《三角函数》章末提升测评
第五章：三角函数 章末测试(解析版)
第五章：三角函数章末测试一、单选题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（2022·山东·青岛中学高二阶段练习）下列与角23π的终边一定相同的角是（ ）A ．53πB ．2360(3k k π+∈Z ) C ．22(3k k ππ+∈Z ) D ．2(21)(3k k ππ++∈Z ) 【答案】C【解析】与角23π终边相同角可以表示为2{|2,3k k πααπ=+∈Z } 对A ，由2{|2,3k k πααπ=+∈Z }找不到整数k 让53πα=，所以A 错误 对B ，表达有误，角的表示不能同时在一个表达式中既有角度制又有弧度制，B 错误，对D 项，当0k =时，角为53π，当1k =-时，角为3π-，得不到角23π，故D 错误，故选：C.2．（2021·天津·高一期末）已知扇形AOB 的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形AOB 的周长为（ ） A ．32 B ．24 C ．62D ．82【答案】D【解析】圆心角2α=，扇形面积212S r α=，即21822r =⨯⨯，得半径22r =所以弧长42l r α==故扇形AOB 的周长24222282L l r =+=⨯=故选：D3．（2019·江苏省新海高级中学高一期中）已知()cos305sin305,P ，则点P 在第（ ）象限 A ．一 B ．二C ．三D ．四【答案】D【解析】因为270305360<<，所以305为第四象限角，所以0cos305>，0sin305<，所以点()cos305sin305,P 位于第四象限；故选：D4．（2022·全国·高一课时练习）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为()045αα︒<<︒，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=（ ）A 47-B 47+C 47+D 47-【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为()cos sin a αα-，故()222cos sin 14a a αα-=，故112sin c 4os αα-=， 即2223sin cos 3tan 3sin cos 8sin cos 8tan 18αααααααα=⇒=⇒=++23tan 8tan 30αα⇒-+=， 解得47tan α-=47tan α+= 因为045α︒<<︒，则0tan 1α<<，故47tan 3α=.故选：A 5．（2020·天津市西青区杨柳青第一中学高一阶段练习）函数()sin (0,0,0)y A x A ωϕωϕπ=+>><<在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（ ）A ．22sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．=2sin 23x y π-⎛⎫⎪⎝⎭ D ．=2sin 23y x π-⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A【解析】由函数图象可得2A =，因为5212122T πππ=+=，所以T π=，所以222T ππωπ===， 由函数过点,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得2sin 2+=212π-ϕ⎡⎤⎛⎫⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 所以262k ππϕπ-+=+，Z k ∈，即223k πϕπ=+，Z k ∈， 因为0ϕπ<<，所以23ϕπ=，所以22sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭.故选：A 6．（2022·安徽省宿州市苐三中学高一期中）已知π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 2+3α⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ） A ．79- B ．23-C ．23D ．79【答案】D【解析】因为π1sin 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2ππcos 212sin 36171299αα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯ ⎪ ⎭⎝⎭=⎪⎝.故选：D. 7．（2022·天津南开·高一期末）为了得到函数πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，可以将函数πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．向左平移π6个单位 B ．向右平移π6个单位 C ．向左平移π12个单位 D ．向右平移π12个单位 【答案】D【解析】因为ππsin 2sin 236y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2ππsin 2sin 261y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且πππ61212-=， 所以由πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像转化为πsin 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭需要向右平移π12个单位.故选：D.8．（2020·安徽亳州·高一期末）已知函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于任意的)3,1a ⎡∈-⎣，方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，则m 的取值范围为（ ） A ．7π3π,124⎛⎤⎥⎝⎦B ．π5π,26⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．π5π,26⎛⎤⎥⎝⎦D ．7π3π,124⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】D【解析】方程()()0f x a x m =<≤恰有一个实数根，等价于函数()y f x =的图象与直线y a =有且仅有1个交点．当0x m <≤得：πππ2,2666x m ⎛⎤+∈+⎥⎝⎦， 结合函数()y f x =的图象可知，π4π5π2,633m ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解得：7π3π,124m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．（2022·全国·高一课时练习）已知直线π8x =是函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<图象的一条对称轴，则（ ）A ．π8f x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数B ．3π8x =是()f x 图象的一条对称轴 C ．()f x 在ππ,82⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D ．当π2x =时，函数()f x 取得最小值【答案】AC【解析】因为直线π8x =是函数()sin(2)(0f x x ϕϕ=+<π)<图象的一条对称轴，所以ππ2π82k ϕ⨯+=+，k ∈Z ，又0πϕ<<，所以π4ϕ=，所以()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．ππsin 2cos 282f x x x ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，是偶函数，故A 正确；令ππ2π()42x k k +=+∈Z ，解得:ππ()28k x k =+∈Z ， 所以()f x 图象的对称轴方程为ππ()28k x k =+∈Z ，而3π8x =不能满足上式，故B 错误；当ππ,82x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,424x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 单调递减，故C 正确；显然函数()f x 的最小值为1-，当π2x =时，π2f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ππ2sin 2242⎛⎫⨯+=- ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AC ．10．（2022·全国·高一课时练习）在锐角三角形ABC 中，sin 2sin sin A B C =，则下列等式中正确的是（ ） A ．tan tan 2tan tan B C B C += B ．tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= C ．tan()2tan tan +=B C B C D ．tan tan tan 1=A B C【答案】AB【解析】由sin 2sin sin A B C =，得sin()B C +=sin cos sin cos 2sin sin B C C B B C +=等式两边同时除以cos cos B C ，所以tan tan B C +=2tan tan B C ，故选项A正确；由tan tan tan()1tan tan ++==-A BA B A Btan()tan π-=-C C ，得tan tan A B +=tan tan tan A B C tan C -，所以tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=，故选项B 正确． 假设tan()2tan tan +=B C B C ，由选项A 得tan()tan tan ,B C B C +=+tan tan tan 0A B C ∴++=,因为ABC 是锐角三角形，所以tan 0,tan 0,tan 0A B C >>>tan tan tan 0A B C ∴++>，与tan tan tan 0A B C ++=矛盾，所以选项C 错误；假设tan tan tan 1=A B C ，所以1tan tan tan B C A=， 由选项A 得tan tan B C +=222(1tan tan )tan tan()(tan tan )B C A B C B C -==-+-+，化简得22tan tan 2B C +=-显然不成立，所以选项D 错误.故选：AB11．（2022·浙江·高一期中）函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，且π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，则（ ）A ．()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πsin 23y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭图象D ．7π12x =是函数()f x 的一条对称轴 【答案】AB【解析】因为π,13⎛⎫ ⎪⎝⎭为该图像最高点，所以1A =，又函数()f x 的图象与y 轴交于点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则()10sin 2f ϕ==-，又π2ϕ<，所以π6ϕ=-，则()π()sin 6f x x ω=-，πππsin 1336f ω⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则πππ2π,Z 362k k ω-=+∈，所以26,Z k k ω=+∈， 由图可知ππ23T ω=>，所以03ω<<，所以2ω=， 所以()sin 26πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故A 正确； 对于B ，因为πsin 0012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()f x 的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，函数()f x 图像向右平移π6个单位可得πππsin 2sin 2666y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦图象，故C 错误；对于D ，7π7ππsin 01266f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭不是最值，所以7π12x =不是函数()f x 的一条对称轴，故D 错误.故选：AB.12．（2022·江苏·吴县中学高一期中）已知m 为整数，若函数()sin cos 1sin 22m f x x x x =++--在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，则满足题意的m 可以是下列哪些数（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6【答案】ABC【解析】因为3π5π,44x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,设sin cos 22,04t x x x π⎛⎫⎡⎤=+=+∈- ⎪⎣⎦⎝⎭，21sin cos 2t x x -=， 则()2112m t t =+--，即221922,2224m t t t ⎛⎫⎡⎤=-++=--+∈ ⎪⎣⎦⎝⎭， 亦即22,4m ⎡⎤∈-⎣⎦．故选：ABC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（2022·天津南开·高一期末）cos66cos84sin66sin84︒︒︒︒-的值是_____. 【答案】3【解析】()cos66cos84sin66sin8cos 6684co 104s 5︒︒︒︒=︒+︒=-︒()3cos 18030cos30=︒-︒=-︒= 14．（2022·上海师大附中高一期末）设α是第三象限的角，则2α的终边在第_________ 象限. 【答案】二或四【解析】因为α是第三象限角，所以3222k k ππαππ+<<+，Z k ∈，所以3224k k παπππ+<<+，Z k ∈， 当k 为偶数时，2α为第二象限角， 当k 为奇数时，2α为第四象限角.15．（2022·全国·高一课时练习）若函数()tan f x x =在区间ππ,32a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上是增函数，则实数a 的取值范围是______． 【答案】(]0,1 【解析】因为ππ23a a >-，所以0a >， 所以0ππ32ππ22a a a ⎧⎪>⎪⎪-≥-⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得01a <≤，即(]0,1a ∈．16．（2022·上海理工大学附属中学高一期中）函数()()()33sin 3f x x x θθ=--- [],0θπ∈-是奇函数，则θ=______；【答案】3π-【解析】()()()3133sin 32[)sin(3)]2f x x x x x θθθθ---=--- 2[coscos(3)sin sin(3)]2cos(3)666x x x πππθθθ=---=-+，它是奇函数，则,Z 62k k ππθπ-+=+∈，3k πθπ=--，Z k ∈，又[,0]θπ∈-，所以3πθ=-．四、解答题：本小题共6小题，共70分。
三角函数章末检测卷(一)(含答案解析)
三角函数章末检测卷（一）(时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由tan α＜0，cos α＜0， ∴角α的终边在第二象限．2．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°的值为( ) A ．－32B ．32 C ．－12D ．12解析：选D sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 15°＝sin 45°cos 15°＋cos(180°＋45°)sin 15°＝sin 45°cos 15°－cos 45°sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.3．已知角A 为△ABC 的内角，cos A ＝－45，则sin 2A ＝( )A ．－2425B ．－1225C ．1225D ．2425解析：选A ∵角A 为△ABC 的内角，∴0＜A ＜π， ∴sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫－452＝35， ∴sin 2A ＝2sin A cos A ＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. 4．方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程22x ＋1－9·2x ＋4＝0的解集为N ，那么M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．MNC ．NMD ．M ∩N ＝∅解析：选B 因为log 2x ＋log 2(x －1)＝1，即log 2[x (x －1)]＝log 22，所以x (x －1)＝2，解得x ＝2或x ＝－1.又x ＞1，所以x ＝2，即M ＝{2}.22x ＋1－9·2x ＋4＝0，即2·(2x )2－9·2x ＋4＝0，解得2x ＝4或2x ＝12，所以x ＝2或x ＝－1，即N ＝{－1，2}．所以MN ，故选B.5．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析：选D 函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)为奇函数，排除选项A 、B ；当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π＝1π－π<0，排除选项C ，故选D. 6．如果指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的单调减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＜2 B ．a ＞2 C ．1＜a ＜2D ．0＜a ＜1解析：选C 由题意知0＜a －1＜1，即1＜a ＜2. 7．函数y ＝sin x 和y ＝cos x 都是减函数的区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )B.⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π2(k ∈Z )C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π，2k π＋3π2(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤2k π＋3π2，2k π＋2π(k ∈Z )解析：选A 由y ＝sin x 是减函数得2k π＋π2≤x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，由y ＝cos x 是减函数得2k π≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，所以2k π＋π2≤x ≤2k π＋π(k ∈Z )，故选A.8．如果角θ的终边经过点⎝⎛⎭⎫－35，45，那么sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋cos(π－θ)＋tan(2π－θ)＝( ) A ．－43B ．43C ．34D ．－34解析：选B 易知sin θ ＝45，cos θ＝－35，tan θ＝－43.原式＝cos θ－cos θ－tan θ＝43. 9．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域是( )A ．(0，＋∞)B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．(－∞，2]D ．⎣⎡⎦⎤12，2解析：选B |x |＋1≥1，又y ＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，所以f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋1的值域为⎝⎛⎦⎤0，12. 10．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，则tan α的值等于( )A.22B.33C. 2D. 3解析：选D ∵sin 2(3π＋α)＋cos 2α＝14，∴sin 2α＋(cos 2α－sin 2α)＝14，即cos 2α＝14.又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos α＝12，则α＝π3，∴tan α＝tan π3＝ 3.11．函数y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数解析：选A 因为y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －34π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －32π＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数，且其最小正周期为π.12．sin 600°＋tan 240°的值等于( ) A ．－32 B.32C ．－12＋ 3 D.12＋ 3解析：选B sin 600°＝sin(360°＋240°)＝sin 240° ＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32， tan 240°＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝3， 因此sin 600°＋tan 240°＝32. 13．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π10 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π5C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π10D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π20解析：选C 将y ＝sin x 的图象向右平移π10个单位长度得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π10的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π10的图象．14．已知f (x )＝－x 3－x ，x ∈[m ，n ]，且f (m )f (n )＜0，则f (x )在[m ，n ]上( ) A ．有三个零点 B ．至少有两个零点 C ．有两个零点D ．有且只有一个零点解析：选D ∵f (x )在R 上是减函数，且f (m )f (n )＜0，∴f (x )在[m ，n ]上有且只有一个零点．15．已知A ＋B ＝π3，则tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝( )A ．－2 3B ．2 3C ．0D ．1－ 3解析：选C ∵tan A ＋tan B ＝tan(A ＋B )(1－tan A tan B )＝3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B ＋3tan A tan B －3＝0.16．函数f (x )＝ax 2－2x ＋3在区间[1，3]上为增函数的充要条件是( ) A ．a ＝0B ．a ＜0C ．0＜a ≤13D ．a ≥1解析：选D 当a ＝0时，f (x )为减函数，不符合题意；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－2x＋3图象的对称轴方程为x ＝1a，要使f (x )在区间[1，3]上为增函数，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，1a ≥3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，1a ≤1，解得a ≥1.故选D.17．若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ＝f (－x )，则f ⎝⎛⎭⎫π6＝( )A ．2或0B ．0C ．－2或0D ．－2或2解析：选D 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f (－x )得直线x ＝π3＋02＝π6是f (x )图象的一条对称轴，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝±2，故选D.18．函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数的图象的一个对称中心是( )A ．(0，0)B ．(π，0)C ．⎝⎛⎭⎫π2，0D ．⎝⎛⎭⎫－π2，0解析：选B 函数y ＝sin x2的图象沿x 轴向左平移π个单位长度后得到函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12（x ＋π）＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2＝cos 12x 的图象，它的一个对称中心是(π，0)． 19．若1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－2α＝( )A ．－717B ．717 C ．512D ．－512解析：选A 因为1＋sin αcos α－cos 2αcos 2α＝2，所以sin 2α＋sin αcos αcos 2α－sin 2α＝2，即sin αcos α－sin α＝tan α1－tan α＝2，所以tan α＝23，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×231－⎝⎛⎭⎫232＝125， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2α＝tan π4－tan 2α1＋tan π4tan 2α＝1－1251＋125＝－717，故选A.20．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2，ω>0的图象在y 轴右侧的第一个最高点为P ⎝⎛⎭⎫π6，1，在原点右侧与x 轴的第一个交点为Q ⎝⎛⎭⎫5π12，0，则f ⎝⎛⎭⎫π3的值为( ) A ．1 B.22 C.12 D.32 解析：选C 由题意，得T 4＝5π12－π6，所以T ＝π，所以ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ)，将点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，1的坐标代入f (x )＝sin(2x ＋φ)，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝1，所以φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．又|φ|<π2，所以φ＝π6，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6(x ∈R )，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋π6＝sin 5π6＝12，选C.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中的横线上) 21．已知2sin θ＋3cos θ＝0，则tan(3π＋2θ)＝________．解析：由同角三角函数的基本关系式，得tan θ＝－32，从而tan(3π＋2θ)＝tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝2×⎝⎛⎭⎫－321－⎝⎛⎭⎫－322＝125. 答案：12522．