圆的一般方程
4.1.2圆的一般方程
圆的方程
标准方程: ( x a ) ( y b) r
2 2 2
2 2
展开
x y 2ax 2by (a b r ) 0 圆心: (a , b) 半径: r ( r 0)
2 2 2
一般方程: 2 2 2 2 x y Dx Ey F 0 ( D E 4F 0)
（a）2+（b）2=r2 a=4 （1-a）2+（1-b）2=r2 解得 b=-3 （4-a）2+（2-b）2=r2 r=5
所求圆的方程为：
即（x-4）2+（y+3）2=25
例1： 求过三点O(0，0)，M1 (1，1) ，M2（4，2） 的方程，并求出这个圆的半径和圆心坐标. 方法二： 几何方法
分别说出下列圆的圆心与半径 (1) 圆 (x－2)2+ (y+4)2=2 圆心 (2, －4) ，半径 2 . (2) 圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2 （m≠0） 圆心 (－1, －2) ，半径|m|
求圆的方程
几何方法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
待定系数法
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
的曲线是圆呢？
思考
(1) x y 2 x 4 y 1 0
2 2
配方得 ( x 1) ( y 2) 4
2 2
以（1，-2）为圆心，以2为半径的圆
(2) x y 2 x 4 y 6 0 配方得 ( x 1)2 ( y 2)2 1
2 2
不是圆
x y Dx Ey F 0
圆的一般方程
练习 P124—B组 3 例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）
端点A在圆 x 12 y2 4 上运动，
求线段AB的中点M的轨迹方程
练习 P124—B组 1
小结 1、 x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（4） x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当 D2 E2 4F 0 时，表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
（2）当 D2 E2 4F
r D2 E2 4F 2
0 时，表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当 D2 E2 4F 0 时，不表示任何图形
圆的一般方程
(x 3)2 ( y 4)2 6
展开得
x2 y2 6x 8y 19 0 x2 y2 Dx Ey F 0
任何一个圆的方程都是二元二次方程
反之是否成立？
圆的一般方程
方程 (1)x2 y2 2x 4 y 1 0 表示什么图形？
配方得
(x 1)2 ( y 2)2 4
4.1.2圆的一般方程
圆心 半径
定位条件 定形条件
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r2
标准方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
பைடு நூலகம்
课堂快练
1.圆心在原点,半径是3的圆的方程. 2.圆心在(3,4),半径是 的7 圆的方程. 3.经过点P(5,1),圆心在点C(4,1)的圆的方程.
圆的一般方程1
（2）没有形如 xy 的二次项．
（3）D2 + E2 - 4F > 0
圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋：
（1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构，更适合方程 理论的运用．
②式无解, 不表示任何图形
2 2
x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0
2 2
①
形 如 x y Dx Ey F 0 E 4F 0 D 的方程，
叫做圆的一般方程。
同步卫星运行轨道示意图
同步轨道
同步轨道
二元二次方程Ax2＋Bxy+Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0 【问题】
圆的标准方程： （x－a）2＋（y－b）2 ＝ r 2
展开，得 x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0
任何圆的方程都可以通过展开化成形如：
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
思考：
反过来，形如①的方程的曲线是不是圆？
左边配方，得
D E D E 4F x＋ ＋ y＋ ＝ 2 2 4
【小结】
（1）圆的一般方程及其特点． （2）用配方法化圆的一般方程为圆的标准方 程，求圆心坐标和半径． （3）用待定系数法求圆的方程．
2 2
2
2
②
Ⅰ.当 D2 + E2 － 4F > 0时，
表示以
Ⅱ.当 D2 +
E D , 2 2
为圆心，2
=
1
D2 E2 4F为半径的圆。
圆的标准方程与一般方程
∙圆的定义：
