第七章 随机振动的响应分析课件
合集下载
随机振动课件
在机械工程领域，随机振动分析还用 于研究机械设备的动态特性和稳定性 、振动噪声和疲劳寿命等。这些研究 有助于工程师更好地了解机械设备的 性能和安全性，并采取相应的措施来 提高机械设备的稳定性和可靠性。
06
随机振动的发展趋势与 展望
新材料的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度、轻质材料在随机振动 领域的应用越来越广泛。这些材料能够提高结构的刚度和稳 定性，降低振动响应，从而提高结构的可靠性和安全性。
研究时变系统在随机激励下的响应特性， 包括时变系统的随机响应计算、自适应控 制和鲁棒稳定性等问题的分析。
02
随机振动分析方法
概率密度函数法
概率密度函数法是一种基于概率论的方法，用于描述随机振动信号的概率分布特性。
通过概率密度函数，可以计算随机振动信号的统计特性，如均值、方差、偏度、峰 度等。
该方法适用于分析具有复杂分布特性的随机振动信号，如非高斯、非线性、非平稳 等。
随机振动的应用领域
01
02
03
04
航空航天
飞机和航天器的起落架、机身 等部件在着陆和发射过程中的
振动。
交通运输
铁路、公路和地铁等交通工具 的减震和隔震设计，以及车辆 零部件的振动疲劳寿命分析。
土木工程
高层建筑、桥梁和隧道的抗震 设计，以及建筑结构的振动控
制。
机械工程
机械设备和精密仪器的振动隔 离和减振设计，以及振动测试
随机振动课件
目录
• 随机振动概述 • 随机振动分析方法 • 随机振动的影响因素 • 随机振动控制技术 • 随机振动在工程中的应用 • 随机振动的发展趋势与展望
01
随机振动概述
定义与特点
定义
随机振动课程总结ppt课件16页
这仅仅为理论公式具体带入计算得参照课本31页！
3、对虚拟激励法的个人浅识
S xx x e iwt ~x S xx e iwt ~x S xx e iwt
H（w） H（w） H（w） H（w）
S yy | H |2 S xx
y He iwt
~y S xx He iwt
~y 1
1.1.随机过程的概念：我们研究的是随时间变化的随机现象，研究它需要一 族或无穷多的随机变量！我们把依赖于时间参数t的一族随机变量叫做随机过 程！ 1.2.样本：我们对随机过程进行一次全程（一般采用有限时间段）观测，得 到关于时间t的函数或曲线叫做此随机过程的一个样本（样本函数）； 实际情况下，我们对于随机过程的取样往往受到时间或者经济情况的限制， 样本的个数比较少，无法真实地描述整个随机过程的统计特性。 1.3.随机过程的数字特征： 均值函数：x (t) 方差函数； x2 (t) 自相关函数：Rx (t1,t2) 协方差函数：Cx(t1,t2)
假设地面加速度Ag(t)在所有频率范围内为常数值。 • 1.9.2.金井清（Kanai-Tajimi）模型
称为过滤白噪声模型，考虑了土层对基岩地震动的过滤作用！ 1.10.脉冲响应函数，复频反应函数
分别描述了结构体系在时域和频域内的特性，互为傅里叶变换对。
1.11.反应与激励的字谱密度具有简单的关系： Sy(w)=H*(iw)H(iw)Sx(w)=|H(iw)|^2 *Sx(w)
n
2 yj
E [(
kj q k ) 2 j 2 qk 2
k 1
yj
nn
ji ik kj
i1 k 1
体系第j自由度反应yj均方值的传统公式。
《随机振动课件全》课件
01
02
பைடு நூலகம்
03
概率密度函数
描述随机变量取值的概率 分布情况。
自相关函数
描述随机过程某一时刻的 取值与另一时刻取值之间 的相关性。
互相关函数
描述两个随机过程之间的 相关性。
随机振动的频域分析
傅里叶变换
将时域信号转换为频域信号，便于分析信号的频率成分。
频谱分析
通过对频域信号的分析，得到信号中各频率成分的幅值和相位信息。
03 随机振动的测试与实验
测试设备与传感器
测试设备
为了进行随机振动测试，需要选择合适的测试设备，包括振动台、激振器等。这些设备应具备足够的功率和频率 范围，以模拟各种实际环境中的振动情况。
传感器
传感器是用于测量振动的关键设备，包括加速度计、速度传感器和位移传感器等。选择合适的传感器需要考虑其 灵敏度、线性范围和频率响应等参数，以确保准确测量振动数据。
稳定性问题，为实际工程提供理论支持。
随机振动控制与减振
02
研究如何通过控制策略和减振技术降低随机振动对工程结构的
影响，提高结构的抗振性能。
随机振动测试与实验
03
发展先进的测试技术和实验方法，对随机振动进行准确测量和
实验验证，为理论研究提供数据支撑。
未来发展方向与趋势
跨学科交叉研究
将随机振动研究与材料科学、控 制理论、人工智能等领域进行交 叉融合，开拓新的研究领域和应
数据处理与分析
数据处理
在获得原始振动数据后，需要进行一系 列数据处理，包括滤波、去噪、归一化 和平滑处理等。这些处理有助于提取有 用的信息，并消除干扰和异常值对数据 的影响。