方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1的解为________．解析：由方程log 3(1＋2·3x )＝x ＋1可得1＋2·3x ＝3x ＋1，化简可得3x ＝1，故x ＝0.答案：x ＝023．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4，x ∈R 的单调增区间是________． 解析：令－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，解得2k π3－π4≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.答案：⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，π12＋2k π3(k ∈Z )24．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，log 12（－x ），x ＜0，若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________________．解析：由f (a )＞f (－a )得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12（－a ）＞log 2（－a ），即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，－log 2（－a ）＞log 2（－a ）.解得a ＞1或－1＜a ＜0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞) 25．已知tan αtan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－23，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π4的值是________．解析：法一：由tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan αtan α＋11－tan α＝tan α（1－tan α）tan α＋1＝－23，解得tan α＝2或－13. sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(sin 2α＋cos 2α)＝22(2sin αcos α＋2cos 2α－1) ＝2(sin αcos α＋cos 2α)－22＝2·sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α－22＝2·tan α＋1tan 2α＋1－22， 将tan α＝2和－13分别代入得sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝210.法二：∵tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23，∴sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－23cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4.①又sin π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin α＝22，②由①②，解得sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－25，cos αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝3210.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝sin αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＋cos αsin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝210.答案：210三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)已知sin α＝35，且α为第二象限角．(1)求sin 2α的值；(2)求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)因为sin α＝35，且α为第二象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，故sin 2α＝2sin αcos α＝2×35×⎝⎛⎭⎫－45＝－2425. (2)由(1)知tan α＝sin αcos α＝－34，故tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝1－341＋34＝17.27．(本小题满分8分)已知函数f (x )＝sin(π－ωx )cos ωx ＋cos 2ωx (ω＞0)的最小正周期为π.(1)求ω的值；(2)将函数y ＝f (x )图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π16上的最小值．解：(1)f (x )＝sin(π－ωx )cosωx ＋cos 2ωx ＝sinωx cos ωx ＋1＋cos 2ωx 2＝12sin 2ωx ＋12cos 2ωx ＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4＋12. ∵ω＞0，依题意得2π2ω＝π，∴ω＝1.(2)由(1)知f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋12. 由题意，知g (x )＝f (2x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4＋12. 当0≤x ≤π16时，π4≤4x ＋π4≤π2， ∴22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π4≤1，∴1≤g (x )≤1＋22. 故函数y ＝g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π16上的最小值为1.28．(本小题满分9分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－（4a ＋1）x －8a ＋4，x ＜1，log ax ，x ≥1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的值域；(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ＜1，log 12x ，x ≥1.当x ＜1时，f (x )＝x 2－3x 是减函数， 所以f (x )＞f (1)＝－2；当x ≥1时，f (x )＝log 12x 是减函数，所以f (x )≤f (1)＝0， 综上，函数f (x )的值域是R .(2)若函数f (x )是(－∞，＋∞)上的减函数，则⎩⎨⎧4a ＋12≥1，0＜a ＜1，12－（4a ＋1）－8a ＋4≥log a1.解得14≤a ≤13，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤14，13.。
高中数学 章末综合测评(五)三角函数(含解析)新人教A版必修第一册-新人教A版高一第一册数学试题
章末综合测评(五) 三角函数(满分：150分 时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若集合M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }，则( ) A ．M ＝N B ．M N C ．M ND ．M ∩N ＝∅C [M ＝{x |x ＝45°＋k ·90°，k ∈Z }＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝90°＋k ·45°，k ∈Z }＝{x |x ＝(k ＋2)·45°，k ∈Z }．因为k ∈Z ，所以k ＋2∈Z ，且2k ＋1为奇数，所以M N ，故选C.]2．cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于( ) A.62B.32C.54D ．1＋34C [∵cos 75°＝sin 15°，∴原式＝sin 215°＋cos 215°＋sin 15°cos 15° ＝1＋12sin 30°＝1＋12×12＝54.]3．化简cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得()A ．sin 2αB ．－sin 2αC ．cos 2αD ．－cos 2αA [原式＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝sin 2α.]4．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan 2α的值为() A ．－47B.47C.18D ．－18A [tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tan (α＋β)＋tan (α－β)1－tan (α＋β)tan (α－β)＝3＋51－3×5＝－47.]5．已知sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α＝45，且β在第三象限，则cos β2的值等于()A ．±55 B ．±255C ．－55D ．－255A [由已知，得sin[(α－β)－α]＝sin(－β)＝45，得sin β＝－45.∵β在第三象限，∴cos β＝－35，∴cos β2＝±1＋cos β2＝±15＝±55.] 6．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象( )A ．关于原点对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x ＝π6对称B [因为当x ＝0时，y ＝2sin π3＝3，当x ＝π6时，y ＝2sin 2π3＝3，当x ＝－π6时，y ＝2sin 0＝0.所以A 、C 、D 错误，B 正确．]7．若函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的图象(部分)如图所示，则ω和φ的取值是( )A ．ω＝1，φ＝π3B ．ω＝1，φ＝－π3C ．ω＝12，φ＝π6D ．ω＝12，φ＝－π6C [由图象知，T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π3＝4π＝2πω，∴ω＝12.又当x ＝2π3时，y ＝1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2π3＋φ＝1， π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，当k ＝0时，φ＝π6.] 8．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝45，－π2＜α＜0，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α等于( )A ．－435B ．－335C.335 D.435A [sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝32sin α＋32cos α＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3－π2＝－3cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋2π3＝－3×45＝－435.] 9．已知sin α＋cos α＝23，α∈(0，π)，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12的值为( )A.3＋226 B.3－226 C.1＋266 D.1－266A [∵sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝23，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，∵α∈(0，π)，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4，又∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13， ∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－223.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π6＝13×32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－223×12＝22＋36.] 10．已知tan α和tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，则a ，b ，c 的关系是( )A ．b ＝a ＋cB ．2b ＝a ＋cC ．c ＝a ＋bD ．c ＝abC [由根与系数的关系得：tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－b a ，tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝ca ，tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α ＝tan α＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α1－tan αtan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－ba 1－c a＝1，得c ＝a ＋b .]11．函数f (x )＝A sin ωx (ω＞0)，对任意x 有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝－a ，那么f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94等于()A ．aB ．2aC ．3aD ．4aA [由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12， 得f (x ＋1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12－12＝f (x )， 即1是f (x )的周期．而f (x )为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫94＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＝a .] 12．甲、乙两人从直径为2r 的圆形水池的一条直径的两端同时按逆时针方向沿水池做匀速圆周运动，已知甲的速度是乙的速度的两倍，乙绕水池一周停止运动，若用θ表示乙在某时刻旋转角的弧度数，l 表示甲、乙两人的直线距离，则l ＝f (θ)的大致图象是( )B [由题意知θ＝π时，两人相遇排除A ，C ，两人的直线距离大于等于零，排除D ，故选B.]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知tan α＝－3，π2＜α＜π，那么cos α－sin α的值是________． －1＋32 [因为tan α＝－3，π2＜α＜π，所以α＝2π3， 所以cos α＝－12，sin α＝32，cos α－sin α＝－1＋32.]14．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上一点，且cos α＝x5，则tan 2α＝________.247[因为α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，所以x ＜0， 因为cos α＝x 5＝xx 2＋16，所以x ＝－3，所以tan α＝y x ＝－43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.] 15．已知α满足sin α＝13，那么cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为________．718 [∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝718.] 16．关于函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，有下列说法：①y ＝f (x )的最大值为2；②y ＝f (x )是以π为最小正周期的周期函数；③y ＝f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π24，13π24上单调递减；④将函数y ＝2cos 2x 的图象向左平移π24个单位后，将与已知函数的图象重合．其中正确说法的序号是________．(把你认为正确的说法的序号都填上) ①②③ [∵f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2－π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12， ∴f (x )max ＝2，即①正确．T ＝2π|ω|＝2π2＝π，即②正确． f (x )的递减区间为2k π≤2x －π12≤2k π＋π(k ∈Z )，即k π＋π24≤x ≤k π＋13π24(k ∈Z )，k ＝0时，π24≤x ≤13π24，即③正确． 将函数y ＝2cos 2x 向左平移π24个单位得y ＝2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π24≠f (x )，所以④不正确．]三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos(π＋α)＝－12，且角α在第四象限，计算：(1)sin(2π－α)；(2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)(n ∈Z )．[解] 因为cos(π＋α)＝－12，所以－cos α＝－12，cos α＝12.又角α在第四象限，所以sin α＝－1－cos 2α＝－32. (1)sin(2π－α)＝sin[2π＋(－α)] ＝sin(－α)＝－sin α＝32. (2)sin[α＋(2n ＋1)π]＋sin (π＋α)sin (π－α)·cos (α＋2n π)＝sin (α＋2n π＋π)－sin αsin αcos α＝sin (π＋α)－sin αsin αcos α＝－2sin αsin αcos α＝－2cos α＝－4.18．(本小题满分12分)已知α，β为锐角，sin α＝17，cos(α＋β)＝35.(1)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6的值；(2)求cos β的值．[解] (1)∵α为锐角，sin α＝17，∴cos α＝1－sin 2α＝437，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝sin αcos π6＋cos αsin π6 ＝17×32＋437×12＝5314. (2)∵α，β为锐角，∴α＋β∈(0，π)，由cos(α＋β)＝35得，sin(α＋β)＝1－cos 2(α＋β)＝45，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝35×437＋45×17＝4＋12335. 19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间；(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ [解] (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )． 所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2x ――――――――――――→向左平移π12个单位长度y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12―――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值． [解] (1)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4， 所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )．(2)因为f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π2上为减函数，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π4＝－2cos π4＝－1，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最大值为2，此时x ＝π8；最小值为－1，此时x ＝π2.21．(本小题满分12分)已知△ABC 的三个内角分别为A ，B ，C ，且满足sin 2(A ＋C )＝3sinB cos B ，cos(C －A )＝－2cos 2A .(1)试判断△ABC 的形状；(2)已知函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈R )，求f (A ＋45°)的值． [解] (1)∵sin 2(A ＋C )＝3sin B cos B ， ∴sin 2B ＝3sin B cos B ，∵sin B ≠0，∴sin B ＝3cos B ，∴tan B ＝3， ∵0°＜B ＜180°，∴B ＝60°， 又cos(C －A )＝－2cos 2A ， 得cos(120°－2A )＝－2cos 2A ，化简得sin 2A ＝－3cos 2A ，解得tan 2A ＝－3， 又0°＜A ＜120°，∴0°＜2A ＜240°， ∴2A ＝120°，∴A ＝60°，∴C ＝60°， ∴△ABC 为等边三角形． (2)∵f (x )＝sin x －3cos x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x －32cos x＝2(sin x cos 60°－cos x sin 60°) ＝2sin(x －60°)，∴f (A ＋45°)＝2sin 45°＝ 2.22．(本小题满分12分)如图，矩形ABCD 的长AD ＝23，宽AB ＝1，A ，D 两点分别在x ，y 轴的正半轴上移动，B ，C 两点在第一象限，求OB 2的最大值．[解] 过点B 作BH ⊥OA ，垂足为H .设∠OAD ＝θ⎝⎛⎭⎪⎫0＜θ＜π2，则∠BAH ＝π2－θ，OA ＝23cos θ，BH ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝cos θ，AH ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝sin θ， ∴B (23cos θ＋sin θ，cos θ)，OB 2＝(23cos θ＋sin θ)2＋cos 2θ＝7＋6cos 2θ＋23sin 2θ＝7＋43sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3. 由0＜θ＜π2，知π3＜2θ＋π3＜4π3，所以当θ＝π12时，OB 2取得最大值7＋4 3.。
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本章提高性测试卷班级 姓名 学号 成绩一、选择题1．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，D 为垂足．若AC ＝4，BC ＝3，则sin ∠ACD 的值为（ ）A ．34 B ．43 C ．54 D ．53 2．已知∠A ＋∠B ＝90°且cos A ＝51，则cos B 的值为（ ） A ．51 B ．54 C ．562 D ．52 3．已知tan a ＝32，则锐角a 满足（ ） A ．0°＜a ＜30° B ．30°＜a ＜45° C ．45°＜a ＜60° D ．60°＜a ＜90°4．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝8，则tan C ＝（ ）A ．53B ．54C ．34D ．43 5．如图，从山顶A 望到地面C ，D 两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD ＝100m ，点C 在BD 上，则山高AB 等于 （ ） A ．100 m B ．350m C ．250m D ．50（13+）m6．已知楼房AB 高50 m ，如图，铁塔塔基距楼房房基间的水平距离BD ＝50 m ，塔高DC 为31（350150+）m ，下列结论中，正确的是 （ ） A ．由楼顶望塔顶仰角为60° B ．由楼顶望塔基俯角为60°C ．由楼顶望塔顶仰角为30°D ．由楼顶望塔基俯角为30°7．如图,水库大坝的横断面积为梯形,坝顶宽6米、坝高24米、斜坡AB 的坡角为45°，斜坡CD 的坡度i ＝1∶2，则坝底AD 的长为 （ ）A ．42米B ．（32430+）米C ．78米D ．（3830+）米二、填空题1．在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝135AB ，则cos B ＝ ． 2．将cos21°、cos37°、sin41°、cos46°的值按由小到大的顺序排列是 ． 3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝23，则方程tan A ·x 2＋2x ＋tan B ＝0的根为 ． 4．已知等腰梯形下底长4厘米，高是2厘米，下底的内角的正弦值是54，则上底长为 厘米．5.水库的横断面是梯形，如图，坝高23m ，斜坡的坡度为1:则斜坡的长为 。
三角函数章末测试