平面内与一定点的距离等于定长的点的集合是圆。
定点就是圆心，定长就是半径。
圆的标准方程：
圆的标准方程，圆心（a，b），半径为r；特别当圆心是（0，0），半径为r时，圆的标准方程为。
圆的一般方程：
圆的一般方程
当＞0时，表示圆心在，半径为的圆；
当=0时，表示点；
当＜0时，不表示任何图形。
∙圆的定义的理解：
（1）定位条件：圆心；定形条件：半径。
（2）当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．因此一个圆最基本的要素是圆心和半径．
圆的方程的理解：
(1)圆的标准方程中含有a，b，r三个独立的系数，因此，确定一个圆需三个独立的条件．其
中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．
(2)圆的标准方程的优点在于明确显示了圆心和半径．
(3)圆的一般方程形式的特点：
a．的系数相同且不等于零；
b．不含xy项．
(4)形如的方程表示圆的条件：
a．A=C≠0；
b．B=0;
c.即 几种特殊位置的圆的方程：。
圆的一般式方程配方
圆的一般式方程配方
(x-a)²+(y-b)²=r²
其中，(a,b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
下面我们来讨论如何将一般式方程配方。
一、配方圆心坐标(a,b)：
1.根据一般式方程，将右边的r²移到左边，变成(x-a)²+(y-b)²-
r²=0。
2.将(x-a)²+(y-b)²用二次整式展开得到：
x² - 2ax + a² + y² - 2by + b² - r² = 0。
3.通过对比整理得到：
x² + y² - 2ax - 2by + (a² + b² - r²) = 0。
所以，圆的一般式方程配方的第一步就是确定圆心的坐标。
二、配方半径r：
r=√[(x0-a)²+(y0-b)²]
所以，配方半径r的第一步就是确定圆上的其中一点坐标。
三、总结：
配方圆的一般式方程的步骤包括确定圆心坐标(a,b)和半径r。
确定圆心坐标需要将一般式方程展开整理，确定圆上其中一点坐标可以通过已知条件或者其他几何知识来求解。
一旦确定了圆心坐标和半径，就可以得到圆的一般式方程。
需要注意的是，圆的一般式方程有时候也可以配方成其他形式，例如标准式方程(x-h)²+(y-k)²=r²或截距式方程(x-h)²+(y-k)²=p(x-a)²+q(y-b)²，但配方圆的一般式方程的原理和步骤基本相同。
圆的一般方程
2 2 D E （1）当 D + E 4 F > 0 时， ②表示以为 ， 圆心、 ） 圆心、
2
1 为半径的圆； D 2 + E 2 4 F 为半径的圆； 以 2 D E D 2 + E 2 4 F = 0 时， ②表示一个点 ， ； （2）当 ）
2 2
（3）当 D 2 + E 2 4 F < 0 时，②不表示任何曲 ） 线．
【问题2】圆的一般方程的特点，与圆的标准方程的异 问题 】圆的一般方程的特点，
同． 圆的一般方程的特点 ： 的系数相同，都不为0． （1）x 2 和 y 2的系数相同，都不为 ． （2）没有形如 xy的二次项． 的二次项． 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： 圆的一般方程与圆的标准方程各有千秋： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影子，圆心和 ）圆的标准方程带有明显的几何的影子， 半径一目了然． 半径一目了然． （2）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， ）圆的一般方程表现出明显的代数的形式与结构， 更适合方程理论的运用． 更适合方程理论的运用．
0 一.方程 x + y + 2ax b = （a.b不同时为零） 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。 表示什么曲线？为什么？ 求圆心坐标和半径。
2 2 2 2 2 2 解：由 x + y + 2ax b = 0 配方得 ( x + a) 2 + y 2 = a 2 + b 2 a2 + b2 > 0 ,b不同时为零 不同时为零， 而 a ,b不同时为零，所以 方程 x 2 + y 2 + 2ax b 2 = （a.b不同时为零） 0 是表示以（ ,0)为圆心为半径的圆 为圆心为半径的圆. 是表示以（- a ,0)为圆心为半径的圆.
圆的一般方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
1 D 2 + E 2 - 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= 2 （2）标准方程易于看出圆心与半径
一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项
(1)圆的标准方程:
2 2
练一练:课本P134页T1、T2.
相关点法:求动点的轨迹方程----就是求动点的坐标满足的关系式;因此 常常是求哪个动点的轨迹,就设哪个动 点的坐标为(x,y),根据已知条件找相关 点和等量关系，然后将等量关系转化为 x,y的关系式,即为所求轨迹方程.
