运筹学 第九章 马尔科夫分析
马尔可夫分析法
马尔可夫分析法马尔可夫分析法是俄国数学家马尔可夫在1907年提出, 并由蒙特·卡罗加以发展而建立起的一种分析方法。
它主要用于分析随机事件未来发展变化的趋势, 即利用某一变量的现在状态和动向去预测该变量未来的状态及动向, 以便采取相应的对策。
1马尔可夫过程及马尔可夫链 [3]定义1设随机序列{X(n) ,n=0, 1, 2, …}的离散状态空间为E, 若对于任意m个非负整数n1,n2, …,nm(0≤n1<n2<…<nm) 和任意自然数k, 以及任意i1,i2, …,im,j∈E满足 [3]P{X(nm+k) =j|X(n1) =i1,X(n2) =i2, …,X(nm)=im}=P{X(nm+k) =j|X(nm) =im} (1) [3]则称X(n) ,n=0, 1, 2, …}为马尔可夫链。
[3]在式(1) 中, 如果nm表示现在时刻,n1,n2, …,nm-1表示过去时刻,nm+k表示将来时刻, 那么此式表明过程在将来nm+k时刻处于状态j仅依赖于现在nm时刻的状态im, 而与过去m-1个时刻n1,n2, …,nm-1所处的状态无关, 该特性称为马尔可夫性或无后效性。
式(1) 给出了无后效性的表达式。
[3]2齐次马尔可夫链和k步转移概率 [3]P{X(nm+k) =j|X(nm) =im},k≥1称之为马尔可夫链在n时刻的k 步转移概率, 记为Pij(n,n+k) 。
转移概率表示已知n时刻处于状态i, 经k个单位时间后处于状态j的概率。
若转移概率Pij(n,n+k) 是不依赖于n的马尔科夫链, 则称为齐次马尔可夫链。
这种状态只与转移出发状态i、转移步数k及转移到达状态j有关, 而与n无关。
此时,k 步转移概率可记为Pij(k) , 即 [3]Pij(k) =Pij(n,n+k) =P{X(n+k) =j|X(n) =i},k>0 (2) [3]式中,0≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=10≤Ρij(k)≤1,∑j∈EΡij(k)=1。
运筹学基础（马尔可夫）（PDF）
P(m+L) = P(m)P(L)
若pi(m)为系统经过m步转移后处于状态i的概率，则：
=
(0) () =
=1
() ( − )
(m ≥ L)
=1
记u(0) = (p1(0), p2(0), …, pn(0))为系统的初始状态向量，则上
概率为1/2。试写出马尔可夫链的一步转移矩阵。又
已知周一他的状态好，问周三状态好、周五状态不好
的概率各为多少。
例题
已知北京市面上销售三种洗衣粉，碧浪A，立白L和奥妙
O。市场调查表明，购买碧浪的顾客下个月仍有60%的
概率继续购买A（pAA=0.6），但有20%的顾客转而购买
立白L（pAL=0.2），还有20%的顾客转而购买奥妙O（
转而购买立白L（pAL=0.2），还有20%的顾客转而购
买奥妙O（pAO=0.2）。类似地，还有pLA=0.1，
pLL=0.7，pLO=0.2，pOA=0.1，pOL=0.1，pOO=0.8。已
知，上个月北京市场共销售100万kg洗衣粉，其中A
、L、O各为30万kg，40万kg和30万kg。假设各月市
场总消费量不变，试预测稳定状态下“最终市场占有
率”。
例题
碧浪很受刺激，决定采取竞争手段。经过研究，碧浪
认为采取加强广告宣传和促销的手段，可以改变转移
概率，增加一部分原本购买立白和奥妙的客户，转而
购买碧浪。假设改变后，新的转移矩阵为：
0.6 0.2 0.2
P = = 0.2 0.6 0.2
题（有限状态稳定的马尔可夫过程问题）的数学模型：
11 12 … 1
… 2
马尔可夫决策ppt课件
V(s)→V*(s)
ii)异步迭代法 对于每一个状态s,得到新的 v(s)后，不存储，直接更新。
13
知道了V*(s)后，再用（3）求出相应的最优策略
γ=0.99
3 0.86 0.90 0.93
+1
2 0.82
0.69
-1
1 0.78 0.75 0.71 0.71
12
3
4
14
• 策略迭代法（π→π*）
• 在增强学习里有一个重要的概念是Q学习，本质是将与状 态s有关的V(s)转换为与a有关的Q。
• 里面提到的Bellman等式，在《算法导论》中有BellmanFord动态规划算法，有值得探讨的收敛性的证明。
19
Thank you!
20
5
MDP是如何工作的
时间0，从状态S0出发. . .
取出你在哪个地方at state S0
选择一个动作A0决定action a0
循环
得到一个新状态 S1~PS0a0
a0
a1
S0
S1
a2 S2
S3 . . . . . .