三角函数章末测试一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．已知tan θ＝2，则sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－cos (π－θ)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－sin (π－θ)＝( )A ．2B ．－2C ．0D ．233．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π3的最小正周期是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．44．已知a 是实数，则函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )5．已知角α是第四象限角，且满足sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－3cos(α－π)＝1，则tan(π－α)是( ) A.3 B ．－3 C.33D ．－336．设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，0＜φ＜π2，已知函数f (x )的图象相邻的两个对称中心的距离是2π，且当x ＝π3时，f (x )取得最大值，则下列结论正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期是4πB ．函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上单调递增 C ．f (x )的图象关于直线x ＝3π8对称 D ．f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，0对称7．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－sin 2x 的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π12，7π12 C.⎣⎡⎦⎤5π12，13π12D.⎣⎡⎦⎤π3，5π68．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响．北京市某房地产介绍所对本市一楼群在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y (每平方米面积的价格，单位为元)与第x 季度之间近似满足：y ＝500sin(ωx ＋φ)＋9 500(φ>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x 1 2 3 y10 0009 500则此楼群在第三季度的平均单价大约是( ) A ．10 000元 B ．9 500元 C ．9 000元 D ．8 500元二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 9．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，那么这个圆的半径r ＝________. 10．已知tan x ＝12，则sin 2x cos 2x＝________.11.如图为函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π＜φ＜0)的图象的一部分，则函数的解析式为________________．12．已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象向左平移φ⎝⎛⎭⎫0＜φ＜π2个单位长度后，所得函数图象关于原点成中心对称，则φ的值是________．三、解答题(本大题共4小题，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 13．(8分)已知cos α＝45，cos(α＋β)＝513，α，β均为锐角．(1)求sin 2α的值； (2)求sin β的值．14．(10分)(1)化简：sin θ＋sin 2θ1＋cos θ＋cos 2θ；(2)求证：tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α－tan ⎝⎛⎭⎫π4－α＝2tan 2α.15．(10分)已知函数f (x )＝cos 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，f (α)＝13，求cos 2α的值．16．(12分)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，其图象上相邻两个最高点间的距离为π.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用“五点作图法”在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象，并写出函数f (x )的单调递减区间．B 卷——高考应试能力标准练 (时间：90分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．2 019°是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角2．已知锐角α满足cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝( ) A.1225 B ．±1225C.2425 D ．±24253.3－tan 20°sin 20°的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．在△ABC 中，若tan B ＝cos (C －B )sin A ＋sin (C －B )，则这个三角形是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰三角形或直角三角形 5．已知sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＋3cos(θ－π)＝sin(－θ)，则sin θcos θ＋cos 2θ＝( ) A.15 B.25 C.35D.456．函数f (x )＝cos 2x 的减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤k π＋π2，k π＋π(k ∈Z ) B.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎡⎦⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z ) 7．已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1，ω＝3πB ．A ＝2，ω＝π3C ．A ＝1，ω＝π3D ．A ＝2，ω＝3π8．若当x ＝θ时，函数f (x )＝3sin x ＋4cos x 取得最大值，则cos θ＝( ) A ．35B ．45C ．－35D ．－459．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，若f (x )在区间(π，2π)内无最值，则ω的取值范围是( ) A.⎝⎛⎦⎤0，58 B.⎝⎛⎦⎤0，18∪⎣⎡⎦⎤14，58 C.⎝⎛⎭⎫0，14∪⎝⎛⎦⎤14，58 D.⎣⎡⎦⎤18，5810.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)⎝⎛⎭⎫t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2.则下列叙述错误的是( ) A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )的单调递减D ．当t ＝20时，|PA |＝63二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)11．在平面直角坐标系xOy 中，角θ的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边过点⎝⎛⎭⎫12，32，则cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝________.12．(2019·全国卷Ⅰ)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． 13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，φ∈R )是偶函数，点(1,0)是函数y ＝f (x )图象的对称中心，则ω的最小值为________．14．关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数；②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增； ③f (x )在[－π，π]有4个零点； ④f (x )的最大值为2.其中所有正确结论的编号是________．三、解答题(本大题共5小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(8分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫12，－32.(1)求sin α的值；(2)求cos αsin (π－α)·tan (α＋π)cos (3π－α)的值．16.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎭⎫0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式．17．(10分)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω＞0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间．18．(10分)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－4cos 2x ，将函数f (x )的图象向左平移π6个单位，再向上平移2个单位，得到函数g (x )的图象．(1)求函数g (x )的解析式；(2)求函数g (x )在⎣⎡⎦⎤π12，π2上的最大值和最小值．19．(12分)某港口一天内的水深y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，下面是水深数据：据上述数据描成的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦型函数y＝A sin ωt＋B(A＞0，ω＞0)的图象．(1)试根据数据和曲线，求出y＝A sin ωt＋B的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)全册综合检测(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集为R ，集合A ＝{x |2x ≥1}，B ＝{x |x 2－3x ＋2<0}，则A ∩∁R B ＝( ) A ．{x |0≤x ≤1} B ．{x |0≤x ≤1或x ≥2} C ．{x |1<x <2} D ．{x |0≤x <1或x >2}2．函数f (x )＝ 2x －14＋ln(1－x )的定义域是( )A ．[－1,2)B ．(－2,1)C ．(－2,1]D ．[－2,1)3．已知n <m <0，则下列不等式正确的是( ) A.1n <1mB.⎝⎛⎭⎫12m >⎝⎛⎭⎫12n C ．log 4(－m )<log 4(－n )D ．n 2<m 24．(2019·北京高考)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝x 12B ．y ＝2－x C ．y ＝log 12xD ．y ＝1x5．若幂函数f (x )＝x m 在区间(0，＋∞)上单调递减，则实数m 的值可能为( ) A ．1 B ．12C ．－1D ．26．“x >1”是“log 12(x ＋2)<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件7．若a >0，b >0，a ＋2b ＝5，则ab 的最大值为( ) A ．25 B.252 C.254D.2588．命题p ：∀x ∈R ，x 2＋ax ＋a ≥0，若命题p 为真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4)B ．[0,4]C ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)9.已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的部分图象如图所示，则φ的值可以是( )A ．π6B ．－π3C ．－5π6D ．－4π310．(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y ＝1ax ，y ＝log a ⎝⎛⎭⎫x ＋12(a >0，且a ≠1)的图象可能是( )11．若函数f (x )＝x 22x －2a －x 是奇函数，则f (a －1)＝( )A ．－1B ．－23C.23D ．112.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2，x ∈R 的部分图象如图所示，则函数表达式为( ) A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4 B ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 C ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知关于实数x 的不等式2x 2－bx ＋c <0的解集为⎝⎛⎭⎫－1，32，则b ＋c 的值为________． 14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))－1的零点的个数为________．15．计算：1－cos 210°cos 800°1－cos 20°＝________. 16．设函数f (x )＝e x －e －x e x ＋e －x ＋2 019sin x ＋2，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2的最大值为M ，最小值为N ，那么M ＋N ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(10分)已知集合A ＝{x |x 2－7x ＋6<0}，B ＝{x |4－t <x <t }，R 为实数集．(1)当t ＝4时，求A ∪B 及A ∩∁R B ； (2)若A ∪B ＝A ，求实数t 的取值范围．18．(12分)已知f (x )＝4cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－ 3. (1)求f ⎝⎛⎭⎫π6的值；(2)求f (x )的最小正周期及单调增区间．19．(12分)函数f (x )＝x 2＋2mx ＋3m ＋4. (1)若f (x )有且只有一个零点，求m 的值；(2)若f (x )有两个零点且均比－1大，求m 的取值范围．20．(12分)(2019·浙江高考)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R . (1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域．21．(12分)有一种函数y ＝f [g (x )]，我们定义其为复合函数．比如函数y ＝lg(x 2＋1)，可以令g (x )＝x 2＋1，y ＝lg [g (x )]．关于其值域，先求出g (x )的值域为[1，＋∞)，然后进一步可得y ＝lg[g (x )]∈[0，＋∞)；关于其单调性，很显然，在其定义域内，若f (x )和g (x )的单调性相同，则y ＝f [g (x )]单调递增，若相反，则y ＝f [g (x )]11 单调递减．可知该函数在(－∞，0)上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．试依据上述方法解决下列问题：设函数f (x )＝lg(x 2＋ax －a －1)．(1)求函数f (x )的值域；(2)若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．22．(12分)如图，某公园摩天轮的半径为40 m ，圆心O 距地面的高度为50 m ，摩天轮做匀速转动，每3 min 转一圈，摩天轮上的点P 的起始位置在距地面最近处．(1)已知在t (min)时点P 距离地面的高度为f (t )＝A sin(ωt ＋φ)＋h ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|≤π2，求t ＝2 019时，点P 距离地面的高度；(2)当离地面(50＋203)m 以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中在点P 处有多少时间可以看到公园的全貌．。
三角函数检测(有答案)
章末质量评估(一)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求)1．在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( )． A ．① B ．①② C ．①②③ D ．①②③④解析 160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角． 答案 C2．若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( )．A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2 解析 由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12Rl ＝12×1×2＝1(cm 2)． 答案 D3．函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( )． A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1)D ．[－1,0]∪(0,1)解析 化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)． 答案 C4．三角函数y ＝sin x2是( )． A ．周期为4π的奇函数 B ．周期为π2的奇函数 C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数解析 x ∈R ，f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π.答案 A5．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( )．A.13 B ．－13 C ．－223 D.223解析 根据题意得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13，故选B. 答案 B6．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期分别是( )．A ．－3－1，πB ．－3＋1，πC ．－3，πD ．－3－1,2π解析 f (x )min ＝－3－1，T ＝2π2＝π. 答案 A7．要得到函数y ＝f (2x ＋π)的图象，只要将函数y ＝f (x )的图象( )． A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变 D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变解析 把y ＝f (x )的图象向左平移π个单位得到y ＝f (x ＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝f (2x ＋π)． 答案 C8．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象( )．A ．关于原点成中心对称B ．关于y 轴成轴对称C ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称D ．关于直线x ＝π12成轴对称解析 本题考查三角函数的图象与性质．由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图象的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故函数的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．答案 C9．(2012·宜昌高一检测)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，则该函数的表达式为( )．A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56π B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56πC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6解析 本题考查由图象求三角函数解析式．由图象可知，A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，y ＝2，从而有2×π6＋φ＝π2， ∴φ＝π6，故选C. 答案 C10．下列说法正确的是( )． A ．在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2内sin x >cos x B ．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5的图象的一条对称轴是x ＝45πC ．函数y ＝π1＋tan 2x的最大值为πD ．函数y ＝sin 2x 的图象可以由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向右平移π8个单位得到解析 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4内有sin x <cos x ，所以A 错；当x ＝45π时， y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π5＝0，所以x ＝45π不是函数图象的一条对称轴，故B 错；函数y ＝sin 2x 的图象应该由函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象向左平移π8个单位得到，所以D 错；而在函数y ＝π1＋tan 2x中，由于1＋tan 2x ≥1，所以y ≤π，即函数y ＝π1＋tan 2x 的最大值等于π.答案 C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________． 解析 2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2，k ∈Z . 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠3π8＋k π2，k ∈Z12．函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________.解析 T ＝2π|ω|＝4π，∴|ω|＝12，ω＝±12. 答案 ±1213．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，∴cos x ＝－32，又∵π<x <2π，∴x ＝7π6.答案 7π614．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________.解析 sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107. 答案 107三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(10分)(2011·临沂高一检测)已知tan α＝12，求1＋2sin (π－α)cos (－2π－α)sin 2(－α)－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α的值．解 原式＝1＋2sin αcos ()2π＋αsin 2α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α(sin α－cos α)(sin α＋cos α) ＝sin α＋cos αsin α－cos α＝1＋tan αtan α－1＝1＋1212－1＝－3. 16．(10分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． 解 ∵sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，得(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1.∴cos α＝±1010.又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴α在第二、四象限．①当α是第二象限角时，sin α＝31010，cos α＝－1010. ②当α是第四象限角时，sin α＝－31010，cos α＝1010.17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)A >0且ω>0,0<φ<π2的部分图象，如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为 T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象向左平移π3个单位得到的，故φ＝π3，所以函数解析式为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.法二 由图象知f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0.则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0，∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z . ∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ， 又∵φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.(2)方程f (x )＝a 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎪⎫0，5π3上的图象，当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，1∪(－1,0)．18．(12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin 2xy ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x ＋π12)――――――――――――――――――――――――――→将图象上各点向上平移32个单位y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32. 19．(12分)如右图所示，函数y ＝2cos(ωx ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈R ，ω>0，0≤θ≤π2的图象与y 轴交于点(0，3)，且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值；(2)已知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，点P 是该函数图象上一点，点Q (x 0，y 0)是P A 的中点，当y 0＝32，x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，求x 0的值．解 (1)将x ＝0，y ＝3代入函数y ＝2cos(ωx ＋θ)中，得cos θ＝32，因为0≤θ≤π2，所以θ＝π6.由已知T ＝π，且ω>0，得ω＝2πT ＝2ππ＝2. (2)因为点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，Q (x 0，y 0)是P A 的中点，y 0＝32，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 0－π2，3.又因为点P 在y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象上，且π2≤x 0≤π，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 0－5π6＝32，且7π6≤4x 0－5π6≤19π6，5π6＝11π6，或4x0－5π6＝13π6，即x0＝2π3，或x0＝3π4.从而得4x0－。
三角函数 (提升卷)