1、找出相关点
2、动点设为（x,y）相关点设为（x。y。） 3、列出等量关系：用x,y表示x。，y。 4、代入相关点所在的方程
x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
(3)求圆的方程常用“待定系数 法”. (4)如何求动点的轨迹方程? （相关点法）
知a、b、r
（x-a)2+(y-b)2=r2
圆的方程 配 方 展 开
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F
D2+E2 －4F>0
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 D 2 E 2 D2 + E 2 - 4F 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ 为圆心，以(
圆的一般方程
F 0, 36 6D F 0, 9 1 3D E F 0。
解这个方程组，得
D 6,E 8,F 0.
所求圆的方程为：
x y 6x 8y 0
2 2
所求圆的圆心坐标是（3，-4），半径长为
1 2 2 r D E 4F 5 2
求圆的方程常用“待定系数法”。 用待定系数法求圆的方程的步骤： ①根据题意设出所求圆的方程为标准式或 一般式。 ②根据条件列出关于 a，b，c 或 D，E， F 的方程。 ③解方程组，求出 a，b，c 或 D，E，F 的值，代入方程，就得到要求的方程。
例2 已知线段AB的端点B的坐标是（4，3）端点 2 A在圆 x 1 y 2 4上运动,求线段AB的中点 M的轨迹方程. 解：设点M的坐标（x，y）, 点A的坐标 x0 , y0 .由于点B 的坐标是（4，3）,且点M是 线段AB的中点,所以 y
圆的一般方程与二元二次方程的关系
圆的一般方程：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 与二元二次方程： A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0的关系:
(D2+E2-4F>0)
1. A ＝ C ≠ 0 2. B=0 3. D2＋E2－4F＞0
二元二次方程表
示圆的一般方程
练习:1判断下列方程能否表示圆的方程,若能写出 圆心与半径
A O M
B
x
x0 4 y0 3 x ,y , 2 2
于是有 x0 2x 4, y0 2 y 3.
① 图4.1-4
因为点A在圆 x 1 y 4上运动，所以点A的 坐标满足方程即 2 2
2 2
x0 1
圆的方程
• 设两圆的半径分别为R和r，且R〉r，圆心距为P， • 结论：外离P>R+r；外切P=R+r；内含P<R-r；内切P=R-r；相交R-r<P<R+r
位置关系
• 点和圆位置关系 • ①P在圆O外，则 PO>r.
• ②P在圆O上，则 PO=r.
• ③P在圆位置关系
• ①直线和圆无公共点，称相离。 AB与圆O相离，d>r。 • ②直线和圆有两个公共点，称相交，这条直线叫做圆的割线。AB 与⊙O相交，d<r。 • ③直线和圆有且只有一公共点，称相切，这条直线叫做圆的切线， 这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（d为圆心到 直线的距离）
平面内，直线Ax+By+C=0与 圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一 般方法
• 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x 轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。 • 令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：
圆的方程
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b） 为圆心，以r为半径的圆的标准方程是 (x－a)²+(y－b)²=r² 特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准 方程为x²+y²=r²。 圆的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0(D²+E²-4F>0)， 圆心坐标是：（-D/2,-E/2） 半径：
• 当x=-C/A<x1或x=-C/A>x2时，直线与圆相离；
圆的一般方程
OC
x
若圆心为O（0，0），则圆的方程为：
x2 y2 r2
求圆心和半径
⑴圆 (x－1)2+ (y－1)2=9
圆心 (1, 1) ，半径3
⑵圆 (x－2)2+ (y+4)2=2
圆心 (2, －4) ，半径 2. ⑶圆 (x+1)2+ (y+2)2=m2
圆心 (－1, －2) ，半径|m|
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
即 (x 2)2 ( y 3)2 F 0
x
D 2
(x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2)x2 y2 4x 6 y 13 0
(x 2)2 ( y 3)2 0 x 2, y 3
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
设方程为 (x a)2 ( y b)2 r2 (或x2 y2 Dx Ey F 0)
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
表示点（-a，0）
练习
圆的一般方程
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以 ） ＜ 时 ）无实数解， 不表示任何图形。 不表示任何图形。
所以形如x Dx＋Ey＋ 4F>0） 所以形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
(D ) ( D)4,−6,−3
( A)4,−6,3
(2)
2 + y 2 − 2ax − y + a = 0 x
是圆的方程的充要条件是
1 1 1 ( A)a < ( B)a > (C )a = 2 2 2 (3)圆 x2 + y 2 + 8x −10y + F = 0 与 x
轴所得的弦长是
1 ( D)a ≠ 2
把方程： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ D 2 E 2 D2 + E 2 − 4 F 配方可得： 配方可得：( x + ) + ( y + ) = 2 2 4 D E
为圆心， 为圆心，以(
1 D2 + E2 −4F 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ） 时 方程只有一组解X=-D/2