RR((SS00)) ++ γRR(S(S1)1) ++ γ2R(S2) ++ γ3R(S33) ...... ...... γ∈[0,1) 目标：E[R(S0) + γR(S1) + γ2R(S2) + γ3R(S3)+. . .]
7
递推
Vπ（s）= E[R(S0)+γR(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . . ] = R(S0)+γ（E[R(S1)+γ2R(S2)+γ3R(S3)+. . .] ）
运筹学基础课后习题答案
运筹学基础课后习题答案[2002年版新教材]第一章导论 P51.、区别决策中的定性分析和定量分析，试举例。
定性——经验或单凭个人的判断就可解决时，定性方法定量——对需要解决的问题没有经验时；或者是如此重要而复杂，以致需要全面分析（如果涉及到大量的金钱或复杂的变量组）时，或者发生的问题可能是重复的和简单的，用计量过程可以节约企业的领导时间时，对这类情况就要使用这种方法。
举例：免了吧。
2、. 构成运筹学的科学方法论的六个步骤是哪些？.观察待决策问题所处的环境；.分析和定义待决策的问题；.拟定模型；.选择输入资料；.提出解并验证它的合理性（注意敏感度试验）；.实施最优解；3、．运筹学定义：利用计划方法和有关许多学科的要求，把复杂功能关系表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据第二章作业预测P251、. 为了对商品的价格作出较正确的预测，为什么必须做到定量与定性预测的结合？即使在定量预测法诸如加权移动平均数法、指数平滑预测法中，关于权数以及平滑系数的确定，是否也带有定性的成分？答：（1）定量预测常常为决策提供了坚实的基础，使决策者能够做到心中有数。
但单靠定量预测有时会导致偏差，因为市场千变万化，影响价格的因素很多，有些因素难以预料。
调查研究也会有相对局限性，原始数据不一定充分，所用的模型也往往过于简化，所以还需要定性预测，在缺少数据或社会经济环境发生剧烈变化时，就只能用定性预测了。
（2）加权移动平均数法中权数的确定有定性的成分；指数平滑预测中的平滑系数的确定有定性的成分。
2.、某地区积累了5 个年度的大米销售量的实际值（见下表），试用指数平滑法，取平滑系数α= 0.9，预测第6年度的大米销售量（第一个年度的预测值，根据专家估计为4181.9千公斤）年度 1 2 3 4 5大米销售量实际值（千公斤）5202 5079 3937 4453 3979 。
答：F6=a*x5+a(1-a)*x4+a(1-a)~2*x3+a(1-a)~3*x2+a(1-a)~4*F1F6=0.9*3979+0.9*0.1*4453+0.9*0.01*3937+0.9*0.001*5079+0.9*0.0001*4181.9F6=3581.1+400.77+35.433+4.5711+0.3764F6=4022.33 、某地区积累了11个年度纺织品销售额与职工工资总额的数据，列入下列表中（表略），计算：（1）回归参数a,b（2）写出一元线性回归方程。
马尔可夫分析
1、 已知马氏链X 的状态空间I={0,1,2,3}及一步转移概率矩阵为1100221000120033110022⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦求其平稳分布 解：由=ππP 及31i i π==∑得001310222333011221123213201i i ππππππππππππ=⎧=++⎪⎪⎪=+⎪⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎪⎪=⎪⎪⎩∑ 求解得012321,,0.33ππππ====2、 已知6月底，甲乙丙3种型号的某商品在某地区有相同的销售额。
7月份甲保持原有客户的60%，分别获得乙丙的客户15%和30%；乙保持原有顾客的70%，分别获得甲丙顾客的10%和20%；丙保持原有顾客的50%，分别获得甲乙顾客的30%和15%。
求8月份初各型号商品的占有率及稳定状态时的占有率。
解：由于6月份甲乙丙有相同的销售额，故在市场的占有率为（1/3，1/3，1/3）；7月份的转移概率矩阵为0.60.10.30.150.70.150.30.20.5⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦故8月初各商品的占有率为0.60.10.3111(,,)=0.150.70.15(0.350,0.333,0.317)3330.30.20.5p p p ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦甲乙丙（，，）由=ππP 及31i i π==∑得1123212331231230.60.150.30.10.70.20.30.150.51πππππππππππππππ=++⎧⎪=++⎪⎨=++⎪⎪++=⎩ 解得 1230.359,0.327,0.314.