三角函数（提升卷）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果1弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为（ ） A ．1sin 0.5B ．sin0.5C ．2sin1D ．1cos0.52．已知平面直角坐标角系下，角α顶点与原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点(4,3)P ，则πcos 22α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．2425B ．2425-C ．2425或2425-D ．7253．已知2cos sin αα=，则cos2α=（ ） ABC ．12 D2-4．方程的两根为，，且ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则（ ）A ．π4B ．3π4-C ．5π4 D ．π4或3π4- 5．cos π345x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，那么（ ）A ．1825B ．2425±C ．725-D ．7256．若函数()π()sin 0,2f x A x A ωϕϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则为了得到()f x 图象，只需将函数()sin g x A x ω=的图象（ ）A ．向左平移π6个长度单位 B ．向左平移π3个长度单位 C ．向右平移π6个长度单位D ．向右平移π3个长度单位7．函数()sin 2π2f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象与函数的图象关于直线π8x =对称，则关于函数，以下说法正确的是（ ） A ．最大值为1，图象关于直线π2x =对称 B ．在0,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为奇函数C ．在3π,88π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数D ．周期为，图象关于点3π,08⎛⎫⎪⎝⎭对称8．函数()12π3sin log 2f x x x =-的零点的个数是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．59．已知函数()3cos 22πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若对于任意的x ∈R ，都有()()12()f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．410．已知πtan 5a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，7πtan 5b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，πsin 5c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭则有（ ）A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．b c a >>11．已知函数()cos (0),f x x x x ωωω=+>∈R ，在曲线()y f x =与直线1y =的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则()f x 的最小正周期为（ ） A ．2πB ．2π3C ．2πD ．π12．已知函数()()sin 0,2πf x x ωϕωϕ⎛⎫=+>≤ ⎪⎝⎭，4πx =-为的零点，π4x =为图象的对称轴，且11π17π,3636x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，，则的最大值为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．3π13πsincos cos sin 4122ππ41+=__________． 14．已知函数()2sin 22π2πy x ϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线π6x =对称，则的值为________．15．已知函数在上是单调递增函数，则的取值范围为__________．16．已知函数()()()1sin 2f x x ωϕω=+-∈*N 的图象关于点1,62π⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，且在0,π2⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有三个零点，则的最大值是_________．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知扇形AOB 的圆心角为α，周长14． （1）若这个扇形面积为10，且为锐角，求的大小； （2）求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长．18．（12分）已知sin(π)cos(2π)()cos sin(2π)cos(π)sin()2πf θθθθθθθ-+=⎛⎫--+- ⎪⎝⎭．（1）化简()f θ；（2）若()3f θ=-，求sin θ的值．19．（12分）已知函数ππ()4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（1）求()f x 的定义域与最小正周期；（2）讨论函数()f x 在区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的单调性．20．（12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,0,2A ωϕ>><）的部分图象如图所示，把函数()f x 的图像向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x 的图像．（1）当17π,424πx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求()g x 的值域； （2）令()=()3F x f x -，若对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立，求m 的最大值．21．（12分）己知π()sin()cos()0,02f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><< ⎪⎝⎭，(0)0f =，且函数()f x 的图像上的任意两条对称轴之间的距离的最小值是π2． （1）求8πf ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）将函数()y f x =的图像向右平移π6单位后，得到函数()y g x =的图像，求函数()g x 在,62ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的最值，并求取得最值时的x 的值．22．（12分）已知函数()()ππsin cos022x xf x m m=≠．（1）若，求不等式的解集；（2）若，对于任意的，都有，求的取值范围．答 案 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A 【解析】根据题意画出扇形，设圆的半径为OB =r ，根据直角三角形直角边与斜边之比为对应角的正弦， 得到1sin sin 0.5BE OB BOE ==∠，弧长为1sin 0.5l r α==．故答案为A ．2．【答案】B【解析】因为角α的终边经过点(4,3)P，所以3sin 5α==，4cos 5α=， 因为π3424cos 2sin 22sin cos 225525αααα⎛⎫+=-=-=-⨯⨯=- ⎪⎝⎭，故答案选B ． 3．【答案】D【解析】由22cos sin 1sin ααα==-，可得sin a =， 由2cos212sin a α=-，可得2122cos2α-⨯⎝⎭=，故选D ．4．【答案】B 【解析】∵方程的两根为，，且ππ,,22αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，∴，，再结合，故，，∴,0π2αβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭、，故．又()tan tan tan 11tan tan αβαβαβ++==-⋅，∴3π4αβ+=-，故选B ．5．【答案】C【解析】由题意可得cos π345x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴297sin2cos 2cos 22cos 1πππ212442525x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选C ．6．【答案】A【解析】由图象可知：1A =，π7π4π123T ⎛⎫=⨯-=⎪⎝⎭，2π2T ω∴==， 又7π112f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则7πsin 16ϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，7π3π2π62k ϕ∴+=+，k ∈Z ， π2π3k ϕ∴=+，k ∈Z ， 又π2ϕ<，π3ϕ∴=，()sin π23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()sin 2g x x =，()π6g x f x ⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，即只需将()g x 向左平移π6个长度单位即可得到()f x ，本题正确选项A ．7．【答案】B【解析】设点P (x ，y )是函数图像上的任意一点，则点,4πQ x y ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭在函数()y f x =的图像上，()ππsin 2sin 242y x x g x ⎡⎤⎛⎫=-+-=-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对于选项A ，函数y =g (x )的最大值为1，但是1π02g ⎛⎫=≠± ⎪⎝⎭，所以图象不关于直线π2x =对称，所以该选项是错误的；对于选项B ，，所以函数g (x )是奇函数，解2π22π+2ππ2k x k -≤≤， 得ππ4π4π+k x k -≤≤，)k ∈Z （，所以函数在0,π4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以该选项是正确的； 对于选项C ，由前面分析得函数y =g (x )的增区间为()3ππ,π44πk k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ，且函数y =g (x )不是偶函数，故该选项是错误； 对于选项D ，函数的周期为，解2πx k =，π2k x ∴=所以函数图像的对称中心为()π,02k k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭Z ， 所以该选项是错误的． 故选B ． 8．【答案】D【解析】由()0f x =，得12π3sin log 2x x =，在同一坐标系下画出函数12π3sinlog 2y x y x ==和的图像，如图所示，，从图像上看，两个函数有5个交点，所以原函数有5个零点．故选D ． 9．【答案】A【解析】对任意的x ∈R ，()()12()f x f x f x ≤≤成立， 所以()1min ()3f x f x ==-，()2max ()3f x f x ==，所以12min22Tx x -==，故选A ． 10．【答案】D【解析】ππtan tan 055a ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，7π22tan tan ππtan π0555b ⎛⎫⎛⎫==+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππsin sin 055c ⎛⎫=-=-< ⎪⎝⎭，而πtan151ππsin cos 55a c -==>-，ππsin sin 055c a c ⎛⎫=-=-<⇒< ⎪⎝⎭，故本题选D ． 11．【答案】D【解析】因为()cos f x x x ωω=+，化简可得π()2sin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()y f x =与直线1y =的交点可知，令π()2sin 16f x x ω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得1ππ2π66x k ω+=+或2π5π2π66x k ω+=+，两式相减可得()212π2π3x x k ω-=+，因为相邻交点距离的最小值为π3，此时0k =， 即21π3x x -=，代入可得2ω=，所以周期2ππ2T ==，所以选D ． 12．【答案】C【解析】因为4πx =-为的零点，所以()11πx k k ωϕ+=∈Z ，，11π,4πk ωϕ∴-+=（），因为π4x =为图象的对称轴，所以()22π2x k k ωϕπ+=+∈Z ，，2πππ242k ωϕ∴+=+,（）， （1）+（2）得()122π2πk k ϕ=++，()124ππ2k k ϕ+∴=+，因为π2ϕ≤，4πϕ∴=±．（2）-（1）得()21ππ2π2k k ω=-+，()()212121k k n n ω∴=-+=+∈Z ，当时，如果()sin 5π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令5πππ42x k k +=+∈Z ，，11ππ520x k ∴=+，当k =2时，9π1117π,π203636x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，与已知不符． 如果()sin 5π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令5πππ42x k k -=+∈Z ，，13ππ520x k ∴=+，当k =1时，7π1117π,π203636x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，与已知不符． 如果如果()sin 3π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3πππ42x k k +=+∈Z ，，11ππ312x k ∴=+，当k =1时，5π1117π,π123636x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，与已知不符． 如果()sin 3π4f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令3πππ42x k k -=+∈Z ，，111117πππ,π343636x k ⎛⎫∴=+∉ ⎪⎝⎭与已知相符．故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】12【解析】3π13πsincos cos sin sin cos cos sin412412ππππππ412412+=-ππ1sin sin 41262π⎛⎫=-== ⎪⎝⎭． 故答案为12． 14．【答案】π6【解析】()()π2π24π2π2k x k k x k ϕϕ+=+∈⇒=+-∈Z Z ，的对称轴为()π42π2k x k ϕ=+-∈Z ， 又π6x =为对称轴，()π212π2k k ϕ∴=+∈Z ，即()π6πk k ϕ=+∈Z ，又2π2πϕ-<<，0k ∴=，即π6ϕ=，本题正确结果π6． 15．【答案】【解析】函数()cos 2si 6πn f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，由2π2π2π2π2π2623ππππ3k x k k k x k k -≤+≤+∈⇒-≤≤+∈Z Z ，，，故在区间()2π2π,2π3π3k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z 是单调递增的，当k =0，在区间2π,33π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是单调递增函数，则[]2π,,33πm m ⎡⎤-⊆-⎢⎥⎣⎦，ππ32π0330m m m m ⎧≤⎪⎪⎪∴-≥-⇒<≤⎨⎪⎪>⎪⎩， ()22s 26πin f m m ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，而π6π2m <≤，所以π1sin 2126m ⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以，故答案为．16．【答案】 【解析】依题意，2π282π4πT ωω≥⇒≥⇒≤， 当时，8ππ6k ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，()k ∈Z ，所以4ππ3k ϕ=+，()k ∈Z ，所以()1sin 832πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭或()π1sin 832f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为0π2x <<，所以84π33πππ3x <+<+，函数()1sin 832πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点可由5π83π6x +=，2π6π+，5π2π6+，4π6π+求得，有四个零点，函数()π1sin 832f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的零点可由7π83π6x +=，11π6，7π2π6+，11π2π6+求得，有四个零点，不符合条件． 当时，7ππ6k ϕ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，()k ∈Z ，所以7ππ6k ϕ=+，()k ∈Z ，所以()1sin 762πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭或()π1sin 762f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为0π2x <<，所以7π7662ππ6πx <+<+，函数()1sin 762πf x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的零点可由5π76π6x +=，2π6π+，5π2π6+求得，有三个零点，函数()π1sin 762f x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭的零点可由7π76π6x +=，11π6，7π2π6+求得，有三个零点，综上，的最大值是．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）45；（2）α=2，【解析】（1）设扇形半径为R ，扇形弧长为l ，周长为C ，所以2141102R l lR ⎧+==⎪⎨⎪⎩，解得45l R ==⎧⎨⎩或102l R ==⎧⎨⎩，圆心角45l R α==或是1052l R α===（舍）．（2）根据12S Rl =，214R l +=，得到，07R <<．()2217491427224S R R R R R ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，当72R =时，max 494S =，此时l =7，那么圆心角α=2，弦长72sin17sin12AB =⨯⨯=．18．【答案】（1）21()sin f θθ=-；（2）sin θ= 【解析】（1）由诱导公式可得()()()()2sin cos 1sin sin cos sin sin f θθθθθθθθ==-⋅-⋅-⋅-．（2）由()3f θ=-，得21sin 3θ=，sin θ∴=． 19．【答案】（1）定义域为π,2πx x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，最小正周期πT =；（2）()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．【解析】（1）由函数()f x 有意义，可得ππ()2x k k ≠+∈Z ，所以函数()f x 的定义域为π,2πx x k k ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ．ππ()4tan sin cos 23f x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ππ4cos cos cos sin sin cos 33x x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭14sin cos 2x x x ⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+)sin 21cos 2x x =--sin 2x x =π2sin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由（1）得()π2sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π232k x k -≤-≤+(k ∈Z )， 解得π5πππ1212k x k -≤≤+(k ∈Z )； 令ππ3π2π22π232k x k +≤-≤+(k ∈Z )， 解得5π11πππ1212k x k +≤≤+(k ∈Z )． 所以函数()f x 在区间π5π,1212⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间7ππ,1212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减．对于区间ππ,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，可得()f x 在区间ππ,412⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在区间ππ,124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．20．【答案】（1）1,0⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（2）265-．【解析】（1）根据图象可知1A =，17ππ4123T =-，πT ∴=，2π2Tω∴==，()sin(2)f x x ϕ=+， 代入7π,112⎛⎫- ⎪⎝⎭得，7πsin 16ϕ⎛⎫+=-⎪⎝⎭，π2π,3k k ϕ=+∈Z ， 2πϕ<，0k ∴=，π3ϕ=，π()sin 23f x x ⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，把函数()f x 的图像向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位，得到函数()g x ， πππ()sin 21sin 21436g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设6π2t x =-，则5π,34πt ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，此时sin t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以值域为1,0⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）由（1）可知()sin 2π[1,1]3f x x ⎛⎫=+∈- ⎪⎝⎭，()()3[4,2]F x f x =-∈--，对任意x 都有2()(2)()20F x m F x m -+++≤恒成立， 令()[4,2]t F x =∈--，2()(2)2h t t m t m =-+++，是关于t 的二次函数，开口向上，则max ()0h t ≤恒成立，而()h t 的最大值，在4t =-或2t =-时取到最大值，则(2)0(4)0h h -≤⎧⎨-≤⎩，4(2)(2)2016(2)(4)20m m m m -+-++≤⎧⎨-+-++≤⎩，解得103265m m ⎧≤-⎪⎪⎨⎪≤-⎪⎩，所以265m ≤-，则m 的最大值为265-． 21．【答案】（1）1；（2）max ()g x =5π12x =，min ()0g x =，此时π6x =． 【解析】（1）()()()sin cos π4f x x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++++ ⎪⎝⎭，故2π2π2ω=⨯，求得ω＝2． 再根据π(0)sin 04f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，0π2ϕ<<，可得π4ϕ=-，故()2f x x，184ππf ⎛⎫== ⎪⎝⎭．（2）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移个π6单位后，得到函数()in 2π6y g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭π23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象．∵,62ππx ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴2π2π0,33x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，当ππ232x -=时，即5π12x =时，()2π3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；当230πx -=时，即π6x =时，()2π3g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭取得最小值为0．22．【答案】（1）()14,413k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ；（2）或．【解析】（1）()πππsincos 2sin 22π23x x x f x m m ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭， 当时，()π2sin 23πx f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以π2sin 123πx ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，即π1sin 22π3x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭．所以()π5π2π2π623ππ6x k k k +≤+≤+∈Z ，所以()14413k x k k -≤≤+∈Z ， 故原不等式的解集为()14,413k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z ．（2）当时，，当时，则π5π,236π3πx ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π1sin ,1232πx ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦． 当时，，所以，所以； 当时，，所以，所以．综上，或．。
三角函数-章末检测(基础过关练)-2022-2023学年高一数学课后培优分级练(原卷版)
