自动控制原理4PPT课件

二、根轨迹的概念
定义 Gk (s)的某个参数，由 0时，系统的闭环特征根在S平面上的变
化轨迹。
例 已知系统的结构图如下图所示，请绘出 K:0 时的根轨迹。
R(s
K
Y(s
)
-
s(s 2)
)
解：闭环传递函数为
系统特征方程为
K
0
s1
0
s2
ห้องสมุดไป่ตู้
-2
K
(s)
1
s(s
2) K
s2
K 2s
K
s(s 2)
N(s) s 1 N ' (s) 1 D(s) (s 0.1)(s 0.5) s2 0.6s 0.05 D' (s) 2s 0.6 N ' (s)D(s) D' (s)N (s) s2 2s 0.55 0 s1 1.67 s2 0.33
求对应分离点、会合点的Kg：
D(s) K g N (s) 0
K g1 2.74
K g 2 0.06
7.渐近线
S1=-1.67 Kg1=2.74
（1）渐近线条数： n-m条，根轨迹沿渐近线倾角方向趋向无穷远
180(2k1)
nm
（2）渐近线交点： 与实轴交于一点 坐标为（-σ，j0）
n
m
( pi ) (z j )
i1
一般而言，绘制根轨迹时的可变参量可以是系统的任意参量。但最常用的可变参量是 系统的开环传递系数Kg（也称为根轨迹增益）。
Kg——常规根轨迹 Kg以外的参数——参量根轨迹 以上二阶系统的根轨迹可以用解析法来求得，但对于高阶系统来说，解析法就不适用了， 工程上常采用图解的方法来绘制。
4.2 绘制根轨迹的基本条件和基本规则
计算分离点和会合点的依据： N '(s)D (s) D '(s)N (s) 0
求出的重根要代入原方程，只有当Kg为正，才是分离点和会合点。
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的分离点和会合点。 G k(s)Kg(s0 (.s 1)s (1)0.5)
解：系统有一个开环零点为-1，有两个开环极点分别为-0.1和-0.5。 根据根轨迹绘制原则可知，根轨迹与实轴相重合的区间为 [-0.5 -0.1],[-∞ -1]。 求根轨迹的分离点和会合点：
本节重点:掌握根轨迹的绘制方法
本节难点：根轨迹和虚轴的交点 一、根轨迹的幅值条件和相角条件 一般的闭环系统结构框图如图所示，其特征方程为
1G (s)H (s)0 其开环传递函数
G k(s) G (s)H (s) 1
由等式两边幅角和相角分别相等的条件可得
G (s)H (s)1 G (s)H (s) 18 (2 0 k 1 ) k0 ,1 ,2 ,
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹与虚轴的交点。 Gk(s)s(s1 K)g(s2)
4.1 根轨迹的基本概念
一、问题的提出
在前一章控制系统的时域分析的讨论中已经知道，只要能求得系统微分方程 的特征方程式的根即系统闭环传递函数的极点，则系统的稳定性和动态性能就可 以确定。但是在高阶系统中，求解特征根的根是一件很困难的事，在实际工作中 难以应用。
1948年伊文思根据反馈系统开环和闭环传递函数之间的关系，提出了求解 特征方程根的图解方法——根轨迹法。根轨迹法是分析、设计线性定常系统的一 种图解方法。
在S平面实轴上的线段存在根轨迹的条件是：线段右侧开环零点（有限零点）和开环
极点数之和为奇数。
jj
6.分离点和会合点
分离点：根轨迹相遇后又分开的点。
分离角：离开分离点角度为 90
σ
会合点：根轨迹相会合的点。
分离角：进入分离点的角度为 90
一般来说，两个开环极点之间会有一个分离点，两个有限开环零点之间会有一个会合 点。
j 1
i 1
j 1
i 1
180 ( 2 k 1) k 0,1,2
在测量相角时，规定以逆
其中 j ——开环零点到S的矢量角
时针方向为正。
i ——开环极点到S的矢量角
二、根轨迹绘制法则
1.连续性 2.对称性
m
jn1((sszpij))K1g
i1
Kg:0
对称性：对称于实轴，国为特征根为实数或为共轭复数，根轨迹必然对
D(s) s2 2s K 0
s1,2 1 1 K
1/2
1
2
3
-0.29
-1
-1+j
-1+2j
-1.7
-1
-1-j
-1-2j
∞ -1+j∞ -1-j∞
j
σ
有了根轨迹图，可以立即分析系统的各种性能 （1）稳定性 开环增益K从零变到无穷时，根轨迹不会越过虚轴进入右半s平面，因此系统对所 有的K值都是稳定的。 （2）稳态特性 开环系统在坐标原点有一个极点，所以属于一型系统。因此根轨迹中的K值就 是静态速度误差系数。如果给定系统稳态误差要求，则由根轨迹图可以确定闭环极点位置的允 许范围。 （3）动态特性 由图中可见，当0<K<1时，所有闭环极点都位于实轴上，系统为过阻尼系统， 单位阶跃响应为非周期过程；当K=1时，闭环两个实数极点相重合，系统为临界阻尼系统，单 位阶跃仍为非周期过程，但响应速度较0<K<1的情况快；当K>1时，闭环极点为复数极点，系 统为欠阻尼系统，单位阶跃响应为阻尼震荡过程，且超调量将会随K值的增大而加大。 上述分析表明，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的关系。
称于实轴
3. 起点 （Kg =0）和终点（Kg = ∞）
当Kg =0 闭环系统特征根即由开环系统特征方程式决定，即闭环极点也就是开环极点，根轨迹从开环 极点出发。
开环零点（有限，无限）为根轨迹终点。设N(s)为m阶，有m个有限开环零点，还有n-m个无限零点 。
4 .根轨迹数
条数：开环极点数n，n条
5.实轴上的根轨迹
j 1
nm
j
σ
S1=-0.33 Kg1=0.06
例 已知系统的开环传递函数如下所示，请求出根轨迹的渐近线。 Gk(s)s(s2 K)g(s4)
解：系统没有开环零点，有三个开环极点分别为0，-2和-4。
024 2
3
180(2k 3
1)
60(k 0) 180(k 1)
8.与虚轴的交点 将s=jw代入系统特征方程，求出w的值。
在S平面上的任一点，凡能满足以上幅角和相角条件的，就是系统特征方程的根，就必定在 根轨迹上。
开环传递函数通常又可以写为
m
Kg G(s)H(s)
j 1(szj)
1
n
i 1(spi)
其中 K g ——开环传递系数
即
zj
p
i
——开环零点、极点
m
K g sz j
j 1
1
n
s pi
i 1
m
n
m
n
(s z j ) (s pi ) j i