πππ===3. 110.10.050.850.050.050.90.030.050.920.950.010.04R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦4110.66860.18580.00.00040.01150.13370.89670.092000.00050.01080.95800.0417000.000.00030.98960.01040.0R ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦一年级学生四年内退学概率为0.1858 4.（1）初始概率矩阵稳态概率为（0.2778，0.3889，0.3333） （2）广告后的稳态概率（0.3333，0.3333，0.3333），（0.4375，0.25，0.3125） 5.0.40.30.30.30.50.20.20.30.5R ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦平稳概率（0.2969，0.375，0.3281）6. 已知随机游动的质点构成一个马氏链，其状态空间为I={1，2，3，4，5}，而一步转移概率矩阵为11116231116231116231P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦试求质点从状态2出发，分别被吸收于状态1、状态5的概率。
马尔可夫分析
0
P
1
2
1 1 2
,P
2
1 2 1 4
1
2
3 4
正规概 率矩阵
1 0
1 0
1 0
Q
1
2
1
,
Q
2
3
2
4
1 4
，
，Qm
2m 1 2m
1 2m
非正规概 率矩阵
概率矩阵具有一下性质：
若A是一个正规概率矩阵，则有
① 一定存在一个概率向量X，使得AT X X 成立，
且X的各分量皆为正数；
pCA 25 / 300 0.083, pAA 160 / 200 0.800 pAB 20 / 200 0.100, pBB 450 / 500 0.900 pCB 20 / 300 0.067, pAC 20 / 200 0.100 pBC 15 / 500 0.030, pCC 255 / 300 0.850
i1、i2、 in-1、i、j及一切n 0，有 p( X n1 j | X n i, X k ik , k 1, 2, p( X n1 j | X n i) pij (n),
则称{X n}是一个马尔可夫链。
n -1)
例如，有一位顾客每天向一家商店买一包香烟。他购买香烟 并不固定于一种牌号，商店中A、B、C、D、E五种牌号的香 烟他都有可能购买。设X m表示他在第m天购买的香烟牌号。 若这个人只记得昨天抽烟的味道，以前的都记不得了，那么 X m取什么值，只与X m1取什么值有关，则{X m}构成一个马尔 可夫链。
例3 ：（天气预报问题）
如果明日是否有雨仅与今日天气（是否有雨）有关，而 与过去的天气无关，并设今日下雨，则明日下雨的概率
第9章马尔可夫分析
9.3 马尔科夫分析在管理工作中的应用 Page 12
参考上面解题方法，对照教材例题，熟练掌握即可。其中 P172页例1和P173页例2为重点。
本章总结
Page 13
本章内容选择、填空和名词解释都会涉及（马尔科夫基本概 念、概率向量和概率矩阵特殊注意）；计算题考察主要有两 个知识点：1、预测下一周期或下二周期的市场份额；2、计 算最终的市场份额，本章9.3中例题特殊注意，考原题考过 若干次。
当
n
，必有：Pn
Hale Waihona Puke z1...z2 ...
... ...
zn
称作平衡（固定）概率矩阵
...
z1
z2
...
zn
9.2 马尔科夫分析问题的要求
Page 5
1、马尔科夫问题的阶：一阶马尔科夫过程在确定事件周期 的选择概率时，只考虑前一周期的选择情况，二阶马尔科夫 过程在确定事件周期的选择概率时，考虑前两 周期的选择 情况。 2、转移概率：某个销售者保持、获得或失去消费者的概率。 3、转移概率矩阵：把转移概率排列成矩阵。 4、未来市场份额的确定★ 设第一周期的市场份额为T1,转移概率矩阵为P, 则第二周期的市场份额为T2=T1*P,以此类推可以得出任意 周期的市场份额。
C.迭代过程
D.渐趋过程
Page 16
5、（09年7月）下列矩阵属于概率矩阵的是（ B ）
6、（09年4月）任意一个方阵，如果其各行都是概率向 量，则该方阵称之为( D )
Page 10
【答案】由已知的该问题的转移概率矩阵为：
0.75 0.10 0.15
0.20 0.05
0.60 0.05