章末检测－三角函数一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()1,3P -，则tan a 的值为（ ）A ．13-B ．3-C ．10D 2．已知扇形的圆心角为34π，半径为4，则扇形的面积S 为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．2π3．若3cos 35πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45- B ．35 C ．35 D ．454．要得到函数3sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，需（ ） A ．将函数3sin 5y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） B ．将函数3sin 10y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变） C ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移5π个单位． D ．将函数3sin2y x =图象上所有点向左平移10π个单位5．函数y ＝sin 522x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个对称中心是( ) A ．,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．3,08π⎛⎫ ⎪⎝⎭6．若sin cos 1sin cos 3αααα+=-，则tan α等于（ ） A ．2- B ．34 C ．43- D ．27．已知sin cos αα+=ππ,42α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos sin αα-=（ ）A ．BCD ．8．把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．5π6 B ．2π3 C ．5π12 D ．π6二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列结论正确的是（ ）A ．76π-是第三象限角B ．若圆心角为3π的扇形的弧长为π，则该扇形面积为32πC ．若角α的终边过点()3,4P -，则3cos 5α=-D ．若角α为锐角，则角2α为钝角10．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图，则下列说法正确的是（）A ．()f x 的振幅为2B ．2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭为()f x 的对称中心 C ．()f x 向右平移6π单位后得到的函数为奇函数 D ．()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为[1,2]-11．已知π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，下列结论正确的是（ ）A ．π3cos 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭B ．π1cos 42α⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．5π1sin 42α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D ．5π1cos 42α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭12．已知sin sin αβ>，那么下列命题正确的是（ ）A ．若角α、β是第一象限角，则cos cos αβ>B ．若角α、β是第二象限角，则tan tan βα>C ．若角α、β是第三象限角，则cos cos βα>D ．若角α、β是第四象限角，则tan tan αβ>三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13=，则α的终边所在的象限为______．14．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？”该问题的答案为___________平方步.15．将函数y=π3sin24x⎛⎫+⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是____.16．函数2()cos sin1f x x x=++在7,46ππ⎛⎤⎥⎝⎦上的值域是___________.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．请完成下列小题:（1）若15tan8α=-，求sinα，cosα的值；（2）化简：3sin()cos()tan()22tan()sin()ππααπαπαπα-++-+-.18．已知23cos+4sin cos4ααα=．(1)求tanα的值；(2)求sin2cos2sin cosαααα-+的值．19．已知函数π2sin 26x y ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. (1)试用“五点法”画出它的图象；列表：1π26x +xy作图：(2)求它的振幅、周期和初相.20．已知函数()sin 4f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）写出f (x )的最小正周期；（2）求f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．21．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出了“弧田”，“弦”和“矢”的定义，“弧田”(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.（1）当圆心角AOB ∠为23π，矢为2的弧田，求：弧田(如图阴影部分所示)的面积； （2）已知如图该扇形圆心角AOB ∠是α，半径为r ，若该扇形周长是一定值()0c c >当α为多少弧度时，该扇形面积最大？22．已知函数()πsin()0,0,2f x A x B A ωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式及对称中心坐标：(2)先把()f x 的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数()g x 的图象，若当ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，关于x 的方程()210g x a +-=有实数根，求实数a 的取值范围.。
必修4第一章《三角函数》章末检测试题含答案
班级姓名考号必修4第一章《三角函数》章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．sin 600°＋tan 240°的值是()A．－32 B.32C．－12＋ 3 D.12＋ 32．把－114π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|的最小的θ值是()A．－34πB．－π4 C.π4 D.3π43．设α角属于第二象限，且⎪⎪⎪⎪cosα2＝－cosα2，则α2角属于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．已知tan α＝34，α∈⎝⎛⎭⎫π，32π，则cos α的值是()A．±45 B.45C．－45 D.355．已知一扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r＝20 cm，则扇形的周长为() A．6π cm B．60 cmC．(40＋6π) cm D．1 080 cm6．若点P(sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π)内α的取值范围是() A.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫π，5π4B.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，5π4C.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫5π4，3π2D.⎝⎛⎭⎫π2，3π4∪⎝⎛⎭⎫3π4，π7．下列四个命题中，正确的是()A．函数y＝tan⎝⎛⎭⎫x＋π4是奇函数B．函数y＝⎪⎪⎪⎪sin⎝⎛⎭⎫2x＋π3的最小正周期是πC．函数y＝tan x在(－∞，＋∞)上是增函数D．函数y＝cos x在区间⎣⎡⎦⎤2kπ＋π，2kπ＋74π(k∈Z)上是增函数8．为了得到函数y＝sin⎝⎛⎭⎫2x－π6的图象，可以将函数y＝cos 2x的图象() A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度9．已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是()第9题 第13题10．把函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得的函数为偶函数，则φ的最小值是( )A.4π3B.2π3C.π3D.5π3二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11．已知tan α＝2，则sin αcos α＋2sin 2α的值是________． 12．函数f (x )＝|sin x |的单调递增区间是________________．13．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的图象如上图所示，则f (7π12)＝___ ____．14．已知函数y ＝sin π3x 在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是____ __．15．方程sin πx ＝14x 的解的个数是 ．三、解答题(本大题共6小题，共75分) 16．(本小题12分)求函数y ＝3－4sin x －4cos 2x 的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x 的值．17．(本小题12分)求函数12y=log sin 2x 3π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调递增区间．18.( 本小题12分)已知函数y ＝a cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋3，x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值为4，求实数a 的值．19．(本小题12分)已知α是第三象限角，f (α)＝sin (π－α)·cos (2π－α)·tan (－α－π)tan (－α)·sin (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，求f (α)的值；(3)若α＝－1860°，求f (α)的值．20.( 本小题13分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2时，求f (x )的值域．21．(本小题14分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0且ω>0，0<φ<π2)的部分图象，如图所示．(1)求函数解析式；(2)若方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根，试求a 的取值范围．必修4第一章《三角函数》章末检测参考答案1．B 2.A 3.C 4.C.5．C.6．B 7．D.8．B 9．D 10．B11．2 12.⎣⎡⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z 13．0 14．8 15. 716．解 y ＝3－4sin x －4cos 2x＝4sin 2x －4sin x －1＝4⎝⎛⎭⎫sin x －122－2， 令t ＝sin x ，则－1≤t ≤1，∴y ＝4⎝⎛⎭⎫t －122－2 (－1≤t ≤1)． ∴当t ＝12，即x ＝π6＋2k π或x ＝5π6＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－2；当t ＝－1，即x ＝3π2＋2k π (k ∈Z )时，y max ＝7.17．解 y ＝log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3log 212＝－log 2⎣⎡⎦⎤－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， ∵2>1，由复合函数的单调性知，要求sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增且小于0恒成立． ∴2x －π3在第四象限．∴2k π－π2<2x －π3<2k π(k ∈Z )．解得：k π－π12<x <k π＋π6(k ∈Z )．∴原函数的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π12＋k π，π6＋k π，k ∈Z .18．解 ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴2x ＋π3∈⎣⎡⎦⎤π3，4π3， ∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤12. 当a >0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝12时，y 取得最大值12a ＋3， ∴12a ＋3＝4，∴a ＝2. 当a <0，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－1时，y 取得最大值－a ＋3， ∴－a ＋3＝4，∴a ＝－1，综上可知，实数a 的值为2或－1.19．解 (1)f (α)＝sin α·cos (－α)·[－tan (π＋α)]－tan α[－sin (π＋α)]＝－sin α·cos α·tan α－tan α·sin α＝cos α.(2)∵cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＝－sin α，又cos ⎝⎛⎭⎫α－32π＝15，∴sin α＝－15. 又α是第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝－265.(3)f (α)＝f (－1 860°)＝cos(－1 860°)＝cos 1 860°＝cos(5×360°＋60°)＝cos 60°＝12.20．解 (1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2.由点M ⎝⎛⎭⎫2π3，－2在图象上得2sin ⎝⎛⎭⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )，∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π3，7π6， 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21．解 (1)由图象易知函数f (x )的周期为T ＝4⎝⎛⎭⎫7π6－2π3＝2π，A ＝1，所以ω＝1.方法一 由图可知此函数的图象是由y ＝sin x 的图象沿x 轴负方向平移π3个单位得到的，故φ＝π3，其函数解析式为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. 方法二 由图象知f (x )过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，则sin ⎝⎛⎭⎫－π3＋φ＝0， ∴－π3＋φ＝k π，k ∈Z .∴φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴φ＝π3， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3. (2)方程f (x )＝a 在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个不同的实根等价于y ＝f (x )与y ＝a 的图象在⎝⎛⎭⎫0，5π3上有两个交点，在图中作y ＝a 的图象，如图为函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫0，5π3上的图象， 当x ＝0时，f (x )＝32，当x ＝5π3时，f (x )＝0，由图中可以看出有两个交点时，a ∈⎝⎛⎭⎫32，1∪(－1,0)．。
三角函数全章综合测试卷(提高篇)(解析版)
三角函数全章综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析第I卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。
1．（5分）（2024高三·北京·专题练习）下列说法中，正确的是（）A．第二象限角都是钝角B．第二象限角大于第一象限角C．若角α与角β不相等，则α与β的终边不可能重合D．若角α与角β的终边在一条直线上，则−＝b180°(∈Z)【解题思路】根据终边相同的角判断A，B，C，再根据终边在一条直线上列式判断D.【解答过程】A错，495°＝135°+360°是第二象限角，但不是钝角；B错，=135°是第二象限角，＝360°+45°是第一象限角，但<；C错，=360°,=720°，则≠，但二者终边重合；D正确，α与β的终边在一条直线上，则二者的终边重合或相差180°的整数倍，故−＝b180°(∈Z).故选：D.2．（5分）（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）已知cos=−∈0,则sin2=（）A B C D【解题思路】以+π4为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin2s cos2，结合两角和差公式运算求解.【解答过程】因为∈0,+π4且cos+=−sin+=4=则sin2=sin2+=−cos2=1−2+45，cos2=cos2+−+cos+=−35，所以sin2=12sin2=故选：A.3．（5分）（2024·四川·模拟预测）已知角的顶点为原点，始边为轴的非负半轴，若其终边经过点−2,5，则sin2cos2r1）A．B．−C．D．【解题思路】根据切弦互化和齐次化以及同角的三角函数基本关系式即可求解.【解答过程】由题意知tan则原式=2sinvos2cos2rsin2=2tan2+tan2=52+54=−故选：B.4．（5分）（23-24高一上·全国·课后作业）已知cos=−13，且为第二象限角,tan=2，则）A BC D【解题思路】先根据同角三角函数关系求正弦，再弦化切应用tan=2，结合诱导公式代入求值即可.【解答过程】因为cos=−13，且为第二象限角，所以sin==sinvos+3cosLin−cosvos−3sinLinsin+3cosMan−cos−3sinMan=211故选:C.5．（5分）（23-24高一下·四川·期中）筒车亦称“水转筒车”，是我国古代发明的一种水利灌溉工具，筒车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假设在水流量稳定的情况下，一个半径为8m的筒车按逆时针方向做4min一圈的匀速圆周运动，已知筒车的轴心O到水面的距离为43m，且该筒车均匀分布有8个盛水筒（视为质点），以筒车上的某个盛水筒P刚浮出水面开始计时，设转动时间为t（单位：min），则下列说法正确的是（）①=1min时，盛水筒P到水面的距离为4+43m；②=43min与=2min时，盛水筒P到水面的距离相等；③经过34min，盛水筒P共8次经过筒车最高点；④记与盛水筒P相邻的盛水筒为Q，则P，Q到水面的距离差的最大值为43m．A．①②B．②③C．①③④D．①②④【解题思路】建立直角坐标系，依题意作图，分析其中的几何关系判断①②，利用周期判断③，求出距离差的表达式结合三角变换求最值判断④即可．【解答过程】依题意作图如下：以水车的轴心为原点建立直角坐标系如图，由题可知水车旋转一周的时间为4min，当刚露出水面时，与轴的夹角是30°，相邻盛水桶之间的夹角是45°，当旋转=1min时，旋转了360°4=90°，旋转到点，此时点到水面的距离为43+8sin30°=4+43，所以①正确；②当=43min时，旋转了13周，即120°，此时的位置是点，与轴正半轴的夹角是180°−(30°+120°)=30°，当=2min时，旋转了180°，即点，与轴正半轴的夹角也是30°，点与点到水面的距离相等，所以②正确；③经过34min，则水车转过了344=8.5个周期，所以盛水桶共9次经过最高点，故③错误；④设在的上方，B与轴负方向的夹角为，(0∘<<180∘)，则B与轴负方向的夹角为+45°，相邻两筒到水面的距离差为：43−+(438cosp=8[cos−cos(45°+p]=81−+2−2cos(−p，其中cos=sin=22−当=时取最大值为82−2，故④错误；故选：A．6．（5分）（24-25高三上·天津北辰·期中）函数=cos3sin−cos，则下列结论正确的有（）①函数的最大值为12；②函数0；③函数在−π6④=sin2，将图象向右平移π12单位，再向下平移12个单位可得到的图象.A．①③B．①④C．②③D．③④【解题思路】先化简函数为=sin2−6−12，再利用正弦函数的性质逐项判断.【解答过程】=cos3sin−cos=3sinvos−cos2=−1+cos22=sin2−12cos2−12=sin2−12，①函数的最大值为12，故正确；②易知函数的对称中心的纵坐标为−12，故错误；③由∈−π62−π6∈−π2因为=sin在−π2在−π6④由=sin2，将图象向右平移π12单位得到=sin2−=sin2−再向下平移12个单位可得到=sin2−12的图象，故正确；故选：B.7．（5分）（23-24高一下·福建福州·期末）函数=Lin B+>0,>0,<的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．=2sin2B．在−π4C．的图象向右平移π4个单位长度后得到的函数是奇函数D．在−π,π上的零点有4个【解题思路】由图象确定所对应的解析式，可判断A，然后根据正弦函数的性质即可判断BCD，从而可得结果.【解答过程】由图可知=2,2=5π8−π8=π2，又>0，所以=2π=π，解得=2，所以=2sin2+2，所以=2sin+=2，即sin4+=1<π2，所以π4+=π2，则=π4，所以=2sin2A错误；当∈−π42+π4∈−π4=sin在−π4所以在−π4B错误；将的图象向右平移π4个单位长度后得到=2sin2−+=2sin2C错误：令=0，即2sin2=0，即2+π4=χ,∈，解得=−π8+χ2,∈，所以在−π,π上的零点有−5π8,−π8,3π8,7π8共4个，故D正确．故选：D.8．（5分）（23-24高一上·天津滨海新·期末）若函数=sin B−（>0，<π2）的最小正周期为，且给出下列判断：①若=3，则函数的图象关于直线=π4对称②若在区间的取值范围是0,6③若在区间π,2π内没有零点，则的取值范围是0,∪④若的图象与直线=−1在0,2π上有且仅有1个交点，则其中，判断正确的个数为（）A．1B．2C．3D．4【解题思路】由题设可得=sin B−−π4<χ8−π4≤π2求参数范围判断②；由区间零点及正弦函数性质，讨论2χ−π4≤0、χ−π4≥0研究参数范围判断③；由题设B−π4∈[−π4,2χ−π4]，结合题设及正弦函数性质有3π2≤−π4<7π2求参数范围判断④.【解答过程】由=2π，则=sin2π−=−sin sin=<π2，所以=π4，故=sin B当=3，则=sin3×π4−=1，故函数的图象关于直线=π4对称，①对；当∈B−π4∈[−π4,χ8−π4]，且在区间所以−π4<χ8−π4≤π2，可得0<≤6，②对；当∈π,2π，则B−π4∈χ−π4,2χ−在区间π,2π内没有零点，若2χ−π4≤0，则0<≤18，此时满足题设；若χ−π4≥0，则≥14，故χ−π4≥χ2χ−π4≤(+1)π，可得≥r14≤2+58且∈N，所以=0，可得14≤≤5；综上，的取值范围是0,∪当∈[0,2π]，则B−π4∈[−π4,2χ−π4]，又的图象与直线=−1在0,2π上有且仅有1个交点，故3π2≤2χ−π4<7π2，所以78≤<158，即.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
【2021培优】专题5.9三角函数章末测试(培优卷)(解析版)
1专题5.9 三角函数章末测试（培优卷）姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．（2019·广东省高一月考）角–2α=弧度，则α所在的象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】角–2α=弧度，2(,)2ππ-∈--，∴α在第三象限，故选:C .2．（2020·北京高三二模）《九章算术》成书于公元一世纪，是中国古代乃至东方的第一部自成体系的数学专著.书中记载这样一个问题“今有宛田，下周三十步，径十六步.问为田几何？”（一步=1.5米）意思是现有扇形田，弧长为45米，直径为24米，那么扇形田的面积为( ) A ．135平方米 B ．270平方米C ．540平方米D ．1080平方米【答案】B1【解析】根据扇形的面积公式，计算扇形田的面积为S 12=lr 12=⨯45242⨯=270（平方米）.故选：B.3．（2020·辽宁省沈阳铁路实验中学高一期中）如果角α的终边过点(2sin 30,2cos30)P ︒︒-，那么sin α等于（ ）A ．12-B ．12C ．3-D ．3-【答案】C【解析】由题意得(1,3)P -，它与原点的距离为2，∴3sin 2α=-.故选：C. 4．（2020·湖南省高一月考）设sin1,cos1,tan1a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】C【解析】以O 为圆心作单位圆，与x 轴正半轴交于点A ，作1POA ∠=交单位圆第一象限于点P ，做PB x ⊥轴，作AT x ⊥轴交OP 的延长线于点T ，如下图所示：由三角函数线的定义知，cos1OB =，sin1BP =，tan1AT =，因为ππ124>>，1AT BP OB ∴>>∴tan1sin1cos1>>∴c a b >>故选：C5．（2019·陕西省高三月考（理））定义运算：12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =的图像向左平移m (0)m >个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则m 的最小值是（ ）A ．3πB ．23π C ．43π D ．73π 【答案】C【解析】12142334a a a a a a a a =-，将函数3cos2()1sin 2x f x x =化为()3sincos 2sin 2226x x x f x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭再向左平移m （0m >）个单位即为:()2sin 26x m f x m π+⎛⎫+=-⎪⎝⎭又为偶函数,由三角函数图象的性质可得,即0x =时函数值为最大或最小值,即sin 126m π⎛⎫-=⎪⎝⎭或sin 126m π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,所以,262m k k Z πππ-=+∈,即42,3m k k Z ππ=+∈,又0m >,所以m 的最小值是.6．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ）A ．12B ．35C ．310-D ．35【答案】B1【解析】由4cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ+=-=，1cos()cos cos sin sin 5αβαβαβ-=+=， 联立方程组，可得13cos cos ,sin sin 210αβαβ==-， 又由sin sin 3tan tan cos()cos cos 5αβαβαβαβ=+==-.故选：B.7．（2020·四川省高三三模（理））设函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，则ϕ的值为( ) A ．6π-B ．3π C ．6π D ．3π-【答案】C【解析】由题意，求函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴，令3x k ϕπ+=，解得()3k x k Z πϕ-=∈函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭， 令232x m ππωπ+=+，解得6()m x Z ππωω-=∈， 因为函数2()3sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭与函数()2cos(3)||3g x x πϕϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴完全相同，所以3,6πωϕ==，故选：C.8．（2019·云南省东川明月中学高一期中）函数23()3sincos 3444x x x f x m =，若对1于任意的233x ππ-≤≤有()0f x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）. A ．32m ≥B ．32m ≥-C ．32m ≥-D ．32m ≥【答案】D【解析】23()3sincos 3444x x x f x m =++333sin 1cos 222x x m ⎫=+--+⎪⎝⎭ 326x m π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2,333266x x πππππ-≤≤∴-≤-≤，()f x ∴最小值33022m m -+≥∴≥二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知22tan 2tan 10x y --=，则下列式子成立的是（ ） A ．22sin 2sin 1y x =+ B ．22sin 2sin 1y x =-- C ．22sin 2sin 1y x =- D ．22sin 12cos y x =-【答案】CD【解析】∵22tan 2tan 10x y --=，2222sin sin 210cos cos x yx y-⋅-=， 整理得222222sin cos 2sin cos cos cos x y y x y x ⋅-⋅=⋅，∴()()()22222221cos 1sin sin cos cos sin cos x x y x y y x ---⋅=+， 即22222221cos sin sin cos sin cos cos x y y x y x x --+⋅-⋅=，1即222sin 12cos 2sin 1y x x =-=-，∴C 、D 正确.故选：CD10．（2019·全国高一课时练习）（多选）下列命题中，真命题的是（ ） A ．sin y x =的图象与sin y x =的图象关于y 轴对称 B ．()cos y x =-的图象与cos y x =的图象相同 C ．