恒量。

1-4 在离水面高h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸S 处，如题1-4图所示．当人以

0v (m ·1

-s

)的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．

图1-4

解： 设人到船之间绳的长度为l ，此时绳与水面成θ角，由图可知 2

2

2

s h l +=

将上式对时间t 求导，得

t

s s

t

l l

d d 2d d 2= 题1-4图

根据速度的定义，并注意到l ,s 是随t 减少的， ∴ t

s v v t

l v d d ,d d 0-

==-

=船绳

即 θ

cos d d d d 00v v s

l t

l s l t

s v =

=

-

=-

=船

或 s

v s h s

lv v 0

2

/12

2

0)

(+=

=

船

将船v 再对t 求导，即得船的加速度

3

2

0222

2

2

002

)(d d d d d d s

v h s

v s

l

s v s

lv s v v s

t s l t

l s t

v a =

+-=

+-=

-==

船

船

1-6 已知一质点作直线运动，其加速度为 a ＝4+3t 2s m -⋅，开始运动时，x ＝5 m ， v =0，求该质点在t ＝10s 时的速度和位置． 解：∵ t t

v a 34d d +==

分离变量，得 t t v d )34(d += 积分，得

1

2

234c t t v ++

=

由题知，0=t ,00=v ,∴01=c 故 2

2

34t t v += 又因为 2

234d d t t t

x v +

==

分离变量， t t t x d )2

34(d 2

+

=

积分得 23

2

2

12c t t x ++=

由题知 0=t ,50=x ,∴52=c 故 52

123

2

++=t t x

所以s 10=t 时

m

705

510

2

110

2s

m 190

10231043

2

101

2

10=+⨯+

⨯=⋅=⨯+⨯=-x v

1-8 质点沿半径为R 的圆周按s ＝2

02

1bt t v -

的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧

长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点的加速度；(2) t 为何值时，加速度在数值上等于b ． 解：（1） bt v t

s v -==

0d d

R

bt v R

v

a b t v a n 2

02

)

(d d -=

=

-==

τ

则 2

4

02

2

2

)

(R

bt v b a

a a n

-+

=+=τ

加速度与半径的夹角为

2

0)

(arctan

bt v Rb a a n

--=

=τϕ

(2)由题意应有

2

4

02

)

(R

bt v b b a -+

=

=

即 0)(,)

(4

02

4

02

2=-⇒-+

=bt v R

bt v b b

∴当b

v t 0=

时，b a =

1-10 以初速度0v ＝201

s m -⋅抛出一小球，抛出方向与水平面成幔 60°的夹角，

求：(1)球轨道最高点的曲率半径1R ；(2)落地处的曲率半径2R ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)

解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．

题1-10图

(1)在最高点，