0.20 0.90
设最终这三种品牌服装的市场占有率分别为X1,X2,X3
马尔可夫决策过程中的策略迭代收敛性分析(Ⅰ)
马尔可夫决策过程（MDP）是一种用于描述随机决策问题的数学框架。
在MDP 中，代理在与环境交互的过程中，根据当前状态采取行动，并且通过环境的反馈来获得奖励。
马尔可夫决策过程的目标是找到一个最优策略，使得在给定环境下，代理能够获得最大的长期奖励。
在MDP中，策略迭代是一种常用的求解方法。
策略迭代的基本思想是通过反复迭代来改进代理的策略，直至找到最优策略。
在每一次迭代中，代理根据当前策略执行动作，然后根据环境的反馈来更新策略。
策略迭代通常包括策略评估和策略改进两个步骤。
在策略评估阶段，代理通过与环境交互来估计当前策略的价值函数。
价值函数表示了在当前策略下，处于每个状态时所能获得的长期奖励。
在策略评估过程中，代理会不断更新状态的价值函数，直至收敛到真实的价值函数。
通过价值函数的估计，代理可以得到当前策略下的收益情况，从而为策略改进提供依据。
在策略改进阶段，代理根据价值函数来改进当前的策略。
具体来说，代理会尝试选择能够使得长期奖励最大化的动作，并更新策略。
通过不断的策略改进，代理可以逐渐接近最优策略。
策略迭代算法会在策略评估和策略改进之间交替进行，直至找到最优策略。
策略迭代算法的一个重要问题是其收敛性。
收敛性指的是算法在经过有限次迭代后，能够找到最优策略。
对于策略迭代算法而言，收敛性是一个至关重要的性质。
如果策略迭代算法不具有收敛性，那么代理可能无法找到最优策略，甚至无法停止迭代。
对于策略迭代算法的收敛性，有一些理论结果可以提供保证。
首先，我们可以证明策略迭代算法至少可以收敛到一个局部最优策略。
这是因为在每一次策略改进中，代理都会选择能够使长期奖励最大化的动作，从而朝着最优策略的方向前进。
另外，如果MDP是有限状态和动作空间的，那么策略迭代算法是可以收敛到最优策略的。
然而，对于大规模的MDP问题，策略迭代算法的收敛性并不是那么容易得到保证。
这是因为在大规模问题中，价值函数的估计和策略的改进都需要大量的计算资源。
马尔可夫分析法
分析各种状态应收账款转为呆账及收回本息的概率。
通过模型计算, 根据马尔可夫链特征向量性质可得: b11表示由N1状态转到N5状态的概率; b12表示由 N1状态转到N6状态的概率; b21表示由N2状态转到 N5状态的概率; b22表示由N2状态转到N6状态的概 率; b31表示由N3状态转到N5状态的概率; b32表示 由N3状态转到N6状态的概率; b41表示由N4状态转 到N5状态的概率; b42表示由N4状态转到N6状态的 概率。
谢谢！
为了动态研究应收账款状态随时间变化的情况, 可 用转移矩阵P来表示每隔1个月的各种状态转移情 况, 用pij表示当前处于Ni状态的应收账款, 1个月后 将处于Nj的概率, 并有:pij≥0, pij=1( i=1, 2, 3, 4, 5, 6; j=1, 2, 3, 4, 5, 6) , 而根据N5、N6是吸收状态, 可得:
在企业客户已拖欠本息达( 逾期) 61 ～120天的应 收账款中, 有23.94%的可能转为呆账、76.06%的 可能付清, 其转化为呆账或收回本息的平均时间 为3.916 598个月; 在企业客户已拖欠本息达( 逾期) 121 ～360天的应收账款中, 有50.12%的可能转为 呆账、49.88%的可能付清, 其转化为呆账或收回 本息的平均时间为3.183 015个月。
其中: T( N1) =m11+m12+m13+m14表示应收账款 由拖欠本息达( 逾期) 0 ～30天转为拖欠本息达( 逾 期) 360天以上或收回本息的平均时间; T( N2)=m21+m22+m23+m24表示应收账款由拖欠 本息达( 逾期) 31 ～60天转为呆账或收回本息的 平均时间; T( N3) =m31+m32+m33+m34表示应收 账款由拖欠本息达( 逾期) 61 ～120天转为呆账或 收回本息的平均时间; T( N4)=m41+m42+m43+m44表示应收账款由拖欠 本息达( 逾期) 121 ～360天转为呆账或收回本息的 平均时间。
马尔科夫分析法
特殊预测法：马尔可夫分析法定义：马尔可夫分析法是应用俄国数学家马尔可夫发现系统状态概率转移过程规律的数学方程，通过分析随机变量的现时变化情况，预测这些变量未来变化趋势及可能结果，为决策者提供决策信息的一种分析方法。
•单个生产厂家的产品在同类商品总额中所占的比率，称为该厂产品的市场占有率。
在激烈的竞争中，市场占有率随产品的质量、消费者的偏好以及企业的促销作用等因素而发生变化，企业在对产品种类与经营方向做出决策时，需要预测各种商品之间不断转移的市场占有率。
•市场占有率的预测可采用马尔可夫分析法，也就是运用转移概率矩阵对市场占有率进行市场趋势分析的方法。