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系 圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 圆的一般方程与圆的标准方程的联系 配方 → 标准方程 圆心 半径 标准方程(圆心 半径) 圆心,半径 一般方程 ← 展开 (3)给出圆的一般方程 如何求圆心和半径 (用配方法求解) 给出圆的一般方程,如何求圆心和半径 给出圆的一般方程 如何求圆心和半径? (4)要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式 要学会根据题目条件 恰当选择圆方程形式: 我们一般采用圆的标准方程较简单. ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. 法求解
圆的一般方程 课件
类型二 待定系数法求圆的方程 [例 2] 已知△ABC 的三个顶点为 A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)， 求△ABC 的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．
又 kAC＝x＋y 1，kBC＝x－y 3，且 kAC·kBC＝－1，
所以x＋y 1·x－y 3＝－1，化简得 x2＋y2－2x－3＝0. 因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠ －1)．
方法二：同法一得 x≠3 且 x≠－1. 由勾股定理得|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，即(x＋1)2＋y2＋(x－3)2＋y2 ＝16，化简得 x2＋y2－2x－3＝0.因此，直角顶点 C 的轨迹方程为 x2 ＋y2－2x－3＝0(x≠3 且 x≠－1)． 方法三：设 AB 中点为 D，由中点坐标公式得 D(1,0)，由直角
因此动点 M 的轨迹方程为(x－2)2＋y2＝1(x≠3 且 x≠1)．
方法归纳
1．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系，把等 量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的 轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．
2．求曲线的轨迹方程要注意的三点 (1)根据题目条件，选用适当的求轨迹方程的方法． (2)看准是求轨迹，还是求轨迹方程，轨迹是轨迹方程所表示的 曲线(图形)． (3)检查轨迹上是否有应去掉的点或漏掉的点．
【解析】 方法一：设△ABC 的外接圆方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
圆的一般方程 (简)
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程,
若能写出圆心与半径 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3
（2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径
10
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是
所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系：
（1）a=-D/2，b=-E/2，r=
1 2 D + E - 4F
2 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
知识回顾：
圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 - 2ax - 2by + a 2 + b2 - r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数
令 - 2 a = D ,- 2 b = E , a + b - r = F
2 2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
圆的一般方程推导
圆的一般方程可以通过几何推导和代数推导两种方式得到。
下面是代数推导的过程：
假设一个圆心坐标为(h, k)，半径为r。
现在我们要推导出圆的一般方程。
1.假设圆上任意一点的坐标为(x, y)。
2.根据圆的定义，该点到圆心的距离等于半径：
√((x - h)^2 + (y - k)^2) = r
3.两边平方，消去根号：
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
4.展开方程：
x^2 - 2hx + h^2 + y^2 - 2ky + k^2 = r^2
5.整理项次序，并且合并常数项：
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
最终得到圆的一般方程：
x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + (h^2 + k^2 - r^2) = 0
其中，(h, k) 是圆心的坐标，r 是圆的半径。
通过这个一般方程，我们可以得到圆在平面直角坐标系中的表示。
当给定圆心和半径时，可以将具体的数值代入方程中，得到具体的圆。
圆的一般方程
( x a ) ( y b) r
2 2
2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
(5 a ) 2 (1 b) 2 r 2 a2 2 2 2 (7 a ) (3 b) r b 3 (2 a ) 2 (8 b) 2 r 2 r 5
(1) x y 4 x 6 y 4 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 9
以（2，3）为圆心，以3为半径的圆
(2) x y 4x 6 y 13 0
2 2
(3) x y 4x 6 y 15 0
2 2
( x 2)2 ( y 3)2 0 表示点（2，3）
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
2 2
小结
x y Dx Ey F 0
2 2
D E D2 E 2 4F x y 2 2 4
2
2
（1）当
D2 E 2 4F 0
时，表示圆，
D2 E 2 4F 2
D E - , 2 2
D E 圆心 - , 2 2
r
（2）当 （3）当
D E 4F 0
2 2
时，表示点
D2 E 2 4F 0
时，不表示任何图形
所求圆的方程为
( x 2) ( y 3) 25
2 2
待定系数法
方法三：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
2.2 圆的一般方程
练习：求过三点A(0,0), B(6,0), C(0,8)的圆的方程.