VS
结果分析
分析处理后的数据可以帮助理解结构的动 力学特性和行为。分析方法包括频域分析 和时域分析等，可以揭示结构的共振频率 、阻尼比和模态形状等信息。根据分析结 果，可以对结构进行优化或改进设计，以 提高其抗振性能和稳定性。
随机振动课件_1
二维情形 概率分布函数 自相关函数
P( x1 , t1; x2 , t2 ) = Pr ob[ X (t1 ) < x1 , X (t2 ) < x2 ] P( x1 , t1; x2 , t2 ) = ∫
x1 −∞ −∞
∫
x2
p(u1 , t1 ) p(u2 , t2 )du1du2
RXX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = ∫
C XY = E[( X − µ x )(Y − µ y )] =∫
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
( x − µ x )( y − µ y ) p( x, y )dxdy
相关系数(Correlation Coefficient)
ρ XY =
σ XσY
C XY
−1 ≤ ρ XY ≤ 1
反映随机变量X,Y的线性相关程度
P(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
MATLAB代码 x=-10:0.2:10; y=normcdf(x,0,1); y1(1:length(x))=1; plot(x,y,x,y1)
0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
2011年3月
Random Vibration
5
概率密度函数
涵义：描述概率的分布密度特性。 例：某草坪上的草高度在5~10厘米范围内的概率较大，在其他 范围的概率较小。 数学表达： 设概率密度函数用p(x)表示,则
随机振动(Random Vibration)
2011年3月
Random Vibration
P( x1 , t1; x2 , t2 ) = Pr ob[ X (t1 ) < x1 , X (t2 ) < x2 ] P( x1 , t1; x2 , t2 ) = ∫
x1 −∞ −∞
∫
x2
p(u1 , t1 ) p(u2 , t2 )du1du2
RXX (t1 , t2 ) = E[ X (t1 ) X (t2 )] = ∫
C XY = E[( X − µ x )(Y − µ y )] =∫
+∞ −∞
∫
+∞
−∞
( x − µ x )( y − µ y ) p( x, y )dxdy
相关系数(Correlation Coefficient)
ρ XY =
σ XσY
C XY
−1 ≤ ρ XY ≤ 1
反映随机变量X,Y的线性相关程度
P(x)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
MATLAB代码 x=-10:0.2:10; y=normcdf(x,0,1); y1(1:length(x))=1; plot(x,y,x,y1)
0 -10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
2011年3月
Random Vibration
5
概率密度函数
涵义：描述概率的分布密度特性。 例：某草坪上的草高度在5~10厘米范围内的概率较大，在其他 范围的概率较小。 数学表达： 设概率密度函数用p(x)表示,则
随机振动(Random Vibration)
2011年3月
Random Vibration
《随机振动分析》PPT课件
其中：
1）Sout-谱密度响应（惯用术语）； 2）Sin-谱密度输入（来自于输入的PSD曲线）； 3）aout-计算的单自由输出； 4）ain-单自由度输入；
注意：在ANSYS中的谱密度响应就成为PSD响应（RPSD），谱 密度输入就称为输入的PSD。
3.随机振动分析步骤
（1）建立PSD分析系统
Training Manual
有频率响应函数的定义可知 1）频率响应函数的幅值等于系统输出幅值与输入幅值的比值； 2）频率响应函数的虚部与实部的比值等于相位角的正切值。
Advanced Contact & Fasteners
2.随机振动分析理论
Training Manual
（2）随机振动 根据随机振动理论可知，对于单一输入的PSD值，则系统输出为
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
4.工程实例:电路板的随机振动计算
1.随机振动分析简介
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
什么是随机振动分析
– 基于概率的谱分析.