俄国数学家马尔可夫在20世纪初发现：一个系统的某些因素在转移中，第N次结果只受第N－1次结果影响，只与当前所处状态有关，与其他无关。
例如：研究一个商店的累计销售额，如果现在时刻的累计销售额已知，则未来某一时刻的累计销售额与现在时刻以前的任一时刻的累计销售额都无关。
•在马尔可夫分析中，引入状态转移这个概念。
所谓状态是指客观事物可能出现或存在的状态；状态转移是指客观事物由一种状态转移到另一种状态的概率。
•马尔可夫分析法的一般步骤为：•1、调查目前的市场占有率情况；•2、调查消费者购买产品时的变动情况；•3、建立数学模型；•【•4、预测未来市场的占有率。
例一：一个800户居民点，提供服务的A、B、C三家副食品店，从产品、服务等方面展开竞争，各自原有稳定的居民户购买者开始出现了变化。
经过调查获得上月与本月三家商店的居民资料如表1；两个月中三商店都失去一些客户，同时也都赢得了一些客户，其转移变化资料如表2。
用马尔科夫法预测稳定状态下三商店的市场占有率。
表1表2例二：假定某小区有1000户居民，每户居民每月用一块香皂，并且只购买A牌、B牌、C牌。
8月份使用A牌香皂居民有500户，使用B 牌居民有200户，使用C牌居民有300户。
据调查9月份使用A牌香皂仍在使用的有360户，50户表示要改买B牌，90户表示要改买C牌；在使用B牌的用户中，120户仍在使用B牌，表示改买A牌的有40户，改买C牌的有40户；在使用C牌的用户中，表示仍在使用的有230户，有30户表示改买A牌，有40户表示改买C牌。
第9章马尔可夫预测方法讲述案例
指尽力保留公司原有顾客的各种经营方针与对策，譬 如采用提供优质服务或对连续两期购货的顾客实行折 价优惠等方法。
假设甲公司采用保留策略后，减少了其原有顾客向乙、丙 两公司的流失，使保留率从原来的63.16％提高到80％，同 时向乙、丙两公司的转移概率分别为9%和11%，此时程序 中第（2）步的一步转移概率矩阵变为：
第9章 马尔可夫预测方法
9.1 马尔可夫链基本理论 9.2 案例分析
9.2.1市场占有率预测 9.2.2 股票价格走势预测 9.2.3 加权马氏链法预测证券指数走势 9.2.4 期望利润预测
9.1 马尔可夫链基本理论
9.1.1马尔可夫链基本概念 （1）马尔可夫链
设随机过程{ X (t) ,t T }，
（2） 争取策略
指从竞争者拥有的顾客中争取顾客的各种经营方针 与对策。如：通过广告等方法。
设甲公司采用争取策略后，能从上一期内向另外两 家公司购货的顾客中分别争取20％与15％，此时程 序中第（2）步的一步转移概率矩阵又变为：
0.6316 0.1579 0.2105
P
0.2
0.5759 0.2241
( j) 1 的唯一解
j0
注1
定理表明不论从链中哪一状态i出发，都能以正概率经 有限次转移到达链中预先指定的其它任一状态。
注2 定理给出了求平稳分布 ( j)的方法。
3．马尔可夫链预测基本步骤
（1）划分状态区间，确定状态空间I =[1, 2，…，N]；
（2）按步骤（1）所划分状态区间，确定资料序列中各时段指 标值所对应的状态；
设有限马氏链{ X n , n 0 }的状态空间为 I={0,1,2,…,s}
如果存在正整数n0 ，使对一切i, j I 都有pi(jn0 ) 0 ，
马尔可夫（Markov）分析法范例
马尔可夫（Markov）分析法范例
马尔可夫（Markov）分析法范例
我们以⼀个公司⼈事变动作为例⼦来加以说明（见下表）。
分析的第⼀步是作⼀个⼈员变动矩阵表，表中的每⼀个元素表⽰从⼀个时期到另⼀个时期（如从某⼀年到下⼀年）在两个⼯作之间调动的雇员数量的历史平均百分⽐（以⼩数表⽰）。
⼀般以5～10年为周期来估计年平均百分⽐。
周期越长，根据过去⼈员变动所推测的未来⼈员变动就越准确。
职
位
层
次
职
位
层
次
某公司⼈⼒资源供给情况的马尔可夫分析
例如，表（Ａ）表明，在任何⼀年⾥，平均80％的⾼层领导⼈仍在该组织内，⽽有20％退出。
在任何⼀年⾥，⼤约65％的会计员留在原⼯作岗位，15％被提长为⾼级会计师，20％离职。
⽤这些历史数据来代表每⼀种⼯作中⼈员变动的概率，就可以推测出未来的⼈员变动（供给量）情况。
将计划初期每⼀种⼯作的⼈数量与每⼀种⼯作的⼈员变动概率相乘，然后纵向相加，即得到组织内部未来劳动⼒的净供给量（见表（Ｂ））。
我们再看表（Ｂ），如果下⼀年与上⼀年相同，可以预计下⼀年将有同样数⽬的⾼层领导⼈（40⼈），以及同样数⽬的⾼级会计师（120⼈），但基层领导⼈将减少18⼈，会计员将减少50⼈。
这些⼈员变动的数据，与正常的⼈员扩⼤、缩减或维持不变的计划相结合，就可以⽤来决策怎样使预计的劳动⼒供给与需求相匹配。
运筹学基础填空名词
运筹学基础填空名词填空：企业领导的主要职责是决策。
为选择最优解，首先就确定问题，然后制定目标。
决策方法可分为定性决策、定量决策和混合决策。