sin y x =的图象与()sin y x =-的图象关于x 轴对称 D ．cos y x =的图象与()cos y x =-的图象相同 【答案】BD【解析】对于A ，sin y x =是偶函数，而sin y x =为奇函数，故sin y x =与sin y x =的图象不关于y 轴对称，故A 错误；对于B ，()cos cos ,cos cos y x x y x x =-===，即其图象相同，故B 正确； 对于C ，当0x <时，()sin sin x y x =-=，即两图象相同，故C 错误； 对于D ，()cos cos y x x =-=，故这两个函数图象相同，故D 正确，故选BD. 11．（2020·全国高一课时练习）定义：角θ与ϕ都是任意角，若满足2πθϕ+=，则称θ与ϕ“广义互余”.已知1sin()4πα+=-，则下列角β中，可能与角α“广义互余”的是（ ） A ．15sin 4β=B ．1cos()4πβ+=C ．tan 15β=D ．15tan 5β=【答案】AC【解析】∵1sin()sin 4παα+=-=-，∴1sin 4α=，若2παβ+=，则2πβα=-.1A 中，15sin sin cos 24πβαα⎛⎫=-==±⎪⎝⎭A 符合条件；B 中，1cos()cos sin 24ππβαα⎛⎫+=--=-=-⎪⎝⎭，故B 不符合条件；C 中，tan 15β=sin 15ββ=，又22sin cos 1ββ+=，所以15sin β=，故C 符合条件； D 中，15tan β=，即15sin ββ=， 又22sin cos 1ββ+=，所以6sin β=，故D 不符合条件.故选：AC. 12．（2020·山东省高一期末）对于函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x ≤⎧=⎨>⎩，下列四个结论正确的是（ ）A ．()f x 是以π为周期的函数B ．当且仅当()x k k ππ=+∈Z 时，()f x 取得最小值-1C ．()f x 图象的对称轴为直线()4x k k ππ=+∈ZD ．当且仅当22()2k x k k πππ<<+∈Z 时，20()2f x <≤【答案】CD【解析】函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x xf x x x x⎧=⎨>⎩的最小正周期为2π，画出()f x 在一个周期内的图象， 可得当52244k x k ππππ++，k Z ∈时，()cos f x x =，1当592244k x k ππππ+<+，k Z ∈时，()sin f x x =， 可得()f x 的对称轴方程为4x k ππ=+，k Z ∈，当2x k ππ=+或322x k ππ=+，k Z ∈时，()f x 取得最小值1-； 当且仅当22()2k x k k Z πππ<<+∈时，()0f x >，()f x 的最大值为2()42f π=，可得20()2f x <，综上可得，正确的有CD ．故选：CD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．（2020·上海高一课时练习）函数sin |cos ||sin |cos =+x x y x x的值域是_________.【答案】{2,0,2}-【解析】根据题意知：2k x π≠，k Z ∈， 当x 在第一象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=+=；当x 在第二象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-=；1当x 在第三象限时，sin |cos |sin cos 2|sin |cos sin cos x x x xy x x x x =+=--=-；当x 在第四象限时，sin |cos |sin cos 0|sin |cos sin cos x x x xy x x x x=+=-+=；综上所述：值域为{2,0,2}-.14．（2020·上海高一课时练习）若函数2sin 4=++y x a x 的最小值为1，则实数a =__________.【答案】5【解析】2sin 44)4y x a x a x ϕ=++=+++，其中tan 2aϕ=，且ϕ终边过点)a ．所以min 441y a =-+=，解得5a =．15．（2020·江苏省高三其他）已知函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0x π≤≤），且()()13f f αβ==（αβ≠），则αβ+=______.【答案】76π 【解析】解法一：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()11sin 2sin 20,3332f f ππααββ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+==+=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（αβ≠），不妨假设αβ<，则52,36a πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1322,36ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， 5,6122πππα⎛⎫∴+∈ ⎪⎝⎭，13,612ππβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭1,43ππα⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，511,612ππβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，135,124ππαβ⎛⎫∴+∈⎪⎝⎭. 再根据sin 2sin 233ππαβ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222232cos sin 22παβαβ++-= ()2cos sin 03παβαβ⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭cos 03παβ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭，32ππαβ∴++=，或332ππαβ++=，则6παβ+=（舍去）或76παβ+=， 解法二：∵函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭（0x π≤≤），72,333x πππ⎡⎫∴+∈⎪⎢⎣⎭. ()()13f f αβ==（αβ≠）， 则由正弦函数的图象的对称性可得：3222332πππαβ+++=⋅，即76παβ+=， 16．（2020·浙江省高三二模）已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的图像关于点,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，最小正周期,2T ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则T =______，()f x 的单调递减区间是______.【答案】23π()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】由于()f x 的最小正周期,2T ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，0>ω，所以2,242πππωω⎛⎫∈⇒<< ⎪⎝⎭. 由于()f x 图像关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称，关于直线4πx =-对称，1所以11224,,42k k k Z k πωϕπππωϕπ⎧+=⎪⎪∈⎨⎪-+=+⎪⎩， 两式相加得()1122,,22k k k k Z πϕπ=++∈，由于02πϕ<<，02ϕπ<<，所以224ππϕϕ=⇒=.则11141,44k k k Z ππωπω=⇒=-∈+，结合24ω<<可得3ω=，所以()sin 34f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 所以()f x 的最小正周期为23T π=. 由3232242k x k πππππ+≤+≤+，解得225312312k k x ππππ+≤≤+，所以()f x 的减区间为()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为：（1）23π；（2）()225,312312k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦五、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）17．（2020·甘肃省静宁县第一中学高一月考（理））已知1,sin cos 225x x x ππ-<<+=. (1)求2sin cos sin 1tan x x x x⋅++的值(2)求sin cos x x -的值.【解析】（1）∵1 sin cos5x x+=.∴1 12sinxcosx25 +=，即12sinxcosx25=-()2sin cos sin1tan1sinx cosx sinxx x xsinxxcosx+⋅+=++，()12sinxcosx25sinxcosx cosx sinxsinx cosx+===-+（2）由（1）知12sinxcosx25=-＜0，又22xππ-<<∴cosx0sinx0＞，＜，∴()27sin cos sin cos125x x x x sinxcosx-=--=--=-18．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）函数()sin()(0,0,)2f x A x Aπωϕωϕ=+>><的一段图象如图所示（1）求()f x的解析式；（2）求()f x的单调增区间，并指出()f x的最大值及取到最大值时的集合；（3）把()f x的图象向左至少平移多少个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．11【解析】（1）由函数的图象可得33234444A T πππω==⨯=-，，解得25ω=．再根据五点法作图可得2254，πϕπ⨯+=∈k k Z ，由2πϕ<，则令0k =2310510，（）．ππϕ⎛⎫∴=-∴=- ⎪⎝⎭f x sin x （2）令222,25102k x k k Z πππππ-≤-≤+∈，求得3552k x k ππππ-≤≤+，故函数的增区间 为[3[5,5],.2k k k Z ππππ-+∈ 函数的最大值为3，此时，225102x k πππ-=+，即352x k k Z ππ=+∈，，即f x （）的最大值为3，及取到最大值时x 的集合为3{|5,}2x x k k Z ππ=+∈. （3）设把()23sin 510f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左至少平移m 个单位，才能使得到的图象对应的函数为偶函数．则由()2251052ππ+-=+x m x ，求得32π=m ， 把函数()23sin 510f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象向左平移32π个单位， 可得223sin 3cos 525π⎛⎫=+=⎪⎝⎭y x x 的图象．19．（2020·北京高三二模）已知函数()()32032f x cos xsin x πωωω⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭， ，求()f x 在66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的值域.1从①若()()12122f x f x x x -=-，的最小值为2π；②()f x 两条相邻对称轴之间的距离为2π；③若()()12120f x f x x x ==-，的最小值为2π，这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【解析】由于()3232f x cos xsin x πωω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1332cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭[]13sin 2cos 2sin 21,1223x x x πωωω⎛⎫=-=-∈- ⎪⎝⎭. 所以①②③都可以得到()f x 的半周期为2π，则1222πππωωω==⇒=. 所以()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭.由于66x ππ-≤≤，22033x ππ-≤-≤， 所以()[]1,0f x ∈-，即()f x 的值域为[]1,0-.20．（2020·广东省高一月考）已知函数()22sin cos 23sin cos x x x x x f =-+.（1）求()f x 的最小正周期；（2）若()255f α=，求πcos 43α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.【解析】（1）()22sin cos 23sin cos x x x x x f =-+ cos23sin 2x x =-+3122cos 22x x ⎫=-⎪⎪⎝⎭π2sin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， ∴πT =.（2）∵()255f α=，π252sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭π5sin 265α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，1∴2πππ23cos 4cos 2212sin 2136655ααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 21．（2020·安徽省六安一中高一期末（理））已知函数21()cos2sin 12sin 22x f x x x ⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭，其中x ∈R .（1）求使得1()2f x ≥的x 的取值范围； （2）若函数23()224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且对任意的12,[0,]x x t ∈，当12x x <时，均有()()()()1212f x f x g x g x -<-成立，求正实数t 的最大值.【解析】（1）由题意得，212()cos212sin sin 22224x f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 令212242x π⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭，得2sin 242x π⎛⎫+≥⎪⎝⎭ 即3222444k x k πππππ+≤+≤+，故x 的取值范围为,,4k k k Z πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦（2）由题意得，()()()()1122f x g x f x g x -<-令223()()()222424h x f x g x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222222222x x x x ⎫⎫=+-⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭sin 2x = 即()()12h x h x <故()h x 在区间[0,]t 上为增函数由22222k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈得出，44k x k ππππ-≤≤+，k Z ∈1则函数()h x 包含原点的单调递增区间为,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦即4t π≤故正实数t 的最大值为4π. 22．（2019·江苏省高二期末（文））某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD 的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．（1）设OPA α∠=，将展板所需总费用表示成α的函数；（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？【解析】（1）过点O 作OH AB ⊥，垂足为H ，则cos PH α=，sin OH α=，正方形ABCD 的中心在展板圆心，∴铜条长为相等，每根铜条长2cos α，22sin AD OH α∴==，∴展板所需总费用为280cos 80sin 02y πααα⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭．旗开得胜1（2）2280cos 80sin 80cos 80cos 80y αααα=+=-++2180cos 1001002α⎛⎫=--+≤ ⎪⎝⎭，当1cos 2α=时等号成立.∴上述设计方案是不会超出班级预算．。
2019_2020学年新教材高中数学章末综合测评1三角函数新人教B版第三册
章末综合测评(一) 三角函数(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.在①160°；②480°；③－960°；④1 530°这四个角中，属于第二象限角的是( ) A ．① B ．①② C ．①②③D ．①②③④C [160°角显然是第二象限角；480°＝360°＋120°是第二象限角；－960°＝－3×360°＋120°是第二象限角；1 530°＝4×360°＋90°不是第二象限角．]2.若2弧度的圆心角所对的弧长为2 cm ，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．4 cm 2B ．2 cm 2C ．4π cm 2D ．1 cm 2D [由弧长公式得2＝2R ，即R ＝1 cm ，则S ＝12Rl ＝12×1×2＝1(cm 2)．]3.函数y ＝cos x ·tan x 的值域是( ) A ．(－1,0)∪(0,1) B ．[－1,1] C ．(－1,1)D ．[－1,0]∪(0,1)C [化简得y ＝sin x ，由cos x ≠0，得sin x ≠±1.故得函数的值域(－1,1)．] 4．三角函数y ＝sin x2 是( )A ．周期为4π的奇函数B ．周期为π2 的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为2π的偶函数A [f (－x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2＝－sin x 2＝－f (x )，是奇函数，T ＝2π12＝4π.] 5．方程sin x ＝lg x 的实根个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [y ＝sin x 与y ＝lg x 的图像共有3个交点．] 6．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝13 ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12的值为( ) A ．13 B ．－13C ．－223D ．223B [根据题意得：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π12＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π2＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－13 ，故选B ．] 7．函数f (x )＝ 3 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1的最小值和最小正周期分别是( )A ．－3－1，πB ．－3＋1，πC ．－ 3 ，πD ．－3－1,2πA [f (x )min ＝－3－1，T ＝2π2＝π.]8．要得到函数y ＝f (2x ＋π)的图像，只要将函数y ＝f (x )的图像( ) A ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C ．向左平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12 ，纵坐标不变D ．向右平移π个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变C [把y ＝f (x )的图像向左平移π个单位得到y ＝f (x ＋π)，再把所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变得到y ＝f (2x ＋π)．]9．函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则φ等于( ) A ．－π2B ．2k π－π2(k ∈Z )C ．k π(k ∈Z )D ．k π＋π2(k ∈Z )D [若函数f (x )＝cos(3x ＋φ)的图像关于原点成中心对称，则f (0)＝cos φ＝0，∴φ＝k π＋π2(k ∈Z )．]10．函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的图像( ) A ．关于原点成中心对称 B ．关于y 轴成轴对称 C ．关于点⎝⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称 D ．关于直线x ＝π12成轴对称C [由形如y ＝A sin(ωx ＋φ)函数图像的对称中心和对称轴的意义，分别将各选项代入检验即可，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＝0，故函数的图像关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．]11.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图像如图所示，则该函数的表达式为( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋56πB ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －56πC ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6 C [由图像可知，A ＝2，ω＝2ππ＝2，当x ＝π6时，y ＝2，从而有2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π6，故选C ．] 12.在△ABC 中，C >π2，若函数y ＝f (x )在[0,1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是( )A ．f (cos A )>f (cosB ) B ．f (sin A )>f (sin B )C ．f (sin A )>f (cos B )D ．f (sin A )<f (cos B )C [根据0<A ＋B <π2，得0<A <π2－B <π2，所以sin A <sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－B ＝cos B ．由题意知f (sinA )＞f (cosB )．]二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上) 13.函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的定义域为________． ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π8＋k π2，k ∈Z[2x －π4≠π2＋k π，即x ≠3π8＋k π2 ，k ∈Z .]14．如图，已知函数y ＝sin πx3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是________．8 [T ＝6，则5T 4≤t ，∴t ≥152，∴t min ＝8.]15．函数y ＝－tan x 的单调递减区间是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z ) [因为y ＝tan x 与y ＝ －tan x 的单调性相反，所以y ＝－tan x 的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )．]16．已知tan θ＝2，则sin θsin 3θ－cos 3θ＝________. 107 [sin θsin 3θ－cos 3θ＝sin θ(sin 2θ＋cos 2θ)sin 3θ－cos 3θ＝tan 3θ＋tan θtan 3θ－1＝23＋223－1＝107.] 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知α是第三象限角，且f (α)＝ sin (－α－π)cos (5π－α)tan (2π－α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αtan (－π－α).(1)化简f (α)；(2)若tan(π－α)＝－2，求f (α)的值． [解](1)f (α)＝sin α·(－cos α)·(－tan α)sin α·(－tan α)＝－cos α.(2)由已知得tan α＝2，sin αcos α＝2，sin α＝2cos α，sin 2α＝4cos 2α，1－cos 2α＝4cos 2α，cos 2α＝15.因为α是第三象限角，所以cos α＜0，所以cos α＝－55，所以f (α)＝－cos α＝55. 18．(本小题满分12分)已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值． [解] ∵ sin α＝－3cos α.又sin 2α＋cos 2α＝1，得(－3cos α)2＋cos 2α＝1， 即10cos 2α＝1.∴ cos α＝±1010. 又由sin α＝－3cos α，可知sin α与cos α异号， ∴ α在第二、四象限．① 当α是第二象限角时，sin α＝31010 ，cos α＝－1010.② 当α是第四象限角时，sin α＝－31010 ，cos α＝1010.19．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)函数f (x )的图像可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图像经过怎样的变换得到？ [解](1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )．(2)变换情况如下：y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.20．(本小题满分12分)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R ⎝⎛⎭⎪⎫其中A >0，ω>0，0<φ<π2的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图像上一个最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2.(1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2时，求f (x )的值域． [解](1)由最低点为M ⎝⎛⎭⎪⎫2π3，－2得A ＝2.由x 轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T 2＝π2，即T ＝π，∴ω＝2πT ＝2ππ＝2. 由点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，－2在图像上得2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝－2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π3＋φ＝－1，故4π3＋φ＝2k π－π2(k ∈Z )， ∴φ＝2k π－11π6(k ∈Z )．又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，7π6，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1，故f (x )的值域为[－1,2]．21.(本小题满分12分)如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像的一段．(1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．[解](1)由图像知A ＝3，以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第一个零点，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3.(2)f (x )＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6－2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2(k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )． 22.(本小题满分12分)函数f (x )是定义在[－2π，2π]上的偶函数，当x ∈[0，π]时，y ＝f (x )＝cos x ；当x ∈(π，2π]时，f (x )的图像是斜率为2π，在y 轴上截距为－2的直线在相应区间上的部分．(1)求f (－2π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3的值；(2)求f (x )的解析式，并作出图像，写出其单调区间．[解](1)当x ∈(π，2π]时，y ＝f (x )＝2πx －2，当x ∈[－2π，－π)时，－x ∈(π，2π)，∴y ＝f (－x )＝－2πx －2，又f (x )是偶函数，∴当x ∈[－2π，－π)时，f (x )＝f (－x )＝－2πx －2.∴f (－2π)＝f (2π)＝2.又x ∈[0，π]时，y ＝f (x )＝cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝12. (2)y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2πx －2， x ∈[－2π，－π)，cos x ， x ∈[－π，π]，2πx －2， x ∈(π，2π].单调增区间为[－π，0]，(π，2π]， 单调减区间为[－2π，－π)，[0，π]．。