设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
把点A，B，C的坐标代入得方程组
F =0
62 + 6D + F = 0
82 + 8E + F = 0
D = -6,
（1）a=-D/2，b=-E/2，r= 1 D2 + E 2 - 4F 2
（2）标准方程易于看出圆心与半径 一般方程突出形式上的特点：
x2与y2系数相同并且不等于0；
没有xy这样的二次项
练习1： 判断下列方程能否表示圆的方程, 若能写出圆心与半径
（1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 （2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 （3）x2+2y2-6x+4y-1=0 不是 （4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是 （5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 特征：直接看出圆心与半径
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0
圆的一般方程
（1）任何一个圆的方程都可以写成： x2 y2 Dx Ey F 0 的形式 ，
（3）要画出圆的图象，必须要知道圆心坐标和半径，因此应 掌握利用配方法将圆的一般方程化为标准方程的方法。
作业：
习题7.6 5，6，7，8
习题 7.6
3
3. 已知一个圆的直径的端 点是 A( x1，y1)、B( x2，y2)， 求证圆的方程是 ( x x1)(x x2) ( y y1)( y y2) 0 .
圆的方程为 x 2 y 2 2x 4 y 8 0或x 2 y 2 6x 8 y 0
例3：求经过点A(2,4)及B(3,1)，且在x轴上 截得的弦长等于6的圆的方程。
2 解三： ( x a) ( y b) r（ *） 2
2
分析：（a,b）在线段AB的垂直平分线上, AB的垂直平分线方程： 所以：a-b+1=0 且满足
问：二元二次方程 Ax 2 Bxy Cy 2 Dx Ey F 0 表示圆的充要条件是什么？
（1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 .
2 2 E F 2D D E F 2 2 ( 3 ) ( ) ( ) 4 ( )0 x y x y 0 （ 3） D + E 4AF > 0 AA A A AA
比较圆的标准方程和圆的一般方程：
2 2 2 ( x a ) ( y b ) r 圆的标准方程
2 2 ( D E 4F 0) 圆的一般方程 x y Dx Ey F 0
2
2
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径，
而圆的一般方程和 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0 比较，突出了 方程形式上的特点： （1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 .