基本上根据决策人员的主观经验、感觉或知识而制定的决策，称为定性决策。
应用运筹学决策的一般步骤：熟悉环境、分析问题、拟定模型、收集数据、提出并验证解答、实施最优解。
为了妥善处理人、财、物的交互活动，大型商场需要建立计算机信息管理系统。
运筹学研究和运用的模型，不只限于数学模型，还有用符号表示的模型和抽象的模型。
运筹学模型获得解答后，还需要试验改变模型及输入数据，考察期结果的变化，这种试验称为敏感度试验。
在某公司的预算模型中，收益表是显示公司效能的模型，平衡表是显示公司财务情况的模型。
运筹学工作者观察待决策问题所处的环境应包括内部环境和外部环境。
运筹学工作者拟定研究目标，即确定问题的类型及其解答方式。
名词解释：运筹学（缩写OR）是利用计划方法和有关多学科的要求，把复杂的功能关系，表示成数学模型，其目的是通过定量分析为决策和揭露新问题提供数量根据。
定性决策：基本上根据决策人员的主观经验或感受、感觉或知识而制定的决策，称为定性决策。
定量决策借助于某些正规的计量方法而作出的决策，称为定量决策。
混合性决策：必须运用定性和定量两种方法才能制定的决策，称为混合性决策。
2-预测填空：常用的定性预测法有特尔斐法和专家小组法。
专家小组法适用于短期预测，特尔斐法适用于长期预测。
两种方法都希望在专家群中取得一致意见。
算术平均预测法和加权平均数预测法都有横向比较法和纵向比较法。
在预测具有季节性变动的商品的销售量和价格时，应注意季节变动趋势和一般变动趋势，若采用定量预测时，应用指数平滑预测法比较好。
预测是决策的基础，企业价格预测的目的就是为企业决策提供适当的数据或资料。
对价格预测而言，预测周期分为长期的，中期的，短期的。
定性预测法也叫判断预测法，当出现以下情况时要用定性预测法：情况之一是由于建立某个定量模型缺少数据或资料，情况之二是由于社会环境或经济环境发生了急剧的变化，从而使过去的历史数据不再具有代表性。
马尔科夫预测与决策ppt课件
故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
马尔科夫决策基本方法是用转移概率 矩阵进行预测和决策。
P(k)
P1k1 P2k1
P1k2 P2k2
P1kn P2kn
............................
Pmk1 Pmk2
Pmkn
其中Pij 表示概率，P(k) 表示转移概率矩阵。
1—— 3—— 2: P13 • P32
P12 = P11 • P12 + P12 • P22 +P13 • P32 =∑ P1i • Pi2
解法二： k = 2, N = 3
P11(2) P12 (2) P13(2)
P = P21(2) P22 (2) P23(2)
P31(2) P32(2) P33(2)
转移概率矩阵决策的步骤如下： 1、建立转移概率矩阵。 2、利用转移概率矩阵进行模拟预测。 3、求出转移概率矩阵的平衡状态，即稳 定状态。 4、应用转移概率矩阵进行决策
案例1 市场占有率预测
商品在市场上参与竞争，都拥有顾客，并由此而
产生销售，事实上，同一商品在某一地区所有的N个商 家（或不同品牌的N个同类产品）都拥有各自的顾客， 产生各自销售额，于是产生了市场占有率定义：
马尔可夫链在运筹学中的应用分析
马尔可夫链在运筹学中的应用分析马尔可夫链是概率论中一个重要的概念，它描述了一个随机过程，在给定当前状态的情况下，未来状态只依赖于当前状态，而与过去状态无关。
这种性质使得马尔可夫链在运筹学中有着广泛的应用。
本文将从马尔可夫链的基本概念入手，探讨其在运筹学中的具体应用，并分析其在实际问题中的作用和意义。
马尔可夫链的基本概念马尔可夫链是一个随机过程，通常用状态空间和状态转移概率矩阵来描述。
状态空间包括了所有可能的状态，而状态转移概率矩阵则描述了从一个状态转移到另一个状态的概率。
马尔可夫链具有马尔可夫性质，即未来状态的转移概率只与当前状态有关，与过去状态无关。
在运筹学中，马尔可夫链常常用于描述系统的演化过程，例如排队系统、库存管理、生产调度等。
通过建立适当的状态空间和状态转移概率矩阵，可以对系统的行为进行建模和分析，从而优化系统的性能和效率。
马尔可夫链在排队系统中的应用排队系统是运筹学中一个重要的研究对象，涉及到顾客到达、排队等待和服务过程。
马尔可夫链可以很好地描述排队系统中顾客的到达和服务过程，从而帮助我们分析系统的性能和效率。
以M/M/1排队系统为例，其中M表示顾客到达的时间间隔服从指数分布，服务时间也服从指数分布，1表示只有一个服务台。
我们可以建立一个二维的状态空间，分别表示系统中顾客的个数和服务台的状态。
通过计算状态转移概率矩阵，可以得到系统在不同状态下的稳定分布，进而分析系统的平均等待时间、利用率等性能指标。
马尔可夫链在库存管理中的应用库存管理是企业运营中一个重要的环节，涉及到存货成本、服务水平等方面。