– 典型应用如火箭发射时结构承受的载荷谱，每次发射的谱不同，但统 计规律相同.
1.随机振动分析简介
Training Manual
Advanced Contact & Fasteners
• 和确定性谱分析不同，随机振动不能用瞬态动力学分析代 替.
• 应用基于概率的功率谱密度分析，分析载荷作用过程中的 统计规律
什么是PSD?
• PSD是激励和响应的方差随频率的变化。 – PSD曲线围成的面积是响应的方差. – PSD的单位是 方差/Hz (如加速度功率谱的单位是 G2/Hz). – PSD可以是位移、速度、加速度、力或压力.
《随机振动分析基础》课件
提高解决实际问题的能力
本课程注重理论与实践相结合，通过案例分析和 实验操作，培养学生解决实际随机振动问题的能 力。
培养跨学科的思维方式
通过本课程的学习，培养学生具备跨学科的思维 方式，能够综合运用多学科知识进行复杂工程问 题的分析和解决。
02
随机振动概述
随机振动定义
随机振动定义
随机振动是指一种具有随机特性的振动，其参数（如振幅、频率、相位等）在 一定的统计规律下变化。
03
随机振动理论基础
概率论基础
概率
描述随机事件发生的可能性，通常用0到1之间的实数 表示。
随机变量
表示随机事件的数值结果，可以是离散的也可以是连 续的。
概率分布
描述随机变量取值的可能性，常见的概率分布有正态 分布、泊松分布等。
随机过程基础
01
02
03
随机过程
由随机变量构成的序列或 函数，每个随机变量表示 某一时刻的状态。
传统振动分析方法的局限性
传统的确定性振动分析方法难以处理随机振动问题，需要 引入概率统计方法进行深入研究。
学科交叉的重要性
随机振动分析涉及到多个学科领域，如概率论、统计学、 结构动力学等，需要跨学科的知识和思维方式。
课程目的
1 2 3
掌握随机振动的基本概念和原理
通过本课程的学习，使学生了解随机振动的基本 概念、原理和分析方法，为后续的工程应用和研 究打下基础。
功率谱密度法
功率谱密度法是一种基于频域分 析的方法，用于研究随机振动信
号的频率特性。
它通过对随机振动信号进行频谱 分析，提取出信号的功率谱密度 函数，从而描述随机振动信号在
不同频率范围内的能量分布。
功率谱密度法在随机振动分析中 具有广泛的应用，可以用于研究 结构的振动模态、地震工程等领
本课程注重理论与实践相结合，通过案例分析和 实验操作，培养学生解决实际随机振动问题的能 力。
培养跨学科的思维方式
通过本课程的学习，培养学生具备跨学科的思维 方式，能够综合运用多学科知识进行复杂工程问 题的分析和解决。
02
随机振动概述
随机振动定义
随机振动定义
随机振动是指一种具有随机特性的振动，其参数（如振幅、频率、相位等）在 一定的统计规律下变化。
03
随机振动理论基础
概率论基础
概率
描述随机事件发生的可能性，通常用0到1之间的实数 表示。
随机变量
表示随机事件的数值结果，可以是离散的也可以是连 续的。
概率分布
描述随机变量取值的可能性，常见的概率分布有正态 分布、泊松分布等。
随机过程基础
01
02
03
随机过程
由随机变量构成的序列或 函数，每个随机变量表示 某一时刻的状态。
传统振动分析方法的局限性
传统的确定性振动分析方法难以处理随机振动问题，需要 引入概率统计方法进行深入研究。
学科交叉的重要性
随机振动分析涉及到多个学科领域，如概率论、统计学、 结构动力学等，需要跨学科的知识和思维方式。
课程目的
1 2 3
掌握随机振动的基本概念和原理
通过本课程的学习，使学生了解随机振动的基本 概念、原理和分析方法，为后续的工程应用和研 究打下基础。
功率谱密度法
功率谱密度法是一种基于频域分 析的方法，用于研究随机振动信
号的频率特性。
它通过对随机振动信号进行频谱 分析，提取出信号的功率谱密度 函数，从而描述随机振动信号在
不同频率范围内的能量分布。
功率谱密度法在随机振动分析中 具有广泛的应用，可以用于研究 结构的振动模态、地震工程等领
谐响应、响应谱分析、随机振动与模态分析ppt课件
i w t
• 谐响应分析的运动方程：
2 ( M i C K )( u i u ) ( F i F ) 1 2 1 2
w w
运动方程
Fmax = I = = F1 = F2 = umax= f = u1 = u2 = 载荷幅值 -1 载荷函数的相位角 实部, Fmaxcos 虚部, Fmaxsin 位移幅值 载荷函数的相位角 实部, umaxcosf 虚部, umaxsinf