三角函数章末测评
三角函数章末测评(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若-<α<0,则点P(tan α,cos α)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知角θ的终边过点(4,-3),则cos(π-θ)=()A.-B.C.D.-3.函数f(x)=sin是()A.周期为4π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为2π的偶函数4.(2016安徽淮南高三模拟)若|cos θ|=cos θ,|tan θ|=-tan θ,则的终边在()A.第一、三象限B.第二、四象限C.第一、三象限或在x轴的非负半轴上D.第二、四象限或在x轴的非负半轴上的定义域为()5.函数y=-A.(-4,-π]B.[-π,-3]C.[-3,0]D.[0,+∞)6.函数y=sin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,0≤φ<2π)的部分图像如图所示,则()A.ω=,φ=B.ω=,φ=C.ω=,φ=D.ω=,φ=7.下列函数中,最小正周期为π,且图像关于直线x=对称的是()A.y=sin(2x+6)B.y=sinC.y=sin-D.y=sin-8.某市绿化委员会为了庆祝国庆节,要在道路的两侧摆放花卉,其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花,并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放,那么第2 015盆花的颜色为( )A.红色B.黄色C.紫色D.白色9.将函数y=sin x的图像向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后,得到函数y=sin-的图像,则φ等于 ( )A. B. C. D.10.(2015北京高一检测)已知f(x)是定义在(-3,3)上的奇函数,当0<x<3时,f(x)的图像如图所示,那么不等式f(x)cos x<0的解集为 ()A.--∪(0,1)∪B.--∪(0,1)∪C.--∪(0,1)∪(1,3)D.(-3,-1)∪(0,1)∪(1,3)11.设ω>0,若函数y=sin+2的图像向右平移个单位长度后与原图像重合,则ω的最小值是()A. B. C. D.312.(2016广东深圳高三模拟)已知函数f(x)=sin的图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在圆x2+y2=k2上,则f(x)的最小正周期是()A.1B.2C.3D.4二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.sin-+cos·tan 4π-cos=.14.在扇形中,已知半径为8,弧长为12,则圆心角是弧度,扇形面积是.15.函数y=sin,x∈的值域是.16.已知函数f(x)=sin 2x,给出下列五个说法:①f; ②若f(x1)=-f(x2),则x1=-x2; ③f(x)在区间-上递增;④将函数f(x)的图像向右平移个单位可得到函数y=cos 2x的图像;⑤函数f(x)的图像关于点-成中心对称.其中说法正确的是(填序号).三、解答题(本大题共6小题,共70分)的值.17.(10分)已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求-----18.(12分)已知函数f(x)=3tan-.(1)求f(x)的定义域;(2)比较f与f-的大小.19.(12分)已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)x∈R,A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图所示.(1)试确定f(x)的解析式;(2)若f,求cos的值.20.(12分)如果关于x的方程sin2x-(2+a)sin x+2a=0在x∈-上有两个实数根,求实数a的取值范围.21.(12分)已知函数f(x)=2sin+a+1(其中a为常数).(1)求f(x)的单调区间.(2)若x∈时,f(x)的最大值为4,求a的值.(3)求出使f(x)取最大值时x的取值集合.22.(12分) (2016四川德阳高中检测)如图,函数y=2cos(ωx+θ)∈的图像与y轴相交于点(0,),且该函数的最小正周期为π.(1)求θ和ω的值.(2)已知点A,点P是该函数图像上一点,点Q(x0,y0)是PA的中点,当y0=,x0∈时,求x0的值.。
高一数学第5章 三角函数 章末测试(提升)(解析版)
第5章 三角函数 章末测试（提升）一、单选题(每题5分，每题只有一个选项为正确答案，8题共40分) 1．（2022·江苏南通·高一期末）若π1sin 43α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α=（ ）A ．79-B ．79C 12- D 22【答案】A【解析】2ππππ27sin 2sin 2cos 212sin 1424499αααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-++=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：A2．（2022·江西省万载中学高一阶段练习）把函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0ϕϕ>个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．5π6B ．2π3C ．5π12 D ．π6【答案】C【解析】将函数4πsin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()4πsin 23y x ϕ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦， ∵所得函数图象关于y 轴对称， 即4π23ϕ-=()ππ,Z 2k k +∈， ∵()5ππ,Z 122k k ϕ=-∈， ∵0ϕ>，∵当0k =时，ϕ的最小值为5π.12故选：C3．（2022·辽宁 ）若πtan()24-=-α，则23sin sin cos 3cos αααα=+（ ） A ．52B ．2C ．52-D ．12-【答案】C【解析】由πtan()24-=-α可得1tan 2,tan 31tan -α=-∴α=-+α ， 故232222sin sin tan sin cos 3cos cos (sin 3cos )sin 3cos ==+++ααααααααααα，而22222222sin 3cos tan 36sin 3cos sin cos tan 15+++===++αααααααα，故22tan 356sin 3cos 25-==-+ααα， 即23sin 5sin cos 3cos 2=-+αααα，故选：C4．（2022·陕西 ）函数()()5πcos 1log (0)2f x x x x ⎡⎤=-+>⎢⎥⎣⎦的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】()()55ππcos 1log sin log 22f x x x x x ⎡⎤⎛⎫=-+=+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭；在同一直角坐标系内画出函数()πsin 2g x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭和()5log (0)h x x x =->的图象，又55(3)log 31,(7)log 71h h =->-=-<-，()()3π7π3sin 1,7sin 122g g ⎛⎫⎛⎫==-==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；所以函数()g x 和()h x 恰有3个交点，即函数()f x 有3个零点， 故选：C.5．（2022·湖南 ）奇函数()()()cos ,(0,0,)f x x ωϕωϕπ=+>∈在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上恰有一个最大值1和一个最小值-1，则ω的取值范围是（ ） A ．[)2,6 B ．92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．39,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．3,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】由()f x 为奇函数，则2k πϕπ=+，Z k ∈，又()0,ϕπ∈，故2ϕπ=， 所以()sin f x x ω=-，在,34ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦x ，则,34x ωπωπω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，0>ω，当042ωππ<<，则53232πωππ-<-≤-，故ω无解； 当3242πωππ≤<，则3232πωππ-<-≤-，可得922ω≤<； 当023πωπ-<-<，则35242πωππ≤<，无解.综上，ω的取值范围是92,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭.故选：B6．（2022·河南 ）将函数()sin f x x =的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移12π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A ．()1sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 212g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】将()sin f x x =图象上各点横坐标变为原来的12，得sin2y x =，再向左平移12π个单位长度后得()sin 2sin 2126g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选：D.7．（2022·江西 ）已知函数())2π33sin sin sin 02f x x x x ωωωω⎛⎫=+-> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，则()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为（ ）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．33⎡⎢⎣⎦C ．3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3⎡-⎢⎣⎦【答案】D【解析】()2π33sin sin 2f x x x x ωωω⎛⎫+- ⎪⎝⎭1cos2133sin 222x x ωω--πsin 23x ω⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，因为()f x 的最小正周期为π，所以2ππ2ω=，得1ω=， 所以()πsin 23x f x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．由π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以π3sin 23x ⎡⎤⎛⎫+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，从而()π3sin 23f x x ⎡⎛⎫=-+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，故选：D ．8．（2022·广西 ）已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间π3,π44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则实数ω的取值范围为（ ） A ．80,9⎛⎤⎥⎝⎦B ．(]1,2C ．(]0,1D ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由题意有2ππT ω=≥，可得02ω<≤，又由πππ5π3436ω<+≤，必有3πππ43ω+≤，可得809ω<≤. 故选：A二、多选题（每题至少有两个选项为正确答案，少选且正确得2分，每题5分。
人教A数必修4能力提升：1章 三角函数 章末综合检测[ 高考]
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(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°解析：选B.与330°终边相同的角为{α|α＝330°＋k ·360°，k ∈Z }．当k ＝－1时，α＝－30°.2．如果cos(π＋A )＝－12，那么sin(π2＋A )＝( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32解析：选B.cos(π＋A )＝－cos A ＝－12，则cos A ＝12，sin(π2＋A )＝cos A ＝12.3．半径为π cm ，圆心角为60°所对的弧长是( ) A.π3 cm B.π23 cm C.2π3 cm D.2π23cm 解析：选B.l ＝|α|·r ＝π3×π＝π23(cm)，故选B.4．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A ．(－π4，π4)B ．(π4，3π4)C ．(π，3π2)D ．(3π2，2π)解析：选C.先画出函数f (x )＝|sin x |的图象，易得一个单调递增区间是(π，3π2)．5．函数y ＝tan(π2－x )(x ∈[－π4，π4]且x ≠0)的值域为( )A ．[－1,1]B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．[－1，＋∞)解析：选B.∵－π4≤x ≤π4，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan(π2－x )的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．6．要得到函数y ＝sin(2x －π4)的图象，可以把函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位长度B ．向左平移π4个单位长度C ．向右平移π8个单位长度D ．向右平移π4个单位长度解析：选C.y ＝sin 2x 向右平移π8个单位长度得到y ＝sin2(x －π8)＝sin(2x －π4)．7．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2B.2π3C.3π2D.5π3 解析：选C.由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )．又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2，故选C.8．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π4个单位长度，所得图象经过点(3π4， 0)，则ω的最小值是( )A.13 B ．1 C.53D ．2 解析：选D.将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π4个单位长度得到函数y ＝sin[ω(x －π4)]的图象，因为所得图象经过点(34π，0)，则sin ω2π＝0，所以ω2π＝k π(k ∈t )，即ω＝2k (k ∈t )，又ω>0，所以ωmin ＝2，故选D.9．已知函数f (x )＝2sin(ωx －π6)－12(ω>0)和g (x )＝12cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是( )A ．[－52，32]B ．[－12，32]C ．[－32，32]D ．[－12，12]解析：选C.由题意知ω＝2，所以f (x )＝2sin(2x －π6)－12，又x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，5π6]，由三角函数的图象知，f (x )min ＝f (0)＝2sin(－π6)－12＝－32，f (x )max ＝f (π3)＝2sin π2－12＝32. 10.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数图象的一条对称轴方程为( )A ．x ＝2πB ．x ＝π2C ．x ＝1D ．x ＝2 解析：选C.函数y ＝cos(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最大值为1，最小值为－1，所以周期T＝2(22)2－22＝4，所以ω＝π2，又函数为奇函数，所以cos φ＝0(0<φ<π)⇒φ＝π2，所以函数解析式为y ＝cos(π2x ＋π2)＝－sin π2x ，所以直线x ＝1为该函数图象的一条对称轴．二、填空题(本大题共5小题，请把正确的答案填在题中的横线上)11．化简：1tan (450°－x )tan (810°－x )·cos (360°－x )sin (－x )＝________.解析：原式＝1tan (90°－x )tan (90°－x )·cos xsin (－x )＝tan x ·tan x ·(－1tan x)＝－tan x .答案：－tan x12．将函数f (x )＝2cos(x 3＋π6)的图象向左平移π4个单位，再向下平移1个单位，得到函数g (x )的图象，则g (x )的解析式为________．解析：左移π4个单位，即是将x 换成x ＋π4，下移1个单位即是函数值减1，变化后可得解析式为2cos(x 3＋π4)－1.答案：g (x )＝2cos(x 3＋π4)－113．函数y ＝tan(x 2＋π4)的递增区间是________．解析：由－π2＋k π<x 2＋π4<π2＋k π，解得－3π2＋2k π<x <π2＋2k π，k ∈Z .答案：(－3π2＋2k π，π2＋2k π)(k ∈Z )14．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间[0，π3]上的最大值为2，则ω＝________.解析：0<ω<1，x ∈[0，π3][0，π2]，故f (x )max ＝2sin ωπ3＝2，∴sin ωπ3＝22，ωπ3＝π4，∴ω＝34.答案：3415．有下列说法：①函数y ＝－cos 2x 的最小正周期是π；②终边在y 轴上的角的集合是{α|α＝k π2，k ∈Z }；③在同一直角坐标系中，函数y ＝sin x 的图象和函数y ＝x 的图象有三个公共点；④把函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度得到函数y ＝3sin 2x 的图象；⑤函数y ＝sin(x －π2)在[0，π]上是减函数．其中，正确的说法是________．(填序号)解析：对于①，y ＝－cos 2x 的最小正周期T ＝2π2＝π，故①对；对于②，因为k ＝0时，α＝0，角α的终边在x 轴上，故②错；对于③，作出y ＝sin x 与y ＝x 的图象，可知两个函数只有(0,0)一个交点，故③错；对于④，y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π6个单位长度后，得y ＝3sin[2(x －π6)＋π3]＝3sin2x ，故④对；对于⑤，y ＝sin(x －π2)＝－cos x ，在[0，π]上为增函数，故⑤错．答案：①④三、解答题(本大题共5小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．已知角α的终边经过点P (－3,4)，求： 2sin (π－α)·cos (2π－α)＋1cos 2α＋sin (π2－α)·cos (3π2＋α)的值．解：由题意：tan α＝－43.原式＝2sin α·cos α＋1cos 2α＋cos αsin α＝2tan α＋tan 2α＋11＋tan α＝－13.17．已知tan α、1tan α是关于x 的方程x 2－kx ＋k 2－3＝0的两实根，且3π<α<72π，求cos(3π＋α)－sin(π＋α)的值．解：由题意，根据根与系数的关系， 得tan α·1tan α＝k 2－3＝1，∴k ＝±2.又3π<α<72π，∴tan α>0，1tan α>0，∴tan α＋1tan α＝k >0，即k ＝2，而k ＝－2舍去．∴tan α＋tan α＝1tan α＝1，∴sin α＝cos α＝－22，∴cos(3π＋α)－sin(π＋α)＝sin α－cos α＝0.18．已知函数f (x )＝3tan(2x －π3)．(1)求f (x )的定义域；(2)比较f (π2)与f (－π8)的大小．解：(1)由已知，得2x －π3≠k π＋π2(k ∈Z )，∴x ≠12k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的定义域为{x |x ≠12k π＋5π12，k ∈Z }．(2)f (π2)＝3tan(π－π3)＝3tan(－π3)<0，f (－π8)＝3tan(－π4－π3)＝3tan(－7π12)＝3tan(π－7π12)＝3tan 5π12>0，所以f (π2)<f (－π8)．19．已知函数f (x )＝2sin(2x －π4)．(1)利用“五点法”，按照列表——描点——连线三步，画出函数f (x )在一个周期上的图象；(2)当x ∈[－π2，π8]时，f (x )－a ＝0有解，求实数a 的取值范围．解：(1)列表、画图如下：2 0 －(2)∵－π2≤x ≤π8，∴－5π4≤2x －π4≤0，∴－1≤sin(2x －π4)≤22，∴－2≤2sin(2x －π4)≤1.f (x )－a ＝0有解，即a ＝f (x )有解，故a ∈[－2，1]． 即实数a 的取值范围为[－2，1]．20．已知函数f (x )＝2m sin x －2cos 2x ＋m 22－4m ＋3，且函数f (x )的最小值为19，求m 的值．解：f (x )＝2(sin x ＋m2)2－4m ＋1.(1)当－1≤－m 2≤1，即－2≤m ≤2时，由sin x ＝－m2，得函数f (x )的最小值为－4m ＋1，由－4m ＋1＝19，得m ＝－92∉[－2,2]；(2)当－m 2<－1，即m >2时，由sin x ＝－1，得函数f (x )的最小值为m 22－6m ＋3，由m 22－6m ＋3＝19得m ＝6±217，结合m >2得m ＝6＋217； (3)当－m 2>1即m <－2时，由sin x ＝1得函数f (x )的最小值为m 22－2m ＋3，由m 22－2m ＋3＝19得m ＝－4或m ＝8，结合m <－2得m ＝－4.由(1)、(2)、(3)得m 的值为－4或6＋217.。
高一年级数学第四章《三角函数》提高测试题(一)
