数学物理方法分离变量法
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2
分离变量法核心： 偏微分方程→常微分方程
本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题 本章层次：
齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+非齐次边界条件
3
2.1 齐次方程问题 分离变量法思路起源
物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的 单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成
相应的特征值 X(x)X(x)0
问题为：
X(0)
X(l)
0
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X (0)C 1C 20
C1 C2 0
X ( l) C 1 e l C 2 e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
x, t 是相互独立的变量
T '' a 2T 0
得出两个常微分方程： X
''
X
0
代入边界条件： u|x00,
u|xl 0,
X (0 )T (t)0 X (l)T (t)0
X |x0 0
X |xl 0
6
2、求解本征值问题
高数中结论：
X " X 0
X |x0 X |xl 0
若有二阶常系数线性齐次方程
基波（决定了音调）
n>1 时 n
na
l
谐频 谐波（决定了音色）
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件）
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
16
例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x
xl
0
u t
t 0
0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
X T''a2X''T0
T''(t) X''(x)
a2T(t) X(x)
T '' a 2T 0
X
''
X
0
17
此时边界条件为： X(0)X(l)0
l
Bn
s
innat)s
l
innx
l
An
2 l
l
(x)s
innx
dx
0
l
Bn
2
na
l
(x)s
innx
dx
0
l
13
u n (x ,t) (A ncn o la s B tn sn ila n )stn ilx n
Nnsin nlxcosnt (n)
其N n 中 A 2 nB n 2,
na nl ,
narcB A n n tan
5、物理un意( x ,义t ) ：是驻波，（固有振动模式）
节点数 n+1, 位置 x 0, l , 2l , (n 1)l , l
nn
n
相邻节点之间距离等于半波长
波长= 2 l
n
14
本征频率 n
na , v
l
n 2
na 2l
n=1时 1
a
l
, 基频
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
8
(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
C1 0 C2sin l 0
非零解 C 2 0
sin l 0
n 2 2 l2
n1,2,3
则X（x）的一族非零解为
X(x)
C2
sinnx
l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为固
w(x,t)c(t)sinx
特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一 个变量的函数之积。
4
定解问题 研究两端固定的弦的自由振动
泛定方程： utt a2uxx 0
(0xl,t0)
边界条件： u(x,t) x00 u(x,t) 0 xl （第一类齐次边界条件）
初始条件： u t0 (x) ut t0 (x)
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
12
则定解问题的最终解为
u(x,t)
n1
(An
cosnat
B nsinl
)sin l
n1,2,3
10
4、通过初始条件，求出通解
代入初始条件，有
(x) An sin
(x)
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
wenku.baidu.com
一般情况下满足不了，怎么办？！
利用叠加原理！！！
u(x,t) un(x,t)
n1
nat
nat nx
n1(Ancols
Bnsinl
)sin l
11
y"p'yqy0 其中p、q为常数，则特征方程为 r2prq0
(1)当r1、r2为相异的实根 有时 通y， (解 x)方 c1e程 r1xc2er2x
(2)当r1r2 r为相同的实根y时 (x)， (c通 1c解 2x)erx
( 3 ) 当 r 1 、 2 i时 y ( x ) ， e x ( c 1 co x c 2 s six )n
有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。 9
3、解出时间函数，得到一族解
解方程 T"a2T0
n 2
l2
2
n=1,2,3……
T"(t)(na)2T0
l
时间函数解 T(t)A cosn atBsinn at
l
l
A、B 是积分常数
固得到下面一族解：
n a t
n a t n x
u n (x ,t) (A nc o s l
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，
边界条件也是奇次的。
解： 由前面思路，设
u(x,t)X(x)T(t)
这是解的分离变量
5
1、分离变量 u(x,t)X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入方程中， X T''a2X''T0 （求非零解）
分离过程： T''(t) X''(x)
a2T(t) X(x)
第二章 分离变量法
我把数学看成是一件有意思的工作,而 不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定 地说, 我对别人的工作比自己的更喜欢。 我对自己的工作总是不满意。---拉格朗日
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题
1
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与λ 的不同取值有关，分情况讨论：
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X(0) 0 X(l) 0
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0