建模
典型命令流
/PREP7 ET,... MP,EX,... MP,DENS,… ! 建立几何模型 … ! 划分网格 ...
选择分析类型和选项
选择分析类型和选项
进入求解器，选择谐响应分析； 设置分析选项 1求解方法 2自由度输出格式 3是否使用集中质量逼近(用于结构的 一个方向的尺寸远小于另两个 方向的尺寸的情况中。例如： 细长梁与薄壳。) 典型命令:
缩减法
较快 较容易 不允许 允许 不允许 能 能 不允许 不需要 需要
模态叠加法
最快 难 允许 (一个载荷向量 ) 不允许 允许 能 不能 不允许 需要 需要 (如果选用缩减法 )
步骤
四个主要步骤： • 建模 • 选择分析类型和选项 • 施加谐波载荷并求解 • 观看结果
建模
模型 • 只能用于线性单元和材料，忽略各种非线性； • 记住要输入密度； • 注意： 如果ALPX（热膨胀系数）和T均不为零，就有 可能不经意地包含了简谐热载荷。为了避免这种事情发生， 请将ALPX设置为零. 如果参考温度 [TREF]与均匀节点温 度 [TUNIF]不一致, 那么T为非零值；
求解方法
完整法
相对求解时间 相对的使用容易程度 允许元素载荷（例如压强）吗？ 允许非零位移载荷吗？ 允许模态阻尼吗？ 能处理预应力吗？ 能进行“ Restart“吗？ 允许非对称矩阵吗？ 需要为了求解而选择模态吗？ 需要选择主自由度吗？ 慢 最容易 允许 允许 不允许 不能 能 允许 不需要 不需要
《随机振动分析基础》课件
用于产生激励信号，可 以是力、速度或加速度
。
控制系统
用于控制试验过程，包 括信号生成、放大和滤
波等。
试验原理
基于概率论和统计学原 理，通过测量和分析随 机振动信号来评估结构
的性能。
试验程序与数据处理
试验准备
确定试验参数、选择合适的设备和试件。
数据处理
对采集的数据进行滤波、放大、统计分析和 绘制图表等处理。
数据采集
通过传感器记录振动信号，包括位移、速度 和加速度等。
结果分析
根据处理后的数据评估结构的性能，如固有 频率、阻尼比和传递函数等。
试验结果分析与验证
结果分析
01
对比试验结果与理论预测，分析误差来源和改进方向。
验证方法
02
通过对比不同试验条件下的结果，验证试验方法的可靠性和重
复性。
应用实例
03
介绍随机振动试验在工程实践中的应用，如结构健康监测、产
定义
随机过程是时间函数的集合，每个函 数表示在某一时刻的随机变量。
分类
按照不同的特性，如平稳性、各态历 经性、遍历性等，可以将随机过程分 为不同的类型。
随机振动的统计特性
概率分布
描述随机振动幅值的可能取值及其概率。
均值和方差
描述随机振动幅值的平均值和离散程度。
自相关函数和功率谱密度
描述随机振动时间序列在不同时刻的相关性和频域特性。
这些振动可能会对车辆和船舶 的结构造成影响，甚至影响乘 客的舒适度。
随机振动分析用于优化车辆和 船舶的结构设计，提高其稳定 性和安全性。
土木建筑工程
建筑物和桥梁等土木工程结构在风、地震或其他自然灾害的作用下会受到随机振动 的影响。
这些振动可能会导致结构的疲劳、损伤或破坏，影响结构的长期安全性和稳定性。
。
控制系统
用于控制试验过程，包 括信号生成、放大和滤
波等。
试验原理
基于概率论和统计学原 理，通过测量和分析随 机振动信号来评估结构
的性能。
试验程序与数据处理
试验准备
确定试验参数、选择合适的设备和试件。
数据处理
对采集的数据进行滤波、放大、统计分析和 绘制图表等处理。
数据采集
通过传感器记录振动信号，包括位移、速度 和加速度等。
结果分析
根据处理后的数据评估结构的性能，如固有 频率、阻尼比和传递函数等。
试验结果分析与验证
结果分析
01
对比试验结果与理论预测，分析误差来源和改进方向。
验证方法
02
通过对比不同试验条件下的结果，验证试验方法的可靠性和重
复性。
应用实例
03
介绍随机振动试验在工程实践中的应用，如结构健康监测、产
定义
随机过程是时间函数的集合，每个函 数表示在某一时刻的随机变量。
分类
按照不同的特性，如平稳性、各态历 经性、遍历性等，可以将随机过程分 为不同的类型。
随机振动的统计特性
概率分布
描述随机振动幅值的可能取值及其概率。
均值和方差
描述随机振动幅值的平均值和离散程度。
自相关函数和功率谱密度
描述随机振动时间序列在不同时刻的相关性和频域特性。
这些振动可能会对车辆和船舶 的结构造成影响，甚至影响乘 客的舒适度。