提高测试（一）（一）选择题（每题3分；共30分）1．下列命题中；真命题是（ ）．（A ）若sin α＞0；则02sin >α（B ）若sin α＞0；则cos α＞0（C ）若tan α＞0；则sin 2α ＞0（D ）若cos α ＜0；则cos 2α＜0【提示】根据三角函数值的符号；确定角α 所在的象限；再由角2α；2 α 所在的象限；判断相应三角函数值的符号．【答案】（C ）．【点评】本题考查三角函值的符号．由sin α ＞0；得2k π＜α ＜2k π＋π（k ∈Z ）；于是 k π＜2α＜k π＋2π（k ∈Z ）；知2α是第一或第三象限角；故排除（A ）． 由sin α＞0；得α 是第一或第二象限角；排除（B ）． 由cos α ＜0；得2k π＋2π＜α ＜2k π＋23π（k ∈Z ）；于是4k π＋π＜2α ＜4k π＋3π （k ∈Z ）；此时；2α 可能是任何象限的角；排除（D ）． 而由tan α＞0；知k π＜α ＜k π＋2π（k ∈Z ）；于是2k π＜2α ＜2k π＋π；此时sin 2α ＞0成立．2．若f （cos x ）＝cos 2x ；则f （sin 15°）的值是（ ）．（A ）21 （B ）23 （C ）－21 （D ）－23 【提示一】由f （cos x ）＝cos 2x ＝2 cos 2 x －1；得f （x ）＝2x 2－1；于是f （sin 15°）＝2 (sin 15°)2－1＝―cos30°＝―23． 【提示二】f （sin 15°）＝f （cos 75°）＝cos 150°＝―cos30°＝―23． 【答案】（D ）． 【点评】本题结合函数的概念考查二倍角公式或诱导公式的灵活应用．3．下列函数中；周期为2π的偶函数是（ ）． （A ）f （x ）＝sin 4x ；x ∈R（B ）f （x ）＝cos 2 2x －sin 2 2x ； x ∈R（C ）f （x ）＝tan 2x ；x ∈R 且x ≠2πk ＋4π（k ∈Z ） （D ）f （x ）＝cos 2x ；x ∈R【提示】（A ）、（C ）中的函数为奇函数；（D ）中的函数周期是π ；而对于（B ）；f （x ）＝cos 4x 是周期为2π的偶函数． 【答案】（B ）．【点评】本题考查三角函数的奇偶性、周期性和二倍角公式．4．比较23cos ；101sin ；－47cos 的大小顺序是（ ）． （A ）23cos ＜101sin ＜－47cos （B ）23cos ＜－47cos ＜101sin （C ）101sin ＜23cos ＜－47cos （D ）－47cos ＜101sin ＜23cos 【提示】 23cos ≈cos 86°；101sin ≈°＝°；－47cos ≈－°＝°；而y ＝cos x 在（0；2π）为减函数；得 cos 86°＜°＜°；即23cos ＜101sin ＜－47cos ． 【答案】（A ）．【点评】本题考查诱导公式及余弦函数的单调性．在比较大小时；一般是先将各三角函数都化为同名的三角函数；再将各角化为第一象限的角；最后利用三角函数的单调性来比较．5．要使sin α －3 cos α ＝mm --464有意义；m 的取值范围是（ ）． （A ）[－1；0] （B ）[0；37] （C ）[－1；37] （D ）[23；4] 【提示】由于sin α －3 cos α ＝2sin （α －3π）；得－2≤mm --464≤2 ；解不等式；得 m ∈[－1；37]． 【答案】（C ）．【点评】本题考查两角差的正弦；三角函数的值域以及解不等式的有关知识．6．在直角三角形中两锐角为A 和B ；则sin A sin B （ ）．（A ）有最大值21和最小值0 （B ）有最大值21；但无最小值 （C ）既无最大值也无最小值（D ）有最大值1；但无最小值【提示】因为A ＋Ｂ＝90°；有sin A sin B ＝sin A cos A ＝21 sin 2A ．又0°＜A ＜90°；所以当 A ＝45°时；sin A sin B 有最大值21；但2A ∈(0；180°)；sin 2A 无最小值． 【答案】（B ）．【点评】本题考查三角函数的诱导公式及二倍角的正弦公式、正弦函数的有界性等知识．7．函数y ＝A sin （ω x ＋ϕ）在同一区间内；当x ＝9π时；y 取得最大值21；当x ＝94π时；y 取得最小值－21；则函数的解析式是（ ）． （A ）y ＝21 sin （3x －6π） （B ）y ＝21 sin （3x ＋6π） （C ）y ＝21 sin （3x ＋6π） （D ）y ＝21 sin （3x －6π） 【提示】显然A ＝21；2T ＝94π－9π＝3π；T ＝32π．则ω ＝T2π＝3；将（9π；21）代入 y ＝21 sin （3x ＋ϕ）；得ϕ ＝6π；于是y ＝21 sin （3x ＋6π）． 【答案】（B ）．【点评】本题考查三角函数y ＝ A sin （ω x ＋ϕ）的图象和性质．8．下列各式中正确的是（ ）．（A ）arcsin （－3π）＝－23 （B ）arcsin （sin 45π）＝－4π （C ）arcsin （arcsin 3π）＝3π （D ）sin[arccos （－21）]＝－23 【提示】利用反正弦函数、反余弦函数的定义．【答案】（B ）．【点评】本题考查反正弦、反余弦的定义．对于arcsin x ＝α ；x 表示角α的正弦值；且| x |≤1；而－3π＜－1；排除（A ）；又3π＞1；排除（C ）；由于arccos （－21）＝3π2；sin 3π2＝23；排除（D ）．而sin45π＝－22；arcsin （－22）＝－4π．故选（B ）． 9．使函数y ＝sin （2x ＋θ ）＋3 cos （2x ＋θ ）为奇函数；且在[0；4π]上是减函数的θ 的一个值是（ ）． （A ）3π （B ）3π2 （C ）3π4 （D ）3π5 【提示】由于y ＝2 sin （2x ＋θ ＋3π）为奇函数；再将各选项的θ 的值逐项代入；可排除（A ）、（C ）．又x ∈[0；4π] 时原函数为减函数；再排除（D ）． 【答案】（B ）．【点评】本题考查两角和的正弦公式、函数的奇偶性以及函数的单调性．10．已知tan α ；tan β 是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根；且－2π＜α ＜2π；－2π＜β ＜2π；则α ＋β 等于（ ）． （A ）3π （B ）－32π （C ）3π或32π （D ）－3π或32π 【提示】因为tan α ＋tan β ＝－33；tan α tan β ＝4；则tan （α＋β ）＝βαβαtan tan 1tan tan ⋅-+＝3．同时由tan α ＋tan β ＜0；tan α tan β ＞0；可知tan α ；tan β 均小于零； 故α 、β ∈（－2π；0）；所以α ＋β ∈（－π ；0）；得α ＋β ＝－32π． 【答案】（B ）．【点评】本题考查两角和的正切公式；以及综合运用韦达定理解决问题的能力．（二）填空题（每题4分；共20分）1．函数y ＝x x tan cot 1-的周期T ＝_______． 【提示一】y ＝x x x x cos sin sin cos 1- ＝xx x x 22sin cos cos sin - ＝xx 2cos 2sin 21＝21 tan 2x ． 【提示二】y ＝x x tan tan 11- ＝xx 2tan 1tan - ＝21 tan 2 x ．【答案】2π 【点评】本题考查同角三角函数关系；二倍角公式及正切函数的周期性．2．求73πcos 72πcos 7πcos 的值等于________． 【提示】73πcos 72πcos 7πcos ＝7πsin 273πcos 72πcos 7πcos 7πsin2 ＝7πsin 227π3cos 7π2cos 7π2sin 2⨯ ＝7πsin 47π4cos 7π4sin- ＝7πsin 87π8sin- ＝7πsin 87πsin-＝81． 【答案】81． 【点评】本题考查二倍角公式及诱导公式以及三角恒等变形的能力．3．函数y ＝2sin x ＋2cos x 在（－2π；2π）内的递增区间是_____________．【提示】y ＝2sin x ＋2cos x ＝)4π2sin(2+x ；函数y 的单调递增区间由下面的条件决定： ⎪⎩⎪⎨⎧<<-∈+≤+≤π2π2)(2ππ24π22π-π2x k k x k Z解之即可． 【答案】[－23π；2π]． 【点评】本题考查三角函数式的恒等变形及三角函数的单调性．4．函数f （x ）；x ∈R 是奇函数；且当x ≥0时；f （x ）＝x 2＋sin x ；则当x ＜0时；f （x ）＝____________．【提示】当x ＜0时；－x ＞0；由题设f （－x ）＝（－x ）2＋sin （－x ）＝x 2－sin x .；又f （x ）为奇函数；f （－x ）＝－f （x ）；于是f （x ）＝－f （－x ）＝－x 2＋sin x ．【答案】－x 2＋sin x ．【点评】本题考查函数的概念；函数的奇偶性及运算能力．5．方程2sin x ＝31在[π；2π]上的解是___________． 【提示】 由2sinx ＝31；得2x ＝k π＋（－1）k 31arcsin ；x ＝2k π＋（－1）k 31arcsin 2（k ∈Z ）；当k ＝1时；有x ＝2π－31arcsin 2∈[π；2π]． 【答案】2π－31arcsin 2．【点评】本题考查反正弦的定义．（三）解答题（每题10分；共50分）1．已知角α 的顶点与直角坐标系的原点重合；始边在x 轴的非负半轴上；终边经过 点P （－１；2）；求sin （2α ＋3π2）的值． 【提示】画出图形；先求得sin α ；cos α 的值．【答案】据已知；| OP | ＝222)1(+-＝5；由三角函数的定义；sin α ＝52；cos α ＝－51．于是；sin 2α ＝2 sin α cos α ＝－54； cos 2α ＝2 cos 2 α －1＝－53． ∴ sin （2α ＋3π2）＝3π2cos 2sin α＋3π2sin 2cos α ＝－54×（－21）＋（－53）×23 ＝10334-． 【点评】本题考查三角函数的定义；两角和的正弦、倍角公式及计算能力．2．设π＜A ＜23π；0＜B ＜2π；且cos A ＝－55；cot B ＝3；求证A －B ＝π45． 【提示】根据已知；先计算tan （A －B ）的值；再判断A －B 的取值范围．【答案】∵ π＜A ＜23π；cos A ＝－55； ∴ sin A ＝－A 2cos 1-＝552-； 于是；tan A ＝AA cos sin ＝2． 又cotB ＝3；得tan B ＝31．∴ tan （A －B ）＝B A B A tan tan 1tan tan +-＝321312+-＝1． ∵ π＜A ＜2π3；0＜B ＜2π； ∴ 2π＜A －B ＜23π． ∴ A －B ＝4π5． 【点评】本题考查同角三角函数间的关系；两角差的正切；由三角函数值确定角的方法．3．已知cos α ＝cos x ·sin γ ；cos β ＝sin x ·sin γ ；求证sin 2 α ＋sin 2 β ＋sin 2 γ ＝2【提示】 利用已知条件；注意到sin 2 α ＝1－cos 2 α ；sin 2 β ＝1－cos 2 β ；将条件代入原式的左边；化简即可．【答案】左边＝1－cos 2 α ＋1－cos 2 β ＋sin 2 γ＝2－cos 2 α －cos 2 β ＋sin 2 γ ；又cos α ＝cos x sin γ ；cos β ＝sin x sin γ ；∴ 左边＝2－cos 2 x sin 2 γ －sin 2 x sin 2 γ ＋sin 2 γ＝2－sin 2 γ（sin 2 x ＋cos 2 x ）＋sin 2 γ＝2－sin 2 γ＋sin 2 γ＝2∴ 原结论成立．【点评】本题通过三角恒等式的证明；考查三角函数恒等变形能力．寻求已知条件与所证恒等式之间的关系是证明的关键．4．已知函数y ＝x 2cos 21＋x x cos sin 23＋1；x ∈R （1）当函数y 取得最大值时；求自变量x 的集合；（2）该函数的图象可由y ＝sin x ；x ∈R 的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？【提示】利用三角函数的有关公式；对函数y 进行化简．【答案】 （1）y ＝x 2cos 21＋x x cos sin 23＋1＝41（2 cos 2 x －1）＋43（2 sin x cos x ）＋41＋1 ＝452sin 432cos 41++x x ＝45)2sin 232cos 21(21++x x ＝45)6π2sin(21++x ． 当y 取最大值时；必须有2x ＋6π＝2k π＋2π；即x ＝k π＋6π（k ∈Z ）． ∴ 当函数y 取得最大值时；自变量x 的集合为 x ∈{x ＝k π＋6π；k ∈Z }． （2）【解法一】将函数y ＝sin x 依次进行如下变换：①把函数y ＝sin x 的图象向左平行移动6π个单位长度；得到函数y ＝sin （x ＋6π）的图象； ②把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）；得到函数 y ＝sin （2x ＋6π）的图象； ③把得到的图象上的各点的纵坐标缩短到原来的21倍（横坐标不变）；得到函数 y ＝)6π2sin(21+x 的图象； ④把得到的图象向上平行移动45个单位长度；得到函数y ＝45)6π2sin(21++x 的图象． 综上得到函数y ＝x 2cos 21＋x x cos sin 23＋1的图象． 【解法二】 ①把函数y ＝sin x 图象上所有的点的横坐标缩短为原来的21倍（纵坐标不变）；得到函数y ＝sin 2x 的图象； ②再将图象上所有的点向左平行移动12π个单位长度；得函数y ＝)6π2sin(+x 的图象；③将得到的图象上的所有点的纵坐标缩短为原来的21倍（横坐标不变）；得到函数 y ＝)6π2sin(21+x 的图象；④将得到的图象向上平行移动45个单位长度；得函数y ＝45)6π2sin(21++x 的图象． 【点评】 本题是2000年高考题；主要考查三角函数的图象和性质；考查利用三角公式进行恒等变形的技能以及运算能力．注意：在由y ＝sin x 的图象得到y ＝sin ω x 的图象时；是把y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标伸长（或缩短）到原来的ω1倍（纵坐标不变）；而不是ω 倍． 5．设函数y ＝sin 2 x ＋a cos x ＋85a －23在0≤x ≤2π上的最大值为1；求a 的值． 【提示】 将函数y 变形为y ＝－（cos x －2a ）2＋42a ＋85a －21；由cos x ∈[0；1]；利用二次函数的图象性质；分情况讨论．【答案】∵ y ＝sin 2 x ＋a cos x ＋85a －23 ＝1－cos 2 x ＋a cos x ＋85a －23 ＝－（cos x －2a ）2＋42a ＋85a －21． 由0≤x ≤2π；得0≤cos x ≤1． 下面对a 的取值情况分类讨论：（1）当0≤a ≤2时；函数y 在cos x ＝2a 处取得最大值42a ＋85a －21；据已知； 42a ＋85a －21＝1；即2a 2＋5a －12＝0；得a ＝23或a ＝－4（舍去）； （2）当a ＜0时；函数y 在cos x ＝0时取得最大值85a －21；有85a －21＝1； 即a ＝512（舍去）； （3）当a ＞2时；函数y 在cos x ＝1处取得最大值23813-a ；有23813-a ＝1； 即a ＝1320（舍去）． ∴ a ＝23即为所求．【点评】本题通过三角函数的有界性；结合二次函数的性质考查在限定区间内函数的最大（小）值的问题；以及综合运用数学知识解决问题的能力．。
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《三角函数》章末提升测评 (总分：100分；时间：60分钟）―、选择题（每小题5分，共40分）1.(2018浙江诸暨中学高一上期末，数学运算）已知扇形的周长是12，面积是8，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A.l B.4 C.1或4 D.2或42.已知角α终边上一点()2,3P -，则()()()cos sin 2cos sin 3παπαπαπα⎛⎫++ ⎪⎝⎭--的值为（ ） A.32 B.32-C.23D.23-3.已知函数()()()sin 0f x x ωπω=>在(]0,2上恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω的取值范围是（ ）A.1324ω≤< B.1524ω≤< C.3544ω≤< D.314ω≤< 4.设函数()sin 2,,62f x x x πππ⎛⎫⎡⎤=-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦则以下结论正确的是（ ）A.函数()f x 在,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减B.函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.函数()f x 在2,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减D.函数()f x 在2,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增5.函数cos x xe的图像大致是（ ）6.函数()()sin f x A x ωϕ=+(其中0,0,2A πωϕ>><)的部分图象如图所示，为了得到()sin g x x =的图象,只要将()f x 的图象（ ）A.先向右平移12π个单位长度，再把所得图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 B.先向右平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍,纵坐标不变 C.先向左平移4π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变 D.先向左平移12π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的13，纵坐标不变7.(2017湖南师大附中高一期中，直观想象）函数()22cos cos 3f x x x =+-在区间[]0,2π内的零点个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.48.(2018安徽六安一中高一下期中）设0x 为函数()sin f x x π=的零点,且满足001332x f x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,则这样的零点有（ ）A.61个B.63个C.65个D.67个二、填空题（每小题5分，共20分）9.(2017山东师大附中高一期末，数学运算）已知扇形的周长为6，当扇形面积最大时，扇形的圆心角_____α=.10.已知函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则_____ω=，函数()f x 的图象可以由()2sin g x x ω=的图象向左平移至少_____个单位得到.11.若()()()sin 30,f x A x ωϕωϕπ=++><对任意实数t都有3f t π⎛⎫+= ⎪⎝⎭3f t π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.记()()sin 2g x A x ωϕ=+-，则_____.3g π⎛⎫= ⎪⎝⎭12.已知函数()sin 2,3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，那么函数()y f x =的图象与函数lg y x =的图象的交点共有_____个.三、解答题（共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）13.(10分）（2018浙江诸暨中学高一上期末，数学运算）已知3tan 4θ=-，求下列各式的值：(1)()()3sin cos 222sin cos ππθθπθθπ⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+--；(2)22sin cos cos θθθ+-.14.(10分)（2017山东济宁高一期末统考，数学运算）已知函数()()()sin f x A x x R ωϕ=+∈(其中0,0,02A πωϕ>><<)的图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π，且图象上一个最低点为2,13M π⎛⎫-⎪⎝⎭. (1)求函数()f x 的解析式；(2)当,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域；(3)若方程()23f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根12,x x ，求()12cos x x -的值.15.(10分）（2017福建师大附中高一期末）已知函数()2sin 2f x x =，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象.(1)求函数()y g x =的解析式；(2)若对任意实数x ，不等式()()2mg x m g x +≥恒成立,求实数m 的取值范围； (3)若区间[],a b (,a b R ∈且a b <)满足()y g x =在[],a b 上至少含有30个零点,在所有满足上述条件的[],a b 中，求b a -的最小值.16.(10分）（2018安徽六安一中高一下期中）已知点()()()()1122,,,A x f x B x f x 是函数()()2sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭图象上的任意两点，且角ϕ的终边经过点(1,P ，当()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π. (1)求函数()f x 的解析式；(2)求函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；(3)若存在0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()()2mf x m f x +≥，求实数m 的取值范围.参考答案 一、选择题1. 答案：C解析：设扇形圆心角为α，半径为r .依题意得2212,18,2r r r αα+=⎧⎪⎨=⎪⎩因此()22212916αα+==.化简得2540αα-+=，解得1α=或4α=.故选C. 2. 答案：A解析：因为点()2,3P -在角α终边上，所以3tan 2α=-.因此()()()()()cos sin sin sin 32tan cos sin 3cos sin 2παπααααπαπααα⎛⎫++ ⎪--⎝⎭==-=---.故选A. 3. 答案：C解析：由题意得32,252.2πωππωπ⎧≥⎪⎪⎨⎪<⎪⎩解得3544ω≤<，故选C.4. 答案：C解析：7,02,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈-⇒-∈--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 先减后增； 50,2,2666x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()f x 先增后减；257,2,23666x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 单调递增；2711,2,3666x x πππππ⎡⎤⎡⎤∈⇒-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()f x 先减后增，故选C. 5. 答案：D 解析：易知cos x x y e =是偶函数，所以A,B 错误；又当x 无限增大时，cos xxy e=无限变小，故选D. 6. 答案：A解析：由图像知：51,412416T A πππ==-=，因此23T π=，由223ππω=，解得3ω=. 当4x π=时，()324k k Z πϕππ⨯+=+∈，解得()2.4k k Z πϕπ=+∈又2πϕ<，所以4πϕ=，因此()sin 34f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.又由sin y x =的图象上任一点的横坐标缩短到原来的13（纵坐标不变），可以得到sin3y x =的图象,再将图象向左平移12π个单位可以得到sin 3sin 3124y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦的图象,故将()f x 的图象先向右平移12π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变），可以得到sin y x =的图象，故选A. 7. 答案：D解析：令()0f x =，得22cos cos 3x x +=.设()2cos cos g x x x =+， 则当30,,222x πππ⎡⎤⎡⎤∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦时，()3cos g x x =；当3,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos g x x =-.易知函数 ()g x 的图象与直线23y =有4个不同的交点， 所以()f x 在[]0,2π内有4个零点，选D. 8. 答案：C解析：依题意得0sin 0x π=,从而()()00,.x k k Z x k k Z ππ=∈∴=∈因此，001332x f x ⎛⎫++< ⎪⎝⎭可化为1sin 332k k π⎡⎤⎛⎫++< ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦①.当k 是偶数时,①化为323232k k <⇒-<<，此时k 的取值有31个； 当k 是奇数时,①化为343434k k <⇒-<<，此时k 的取值有34个. 故0x k =的取值共65个，故选C.二、填空题9.答案：见解析解析：设扇形半径为r ,弧长为l ，则,26l r r r αα=+=，因此62rrα-=， 222211623932224r S r r r r r r α-⎛⎫==⋅⋅=-+=--+ ⎪⎝⎭扇，因此当32r =时，扇形面积最大，此时2α=. 故当扇形面积最大时，扇形的圆心角2α=. 10.答案：见解析 解析：由图象知,.2362T T ππππ⎛⎫=--=∴= ⎪⎝⎭ 由2T ππω==得2ω=.当6x π=-时，()226k k Z πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，结合02πϕ<<得3πϕ=，从而()2sin 22sin 236f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故由()2sin 2g x x =的图象向左平移至少6π个单位可得到()f x 的图象. 11.答案：见解析 解析：()()()sin 30,f x A x ωϕωϕπ=++><对任意实数t 都有33f t f t ππ⎛⎫⎛⎫+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴函数()f x 的图象关于直线3x π=对称，故有sin 333f A ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最大值或最小值，即sin 13πωϕ⎛⎫⋅+=± ⎪⎝⎭, cos 03πωϕ⎛⎫∴⋅+= ⎪⎝⎭,故有g cos 2233A ππωϕ⎛⎫⎛⎫=⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故答案为2-.12.答案：见解析解析：在同一坐标系内作出()y f x =与lg y x =的图象，如图所示.由图像知交点共有8个.三、解答题13.答案：见解析解析：(1)当3tan 4θ=-时，原式31cos sin 1tan 7462sin cos 2tan 11014θθθθθθ---+-+====--+-++. (2)当3tan 4θ=-时，原式22231sin cos cos tan 12242229sin cos tan 125116θθθθθθθ----=+=+=+=+++. 14.答案：见解析解析：(1)由最低点为2,13M π⎛⎫- ⎪⎝⎭得1A =， 由图象的两条相邻对称轴之间的距离为2π得,2T πω=∴=, 由点2,13M π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上得4sin 13πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故432,,32k k Z ππϕπ+=+∈ 2,,6k k Z πϕπ∴=+∈又()0,,sin 2266f x x πππϕϕ⎛⎫<<∴=∴=+ ⎪⎝⎭. (2)57,,2,821266x x πππππ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦当262x ππ+=,即6x π=时，()f x 取得最大值1； 当7266x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值12-.故当,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⑶50,,23666x x ππππ⎡⎤∈∴≤+≤⎢⎥⎣⎦，又方程()23f x =在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根12x x 、， 12222662x x πππ⎛⎫⎛⎫∴+++=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即12,3x x π+=()()1222222cos cos 2cos 2sin 2.32663x x x x x f x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=-=-+=+== ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 15.答案：见解析解析：(1)依题意得()2sin 212sin 2163y g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. (2)由()()2mg x m g x +≥得()()2m g x g x +≥⎡⎤⎣⎦,()()()()()()22220,1222g x g x g x m g x g x g x +-+>∴≥==-+++, 由(1)得()13g x -≤≤,则()125g x ≤+≤, 从而()22252g x -≤≤+.则()22225g x -≤≤-+, 因此()231125g x -≤-≤+ 故()max 2331,.255m g x ⎡⎤-=∴≥⎢⎥+⎣⎦ 因此实数m 的取值范围为3,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. (3)由()0g x =得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，解得4x k ππ=-或()712x k k Z ππ=-∈, 即()g x 的零点间的间隔依次为3π和23π， 若()y g x =在[],a b 上至少含有30个零点，结合图象（图略）知，b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=. 16.答案：见解析解析：(1)角ϕ的终边经过点(1,,tan P ϕ∴=0,.23ππϕϕ-<<∴=- 由()()124f x f x -=时，12x x -的最小值为3π，得23T π=， 即22, 3.3ππωω=∴= ()2sin 3.3f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭ (2)20,,3,3333x x ππππ⎡⎤⎡⎤∈∴-∈-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域为2⎡⎤⎣⎦.(3)当0,6x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，3,336x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦()1f x ≤≤， 所以()()()20,2f x mf x m f x +>+≥等价于()()()2122f x m f x f x ≥=-++.由()f x ⎡⎤∈⎣⎦，得()()2f x f x +的最小值为3-，所以，实数m 的取值范围是3m ≥-.。