分离变量法核心： 偏微分方程→常微分方程
本章考虑问题（1）混合问题（2）边值问题 本章层次：
齐次方程+齐次边界条件 非齐次方程+齐次边界条件
非齐次方程+非齐次边界条件
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2.1 齐次方程问题 分离变量法思路起源
物理上由乐器发出的声音可以分解为各种不同频率的 单音，每种单音振动时形成正弦曲线，可以表示成
相应的特征值 X(x)X(x)0
问题为：
X(0)
X(l)
0
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X (0)C 1C 20
C1 C2 0
X ( l) C 1 e l C 2 e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
x, t 是相互独立的变量
T '' a 2T 0
得出两个常微分方程： X
''
X
0
代入边界条件： u|x00,
u|xl 0,
X (0 )T (t)0 X (l)T (t)0
X |x0 0
X |xl 0
6
2、求解本征值问题
高数中结论：
X " X 0
X |x0 X |xl 0
若有二阶常系数线性齐次方程
基波（决定了音调）
n>1 时 n
na
l
谐频 谐波（决定了音色）
1 0.5
-0.5
2.5
5
7.5
10 12.5
15
-1
波腹 波节
15
（1）将偏微分方程化简为常微分方程（U=XT) （2）确定固有值和固有函数（利用边界条件）
6、 分离变量法概要：
（3）确定形式解（级数形式解） （4）确定级数解中的待定常数（利用初始条件）
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例：求解
utt a2uxx 0
u(x,t) x00
ut0 x22lx
(0xl,t0)
u x
xl
0
u t
t 0
0
（第二类齐次边界条件）
解： 设 u(x,t)X(x)T(t)
X T''a2X''T0
T''(t) X''(x)
a2T(t) X(x)
T '' a 2T 0
X
''
X
0
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此时边界条件为： X(0)X(l)0
l
Bn
s
innat)s
l
innx
l
An
2 l
l
(x)s
innx
dx
0
l
Bn
2
na
l
(x)s
innx
dx
0
l
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u n (x ,t) (A ncn o la s B tn sn ila n )stn ilx n
Nnsin nlxcosnt (n)
其N n 中 A 2 nB n 2,
na nl ,
narcB A n n tan
5、物理un意( x ,义t ) ：是驻波，（固有振动模式）
节点数 n+1, 位置 x 0, l , 2l , (n 1)l , l
nn
n
相邻节点之间距离等于半波长
波长= 2 l
n
14
本征频率 n
na , v
l
n 2
na 2l
n=1时 1
a
l
, 基频
C1 C2 0
同样只有零解，不合题意；
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(3) 0
X (x)C 1cosxC 2sinx
X(0) 0 X(l) 0
C1 0 C2sin l 0
非零解 C 2 0
sin l 0
n 2 2 l2
n1,2,3
则X（x）的一族非零解为
X(x)
C2
sinnx
l
C2是积分常数
上解称为满足边界条件的固有解（特征解），λ称为固
w(x,t)c(t)sinx
特点：含两个变量的函数可以表示为两个分别只含一 个变量的函数之积。
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定解问题 研究两端固定的弦的自由振动
泛定方程： utt a2uxx 0
(0xl,t0)
边界条件： u(x,t) x00 u(x,t) 0 xl （第一类齐次边界条件）
初始条件： u t0 (x) ut t0 (x)
此时要满足初始条件，则
(
(x)
x)
n1
An sin
n1
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
故 An和 Bnnla分别 (x为 )和 (x)的傅里叶正式 弦系 级数
BnAnn22la0l0l(x()xs)isninnlnxl xddxx
12
则定解问题的最终解为
u(x,t)
n1
(An
cosnat
B nsinl
)sin l
n1,2,3
10
4、通过初始条件，求出通解
代入初始条件，有
(x) An sin
(x)
na
l
Bn
nx
l
sin nx
l
wenku.baidu.com
一般情况下满足不了，怎么办？！
利用叠加原理！！！
u(x,t) un(x,t)
n1
nat
nat nx
n1(Ancols
Bnsinl
)sin l
11
y"p'yqy0 其中p、q为常数，则特征方程为 r2prq0
(1)当r1、r2为相异的实根 有时 通y， (解 x)方 c1e程 r1xc2er2x
(2)当r1r2 r为相同的实根y时 (x)， (c通 1c解 2x)erx
( 3 ) 当 r 1 、 2 i时 y ( x ) ， e x ( c 1 co x c 2 s six )n
有值（特征值），sin函数称为固有函数（特征函数）。 9
3、解出时间函数，得到一族解
解方程 T"a2T0
n 2
l2
2
n=1,2,3……
T"(t)(na)2T0
l
时间函数解 T(t)A cosn atBsinn at
l
l
A、B 是积分常数
固得到下面一族解：
n a t
n a t n x
u n (x ,t) (A nc o s l
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性奇次的，
边界条件也是奇次的。
解： 由前面思路，设
u(x,t)X(x)T(t)
这是解的分离变量
5
1、分离变量 u(x,t)X(x)T(t)
utt a2uxx 0
代入方程中， X T''a2X''T0 （求非零解）
分离过程： T''(t) X''(x)
a2T(t) X(x)
第二章 分离变量法
我把数学看成是一件有意思的工作,而 不是想为自己建立什么纪念碑。可以肯定 地说, 我对别人的工作比自己的更喜欢。 我对自己的工作总是不满意。---拉格朗日
本章中心内容
用分离变量法求解各种有界问题
1
本章基本要求
掌握有界弦的自由振动解及其物理意义 着重掌握分离变量法的解题思路、 解题步骤及其核心问题---本征值问题
7
本方程特征方程r2+λ=0，由上面结论知，方程的解与λ 的不同取值有关，分情况讨论：
(1) 0
X(x)C 1exC 2ex
X(0) 0 X(l) 0
C1 C2 0
C1 C2 0
C1el C2e l 0
此时X（x）=0，只有零解，不合题意；
(2) 0
X(x)C1xC2
C 2 0 C1lC2 0