随机振动分析用于优化车辆和 船舶的结构设计，提高其稳定 性和安全性。
土木建筑工程
建筑物和桥梁等土木工程结构在风、地震或其他自然灾害的作用下会受到随机振动 的影响。
这些振动可能会导致结构的疲劳、损伤或破坏，影响结构的长期安全性和稳定性。
随机振动分析演示幻灯片
Training Manual
我们可以很方便的在加速度（重力加速度），速度和位移功率谱 密度值之间使用频率的平方进行转换。 ω rad/s = 2πf Hz
Adva
3、随机振动理论简介
Training Manual
（1）随机振动计算的假设和限制 要求计算的结构具有以下特点：
1）具有恒定的材料属性参数，即不考虑非线性材料模型； 2）结构的总体刚度，阻尼和质量矩阵为定值； 3）施加的外力，位移，压力，温度等载荷不随施加变化而变化； 4）弱阻尼，结构的阻尼力远小于结构的惯性和弹性力。 随机振动过程具有以下特点：
虽然整个过程是随机的，但是 PSD曲线只 有限的遵守其随机性。
Training Manual
Adva
2、功率谱密度（PSD）
Training Manual
用来表征随机振动的一个参数称之为功率谱密度（ PSD）
Adva
对于一个横定幅值的正弦振动，其 1HZ的频率带宽的功率谱密度 为其幅值的平方值。
2、功率谱密度（PSD）
-this can be done using bandbass filters ；
-real analyzers typically have hundreds of bins
Training Manual
va
2、功率谱密度（PSD）
Training Manual
Adva
2、功率谱密度（PSD）
Training Manual
Adva
高斯概率曲线的平均值被定义为高斯分布的标准偏差值； 通过多个 sigma值，可以考虑激励发生的更大的概率。
3、随机振动理论简介
（1）随机振动激励分布规律
Training Manual
《随机振动基础》课件
确定试验目的和要求
明确试验目的，如评估产品的疲 劳寿命、可靠性和稳定性等，并 确定试验参数，如振动频率、幅 值和试验时间等。
分析结果
对采集的数据进行分析，评估试 样的性能和可靠性，并得出结论 。
04
随机振动在工程中的应用
航空航天工程
飞机起落架设计
在飞机起飞和降落过程中，起落架会受到地面传来的随机振 动，设计时需要考虑这种振动对起落架的影响，确保其安计过程中，需要考虑其 动态特性，包括对随机振动的响应和 稳定性等。通过合理的动态特性分析 ，可以优化机械系统的设计，提高其 性能和稳定性。
05
随机振动研究的展望
随机振动研究的挑战
01
复杂环境下的随机振动分析
随着工程结构的复杂性和多样化，如何在复杂环境下进行准确的随机振
航天器结构分析
在航天器发射和运行过程中，会受到多种随机振动的影响， 如火箭振动、大气湍流等。这些振动对航天器的结构安全和 稳定性有重要影响，需要进行详细的分析和评估。
交通运输工程
车辆减振设计
在车辆设计中，需要考虑路面不平整等因素引起的随机振动对乘客舒适性和车 辆使用寿命的影响。通过合理的减振设计，可以降低这些影响。
轨道结构分析
在铁路和城市轨道交通系统中，轨道结构的随机振动会影响列车运行的平稳性 和安全性。需要对轨道结构进行详细的分析和评估，以确保其安全性和稳定性 。
土木建筑工程
建筑物抗震设计
在地震等自然灾害发生时，建筑物会 受到强烈的随机振动。为了确保建筑 物的安全性和稳定性，需要进行合理 的抗震设计。
桥梁健康监测
随机振动是由许多不同大小和方 向的振动相互叠加而成的，每个 振动都有其独立的概率分布函数 。
随机振动的特性
谐响应、响应谱分析、随机振动与模态分析PPT共97页
我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
谐响应、响应谱分析、随机振动与模态 分析
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
谐响应、响应谱分析、随机振动与模态 分析
1、合法而稳定的权力在使用得当时很 少遇到 抵抗。 ——塞 ·约翰 逊 2、权力会使人渐渐失去温厚善良的美 德。— —伯克
3、最大限度地行使权力总是令人反感 ；权力 不易确 定之处 始终存 在着危 险。— —塞·约翰逊 4、权力会奴化一切。——塔西佗
5、虽然权力是一头固执的熊，可是金 子可以 拉着它 的鼻子 走。— —莎士 比