马尔可夫链可以用来描述库存水平的变化过程，帮助企业合理制定库存策略，降低存货成本，提高服务水平。
以库存补货问题为例，我们可以建立一个状态空间，分别表示库存水平的不同状态。
通过计算不同状态之间的转移概率，可以得到系统在不同库存水平下的稳定分布。
进而可以分析最优的补货策略，使得库存水平能够在合适的范围内波动，既不会出现缺货现象，又不会造成过多的库存积压。
马尔科夫分析法
马尔可夫分析法
演讲者：胡珊
演讲内容
1
2 3
背景介绍
原理介绍
应用领域
4
人力资源中的应用
背景介绍
无后效性
马尔可夫链
马尔可夫 分析法
自然界和社会界有一类事物的变化过程与事物的 对马尔可夫链的演变趋势和状态加以分析 事物的第次试验结果仅取决于第一次试验结果 , 用以预测事物未 , 第一次 近期状态有关, 与事物的过去状态无关, 称为无后 来状态的研究 试验结果仅取决于第一次试验结果 , 称为马尔可夫分析法。它是预测技术中一种有 , 依此类推, 这一系列转 效性。 力的工具 , 预测时不需要大量的统计资料, 只需近期资料就可预 移过程的集合称为马尔可夫链。或称时间和状态均离散的马 测未来 尔可夫过程。 , 既可用于短期预测也可用于长期预测。
实例分析 了解企业内部各岗位人员流动情况
调查得出企业内部人员流动情况如下本年度高级经理留 任的有70%、离职的有30%；部门经理晋升为高级经理的有 10%、留任部门经理的有70%、离职的有20%；业务主管晋 升为部门经理的有20%、留任业务主管的有60%、调换担任 技术人员的有10%、离职的有10%；技术人员晋升为业务主 管的有20%。留任技术人员的有60%，离职的有20%。
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为什么他们都能采用马尔可夫分析法？ 答案： 其一，他们都具有马尔可夫性的时间序列（T）， 并且各时刻的状态转移概率(P)保持稳定。 其二，马尔可夫分析法是用来稳定预测的。
人力资源中的运用 预测未来组织中规模和分布的演变情况。
举例：未来的升迁、转职、调配或离职等情况。
具体步骤
使用原理——概率矩阵
由概率向量构成的方阵即行和列相同的矩 阵称为概率矩阵。马尔可夫分析法预测用 的全部为正概率矩阵。
应用数理统计与随机过程 第9章 马尔可夫链
p1(n)
pi
p(n) i1
p1
p(n 11
)
p2
p(n 21
)
;
iI
p2(n)
pi
p(n) i2
p1
p(n) 12
p2
p(n) 22
;
PT(n)=PT(0)P(n)
iI
(p1 (n)，p2 (n))
(
p1，p2 )
p(n) 11
p(n) 21
p(n) 12
p(n) 22
.
9.1 马尔可夫链及转移概率
pj P{X0 j} pj (n) P{Xn j}
{pj , j I} { pj (n) , j I} pT (0) ( p1, p2 , ) pT (n) ( p1(n), p2(n), )
9.1 马尔可夫链及转移概率
定理9.2 设{Xn, nT }为马尔可夫链, 则对任意整数 jI 和n1 , 绝对概率 pj(n)具有性质
kI
kI
(2)
在(1)中令l=1, k =k1,得
p(n) ij
p p , (1) (n1) ik1 k1 j
由此可递推出公式.
kI
(3) 矩阵乘法.
(4) 由(3), 利用归纳法可证.
9.1 马尔可夫链及转移概率 ◎ 初始概率和绝对概率
定义9.5 • 初始概率 • 绝对概率 • 初始分布 • 绝对分布 • 初始概率向量 • 绝对概率向量
(1) pj (n)
pi
p(n ij
)
;
iI
(2) pj (n) pi (n 1) pij ; iI
(3) PT (n) PT 0 P(n); (4) PT (n) PT (n 1)P
运筹学课件-第4讲 马尔可夫决策
报酬函数与策略
报酬函数
描述系统在某一状态下采取某一行动后所获得的报酬或收益，通常用$r(s, a)$表示。报酬函数可以是正值、负值或零 ，取决于具体的决策问题和目标。
策略
描述了在每个状态下选择行动的规则或方法，通常用$pi(a|s)$表示在状态$s$下选择行动$a$的概率。策略可以是确 定的或随机的，根据问题的性质和求解方法的不同而有所选择。
约束处理方法
处理约束的方法包括拉格朗日松弛、动态规划中的约束处理等。
应用场景
约束条件下的马尔可夫决策过程在资源分配、任务调度等问题中有 广泛应用。
连续时间马尔可夫决策过程
连续时间模型
与离散时间马尔可夫决策过程 不同，连续时间马尔可夫决策
过程的时间参数是连续的。
转移概率与决策策略
在连续时间模型中，转移概率 和决策策略需要适应连续时间
值函数
描述了从某一状态开始遵循某一策略所获得的期望总报酬，通常用$V^pi(s)$表示在状态$s$下遵循策略 $pi$的值函数。值函数是评估策略优劣的重要指标，也是求解马尔可夫决策过程的关键所在。