圆的方程一般式
圆的方程一般式圆的方程一般式：x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D+E-4F>0)；或可以表示为(X+D/2)²+(Y+E/2)²=(D+E-4F)²/4。
定义：在平面上到一定点(中心)有同一距离(半径)之点的轨迹叫做圆周，简称圆。
标准方程：圆半径的长度定出圆周的大小，圆心的位置确定圆在平面上的位置。
如果已知：(1)圆半径长R；(2)中心A的坐标(a,b)，则圆的大小及其在平面上关于坐标轴的位置就已确定。
根据图形的几何尺寸与坐标的联系可以得出圆的标准方程；结论如下：（x-a）²+（y-b）²=r²当圆的中心A与原点重合时，即原点为中心时，即a=b=0，圆的方程为：x²+y²=R²推导过程：（x-a）²+（y-b）²=r²由圆的标准方程的左边展开，整理得:x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0,在这个方程中，如果令-2a=D,-2b=E,a²+b²-r²=F.则这个方程可以表示成x²+y²+Dx+Ey+F=0。
推论:可以证明，x²+y²-2ax-2by+a²+b²-r²=0形如一般表示一个圆。
为此，将一般方程配方，得：(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D+E-4F)²/4为此与标准方程比较，可断定：(1)当D²+E²-4F＞0时，一般方程表示一个以(-D/2,-E/2)为圆心，1/2√D²+E²-4F为半径的圆。
(2)当D²+E²-4F=0时，一般方程仅表示一个点(-D/2,-E/2)，叫做点圆(半径为零的圆)。
圆的一般方程圆心和半径公式
圆的一般方程圆心和半径公式圆的特点：1、圆有无数条半径和无数条直径，且同圆内圆的半径长度永远相同。
2、圆是轴对称、中心对称图形。
3、对称轴是直径所在的直线。
4、是一条光滑且封闭的曲线，圆上每一点到圆心的距离都是相等，到圆心的距离为R地点都在圆上。
一：求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算：1、圆心在过切点且与切线垂直的直线上．2、圆心在任一弦的中垂线上．3、两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．圆的一般方程是x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F>0)，其中圆心坐标是（-D/2,-E/2），半径【根号（D+E-4F）】/2。
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
特别地，以原点为圆心，半径为r（r>0）的圆的标准方程为x^2+y^2=r^2。
2、圆的一般方程：方程x^2+y^2+Dx+Ey+F=0可变形为（x+D/2）^2+（y+E/2）^2=（D^2+E^2-4F）/4.故有：（1）、当D^2+E^2-4F>0时，方程表示以(-D/2,-E/2)为圆心，以（√D^2+E^2-4F）/2为半径的圆；（2）、当D^2+E^2-4F=0时，方程表示一个点（-D/2，-E/2）；（3）、当D^2+E^2-4F<0时，方程不表示任何图形。
半径公式：直径是指通过一平面或立体图形中心到边上两点间的距离，通常用字母“d”表示，连接圆周上两点并通过圆心的直线称圆直径，连接球面上两点并通过球心的直线称球直径。
而半径就是直径的一半，所以半径=直径0.5。
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《圆的一般方程》教学设计（1课时）一、教材分析教材是在圆的标准方程的基础上得出了圆的一般方程，然后分析方程特点，即讨论系数在通过配方观察方程何时表示圆、何时不是圆，判断的标准是圆的标准方程，这样做紧扣圆的几何特征，最后得出二元二次方程表示圆的充要条件，使学生加深对圆的一般方程的认识与记忆，认识到标准方程与一般方程的联系与区别。
并对数学中分类思想，对比记忆等思想有更深的了解和掌握。
教材配备了两个例题，例3利用圆的标准方程求同心圆方程：例4则是利用待定系数法通过一般方程解过三点的圆的方程，这是数学中常用的一种方法。
二、学情分析学生是在已有知识的基础上能够推导出圆的一般方程，并能初步利用圆的标准方22解决程的特点研究圆的一般方程，学生在利用圆的一般方程0F?Dx?xEy?y??22，灵活使用圆的方程的两种形式解决问题时，常忽略表示圆的条件0??4D?EF问题是学生学习的难点。
三、本节渗透的数学思想及教学方法分析根据以上教材分析，贯彻以启发性教学原则，教师引导，学生学习为主体的教学思想，分析与讨论结合。