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
E[Y(t)Y(t)]
学习交流PPT
11
则响应的自相关函数可表示为:
R Y () E [ Y ( t ) Y ( t ) ] = h ( 1 ) h ( 2 ) R X ( 2 1 ) ] d 1 d 2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机
H(0) y(t) x(t)
直流分量
学习交流PPT
9
E [Y(t)]Y= Xg H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
学习交流PPT
10
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
学习交流PPT
3
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
学习交流PPT
6
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
E[Y(t)]x
h()d
H()h()ejd
0
H(0)
H(0) h()d
输入与输出均值的关系式为：
E [Y(t)]Y= XH (0)
H(0)是一个常数，它表示输入X(t)与输出Y(t)中，频 率ω=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。
在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统 计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况 下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均 值）、相关函数、功率谱密度、均方值等。
学习交流PPT
5
7-1 单输入单输出的线性系统
假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其 相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。
上式表明，若已知系统的增益因子|H(ω)|和输入的自 谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。
事实上，若已知SX(ω) 、|H(ω)|和SY(ω) 三者中的任意 两个，就可以确定第三个。 此外，响应的自谱密度是与系统的相位因子无关的。
学习交流PPT
16
四、响应的均方值
已知响应的自谱密度SY(ω)，则可计算出响应的均方 值E[Y2]:
第七章 随机振动的响应分析
学习交流PPT
1
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
学习交流PPT
2
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下， 激励—系统—响应三者之间的关系。
系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性 模型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统 问题。
y(t) x(t)h()d
学习交流PPT
7
y(t) x(t)h()d
设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出
其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集
合平均为:
E[Y(t)]E X(t)h()d
E [Y(t) ] E [X(t)h ]()d
E [X (t ) ]E [X (t) ]x
H ()H () h (1)ej1d 1
经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式:
S Y () H ()H ()S X () H ()2 S X ()
上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出 了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。