03 值函数与最优策略求解
值函数定义及性质
值函数定义
在马尔可夫决策过程中，值函数用于评估从 某一状态开始，遵循某种策略所能获得的期 望总回报。它分为状态值函数和动作值函数 两种。
强化学习
强化学习问题可以建模为MDP，通过 智能体与环境交互来学习最优策略。
02 马尔可夫决策过程模型
状态空间与行动空间
状态空间
描述系统所有可能的状态，通常用$S$表示。在马尔可夫决策过 程中，状态空间可以是离散的或连续的。
行动空间
描述在每个状态下可采取的所有行动，通常用$A$表示。行动空间 也可以是离散的或连续的。
第九章马尔可夫概型分析讲解
求出
p
j
m i 1
pi
p(1) ij
( j 1, 2,
, m)
m
j 1
pj
1
( p j 0)
19
对于本例为
p1 p2
0.79 p1 0.21p1
0.59 0.41
p2 p2
p1 p2 1
( p1, p2 0)
最后得到p2=0.26，p1=0.74。所以，其极限概率矩阵为
p
0.74 0.74
0.26 0.26
20
如果从公式P（k）=（P（1））k出发，计算其高阶转移概率
第九章马尔可夫概型分析
§1 概述 §2马尔可夫概型 §3马儿可夫链的转移概率 §4遍历定理与极限分布 §5马儿可夫概型检验 §6 应用简例
1
§1 概述
任何一个地质过程都可认为是某些确定性地质因素和 随机性地质因素相互作用的产物。也就是说，地质过程 都应是确定型和随机型地质过程在时间上和空间上叠加 的结果，因此在地质研究工作中，应重视上述两类地质 过程的作用。但是，由于产生随机地质过程的机理十分 复杂，甚至连随机性地质因素也不容易或不可能观察， 这就给用数学校型(一个或几个)来描述随机型地质过程带 来了极大的、甚至是在目前条件下不可能克服的困难。 这样以来，人们自然就会侧重于确定型地质过程的研究， 而使随机型地质过程的研究成为地质工作中的一个薄弱 环节。
m
p p (1) (1) 1k k 2
m
p(1) 1k
p(1) km
k 1
k 1
k 1
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第九章 马尔科夫分析
1. 试述马尔柯夫分析的数学原理。
（1）概率矩阵的乘积仍是概率矩阵；（2）概率矩阵P ，当n →∞时，n P 中的每一个行向量都相等。
2. 试述一阶马尔柯夫确定可能的未来市场分享率的过程总结。
（1）了解用户需求、品牌/牌号转换商情；（2）建立转移概率矩阵；（3）计算未来可能市场分享率（市场份额）；（4）确定平衡条件。
3.设三家公司同时向市场投放一种轮胎，当时三家公司所占的市场份额相等，但在第二年中，市场份额发生如下变化：
甲公司保持顾客的80%，丧失5%给乙，丧失15%给丙；
乙公司保持顾客的90%，丧失10%给甲，没有丧失给丙； 丙公司保持顾客的60%，丧失20%给乙，丧失20%给乙；
假设顾客的购买倾向跟第一年相同，试问第三年底三家公司各占多少市场份额。
转移概率矩阵为0.80.050.150.10.900.20.20.6⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，
由()()
20.80.050.150.330.330.330.10.900.380.410.20.20.20.6⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦得第三年底三家公
司各占的市场份额为0.38，0.41，0.2。
实践能力考核选例
在本年企业A,B,C三个牛奶厂分别占本地市场份额的40%，40%和20%。
根据市场调研，A店保留其顾客的90%而增的B的5%，增的C的10%。
B店保留其顾客的85%而增的A的5%，增的C的%7。
C 店保留其顾客的83%而增的A的5%，增的B的10%。
预测未来占有的市场份额。
解：
由题意得
A B C
0.9 0.05 0.05
（0.4,0.4,0.2）[0.05 0.85 0.1 ] = （0.4,0.374，0.226）
0.1 0.07 0.83
0.4*0.9+0.4*0.05+0.2*0.1=0.4
0.4*0.05+0.4*0.85+0.2*0.07=0.374
0.4*0.05+0.4*0.1+0.2*083=0.226
因此市场变动情况即下一年的市场所占份额A,B,C各为0.4，
0.374,0.226。
由题意得
设未来市场占有率A,B,C分别为Z1，Z2，Z3。
0.9Z1+0.05Z2+0.1Z3=Z1
0.05Z1+0.85Z2+0.07Z3=Z2
0.05Z1+0.1Z2+0.83Z3=Z3
Z1+Z2+Z3=1
解方程组得
Z1=0.43
Z2=0.28
Z3=0.29
所以利用一价马尔科夫求得A,B,C未来的市场分享率各为43%，28%，29%。