1、经历用待定系数法求圆的方程的过程，它是数学中常用的一种方法，在学习过程中体会用代数方法解决几何问题的思想。
2、圆的一般方程含有三个参变量，需要三个条件（坐标）才能确定圆，树立利用方程的思想求解参数变量。
3、引导学生分析两个方程之间的互化关系，选择两个方程解决问题的条件和优缺点。
4.教学中体现了转化、数形结合及方程的数学思想方法。
四.教学目标知识与技能：1).掌握圆的一般方程及一般方程的特点2).能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求出圆心和半径3).能用待定系数法由已知条件求出圆的方程过程与方法：1).通过问题的分析与解决使学生认识研究问题中由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
2).通过分析，充分了解分类思想在数学中的重要地位，强化学生的观察，思考能力。
情感态度与价值观：培养学生主动探索、勇于思考、合作交流的意识，在体现数学美的过程中激发学生的学习兴趣，从而培养学生勤于动脑和动手的良好思维品质。
五.教学重、难点教学重点：22的形式特征。
1.圆的一般方程0?F??y??DxxEy2.待定系数法求圆的方程。
教学难点：2222分类讨论。
及对1. 方程F?DE?40?Ey??yF?Dx?x2.根据具体条件，选择圆的方程解决有关问题及待定系数法求圆的方程。
难点突破：22的分类讨论，使问题化难为易，难点个个攻破，使课堂教学通过对F4D??E显得轻松易学。
六．学法分析在教学活动中，教师提出疑问，引导学生主动思考，主动探究，讨论交流，在积极的学习中解决问题，获得知识。
贯穿“疑问”—“思索”—“发现”—“解惑”四个学习环节。
七．教学过程设计（一）创设情境，引发思考，引入新知问题1：A.B两镇相距10km，为了响应党的号召,丰富人民的文化生活,现在两镇之间修建一个文化广场,为方便大部分群众,现要求广场到两镇之间距离的平方和为60,那么广场应修建在何处?分析：仅仅依据问题中的几个数据无法表示距离，若将这个问题放在直角坐标系x轴，以AB的中点为坐标中来考虑，就能很快表示出距离，以AB两镇所在的直线为原点建立直角坐标系，则，设为广场所在的位置，则有)yP(x,0B5A(?,0),(5,) 1222222。
，化简得你能说明这是一个什么方程吗？5yx5?(x?)??y?(x?5)??y60广场应建在什么位置？设计意图：以生活中的实例提出问题，激发学生的学习兴趣，并借此复习学生已经掌握的圆的标准方程，并为圆方程改写成二元二次方程的形式引出圆的一般方程做铺垫。
222的展开式是什么？：：问题2圆的标准方程r?(y-b)(x-a)?222220?b?y--2ax-2by?axr?222 +b D=-2a， E =-2b , F = a-r由于a,b,r 均为常数，故设此方程可写成下面的形式：22①0???yF?Dx?Eyx故任何一个圆的方程都可以用上式表示。
思考：形如①的方程表示的曲线一定是圆吗？设计意图：在问题1的基础上由圆的标准方程展开问题引发概念，给学生思考、探索的空间，让学生体验数学发现和创造的历程，提高分析和解决问题的能力。
（二）深入思考，得出结论如果形如①的方程表示的曲线是圆，那么由方程可求出圆心和半径。
下面我们配22?4DF?EDE22(x?)?(y?)?②方整理可得：22422?4F?EDED22222??)x?)?(y(的形式+(y-b)=r与比较圆的标准方程 (x-a)42222的正负有关。
上式表不表示圆，关键跟F?D4?E DE1222204DF?E???4?E?)R?DF,?(为半以为圆心，时，当1）表示以222径的圆。
DE22F?DE?4y????x即表示一个点）当2 =0时，方程只有实数解，22ED。
)(??,2222?4FE??0D时，方程没有实数解，因而不表示任何图形。
）当 3222表示的曲线不一定述，方程是圆，只有当综上所0F?y??Dx?Ey?x2222叫圆的一般时，它表示的曲线才是圆，此时0?4DF?E?0F?Dx?Eyx?y??DE122为半径的圆。
方程。
表示以为圆心，F?E)4R(??D?,?222设计意图：通过本过程，学生实现了对圆的方程更深的理解，实现了对圆的一般方程的理解。
引导学生理解圆的一般方程的意义，真正知道什么情况下表示圆，并理解为什么。
（三）两相对比，加深理解222明确指出了圆心和半径。
=r+(y-b) 标准方程：(x-a)22突出了形式上的特点一般方程：0?F??y?Dx?xEy22的系数相同，且不等于0和。
1．xy2．没有xy这样的二次项。
22 3. 0?4DF?E?设计意图：通过比较，不仅复习了以前的知识，增强了记忆。
对今天的新课也有了更深层次的理解。
（四）知识运用，巩固概念例1．判别下列方程表示什么图形,如果是圆,找出圆心和半径。