学习交流PPT
15
S Y () H ()H ()S X () H ()2 S X ()
E[Y2]R Y(0)2 1 π SY()d
将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式
E [Y2]Y 22 1 π H ()2SX()d
过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定
是平稳的随机过程。
学习交流PPT
12
三、响应的自功率谱密度函数
对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应 的自功率谱密度SY(ω)为
SY( ) R Y()ejd ej h(1)h(2)R X(21)]d1d2 d
变换积分次序，并重新排列
SY(
) h(
1)ej1d1
h(
2)ej2d2
RX(
21)ej(21)d(
21)
学习交流PPT
13
SY(
) h(
1)ej1d1
h(
2)ej2d2
RX(
21)ej(21)d(
21)
令ξ=τ-θ1+θ2，由维纳—辛钦关系式知，最后一个积 分就是激励X(t)的自谱密度：
SX() RX()ejd
第二个积分就是脉冲响应函数h(θ2)的傅立叶变换， 即频率响应函数H(ω)。
H() h(2)ej2d2
学习交流PPT
14
SY(
) h(
1)ej1d1
h(
2)ej2d2
RX(
21)ej(21)d(
21)
前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。
对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。
对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决
学习交流PPT
4
对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般 用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的， 初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。
y(t)
Output (response) 输出（响应）
设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数 则系统输出y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数 设系统的脉冲响应函数h(t)， 则频率响应函数是H(ω)。
一、响应的均值
对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得 输出的一个样本函数
学习交流PPT
11
则响应的自相关函数可表示为:
R Y () E [ Y ( t ) Y ( t ) ] = h ( 1 ) h ( 2 ) R X ( 2 1 ) ] d 1 d 2
上式为输出的自相关函数之间的关系式。
该式说明，对于常参数线性系统，若激励是平稳随机
H(0) y(t) x(t)
直流分量
学习交流PPT
9
E [Y(t)]Y= Xg H (0)
上式表明，当输入是平稳过程时，输出的均值与 输入的均值只差一个乘子H(0)。 若输入的均值为零，则输出的均值也一定为零。 此结论可以推广到多输入与多输出的情形。
学习交流PPT
10
二、响应的自相关函数
输出过程Y(t)的自相关函数定义为:
随机激励分两类：参数激励与非参数激励 参数激励：系统本身的某些参数(如质量、刚度、 阻尼等)随时间随机地变化而引起振动。 非参数激励即由外界施加的激励。 非参数激励又分为平稳的和非平稳的两类。
本章研究常参数线性系统对平稳随机激励的
响应
学习交流PPT
3
当系统的激励(输入)是平稳过程时，由于常参数的 假设，系统的响应(输出)也一定是平稳的。
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
y(t)
Output (response) 输出（响应）
本章研究输入、输出和系统动态特性三者之间的 关系，以及计算响应（输出）的统计特征的方法
学习交流PPT
6
x(t)
Input (excitation) 输入（激励）
常参数线性振动系统
E[Y(t)]x
h()d
H()h()ejd
0
H(0)
H(0) h()d
输入与输出均值的关系式为：
E [Y(t)]Y= XH (0)
H(0)是一个常数，它表示输入X(t)与输出Y(t)中，频 率ω=0这一成分（即直流分量）之间的传递关系。
在随机振动中，一般激励与响应都必须用概率统 计的方法来描述。在激励与系统特性已知的情况 下，只能求出响应的一些统计特征，如期望（均 值）、相关函数、功率谱密度、均方值等。
学习交流PPT
5
7-1 单输入单输出的线性系统
假定常参数线性系统只受到一个输入x(t)的作用，其 相应的响应(输出)为y(t)，如图所示。
上式表明，若已知系统的增益因子|H(ω)|和输入的自 谱密度SX(ω)，则可确定输出的自谱密度SY(ω)。
事实上，若已知SX(ω) 、|H(ω)|和SY(ω) 三者中的任意 两个，就可以确定第三个。 此外，响应的自谱密度是与系统的相位因子无关的。
学习交流PPT
16
四、响应的均方值
已知响应的自谱密度SY(ω)，则可计算出响应的均方 值E[Y2]:
第七章 随机振动的响应分析
学习交流PPT
1
第七章 随机振动的响应分析
§7-1 单输入单输出的线性系统 §7-2 多输入多输出的线性系统
学习交流PPT
2
本章讨论机械或结构系统在随机激励作用下， 激励—系统—响应三者之间的关系。
系统有线性与非线性之分。大量工程问题，线性 模型可得到逼真的结果。本课程只讨论线性系统 问题。
y(t) x(t)h()d
学习交流PPT
7
y(t) x(t)h()d
设想对于输入中的每个样本函数，都可按上式写出
其对应的输出的样本函数。于是，可得到输出的集
合平均为:
E[Y(t)]E X(t)h()d
E [Y(t) ] E [X(t)h ]()d
E [X (t ) ]E [X (t) ]x
H ()H () h (1)ej1d 1
经处理后得随机输入与输出的自谱密度关系式:
S Y () H ()H ()S X () H ()2 S X ()
上式是随机振动理论中一个极其重要的公式，指出 了输入、输出与系统动态特性三者之间的关系。
学习交流PPT
15
S Y () H ()H ()S X () H ()2 S X ()
E[Y2]R Y(0)2 1 π SY()d
将随机输入与输出的自谱密度关系式代入上式
E [Y2]Y 22 1 π H ()2SX()d
过程，则响应的自相关函数与自然时间无关，也一定
是平稳的随机过程。
学习交流PPT
12
三、响应的自功率谱密度函数
对输出的自相关函数作傅立叶变换，便得到响应 的自功率谱密度SY(ω)为
SY( ) R Y()ejd ej h(1)h(2)R X(21)]d1d2 d
变换积分次序，并重新排列
SY(
) h(
1)ej1d1
h(
2)ej2d2
RX(
21)ej(21)d(
21)
学习交流PPT
13
SY(
) h(
1)ej1d1
h(
2)ej2d2
RX(
21)ej(21)d(
21)
令ξ=τ-θ1+θ2，由维纳—辛钦关系式知，最后一个积 分就是激励X(t)的自谱密度：
SX() RX()ejd
第二个积分就是脉冲响应函数h(θ2)的傅立叶变换， 即频率响应函数H(ω)。
H() h(2)ej2d2
学习交流PPT
14
SY(
) h(
1)ej1d1
h(
2)ej2d2
RX(
21)ej(21)d(
21)
前两个积分的不同在于指数中的正负号的差别。
对于一个常参数线性系统，它往往可能在不同位置 上同时受到激励，即有多个输入；其响应也可能有 很多个，而且不同位置处的响应也不同。
对于线性系统来说，多输入与多输出问题可以在单 输入与单输出问题的基础上应用叠加原理得到解决
学习交流PPT
4
对于确定性振动，激励与响应之间的关系，一般 用微分方程来描述，方程的非齐次项是确定的， 初始条件也是确定的，因此响应也是确定的。
y(t)
Output (response) 输出（响应）
设x(t)是平稳随机过程X(t)的一个样本函数 则系统输出y(t) 是另一平稳随机过程Y(t)的一个样本函数 设系统的脉冲响应函数h(t)， 则频率响应函数是H(ω)。
一、响应的均值
对于输入的一个样本函数，由卷积积分公式，可得 输出的一个样本函数