22-2x+4y+1=0 x+y（1）22+2by=0 （b≠0）x（2） +y22?4x?6y?y?3?0x相同的圆的方程。
，且圆心与已知圆例2．求过点),1?M(1方法一：利用配方法将其变成圆的标准形式，求出圆心后再求半径。
方法二：利用圆的一般方程方程形式求解，由于所求圆与已知圆是同心圆，故可22?4x?6y?F?xy?0，然后将M点代入，利用待定系数法求F设所求圆的方程为：。
设计意图：本题较简单，学生独立求解，然后教师点评。
设计目的是让学生应用新知，巩固知识，强调圆的标准方程与一般方程方程的相互转化及二元二次方程322表示圆的条件。
同时也增强学生自信，提高兴趣。
0??Ey?x?yF?Dx例3．求过三点O (0,0),M(1,1), M(4,2), 的圆的方程，并指出圆心和半径。
21设计意图：让学生通过自主解答，发现困难，教师适时引导，总结出用待定系数法求圆的一般方程的步骤。
通过本小题进一步理解待定系数法这一思想。
注：用待定系数法求圆的方程的步骤：（1）根据题意设所求圆的方程为标准式或一般式；（圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较，(1)若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.(2)若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解）（2）根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程；（3）解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，代入所设方程，就得要求的方程。
（五）反馈练习，强化概念教材80页，练习1、（2）（4）2.（六）课堂小节，形成体系从知识与方法两个方面进行归纳。
（学生先归纳总结，教师补充强调）22，其,其表达式为1．本节课的主要内容是圆的一般方程0??F?Dx?xEy?y特点是：22的系数相同，且不等于0。
1）和（xy（2）没有xy这样的二次项22）（30FE??D4?DE122为半径的圆。
表示以为圆心，F?R?(?D4?,?)E2222．圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较（1）若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单.（2）若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数法求解.3.本节课用的数学思想方法：（1）通过特殊认识一般的思想方法。
4（2）配方法(求圆心和半径).待定系数法(求圆的一般方程)（3）问题转化和分类讨论的思想(原则是不重复,不遗漏)六．作业布置：教材85页A组1、2七．板书设计：八、课后练习、巩固新知一基础题22的圆心坐标和半径分别为．1．圆0?4x3??y6y??x22表示的图形是圆，则的取值范围是2．若方程．05mx??y??2x4my?m2222?的圆心在直．若圆线上，则、3)?4F?Dx?Ey(D??Ex0?y?0y?x?0DF、的关系有．FE22的圆心是，是坐标原点，则4．已知圆．04??4x?xy??||PO OP22的圆心相同的圆的方：5．过点且与已知圆03??4y?y??2xx C)1，??1M(?程是。
222?b02by?y??2xx?上的点关于直线对称，则6．若圆．?b0?x?y7．过三，，的圆的方程是．)1，??1)N(42，??，O(0??0)M(二提高题8．求过三点，，的圆的方程．)???25)6C(，1A(?，??5)5B(，??22?2x?2y?1?xy?0关于直线9．求圆对称的圆的方程．0??x?y35三能力题1，那么点的距离之比为，的坐标10．已知点与两个顶点)3，??(0，??0)0A(M(x，y)O M 2 满足什么关系？画出满足条件的点所形成的曲线．M九、教学后记本节课采用“问题探讨教学”和“自主探究式教学”相结合，志在体现学生学习“通过特殊认识一般”教学中突出数学思想方法的渗透，引导学生运用了的主体地位，的思想方法探究新知，利用“待定系数法”与“配方法”进行圆的一般方程与标准方程的转化，借助“数形结合”的思想分析问题，解决问题。
教学最后让学生从知识与巩固所学新知的好习惯，系统总结，方法两个方面进行归纳小结，培养学生及时梳理，课后练习的完成使学生进一步巩固新知，加强了对本节知识的进一步认识与运用。
22对方对程及本外，学生在学习节知识时，在另0Fx??yDx??Ey?22分类讨论及利用“配方法”确定圆的标准方程上存在困难，在今后教学F?D?E4中应加强使学生训练与提高。
6。